OPERATOR PADA RUANG HILBERT SKRIPSI

OPERATOR PADA RUANG HILBERT

SKRIPSI

oleh: FARIDHATUN NASIKAH NIM. 07610086

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011


SKRIPSI

Diajukan Kepada Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)


JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011


SKRIPSI


Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji Tanggal: 14 Januari 2011 Pembimbing I,

Pembimbing II,

Hairur Rahman, M.Si NIP. 19800429 200604 1 003

Dr. H. Munirul Abidin, M.Ag NIP. 19720420 200212 1 003

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001


SKRIPSI


Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 22 Januari 2011 Penguji Utama Ketua Penguji Sekretaris Penguji Anggota Penguji

: Usman Pagalay, M. Si NIP.19650414 200312 1 001 : Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001 : Hairur Rahman, M.Si NIP. 19800429 200604 1 003 : Dr. H. Munirul Abidin, M.Ag NIP. 19720420 200212 1 003 Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika


……………………… ……………………… ……………………… ………………………

PERSEMBAHAN

Dengan untaian syukur Alhamdulillah, karya ini dipersembahkan kepada: 1. Bapak Nuroddin Ali dan Ibu Siti Munawaroh yang selalu memberikan dukungan, dorongan, semangat, motivasi dan selalu mendo’akan dalam setiap langkah. Semoga Allah membalas semua amal ibadahnya dan meridhoi do’a-do’anya. 2. Adik Muhammad Irfan Nudin dan Chilyatul ‘Auliya Nur Rohmah yang selalu menjadi penyemangat dan motivasi dalam proses penyelesaian skripsi ini.

MOTTO

! “Dan dirikanlah sembahyang itu pada kedua tepi siang (pagi dan petang) dan pada bahagian permulaan daripada malam. Sesungguhnya perbuatan-perbuatan yang baik itu menghapuskan (dosa) perbuatan-perbuatan yang buruk. Itulah peringatan bagi orang-orang yang ingat.” (Q.S. Huud: 114)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji Syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, taufiq serta Hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Shalawat serta salam senantiasa terlantunkan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah membimbing ke jalan yang lurus dan jalan yang di ridhoi-Nya yakni agama Islam. Berkat bantuan, bimbingan dan dorongan dari berbagai pihak, maka penulis mengucapkan banyak terimakasih dan hanya ungkapan serta doa yang penulis berikan, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan dan menyinari jalan yang diridhoi-Nya, khususnya kepada: 1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, sebagai rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang 2. Prof. Drs. Sutiman B. Sumitro, SU, D.Sc sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang 3. Abdussakir, M.Pd, sebagai Ketua Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang 4. Hairur Rahman, M.Si, dan Dr. H. Munirul Abidin, M.Ag sebagai dosen pembimbing skripsi, yang telah memberikan bimbingan dan arahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. 5. Ayahanda Nuroddin Ali, Ibunda Siti Munawaroh, Adik Muhammad Irfan Nudin dan Chilyatul ‘Auliya Nur Rohmah tercinta serta segenap keluarga yang telah memberikan do’a, dukungan dan motivasi kepada penulis.

i

6. Buat Khoirul Anwar yang selalu memberi motivasi, dorongan dan selalu menemaniku dikala susah dan senang. Terimakasih atas semuanya semoga Allah membalas semuanya. 7. Ayahanda Mochammad Sholehuddin dan Ibunda Sulati Utami Ningsih yang selalu memberikan kasih sayang tiada tara ukurannya dan motivasi yang tidak pernah terlupakan. 8. Teman-teman di Madrasah Aliyah Negeri (MAN) Tulungagung 2 yaitu Debry Kurniasari, Barit Fatchur Rosadi, Diya’ Uddin, Yusnia Fatmawati, Agus Riyanto dan Afif yang berjuang bersama-sama. Motivasi kalian semua akan selalu dikenang dan diingat selamanya. 9. Sahabat-sahabat di SFC yaitu Siti Afiyah Diniyati, Lia Fitrotul Chusna, Lailiatul Mubtadi’ah dan Diah Ayu Resmi yang selalu memberi dorongan, motivasi, nasehat, dan membantu. Persahabatan ini akan selalu dikenang dan diingat selamanya. 10. Seluruh angkatan 2007 diantaranya Mohammad Safi’i, Emma Provita Rahma, Silva Ahmad Adini, Yulis Sya’idah dan semuanya saja yang berjuang bersama-sama untuk mencapai kesuksesan yang telah diimpikan. Masa-masa bersama kalian semua merupakan cerita tersendiri dan tidak akan bisa dilupakan. 11. Seluruh penghuni Mabna Ummu Salamah 12, Wisma Dahlia dan Wisma Melati 12. Kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini, yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga skripsi ini bermanfaat. Amin… Malang, 14 Januari 2011

Penulis ii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL HALAMAN JUDUL HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN PERSEMBAHAN HALAMAN MOTTO HALAMAN KATA PENGANTAR .......................................................... i HALAMAN DAFTAR ISI ......................................................................... iv HALAMAN DAFTAR LAMBANG .......................................................... vi ABSTRAK ................................................................................................... vii ABSTRACT .................................................................................................. viii BAB I: PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .......................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ..................................................................... 4 1.3 Tujuan Penelitian ....................................................................... 4 1.4 Manfaat Penelitian ..................................................................... 4 1.5 Batasan Masalah ........................................................................ 5 1.6 Metode Penelitian ...................................................................... 5 1.7 Sistematika Penulisan ................................................................ 6 BAB II: KAJIAN PUSTAKA 2.1 Terbatas dan Supremum ............................................................ 8 2.2 Ruang Vektor ............................................................................ 9 iii

2.3 Ruang Metriks ............................................................................ 14 2.4 Ruang Hasil Kali Dalam............................................................ 17 2.5 Ruang Norm .............................................................................. 29 2.6 Ruang Hilbert ............................................................................ 35 2.7 Operator Linier ........................................................................... 39 BAB III: PEMBAHASAN 3.1 Operator Adjoint ........................................................................ 44 3.2 Operator Normal......................................................................... 52 3.3 Operator Self-Adjoint .................................................................. 55 3.4 Operator Uniter........................................................................... 58 3.5 Kajian Agama ............................................................................ 61 BAB IV: PENUTUP 4.1 Kesimpulan ................................................................................ 66 4.2 Saran .......................................................................................... 67 DAFTAR PUSTAKA

iv

DAFTAR LAMBANG

Ruang fungsi terbatas Ruang operator linier terbatas Bilangan kompleks Ruang fungsi kontinu Jarak dari

ke

Norm fungsi linier terbatas pada Operator identitas Infimum (batas bawah terbesar) Ruang fungsi lebesgue Bilangan Real Supremum (batas atas terkecil) Norm operator linier terbatas pada Operator adjoint pada ruang Hilbert Vektor Invers penjumlahan Norm Hasil kali dalam

dan

!!!!!!!

Konjugate dari

"!

Konjugate dari "

#

Anggota

$

Untuk setiap

%

Terdapat&

'

Konvergen ke

(

Vektor nol

)*

Komplemen orthogonal dari subspace tertutup )

v

ABSTRAK Nasikah, Faridhatun. 2011. Operator Pada Ruang Hilbert. Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Hairur Rahman, M. Si (II) Dr. H. Munirul Abidin, M.Ag Salah satu permasalahan pada analisis fungsional adalah operator linier. Operator linier didefinisikan: Diberikan + dan , dua ruang vektor. Operator -&+& ' &, disebut operator linier jika memenuhi dua kondisi berikut ini: . "

/ /"

.

&&&&&0 $

#+

&&&&0 $ # + " # 1&

dimana 1 field Operator linier tidak hanya terdapat pada ruang vector tetapi berlaku juga pada ruang norm, ruang metrics dan ruang Hilbert. Manfaat dari adanya operator pada ruang Hilbert banyak sekali diantaranya menimbulkan pemikiran baru tentang fisika quantum. Pembahasan tentang operator ruang Hilbert bermacam-macam, tetapi pada penelitian ini pembahasan operator ruang Hilbert pada ruang Hilbert yang kompleks. Operator pada ruang Hilbert yaitu operator Adjoint, Operator Normal, operator self-adjoit dan operator uniter. Pada penelitian ini memperoleh sifat-sifat yang berlaku pada operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter. Kata kunci: ruang hasil kali dalam, ruang Hilbert, operator linier, dan operator linier terbatas

vi

ABSTRACT Nasikah, Faridhatun. 2011. Normal, Self-Adjoit dan Unitary Operators on Hilbert Space. Thesis. Department of mathematics. Faculty of Science and Technology. State Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang Advisiors: (I) Hairur Rahman, M. Si (II) Dr. H. Munirul Abidin, M.Ag One of the topics in functional analysis is a linear operator. Linear operator is defined: Given + and , are two vector spaces. Operator -&+& ' &, is called a linear operator if it satisfies the following two conditions: . "

/ /"

.

&&&&&0 $

#+

&&&&0 $ # + " # 1&

Where 1 is a field. Linear operators are not only found in vector space, but applies also to the norm space, metrics space and Hilbert space. Benefits of the operator on Hilbert space, is generatins new ideas about physics quantum. Previous studied have been done of operators on Hilbert space, but this study focuses of operators on a complex Hilbert space. Operators on the Hilbert space are adjoint operator, normal operator, selfadjoit operator and unitary operator. This research acquirs the properties that apply to the adjoint operator, normal operator, self-adjoint operator and unitary operator. Keywords: inner product space, Hilbert space, linear operators, bounded linear operators

vii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Menuntut ilmu merupakan kewajiban bagi semua umat Islam (muslim), hal tersebut ditegaskan dalam hadits tersebut:

Artinya: “Menuntut Ilmu merupakan kewajiban bagi kaum muslim laki-laki dan perempuan.” Pada hadits di atas jelas bahwa menuntut atau mencari ilmu itu hukumnya wajib bagi kaum muslim laki-laki maupun perempuan. Tidak ada perbedaan antara kaum laki-laki maupun perempuan dalam mencari ilmu. Jenis kelamin laki-laki maupun perempuan bukan merupakan penghalang untuk mencari ilmu. Selain hadits di atas masih banyak lagi dalil-dalil yang berkaitan dengan menuntut ilmu, seperti firman Allah pada surat Al-Mujaadilah ayat 11 ...

Artinya: “…Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat. dan Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan.” Pada Surat Al-Mujaadilah ayat 11 dijelaskan bahwa keutamaan orang yang mempunyai ilmu. Dijelaskan bahwa Allah akan memberikan kemuliaan berupa pengangkatan derajat.

Selain mempelajari ilmu agama sudah seharusnya mempelajari ilmu dunia. Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang harus dipelajari. Secara bahasa, kata “matematika“ berasal dari bahasa Yunani yaitu “mathema” atau mungkin juga “mathematikos” yang artinya hal-hal yang dipelajari. Orang Belanda menyebut matematika dengan wiskunde yang artinya ilmu pasti. Sedangkan orang Arab menyebut matematika dengan ‘ilmu al-hisab, artinya ilmu berhitung. Secara istilah, sampai saat ini belum ada definisi yang tepat mengenai matematika. Definisi-definisi yang dibuat para ahli matematika semuanya benar berdasar sudut pandang tertentu. Meskipun belum ada definisi yang tepat, matematika mempunyai ciri kas yang tidak dimiliki pengetahuan lain, yaitu merupakan abstraksi dari dunia nyata, menggunakan bahasa symbol, dan menganut pola pikir deduktif (pola berpikir yang didasarkan pada kebenarankebenaran yang secara umum sudah terbukti benar)(Abdusysyakir, 2007: 5-9). Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah. Bahasa matematika merupakan suatu bahasa yang menjadikan suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis dan dipecahkan(Purwanto, 1997:1). Matematika merupakan ilmu pengetahuan dasar yang dibutuhkan semua manusia dalam kehidupan seharihari baik secara langsung maupun tidak langsung. Matematika merupakan ilmu yang tidak lepas dari alam dan agama, yang semuanya dapat dilihat dalam AlQur’an. Alam semesta ini banyak mengandung rahasia tentang fenomenafenomena alam. Namun keberadaan fenomena-fenomena itu sendiri hanya dapat

diketahui oleh orang-orang yang benar-benar mengerti arti kebesaran Allah SWT(Rahman, 2007:1). Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang mendasari berbagai macam ilmu lain, dimana matematika selalu menghadapi berbagai macam fenomena yang semakin kompleks. Hal ini disebabkan oleh kemajuan IPTEK (Ilmu Pengetahuan dan Teknologi). Penghitungan matematika menjadi dasar bagi desain ilmu teknik, fisika, kimia maupun disiplin ilmu lainnya. Para ahli dari berbagai disiplin ilmu, menggunakan matematika untuk berbagai keperluan yang berkaitan dengan keilmuan mereka. Salah satu materi dari ilmu matematika adalah analisis fungsional, khususnya ruang Hilbert. David Hilbert (1862-1943) adalah orang yang telah menemukan ruang Hilbert. Dia adalah salah seorang matematikawan Jerman. dia juga salah satu matematikawan paling berpengaruh dari abad ke-19 sampai awal abad ke-20. Konsep ruang Hilbert ini berguna dalam analisis matematika dan mekanika quantum. Operator linier adalah pemetaan antara dua ruang fungsi atau pemetaan dari ruang vector ke ruang vector, atau pemetaan dari ruang Banach ke ruang Banach atau pemetaan dari ruang Hilbert ke ruang Hilbert. Operator linier tersebut dapat bernilai real ataupun kompleks. Andaikan vector. Sebuah operator linier kondisi sebagai berikut:

dan

adalah dua buah ruang

adalah operator linier yang memenuhi dua

dimana

adalah field(Bishop, Bridges. 1985: 301). Operator linier yang terbatas pada ruang Hilbert dinamakan operator linier

pada ruang Hilbert. Operator pada ruang Hilbert antara lain operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter. Pada penelitian ini mencari sifat-sifat yang berlaku pada operator adjoint, operator normal, operator self adjoint dan operator normal. 1.2 Rumusan Masalah Pada penelitian ini rumusan masalah yang sesuai dengan penelitian ini adalah : Bagaimana karakteristik dari operator pada ruang Hilbert? 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan diadakannya penelitian ini adalah: Mendeskripsikan dan menjelaskan tentang karakteristik dari operator pada ruang Hilbert. 1.4

Manfaat Penelitian 1.

Peneliti Penelitian ini bermanfaat bagi peneliti untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu yang telah dipelajari, khususnya bidang analisis untuk mengkaji lebih lanjut tentang operator pada ruang Hilbert.

2. Pembaca Penelitian ini bermanfaat bagi pembaca untuk menambah khazanah keilmuan dan sebagai titik awal pembahasan yang bisa dilanjutkan atau dikembangkan.

3. Instansi Penelitian ini bermanfaat bagi instansi untuk menambah perbendaharaan karya tulis ilmiah khususnya di bidang analisis, sehingga dapat memberikan informasi ilmiah tentang ilmu analisis dalam matematika khususnya yang berkaitan dengan operator pada ruang Hilbert. 1.5

Batasan Masalah Batasan masalah digunakan untuk menghindari agar pembahasan tidak

semakin meluas dan tidak sesuai dengan rumusan masalah yang ada di atas. Pada penelitian ini peneliti membatasi pembahasan pada ruang Hilbert di bilangan kompleks. 1.6

Metode Penelitian Jenis dari penelitian ini adalah deskriptif kualitatif dan penelitian ini

merupakan penelitian kepustakaan (library research). Penelitian kepustakaan (library research) yaitu penelitian yang dilaksanakan dengan menggunakan literatur (kepustakaan), baik berupa buku, catatan, jurnal maupun laporan hasil penelitian dari peneliti terdahulu yang berkaitan atau berhubungan dengan penelitian(Hasan. 2002:11). Penelitian ini menggunakan metode “studi literatur”, sebab penelitian ini merupakan bentuk kajian. Pengumpulan data dilakukan dengan cara mencari bahan-bahan kepustakaan sebagai landasan teori yang di hubungannya dengan permasalahan yang dijadikan objek penelitian. Pembahasan dilakukan dengan mempelajari berbagai literatur seperti buku-buku cetak, e-book, karya tulis yang disajikan dalam bentuk jurnal, laporan penelitian serta konsultasi dengan dosen

pembimbing. Data yang sudah diperoleh atau didapatkan akan dianalisis dan ditarik kesimpulan. Langkah-langkah penelitian: 1. Merumuskan masalah dalam bentuk kalimat tanya 2. Mencari data dari berbagai referensi berupa definisi, teorema, lemma, proposisi yang berhubungan dengan rumusan masalah 3. Analisis data a) Menyusun konsep atau definisi operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter pada ruang Hilbert yang meliputi definisi dan teorema. b) Membuktikan teorema-teorema yang berhubungan dengan operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter pada ruang Hilbert. c) Membuat contoh-contoh yang berkaitan dengan operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter pada ruang Hilbert. d) Menyelesaikan contoh-contoh yang berkaitan dengan operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter pada ruang Hilbert dengan menerapkan teorema-teorema yang telah dibuktikan. 4. Menarik kesimpulan dari hasil penelitian

1.7

Sistematika Penulisan BAB I

: PENDAHULUAN

Pada bab I pendahuluan berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II : KAJIAN PUSTAKA Pada bab II kajian pustaka berisi tetang teori-teori yang berhubungan dengan penelitian yaitu tentang ruang vektor, ruang hasil kali dalam, ruang norm, ruang Hilbert, operator, operator linier dan operator linier terbatas. BAB III : PEMBAHASAN Pada bab III pembahasan berisi beberapa analisis data yang diperoleh berupa definisi, teorema, lemma, proposisi dan lainnya. Analisis data pembahasan tentang operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter pada ruang Hilbert. Membuat contoh dan menyelesaikan contoh operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter pada ruang Hilbert. BAB IV : PENUTUP Berisi tentang kesimpulan dan saran peneliti untuk penelitian selanjutnya.

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Terbatas dan Supremum Definisi 2.1.1 (Terbatas) Misal

himpunan tak kosong dan

subset dari

Suatu bilangan

disebut batas atas di

jika

untuk setiap

Suatu bilangan

disebut batas bawah di

jika

untuk setiap

S dikatakan terbatas di atas jika mempunyai batas atas. Sama halnya dengan, jika S mempunyai batas bawah maka disebut terbatas di bawah. Jika S mempunyai batas atas dan batas bawah maka disebut terbatas (Bartle & Sherbert, 1944:42-43). Definisi 2.1.2 (Supremum dan Infimum) Misal 1. Jika

himpunan tak kosong dan

subset dari

terbatas di atas, maka batas atas

atas terkecil) dari

disebut Supremum (batas

jika tidak ada bilangan terkecil dari

yang

menjadi batas atas dari . 2. Jika

terbatas di bawah, maka batas bawah

bawah terbesar) dari

disebut infimum (batas

jika tidak ada bilangan terbesar dari

menjadi batas bawah dari

(Bartle & Sherbert. 1994: 42-43)

yang

2.2 Ruang Vektor Definisi 2.2.1 Diberikan

himpunan tak kosong untuk setiap objek-objek, dengan dua

operasi yaitu penjumlahan dan perkalian scalar disebut ruang vektor jika memenuhi aksioma berikut ini: 1. (Sifat komutatif pada operasi penjumlahan) 2. (Sifat assosiatif pada operasi penjumlahan) 3.

Terdapat

maka

( merupakan vektor nol) 4.

!" # $%& () invers

5.

*

#'(%&% )

maka

)

pada operasi penjumlahan) *

(Sifat Assosiatif pada operasi perkalian) 6.

*

*

7. 8. Dimana

dan

*

(Bishop & Bridges, 1995:235).

Contoh 2.2.2 Diberikan + himpunan bilangan kompleks, dengan dua operasi yaitu penjumlahan dan perkalian merupakan ruang vektor.

Selesaian: Misalakan %

,$

-

($

#

.$

+ dan

* %,- (#.

Berdasarkan definisi, suatu himpunan dikatakan ruang vektor jika memenuhi aksioma berikut ini: 1.

(Sifat komutatif pada operasi penjumlahan) %

,$

-

($

%

-

,

( $

-

%

(

, $

-

($

%

,$

Terbukti bahwa 2.

(sifat assosiatif pada operasi penjumlahan) / %

,$

-

($ 0

#

/ %

-

,

( $0

/ %

-

#0

/ ,

(

.0$

/%

-

# 0

/,

(

. 0$

%

,$

/ -

#

(

. $0

%

,$

/ -

($

#

#

.$ .$

.$ 0

Terbukti bahwa 3.

Terdapat

maka %

,$

%

1

%

1

1$

,

1 $

,$

Terbukti bahwa 4.

( sifat komutatif pada operasi penjumlahan)

2

Untuk setiap

34567873)

() invers dari )

,$

%

,$

/) %

1

,), $

1$

) (sifat assosiatif pada operasi perkalian)

*

*

*

* % /

,$

* %

* ,$0

*%

*, $

*% /* %

*,$ ,$ 0

* Terbukti bahwa

,$ 0

)% ) ,$

%)%

5.

)

pada operasi penjumlahan)

%

Terbukti bahwa

maka

*

*

6.

*

*

*

* % % %

,$

,$

*%

*,$

,$

* %

,$

* Terbukti bahwa

*

*

7. / %

,$

%

,$

% %

,$

-

($ 0 ($

-

($

%

Terbukti bahwa 8. %

,$

%

,$

%

,$

Terbukti bahwa Berdasarkan bukti di atas maka + merupakan himpunan ruang vektor. Teorema 2.2.3 Diberikan 1. 1 2.

ruang vektor,

vektor di

dan

skalar, maka:

3. )

)

4. jika

maka

1 atau

Bukti: 1. 1

1

1

1 1

1

)1

1 )1

1 1

1

)1

1 )1

1 Terbukti bahwa 1 2.

)

)

)

)

Terbukti bahwa

2

3. Berdasarkan Definisi 2.1.1 Bagian 10 maka

)

) / 1

)

) )

) 0

Terbukti bahwa )

)

4. Berdasarkan Teorema 2.1.3 Bagian1 maka 1 Sedangkan berdasarkan Teorema 2.1.3 Bagian 2

Telah ditunjukkan bahwa jika

maka

1 or

2.3 Ruang Metriks Definisi 2.3.1 Metriks pada himpunan 9 adalah suatu fungsi ( 9 : 9

; yang

memenuhi aksioma berikut ini. a) (

<1

b) (

1=

c) (

(

d) (

>

(

(

! !" # $%&

>

>

9. Jika ( merupakan metriks pada himpunan 9,

maka pasangan berurutan 9 (

disebut ruang metrics (Goffman &

Pedrick, 1974:1). Contoh 2.3.2 Tunjukkan bahwa fungsi d: ( Adalah metriks pada

?@ ) @

yang didefinisikan dengan AB3AC

;

Selesaian: a) Karena definisi, maka @ ) @

(

< 1, Terbukti bahwa ( b) ( i.

<1

1= (

1D

(

1

@ ) @

1

)

1

Terbukti bahwa ( ii.

(

1E

(

(

1D

@ ) @ 1 Terbukti bahwa (

1E

Maka terbukti bahwa ( c) (

@ ) @ @)

@

1=

@)

)

@

@ ) @ ( Terbukti bahwa ( d) (

>

(

@ ) >@ @ )> @ )

(

) @

@ )

>

@

)>

) >@

@ ) @

@ ) >@

(

(

Terbukti bahwa (

>

>

(

(

> ,

? @ ) @ merupakan metiks pada

Maka ( Definisi 2.3.3 Barisan F

GH

pada ruang metriks 9 ( konvergen ke

setiap I J 1 #'(%&% K (

G

9 jika untuk

L sedemikian sehingga M I ! !" # $%&

Biasanya ditulis dengan N$O G

G

atau

G

GH

pada

9 ( disebut barisan Cauchy jika untuk setiap I J 1 #'(%&% K

L

sedemikian sehingga (

P

G

M I .Q'%NNO

< K (Rynne & Youngson, 2008:12)

Teorema 2.3.4 Setiap barisan konvergen pada ruang metriks merupakan barisan Cauchy.

Bukti: Jika

maka untuk setiap I J 1 terdapat K

G

sehingga (

M

G

I

P

(

G

sedemikian

AB3ACR43S78 < K

Berdasarkan Definisi 2.3.1 bagian d), maka O (

K I

G

(

P

(

Berdasarkan Definisi 2.3.1 bagian c) (

(

P

G

P

G

M

Ini menunjukkan bahwa barisan F

( I

I

G

I

GH

merupakan barisan Cauchy

Definisi 2.3.5 Ruang metriks 9 ( disebut komplet jika untuk setiap barisan Cauchy

pada 9 ( adalah konvergen (Rynne & Youngson, 2008:12). 2.4 Ruang Hasil Kali Dalam Definisi 2.4.1 Diberikan

ruang vektor pada bilangan real. Hasil kali dalam pada

merupakan setiap V W X

fungsi T dan

U

*

1. TV VU < 1 dan TV VU ruang vektor ) 2. TV WU

TW VU

:

sedemikian

1=V

(

sehingga

untuk

merupakan identitas pada

3. T V WU

4. TV

TV WU

TV XU

W XU

TW XU

Pada Bagian 2, Bagian 3 dan Bagian 4 ekuivalen dengan 3’ TV WU 4’ TV W

XU

TV WU

TV XU

TV XU

(Phillips, 1984:279-280 dan Rynne & Youngson, 2008:51). Hasil kali dalam pada

dapat didefinisikan oleh norm sebagai berikut: YVY

ZTV VU

(Kreyszig, 1978:129). Contoh 2.4.2 Suatu fungsi T

U

[

:

[

yang didefinisikan dengan [

TV WU Merupakan hasil kali dalam pada

\

[

G]^

G G

Selesaian Berdasarkan definisi hasil kali dalam maka harus memenuhi; 1. TV VU TV VU

_[G]^ [

\

G]^ ^

G G

` G

`

<1

`

`

a

Terbukti bahwa TV VU < 1

TV VU

1bV

G

`

a) TV VU

1DV

TV VU [

\

G]^ [

\

G]^ ^

1

1

G G

1

` G

`

`

a

G

`

a

G

`

`

1

`

1

Maka ^

`

`

^

a

`

Maka V

1

G

Terbukti bahwa TV VU

b) V T

U

D TV VU

1DV

1

T2 2U [

TV VU

\ 2G 2G

G]^ [

\ 2G `

G]^

2^ ` 1`

TV VU

1

1

2` `

1`

1

Terbukti bahwa V

a

a

a

1

2G `

1`

D TV VU

1

, TV VU < 1 dan TV VU

Terbukti bahwa AB3AC R43S78 V

1=V

merupakan identitas pada ruang vektor ) 2. TV WU

_[G]^

G G

^ ^

` `

^ ^

` `

[

\

a

G G

a

G G

G G

G]^

TW VU

Terbukti bahwa untuk setiap V W 3. T V WU

TV WU dimana

[

T V WU

\

G

G]^ [

\

TW VU

(bilangan real)

G

G G

G]^

[

T V WU

maka TV WU

\

G]^

G G

TV WU

Terbukti bahwa untuk setiap V W T V WU 4. TV

TV WU

W XU

_[G]^ [

\

G]^

G G >G

G

>G

G >G

dan

(bilangan real) maka

(

[

\

G]^ [

\

G]^

G >G G >G

TV XU

[

\

G]^ [

\

G]^

G >G G >G

TW XU

maka TV

Terbukti bahwa untuk setiap V W X

W XU

TV XU

TW XU

Berdasarkan pembuktian di atas, bahwa [

TV WU merupakan hasil kali dalam pada

[

\

G G

G]^

. Jadi

[

merupakan ruang Hilbert.

Definisi 2.4.3 Diberikan ruang vektor pada bilangan kompleks . Hasil kali dalam pada merupakan suatu fungsi T

setiap V W X

*

TV VU < 1

c

d

TV VU T V

TV WU

1=V

*W XU

+;

TV XU

U

:

+ sedemikian sehingga untuk

*TW XU

eeeeeee TW VU (Rynne & Youngson, 2008:53).

Contoh 2.4.4 Suatu fungsi T

U +[ : +[

+ yang didefinisikan dengan TV WU

merupakan hasil kali dalam pada +[

[

\

G]^

G eee G

Selesaian Berdasarkan definisi maka ruang hasil kali dalam harus memenuhi; 1.

TV VU

_[G]^

TV VU

G eee G

^ eee ^

` eee `

a

G eee G

Misalkan: %G

G

eee G

,G $

%G ) ,G $

Maka TV VU

%^

,^ $ %^ ) ,^ $ ,^ ` 0

/%^ `

<1

/%` `

%`

,` ` 0

Terbukti bahwa TV VU < 1 2. TV VU

1=V

a) TV VU

1fV

TV VU [

\

G]^

1

G eee G

^ eee ^

1 ` eee `

^ eee ^

` eee `

a

a

G eee G

G eee G

Maka ^

`

^

`

a a

Sehingga V

G G

2 2

1

1

,` $ %` ) ,` $

a

/%G `

,G ` 0

a

%G

,G $ %G ) ,G $

Terbukti bahwa TV VU f TV VU

b) V

1

[

eee \ 2G 2 G

TV VU

G]^

2^ eee 2^ TV VU

1fV

11 1

eee` 2` 2

11

a

2G eee 2G

a

11

f TV VU

Terbukti bahwa V

1

Berdasarkan bukti pada bagian a) dan bagian b) terbukti bahwa TV VU

3. T V

1=V

_[G]^

*W XU

[

\

G]^ [

\

G]^

[

\

T V

*W XU

G]^

Terbukti bahwa T V

4. TV WU

G eee G

\ eee G

G

G]^

eeeeeee TW VU

>G G eee

* *

G

\*

G]^

eee G> G

[

*\

G]^

*TW XU

*W XU

>eee G

>G G eee

[

>G G eee

TV XU

_[G]^ [

G

>G G eee eee G> G

TV XU

*TW XU

Terbukti bahwa TV WU

eeeeeee TW VU

Berdasarkan pembuktian di atas maka TV WU merupakan hasil kali dalam pada +[

[

\

G]^

G eee G

Definisi 2.4.5 Ruang vektor pada bilangan real atau bilangan kompleks dengan hasil kali dalam maka disebut ruang hasil kali dalam (Rynne & Youngson, 2008:53). Contoh 2.4.6 Sesuai dengan Contoh 2.4.2 maka

[

merupakan ruang hasil kali dalam

dengan hasil kali dalam TV WU Sesuai dengan Contoh 2.4.4 maka +[ TV WU

[

\

G]^

[

\

G]^

G G

G eee G

Teorema 2.4.7 Diberikan

ruang hasil kali dalam, maka;

1. T WU

TV

2. TV W

3. T V

*XU

*W V

R43S78 V W X

U

1

eTV WU *WU

dan

*g TV XU

@ @` TV VU

*

*g TV WU

* eTW VU

@*@` TW WU

(Rynne & Youngson, 2008:56)

Bukti: 1. Th WU

a) Ti WU Ti WU

b) TV hU

TV hU

1

T1 j h WU 1Th WU

1

eeeeeee Th VU

eeeeeeeeeee T1 j h VU

eeeeeeeee 1Th VU 1e

c) Th WU

1

TV hU

Maka Th WU

TV hU

1

2. Berdasarkan Definisi 2.4.3 Bagian 4 maka TV W

TV W

*XU

*XU

Teeeeeeeeeeeeeeee W *X VU

Teeeeeeeee W VU

eeeeeeeee TW VU eTV WU

Terbukti bahwa TV W 3. T V

*W V

eeeeeeeee T*X VU

*WU

eeeeeeeee *TX VU

*XU

*g TV XU

eTV WU

@ @` TV VU

*g TV XU

*g TV WU

* eTW VU

Berdasarkan teorema 2.4.7 Bagian 2 maka T V

*W V

*WU

eT V

*W VU

*g T V

*W WU

@*@` TW WU

T V

*W V

*g *TW WU

e TV VU

*WU

@ @` TV VU

*g TV WU

* eTW VU

@*@` TW WU

*WU

@ @` TV VU

*g TV WU

* eTW VU

@*@` TW WU

@ @` dan *g *

Misalkan e

*g TV WU

*WU

e*TW VU

@*@`

Maka T V

*W V

Terbukti bahwa T V

*W V

Contoh 2.4.8 Suatu fungsi T

U +[ : +[

+ didefinisikan T

[

U

\

G]^

G eee G

Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memenuhi dengan Teorema 2.4.7 Selesaian: 1. Th WU

TV hU

a) Th WU

Th WU

1

_[G]^ 2G eee G 2^ eee^

1 eee^ 1

1

2` eee`

1

1 eee`

_[G]^ eee

^ 2^ ^ 2^ ^1

a

a

Terbukti bahwa Th WU b) TV hU

a

eee

G 2G

1

1 eee G

1

eee

` 2` ` 2`

`1

2G eee G

a a

a

eee

G 2G G 2G

G1

1

1

1

a

1

Terbukti bahwa TV hU

c) Th WU

1

TV hU

Akan ditunjukkan

2. TV W

*XU

Th WU

TV hU

*g TV XU

eTV WU

1

Berdasarkan Definisi 2.3.3 Bagian 4 maka TV W

*XU

[

\

G]^ [

\

G]^ [

\

G]^

G

*W V

G]^

eTV WU

*WU

[

eeeee

\

G]^

G *>G [

*g \

G eee G

Terbukti bahwa TV W

3. T V

G *>G

G eeeee G

e\ *XU

eeeee

G eeeee G

[

TV W

eeeeeeeeeeeeeeee *>G G

G]^

eee G> G

*g TV XU

*XU

@ @` TV VU

eTV WU

*g TV XU

*g TV WU

* eTW VU

@*@` TW WU

Berdasarkan Teorema 2.4.7 Bagian 2 maka T V

*W V

*WU

[

e\

G]^

*

eee G

[

*g \

G]^

* eee G

[

e k\

eee G

G]^

[

e k \ eee G G]^

T V

*W V

Misalkan e maka T V

*WU

[

e TV VU

@ @` dan *g *

*W V

*WU

[

*g k\

\ * eee Gl

G]^

G]^

[

G]^

e * \ eee G G]^

@*@`

@ @` TV VU

eee G

\ * eee Gl

G]^

[

G]^

[

*g \ eee G

*g TV WU

e*TW VU

[

*g k \ eee G

* \ eee Gl [

e \ eee G G]^

[

*g TV WU

G]^

* \ eee Gl G]^

[

*g * \ eee G

*g *TW WU

* eTW VU

[

G]^

@*@` TW WU

Terbukti bahwa T V

*W V

*WU

*g TV WU

@ @` TV VU

* eTW VU

@*@` TW WU

Berdasarkan pembuktian pada Bagian 1, Bagian 2 dan Bagian 3 maka terbukti bahwa T

U

[

\

G]^

G eee G

memenuhi Teorema 2.4.7 Berdasarkan Definisi 2.4.3 bagian 3 ditunjukkan bahwa ruang hasil kali dalam bersifat linier. Berdasarkan Definisi 2.4.7 Bagian 2 dimana e dan *g konjugate linier. Kedua bentuk tersebut apabila berlaku bersama-sama pada ruang hasil kali dalam maka disebut sesquilinear (Kreyszig, 1978:130).

2.5 Ruang Norm Definition 2.5.1 (Norm) Diberikan

ruang vektor pada

YY

. Norm pada

merupakan suatu fungsi

sedemikian sehingga:

1. YVY < 1 2. YVY

3. Y%VY

4. YV

1=V

WY

@%@YVY

YVY

YWY

dimana untuk setiap V W

ketaksamaan segitiga dan %

. (Kreyszig, 1978:31-32)

Contoh 2.5.2 Pada contoh ruang hasil kali dalam pada bilangan real didefinisikan bahwa TV VU

G

\ m]^

G G

Tunjukkan bahwa fungsi Y Y merupakan norm pada . Selesaian: Berdasarkan Definisi 2.6.1 YVY YVY 1. YVY 2. YVY

_Gm]^@ m @`

<1

1

n o

ZTV VU maka G

k\@ m]^

G@

`

l

^ `

G

k\@ m @` l

^ `

1

m]^

@ ^ @`

@ ` @`

@ ^ @` ^

@ ` @` `

V

a

3. Y%VY

@

a

a

^

_Gm]^@% m @`

Y%VY

@

G@

G@

^ ` `

`

1

1

1

n o

AB3ACR43S78 V

^ `

G

k\@%@` @ m @` l m]^

G

k@%@` \@ m @` l

^ `

m]^

^ G ` ^ @%@` ` k\@ m @` l m]^

G

^ `

@%@ k\@ m @` l m]^

4. YV

WY

@%@YVY

_Gm]^@

m

G

k\ @ m @` m]^ G

k\ @ m @` m]^

m@

n

AB3ACR43S78 V W

` o

@ m @@ m @ @ m @` l

^ `

^ `

@ m @` l

%

G

k\@ m @`

\@ m @` l

m]^ G

k\@ m @` l m]^

YVY

^ `

G

^ `

m]^

G

^ `

k\@ m @` l m]^

YWY

Berdasarkan Definisi 2.6.1 bahwa YVY n o

_Gm]^@ m @`

maka YVY

_Gm]^@ m @`

n o

merupakan norm.

Teorema 2.5.3 Diberikan 1. @TV WU@`

ruang hasil kali dalam dan V W TV VUTW WU

2. Suatu fungsi Y Y pada

.maka;

didefinisikan YVY

n

TV VUo merupakan norm

(Rynne & Youngson, 2008:56-57)

Bukti: 1. Jika V

atau W

Hasil bernilai benar, sehingga harus ditunjukkan bahwa nol. Ambil

eeeeeee pTV WU TV VU

dan *

Pada bagian 3 Teorema 2.5.7 diperoleh 1

T V

W V

WU

` eeeeeee eeeeeee TV TV WUTV WU TV WUTW VU WU q TV VU ) ) q TV VU TV VU TV VU

eeeeeee @TV WU@` @TV WU@` TV WUTV WU ) ) TV VU TV VU TV VU

TW WU

TW WU

atau

adalah

@TV WU@` @TV WU@` @TV WU@` ) ) TV VU TV VU TV VU )

@TV WU@` TV VU

@TV WU@` TV VU

TW WU

TW WU

TW WU

Maka @TV WU@`

TV VUTW WU

2. Berdasarkan sifat dari ruang hasil kali dalam maka dapat digunakan untuk mendefinisikan ruang norm: a) YVY

b) YVY

c) Y VY

d) YV

n

TV VUo < 1

n

1 b TV VUo

1=V

n

T V VUo e

^ ` TV

@ @YVY

WY`

TV VU

TV VU

TV VU Karena YV

TV VU

WY`

1

^

VU` TV WU

TW VU

r4TV WU

@TV WU@ ^

TW WU

TW WU

TW WU ^

TV VU` TW WU`

YVY

TW WU

YWY ` , berdasarkan Teorema

berdasarkan Teorema 2.5.3 dapat ditulis YTV WUY

YVYYWY

Ketaksamaan ini disebut ketaksamaan Cauchy-Schwarz


ruang vektor pada

F G H barisan di

barisan F

GH

yang masing-masing konvergen ke V,W pada

barisan di

konvergen ke

1. @YVY ) YWY@

YV ) WY

3. N$OG

G

2. N$OG 4. N$OG

dengan norm Y Y. Diberikan F

sY GY

YVY

s

G

s

G G

V

GH

dan dan

pada , maka;

W

V (Rynne & Youngson, 2008:37)

Bukti: Berdasarkan ketaksamaan segitiga maka YVY

YVY

YVY

YV

W)W Y

Y V)W

YV ) WY

YVY ) YWY

WY

YWY

YV ) WY

.……..…. 2.1

Disisi lain YVY

YVY

YVY

YV

W)W Y

Y V)W

YV ) WY

YVY ) YWY

WY

YWY

YV ) WY

) YVY ) YWY < )YV ) WY )YVY

YWY < )YV ) WY

)YV ) WY

)YV ) WY

YVY ) YWY

YVY ) YWY

YWY ) YVY

YVY ) YWY

YVY ) YWY

YVY ) YWY

)YV ) WY

.………. 2.2

Berdasarkan Persamaan 2.1 dan Persamaan 2.2 maka YVY ) YWY

)YV ) WY

maka @YVY ) YWY@ Karena tSu G

s

Maka tSu G G

G

Maka tSu G

d Karena F

G Y@

sY G Y

c Karena tSu G Y

YV ) WY

G

bahwa @Y Y ) Y s

) V s

GH

G

YV ) WY

V dan berdasarkan Teorema 2.6.3 Bagian 1 Y )

YVY

V , tSu G

W Y

G

GY

G

V

G G

)V Y

Y

barisan konvergen maka F

) VY

Y

Y

Y

Y

Y

@ Karena tSu G

G

W

v J 1 sedemikian sehingga @ Maka Y

)V

G

Y

G

W dan

s G

Y

G G G G G G

G G

) )

G

G

G

G @Y

G

G

GH

)W Y

terbatas, sehingga terdapat

GV GV

GV

) V

G

)V Y

)V Y

)V Y

G VY

GV

)V

G

)W Y

M v untuk setiap

) V)

G

vY

s

G@

L

dimana

Y @

@ G

L

G VY

) VY

)

G G

)

VY

VY

) @YVY

) @YVY

V (Rynne & Youngson, 2008:37-38)

Teorema 2.5.5 V dan

G

Jika pada ruang hasil kali dalam, TV WU(Kreyszig, 1978:138).

G

W, maka T

G

Bukti: @T

G

GU

) TV WU@

@T

@T

@T

Karena

G

Y

)W

Terbukti bahwa T

G G

GU

G

G

GU

)T

)T

) WU

G YY G

1 dan G

GU

G

G G

) WY

)V

TV WU

WU

WU@ T

G

Y

T

WU ) TV WU@

G

@T

G

WU ) TV WU@

) V WU@ G

) VYYWY

1 dimana

w

2.6 Ruang Hilbert Definisi 2.6.1 Ruang hasil kali dalam yang komplet disebut ruang Hilbert. Sedangkan ruang hasil kali dalam biasanya disebut ruang pre-Hilbert (Reed, 1980:39). Contoh 2.6.2 Tunjukkan bahwa

dengan hasil kali dalam ini TV WU

[

\

G]^

G eee G

merupakan ruang Hilbert Selesaian: Ruang hasil kali dalam yang komplet maka memenuhi; Akan ditunjukkan setiap barisan Chauchy adalah konvergen

GU

Barisan pada ruang hasil kali dalam konvergen Cauchy @T

@T

G

G

GU

GU

)T

)T

P

P

P U@

P U@

@T

@T

@T Y

G

GU

G

GU

G

G

)T

)T

)

G YY G

)

PU

G

T

P U@

G

P U@

PY

@T

Y

@T

G

)

G

PU

G

)

)T

PU

G P

P

)T

P U@

P

P U@

P U@

P YY P Y

Terbukti bahwa barisan pada ruang hasil kali dalam konvergen Cauchy, sehingga TV WU

[

\

G]^

G eee G

merupakan ruang Hilbert Definisi 2.6.3 (Orthogonaly) Diberikan

ruang hasil kali dalam. vektor

disebut orthogonal

jika TV WU

1

(Rynne & Youngson, 2008:60)

Definisi 2.6.4 Diberikan

ruang hasil kali dalam pada x subset dari X. komplemen

orthogonal dari x jika vector xy

FV

2008:65).

TV zU

disebut orthogonal atau TV WU

1

1H untuk setiap z

x (Rynne & Youngson,

Contoh 2.6.5 {

Jika H

F %^ %` 1 %^ %`

dan x

H maka xy

F 11

{

{

Selesaian: Berdasarkan Definisi 2.6.4, diperoleh vektor V

hanya jika untuk setiap z TV zU

^ %^

1%^ 1

Ambil

^

` %`

1%`

%^ dan

Maka diperoleh Oleh karena itu

^

{ %{

%^ %` 1 dengan %^ %`

^

`

{

pada xy jika dan

maka diperoleh

{1

%`

`

xy

`

1

Teorema 2.6.6 (Teorema Riesz-Frechet) Diberikan | ruang Hilbert dan .

| sedemikian sehingga

Terdapat sesuatu yang unik .

|. maka Y.Y

|}

T

.~

Y Y

U

Bukti: a) Jika .

1

Selain itu, v#'.

| maka F

| .

tertutup pada | sehingga v#'. Jadi terdapat >

v#'.

Oleh karena itu, > • 1

y

1 y

1H merupakan proper subspace

• F1H

maka . >

.

€ Y€Yo

Ambil

|, maka . linier sehingga

Misalkan

.

).

Dan karena dimana >

).

v#'.

>

y

v#'.

).

T ).

> >U

T> >U

Y>Y`

.

.

1

maka T

. Jika Y Y

@.

Y Y

Di lain pihak, jika

Y.Y <

@

@. @ Y Y

T U Y Y

1

T

1

> U Y>Y` U

maka berdasarkan ketaksamaan Cauchy-Schwarz

sehingga Y.Y Y.Y < @.

. >

maka

Oleh karena itu, T >U ) .

Jadi T >U

>

@

@T

U@

Y YY Y

Y Y ~ Y~Y

maka Y Y

dan

Y Y` Y Y Y Y

sehingga Y.Y < Y Y karena Y.Y

jadi Y.Y

Y Y dan Y.Y < Y Y

Y Y

2.7 Operator Linier Definisi 2.7.1 Operator linier

merupakan operator dari domain

ruang vektor dan

mengikuti aksioma berikut ini: ! !" # $%&

1.

! !" # $%&

2.

Dapat ditulis menjadi

! !" # $%&

*

*

* (Reddy, 1997:134)

Definisi 2.7.2 Diberikan

operator linier,

" J 1 sedemikian sehingga Y

Untuk

• 1 maka

Y

dikatakan terbatas jika terdapat

"Y Y ! !" # $%& "<

Y Y Y Y

Sehingga himpunan •" " <

Y‚ Y

atas, untuk setiap anggota

pada .

• 1ƒ terbatas di bawah dan terbatas di

Y Y

Diperoleh Y Y

!&„

Y Y Y Y

• 1…

dan dapat juga ditulis Y

Y

Y YY Y

(Reddy, 1997:146-147). Definisi 2.7.3 (bentuk sesquilinier) Diberikan pada

:

dan

ruang vector atas field

. Maka bentuk sesquilinier †

merupakan pemetaan

dimana untuk setiap V V‡ Vˆ † V‡

† V W‡

c † VW

d † *V W

Vˆ W Wˆ

† V‡ W

† V W‡

† VW

†

:

v

dan W W‡ Wˆ

† Vˆ W

*g † V W .

dan

bilangan real

maka Bagian 4 menjadi

† V *W

*TV WU

dan † disebut bilinier

Jika

*

† V Wˆ

Karena † bersifat linier dan linier conjugate, jika v

dan skalar

dan

……………… 2.3

ruang norm dan bilangan real " sedemikian sehingga untuk

setiap V W maka

@† V W @

"YVYYWY

……………… 2.4

Maka † disebut terbatas

@† V W @ ‰ YVYYWY

Y†Y Y†Y

!&

V W Š

!&YVY]^ @† V W @……………… 2.5 YWY]^

disebut norm h Berdasarkan Persamaan 2.4 dan Persamaan 2.5 maka @† V W @

Y†YYVYYWY

(Kreyszig, 1978:191-192) Teorema 2.7.4 Diberikan |^ |` ruang Hilbert dan

† |^ : |`

‹

T

U

bentuk sesquilinier terbata. Maka † dapat dibentuk menjadi

dimana

|^

†

|` operator linier terbatas. Y Y

Y†Y

unik pada † dan bernorm

(Kreyszig, 1978:192) Bukti: eeeeeeeee berarti Karena †

eeeeeeeee †

linier. Maka

T >U

………………. 2.6

T> U

………………. 2.7

Sehingga †

karena >

|^ unik tentu saja

|^ . Berdasarkan definisi operator

|^

|`

Diperoleh > Dengan mensubtitusikan Persamaan 2.7 pada Persamaan 2.6 sehingga linier maka T

^

*

`

U

†

T

Untuk setiap

† T

^ ^ ^

`

*†

U

^

U

^

*

di |` berlaku

Akan ditunjukkan

*

`

*T

`

T*

`

`

@T U@ Œ•Ž Y YY Y !&

~•Ž Œ•Ž ‚Œ•Ž

@T Y YY

@ @ Œ•Ž Y Y !&

Y Y

Akan ditunjukkan T unik Disisi lain Y†Y < Y Y

*

`

1 maka diperoleh

Y†Y < !&

Terbukti T terbatas.

U

^

terbatas. Jika Y†Y

U

U@ Y

@T U@ Œ•Ž Y YY Y

Y†Y

!&

~•Ž

Y YY Y Œ•Ž Y YY Y !&

@ @ Œ•Ž Y Y

Y†Y Jadi, terbukti

!&

Y Y

unik. Diasumsikan bahwa operator linier |^ dan

untuk setiap

Terbukti bahwa Y Y

|` diperoleh

Y†Y

T

†

|^

|`

U


operator linier dan

dengan ;%

dan didefinisikan

operator

F

;%

|` . Range ($O% %

bersifat invertible jika untuk setiap

sesuatu yang unik dinotasikan

|`

|^

p^

|^ sedemikian sehingga

merupakan p^

;%

|^

dinotasikan

|^ H

;%

terdapat

. Invers operator

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Operator Adjoint Sebelum membahas tentang operator self-adjoint, operator normal dan operator uniter pada ruang Hilbert, harus terlebih difahami tentang operator adjoint. Definisi 3.1.1 Jika

|

‹ operator linier terbatas, dimana | dan ‹ ruang Hilbert

kompleks. Maka operator adjoint pada ruang Hilbert didefinisikan ‹

•

| dan

Dimana untuk setiap

T

U

‹

| T

•

U

Contoh 3.1.2 +•1 ‘ dan

Untuk setiap " Jika .

’ “` •1 ‘ didefinisikan

[

[”

•

+•1 ‘ dengan / • 0

"

”

•g

Selesaian Andaikan ” †

•

“` •1 ‘ dan "

/ • 0 † maka / • ” †0

berdasarkan definisi adjoint maka ^

– . Ž

”

eeeeee( †

^

– ” Ž

^

– ” Ž

.

eeeeee( †

eeeeee " (

”"

•

dari

Persamaan ini benar jika eeeeee "

eeeeee . †

Sehingga eeeeee "

"

eeeeeeeeeeee eeeeee . †

eeeeee eeeeee † . eeeeee .

†

Karena sifat unik dari adjoint maka dapat disimpulkan •

/ •0 †

"

eeeeee . †

•

Karena / • 0 † maka / • 0

•

•g †

•g †

•g .

Teorema 3.1.3 Diberikan | ‹ ruang Hilbert kompleks dan operator unik

•

T

’ ‹ | Sedemikian sehingga: U

T

•

U

—’ | ‹ . Terdapat

|

‹

Bukti: Andaikan

‹ dan . |

+ dengan .

T

U

Maka . transformasi linier dan berdasarkan ketaksamaan Cauchy-Schwarz

dan terbatas di

berakibat

@.

U@

@

@T Y

YY Y

Y YY YY Y

Maka . terbatas

Berdasarkan teorema Riesz-Frechet terdapat yang unik >

|

sehingga

•

maka

>

•

Didefinisikan

|

:‹

T >U

.

|

sehingga T

U

Jadi

•

|,

T

•

‹.

U

…………….. 3.1.1

suatu fungsi yang memenuhi persamaan dalam Teorema 3.1.3

Akan ditunjukkan + (% T

•

˜

•

trasformasi linier. Andaikan

| maka berdasarkan Persamaan 3.1.1 diperoleh ™

^

`

U

T

˜

T

˜gT •

˜

^

™

•

T ˜ `

^

˜ Û

˜gT

karena T

^

U

•

Û

Û ^

T ˜

™

Ù

T

™g T

™g T

™ •

•

^

™ • Ù

™

Ù

•

Ù Ù

Ù

`

‹ ˜™

•

Maka •

Jadi

˜

™

^

˜

`

•

™

^

•

`

transformasi linier. •

Akan ditunjukkan

terbatas

Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz maka Y

Y`

•

T

•

T

š

•

U

•

Y

Jika Y

U

•

•

Y YY

Definisi 3.1.1

YY Y

ketaksamaan Cauchy-Schwarz

YY Y

•

YJ1

terbatas

maka ketaksamaan tersebut dapat di bagi dengan Y

•

Y

sehingga diperoleh Y

•

Y

Y YY Y

Tetapi jika Y

•

‹

maka

•

Y

1 maka trivialnya Y

terbatas dan Y

Akan ditunjukkan

•

•

Y

Y

•

Y

Y Y.

•

T

Y YY Y

U

T ›^ U

| dan

T ›` U

sehingga

›` dan

•

Y YY Y .

unik

Andaikan ›^ dan ›` di ’ ‹ | dan

maka ›^

Y

›^ unik

›`

‹

‹

Karena

Contoh 3.1.4 Diberikan | ruang Hilbert kompleks. Jika œ operator identitas pada | maka œ •

œ

Selesaian | maka

Jika

Tœ

U

T

U

T œ• U

T œ U

T

U

Tœ •

Dan

Karena T œ • U

T œ U maka œ•

œ

U

Teorema 3.1.5 Diberikan | ‹ dan • ruang Hilbert kompleks, ž Ÿ ’ ‹ • .

Sedangkan ˜ ™ a) ™ž b)

ž

•

˜Ÿ

•

˜Ÿ

•

ž•

+ maka •

™g ž•

˜gŸ •

Bukti a) T ™ž

U

T

T

™ž

˜Ÿ

U

™ž

T ™ ž U

™g T ž U

T

˜gT Ÿ U ˜gTŸ •

U

T/™g ž•

˜gŸ • 0

U

U

˜Ÿ

T ˜ Ÿ U

™g Tž• T™g ž•

U

T˜gŸ •

U

U U

’ | ‹

dan

Maka ™ž

˜Ÿ

b) T

U

Terbukti bahwa ™ž ž

•

˜Ÿ

T

ž

T T

ž

Maka

T

•

• •

™g ž•

•

U

UT ž U UTž •

•

ž

Terbukti bahwa

˜gŸ • 0

/™g ž•

•

ž•

ž•

ž•

•

U

˜gŸ •

U

•

Teorema 3.1.6 Diberikan | ‹ ruang Hilbert kompleks dan a)

• •

b) Y

•Y

Y Y

c) Fungsi . ’ | ‹

’ ‹ |

’ | ‹

didefinisikan dengan . ;

;•

kontinu d) Y

•

Y

Y Y`

Bukti a) Akan ditunjukkan bahwa adjoint dari adjoint adalah operator original T

• •

U

T

U

•

• U Teeeeeeeeee

definisi ruang hasil kali dalam

TeeeeeeeeeU Karena T maka

• •

T

• •

U

U

• •

definisi

definisi

•

definisi ruang hasil kali dalam • •

;

|

• •

Jadi

b) Dari Teorema 3.1.3 didapat Y • •

•Y

Y Y dengan menerapkannya hasil

dan bagian a) maka

Y Y

Y

Y

• •Y

•Y

Y Y

Sehingga Y

•Y

Y Y

Y. ; ) .

Y

Y; • )

Y. ; ) .

Y

Y; ) Y

c) Misalkan I J 1 dan

I maka Y; ) Y M

Y ;)

M

•Y

•Y

I

Berdasarkan bagian b) maka . kontinu

d) Pada bagian b) Y Y Y

•

Y

Y

• YY

Y

Y

•Y

sehingga

Y YY Y

Y Y` Di samping itu Y

Y`

T

T

Y Y

• • •

U

U

YY Y

YY YY Y

definisi

•

ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Karena Y

Y

•

Y`

YY Y`

Berakibat Y Y`

Y

•

Y

•

YY Y` Y

Teorema 3.1.7 Jika | ruang Hilbert kompleks dan

’ |

invertible maka

•

invertible dan • p^

p^ •

Bukti ’ | invertible

Karena maka

p^

œ

p^

Jika diambil adjointnya maka p^ •

p^

•

œ•

dan p^ • •

Jadi

•

• p^

invertible dan

• p^ •

p^ •

œ

.

Teorema 3.1.8 (Sifat Operator Adjoint) Diberikan | ‹ ruang Hilbert kompleks, operator linier terbatas dan

|

‹ dan

|

skalar .

Maka: a) T

U

•

•

b) c)

T

•

e

•

•

U

•

|

‹

‹

Bukti: a) Berdasarkan Definisi 2.4.3 maka T

U

•

• U Teeeeeeeeee

Definisi 2.5.3

TeeeeeeeeeU

Definisi3.1.1

TeeeeeeeeeU

Terbukti bahwa T

b) T

U

•

U

•

Definisi 2.5.3

T

T T T

•

Karena

•

U

•

•

Karena

U

•

Terbukti bahwa

U T

•

•

•

•

•

U Bagian a) U

•

U

Definisi 2.8.3 U

Definisi 3.1.1 Definisi 2.8.3

•

U

T

Te

T

U

T eT

T

U •

Terbukti bahwa c) T

T

eT

•

e

•

•

•

U U

Bagian a)

U

Definisi 2.8.3 Definisi 2.8.3

U

e

Definisi 3.1.1

•

3.2 Operator Normal Definisi 3.2.1 Diberikan | ruang Hilbert kompleks dan normal jika

’ |

maka

operator

•

•

Contoh 3.2.2

setiap "

’ “` •1 ‘ yang didefinisikan pada Contoh 3.1.2 untuk

[

Misalkan

+•1 ‘, jika .

+•1 ‘ maka

•

operator normal

Selesaian: •

Pada Contoh 3.1.3 diperoleh bahwa / • 0 •

/ •/ •0 0 ”

•

• •

¡/ • 0 ” ¢

¡

g

•g

• /. ”0

// • 0

// • 0

•

•

•0

g ..”

•g •0

”

•g

•

• •/ •0

•

.”

“` •1 ‘

•

” ¢

” ¢

g . .”

g ..”

karena / • / • 0 0 ” maka

•

¡

”

” ¢

/ •0 ¡

”

•g

•

/ •0

Jadi terbukti bahwa

•

•

// • 0

•0

”

•

operator normal

Contoh 3.2.3 Jika | ruang Hilbert kompleks, œ operator identitas pada |, ˜ ’ | operator normal maka

) ˜œ juga operator normal

+ dan

Selesaian: ) ˜œ

•

•

) ˜gœ

Berdasarkan Definisi 3.2.1 yaitu •

•

Maka ) ˜œ

) ˜œ

) ˜œ /

•

•

/

Karena Maka

) ˜œ

•

) ˜œ

•

)˜

• •

) ˜gœ0

) ˜œ

) ˜œ

•

) ˜œ operator normal

) ˜gœ

) ˜g

) ˜œ

˜œ˜gœ

˜˜gœ

) ˜œ

•

•

) ˜gœ0

) ˜œ

) ˜œ

•

Teorema 3.2.4 Diberikan | ruang Hilbert kompleks Y

’ | normal dan

Jika Y

Y

Y

•

J 1 maka berlaku

Y

Y < Y Y maka v#'

£

F1H

•

£

Bukti: 1. Misalkan

| dan

’ | operator normal •

Berdasarkan definisi operator normal bahwa Y

Y` Y

Y` ) Y

•

Y`

T

T

T

U)T

• •

U)T

U)T

•

• •

• •

U

U U

maka

T

•

T1 U

karena Y

Y`

Y

•

Jadi terbukti bahwa Y

2. Misalkan Maka

1

•

v#'

•

Y` Y

)

•

U

1

Y

Y

•

£

Berdasarkan bagian 1 maka Y

Y

Y

Y

Karena Y

Y

1

Sehingga Y

•

Y

Y< Y Y

Y< Y Y

Oleh karena itu 1

Hal ini berarti Y Y Sehingga Jadi v#'

•

1

Y

1

Y< Y Y

F1H

3.3 Operator Self-Adjoint Definisi 3.3.1 Jika | ruang Hilbert kompleks dan

’ |

adjoint jika •

Contoh 3.3.2

maka

operator self-

Misalkan

’ “` •1 ‘ yang didefinisikan pada Contoh 3.1.2

[

+•1 ‘, jika .

+•1 ‘ bernilai real maka

•

"

operator self-adjoint

Selesaian: •

Pada Contoh 3.1.1 diperoleh bahwa / • 0

.

+•1 ‘ nilainya real, hal ini berarti . g •

Sehingga / • 0

.

”

•g

“` •1 ‘

•g •

Jadi terbukti

•


Teorema 3.3.3 Misalkan | ruang Hilbert kompleks dan adjoint di ’ | 1. Jika

*

ž (bilangan real) dan

^

himpunan bagian tertutup dari ’ |

2.

himpunan dari operator self-

`

maka

^

*

Bukti: 1.

^

`

^

`

dan

himpunan dari operator self-adjoint di ’ |


Maka ^

*

`

•

^ ^

•

*

*

`

•

`

maka

2. Andaikan F G H barisan di

^

*

`

yang konvergen ke

’ |

`

Maka berdasarkan Teorema 3.1.5 F

G

Oleh karena itu F G H konvergen ke G

Dimana

•

Jadi

•

•

H konvergen ke

•

L

G

Sehingga

•

dan

merupakan himpunan bagian tertutup

Teorema 3.3.4 Misalkan | ruang Hilbert kompleks dan 1.

•

;

2.

•

dan

’ |


$ dimana ;


Bukti: 1. Berdasarkan Definisi 3.3.1 bahwa •

Sehingga •

•

•• • •

maka

•

operator self adjoint

Berdasarkan Definisi 3.3.1 maka •

Jadi terbukti 2. Andaikan ; Dan

^ `

dan

^ `

)

•

• •



• •

Berdasarkan Definisi 3.3.1 maka ;•

•

;

$

•

;•

••

• •

;•

;

Jadi ; operator self-adjoint )

•

$

) $

) $ $ Jadi

) •

)

•

)

)

• • ••

•


Terbukti bahwa

;

$ dengan ; dan


3.4 Operator Uniter Definisi 3.4.1 Diberikan | ruang Hilbert kompleks dan

’ |

uniter jika •

Contoh 3.4.2

•

œ

maka

operator

’ “` •1 ‘ yang didefinisikan pada Contoh 3.1.2

[

Misalkan

+•1 ‘, jika .

+•1 ‘

sehingga @.

@

•1 ‘ maka

operator uniter

Selesaian: •

Pada Contoh 3.1.2 diperoleh bahwa / • 0 // • 0

•

•

• 0”

// • 0 .0” •

// • 0 .0

eeeeee . . Karena @.

@

Sehingga // • 0 •

maka Jadi

•

•

•

•

•

”

œ

@.

•

@` ”

”

maka @.

• 0”

”

”

”

@`

untuk g / • . 0”

•

/ • / • 0 0”

/.. 0g .

Karena @.

@

@. •

”

eeeeee . ” @` ”

maka @.

Sehingga / • / • 0 0”

”

@`

•g

”

“` •1 ‘ untuk

" •

• •

maka

Sehingga

•

”

• •

•

œ

•

Oleh karena itu Jadi

”

•

•

•

• •

œ

•

operator uniter

Teorema 3.4.3 Diberikan | ruang Hilbert kompleks dan diberikan 1. 2.

œ jika dan hanya jika

•

isometri

operator uniter jika dan hanya jika

isometri dari | ke |

Bukti: •

1. a) Karena Maka Y

Y

Y`

Jadi

œ •

Y Y`

Y`

œ

isometri •

b) Maka

Y

Y`

Y Y`

Jadi

•

2. a) Karena Maka Misalkan

œ

œ

operator uniter isometri berdasarkan bagian 1 | maka

’ | maka

•

œO

Sehingga |

Maka

|


Jadi


b) Karena

•

Maka berdasarkan definisi Jika Maka ¤

|, dimana

|

|

œ

| sedemikian sehingga

Oleh karena itu •

• •

œ

Jadi

•

•

•

Jadi

œ

•

œ

…………..… 3.4.1 •

œ

……………. 3.4.2

Berdasarkan Persamaan 3.4.1 dan Persamaan 3.4.2 maka •

jadi

operator uniter

•

œ

3.5 Kajian Agama Menuntut ilmu hukumnya wajib bagi seluruh muslim, hal itu telah dijelaskan dalam hadits berikut:

Artinya: “ Menuntut Ilmu merupakan kewajiban bagi kaum muslimin laki-laki dan perempuan.” Pada hadits di sudah sangat jelas perintah untuk menuntut ilmu. Pada hadits tersebut juga tidak ada perbedaan antara laki-laki dan perempuan dalam kaitannya menuntut ilmu. Ilmu tidak hanya ilmu agama melainkan ilmu duniapun juga wajib hukumnya untuk dipelajari. Hal tersebut dijelaskan hadits berikut ini: ! Artinya: ” Tuntutlah ilmu walau ke negeri cina” (Anas Ibnu Malik) Pada hadits tersebut diperintahkan menuntut ilmu walaupun sampai ke negeri sebrang (negeri Cina). Apabila dicermati secara mendalam, tidak mungkin mencari ilmu agama di negeri Cina. Sehingga menuntut ilmu sampai ke negeri cina, ilmu yang di pelajari di negeri Cina adalah ilmu dunia. Dijelaskan juga dalam hadits berikut: "

!

Artinya: “ Carilah ilmu meskipun di negeri Cina karena mencari ilmu itu wajib bagi setiap muslim” (Yaqub, 2008:1) Orang yang menuntut ilmu sangat mulia sekali di hadapan Allah, hal tersebut dijelaskan dalam Al-Qur’an surat Al-Mujadillah ayat 11 sebagai berikut:

Artinya: “ … niscaya Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat. dan Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan” Allah akan mengangkat derajat orang yang menuntut ilmu. Sungguh mulia sekali kedudukan orang yang menuntut ilmu. Ilmu dunia banyak sekali macamnya, salah satunya ilmu matematika. Cabang dari ilmu matematika di antaranya kalkulus, analisis fungsional, statistika, analisis real dan masih banyak lagi. Pada analisis fungsional banyak sekali dijelaskan tentang ruang vector, ruang norm, ruang metriks, ruang Hilbert dan masih banyak lagi. Pada penelitian ini membahas tentang operator pada ruang Hilbert. Pada ruang Hilbert terdapat operator adjoint, operator normal, operator self-adjoint dan operator uniter. Berdasarkan definisi operator normal di atas sesuai dengan hadits berikut: .&

+

) - ./& + ,( # "&0 1"2 )

*+ ,( )

#

$%& &'(

96# 7 3 85 )34& Artinya: “ Ketika salah satu dari kalian memakan makanan maka ucapkanlah akan nama Allah namun bila pada awalnya lupa mengucapkan nama Allah maka, ucapkanlah dengan menyebut nama Allah dari awal sampai akhir” (Riwayat Tirmidzi) (Al-Hasyim, 999:12)

Pada hadits di atas maka apabila menjadi dasar dari operator normal maka meyebutkan nama Allah ketika memulai atau mengawali makan berlaku atau dinotasikan dengan

•

sedangkan menyebutkan nama Allah ketika di tengah

atau di akhir makan berlaku atau dinotasikan dengan

•

. Berdasarkan dari

pahala yang didapat ketika menyebut nama Allah adalah sama-sama mendapatkan pahala. Hal tersebut dijelaskan kaidah fiqih sebagai berikut: ; < : = > !? = Artiny: “ Tidak ada pahala kecuali dengan niat” (Djazuli, 2006:196) Dari kaidah fiqih di atas menyebut nama Allah diartikan dengan niat. Maka mengucapkan niat di awal maupun di tengah-tengah ataupun di akhir samasama mendapatkan pahala. Berdasarkan kaidah fiqih tersebut maka dapat dikatakan bahwa mengucapkan niat baik di awal atupun ditengah-tengah bahkan di akhir sama-sama mendapatkan pahala, hal tersebut sesuai dengan definisi operator normal yaitu •

•

Berdasarkan definisi atau pengertian dari self-adjoint di atas sesuai dengan kaidah fiqih sebagai berikut: "

"

@- A=

Artinya: “ Asal hukum sesuatu sebagaimana hukum yang ada sebelumnya” (Mubarok, 2002:20) Pada kaidah fiqih tersebut di atas maka apabila menjadi dasar dari operator self-adjoint maka hukum atau aturan yang berlaku pada

•

sesuai dengan hukum

yang telah berlaku sebelumnya, yaitu hukum yang berlaku pada

. Sehingga

berdasarkan kaidah fiqih tersebut maka dapat dikatakan bahwa asal hukum sesuatu

sesuai dengan hukum yang telah berlaku sebelumnya hal ini sesuai

dengan definisi operator self-adjoint yaitu •

Berdasarkan hadits dan kaidah fiqih pada operator normal

•

•

yaitu menyebut nama Allah di awal ataupun di tengah bahkan di akhir sama-sama mendapatkan pahala. Berdasarka surat Al-Baqarah ayat 261 disebutkan: B B B

B B B

Artinya: “ ... Allah melipat gandakan (ganjara) bagi siapa yang Dia kehendaki ...” Pada surat Al-Baqarah ayat 261 dijelaskan bahwa pahala yang diberikan Allah karena menyebut nama Allah di awal, di tengah dan di akhir sesuai dengan kehendak Allah. Maka berdasarkan hadits dan kaidah fiqih yang berlaku pada operator normal ditambah dengan penjelasan dari Al-Qur’an surat Al-Baqarah ayat 261, menjadi dasar dari operator uniter. Mengawali makan dengan menyebut nama Allah berlaku atau dinotasikan dengan

, menyebut nama Allah pada saat

•

di tengah makan atau di akhir maka berlaku atau dinotasikan dengan

•

sama-

sama mendapatkan pahala, tetapi pahala yang di dapatkan sesuai dengan kehendak Allah berlaku atau dinotasikan dengan œ. Hal tersebut sesuai dengan definisi operator uniter yaitu: •

•

œ

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan Sifat dari operator Hilbert antara lain: a.

Diberikan | ‹ dan • ruang Hilbert kompleks, ž Ÿ ’ ‹ • . dimana ¥ ¦ 1)

™ž

2)

ž

3)

• •

4) Y

•Y

•

˜Ÿ •

+ maka ˜gŸ •

™g ž•

ž•

’ | ‹ dan

•

Y Y

5) Fungsi . ’ | ‹

’ ‹ |

yang didefinisikan . ;

;•

merupakan fungsi kontinu 6) Y b.

•

Y Y`

Y

Diberikan | ‹ ruang Hilbert kompleks,

|

‹ dan

|

‹

operator terbatas dan § skalar, maka: 1)

T

•

U

2)

•

3) c.

T

•

U •

| •

•

e

Diberikan | ruang Hilbert kompleks, § J 1 dimana 1)

Y

2)

¨SC7 Y

Y

‹

’ | operator normal, dan

| sedemikian sehingga: Y

•

Y

Y < Y Y u 7C7v#'

•

F1H

d. Diberikan | ruang Hilbert kompleks, © operator self adjoint di ’ | 3.

jika

4.

© subset tertutup di ’ |

*

ž (bilangan real) dan

^

e. Diberikan | ruang Hilbert kompleks dan 1)

•

2)

dan ;

•

2)

•

maka

^

*

`

’ |


$ dimana ;


f. Diberikan | ruang Hilbert kompleks dan 1)

`

œ jika dan hanya jika

’ | maka

isometri

operator uniter jika dan hanya jika


4.2 Saran Dari penelitian ini perlu pengembangan pembahasan agar lebih mendalam. Diharapkan untuk penelitian selanjutnya lebih dikembangkan pembahasannya tidak hanya pada fungsi saja dan pada ruang yang berbeda.

DAFTAR PUSTAKA

Abdusysyakir. 2007. Ketika Kiai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang Press Al-Hasyimi, Sayid Ahmad. 1999. Mukhtarul Ahadits An-Nabawiyah wa Al-Hikam Al Muhammadiyah. Semarang: Maktabah Al Hidayah Bartle & Sherbert. 1994. Introduction to Real Analysis. Singapore: John Willey & Sons. INC Bishop & Bridges. 1985. Constructive Analysis. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo Djazuli, A. 2006. Kaidah-Kaidah Fikih (Kaidah-Kaidah Hukum Islam dalam Menyelesaikan Masalah-Masalah yang Praktis). Jakarta: Prenada Media Group Goffman & Pedrick. 1974. First Course in Functional Analysis. Prentice-Hall of India Private Limited New Delhi Hasan, M. Iqbal. 2002. Pokok-Pokok Materi Metodologi penelitian dan aplikasinya. Jakarta: Ghalia Indonesia Kreyszig, Erwin. 1978. Introductory functional analysis with applications. Singapura: Republic of Singapore Mubarok, Jaih. 2002.Kaidah Fiqh (sejarah dan kaidah asasi). Jakarta: PT Raja Grafindo Persada Negoro & Harahap. 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia Phillips, Esther R., 1984. An Introduction to Analysis and Integration Theory. Canada: General Publishing Company Purwanto. 1997. Matematika Diskrit. Malang: IKIP Malang Rahman, Hairur. 2007. Indahnya Matematika dalam Al-Qur’ an. Malang: UIN Malang Press Reddy, B.D., 1997. Introductory Functional Analysis with Applications to Boundary Value Problems and Finite Elements. Verlag New York: Springer

Reed, Michael. 1980. Functional Analysis. San Diego New York Boston: Academic Press Rudin, Walter. 1991. Functional Analysis. United States of America: McGrawHill Rynne & Youngson, Martin A. 2008. Linier Functional Analysis (second edition). Springer-Verlag London Yaqub, Ali Mustofa. 2008. Hadits-Hadits Bermasalah. Jakarta: Pustaka Firdaus

KEMENTERIAN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayana No. 50 Dinoyo Malang (0341)551345 Fax. (0341)572533

BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Nama Nim Fakultas/ jurusan Judul skripsi Pembimbing I Pembimbing II

: Faridhatun Nasikah : 07610086 : Sains dan Teknologi/ Matematika : Operator pada Ruang Hilbert : Hairur Rahman, M. Si : Dr. H. Munirul Abidin, M. Ag

No 1 2 3 4 5 6 7

Tanggal 26 Oktober 2010 4 November 2010 5 November 2010 20 November 2010 21 November 2010 13 Desember 2010 20 Desember 2010

HAL Konsultasi BAB I dan II Konsultasi BAB I dan II Konsultasi BAB I dan II Konsultasi Kajian Agama ACC Proposal Konsultasi BAB III Konsultasi BAB III

8

3 Januari 2011

Konsultasi Kajian Agama

9 10 11 12 13 14 15

4 Januari 2011 5 Januari 2011 5 Januari 2011 11 Januari 2011 13 Januari 2011 14 Januari 2011 14 Januari 2011

Revisi BAB I dan II Konsultasi BAB III Kosultasi Kajian Agama Konsultasi BAB III Konsultasi BAB III Revisi Kajian Agama ACC Keseluruhan

1.

Tanda Tangan

3. 5. 7. 9. 11. 13. 15.

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

Malang, 14 Januari 2011 Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika


OPERATOR PADA RUANG HILBERT SKRIPSI

Recommend Documents