REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
( Skripsi )
Oleh ANGGER PAMBUDHI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017
ABSTRACT
REPRESENTATION OF OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE
by
Angger Pambudhi
The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be represented by an infinite matrices. For example, a matrices where [
] and
{
( ) |(∑
| | )
} is a sequence real
numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence space to sequence space by using a standard basis ( ) and it can be proven that the collection all the operators become Banach space. Key Words : Operator, finite sequence space
ABSTRAK
REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
Oleh
Angger Pambudhi
Suatu pemetaan pda ruang vector khususnya ruang bernorma disebut operator. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks dengan [
] dan
{
( ) |(∑
| | )
} merupakan barisan bilangan
real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar * + dan ditunjukkan bawa koleksi semua operator membentuk ruang Banach. Kata Kunci : Operator, ruang barisan terbatas
REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
Oleh ANGGER PAMBUDHI
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Angger Pambudhi, Dilahirkan di Metro, pada tanggal 28 Februari 1994, sebagai anak pertama dari empat bersaudara pasangan Bapak Prayitno dan Ibu Ponisri. Menempuh pendidikan awal Taman Kanak-kanak di TK Aisiyah Metro Pusat tamat pada tahun 2000, Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 7 Metro Pusat tamat pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMPN 2 Metro tamat pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Muhammadiyah 1 Metro tamat pada tahun 2012. Pada tahun 2012 penulis diterima sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, melalui jalur tertulis atau SNMPTN. Pada saat duduk di bangku kuliah, penulis mengikuti organisasi di dalam kampus. Penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai Anggota Biro Dana dan Usaha (tahun 2012/2013), sebagai Anggota Biro Dana dan Usaha (tahun 2013/2014). Sebagai salah satu mata kuliah wajib, penulis juga pernah mengikuti Kuliah Praktek (KP) di Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) provinsi Lampung pada tanggal 26 Januari sampai dengan 13 Februari 2015. Selanjutnya bulan januari-maret 2016 melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Karang Agung, Kecamatan Semaka, Kabupaten Tanggamus.
MOTTO
“Winning isn’t everything, even if you win everything”
(Leo Messi)
“Realisasikan perkataan dengan perbuatan” (Angger Pambudhi)
PERSEMBAHAN
Teriring do’a dan rasa syukur kepada Allah SWT, ku persembahkan karya kecil ini sebagai rasa sayang dan terimakasih ku kepada: Orang Tua Tercinta Bapak Prayitno dan ibu Ponisri atas limpahan kasih sayang, do’a dan tetesan keringat dalam merawat dan menyekolahkanku selama ini demi keberhasilanku Adik Tercinta Rani Prambandari, Adel Lia dan Ma’ruf Zakaria yang selalu memberikan semangat dan dukungan Serta Keluarga Besarku. Para Pendidikku, Dosen Dan Guru-Guruku Yang Telah Memberikan Ilmu Kepadaku Teman-teman seperjuangan angkatan 2012 Almamater tercinta.
SANWACANA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Representasi Operator Pada Ruang Barisan Terbatas
” sebagai salah satu
syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada: 1.
Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing I yang selalu
mengarahkan,
membimbing
dan
memotivasi
penulis
dalam
menyelesaikan skripsi ini. 2.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik sekaligus Dosen Pembimbing II yang selalu sabar membimbing dan mengarahkan dalam penyelesaian skripsi ini.
3.
Bapak Agus Sutrisno, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembahas yang telah memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini
4.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
5.
Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
6.
Seluruh dosen dan Tenaga Pendidikan Jurusan Matematika yang telah memberikan ilmu dan bantuan yang berguna bagi penulis.
7.
Bapak dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.
8.
Adik Rani, Adel, Zaka dan keluarga besarku yang telah memberikan dorongan, semangat dan motivasi kepada penulis.
9.
Rara Berthania, yang dengan tulus memberikan bantuan selama penulis menyelesaikan studi.
10. Rekan dan sahabat-sahabatku di Matematika: Pras, Candra, Danar, Topik, Anwar, Rendi, Ernia, Dwi, Anggi, Yanti, Imah, Elva, Putri, Selvi, Riyama, Maya dan teman-teman angkatan 2012 yang tidak bias disebutkan satu-satu terima kasih atas kebaikan dan motivasinya selama ini. 11. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan kenangan selama di kampus.
Bandar Lampung, Januari 2017 Penulis
Angger Pambudhi
DAFTAR ISI
Halaman I.
PENDAHULUAN 1.1. LatarBelakangMasalah ........................................................................ 1.2. TujuanPenelitian ................................................................................ 1.3. ManfaatPenelitian............................................................................
II.TINJAUANPUSTAKA 2.1. Operator ................................................................................. 2.2. RuangMatriks .................................................................................. 2.3. RuangVektor ................................................................................... 2.4. RuangBernorma ................................................................................. 2.5. RuangBanach ..................................................................................... 2.6. Barisan ................................................................................... 2.7. Basis ...................................................................................................
III.
METODE PENELITIAN 3.1. WaktudanTempatPenelitian ............................................................... 3.2. MetodePenelitian .....................................................................
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN V.
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
1 2 2
3 11 13 14 15 15 21
23 23
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga.
Sebagai contoh, suatu matriks
{
Jika
( )
( ) |(∑ ( )
| | )
dengan
} merupakan barisan bilangan real.
maka
[
][ ]
[
]
∑ ∑ [
]
[
] dan
2
Sehingga timbul permasalahan, syarat apa yang harus dipenuhi supaya ( )
.
Oleh karena itu, penelitian akan difokuskan pada permasalahan tersebut. 1.2 Tujuan Penelitian Adapun tujuan penelitian ini diantaranya : 1. Mengkaji ruang barisan terbatas
.
2. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja pada ruang barisan terbatas
.
3. Mencari representasi operator linear pada ruang barisan terbatas
.
1.3 Manfaat Penelitian Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear pada ruang barisan ini, diantaranya : 1. Memahami sifat dari operator linear. 2. Memahami masalah operator linear pada ruang barisan terbatas
.
3. Mengetahui aplikasi dari operator linear pada ruang barisan terbatas
.
4. Dapat memberi ide bagi penulis lain yang ingin meneliti lebih lanjut tentang operator.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Operator Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989) Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas field yang sama. a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator. b. Operator A : X skalar
Y dikatakan linear jika untuk setiap
X dan setiap
berlaku A( x) = Ax dan A( x + y) = Ax + Ay.
Definisi 2.1.3 (Kreyszig, 1989) Diberikan (
‖ ‖) dan (
‖ ‖) masing-masing ruang bernorm.
a. Operaror A : X → Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M berlaku ‖
M ≥ 0 sehingga untuk setiap b. Operator A dikatakan kontinu di
‖ ‖.
jika diberikan bilangan
bilangan
sehingga untuk setiap
berlaku ‖
‖
c. Jika A kontinu di setiap
‖
R dengan
dengan ‖
. , A disebut kontinu pada X.
ada ‖
4
Teorema 2.1.4 (Ruckle, 1991) Jika X dan Y masing-masing ruang Bernorm atas field yang sama maka lc(X, Y) merupakan ruang linear. Bukti : (
Diambil sebarang
) dan sebarang
untuk setiap
diperoleh (
)(
)
(
)
( Jadi, (
(
)
(
)
)
) merupakan operator linear.
Karena A dan B terbatas maka ada bilangan real M1, M2 ≥ 0 sehingga, ‖(
) ‖= ‖ ≤ ‖
‖ ‖
‖
= | |‖
‖
≤| |
‖ ‖
= (| |
‖
| |‖ | | | |
‖ ‖ ‖ )‖ ‖
5
Dengan demikian, (
Jadi
terbatas (kontinu). ) (
Telah dibuktikan bahwa untuk setiap (
berlaku
). Jadi
(
) dan sebarang skalar
) linear.
Teorema 2.1.5 (Maddox, 1970) )
((
Jika Y ruang Banach maka
) ruang Banach.
Bukti : Diambil sebarang barisan Cauchy * + Jadi untuk setiap bilangan
terdapat
berlaku ‖
‖
Misal, untuk setiap ‖
. diperoleh
‖‖ ‖
Jelas untuk setiap bilangan
‖ ‖
(dapat dipilh bilangan
sehingga untuk setiap ‖
‖ ‖
Jadi,
sehingga
dengan
berlaku
.
Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy * kata lain *
dengan
) ‖
≤‖
‖
) ‖ ‖). sehingga jika
dan
‖ = ‖(
ada
((
+
dan Y lengkap, dengan
+ konvergen ke dan x menentukan suatu operator A sehingga
.
6
Proses di atas dapat diulang untuk
tetap, dengan
dan z menentukan suatu operator A sehingga Untuk setiap skalar a dan b, diperoleh ( sehingga
) (
Jadi (
menentukan suatu operator A
.
)
( (
) )
=
=
= = Jadi operator A bersifat linear. Untuk ‖(
diperoleh ) ‖=‖ = ‖( = ‖(
Jadi operator (
‖ )‖ ) ‖ ) dengan
.
,
dan )
. Jadi diperoleh
‖ ‖ bersifat linear terbatas.
7
Karena
dan
masing-masing terbatas, serta
(
) maka
A terbatas (kontinu). ) ‖ ‖) dengan kata lain
((
Jadi
((
) ‖ ‖) ruang Banach.
Definisi 2.1.6 (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm X dengan field a. Pemetaan
.
disebut fungsi.
b. Himpunan semua fungsi linear kontinu pada X disebut ruang dual X, biasanya ditulis
(
).
Teorema 2.1.7 (Ruckle, 1991) Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang memetakan X ke Y maka A kontinu. Bukti : Misal A = (
)
X=( ) y=( )
dapat dinyatakan
∑
Mendefinisikan suatu fungsi linear kontinu pada X. Jelas bahwa untuk setiap :
8
( )
∑
( ),
Misal
( )
()
( ) dan
( )
∑
( )
( )
∑
∑
∑
∑(
)
∑
(
∑
(
(
( )(
)(
)
∑
(
∑ (
∑
)
)
)
)
)
9
( ))
(
Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti Selanjutnya akan ditunjukkan Hal ini sama saja membuktikan
merupakan fungsi linear pada X. kontinu pada X. terbatas pada X.
Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga | ( )|
|
|
Oleh karena itu :
|
( )|
|∑
|
∑|
|| |
∑|
|
Berdasarkan pembuktian di atas, ( )
( )
Maka f juga kontinu pada x. Karena y ruang BK diperoleh
∑
Atau
( )
mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x
10
( ) ( )
[
( )
]
( )
[
∑
( )
∑
( )
(
]
)
[ ]
( )
∑
(
( )
)
( ) ( ) Jika y = Ax maka bukti lengkap Definisi 2.1.8 (Berberian, 1996) (
a. Matriks takhingga
) adalah matriks dengan
dan elemen
pada baris dan kolom sebanyak takhingga. b. Jika
(
skalar maka dengan ∑
) dan
( (
) masing-masing matriks takhingga dan )
, (Cooke, 1955)
(
) dan
(∑
)
11
Definisi 2.1.9 (Fuhrmann, 1987) (
Diketahui suatu operator
) maka
adjoint operator T jika untuk setiap (
(
) disebut operator berlaku (
dan
)
).
2.2 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak pada real line R.
Definisi 2.2.1 (Kreyszig, 1989) Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu metriks di X adalah suatu fungsi ,
), sehingga untuk setiap pasangan (
i.
(
)
untuk setiap
ii.
(
)
jika dan hanya jika x = y
iii.
(
)
(
) untuk setiap
iv.
(
)
(
)
(
) untuk
)
berlaku :
(sifat simetri) setiap
(ketidaksamaan
segitiga) Selanjutnya pasangan (X, d) dengan d adalah metrik pada X disebut ruang metrik. Setiap anggota X disebut titik dan nilai d(x,y) disebut jarak(distance) dari titik x ke titik y atau jarak antara titik x dan titik y.
12
Definisi 2.2.2 (Kreyszig, 1989) Suatu barisan (xn) dalam ruang metrik (X, d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk ( ) sehingga (
)
setiap bilangan
terdapat bilangan asli
untuk setiap
. Ruang X dikatakan X dikatakan lengkap jika setiap
barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Definisi 2.2.3 (Maddox, 1970) Suatu ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika ( seningga (
maka terdapat
)
(
)
(
)
).
Definisi 2.2.4 (Beberian, 1996) Misal (X,d) adalah suatu ruang metrik. Suatu barisan ( sehingga (
konvergen jika terdapat suatu titik (
(yaitu untuk setiap (
maka
)
(
) )
)
)
dikatakan untuk
). Titik x adalah unik sebab jika ( (
)
menunjukkan bahwa x = y. Dapat
dikatakan xn konvergen ke limit x (dalam X) sehingga dapat ditulis
Lemma 2.2.5 (Kreyszig, 1989) Jika X = (X,d) adalah ruang metrik, maka : i.
Suatu barisan konvergen di X adalah terbatas dan limitnya adalah unik.
ii.
Jika
dan
di X, maka (
)
)
(
).
13
Teorema 2.2.6 (Parzynsky dan Zipse, 1987) Setiap barisan Cauchy adalah terbatas. Bukti : Jika {an} barisan Cauchy maka untuk |
|
|
ada bilangan asli N sehingga
dimana n, m > N. Perhatikan bahwa untuk |
|
(| | |
|
|
|
| |
|
maka |
|
| | untuk setiap n > N. Jika
| |) jelas |
|
untuk setiap bilangan asli N
sehingga barisan {an} terbatas. 2.3 Ruang Vektor Definisi 2.3.1 (Maddox, 1970) Ruang vektor adalah suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan fungsi penjumlahan ( )
dan fungsi perkalian skalar ( )
sehingga untuk setiap skalar
dengan elemen
i. ii.
(
)
iii.
ada
iv.
ada
(
)
sehingga
(
sehingga
v. (
vi. vii. viii.
)
(
) (
)
(
)
)
berlaku :
14
2.4 Ruang Bernorma Definisi 2.4.1 (Darmawijaya, 1970) ‖ ‖
Diberikan ruang linear X. Fungsi i.
‖ ‖
untuk setiap
ii.
‖ ‖
, jika dan hanya jika
iii.
‖
iv.
‖
‖
, (0 vektor nol)
| | ‖ ‖ untuk setiap skalar ‖
‖ ‖
yang mempunyai sifat-sifat :
dan
.
‖ ‖ untuk setiap
disebut norma(norm) pada X dan bilangan nonnegatif ‖ ‖ disebut norma vektor x. Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma ‖ ‖ disebut ruang bernorma (norm space) dan dituliskan singkat dengan
‖ ‖ atau X saja asalkan nrmanya
telah diketahui. Lemma 2.4.2 (Maddox, 1970) Dalam ruang linier bernorm X berlaku ‖ ‖
‖ ‖
‖
‖ untuk setiap
. Bukti : untuk setiap ‖ ‖
‖ ‖
diperoleh : ‖
‖
‖ ‖
‖
‖
‖ ‖
‖ ‖
‖
‖.
15
2.5 Ruang Banach Definisi 2.5.1 (Darmawijaya, 2007) Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen 2.6 Barisan Definisi 2.6.1 (Mizrahi dan Sulivan, 1982) Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian dengan bilangan real xn tertentu, maka x1, x2,...,xn,... dikatakan barisan. Definisi 2.6.2 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990) Bilangan-bilangan
disebut barisan bilangan tak hingga cn disebut
suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan. Definisi 2.6.3 (Mizrahi dan Sulivan, 1982) Misal L adalah suatu bilangan real dan {xn} suatu barisan, {xn} konvergen ke L jika untuk setiap bilangan |
terdapat suatu bilangan asli N, sehingga |
untuk setiap
Suatu bilangan L dikatakan limit dari suatu barisan takhingga
jika ada
bilangan real positif sehingga dapat ditemukan bilangan asli N yang tergantung
16
pada
sehingga |
|
untuk setiap
, daan suatu barisan dikatakan
konvergen jika ia mempunyai nilai limit. Teorema 2.6.4 (Martono, 1984) Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas. Bukti : Misalkan barisan bilangan real {an} konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat sehinga |
suatu bilangan real
|
konvergen ke a, maka terapat suatu Akibatnya |
|
|
| (| | |
Ambillah |
|
|
|
| |
|| |
untuk setiap
. Karena {an}
sehingga
|
| |
|
| | untuk setiap ) , maka setiap
. .
berlaku
, yang berarti bahwa barisan bilangan real {an} terbatas.
Definisi 2.6.5 (Maddox, 1970) Suatu barisan bilangan
(
) dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu
sehingga |
|
. Himpunan dari semua barisan
terbatas dilambangkan dengan Definisi 2.6.6 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990) Suatu barisan {xn} dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan dapat dicari suatu nomor indeks (atau |
sedemikian sehingga untuk |
berlaku
) artinya jika L adalah limit dari {xn} maka
xn mendekati L jika n mendekati tak hingga.
17
Definisi 2.6.7 (Martono, 1984) Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan yang tak konvergen dinamakan barisan divergen. Definisi 2.6.8 (Soeparna, 2007) Diberikan
yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi : * ̅
*
+
+
a. Untuk setiap bilangan real p dengan
{
dan norm pada
{ }
∑| |
}
yaitu
‖ ‖
b. Untuk
didefinisikan
(∑| | )
didefinisikan { ̅
dan norm pada
*
+
|
|
}
yaitu ‖ ‖
|
|
Definisi 2.6.9 (Darmawijaya, 2007) Misal
(
) dengan
(
)
(q konjugat p), untuk
∑|
|
‖ ‖ ‖ ‖
dan
18
Teorema 2.6.10 (Darmawijaya, 2007) ) merupakan ruang bernorma terhadap norm ‖ ‖ .
( Bukti :
merupakan ruang bernorm terhadap ‖ ‖ .
a) Akan dibuktikan bahwa
) ‖ ̃‖
|
|
‖ ̃‖
|
|
) ‖ ̃‖
) ‖̃
|
|
|
|
+
diperoleh
|
|
|
‖ ̃‖
‖ ‖
‖̃
̃
̃‖
. Dengan kata lain (
̃
̃
merupakan ruang linear dan ‖ ‖ ) ruang bernorma.
*
diambil sebarang ̃
b) Untuk
̃
‖ ‖
berdasarkan i), ii) dan iii) terbukti bahwa ‖ ‖ norm pada
* +
̃
‖ ̃‖
‖ ̃‖
̃‖
+* |
|
|
* ̅
Untuk setiap skalar
+ ̃
*
+
dan skalar .
Diperoleh :
) ‖ ̃‖
{∑|
| }
‖ ̃‖
{∑|
| }
|
|
|
|
̃
* +
̃
19
) ‖ ̃‖
| }
{∑|
jelas bahwa ‖
) ‖̃
| }
| |‖ ‖
{∑|
| }
{∑|
‖
‖ ̃‖
̃‖
| | {∑|
‖ ̃‖
Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa ‖ ‖ norm pada
| }
merupakan ruang linear dan
‖ ‖ ) ruang bernorm.
. Dengan kata lain (
Teorema 2.6.11 (Darmawijaya, 2007) , maka (
Jika bilangan real p dengan
‖ ‖ ) merupakan ruang
banach. Bukti : ‖ ‖ ) merupakan ruang bernorm
Telah dibuktikan bahwa (
Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap. diambil sebarang barisan Cauchy { ̃ ( ) }
Dibuktikan dahulu untuk dengan a) ̃ (
)
{ ̃ ( )}
(̃
Untuk sebarang bilangan asli b) ‖
( )
( )
̃
( )
̃
( )
)
terdapat bilangan asli
sehingga untuk setiap dua
berlaku
( )
‖
∑
|
( )
( )
|
. / .
Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli |
( )
Cauchy
( )
|
( )
diperoleh
untuk setiap k. Dengan kata lain diperoleh barisan untuk setiap k. Jadi terdapat bilangan
sehingga
20
( )
( )
|
atau
untuk
berlaku |
Selanjutnya
dibentuk
( )
|
. Berdasarkan b) diperoleh
|
barisan
| *
̃
+ .
( )
( )
|
Menurut
. ketidaksamaan
minkowski. c) *∑
|
| +
{∑
Yang berarti ̃ untuk d) ‖ ̃
|
*
( )
( )
| }
{∑|
( )
( )
( )
{∑|
( )
( )
+
. Berdasarkan pertidaksamaan a) diperoleh
| }
| }
( )
{∑|
| }
berlaku ̃ ( )‖
{∑
|
( )
| }
{∑
( )
|
| }
Maka barisan { ̃ ( ) } konvergen ke ̃. Berdasarkan hasil c) dan d), terbukti bahwa barisan Cauchy { ̃ ( ) } terbukti bahwa (
‖ ‖ ), (
konvergen ke ̃
*
+
atau
) merupakan ruang banach.
Definisi 2.6.12 (Ruckle, 1991) Misalkan X merupakan ruang barisan, X dikatakan ruang BK (banach lengkap) jika X merupakan ruang banach dan pemetaan koordinatnya (
)
( )
kontinu.
Contoh ruang BK (banach lengkap) adalah ruang barisan
,
.
21
2.7 Basis Definisi 2.7.1 (Darmawijaya, 2007) Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor-vektor seperti itu *
,
sehingga
-. Dalam keadaan
+ disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.
Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika ada vektor-vektor ada skalar-skalar
Secara umum, jika
sehingga untuk setiap vektor sehingga
dan V terbangkitkan oleh B, jadi | |
pembangkit V, maka untuk setiap dan skalar
atau B
terdapat vektor-vektor
sehingga
∑
Definisi 2.7.2 (Darmawijaya, 2007) Diberikan ruang vektor V. Himpunan
dikatakan bebas linear jika setiap
himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear.
Definisi 2.7.3 (Darmawijaya, 2007) Diberikan ruang vektor V atas lapangan V jika B bebas linear dan | |
.
. Himpunan
disebut basis (base)
22
Contoh : Himpunan * ̌ ̌
̌ +, dengan ̃ vektor di dalam
yang komponen ke-k
sama dengan 1 dan semua komponen lainnya sama dengan 0, merupakan basis ruang vektor
.
23
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016 di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. 3.2 Metode Penelitian Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain : 1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan dengan basis standar * + dengan
(
( )
ke ruang barisan ).
2. Mengkonstruksikan norma operator A 3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach 4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan pada barisan (
ke ruang barisan ( )
).
dengan basis standar * + dengan
33
V. KESIMPULAN
Operator linear dan kontinu : terdapat suatu matriks ( (i).
merupakan operator SM jika dan hanya jika
) yang memenuhi : = {∑
(ii). ∑
∑
(iii). ∑
|∑
Koleksi semua operator SM membentuk ruang Banach.
} |
untuk setiap
=( )
| |
:
yang di notasikan dengan SM (
)
34
DAFTAR PUSTAKA
Berbrian, S. K. 1996. Fundamental of Real Analysis. Springer, Texas. Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta. Fuhrmannn, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hibert Space. Mc Graw Hill and Sons, New York. Kreyszig, E.1989. Introductory Function Analysis with Application. Willey Calssic Library, New York. Maddox, I.J. 1970. Element of Functional Analysis. Cambridge Univercity Press, London. Martono, k. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung. Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982. Calculus and Analitic Geometry. Wadsworth Publishing Company Belmont, California. Parzynski and Zipse.1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill International Edition, Singapore. Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company. Boston Yahya, Y., Suryadi , D. H. S. dan Agus, S. 1990. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.
