BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT
3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang vektor yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah ruang metrik, ruang norm dan ruang hasil kali dalam. Selanjutnya, dalam bagian ini akan dibahas mengenai operator linear, operator terbatas dan operator linear yang kontinu,operator Hilbert-adjoint, dan operator self-adjoint pada ruang ruang hasil kali dalam yang lengkap (ruang Hilbert). 3.1.1 Definisi (Operator Linear) Sebuah pemetaan linear i) Domain
dari
disebut sebagai operator linear jika, merupakan subruang vektor dan range
berada di sebuah ruang vektor. ii) Untuk setiap
dan skalar
(1)
sebagai notasi dari domain sebagai notasi dari range sebagai notasi dari ruang null
28
29
Ruang null dari
didefinisikan sebagai himpunan dari semua
sedemikian sehingga
atau dengan kata lain ruang null
disebut sebagai kernel. Misalkan
dan
dimana
dan
merupakan ruang
vektor, keduanya anggota bilangan real atau bilangan kompleks. Operator merupakan operator dari (atau pemetaan dari)
pada
, ditulis dalam
bentuk,
atau dari
Jika
pada ,
adalah ruang keseluruhan atau
secara lengkap
, maka
Akibatnya, (1) ekuivalen dengan (2) dengan memilih
, maka dari (1) mengakibatkan dan
Jadi, 3.1.2 Contoh: 1. Operator identitas merupakan operator linear, sebab Misalkan operator identitas setiap
didefinisikan oleh
. Sehingga, dapat ditulis dengan sederhana untuk
Misalkan sebarang
maka,
untuk ; akibatnya
30
2. Operator nol merupakan operator linear sebab, didefinisikan oleh
Misalkan operator nol
untuk setiap
. Akibatnya, maka,
Misalkan sebarang
3.1.3 Teorema (Range dan Ruang Null) Misalkan
operator linear maka
a) Range
adalah suatu subruang vektor
b) Jika dim c) Ruang null
, maka dim adalah suatu subruang vektor
Bukti: a) Misalkan diberikan sembarang
dan berdasarkan definisi
untuk sembarang skalar ,
Karena, . Karena kelinearan
maka
. ,
untuk
suatu
merupakan subruang vektor , akibatnya
31
Karena itu,
. Karena,
juga untuk sembarang skalar
akibatnya
elemen
b) Misalkan dipilih vektor dan
yang sembarang dan adalah subruang vektor. dari sembarang ruang
misalkan
,
...
,
untuk
suatu
. Karena
dim
,
himpunan
harus
merupakan
bergantung linear. Akibatnya,
Untuk suatu skalar dan
yang tidak semuanya nol. Karena
linear
.
Akibatnya,
Hal ini menunjukan bahwa, bergantung linear karena asumsi bahwa bahwa
merupakan himpunan yang
tidak semuanya sama dengan nol. Berdasarkan
dipilih dari sembarang ruang vektor, sehingga diperoleh subset tidak bebas linear dari
atau dari sembarang
elemen. Berdasarkan definisi dimensi hingga dan takhingga ruang vektor mengakibatkan bahwa
.
32
c) Misalkan diberikan sembarang Karena
linear,
, diperoleh
untuk
sembaran
Hal ini menunjukan bahwa Akibatnya,
skalar
. berlaku
.
adalah subruang vektor.
Selanjutnya dengan mengingat kembali invers dari operator linear. Terlebih dahulu harus diketahui bahwa pemetaan
merupakan
pemetaan yang injektif atau satu-satu jika titik-titik yang berbeda pada domain memilki pemetaan yang berbeda. Oleh karena itu, untuk subruang dan, (4) hal ini sama dengan, (4*) Karena
maka
ada,
(5) , dengan Perhatikan gambar pemetaan
sebagai invers dari .
33
Gambar 6. Hubungan pemetaan invers dari (5) diatas jelas bahwa, , untuk setiap , untuk setiap Invers dari operator linear disajikan pada teorema berikut.
3.1.4 Teorema (Operator Invers) Misalkan
merupakan ruang vektor keduanya real atau kompleks. Misalkan merupakan operator yang linear dengan domain
juga dan range
, maka,
a) Invers
b) Jika
ada jika dan hanya jika
ada maka
adalah operator linear.
c) Jika
dan
ada maka
Bukti: a)
diketahui
akan ditunjukan
ada Misalkan
karena
operator linear mengakibatkan bahwa
. Misalkan juga Karena
operator linear maka,
.
34
Karena
maka,
berdasarkan (4*) maka
atau ada.
diketahui
ada
dan
Misalkan
. Oleh karena itu,
yang mengakibatkan
akan
ditunjukan
ada berdasarkan (4*), .
Sehingga berdasarkan (3) diperoleh,
b) Misalkan
operator linear dan
ada. Akan ditunjukan bahwa
adalah range
Domain dari
sedemikian sehingga
linear. merupakan
subruang vektor berdasarkan teorema (3.1.3). Misalkan juga, diberikan sembarang
dan pemetaannya,
dan Diperoleh, dan Karena
operator yang linear maka untuk sembarang skalar
mengakibatkan,
Karena,
untuk
, hal ini mengakibatkan,
35
Akibatnya diperoleh bahwa c)
merupakan operator yang linear.
dan pembuktian
seperti
ada sehingga dengan menggunakan
pada
teorema
3.1.3
(b)
diatas
diperoleh
. Dipilih
elemen
sehingga
dari sembarang ruang vektor
, ... ,
Karena dim
untuk suatu
, himpunan
.
harus bergantung linear.
Akibatnya,
untuk suatu skalar Karena
yang tidak semuanya nol.
linear dan
,
Hal ini menunjukan bahwa, bergantung linear karena asumsi bahwa bahwa
merupakan himpunan yang
tidak semuanya sama dengan nol. Berdasarkan
dipilih dari sembarang ruang vektor, sehingga diperoleh subset tidak bebas linear dari
elemen. Berdasarkan definisi mengakibatkan bahwa
atau dari sembarang . Hal ini
36
menunjukan bahwa,
atau dengan kata lain
maksimumnya adalah
yang sama dengan
.
3.1.5 Lemma (Invers dari Perkalian) dan
Misalkan dimana
merupakan operator linear yang bijektif,
merupakan dari
ruang
vektor,
maka
invers
perkalian
ada dan
Bukti: Misalkan
merupakan operator linear yang bijektif dan
merupakan operator linear yang bijektif sedemikian sehingga
ada.
Akibatnya,
dimana
Berdasarkan asumsi,
operator yang linear sedemikian sehingga
ada. Oleh karena itu, bahwa, (6) (7)
merupakan operator identitas pada .
(operator identitas pada ), sehingga diperoleh
37
Gambar 7. Operator Linear Bijektif Juga karena
(operator identitas pada
), sehingga berdasarkan (7)
maka diperoleh, (8) (9) Jadi berdasarkan (8) dan (9) diperoleh,
3.2 Operator Terbatas dan Operator Linear yang Kontinu 3.2.1 Definisi (Operator Linear Terbatas) Misalkan
ruang norm dan
dimana
. Operator
merupakan operator linear,
terbatas jika terdapat suatu
sedemikian
sehingga (1) dimana
.
Perhatikan (1) dimana dalam bentuk pembagiannya diperoleh bahwa,
38
Hal ini menunjukan bahwa,
harus merupakan supremum dari
mengambil domainnya adalah
. Katakanlah
dengan sedemikian
sehingga,
dikatakan sebagai norm dari operator
. Jika domain
sedemikian sehingga
kita dapat mendefinisikan
, maka , karena
(3.1.4). Karena
maka diperoleh,
(3) 3.2.2 Lemma (Norm) Misalkan
operator linear terbatas, maka
a) Norm
b) Norm
adalah
yang didefinisikan pada (2) jika dan
dan
sehingga
maka,
Bukti: a) Misalkan , maka
operator linear yang terbatas dan .
,
dimana
39
Karena
operator linear maka,
Karena
maka persamaan diatas menjadi,
,
b) Misalkan . Jadi
dan
akan ditunjukan
untuk setiap
.
Selanjutnya,
untuk setiap
.
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa,
untuk setiap
.
3.2.3 Teorema (Dimensi Hingga) Jika suatu ruang norm
berdimensi berhingga, maka setiap operator linear pada
terbatas. Bukti: Misalkan dimensi
atau
Misalkan juga diberikan sembarang operator linear pada .
dan
merupakan basis untuk dan anggap
.
sembarang
40
Karena
linear maka,
dimana
. dan
Akibatnya berdasarkan Definisi (2.1.10) dengan
, jumlah
terakhir dari ketaksamaan diatas menjadi,
Sehingga, dimana
(4)
Berdasarkan (4) dan (1) maka diperoleh bahwa
terbatas.
3.2.4 Teorema (Kekontinuan dan Keterbatasan) Misalkan
merupakan operator yang linear, dimana
dan
keduanya ruang norm, maka a)
kontinu jika dan hanya jika
b) Jika
terbatas
kontinu pada suatu titik tunggal maka
kontinu
Bukti: a)
diketahui Misalkan
kontinu akan ditunjukan
kontinu pada sembarang titik, katakanlan
Misalkan juga diberikan sembarang sehingga,
terbatas
terdapat
. sedemikian
41
(5)
Untuk setiap
mengakibatkan
sehingga
sedemikian
. di
Sekarang ambil sembarang
, akibatnya
maka Karena
linear maka berdasarkan (5) mengakibatkan,
, maka
Misalkan
Jadi
terbatas.
diketahui Misalkan
terbatas akan ditunjukan
kontinu.
terbatas dan anggap sembarang kontinu di
ditunjukan bahwa maka terdapat
sehingga akan
. Misalkan juga diberikan sembarang
sedemikian sehingga, dimana
Karena
linear maka untuk setiap
Karena
sembarang maka
3.2.5 Akibat (Kekontinuan, Ruang Null) Misalkan a) Jika
operator linear terbatas maka , dimana
maka
mengakibatkan,
kontinu.
42
b) Ruang null
tertutup
Bukti: a) Misalkan
, dimana
, akan ditunjukan bahwa
Hal ini dikarenakan
sedemikian sehingga
Akibatnya,
.
Jadi,
.
.
b) Akan ditunjukan bahwa ruang null
tertutup
Berdasarkan teorema closure dan himpunan tutup, maka untuk setiap sembarang, terdapat barisan
di
sedemikian sehingga
dan dari bagian (a) mengakibatkan
. Misalkan
. Karena berdasarkan definisi dari ruang null
maka
himpunan dari semua Karena
mengakibatkan
sembarang, maka
, sehingga
dimana .
tutup.
3.2.6 Definisi (Dua Operator yang Sama) Dua operator
jika
dan
didefinisikan sama maka ditulis,
keduanya memiliki domain yang sama , untuk setiap Pembatas dari suatu operator
dan dinotasikan oleh,
dan jika
. ke suatu subset
43
dan operator pembatas ini didefinisikan oleh, dan
untuk setiap
Serta suatu operator perluasan dari
ke suatu himpunan
didefinisikan oleh, sedemikian sehingga sehingga,
untuk setiap
(karena
merupakan
ke domain
). 3.2.7 Teorema (Perluasan Linear Terbatas) merupakan operator linear terbatas, dimana
Misalkan dan
adalah ruang Banach, maka
dimana
memiliki perluasan,
operator linear terbatas dari,
Bukti: Misalkan diberikan sembarang
, sehingga berdasarkan teorema closure
dan himpunan tutup mengakibatkan, terdapat barisan sehingga Karena
di
sedemikian
. linear dan terbatas maka,
Akibatnya,
merupakan barisan Cauchy sebab
barisan yang konvergen.
44
Berdasarkan asumsi
adalah ruang Banach hal ini mengakibatkan
sedemikian sehingga
konvergen, katakanlah
Selanjutnya didefinisikan
oleh,
lengkap
.
Karena berdasarkan definisi bahwa setiap barisan akan konvergen ke limit yang sama, katakan jika
dan
maka
, dimana
adalah
barisan dari,
Karena
konvergen maka dua subbarisan
dan
harus memiliki limit yang sama. Hal ini menunjukan bahwa, pada setiap Jelas,
didefinisikan unik
.
linear sebab
dan
untuk setiap dan berdasarkan asumsi
Jadi,
dari
sebab,
sedemikian sehingga
, akibatnya
merupakan perluasan dari .
3.2.8 Definisi (Sesquilinear form) Misalkan
, disebut bentuk sesquilinear yang linear atau fungsi
sesquilinear yang linear dimana subruang
.
45
Jika untuk setiap skalar
dan untuk setiap
serta untuk setiap
maka,
a) b) c) d) e)
, dimana
operator linear terbatas
46
3.3 Operator Hilbert-Adjoint 3.3.1 Definisi (Operator Hilbert-adjoint Misalkan dan
)
merupakan operator linear yang terbatas, dimana
keduanya merupakan ruang Hhilbert, maka operator adjoint
dari
adalah suatu operator Hilbert-adjoint,
sedemikian sehingga untuk setiap
dan untuk setiap
(1) Yang perlu diperhatikan bahwa jika diberikan
sedemikian sehingga
ada.
3.3.2 Teorema (Existensi) Misalkan operator Hilbert-adjoint
dari , dimana
ada maka
unik dan merupakan operator linear yang terbatas dengan norm (2) Bukti: Misalkan
ada, diperoleh
misalkan juga bahwa,
merupakan bentuk sesquilinear pada
karena hasil kali dalamnya merupakan sesquilinear (Definisi (3.2.8) dan
merupakan operator yang linear.
Untuk sembarang skalar
maka diperoleh,
47
terbatas, hal ini diperoleh dari ketaksamaan schwarz
(3) Berdasarkan definisi, untuk kasus
merupakan operator linear yang terbatas, sehingga
maka diperoleh,
Akibatnya diperoleh bahwa
.
Sehingga berdasarkan (3) dan (4) diperoleh bahwa (4) berdasarkan Teorema (2.3.4) representasi Riesz dengan menggantikan mengakibatkan, (5) juga berdasarkan representasi Riesz menyatakan bahwa, (6) Akibatnya berdasarkan (5) dan (7) diperoleh,
Jadi teorema terbukti. 3.3.3 Lemma (Operator Nol)
48
Misalkan
dan
merupakan ruang hasil kali dalam dan
merupakan operator linear yang terbatas, maka: a)
jika dan hanya jika
untuk setiap
dan untuk
setiap , dimana
b) Jika untuk setiap
merupakan ruang kompleks dan
maka
Bukti: a)
diketahui
akan ditunjukan
untuk setiap
dan
untuk setiap
dan
.
untuk setiap Misalkan
hal ini menyatakan bahwa
mengakibatkan,
diketahui ditunjukan
Misalkan akibatnya:
dan untuk setiap
akan
.
Misalkan bahwa
untuk setiap
untuk setiap , untuk setiap juga,
dan untuk setiap
, ini berarti
dengan
,
. Q
49
untuk
, sedemikian sehingga
Karena
.
, hal ini mengakibatkan
dengan
,
.
sehingga Jadi, Q
sedemikian sehingga
b) Misalkan
dan
. dengan
Akibatnya,
Berdasarkan asumsi maka persamaan (1) dan untuk
, maka diperoleh,
(2) Sedangkan untuk untuk
dan untuk
mengakibatkan persamaan
(1) menjadi, (3) Berdasarkan (2) dan (3) dengan menjumlahkannya maka diperoleh,
Berdasarkan pembuktian
mengakibatkan
.
3.3.4 Teorema (Kelengkapan dari Operator Hilbert-adjoint) Misalkan
merupakan ruang Hilbert, dimana
dan
dimana keduanya merupakan operator linear yang terbatas dan untuk sembarang skalar , maka a)
,
50
b) c) d) e) f) g)
, dengan mengasumsikan bahwa
Bukti: a) Misalkan
dan
merupakan operator yang linear
maka berdasarkan definisi (3.3.1) operator Hilbert-adjoint diperoleh:
untuk setiap
dan untuk setiap
Juga berdasarkan Definisi (2.2.2) berlaku (1) akan ditunjukan
b)
Misalkan untuk setiap
sedemikian sehingga,
c) Sebelum membuktikannya, bagian (c) diatas mempunyai bentuk yang sama dengan
.
Juga berdasarkan Definisi (2.2.2) berlaku
51
Akibatnya,
Jadi, d) Dengan menggunakan definisi (3.3.1) operator Hilbert-adjoint
dan dari
(a) maka:
Hal ini berarti bahwa,
e) Misalkan untuk setiap
dan
dan supremum
menggunakan ketaksamaan Schwarz diperoleh,
Sehingga berdasarkan asumsi maka diperoleh,
Selanjutnnya,
Akibatnya, Dengan menggantikan,
dengan
maka diperoleh,
diatas maka dengan
52
berdasarkan (d). Akibatnya diperoleh,
Dimana
f) Berdasarkan (6e) maka (6f) terbukti. g) Misalkan
operator yang linear. Akibatnya berdasarkan (1) diperoleh,
3.4 Self-adjoint, Unitary dan Operator Normal 3.4.1 Definisi (Self-adjoint, Unitary, dan Operator Normal) Suatu operator linear terbatas
pada ruang Hilbert
merupakan
suatu Self-adjoint atau hermitian jika Unitary jika
bijektif dan
Normal jika Operator adjoint
dari
yang telah didefinisikan sebelumnya menyatakan
bahwa,
Jika
self-adjoint maka rumus diatas akan menjadi,
53
(1) Jika
self-adjoint atau unitary maka
sebaliknya sebab, jika
adalah operator normal. Tetapi tidak
operator normal belum tentu
self-adjoint atau
unitary. 3.4.2 Teorema (Self-Adjoint) Misalkan
merupakan operator yang linear pada ruang Hilbert
,
maka, a) Jika b) Jika
self-adjoint, maka
elemen bilangan real untuk setiap
merupakan ruang yang kompleks dan
real maka operator
elemen bilangan
self-adjoint.
Bukti: a) Jika
self adjoint maka berdasarkan definisi diperoleh,
untuk setiap
.
Perhatikan persamaan bagian kanan,
Jadi diperoleh bahwa
. Akibatnya,
elemen bilangan
real. b) Jika
Karena,
elemen bilangan real untuk setiap
maka
54
dan Jadi,
, sebab
kompleks.
operator yang self-adjoint.
3.4.3 Teorema (Perkalian dari Self-Adjoint) Perkalian dari dua operator linear self-adjoint yang terbatas ruang Hilbert
dan
pada
adalah self adjoint jika dan hanya jika merupakan operator
komutatif dan (2) Bukti: diketahui
akan ditunjukan
dan
operator yang self-adjoint
Sehingga berdasarkan Teorema (3.2.4(g)) diperoleh,
jika
dan
operator yang self-adjoint maka
Berdasarkan Teorema (3.2.4(g)) diperoleh,
Misalkan
dua operator linear self-adjoint yang terbatas, diperoleh, dan
Akibatnya, dan Jadi diperoleh
.
3.4.4 Teorema (Barisan dari Operator Self-adjoint)
55
Misalkan
merupakan barisan dari operator linear self-adjoint yang
terbatas, dimana
pada suatu ruang Hilbert konvergen ke
konvergen, katakanlah
. Didefinisikan
dan ditulis,
sedemikian sehingga dimana ekspresi pada limit operator
merupakan norm pada ruang banach
, maka
merupakan operator linear self-adjoint yang terbatas pada
.
Bukti: Misalkan
dan
terbatas dan barisan
konvergen ke
akan ditunjukan bahwa,
barisan dari operator linear self-adjoint yang sedemikian sehingga,
.
Dengan menggunakan Teorema (3.2.4) diperoleh,
Sehingga berdasarkan Lemma (2.3.1) diperoleh,
Karena,
akibatnya,
.
