Kelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi Vol. ... No ... 201...

1

Kelengkapan Ruang ℓ pada Ruang NormMeriam1, Naimah Aris2, Muh Nur3

Abstrak Rumusan norm- pada ℓ merupakan perumuman dari rumusan norm- pada ℓ . Selanjutnya, ditunjukkan bahwa ruang ℓ merupakan ruang Banach- dengan mengambil sebarang barisan Cauchy di ℓ yang konvergen di ℓ dalam ruang norm- . Kata Kunci : ruang norm- , ruang ℓ , Barisan Cauchy, ruang Banach-

Abstract The formula of -normed space in space ℓ is a generalization from the formula of -normed space in space ℓ . Furthermore, it is shown that space ℓ is -Banach space by taking any Cauchy sequence in the space ℓ which convergent in ℓ on -normed space. Keywords : -normed space, space ℓ , Cauchy sequence, -Banach space

1.

Pendahuluan

Konsep ruang norm pertama kali dikemukakan oleh S. Banach, H. Hahn dan N. Wiener pada tahun 1922. Ruang norm, ( , ‖∙‖) adalah suatu ruang vektor dengan metrik yang didefinisikan oleh suatu norm ‖∙‖. Kajian tentang ruang norm ini telah banyak dikaji oleh matematikawan, diantaranya adalah kajian tentang ruang norm-2 yang pertama kali dikemukakan oleh Gä hler pada pertengahan tahun 1960-an. Ruang norm-2, ( , ‖∙,∙‖) adalah ruang yang dibangun dari ruang vektor yang mempunyai dim ( ) ≥ 2 dengan metrik yang didefinisikan oleh suatu norm ‖∙,∙ ‖. Pada tahun 1969, Gä hler kemudian mengembangkan ruang norm pada ruang vektor real dengan dim( ) ≥ , dilambangkan dengan ‖∙, … ,∙‖ dan ( , ‖∙, … ,∙‖) disebut ruang norm- . Tahun 2011, H. Gunawan dan Mashadi [6] dalam tulisannya menyatakan bahwa ruang normdengan ≥ 2 adalah suatu ruang norm-( − 1), untuk kasus standar atau untuk ruang yang berdimensi hingga, norm- ( − 1) dapat diturunkan dari normdengan cara tertentu, kemudian kekonvergenan dan kelengkapan dari norm- ekuivalen dengan kekonvergenan dan kelengkapan yang diturunkan dari norm-( − 1). Kajian lain yang membahas tentang kelengkapan norm- dilakukan oleh Shelvi Ekariani dan Hendra Gunawan [2], dimana kekonvergenan dan kelengkapan barisan dalam norm- mengakibatkan kekonvergenan dan kelengkapan barisan dalam norm, begitu juga sebaliknya. Kelengkapan ruang ℓ pada norm- sebelumnya telah dibahas oleh Hendra Gunawan [4] dalam tulisannya “The Space of -Summable Sequences and Its Natural -Norm”. Kelengkapan tersebut ditunjukkan dengan mendefinisikan sebuah norm pada ruang ℓ dan membuktikan ekuivalensi norm tersebut dengan norm pada ruang ℓ . Dari beberapa referensi tersebut diatas, penulis tertarik untuk mengkaji kembali bagaimana kelengkapan ruang ℓ di dalam ruang normdengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ruang ℓ merupakan ruang Banach- , dengan metode yang sama dengan [1] dengan 1

Program S1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin 3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin 2


2

tujuan penulisan yaitu mengkaji definisi normkelengkapan ruang ℓ di ruang norm- .

2.

pada ruang ℓ , dan membuktikan

Tinjauan Pustaka

2.1 Ruang ℓ Definisi 2.1.1 Misal ≥ 1 adalah bilangan real. Setiap elemen dalam ruang ℓ adalah barisan ( ) = ( , , … ) dari bilangan real sedemikian sehingga | | + | | + ⋯ konvergen, didefinisikan ∞

|

| < ∞,

≥ 1 . (1)

Jika ( ) adalah barisan dalam bilangan real, maka yang diperoleh adalah ruang real ℓ . Jika ( ) adalah barisan dalam bilangan kompleks, maka yang diperoleh adalah ruang kompleks ℓ , namun yang akan dibahas adalah ruang real ℓ .

2.2 Ruang Norm-2 Definisi 2.2.1 Misalkan ruang vektor real berdimensi dengan ≥ 2 . Norm-2 pada didefinisikan sebagai suatu pemetaan ‖∙,∙‖: × → ℝ, sehingga untuk setiap , , ∈ dan ∈ ℝ memenuhi sifat-sifat berikut : 1. ‖ , ‖ = 0 jika dan hanya jika dan bergantung linear, 2. ‖ , ‖ = ‖ , ‖, 3. ‖ , ‖ = | |‖ , ‖, 4. ‖ + , ‖ ≤ ‖ , ‖ + ‖ , ‖ Pasangan ( , ‖∙,∙‖) disebut ruang norm-2. Telah diketahui bahwa norm-2 pada ruang ℓ untuk 1 ≤ sebagai 1 ‖ , ‖ = 2

∞

< ∞ dan

≠ 2 didefinisikan

∞

. (2) ℓ

Untuk menunjukkan bahwa ruang ketaksamaan Minkowski untuk deret double.

merupakan ruang norm-2 dibutuhkan

Teorema 2.2.2 (Ketaksamaan Minkowski untuk Deret Double) Jika ≥ 1 dan + = 1, dimana ( ), ( ) ∈ ℓ maka ∞

1

∞

+ =1 =1

∞

∞

≤

1

∞

∞

(3)

+ =1 =1

1

=1 =1


3

Proposisi 2.2.3 Jika fungsi ‖∙,∙‖: ℓ → ℝ, didefinisikan 1 ‖ , ‖= 2

∞

∞

Maka (ℓ , ‖∙,∙‖) adalah ruang norm-2. Ruang ℓ merupakan ruang yang lengkap pada ruang norm-2 atau ruang Banach-2, yang telah dibuktikan pada [1].

3.

Hasil dan Pembahasan

3.1

Ruang Norm-n Definisi 3.1.1 Misalkan adalah ruang vektor real berdimensi dimana ≥ serta , , … , ∈ . Suatu fungsi bernilai real tak negatif yang didefinisikan sebagai suatu pemetaan ‖∙, … ,∙‖: × … × → ℝ, sehingga untuk setiap , , … , , , ∈ memenuhi sifatsifat dibawah ini : 1. ‖ , … , ‖ = 0 jika dan hanya jika , … , bergantung linear; 2. ‖ , … , ‖ = ,…, , untuk permutasi ( , … , ) dari (1, … , ); ‖ = | |‖ , … , 3. ‖ , … , , , ‖ untuk setiap ∈ ℝ; 4. ‖ , … , , + ‖ ≤ ‖ ,…, , ‖ + ‖ ,…, , ‖, disebut norm- di . Pasangan ( , ‖∙, … ,∙‖) disebut ruang norm- . Terinspirasi dari rumusan norm- pada ℓ didefinisikan norm- pada ℓ , yaitu

‖ , … ,

⎛1 ‖ =⎜ !

⋯ ⋯

⋯

⋮

⋮

⎝ Proposisi 3.1.2 Jika fungsi ‖∙, … ,∙‖: ℓ → ℝ, didefinisikan

‖ ,…,

⎛1 ‖ =⎜ !

⋯

⎝ maka (ℓ , ‖∙, … ,∙‖) adalah ruang norm- .

⎞ . (4) ⋱ ⋮ ⎟ ⋯ ⎠

⋯ ⋯

⋮

⋮

⎞ ⋱ ⋮ ⎟ ⋯ ⎠

Bukti : Ambil ( , … , ) ∈ ℓ , akan ditunjukkan bahwa norm ‖ , … , ‖ memenuhi sifatsifat ruang norm- . Akan ditunjukkan ‖ , … , ‖ = 0 jika dan hanya jika , … , bergantung linear. (⟹) Jika ‖ , … , ‖ = 0 maka , … , bergantung linear, diketahui ‖ , … , ‖ = 0 , sehingga


⎡ ⎢1 ⎢ ! ⎢ ⎣

4

⋯ ⋯

⋯

⋮

⎤ ⎥ = 0, ⋱ ⋮ ⎥⎥ ⋯ ⎦

⋮

diperoleh

⋯ ⋯ ⋮

⋮

= 0.

⋱ ⋮ ⋯

Sehingga berdasarkan teorema bebas linear, , … , bergantung linear. (⟸) Jika , … , bergantung linear maka ‖ , … , ‖ = 0 Jika , … , bergantung linear maka terdapat skalar-skalar ≠ 0 dimana sedemikian sehingga

⋮

= −

+ ⋯+ −

⋮

= 1,2, … , ,

(5)

⋮

sehingga,

‖ , … ,

⎡ ⎢ ⎢1 ‖ =⎢ ⎢ ! ⎢ ⎢ ⎣

⋯

−

+⋯+ −

−

+⋯+ −

⋯

⎤ ⎥ ⎥ ⋯ ⎥ (6) ⎥ ⎥ ⋱ ⋮ ⎥ ⋯ ⎦

⋮ −

⋮

+⋯+ −

Berdasarkan sifat penjumlahan determinan jika terdapat dua kolom sama atau sebanding maka nilai determinan = 0, sehingga dari persamaan (6) diperoleh ‖ ,…,

1 !

‖ =

( 0)

⋯

= 0 .

Sehingga ‖ , … , ‖ = 0 Ruang ℓ memenuhi sifat kedua dan ketiga ruang norm- , dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat determinan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa ‖ ,…, , + ‖ ≤ ‖ ,…, , ‖ + ‖ ,…, , ‖ ⎡ ⎢1 ‖ , … , , + ‖ =⎢ ⋯ ! ⋮ ⎢ ⎣ Berdasarkan ketaksamaan Minkowski, diperoleh ⎡1 ⎢ ⎢ ! ⎣

⋯

⋮

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

(

)

(

)

⋮ (

⋮ )

⋮

+

+ ⋯ ( ) + ⋯ ( ) ⋱ ⋮ ⋮ + ⋯ ( )

⋮

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

(

)

(

)

⋮ (

⋮ )

⎤ ⎥ ⎥ (7) ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦


⎡1 ≤⎢ ⎢ ! ⎣

5

⋯

⋮

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

(

)

(

)

⋮ (

⋮ )

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

( ) ⋯ ⎡1 ⎤ ⋯ ( ) ⎥ (8) + ⎢ ⋯ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⎢ ! ⎥ ( ) ⋯ ⎣ ⎦ Jadi, ‖ , … , , + ‖ ≤ ‖ ,…, , ‖ + ‖ ,…, , ‖ . Karena semua sifat ruang norm- terpenuhi maka ruang ℓ terdefinisi pada ruang norm- . ∎

3.2

Ruang Banach-n Definisi 3.2.1 Barisan ( ) diruang norm-n ( , ‖∙, … ,∙‖) dikatakan konvergen ke n jika untuk setiap , … , ∈ , dan untuk setiap > 0 terdapat sehingga ‖ − , ,…, ‖ < , ≥

∈ dalam norm∈ ℕ, sedemikian

Teorema 3.2.2 Misalkan = ( , ‖∙, … ,∙‖)adalah ruang norm- , maka limit dari suatu barisan diruang tersebut yang konvergen adalah tunggal. Definisi 3.2.3 Barisan ( ) diruang norm-n ( , ‖∙, … ,∙‖) dikatakan Cauchy ke ∈ dalam norm-n jika untuk setiap , … , ∈ , dan untuk setiap > 0 terdapat ∈ ℕ, sedemikian sehingga ‖ − , ,…, ‖ < , , ≥ Teorema 3.2.4 Jika barisan ( ) konvergen dalam norm- , maka ( ) adalah barisan Cauchy dalam norm- . Definisi 3.2.5 Misal X merupakan ruang vektor dalam ruang norm- . Maka X disebut ruang yang lengkap pada norm- jika setiap barisan Cauchy pada X konvergen ke elemen X. Ruang Banach- merupakan ruang norm- yang lengkap. Teorema 3.2.6 Ruang ℓ adalah ruang yang lengkap pada normℓ didefenisikan sebagai berikut

‖ ,…,

⎡ 1 ‖ = ⎢⎢ ⎢ ! ⎣

…

⎛ ⎝

⋯ ⋯

⋮

⋮

, dengan norm

⎤ ⎞ ⎥ . ⎥ ⋱ ⋮ ⎥ ⋯ ⎠ ⎦

pada


6

Bukti : Akan ditunjukkan bahwa setiap barisan Cauchy dalam ℓ konvergen ke ∈ ℓ . Misal ( ) ( ) ( ) adalah sebarang barisan Cauchy dalam ℓ , dimana = , , … . Maka untuk setiap > 0 terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk setiap , ≥ berlaku

‖

−

,

( )

⎡ ⎢1 ‖=⎢ ⎢ ! ⎢ ⎣

,…

⎛ ⎜

−

( )

( )

⋯

( )

⋯ ⋮ ⋱ ⋯

− ⋮ ( ) ( ) − ⎝

…

⋮

⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⎥⎥ < . (9) ⎥ ⎠ ⎦

diperoleh, ( )

Ambil

1 !

⎛ ⎜

−

( )

( )

⋯

( )

⋯ − ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( ) () ⋯ − ⎝

…

yang tetap, dimana = 1,2, … , , dan misal( !) ( ) ( ) − ⋯

⎞ ⎟ <

(10)

⎠

= ′, sehingga diperoleh

( )

( ) ⋯ − < ′. (11) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( ) ( ) ⋯ − Berdasarkan definisi determinan × , dimana = ( − 1) dan = untuk genap dan = dan = ( − 1) untuk ganjil. Maka persamaan (3.8) dapat dituliskan

( )

−

( )

+ ( )

−

−

( )

−

( )

()

( )

+⋯+ ( )

+

( )

−

−

( )

+ ⋯+

( )

−

()

< ′ (12) Pilih yang tetap, untuk = 1,2, … , , dimana = 1,2, … sehingga dari (12) dapat ( ) ( ) ( ) disimpulkan bahwa , ,…, merupakan barisan Cauchy di ℝ. Berdasarkan Teorema Cauchy-Konvergen pada bilangan real, maka ℝ lengkap. Karena ℝ lengkap, maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,…, konvergen, berarti untuk → ∞ berlaku → , → ( )

, ⋯, → . Kemudian akan ditunjukkan bahwa ( )

1 !

Untuk → ∞ dan

−

→ ()

dan

∈ ℓ . Dari (10), untuk

≥

⋯

() ⋯ − ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( ) () ⋯ − → ∞, dimana ≥ , diperoleh

…

,

( )

<

. ( = 1,2, … )

diperoleh

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi Vol. ... No ... 201... ( )

1 !

…

Dari definisi determinan × 1 ( ) … − ! ( )

−

−

−

7

⋯

( )

− ⋮ ( ) − memberikan +

+

( )

⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

−

( )

−

<

( )

+⋯+

+ ⋯+

(13)

−

( )

−

< . (14) ( ) Persamaan (14) menunjukkan bahwa − = − ∈ℓ . Karena = + ( − ), dimana ∈ ℓ , ( − ) ∈ ℓ , maka berdasarkan ketaksamaan Minkowski diperoleh

( )

+

−

( )

≤

( )

+

−

( )

< ∞ (15)

Jadi, ∈ ℓ . Dari (14) menunjukkan bahwa → , karena ( ) adalah sebarang barisan cauchy dalam ruang ℓ dan ∈ ℓ , ini menunjukkan bahwa ruang ℓ adalah ruang yang lengkap pada normdengan kata lain ℓ merupakan ruang Banach- . ∎

4.

Penutup

4.1 Kesimpulan Ruang ℓ merupakan barisan ( ) dari bilangan real sedemikian sehingga ∑ konvergen. Dari rumusan norm- pada ℓ , didefinisikan norm- pada ℓ , yaitu

| |

⋯ ⋯

⎞ ⎛1 ‖ ,…, ‖ = ⎜ … . ⋮ ⋮ ! ⋱ ⋮ ⎟ ⋯ ⎝ ⎠ Ruang ℓ merupakan ruang yang lengkap pada ruang norm- atau ruang Banachtelah dibuktikan pada Teorema 3.2.6.

yang

4.2 Saran Dalam penulisan ini, hanya mengkaji kelengkapan ruang ℓ pada norm- . Penulis menyarankan untuk mengkaji kelengkapan ruang [ , ], [ , ], baik pada norm-2 maupun norm- .

Daftar Pustaka [1]

Astriana, Ria, (2012), Ruang l p Sebagai Ruang Banach-2 pada Ruang Norm-2, Skripsi Universitas Hasanuddin Makassar.


8

[2]

Ekariani, Shelvi dan Hendra Gunawan, (2012), Teorema Titik Tetap pada Ruang Normn Standar, JMP. 4, 69 – 77.

[3]

Edwards, C.H dan David E. Penney, (1937), Elementary Linear Algebra, Prentice Hall, Inc : Englewood Cliffs, New Jersey.

[4]

Gunawan, Hendra, (2001), The Space of p-Summable Sequences and Its Natural nNorm, Bull.Austral. Math. Soc. 64, 137-147.

[5]

Gunawan, H dan Mashadi, (2001), On n-norm Space. Int. J. Math. Sci. 27, 631-639.

[6]

Kreszyg, Erwin, (1978), Introductory Function Analysis with Application, John Wiley & Sons, Inc : New York.

[7]

Nur, M, (2011), Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-n Standar, Tesis Magister Matematika ITB.

[8]

Zulfaneti, (2011), Norm-n dan Fungsional linear-n terbatas d Ruang Hilbert, (Online), (pasca.unand.ac.id/id/wp-content/uploads/2011/09/artikel2.pdf diunduh 5 Maret 2013).

Kelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n

Recommend Documents