OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 30 - 36

OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS Muslim Ansori1*,Tiryono2, Suharsono S2,Dorrah Azis2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung1,2 Jln. Soemantri Brodjonegoro No 1 Bandar Lampung email: [email protected] ABSTRAK Dibangun suatu operator baru dari ruang barisan terbatas ke ruang barisan terbatas dengan memanfaatkan basis pada ruang barisan terbatas tersebut. Dapat ditunjukkan bahwa koleksi semua operator tersebut membentuk ruang Banach. Selanjutnya, disajikan beberapa contoh aplikasi pada ruang barisan. Katakunci : operator, ruang barisan terbatas. 1.

PENDAHULUAN Pada tulisan ini akan dikaji apa yang disebut operator pada ruang barisan

terbatas. Sifat-sifat dasar operator akan disajikan sebagai dasar untuk pengembangan lanjutan, yang sebelumnya sebagian sudah disajikan di dalam beberapa tulisan antara lain[1] dengan mengkonstruksikan operator-SM pada ruang Banach dengan basis pada ruang Banach yang dikembangkan dari operator Hilbert-Schmidt di dalam [2]. Selanjutnya,

perbaikan

pada

norma

operator-SM

dilakukan

oleh

[3]

dengan

menyajikannya dalam bentuk operator integral Lebesgue. Di dalam tulisan ini, akan disajikan operator-SM pada ruang barisan terbatas 𝑙2 dengan basis standar pada ruang barisan.

2.

METODE PENELITIAN Operator 𝐴 dikonstruksikan dari ruang barisan 𝑙2 ke ruang barisan 𝑙2 dengan basis

standar 𝑒𝑘 dengan 𝑒𝑘 = 0,0, … 1(𝑘) , … . Selanjutnya, dikonstruksikan norma operator 𝐴. Norma operator tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis. Jika pendefinisian operator dapat dilakukan maka akan diselidiki apakah koleksi semua operator tersebut membentuk ruang Banach. Sebagai aplikasi, operator 𝐴 direpresentasikan sebagai matriks takhingga yang dikerjakan pada barisan barisan 𝑙2 ke ruang barisan 𝑙2 dengan basis standar 𝑒𝑘 dengan 𝑒𝑘 = 0,0, … 1(𝑘) , … .

3. HASIL DAN PEMBAHASAN Di dalam tulisan ini, ruang barisan terbatas 𝑙2 didefinisikan sebagai berikut:

30


∞

𝑙2 = 𝑥 = 𝑥𝑖 :

𝑖=1

𝑥𝑖

1 2

2

<∞

dengan 𝑥𝑖 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , barisan bilangan real ℝ. Ruang barisan 𝑙2 merupakan ruang ∗

Banach dengan ruang dual 𝑙2

= 𝑥 ∗ : 𝑙2 → ℝ yaitu koleksi semua fungsional pada 𝑙2

yang bersifat linear dan kontinu. Untuk sebarang 𝑥 ∗ ∈ 𝑙2

∗

dan 𝑥 ∈ 𝑙2 , penulisan 𝑥, 𝑥 ∗ dimaksudkan sebagai fungsional

𝑥 ∗ pada 𝑥 atau 𝑥 ∗ (𝑥). Barisan vektor 𝑒𝑛 ⊂ 𝑙2 dinamakan basis pada 𝑙2 jika untuk setiap vektor 𝑥 ∈ 𝑙2 terdapat barisan skalar yang tunggal 𝛼𝑛 sehingga ∞

𝑥= 𝑛=1

Barisan 𝑒𝑛∗ ∈ 𝑙2

∗

𝛼𝑛 𝑒𝑛

dengan 𝑒𝑛∗ = 1 untuk setiap 𝑛 dikatakan biortonormal terhadap

basis 𝑒𝑛 ⊂ 𝑙2 jika 𝑒𝑚 , 𝑒𝑛∗ = 𝛿𝑚𝑛 dengan 𝛿𝑚𝑛 = 1 untuk 𝑚 = 𝑛 dan 𝛿𝑚𝑛 = 0 untuk 𝑚 ≠ 𝑛 . Selanjutnya, pasangan 𝑒𝑛 , 𝑒𝑛∗

𝑒𝑛 , 𝑒𝑛∗

disebut sistem biortonormal pada 𝑙2 . Jika pasangan

merupakan

sistem biortonormal pada 𝑙2 maka ∞

𝑥= 𝑛=1

𝛼𝑛 𝑒𝑛

dengan 𝑥, 𝑒𝑛∗ = 𝛼𝑛 . Jika

𝐴 ∈ ℒ𝐶 𝑙2 , 𝑙2

maka

𝐴∗ ∈ ℒ𝐶 𝑙2 ∗ , 𝑙2

operator

∗

disebut

operator

pendamping (adjoint operator) 𝐴 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑙2 dan 𝑦 ∗ ∈ 𝑙2 ∗ , berlaku 𝐴 𝑥 , 𝑦 ∗ = 𝑥, 𝐴∗ (𝑦 ∗ ) ∗ Jadi, jika 𝑒𝑛 ⊂ 𝑙2 dan 𝑑𝑚 ∈ 𝑙2

∗

diperoleh

∗ ∗ 𝐴 𝑒𝑛 , 𝑑𝑚 = 𝑒 𝑛 , 𝐴∗ (𝑑𝑚 )

Jika 𝑒𝑛 , 𝑓𝑛 , 𝑑𝑚 ⊂ 𝑙2 basis pada 𝑙2 , maka untuk setiap 𝐴 ∈ ℒ𝐶 𝑙2 , 𝑙2 berlaku ∗ 𝐴∗ 𝑑𝑚 =

∞ 𝑛=1

∗ 𝐴∗ 𝑑𝑚 =

∞ ∗ ∗ 𝑛=1 𝑓𝑛 , 𝐴 (𝑑𝑚 )

∗ 𝑒𝑛 , 𝐴∗ (𝑑𝑚 ) 𝑒𝑛∗ =

∞ 𝑛=1

∗ 𝐴 𝑒𝑛 , 𝑑𝑚 𝑒𝑛∗

(a)

dan 𝑓=

∞ 𝑛=1

∗ 𝐴 𝑓𝑛 , 𝑑𝑚 𝑓𝑛∗

(b)

∞ 𝑘=1

(c)

Berdasarkan persamaan (a) dan (b) diperoleh ∞ 𝑚 =1

∞ 𝑘=1

∗ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ =

31

∞ 𝑚 =1

∗ 𝐴 𝑓𝑘 , 𝑑𝑚 𝑓𝑘∗


Berdasarkan persamaan (a), (b) dan (c) didefinisikan pengertian operator dari ruang barisan 𝑙2 ke ruang barisan 𝑙2 sebagai berikut: Definisi 1.1 Operator 𝐴 ∈ ℒ𝐶 𝑙2 , 𝑙2 dinamakan operator-SM jika ∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

∗ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ < ∞

dengan 𝑒𝑛 , 𝑑𝑚 ⊂ 𝑙2 basis pada 𝑙2 . Mudah dipahami bahwa bilangan 𝐴 dengan 𝐴

∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

=

𝑆𝑀

∗ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ < ∞

Tidak bergantung pada pemilihan basis 𝑒𝑛 pada 𝑙2 . Selanjutnya, notasi 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 menyatakan koleksi semua operator-SM dari ruang barisan 𝑙2 ke ruang barisan 𝑙2 . Teorema 1.2 Untuk setiap 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 berlaku 𝐴 ≤ 𝐴

(i)

𝑆𝑀

(ii)

𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 merupakan ruang Banach terhadap norma .

(iii)

Jika 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 maka 𝐴 operator kompak.

𝑆𝑀

Bukti: (i) Diambil sebarang basis 𝑒𝑛 , 𝑑𝑚 ⊂ 𝑙2 dan 𝑥 ∈ 𝑙2 , maka berdasarkan (a), (b) dan (c) diperoleh ∞

𝐴 𝑥

= 𝑚 =1 ∞

=

∗ 𝐴 𝑥 , 𝑑𝑚 𝑑𝑚 ∗ 𝑥, 𝐴∗ 𝑑𝑚

𝑚 =1 ∞

∗ 𝐴∗ 𝑑𝑚

≤ 𝑥 𝑚 =1 ∞

= 𝑥 𝑘=1

= 𝑥 yang berakibat 𝐴 ≤ 𝐴

𝐴

𝑑𝑚

∗ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗

𝑆𝑀

𝑆𝑀 .

(ii) Pertama ditunjukkan bahwa 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 merupakan ruang bernorma terhadap norma .

𝑆𝑀

sebab:

a) Untuk setiap 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 𝐴

𝑆𝑀

∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

=

dan 32

∗ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ ≥ 0


𝐴

𝑆𝑀

∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

∗ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ = 0

=0⇔ ⇔

∞ 𝑘=1

∗ ∗ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ = 𝐴∗ 𝑑𝑚 = 𝜃 (untuk setiap m)

⇔ 𝐴∗ = 𝑂 (operator nol) ⇔ 𝐴 = 𝑂 (operator nol) b) Untuk setiap 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 dan skalar 𝛼, diperoleh 𝛼𝐴

𝑆𝑀

∞

∞

𝑚 =1 ∞

𝑘=1

=

∗ 𝛼𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ ∞

∗ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗

= 𝛼 𝑚 =1

= 𝛼 𝐴

𝑘=1

𝑆𝑀

c) Jika diberikan 𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 maka 𝐴1 + 𝐴2

𝑆𝑀

∞

∞

𝑚 =1 ∞

𝑘=1 ∞

𝑚 =1

𝑘=1

∞

∞

𝑚 =1 ∞

𝑘=1 ∞

𝑚 =1

𝑘=1

=

∗ 𝐴1 + 𝐴2 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ ∗ 𝐴1 𝑒𝑘 + 𝐴2 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗

= = =

∗ 𝐴1 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ + ∗ 𝐴1 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗ +

∞ 𝑘=1 ∞

∗ 𝐴2 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗

𝑘=1

∗ 𝐴2 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗

Dengan kata lain, 𝐴1 + 𝐴2

𝑆𝑀

≤ 𝐴1

𝑆𝑀

+ 𝐴2

𝑆𝑀 .

Tinggal menunjukkan kelengkapan ruang 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2

sebagai berikut: Diambil

sebarang barisan Cauchy 𝐴𝑖 ⊂ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 . Untuk setiap bilangan 𝜀 > 0, terdapat bilangan bulat positip 𝑛0 sehingga untuk setiap bilangan bulat positip 𝑖, 𝑗 ≥ 𝑛0 , berlaku 𝐴𝑖 − 𝐴𝑗

𝜀

𝑆𝑀

≤2

Akan dibuktikan bahwa terdapat 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 sehingga lim𝑖→∞ 𝐴𝑖 − 𝐴

𝑆𝑀

= 0.

Karena 𝐴𝑖 − 𝐴𝑗

ℒ 𝐶 𝑙 2 ,𝑙 2

≤ 𝐴𝑖 − 𝐴𝑗

𝜀

𝑆𝑀

<2

untuk setiap 𝐴𝑖 , 𝐴𝑗 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 dengan 𝑖, 𝑗 ≥ 𝑛0 , maka barisan 𝐴𝑖 juga merupakan barisan Cauchy di dalam ℒ𝐶 𝑙2 , 𝑙2 . Karena ℒ𝐶 𝑙2 , 𝑙2 ruang lengkap maka terdapat 𝐴 ∈ ℒ𝐶 𝑙2 , 𝑙2

sehingga lim𝑗 →∞ 𝐴𝑗 = 𝐴. Oleh karena itu, ∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

33

∗ 𝐴𝑖 − 𝐴) 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗


∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

= lim

𝑗 →∞

= lim 𝐴𝑖 − 𝐴𝑗 𝑗 →∞

𝐴𝑖 − 𝐴𝑗 ) 𝑒𝑘

∗ , 𝑑𝑚 𝑒𝑘∗

𝜀

𝑆𝑀

<2

Untuk sebarang bilangan bulat 𝑖 ≥ 𝑛0 . Dengan kata lain, 𝐴 − 𝐴𝑖 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 , untuk 𝑖 ≥ 𝑛0 . Oleh karena itu, 𝐴 − 𝐴𝑛 0 + 𝐴𝑛 0 = 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 dan terbukti bahwa barisan 𝐴𝑖 konvergen ke suatu 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 . Jadi𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 merupakan ruang bernorma yang lengkap atau ruang Banach. (iii) Jika 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 dan 𝑥 ∈ 𝑙2 , maka ∞

𝐴 𝑥 = 𝑚 =1

∗ 𝐴 𝑥 , 𝑑𝑚 𝑑𝑚

Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat positip 𝑛, dapat didefinisikan operator 𝐴𝑛 : 𝑙2 → 𝑙2 dengan 𝑛

𝐴𝑛 𝑥 =

𝑚 =1

∗ 𝐴 𝑥 , 𝑑𝑚 𝑑𝑚

Jelas bahwa 𝐴𝑛 ∈ ℒ𝐶 𝑙2 , 𝑙2 dan 𝐴𝑛 merupakan operator berhingga. Dengan kata lain,𝐴𝑛 operator kompak. Karena 𝐴𝑛 kovergen ke 𝐾 maka 𝐾 operator kompak. Berdasarkan Teorema 1.2 diperoleh Akibat 1.3𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 ⊂ 𝐾 𝑙2 , 𝑙2 ⊂ ℒ𝐶 𝑙2 , 𝑙2 dengan 𝐾 𝑙2 , 𝑙2 koleksi operator kompak dari 𝑙2 ke 𝑙2 Operator 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 dapat diwakili oleh matriks takhingga 𝐴 = 𝐴∞×∞ . Oleh karena itu, dalam bentuk matriks takhingga karakteristik operator-SM tersebut dapat diuraikan sebagai baerikut: Teorema 1.4 Suatu operator linear kontinu 𝐴: 𝑙2 → 𝑙2 merupakan operator-SM jika dan hanya jika terdapat suatu matriks 𝑎𝑖𝑗 yang memenuhi: ∞ 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

(i)

𝐴𝑥 =

(ii)

∞ 𝑖=1

∞ 𝑗 =1

(iii)

∞ 𝑖=1

∞ 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

𝑎𝑖𝑗

2

∈ 𝑙2 untuk setiap 𝑥 = 𝑥𝑗 ∈ 𝑙2 ,

<∞

<∞

Bukti: (Syarat perlu) Karena 𝐴: 𝑙2 → 𝑙2 linear dan kontinu maka dengan sendirinya berlaku (i) dan (ii). Operator 𝐴 dalam bentuk matriks 𝑎𝑖𝑗 dengan 𝑒𝑘 = 0,0, … 1(𝑘) , … berbentuk 𝐴𝑒𝑘 = 𝑎𝑗𝑘 Karena 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 operator-SM maka

34

∞ 𝑗 =1

dikerjakan pada basis standar 𝑒𝑘


∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

∗ 𝐴𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑑𝑚 =

∞

∞

𝑚 =1 ∞

𝑘=1 ∞

𝑚 =1

𝑘=1

=

𝑎𝑚𝑘 𝑑𝑚

𝑎𝑚𝑘 < ∞

(Syarat cukup) berdasarkan (i) dan (ii) maka 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 : 𝑙2 → 𝑙2 llinear dan kontinu. Selanjutnya, berdasarkan (iii) diperoleh 𝐴

𝑆𝑀

∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

∗ 𝐴𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 𝑑𝑚 =

=

∞

∞

𝑚 =1

𝑘=1

𝑎𝑚𝑘 < ∞

Terbukti 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 operator-SM.

Contoh 1.5 Matriks 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dengan 𝑎𝑖𝑗 =

1 𝑖2

𝑖=𝑗 𝑖≠𝑗

0

Merepresentasikan operator-SM 𝐴: 𝑙2 → 𝑙2 sebab: (i)

Untuk setiap 𝑥 = 𝑥𝑗 ∈ 𝑙2 berlaku ∞

1

∞

𝐴𝑥 = 𝑗 =1

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

2 𝑥𝑗 2 2 𝑗 =1 𝑗

=

∞

< 𝑗 =1

𝑥𝑗

2

<∞

Jadi 𝐴𝑥 ∈ 𝑙2 . (ii)

Bagian kedua terpenuhi sebab ∞

∞

𝑖=1

(iii)

2

∞

=

1 2 2 𝑖=1 𝑖

<∞

Bagian ketiga terpenuhi sebab ∞ 𝑖=1

4.

𝑗 =1

𝑎𝑖𝑗

∞ 𝑗 =1

∞

𝑎𝑖𝑗 =

1 2 𝑖 𝑖=1

<∞

KESIMPULAN DAN PROSPEK

4.1 Kesimpulan Operator linear dan kontinu 𝐴: 𝑙2 → 𝑙2 merupakan operator-SM jika dan hanya jika terdapat suatu matriks 𝑥 = 𝑥𝑗 ∈ 𝑙2 , (ii)

∞ 𝑖=1

𝑎𝑖𝑗

∞ 𝑗 =1

𝑎𝑖𝑗

yang memenuhi: (i) 𝐴𝑥 = 2

< ∞ dan (iii)

∞ 𝑖=1

∞ 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

∞ 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

∈ 𝑙2 untuk setiap

< ∞. Koleksi semua operator-

SM 𝐴: 𝑙2 → 𝑙2 yang dinotasikan dengan 𝑆𝑀 𝑙2 , 𝑙2 membentuk ruang Banach. 4.2 Prospek Penelitian lanjutan tentang operator-SM dapat dikembangkan pada ruang yang lebih luas dengan harapan hasil yang diperoleh semakin baik. 35


5.

UCAPAN TERIMAKASIH

Penulis menyampaikan ucapan terimakasih kepada Penyelenggara Semirata 2015 yang telah memfasilitasi kegiatan Seminar Nasional ini dan terima kasih kepada FMIPA Universitas Lampung yang telah mendukung penulis untuk selalu berkarya. DAFTAR PUSTAKA [1]. Soeparna, D., Ansori, M., Supama, On the SM-operators, Berkala Ilmiah MIPA, UGM. 2006; (16): 49-53. [2]. Weidmann J. Linear Operators in Hilbert Spaces. New-York: Springer-Verlag; 1980. [3]. Ansori, M., Soeparna, D., Supama, Modification of Hilbert-Schmidt Operator into the Sense of Banach Space. Proceeding of IICMA, UGM. 2009;189-204.

36

OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

Recommend Documents