Turunan Parsial
Turunan dalam Ruang berdimensi n
[email protected] Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah
October 13, 2011
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Turunan Parsial
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Andaikan f adalah fungsi dengan peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalkan y = y0 maka f (x, y0 ) adalah fungsi dengan peubah tunggal x. Turunannya di x = x0 disebut turunan parsial f terhadap x di (x0 , y0 ) dan dinyatakan sebagai fx (x0 , y0 ). Jadi f (x0 + 4x, y0 ) − f (x0 , y0 ) 4x→0 4x
fx (x0 , y0 ) = lim
Dengan cara yang sama, turunan parsial f terhadap y di (x0 , y0 ) dan dinyatakan sebagai fy (x0 , y0 ) dan dinyatakan dengan f (x0 , y0 + 4y) − f (x0 , y0 ) 4y→0 4y
fy (x0 , y0 ) = lim
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Turunan Parsial
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Contoh 1 Tentukan fx (1, 2) dan fy (1, 2) jika f (x, y) = x2 y + 3y 3 . Penyelesaian Untuk menentukan fx (1, 2) kita perlakukan y sebagai konstanta dan dengan menurunkannya terhadap x diperoleh fx (x, y) = 2xy + 0 Jadi fx (1, 2) = 2 · 1 · 2 = 4. Untuk menentukan fy (1, 2) kita perlakukan x sebagai konstanta dan dengan menurunkannya terhadap y diperoleh fy (x, y) = x2 + 9y 2 Jadi fy (1, 2) = 12 + 9 · 22 = 37.
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Turunan Parsial
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Contoh 2 Tentukan turunan parsial pertama dari f (x, y) = ey sin x Penyelesaian Turunan parsial pertama terhadap x adalah fx (x, y) = ey cos x. Turunan parsial pertama terhadap y adalah fy (x, y) = ey sin x.
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Turunan Parsial
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Jika z = f (x, y) kita menggunakan notasi-notasi alternatif berikut ini. fx (x, y) = fy (x, y) = fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) =
∂f (x, y) ∂z = ∂x ∂x ∂z ∂f (x, y) = ∂y ∂y ∂z | ∂x (x0 ,y0 ) ∂z | ∂x (x0 ,y0 )
Simbol ∂ (delta) dibaca ”del” atau ”do” atau ”di” disebut ∂z ∂z tanda turunan parsial. Simbol-simbol ∂x dan ∂y merepresentasikan operator-operator linier.
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Turunan Parsial
Contoh 3 Jika z = x2 sin(xy 2 ), tentukan Penyelesaian ∂z ∂x
∂z ∂x
dan
∂z ∂y
∂ ∂ [sin(xy 2 )] + sin(xy 2 ) (x2 ) ∂x ∂x ∂ = x2 cos(xy 2 ) (xy 2 ) + sin(xy 2 ) · 2x ∂x = x2 cos(xy 2 ) · y 2 + 2x sin(xy 2 ) = x2
= x2 y 2 cos(xy 2 ) + 2x sin(xy 2 ) ∂z ∂y
= x2 cos(xy 2 ) · 2xy = 2x3 y cos(xy 2 )
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Turunan Parsial
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Turunan parsial dari suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama tersebut maka turunan tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x atau y. Turunan parsial kedua (second partial derivative) dari f adalah ∂2f ∂ ∂f = fxx = ∂x ∂x ∂x2 ∂ ∂f ∂2f fyy = = ∂y ∂y ∂y 2 ∂2f ∂ ∂f fxy = (fx )y = = ∂y ∂x ∂y∂x ∂ ∂f ∂2f fyx = (fy )x = = ∂x ∂y ∂x∂y
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Turunan Parsial
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Contoh 4 Tentukan turunan parsial kedua dari f (x, y) = xey − sin(x/y) + x3 y 2 Penyelesaian x 1 x + 3x2 y 2 fx (x, y) = e − cos y y x x fy (x, y) = xey + 2 cos + 2x3 y y y x 1 fxx (x, y) = sin + 6xy 2 2 y y x2 x 2x x y fyy (x, y) = xe + 4 sin − 3 cos + 2x3 y y y y x x 1 x y fxy (x, y) = e − 3 sin + 2 cos + 6x2 y y y y y x x x 1 y fyx (x, y) = e − 3 sin Turunan + 2dalam cos Ruang + 6x2 y
[email protected] berdimensi n
Turunan Parsial
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Misalkan f adalah fungsi dengan tiga peubah x, y dan z. Turunan parsial f terhadap x di (x, y, z) dinyatakan dengan fx (x, y, z) atau ∂f (x, y, z)/∂x dan didefinisikan sebagai f (x + 4x, y, z) − f (x, y, z) 4x→0 4x
fx (x, y, z) = lim
Jadi fx (x, y, z) dapat diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai konstanta dan mendiferensialkannya terhadap x.
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Turunan Parsial
Pengertian Turunan parsial yang lebih tinggi Fungsi dengan lebih dari dua peubah
Contoh 5 Jika f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan fx , fy dan fz . Penyelesaian Untuk mendapatkan fx , kita perlakukan y dan z sebagai konstanta, dan kita turunkan terhadap peubah x. Jadi fx (x, y, z) = y + 3z Dengan cara yang sama diperoleh fy (x, y, z) = x + 2z fz (x, y, z) = 2y + 3z
[email protected]
Turunan dalam Ruang berdimensi n
