IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN

.

– 0–

A funkcionálanal´ızis alaptételei

1

IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Ebben a fejezetben H adott Hilbert-teret jelöl, és operátoron H H lineáris leképezést ért¨ unk.

15. A funkcionálanal´ızis alaptételei A tételeket és a hozzájuk sz¨ ukséges fogalmakat az adott H Hilbert-tér operátoraira mondjuk ki, de értelemszer˝ uen igazak Banach-terek közötti lineáris leképezésekre is. Ezeket a tételeket nem bizony´ıtjuk. 15.1. Defin´ıci´ o Egy operátort ny´ıltnak nevezünk, ha az értékkészlete ny´ılt.

´ ıtás (Banach-féle ny´ıltleképezés-tétel) Egy mindenütt értel15.2. All´ mezett folytonos operátor pontosan akkor ny´ılt, ha sz¨ urjekt´ıv. Ennek a tételnek a legfontosabb következménye, hogy ha az A folytonos operátor bijekt´ıv, akkor A−1 is folytonos. 15.3. Defin´ıci´ o Egy operátort zártnak nevezünk, ha a grafikonja zárt. A defin´ıci´ ob´ ol azonnal következik, hogy az A operátor pontosan akkor zárt, ha minden olyan (xn )n∈N Dom(A)-beli konvergens sorozat esetén (x := limn xn ), melyre az (Axn )n∈N sorozat is konvergens (y := limn Axn ), az teljes¨ ul, hogy x ∈ Dom(A) és y = Ax, azaz A limn xn = limn Axn . ´ Erdemes le´ırni a folytonosság feltételét, hogy jól összehasonl´ıthassuk a zártság feltételével. Az A operátor pontosan akkor folytonos, ha minden olyan (xn )n∈N Dom(A)-beli konvergens sorozat esetén, amelyre x := limn xn ∈ Dom(A), az (Axn )n∈N sorozat is konvergens (y := limn Axn ), az teljes¨ ul, hogy y = A(x), azaz A limn xn = limn Axn .

2

IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN

Defin´ıció Egy A operátor lezárható, ha a grafikonjának a lezártja egy operátor grafikonja, azaz ha létezik A operátor u ´gy, hogy Graph(A) = Graph(A); ekkor az A z´ art operátort az A lezártjának nevezz¨ uk. Nyilv´ anval´ o, hogy ha van egy olyan B zárt operátor, amelyre A ⊂ B teljes¨ ul, akkor A lezárhat´ o, és A ⊂ B.

´ ıtás (Zártgrafikon-tétel) Egy A operátorra a következ˝o tulaj15.4. All´ donságok köz¨ ul bármely kett˝o maga után vonja a harmadikat: – Dom(A) z´ art, – A zárt, – A folytonos. 15.5. Egyszer˝ u tények a következ˝ok az A zárt operátorra: – αA is zárt minden α számra, – ha F folytonos operátor, akkor A + F is zárt, – ha A injekt´ıv, akkor A−1 is zárt operátor. – A magja (a null´ anak az A általi ˝osképe) zárt lineáris altér ˝osképe) zárt lineáris altér. A magtér zárts´ ag´ ahoz kevesebb is elég.

´ ıtás (Banach-Steinhaus-tétel) A folytonos operátorok egy H 15.5. All´ halmaza pontosan akkor korlátos (a folytonos lineáris leképezések normája szerint), ha minden x∈H esetén az {Ax | A∈H} halmaz korlátos H-ban.

16. Operátorok adjungáltja 16.1. Legyen A srn értelmezett operátor. Ekkor minden y∈H esetén ⟨y|◦A : Dom(A)→K line´ aris leképezés (jelölés: 12.1.) Ha ez a leképezés folytonos, akkor az 1.3. szerint egyértelmen kiterjeszthet˝o H-n értelmezett folytonos lineáris leképezéssé, azaz H ′ -beli elemmé; jelölje ezt ⟨y|◦A. A Riesz-féle reprezentációs tétel szerint létezik egyetlen, A∗ y-gal jelölt vektor H-ban, amelyre ⟨A∗ y| = ⟨y|◦A. Nyilvánval´ o, hogy Dom(A∗ ) := {y∈H | ⟨y|◦A folytonos}, lineáris altér H-ban, és az A∗ : Dom(A∗ )→H,

y7→A∗ y

16. Operátorok adjungáltja

3

leképezés lineáris.

Defin´ıció A∗ -ot az A operátor adjungáltjának nevezzük. Az adjungált defin´ıci´ oja tehát egyenérték azzal, hogy ( ) ∗ ⟨A y, x⟩ = ⟨y, Ax⟩ x∈Dom(A), y∈Dom(A∗ ) .

(∗)

Jegyez¨ uk meg, hogy csak s˝ ur˝ un értelmezett operátornak van adjungáltja, továbbá a fenti egyenl˝oség akkor és csak akkor áll, ha x az A értelmezési tartományában, y az A∗ értelmezési tartományában van. Erre mindig figyelni kell, hiszen a bal oldali kifejezés akármilyen x-re, a jobb oldali pedig akármilyen y-ra is értelmes. Sokszor kell eldönten¨ unk, benne van-e y vektor egy A operátor adjungáltjának az értelmezési tartomány´ aban, azaz ⟨y| ◦ A folytonos-e. Világos, ha találunk egy z vektort u ´gy, ⟨y| ◦ A ⊂ ⟨z|, akkor y ∈ Dom(A∗ ) és z = A∗ y. Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk azt az egyszer˝ u tényt, hogy id∗H = idH .

´ ıtás (i) Ha A s˝ur˝un értelmezett, folytonos operátor, és A jelöli az 16.2. All´ egyértelm˝ u kiterjesztését az egész térre, akkor A∗ = (A)∗ . (ii) Ha A minden¨ utt értelmezett, folytonos operátor, akkor A∗ is minden¨ utt értelmezett, folytonos operátor, és ∥A∗ ∥=∥A∥. ´s Ha A s˝ Bizony´ıta ur˝ un (esetleg minden¨ utt) értelmezett, folytonos operátor, akkor nyilv´ anval´ o, hogy Dom(A∗ )=H. (i) Minden y-ra ⟨A∗ y| = ⟨y| ◦ A = ⟨y| ◦ A = ⟨(A)∗ y|. (ii) Minden x, y∈H esetén az el˝oz˝o pont (∗) összef¨ uggése teljes¨ ul, ezért sup ∥A∗ y∥ = sup sup |⟨A∗ y, x⟩| = sup sup |⟨A∗ y, x⟩| =

∥y∥≤1

∥y∥≤1 ∥x∥≤1

∥x∥≤1 ∥y∥≤1

= sup sup |⟨y, Ax⟩| = sup ∥Ax∥ = ∥A∥ < +∞, ∥x∥≤1 ∥y∥≤1

∥x∥≤1

amit bizony´ıtani akartunk.

´ ıtás Minden adjungált operátor zárt. 16.3. All´ ´s Legyen A s˝ Bizony´ıta ur˝ un értelmezett operátor, és (yn )n∈N sorozat Dom(A∗ )ban, mely konverg´ al egy H-beli y-hoz, u ´ gy, hogy az (A∗ yn )n∈N sorozat is konvergál egy H-beli z-hez. Ekkor x∈Dom(A) esetén ⟨z, x⟩ = lim ⟨A∗ yn , x⟩ = lim ⟨yn , Ax⟩ = ⟨y, Ax⟩, n

n

4


következésképpen y∈Dom(A∗ ) és z=A∗ (y), ´ıgy az 5.2. áll´ıtás szerint A∗ zárt.

´ ıtás Legyenek A és B s˝ur˝un értelmezett operátorok. 16.4. All´ (1) Ha Dom(A+B)=Dom(A)∩Dom(B) s˝ ur˝ u, akkor (A+B)∗ ⊃ A∗ +B ∗ , és ha A vagy B egyike minden¨ utt értelmezett és folytonos, akkor egyenl˝oség van. (2) Ha Dom(AB)=B −1 [Dom(A)] s˝ ur˝ u, akkor (AB)∗ ⊃ B ∗ A∗ , és ha A minden¨ utt értelmezett és folytonos, akkor egyenl˝oség van. (3) Ha Dom(A∗ ) s˝ ur˝ u, akkor A∗∗ ⊃ A. (4) λ∈K esetén

(λA)∗ ⊃ λ∗ A∗ ,

és ha λ̸=0, akkor egyenl˝ oség van. (5) Ha A⊂B, akkor B ∗ ⊂A∗ . ´s (1) Ha y∈Dom(A∗ +B ∗ ), akkor ⟨y|◦A és ⟨y|◦B folytonosak, követkeBizony´ıta zésképpen ⟨y|◦(A+B) = ⟨y|◦A+⟨y|◦B is folytonos, tehát y∈Dom((A+B)∗ ). Tovább´ a x∈Dom(A+B) esetén ⟨(A∗ +B ∗ )(y), x⟩=⟨A∗ y, x⟩+⟨B ∗ y, x⟩ = =⟨y, Ax⟩+⟨y, Bx⟩ = ⟨y, (A+B)x⟩, tehát (A+B)∗ ⊃A∗ +B ∗ . Ha péld´ aul A minden¨ utt értelmezett és folytonos, akkor y∈Dom((A+B)∗ ) esetén ⟨y|◦(A+B)=⟨y|◦A+⟨y|◦B folytonos, és mivel ⟨y|◦A folytonos, ⟨y|◦B is az, tehát y∈Dom(A∗ )∩Dom(B ∗ )=Dom(A∗ +B ∗ ). (2) Ha y∈Dom(B ∗ A∗ ), akkor y∈Dom(A∗ ) valamint A∗ y∈Dom(B ∗ ), ´ıgy ⟨y|◦A és ⟨A∗ y| ◦ B=⟨y|◦AB folytonosak, tehát y∈Dom((AB)∗ ). Továbbá x∈Dom(AB) esetén ⟨B ∗ A∗ y, x⟩ = ⟨A∗ y, Bx⟩ = ⟨y, ABx⟩, tehát (AB)∗ ⊃B ∗ A∗ . Ha A minden¨ utt értelmezett és folytonos, akkor y ∈ Dom((AB)∗ ) esetén ⟨y|◦AB folytonos, és a 16.2. áll´ıt´ as szerint Dom(A∗ ) = Dom(A)=H, ´ıgy ⟨A∗ y|◦B=⟨y|◦AB ∗ folytonos, tehát A y∈Dom(B ∗ ), vagyis y∈Dom(B ∗ A∗ ).

16. Operátorok adjungáltja

5

(3) Ha x∈Dom(A), akkor ⟨x|◦A∗ =⟨Ax| folytonos A∗ értelmézési tartományán, tehát x∈Dom(A∗∗ ). Tov´ abbá x∈Dom(A∗ ) esetén ⟨Ay, x⟩ = ⟨y, A∗ x⟩ = ⟨A∗∗ y, x⟩, tehát A⊂A∗∗ . (4) és (5) bizony´ıt´ asa annyira egyszer˝ u, hogy az Olvasóra hagyjuk. 16.5. Az el˝obbi eredmény¨ unk szerint, ha A és B minden¨ utt értelmezett, folytonos operátorok, és λ∈K, akkor (A+B)∗ =A∗ +B ∗ , (λA)∗ =λ∗ A∗ , (AB)∗ =B ∗ A∗ , A∗∗ =A, ∥A∗ ∥ =∥A∥. Jel¨ olje Lin(H) a H→H folytonos lineáris leképezések Banach-terét a sup-operátonorm´ ara nézve. Ekkor ∥AB∥≤∥A∥ ∥B∥, ´ıgy a kompoz´ıcióval egy¨ utt Lin(H) Banach-algebra K felett. Egy K feletti olyan Banach-algebrát, melyen adott egy egyváltoz´ os ∗ m˝ uvelet, melyre teljes¨ ulnek az fenti tulajdonságok, B ∗ -algebr´ anak ∗ nevez¨ unk. Lin(H) tehát az A7→A adjungálással B ∗ -algebra. Egy B ∗ -algebrát C ∗ -algebr´ anak nevez¨ unk, ha minden A elemére ∥A∗ A∥=∥A∥2 áll fönn. Megmutatjuk, hogy Lin(H) C ∗ -algebra.

´ ıtás Ha A mindenütt értelmezett, folytonos operátor, akkor 16.6. All´ ∥A∗ A∥=∥A∥2 . ´s Az operátornorma tulajdonsága és a 16.2.(ii) áll´ıtás miatt Bizony´ıta ∥A∗ A∥≤∥A∗ ∥ ∥A∥=∥A∥2 . Tov´ abb´ a minden x∈H esetén ∥Ax∥2 =⟨Ax, Ax⟩=⟨x, A∗ Ax⟩≤∥A∗ A∥ ∥x∥2 , √ √ ezért ∥Ax∥≤ ∥A∗ A∥ ∥x∥, ´ıgy ∥A∥≤ ∥A∗ A∥, tehát ∥A∥2 ≤∥A∗ A∥.

´ ıtás Ha A s˝ur˝un értelmezett operátor, akkor 16.7. All´ Ker(A∗ ) = Ran(A)⊥ .

6


´s y∈Ker(A∗ ) ekvivalens azzal, hogy y∈Dom(A∗ ) és A∗ y=0, azaz minBizony´ıta den x∈Dom(A) esetén 0=⟨A∗ y, x⟩=⟨y, Ax⟩, ami épp azt jelenti, hogy y∈Ran(A)⊥ . K¨ ovetkezm´ eny A∗ pontosan akkor injekt´ıv, ha Ran(A) s˝ ur˝ u H-ban.

´ ıtás Ha A olyan s˝ur˝un értelmezett operátor, hogy A injekt´ıv és 16.8. All´ −1 Dom(A )=Ran(A) s˝ ur˝ u, akkor (A−1 )∗ =(A∗ )−1 . ´s Mind AA−1 mind A−1 A s˝ Bizony´ıta ur˝ un értelmezett, és az identitásnak a lesz˝ uk´ıtései, tehát az adjungáltjuk a 16.2. (i) szerint maga az identitás. A szorzatok adjujungál´ as´ anak szabály´ ab´ ol (A−1 )∗ A∗ ⊂ (AA−1 )∗ = idH ,

A∗ (A−1 )∗ ⊂ (A−1 A)∗ = idH .

Azt kell már csak megmutatnunk, hogy a bal oldalakon álló szorzatok értelmezési tartománya a megegyezik a hátul álló operátor értelmezési tartományával, azaz Ran(A∗ ) ⊂ Dom(A−1 )∗ és Ran(A−1 )∗ ⊂ Dom(A∗ ). ´ Ame: ha z ∈ Ran(A∗ ), akkor van olyan y ∈ Dom(A∗ ), hogy z = A∗ y. Ekkor ⟨z| ◦ A−1 = ⟨A∗ y| ◦ A−1 ⊂ ⟨y| ◦ A ◦ A−1 ⊂ ⟨y|, azaz z benne van (A−1 )∗ értelmezési tartományában. Ha z ∈ Ran(A−1 )∗ , akkor van olyan y ∈ Dom(A−1 )∗ , hogy z = (A−1 )∗ y. Ekkor ⟨z| ◦ A = ⟨(A−1 )∗ y| ◦ A ⊂ ⟨y| ◦ A−1 ◦ A ⊂ ⟨y|, azaz z benne van A∗ értelmezési tartományában. 16.9. H × H-n ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) 7→⟨x1 , y1 ⟩+⟨x2 , y2 ⟩ skal´ arszorzat, mely ⟨(x1 , x2 ), (x1 , x2 )⟩=∥x1 ∥2 +∥x2 ∥2 miatt a kettes szorzatnormát indukálja, tehát H×H ezzel a skalárszorzattal Hilbert-tér (teljes). A V : H×H→H×H,

(x, y) 7→(−y, x)

leképezés lineáris, izometrikus bijekció, és V ◦V =−idH×H .

´ ıtás Ha A s˝ur˝un értelmezett operátor, akkor All´ Graph(A∗ )=(V [Graph(A)])⊥ .

17. Speciális t´ıpus´ u operátorok

7

´s A Hilbert-tér x és y vektorára (x, y)∈(V [Graph(A)])⊥ akkor és csak Bizony´ıta akkor teljes¨ ul, ha minden z∈Dom(A) esetén ⟨(x, y), V (z, Az)⟩=0 áll fönn; azonban ⟨(x, y), V (z, Az)⟩=−⟨x, Az⟩+⟨y, z⟩ miatt ez ekvivalens azzal, hogy minden z∈Dom(A) esetén ⟨x, Az⟩=⟨y, z⟩, következésképpen x∈Dom(A∗ ) valamint y=A∗ x, tehát (x, y) ∈ Graph(A∗ ). Ez az eredmény¨ unk magában foglalja azt, amit 16.3-ban mondtunk: látjuk, hogy A∗ grafikonja zárt lineáris altér, tehát A∗ zárt operátor. Mivel V izometrikus, megtartja az ortogonalitást, ezért V [(V [Graph(A)])⊥ = (V V [Graph(A)])⊥ , ´ıgy az is igaz, hogy V [Graph(A∗ )] = (Graph(A))⊥ .

´ ıtás Ha Z s˝ur˝un értelmezett zárt operátor, akkor Dom(Z ∗ ) s˝ur˝u. 16.10. All´ ´s Ha z∈Dom(Z ∗ )⊥ , akkor y∈Dom(Z ∗ ) esetén ⟨z, y⟩=0, következésképBizony´ıta pen ⟨(0, z), V (y, Z ∗ y)⟩=⟨z, y⟩=0, ezért (0, z)∈(V [Graph(Z ∗ )])⊥ = Graph(Z)⊥⊥ = Graph(Z), (ugyanis Graph(Z) zárt lineáris altér), ´ıgy z=Z(0)=0, tehát Dom(Z ∗ )⊥ ={0}, azaz Dom(Z ∗ ) s˝ ur˝ u.

´ ıtás Az A s˝ur˝un értelmezett operátor pontosan akkor lezárható, 16.11. All´ ha A∗ s˝ ur˝ un értelmezett, és ekkor A = A∗∗ . ´s Ha A lezárhat´ Bizony´ıta o, akkor A⊂A, következésképpen (A)∗ ⊂A∗ ; mivel (A)∗ ∗ s˝ ur˝ un értelmezett, A is az. Ha A∗ s˝ ur˝ un értelmezett, akkor Graph(A∗∗ ) = (V [Graph(A∗ )])⊥ = Graph(A)⊥⊥ = Graph(A), ´ıgy A lezárhat´ o, és A=A∗∗ .

17. Speciális t´ıpus´ u operátorok 17.1. Már eddig is sokat szerepeltek izometrikus lineáris leképezések, most ezeket vizsgáljuk meg közelebbr˝ol.

8


´ ıtás Egy V : H H operátorra a következ˝ok egyenérték˝uek: 1. All´ (i) ∥V x∥ = ∥x∥ minden x ∈ Dom(V ) esetén, (ii) ⟨V x, V y⟩ = ⟨x, y⟩ minden x, y ∈ Dom(V ) esetén. ´s (ii)-b˝ol nyilv´ Bizony´ıta anvalóan következik (i), az pedig a azért vonja maga után (ii)-t, mert a skal´ arszorzatot a norma a 10.1. áll´ıtás szerint meghatározza. Teh´ at egy operátor pontosan akkor izometrikus, ha skalárszorzattatrtó. Megjegyezz¨ uk, hogy ha V izometrikus operátor, akkor – V folytonos, ∥V ∥ = 1, – V injekt´ıv, és V −1 is izometrikus.

´ ıtás Egy V izometrikus operátorra a következ˝ok egyenérték˝uek: 2. All´ (i) Dom(V ) zárt, (ii) Ran(V ) z´ art, (iii) Graph(V ) zárt. ´s Legyen Dom(V ) zárt. Vegy¨ Bizony´ıta unk egy (yn )n∈N konvergens sorozatot Ran(V )-ben. Ekkor minden n-re van olyan xn ∈ Dom(V ), hogy yn = V xn . Mivel ∥xm − xn ∥ = ∥ym − yn ∥, az (xn )n∈N sorozat Cauchy-féle, ezért konvergens, x := lim xn ∈ Dom(V ). Minthogy ∥V x − yn ∥ = ∥x − xn ∥, az igaz, hogy n

lim yn = V x ∈ Ran(V ), azaz Ran(V ) zárt. n

A V −1 izomertrikus operátorra alkalmazva az el˝obbi eredményt látjuk, ha Ran(V ) zárt, akkor Dom(V ) is zárt. V folytonossága és a zártgrafikon-tétel szerint Graph(V ) zártsága egyenérték˝ u Dom(V ) zárts´ ag´ aval.

´ ıtás Egy mindenütt értelmezett V operátor pontosan akkor izo17.2. All´ metrikus, ha V ∗ V = idH , és ekkor

V V ∗ = PRan(V )

(ahol az utolsó szimbólum a Ran(V ) zárt lineáris altér ortogonális projektorát jelöli). ´s Ha V izometrikus, akkor minden x, y ∈ H esetén Bizony´ıta ⟨x, y⟩ = ⟨V x, V y⟩ = ⟨V ∗ V x, y⟩, amib˝ol a 11.4-ben mondottak szerint V ∗ V = idH . Ha viszont ez az utóbbi egyenl˝oség teljes¨ ul, akkor minden x, y ∈ H esetén ⟨x, y⟩ = ⟨x, V ∗ V y⟩ = ⟨V x, V y⟩.


9

Ha z ∈ Ran(V ), akkor létezik x ∈ H u ´gy, hogy z = V x, és V V ∗ z = V V ∗ V x = ⊥ ¨ V x = z. Ha z ∈ (Ran(V )) = Ker(V ∗ ), tehát V V ∗ z = 0. Osszegezve: VV∗ ⊥ ∗ a Ran(V )-n az identitás, (Ran(V ) -on a nulla, tehát V V az áll´ıtott ortogonális projektor. 17.3. Defin´ıci´ o Egy bijekt´ıv izometrikus operátort unitérnek h´ıvunk. Egy izometrikus operátor, mégha minden¨ utt is van értelmezve, nem sz¨ ukségképpen unitér. Példa erre l2 -ben a jobbra tolás operátora, amely mindenhol értelmezett, izometrikus, azonban nem sz¨ urjekt´ıv, ezért nem unitér: az (1, 0, 0, . . . ) vektor nincs benne az értékkészletében.

´ ıtás Egy s˝ur˝un értelmezett U operátor pontosan akkor unitér, ha U ∗ =U −1 . All´ ´s Ha U unitér, akkor az el˝oz˝o áll´ıtás szerint U ∗ U = idH , U U ∗ = Bizony´ıta PRan(U ) = idH , tehát val´ oban az U adjungáltja az inverze is egyben. Ha U s˝ ur˝ un értelmezett, és U ∗ = U −1 , akkor minden x∈Dom(U ) esetén ∥U x∥2 = ⟨U x, U x⟩ = ⟨U ∗ U x, x⟩ = ⟨x, x⟩ = ∥x∥2 , ´ıgy U izometrikus. U −1 zárt, mert egy adjungált operátorral egyenl˝o; de ekkor U is zárt. A 17.1.2. áll´ıt´ as szerint ekkor Dom(U ) zárt, azaz U minden¨ utt értelmezett. Ekkor viszont U ∗ is minden¨ utt értélmezett, azaz H = Dom(U −1 ) = Ran(U ). Mindent egybevetve U izometrikus bijekció, azaz unitér. 17.4. Defin´ıci´ o Az S s˝ur˝un értelmezett operátor (1) szimmetrikus, ha S⊂S ∗ , (2) ¨ onadjung´ alt, ha S=S ∗ . Mivel bármely operátor adjungáltja zárt, önadjungált operátor sz¨ ukségképpen zárt. Ezért egy önadjung´ alt operátor a zártgrafikon-tétel szerint pontosan akkor folytonos, ha minden¨ utt értelmezett. Egy S szimmetrikus operátor adjungáltja s˝ ur˝ un van értelmezve, hiszen S ⊂ S ∗ , ezért a 16.11. áll´ıt´ as szerint S lezárható és S = S ∗∗ ; a 16.4.(3) szerint S ∗∗ ⊂ S ∗ ; ∗ tovább´ a S z´ art operátor, ezért (S ∗ )∗∗ = S ∗ ; mindezek azt eredményezik, hogy a szimmetrikus operátor lezártja is szimmetrikus: S=S ∗∗ ⊂S ∗ =(S ∗ )∗∗ =(S ∗∗ )∗ =(S)∗ . Egy szimmetrikus operátort l´ enyeg´ eben ¨ onadjung´ altnak nevez¨ unk, ha lezártja önadjungált. Az S szimmetrikus operátor pontosan akkor lényegében önadjungált, ha S ∗∗ =S ∗ teljes¨ ul. Ha az S szimmetrikus operátor a T szimmetrikus operátor kiterjesztése, akkor T ⊂S⊂S ∗ ⊂T ∗ teljes¨ ul. Ebb˝ol következik, hogy önadjungált operátor maximális szimmetrikus operátor, azaz nincs valódi szimmetrikus kiterjesztése.

10


Ha tehát T és S ¨ onadjung´ alt operátorok és T ⊂ S, akkor T = S. 17.6. Defin´ıci´ o Egy N s˝ur˝un értelmezett zárt operátort normálisnak nevez¨ unk, ha N N ∗ =N ∗ N . Nyilv´ anval´ o, hogy az unitér és az önadjungált operátorok normálisak.

´ ıtás Ha N normális operátor, akkor All´ (1) Dom(N ∗ )=Dom(N ), (2) minden x∈Dom(N ) esetén ∥N ∗ x∥ = ∥N x∥. ´s Minden y∈Dom(N ∗ N ) esetén Bizony´ıta ∥N y∥2 = ⟨N y, N y⟩ = ⟨N ∗ N y, y⟩ = ⟨N N ∗ y, y⟩ = ⟨N ∗ y, N ∗ y⟩ = ∥N ∗ y∥2 , tehát ∥N ∗ y∥=∥N y∥. Legyen x∈Dom(N ). Ekkor a 16.12. áll´ıtás szerint létezik (yn )n∈N sorozat Dom(N ∗ N )-ben u ´gy, hogy (x, N x)= lim(yn , N yn ). Minden n

m, n∈N esetén ∥N ∗ yn −N ∗ ym ∥=∥N yn −N ym ∥, ´ıgy (N ∗ yn )n∈N Cauchy-sorozat Hban, következésképpen létezik lim N ∗ yn =:z. Mivel N ∗ zárt, ez maga után vonja, n

hogy x∈Dom(N ∗ ) és z=N ∗ x, ezért ∥N ∗ x∥ = ∥z∥ = lim ∥N ∗ yn ∥ = lim ∥N yn ∥=∥N x∥. n

n

Emellett azt kaptuk még, hogy Dom(N )⊂Dom(N ∗ ). N és N ∗ szerepét felcserélve, N ∗∗ =N miatt (ugyanis N zárt) Dom(N ∗ )⊂Dom(N ) is igaz, azaz Dom(N ∗ ) = Dom(N ). K¨ ovetkezm´ eny Ha N normális operátor, akkor Ker(N ) = Ker(N ∗ ) = Ran(N )⊥ .

17.7. Ha S önadjung´ alt és injekt´ıv, akkor a 16.8. szerint az inverze is önadjungált: (A−1 )∗ =(A∗ )−1 =A−1 . miatt A−1 önadjungált. Természetesen unitér operátor inverze is unitér. Most megmutatjuk, normális operátorra is hasonló igaz.

´ ıtás Az N normális operátor pontosan akkor injekt´ıv, ha Ran(N ) s˝ur˝u, All´

és ekkor N −1 normális. Ha Ran(N )=H, akkor N −1 folytonos.

´s Ker(N )=Ran(N )⊥ miatt N akkor és csak akkor injekt´ıv, ha Ran(N ) Bizony´ıta s˝ ur˝ u, és ekkor N −1 (N −1 )∗ =N −1 (N ∗ )−1 =(N ∗ N )−1 =(N N ∗ )−1 =(N ∗ )−1 N −1 =(N −1 )∗ N −1 ,


11

tehát N −1 norm´ alis. Ha Ran(N )=H, akkor N −1 a zárt grafikon tétele szerint folytonos.

´ ıtás Ha A s˝ur˝un értelmezett operátor egy komplex Hilbert-téren, 17.8. All´ akkor (1) A⊂A∗ pontosan akkor, ha minden x∈Dom(A) esetén ⟨x, Ax⟩∈R. (2) A=0 pontosan akkor, ha minden x∈Dom(A) esetén ⟨x, Ax⟩=0. ´s Ha A ⊂ A∗ , akkor minden x∈Dom(A) esetén Bizony´ıta ∗

⟨x, Ax⟩ = ⟨Ax, x⟩ = ⟨x, Ax⟩ , következésképpen ⟨x, Ax⟩∈R. Vezess¨ uk be x, y∈Dom(A) az α := ⟨x, Ay⟩+⟨y, Ax⟩ = ⟨x+y, A(x+y)⟩−⟨x, Ax⟩−⟨y, Ay⟩, és β := i⟨x, Ay⟩−i⟨y, Ax⟩ = ⟨x+iy, A(x+iy)⟩−⟨x, Ax⟩−⟨y, Ay⟩ jelölést. (1) Ha minden x∈Dom(A) esetén ⟨x, Ax⟩∈R, akkor α, β∈R, ´ıgy ( )∗ α−iβ α+iβ ∗ ⟨x, Ay⟩ = = = ⟨y, Ax⟩ = ⟨Ax, y⟩, 2 2 tehát A⊂A∗ . (2) Ha minden x∈Dom(A) esetén ⟨x, Ax⟩=0, akkor α=β=0, ´ıgy ⟨x, Ay⟩=0. Mivel Dom(A) s˝ ur˝ u, ebb˝ol következik, hogy Ay=0 minden y∈Dom(A) esetén, azaz A=0. Vil´ agos, hogy val´ os Hilbert-téren (1) nem igaz, hiszen a skalárszorzat minden értéke val´ os, és vannak nem szimmetrikus operátorok (még véges dimenzióban is). Ugyancsak egyszer˝ u ellenpélda hozható arra, hogy valós Hilbert-téren (2) sem igaz: példa erre R2 -n (a szokásos skalárszorzással) az (x, y) 7→ (−y, x) lineáris leképezés.

´ ıtás Ha S folytonos (tehát mindenütt értelmezett) önadjungált 17.9. All´ operátor, akkor ∥S∥ = sup |⟨x, Sx⟩|. ∥x∥≤1

´s Nyilvánval´ Bizony´ıta o, hogy α := sup |⟨x, Sx⟩| ≤ ∥S∥. ∥x∥≤1

12


Minden x, y∈H létezik λ∈T u ´gy, hogy |⟨y, Sx⟩|=λ∗ ⟨y, Sx⟩=⟨λy, Sx⟩. Ekkor speciálisan ⟨λy, Sx⟩∈R, ´ıgy ( ) 1 ⟨λy, Sx⟩ = ⟨x+λy, S(x+λy)⟩ − ⟨x−λy, S(x−λy)⟩ , 4 következésképpen, ha ∥x∥≤1 és ∥y∥≤1, akkor |⟨y, Sx⟩| ≤

α α (∥x+λy∥2 +∥x−λy∥2 ) = (∥x∥2 +∥y∥2 ) ≤ α, 4 2

ezért ∥S∥≤α.

´ ıtás Ha N folytonos (tehát mindenütt értelmezett) normális 17.10. All´ operátor, akkor ∥N 2 ∥ = ∥N ∥2 . ´s A Hilbert-tér minden x elemére a 17.6. áll´ıtás szerint ∥N 2 x∥ = Bizony´ıta ∗ ∥N N x∥, amib˝ol azonnal adódik, hogy ∥N 2 ∥ = ∥N ∗ N ∥; már csak a 16.6. áll´ıtást kell figyelembe venn¨ unk, hogy a bizony´ıtás végére érj¨ unk.

18. Pozit´ıv operátorok 18.1. Ha T szimmetrikus operátor, akkor minden x ∈ Dom(T ) esetén ⟨x, T x⟩ ∈ R. Ez persze triviális val´ os Hilbert-terekre, komplex Hilbert-terekre is egyszer˝ u tény, és ott még egyenérték˝ u is azzal, hogy T szimmetrikus (lásd a 17.8. áll´ıtást).

Defin´ıció Legyenek S és T olyan önadjungált operátorok, melyek egyike legalább minden¨ utt értelmezett. Azt mondjuk, hogy S nagyobb vagy egyenl˝ o, mint T (S≥T ), ha minden x∈Dom(S)∩Dom(T ) esetén ⟨x, Sx⟩≥⟨x, T x⟩. Az S önadjung´ alt operátor pozit´ıv, ha S≥0, és szigor´ uan pozit´ıv, ha létezik σ>0 u ´gy, hogy S≥σidH . A 17.9. áll´ıt´ as egyszer˝ u következménye:

´ ıtás Ha S, T ∈ Lin(H) és S ≥ T ≥ 0, akkor ∥S∥ ≥ ∥T ∥. All´ ´ ıtás Legyen Z s˝ur˝un értelmezett zárt operátor. Ekkor Z ∗ Z pozit´ıv 18.2. All´ önadjung´ alt operátor. ´s x∈Dom(Z ∗ Z) esetén Bizony´ıta ∥x∥ ∥(idH +Z ∗ Z)x∥ ≥ ⟨x, (idH +Z ∗ Z)x⟩ = ∥x∥2 + ∥Zx∥2 ≥ ∥x∥2 ,

18. Pozit´ıv operátorok

13

´ıgy ∥(idH +Z ∗ Z)x∥≥∥x∥, tehát (idH +Z ∗ Z) injekt´ıv, és inverze folytonos. A 16.12. áll´ıt´ as szerint Ran(idH +Z ∗ Z)=H, tehát A:=(idH +Z ∗ Z)−1 :H→Dom(Z ∗ Z) folytonos operátor. Minden y1 , y2 ∈H esetén létezik x1 , x2 ∈Dom(Z ∗ Z) u ´gy, hogy y1 =(idH +Z ∗ Z)x1 ∗ és y2 =(idH +Z Z)x2 , ezért ⟨y2 , Ay1 ⟩ =⟨(idH +Z ∗ Z)x2 , x1 ⟩ = ⟨x2 , x1 ⟩ + ⟨Z ∗ Zx2 , x1 ⟩ = =⟨x2 , x1 ⟩ + ⟨Zx2 , Zx1 ⟩ = ⟨x2 , x1 ⟩ + ⟨x2 , Z ∗ Zx1 ⟩ = =⟨x2 , (idH +Z ∗ Z)x1 ⟩ = ⟨Ay2 , y1 ⟩, tehát A ¨ onadjung´ alt. A injekt´ıv és az inverze s˝ ur˝ un értelmezett (a 16.12. áll´ıtás szerint), ezért a 16.8. áll´ıt´ as miatt (idH +Z ∗ Z) önadjungált, ´ıgy Z ∗ Z is önadjungált (lásd 16.4.(1)). Ha x∈Dom(Z ∗ Z), akkor ⟨x, Z ∗ Zx⟩=∥Zx∥2 ≥0, azaz Z ∗ Z pozit´ıv.

´ ıtás Ha S ∈ Lin(H) pozit´ıv önadjungált operátor, akkor minden 18.3. All´ x, y ∈ H esetén (i) |⟨y, Sx⟩|2 ≤ ⟨y, Sy⟩⟨x, Sx⟩, (ii) ∥Sx∥2 ≤ ∥S∥⟨x, Sx⟩. ´s (i) Az (y, x) 7→ ⟨y, Sx⟩ leképezésre teljes¨ Bizony´ıta ulnek a 10.4-beli tulajdonságok, ´ıgy igaz rá a Cauchy–Schwartz-egyenl˝otlenség. (ii) Az el˝oz˝ o egyenl˝ otlenség alapján 2

∥Sx∥4 = ⟨Sx, Sx⟩ ≤ ⟨Sx, S(Sx)⟩⟨x, Sx⟩ ≤ ∥Sx∥ ∥S 2 x∥⟨x, Sx⟩ ≤ ∥S∥ ∥Sx∥2 ⟨x, Sx⟩.

´ ıtás Legyenek T, Sn ∈ Lin(H) önadjungált operátorok, Sn ≤ 18.4. All´ Sn+1 ≤ T (n∈N). Ekkor létezik (s) lim Sn , (pontonkénti határérték) amely n önadjung´ alt, és kisebb vagy egyenl˝o mint T . ´s Ha m < n, akkor 0 ≤ Sn −Sm ≤ S−S1 , ´ıgy 18.1. alapján ∥Sn −Sm ∥ ≤ Bizony´ıta ∥S − S1 ∥, valamint a 18.3.(ii) következtében a H ninden x elemére ∥(Sn − Sm )x∥2 ≤ ∥S − S1 ∥⟨x, (Sn − Sm )x⟩.

(∗)

Az ⟨x, Sn x⟩ (n∈N) val´ os sorozat monoton növekv˝o, fel¨ ulr˝ ol korlátos, tehát konvergens; mivel ⟨x, Sn x⟩ − ⟨x, Sm x⟩ = ⟨x, (Sn − Sm x⟩, a (∗) becslés alapján (Sn x)n∈N Cauchy-sorozat a Hilbert-térben, tehát konvergens, ami éppen azt jelenti, hogy létezik (s) lim Sn ∈ Lin(H). n

14


Annak bizony´ıt´ as´ at, hogy ez a határérték önadjungált és kisebb-egyenl˝o mint T , mint egyszer˝ u feladatot az olvasóra b´ızzuk.

19. Operátorsorozatok konvergenciája 19.1 Defin´ıci´ o Azt mondjuk, hogy mindenütt értelmezett folytonos operátorok (An )n∈N sorozata – norm´ aban (vagy uniform) konvergens, ha létezik A minden¨ utt értelmezett folytonos operátor u ´gy, hogy lim ∥An − A∥ = 0, és ekkor az A = n

(u) lim An jelölést használjuk; n – er˝ osen konvergens, ha létezik A minden¨ utt értelmezett folytonos operátor u ´gy, hogy lim An x = Ax minden x ∈ H esetén, és ekkor az A = n

(s) lim An jelölést használjuk (vagyis az er˝os konvergencia a pontonkénti konn

vergencia); – gyeng´ en konvergens, ha létezik A minden¨ utt értelmezett folytonos operátor u ´ gy, hogy lim ⟨y, An x⟩ = ⟨y, Ax⟩ minden x, y ∈ H esetén, és ekkor n

az A = (w) lim An jelölést használjuk. n

19.2 Egyszer˝ u feladat bebizony´ıtani: hogy

´ ıtás Ha az operátorsorozat All´ –

normában konvergens, akkor er˝osen is konvergens és (s) lim An = n

(u) lim An , n

– er˝osen konvergens, akkor gyengén is konvergens és (w) lim An = (s) lim An . n

Viszont ford´ıtva nem áll. Legyen l2 -ben a jobbra tol´ as oper´ atora R : l2 → l2 ,

(a1 , a2 , a3 , . . . ) 7→ (0, a1 , a2 , a3 , . . . ),

és a balra tol´ as oper´ atora L : l2 → l2 ,

(a1 , a2 , a3 , a4 , . . . ) 7→ (a2 , a3 , a4 , . . . ).

K¨ onny˝ u megmutatni, hogy – az (Ln )n∈N sorozat normában nem konvergens, de (s) lim Ln = 0, n

– az (Rn )n∈N sorozat er˝osen nem konvergens, de (w) lim Rn = 0. n

n

20. Differenciálás-operátor L2 (R, C)-ben

15

19.3. A normában konvergens operátorsorzat tudvalev˝oleg korlátos, és a Banach–Steinhaus-tételb˝ ol azonnal következik, hogy ez igaz az er˝osen konvergens operátorsorozatra is:

´ ıtás Ha (An )neN normában vagy er˝osen konvergens, akkor van olyan α All´ szám, hogy ||An || ≤ α minden n-re.

´ ıtás (i) Az operátorok lineáris m˝uveletei felcserélhet˝ok az el˝oz˝o 19.4. All´ feladatban értelmezett mindhárom határértékkel, azaz ha A = (.) lim An és n

B = (.) lim Bn , akkor A + B = (.) lim (An + Bn ), és hasonló igaz a számmal n n szorzásra. (ii) Az operátorok szorzása felcserélhet˝o az egyenletes és az er˝os határértékkel, azaz ha A = (u) lim An és B = (u) lim Bn , akkor AB = (u) lim (An Bn ), n n n és ugyanez igaz az er˝os limeszre is. (iii) Az adjungál´ as felcserélhet˝o az egyenletes és a gyenge határértékkel, azaz ha A = (u) lim An , akkor A∗ = (u) lim A∗n , és ugyanez igaz a gyenge n n limeszre is. ´s (i) nyilv´ Bizony´ıta anval´ o (ii) Az ||An Bn x − ABx|| ≤||An Bn x − An Bx|| + ||An Bx − ABx|| ≤ ≤||An || ||Bn x − Bx|| + ||B|| ||An x − Ax|| ≤ ≤α||Bn x − Bx|| + ||B|| ||An x − Ax|| egyenl˝ otlenségek biztos´ıtj´ ak a konvergenciát. (iii) A normában val´ o konvergenciát ||A∗n − A∗ || = ||(An − A)∗ || = ||An − A|| mutatja, a gyenge konvergenciát pedig ⟨y, A∗n x⟩ − ⟨y, A∗ x⟩ = ⟨y, (A∗n − A∗ )x⟩ = ⟨y, (An − A)∗ x⟩ = ⟨(An − A)y, x⟩. Viszont a gyenge határértékre (ii) nem teljes¨ ul: (w) lim Ln = (w) lim Rn = 0, n n n n de L R = idH minden n-re. Az er˝os határértékre pedig (iii) nem teljes¨ ul: (s) lim Ln = 0, de az (Ln )∗ = Rn n sorozatnak nem létezik er˝os határértéke.

20. Differenciálás-operátor

L2 (R, C)-ben

16


20.1. Defin´ıci´ o L2 (R, C)-ben a Dom(P ) := {ϕ∈L2 (R, C) | ϕ abszol´ ut folytonos, ϕ′ ∈L2 (R, C)}, és

ϕ7→−iϕ′ ,

P : Dom(P )→L2 (R, C),

formul´ akkal meghatározott operátort differenci´ al´ as-oper´ atornak nevezz¨ uk. P s˝ ur˝ un értelmezett, hiszen Dom(P ) tartalmazza a végtelenszer differenciálható, kompakt tartój´ u f¨ uggvényeket.

´ ıtás Ha ϕ∈Dom(P ), akkor lim ϕ= lim ϕ=0. All´ +∞

−∞

´s ϕ∈Dom(P ) esetén ϕ′ ∈L2 (R, C), ´ıgy (ϕ∗ )′ ϕ és ϕ∗ ϕ′ Lebesgue-integBizony´ıta rálhat´ o, következésképpen létezik ∫x C:= lim

((ϕ∗ )′ ϕ+ϕ∗ ϕ′ ) = lim

x→±∞

x→±∞

[ 2 ]x |ϕ| 0 = lim |ϕ(x)|2 −|ϕ(0)|2 , x→±∞

0

tehát lim |ϕ(x)|2 =|ϕ(0)|2 +C, azonban |ϕ|2 integrálhatósága miatt csak x→±∞

lim |ϕ(x)|2 = 0

x→±∞

lehetséges.

´ ıtás P ∗ =P . 20.2. All´ ´s Legyen ϕ, ψ∈Dom(P ); ekkor Bizony´ıta ∫ ∫ ∫ ⟨ψ, P ϕ⟩ = ψ ∗ (−iϕ′ ) = i (ψ ∗ )′ ϕ = (−iψ ′ )∗ ϕ′ = ⟨P ψ, ϕ⟩ , R

R

R

következésképpen P ⊂P ∗ . Legyen ψ∈Dom(P ∗ ); ekkor P ∗ ψ ∈ L2 (R, C), és tudjuk, hogy négyzetesen integrálhat´ o f¨ uggvények véges mérték˝ u halmazon integr´ alhatók, ezért minden a, b∈R,   ∫ a
a

hogy (ψ−η)=0 teljes¨ ulj¨ on. η abszol´ ut folytonos, és η ′ = iP ∗ ψ. a

21. A f¨ uggvénnyel val´ o szorzás-operátorok

17

Ha ϕ∈Dom(P ) tartója része az [a, b] intervallumnak, akkor ∫b −i

∗ ′

∗

∫b

ψ ϕ = ⟨ψ, P ϕ⟩ = ⟨P ψ, ϕ⟩ = a

∫b

∗

(P ψ) ϕ = a

= [iη ∗ ϕ]ba − i

∫b

∫b

(−iη ′ )∗ ϕ =

a

η ∗ ϕ′ = −i

a

következésképpen

∗

∫b

η ∗ ϕ′ ,

a

(ψ−η)∗ ϕ′ =0.

a

A ϕ : R→C,

 ∫x  (ψ−η), x7→ a  0,

ha x∈[a, b], ha x∈[a, / b]

f¨ uggvény benne van P értelmezési tartományában, tartója része az [a, b] interval∫b lumnak, ´ıgy |ψ−η|2 =0, következésképpen ψ az [a, b]-n Lebesgue-majdnem mina

den¨ utt egyenl˝ o η-val, tehát ψ az [a, b]-n abszol´ ut folytonos és (ψ|[a,b] )′ =iP ∗ ψ|[a,b] . Ez minden [a, b] intervallumra igaz, ´ıgy ψ abszol´ ut folytonos és ψ ′ =iP ∗ ψ∈L2 (R, C), ∗ azaz ψ∈Dom(P ). Ezzel beláttuk, hogy P ⊂P , és ´ıgy P ∗ =P .

21. A f¨ uggvénnyel való szorzás-operátorok 21.1. Defin´ıci´ o Legyen (X, A, µ) σ-véges mértéktér, és f : X→C mérhet˝o f¨ uggvény. A Dom(Mf ) := {ϕ∈L2µ (X) | f ϕ∈L2µ (X)}, Mf : Dom(Mf )→L2µ (X),

ϕ7→f ϕ

formul´ akkal meghatározott Mf -et az f -fel val´ o szorz´ as oper´ ator´ anak nevezz¨ uk.

´ ıtás Dom(Mf )⊂L2µ (X) s˝ur˝u lineáris altér. All´ ´s Nyilvánval´ Bizony´ıta o, hogy Dom(Mf ) lineáris altere L2µ (X)-nek. Ha ϕ∈L2µ (X), akkor minden n∈N esetén Fn :={|f |≤n}⊂X mérhet˝o halmaz, és |f χFn ϕ|≤nχFn |ϕ| miatt χFn ϕ∈Dom(Mf ). A (χFn ϕ)n ∈N sorozat pontonként ϕ-hez konvergál, és |ϕ| négyzetesen integrálhat´ o majoránsa, ´ıgy a Lebesgue-tétel szerint (χFn ϕ)n∈N ϕ-hez 2 konverg´ al Lµ (X)-ben is.

18


´ ıtás Legyen f és g két X→C mérhet˝o függvény. Mf =Mg pontosan 21.2. All´ akkor teljes¨ ul, ha f és g µ-majdnem minden¨ utt egyenl˝ok. ´s Nyilvánval´ Bizony´ıta o, hogy ha f és g µ-majdnem minden¨ utt egyenl˝ok, akkor Mf =Mg . Tegy¨ uk fel, hogy f és g nem µ-majdnem minden¨ utt egyenl˝ok, és zárjuk ki a µ = 0 triviális esetet. Ekkor létezik E∈A, amelyre ∞ > µ(E) > 0, és E⊂{f ̸=g}. Minden n∈N esetén Hn := E ∩ {|f |≤n} ∩ {|g|≤n} ∪ mérhet˝ o halmaz, Hn =E, következésképpen létezik olyan m∈N, hogy µ(Hm )>0. n∈N

Ekkor |f χHm |≤m|χHm | és |gχHm |≤m|χHm | miatt χHm ∈Dom(Mf ) ∩ Dom(Mg ). Az f χHm és a gχHm f¨ uggvények nem µ-majdnem minden¨ utt egyenl˝ok, tehát Mf χHm ̸=Mg χHm , és ´ıgy Mf ̸=Mg .

´ ıtás Mf pontosan akkor folytonos, ha f µ-korlátos, és ekkor 21.3. All´ ∥Mf ∥ = ∥f |∞ . ´s Legyen f µ-korlátos. Ekkor minden ϕ∈L2µ (X) esetén f ϕ∈L2µ (X), Bizony´ıta azaz Dom(Mf )=L2µ (X), és ∫ 2 ∥Mf ϕ∥ = |f ϕ|2 dµ ≤ (∥f |∞ )2 ∥ϕ∥2 , X

következésképpen Mf korl´ atos, és ∥Mf ∥≤∥f |∞ . Legyen α olyan szám, hogy ∥f |∞ >α. Ekkor µ({|f |>α})̸=0, ´ıgy létezik E∈A olyan, hogy 0<µ(E)<∞, és E⊂{|f |>α}. A χE ψ := √ ∈ L2µ (X) µ(E) f¨ uggvény olyan, hogy ∥ψ∥=1 és ∥f ψ∥>α, tehát ∥Mf ∥ > α, ´ıgy ∥Mf ∥≥∥f |∞ . Tegy¨ uk fel, hogy f nem µ-korlátos. Ekkor minden n∈N esetén létezik olyan mn ∈ N és En ∈A, amelyre 0<µ(En )<∞, és En ⊂{|f |>n} ∩ {|f |<mn }. A χE ψn := √ n ∈ L2µ (X) µ(En ) f¨ uggvények olyanok, hogy ∥ψn ∥=1, ψn ∈ Dom(Mf ) és ∥f ψn ∥>n, tehát Mf nem korl´ atos.

´ ıtás (Mf )∗ =Mf ∗ . 21.4. All´

21. A f¨ uggvénnyel val´ o szorzás-operátorok

19

´s Ha ϕ, ψ∈Dom(Mf )=Dom(Mf ∗ ), akkor Bizony´ıta ∫ ∫ ⟨ ⟩ ∗ ⟨ϕ, Mf ψ⟩ = ϕ f ψdµ = (f ∗ ϕ)∗ ψdµ = Mf∗ ϕ, ψ , X

X ∗

következésképpen Mf ∗ ⊂(Mf ) . Ha ϕ∈Dom((Mf )∗ ) és ψ∈Dom(Mf ), akkor ∫ ∫ ∫ ((Mf )∗ ϕ)∗ ψdµ = ⟨(Mf )∗ ϕ, ψ⟩ = ⟨ϕ, Mf ψ⟩ = ϕ∗ f ψdµ = (f ∗ ψ)∗ ψdµ , X

X

´ıgy

∫

X

((Mf )∗ ϕ−f ∗ ϕ)∗ ψdµ=0.

X

Legyen n∈N esetén Fn := {|f | ≤ n}, és ψ := χFn ((Mf )∗ ϕ−f ∗ ϕ). (Mf )∗ ϕ∈L2µ (X), és az |f ∗ ϕχFn |≤nχFn |ϕ| egyenl˝otlenség szerint f ∗ ϕχFn ϕ∈L2µ (X), következésképpen ψ∈L2µ (X). Másrészt az |f ψ| = |f χFn ψ|≤nχFn |ψ| egyenl˝otlenség miatt f ψ∈L2µ (X), tehát ψ ∈ Dom(Mf ), és ´ıgy ∫ |(Mf )∗ ϕ−f ∗ ϕ|2 χFn dµ = 0, X ∗

∗

ezért (Mf ) ϕ=f∪ϕ az Fn halmazon µ-majdnem minden¨ utt. Ez tetsz˝oleges n∈N esetén igaz, és Fn =X, ´ıgy (Mf )∗ ϕ=f ∗ ϕ µ-majdnem minden¨ utt, következésn∈N

képpen ϕ∈Dom(Mf ∗ )=Dom(Mf ). Ezzel beláttuk, hogy (Mf )∗ ⊂ Mf ∗ , azaz (Mf )∗ =Mf ∗ . K¨ ovetkezm´ eny Mf zárt operátor minden f : X→C mérhet˝o f¨ uggvény esetén, ugyanis Mf =(Mf ∗ )∗ . Teh´ at a zártgrafikon-tétel miatt Mf pontosan akkor minden¨ utt értelmezett, ha folytonos, ami viszont a 21.3. áll´ıtás szerint azzal egyenérték˝ u, hogy f ∈ L∞ µ (X). 21.5. Egyszer˝ u tény, hogy M1 = idH , M0 = 0, és minden 0 ̸= λ ∈ K esetén Mλf = λMf (természetesen 0 = M0f ⊃ 0Mf ). Továbbá igaz még a következ˝o két összef¨ uggés is, és mindezek “r´ımelnek” a 16.4-ben mondottakra.

´ ıtás Legyenek f, g : X→C mérhet˝o függvények. Ekkor All´ (i) Mf +g ⊃Mf +Mg és egyenl˝oség áll, ha Mf és az Mg köz¨ ul az egyik folytonos, (ii) Mf g ⊃Mf Mg , a jobb oldal értelmezési tartománya Dom(Mg )∩Dom(Mf g ), és egyenl˝ oség áll, ha Mg folytonos.

20


´s (i) Ha ϕ ∈ Dom(Mf + Mg ), akkor f ϕ és gϕ négyzetesen integrálható, Bizony´ıta ´ıgy (f + g)ϕ is négyzetesen integrálható, tehát igaz a kijelentett tartalmazás. Ha péld´ aul Mg folytonos, azaz g ∈ L∞ es ϕ ∈ Dom(Mf +g ), akkor (f + g)ϕ µ (X), ´ és nyilv´ anval´ oan gϕ is négyzetesen integrálható, tehát f ϕ is négyzetesn integrálható, azaz ϕ ∈ Dom(Mf + Mg ), tehát vég¨ ul is Mf +g = Mf + Mg . (ii) Ha ϕ ∈ Dom(Mf Mg ), akkor gϕ és f (gϕ) = (f g)ϕ négyzetesen integrálható, tehát igaz a kijelentett tartalmazás. Az is nyilvánvaló ekkor, hogy a jobb oldal értelmezési tartománya része Dom(Mg ) ∩ Dom(Mf g )-nek. Ha viszont ϕ ez utóbbi halmaznak az eleme, akkor gϕ és (f g)ϕ = f (gϕ) négyzetesen integrálható, tehát ϕ ∈ Dom(Mf Mg ). Ha Mg folytonos, akkor minden¨ utt értelmezett, ezért az értelmezési tartományokra az ´ımént belátott öszef¨ uggés szerint Mf g = Mf Mg .

´ ıtás Mf normális operátor. 21.6. All´ ´s Ha ϕ∈Dom(M|f |2 ), akkor ϕ∈L2µ (X) és |f |2 ϕ ∈ L2µ (X), ´ıgy a szorzatuk Bizony´ıta |f |2 |ϕ|2 µ-integr´ alhat´ o, azaz f ϕ∈L2µ (X). Ez azt jelenti, hogy ϕ az Mf értelmezési tartomány´ anak is eleme. Arra jutottunk tehát, hogy Dom(M|f |2 ) ⊂ Dom(Mf ) = Dom(Mf ∗ ). Alkalmazva az el˝obbi áll´ıtás (ii) pontját a g:=f ∗ f¨ uggvényre azt kapjuk, hogy Mf Mf ∗ = M|f |2 = Mf ∗ Mf , azaz Mf normális.

´ ıtás Az Mf operátor pontosan akkor 21.7. All´ (i) önadjung´ alt, ha f = f ∗ µ-majdnem minden¨ utt (azaz f µ-majdnem minden¨ utt val´ os érték˝ u), (ii) unitér, ha |f | = 1 µ-majdnem minden¨ utt, (iii) projektor, ha létezik E ∈ A u ´gy, hogy f = χE µ-majdnem minen¨ utt (azaz f µ-majdnem minden¨ utt 0 és 1 érték˝ u). ´s A 21.3. és 21.4. áll´ıtásokból azonnal adódnak a k´ıvánt összef¨ Bizony´ıta uggések az alábbi formul´ ak alapján. (i) Mf = (Mf )∗ = Mf ∗ (ii) M1 = idH = Mf (Mf )∗ = Mf Mf ∗ = M|f |2 . (iii) Mf 2 = (Mf )2 = Mf .

22. A Heisenberg-féle felcserélési reláci´ o 22.1. Legyen P a 20. fejezetben definiált differenciálás-operátor a H:=L2 (R, C)

22. A Heisenberg-féle felcserélési reláció

21

Hilbert-téren, és Q:=MidR . Ekkor P és Q nem folytonos önadjungált operátorok, P Q−QP s˝ ur˝ un értelmezett, mert a kompakt tartój´ u végtelenszer differenciálható f¨ uggvények benne vannak az értelmezési tartományában, és P Q−QP ⊂−i idH . Legyen P a 20. fejezetben definiált valamelyik önadjungált differenciálás-operátor a H:=L2 ([−π, π], C) Hilbert-téren (P = Pα valamely α-ra) és Q:=Mid[−π,π] . Ekkor P nem folytonos, Q folytonos önadjungált operátor, P Q−QP s˝ ur˝ un értelmezett, és P Q−QP ⊂−i idH . Mindkét idézett esetben csak tartalmazás áll. Felmer¨ ul a kérdés, hogy létezik-e egyáltal´ an olyan P és Q ¨ onadjungált operátor valamely H Hilbert-térben, hogy teljes¨ ul a P Q−QP = −i idH u ´gynevezett Heisenberg-f´ ele felcser´ el´ esi rel´ aci´ o. Ha P és Q ilyenek, akkor minden¨ utt értelmezettek, ´ıgy zártságuk miatt folytonosak. A következ˝ o áll´ıt´ as azt mondja, hogy a fenti egyenl˝oség folytonos (nem sz¨ ukségképpen önadjung´ alt) operátorokra nem teljes¨ ulhet.

´ ıtás Ha A és B folytonos operárotorok, amelyekre AB−BA = λidH vaAll´ lamely λ∈K esetén, akkor λ=0. ´s Ha A és B eleget tesz az áll´ıtásban kirótt feltételnek, akkor indukciBizony´ıta óval megmutathat´ o, hogy minden n∈N esetén An B−BAn =nλAn−1 . Tegy¨ uk fel el˝osz¨ or, hogy létezik olyan n∈N, hogy An =0, de An−1 ̸=0. Ekkor n−1 n nλA =A B−BAn =0, következésképpen λ=0. Tegy¨ uk fel most, hogy An ̸=0 minden n∈N esetén. Ekkor n|λ|∥An−1 ∥ ≤ ∥An B∥ + ∥BAn ∥ ≤ 2∥B∥ ∥An−1 ∥∥A∥, ´ıgy |λ| ≤

2∥A∥ ∥B∥ n

minden n-re, következésképpen λ=0. 22.3. A kvantummechanika alapaxiómájaként szokás feltenni, hogy egy tömegpont P impulzus´ at és Q helyzetét olyan operátorokkal kell le´ırni, amelyek teljes´ıtik a Heisenberg-féle felcserélési relációt. Láttuk, ez lehetetlen. Ha helyette azt követelj¨ uk meg, hogy csak egy s˝ ur˝ u lináris altéren álljon fönn az egyenl˝oség, akkor már nem k´ıv´ anunk lehetetlent, amint azt a bevezet˝o példák mutatták. Ekkor azonban éppen ezeknek a péld´ aknak a b˝osége okozza a kellemetlenséget: legalább kontinuum sok unitér inekvivalens lehet˝oség van. Pontosan megmagyarázzuk, mit ért¨ unk ezen. Legyen P és Q olyan önadjungált operátor valamely H Hilbert-térben, hogy egy s˝ ur˝ u lineáris altéren teljes¨ ul a P Q−QP = −i idH összef¨ uggés, P ′ és Q′ olyan ′ önadjung´ alt operátor valamely H Hilbert-térben, hogy egy s˝ ur˝ u lineáris altéren

22


teljes¨ ul a P ′ Q′ −Q′ P ′ = −i idH ′ összef¨ uggés. Azt mondjuk, hogy a (P, Q) pár unit´ er ekvivalens a (P ′ , Q′ ) párral, ha van olyan olyan U : H → H ′ unitér leképezés (azaz izometrikus lineáris bijekció), hogy P ′ = U P U −1 , Q′ = U QU −1 . Az unitér ekvivalens párokat – és csak azokat – “ugyanolyanoknak”, “fizikailag egyenérték˝ ueknek” tekintj¨ uk. Ha tehát kontinuum sok unitér inekvivalens lehet˝oség van, akkor ugyanennyi fizikailag nem egyenérték˝ u kvantummechanika. Kés˝obb a spektrumokkal kapcsolatban látni fogjuk, hogy az L2 ([−π, π])-beli (Pα , Mid[−π,π] ) és (Pα′ , Mid[−π,π] ) párok unitér inekvivalensek, ha α ̸= α′ . A Heisenberg-féle felcserélési relációból formális átalak´ıtásokkal, összegzéssel nyerhet˝ o az eiaP eibQ = eiab eibQ eiaP (a, b ∈ R), Weyl-féle reláci´ o, ahol az exponenciálosoknak jól meghatározott értelme van (nem sorösszeg!). Neumann János megmutatta, hogy ha a (P, Q) pár eleget tesz a fenti reláci´ onak és irreducibilis, azaz csak a triviális zárt alterek – a nulla és az egész –invari´ ansak mind P -re, mind Q-ra, akkor ez a pár unitér ekvivalens az L2 (R)-beli differenciál´ as-operátorb´ ol és az idR -vel való szorzás-operátorból álló párral.

23. Operátorok spektruma 23.1. A véges dimenziós vektortéren megismert fogalmakat (Anal´ızis II.37.1.) alkalmazzuk most Hilbert-terekre.

Defin´ıció A λ∈K az A operátor sajátértéke, ha Ker(A−λidH )̸={0}, és ekkor a Ker(A−λidH ) altér az A-nak a λ-hoz tartozó saj´ ataltere, amelynek nem nulla elemei az A-nak λ-hoz tartozó saj´ atvektorai. Jelölje Eig(A) az A sajátértékeinek halmazát. Teh´ at λ∈K pontosan akkor sajátértéke A-nak, ha az A−λidH lineáris leképezés nem injekt´ıv, és x∈Dom(A)\{0} pontosan akkor λ-hoz tartozó sajátvektora A-nak, ha Ax=λx. Ugyan´ ugy, mint véges dimenziós vektorterek esetén, egy operátor k¨ ulönböz˝o sajátérték˝ u sajátvektoraib´ ol álló rendszer lineárisan f¨ uggetlen.

´ ıtás Egy zárt operátor minden sajátaltere zárt lineáris altér. All´ ´s Ha Z z´ Bizony´ıta art operátor és λ∈K, akkor az 5.3. áll´ıtás szerint Z−λidH zárt operátor, ´ıgy magtere az 5.5. szerint zárt lineáris altér. Speciálisan, minden¨ utt értelmezett és folytonos operátor sajátalterei zártak. 23.2. Tudjuk, hogy véges dimenziós komplex vektortéren minden operátornak van saj´ atértéke. Végtelen dimenzióban ez nem igaz. Most a sajátérték fogalmának által´ anos´ıt´ as´ aval foglalkozunk.

23. Operátorok spektruma

23

Defin´ıció λ∈K az A operátor reguláris értéke, ha az A − λidH operátor (i) injekt´ıv, (ii) értékkészlete s˝ ur˝ u, (iii) inverze folytonos. Jel¨ olje Reg(A) az A reguláris értékeinek halmazát. A Sp(A):=K\Reg(A) halmazt az A spektrum´ anak nevezz¨ uk. Nyilv´ anval´ o, hogy Eig(A)⊂Sp(A). Ha H véges dimenziós, akkor Sp(A) = Eig(A), mivel ekkor minden H→H injekt´ıv lineáris leképezés bijekció, melynek inverze, lévén lineáris, folytonos. A spektrum pontjait – a sajátértékeken k´ıv¨ ul – aszerint osztályozzuk, hogy a reguláris értékekre felsorolt (ii)-(iii) tulajdonságok köz¨ ul melyik nem teljes¨ ul.

Spc (A) := {λ∈K \ Eig(A) | Ran(A−λidH ) s˝ ur˝ u, (A−λidH )−1 nem folytonos}, Spr1 (A):={λ∈K\Eig(A) | Ran(A−λidH ) nem s˝ ur˝ u, (A−λidH )−1 folytonos}, Spr2 (A):={λ∈K\Eig(A) | Ran(A−λidH ) nem s˝ ur˝ u, (A−λidH )−1 nem folytonos}. Teh´ at Sp(A)=Eig(A) ∪ Spc (A) ∪ Spr1 (A) ∪ Spr2 (A). Spc (A)-t az A folytonos spektrum´ anak szokás nevezni, Spr1 (A) ∪ Spr2 (A)-t pedig a marad´ ekspektrum´ anak.

´ ıtás Ha Z zárt operátor, akkor λ∈Reg(Z) ekvivalens azzal, hogy Z−λidH All´

injekt´ıv, az inverze minden¨ utt értelmezett és folytonos (azaz Lin(H) eleme). ´s Ha Z z´ Bizony´ıta art, akkor λ∈Reg(Z) esetén (Z−λidH )−1 s˝ ur˝ un értelmezett folytonos lineáris leképezés, mely az 5.3. és az 5.4 áll´ıtás szerint zárt, ´ıgy a zárt grafikon tétele szerint minden¨ utt értelmezett. Ha tehát λ ∈ Reg(Z), akkor Ran(Z − λidH ) = H. Speciálisan igaz ez minden¨ utt értelmezett folytonos operátorra, azaz Lin(H) elemére. 23.12. Defin´ıci´ o λ ∈ K az A operátor általános´ıtott sajátértéke, ha λ∈ / Eig(A) és létezik (xn )n∈N sorozat Dom(A)-ban u ´gy, hogy valamely K>0 és minden n∈N esetén ∥xn ∥≥K, és lim (A−λidH )xn = 0. n

(∗)

24


´ ıtás λ ∈ K \ Eig(A) pontosan akkor általános´ıtott sajátértéke A-nak, ha All´

létezik (xn )n∈N sorozat Dom(A)-ban u ´gy, hogy minden n∈N esetén ∥xn ∥ = 1 és a (∗) egyenl˝ oség teljes¨ ul.

´s Nyilvánval´ Bizony´ıta o, hogy ha a sorozat tagjai mind egységvektorok, akkor a K := 1 számmal teljes¨ ul a defin´ıció feltétele. Ha viszont a sorozat alulról korlátos, xn akkor az yn := sorozat tagjai egységvektorok, és ∥xn ∥ ∥(A − λidH )yn ∥ ≤

1 ∥(A − λidH )xn ∥, K

tehát a bal oldal határértéke nulla.

´ ıtás λ∈K \ Eig(A) pontosan akkor általános´ıtott sajátértéke A23.13. All´ nak, ha (A−λidH )−1 nem folytonos. ´s λ∈K\Eig(A) miatt A−λidH injekt´ıv, és a 23.11. Bizony´ıta (A−λidH )−1 pontosan akkor nem folytonos, ha inf x∈Dom(A),∥x∥=1

áll´ıtás szerint

∥(A−λidH )x∥ = 0.

Ha λ által´ anos´ıtott sajátérték, akkor az el˝oz˝oek szerint a fenti egyenl˝oség nyilvánval´ oan igaz. Ha viszont ez az egyenl˝oség áll, akkor az infimum alaptulajdonsága szerint létezik (xn )n∈N egységvektorokból álló sorozat, amelyre (∗) teljes¨ ul.

25. Normális operátorok spektruma ´ ıtás Ha N normális operátor, akkor 25.1. All´ Eig(N ∗ )=Eig(N )∗ , és a λ∈Eig(N ) illetve a λ∗ ∈Eig(N ∗ ) sajátértékekhez tartozó sajátalterek megegyeznek. ´s Legyen λ∈K. Ekkor N −λ·idH normális, ´ıgy 17.6. következménye Bizony´ıta szerint Ker(N ∗ −λ∗ idH )=Ker(N −λ·idH )∗ =Ker(N −λ·idH ) . Megjegyz´ es Ha N norm´ alis, akkor a fenti eredmény és a 23.10. áll´ıtás alapján Spr1 (N )=Spr2 (N )=∅, tehát Sp(N )=Eig(N )∪Spc (N ),

25. Normális operátorok spektruma

25

azaz normális operátor spektrumában csak sajátértékek és általános´ıtott sajátértékek vannak. Más szóval, ha N −λ·idH injekt´ıv és az inverze folytonos, akkor λ∈Reg(N ). Ha N normális operátor, akkor minden λ∈K esetén a 17.6. áll´ıtás szerint N −λidH akkor és csak akkor injekt´ıv, ha értékkészlete s˝ ur˝ u, ´ıgy tehát λ ∈ Eig(N ) esetén Ran(N −λidH ) nem s˝ ur˝ u.

´ ıtás Legyen V izometrikus és T szimmetrikus operátor. Ekkor 25.2. All´ (1) Eig(V )⊂T és Eig(V )∗ ⊂Eig(V ∗ ), és minden λ∈Eig(V ), x∈H esetén, ha V x=λx, akkor V ∗ x=λ∗ x; (2) Eig(T )⊂R és Eig(T )∗ ⊂Eig(T ∗ ). ´s (1) Legyen λ∈Eig(V ), és 0 ̸= x∈H olyan, hogy V x=λx. Ekkor Bizony´ıta ⟨x, x⟩ = ⟨V x, V x⟩ = ⟨λx, λx⟩ = |λ|2 ⟨x, x⟩, következésképpen |λ|=1. Továbbá, V ∗ V =idH miatt x = V ∗ (V x) = V ∗ (λx) = λV ∗ x, ´ıgy V ∗ x=λ−1 x=λ∗ x, tehát λ∗ ∈Eig(V ∗ ). (2) Legyen λ∈Eig(T ), és 0 ̸= x∈H olyan, hogy T x=λx. Ekkor λ∗ ⟨x, x⟩ = ⟨λx, x⟩ = ⟨T x, x⟩ = ⟨x, T x⟩ = ⟨x, λx⟩ = λ⟨x, x⟩, következésképpen λ∗ =λ, azaz λ∈R. Mivel T ⊂T ∗ , Eig(T )∗ = Eig(T ) ⊂ Eig(T ∗ ).

´ ıtás Ha az A operátor normális, szimmetrikus vagy izometrikus, 25.3. All´ akkor A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sajátértékeihez tartozó sajátalterei ortogonálisak egymásra. ´s Legyen λ és µ az A két k¨ Bizony´ıta ulönböz˝o sajátértéke, és x, y∈H\{0} olyanok, hogy Ax=λx és Ay=µy. Ekkor a 25.1. áll´ıtás illetve a 25.2. áll´ıtás szerint A∗ y=µ∗ y, ´ıgy µ⟨y, x⟩ = ⟨µ∗ y, x⟩ = ⟨A∗ y, x⟩ = ⟨y, Ax⟩ = λ⟨y, x⟩, ezért λ̸=µ miatt ⟨y, x⟩=0.

´ ıtás Legyen U unitér és S önadjungált operátor. Ekkor 25.4. All´ (1) Sp(U )⊂T és Eig(U )∗ =Eig(U ∗ ), (2)

Sp(S)⊂R és Eig(S)∗ =Eig(S ∗ ).

26


´s (1) U norm´ Bizony´ıta alis, ´ıgy Eig(U )∗ =Eig(U ∗ ). A 23.7. áll´ıtás szerint λ∈Sp(U ) esetén |λ|≤∥U ∥=1. Legyen λ∈K, |λ|<1. Ekkor, minthogy U −1 ∈Lin(H), valamint 1 ∥λidH ∥=|λ|<1 = , az U − λidH operátor invertálható, azaz λ∈Sp(U / ). ∥U −1 ∥ (2) S norm´ alis, ´ıgy Eig(S)∗ =Eig(S ∗ ). Legyen λ=α+iβ, ahol α, β∈R és β̸=0. Ekkor a 25.2. áll´ıt´ as szerint λ∈Eig(S), / és x∈Dom(S) esetén ∥(S−λidH )x∥2 = ∥(S−αidH )x∥2 + β 2 ∥x∥2 ≥ β 2 ∥x∥2 , ezárt a 23.11. áll´ıt´ as következéstében (S−λidH )−1 folytonos, ´ıgy a 25.1. megjegyzése alapján λ∈Reg(S).

´ ıtás Legyen S pozit´ıv önadjungált operátor. Ekkor Sp(S)⊂[0, +∞[. 25.5. All´ Ha S szigor´ uan pozit´ıv, és σ>0 olyan, hogy S≥σidH , akkor Sp(S)⊂[σ, +∞[. ´s Legyen λ<0, és x∈Dom(S). Ekkor Bizony´ıta −λ∥x∥2 = ⟨x, −λx⟩ ≤ ⟨x, Sx⟩ + ⟨x, −λx⟩ = = ⟨x, (S−λidH )x⟩ ≤ ∥x∥ ∥(S−λidH )x∥, következésképpen ∥(S−λidH )x∥≥−λ∥x∥, ´ıgy (S−λidH ) injekt´ıv, és inverze folytonos, tehát a 25.1. áll´ıt´ as következménye szerint λ∈Reg(S). Ha S szigor´ uan pozit´ıv, és σ>0 olyan, hogy S≥σidH , akkor λ<σ és x ∈ Dom(S) esetén (σ−λ)∥x∥2 ≤ ⟨x, Sx⟩ + ⟨x, −λx⟩ = ⟨x, (S−λidH )x⟩ ≤ ∥x∥ ∥(S−λidH )x∥, következésképpen ∥(S−λidH )x∥≥(σ−λ)∥x∥, ´ıgy az el˝oz˝ohöz hasonló gondolattal azt kapjuk, hogy λ∈Reg(S).

´ ıtás Legyen N normális operátor és (xi )i∈I az N sajátvektoraiból 25.6. All´ áll´ o ortonormált rendszer: minden i∈I esetén N xi =λi xi (λi nem sz¨ ukség2 (I) esetén k´ e ppen k¨ u l¨ o nb¨ o zik λ -t˝ o l, ha i = ̸ j). Ekkor tetsz˝ o leges (c ) ∈l j i i∈I K ∑ ∑ |ci |2 |λi |2 <+∞, és ekkor ci xi ∈Dom(N ) pontosan akkor, ha i∈I

i∈I

N

( ∑ i∈I

´s Legyen Bizony´ıta

∑ i∈I

) c i xi

=

∑ i∈I

ci N xi =

∑

ci λi xi .

i∈I

|ci |2 |λi |2 <+∞. Ekkor létezik

∑ i∈I

ci λi xi ∈H, és minden

25. Normális operátorok spektruma

27

x∈Dom(N ∗ ) esetén ⟨ ∑

⟩ ci xi , N ∗ x

∑

=

i∈I

⟨ci xi , N ∗ x⟩ =

i∈I

∑

⟨ci N xi , x⟩ =

i∈I

=

∑

⟨ci λi xi , x⟩ =

i∈I

⟨ ∑

⟩ ci λi xi , x ,

i∈I

ami az adjungált operátor defin´ıciója szerint éppen azt jelenti, hogy

( ∑

) ci xi

=

i∈I

∑

Tegy¨ uk most fel, hogy xF :=

∑

ci λi xi ∈

i∈I

Dom(N ∗∗ )=Dom(N ) és N

∑

∑

ci λi xi =

i∈I

∑

ci N xi .

i∈I

ci xi ∈Dom(N ). Az I minden véges F részhalmazára

i∈I

ci λi xi ∈Dom(N )=Dom(N ∗ ), és ∥xF ∥2 =

i∈F

∑

|ci |2 |λi |2 miatt egyrészt

i∈F

⟨ ⟩ ⟨ ( ) ⟩ ( ) ∑

∑ ∑

ci xi , N ∗ xF = N ci xi , xF ≤ N ci xi ∥xF ∥,

i∈I

i∈I

i∈I

másrészt ⟨ ⟩ ∑ ∑ ∑ ∗ ∗ ci xi , N xF = ⟨ci xi , N xF ⟩ = ⟨ci λi xi , xF ⟩ = ∥xF ∥2 i∈I

miatt

i∈I

√∑

|ci |2 |λi |2

i∈F

és ez azt jelenti, hogy

i∈I

∑

( )

∑

= ∥xF ∥ ≤ N ci xi ,

i∈I

|ci |2 |λi |2 <+∞.

i∈I

´ ıtás Legyen N olyan normális operátor, melynek sajátalterei által 25.7. All´ kifesz´ıtett zárt lineáris altér az egész tér. Ekkor Sp(N ) = Eig(N ).

28


´s Tudjuk, hogy Eig(N )⊂Sp(N ). Bizony´ıta Ha λ∈K\Eig(N ), akkor α:=d(λ, Eig(N ))>0. Legyen (xi )i∈I az N sajátvektoraiból áll´ o∑ teljes ortonormált rendszer, i∈I esetén N xi =λi xi . Ha x= ci xi ∈E, akkor az el˝oz˝o áll´ıtás szerint i∈I

2

∑

∥(N −λidH )x∥ = ci (λi −λ)xi =

i∈I ∑ ∑ = |ci |2 |λi −λ|2 ≥ α2 |ci |2 = α2 ∥x∥2 , 2

i∈I

i∈I

következésképpen (N −λidH )−1 folytonos, ´ıgy 25.1. megjegyzése szerint λ∈Reg(N ), azaz λ∈K\Sp(N ).

´ ıtás Ha P ortogonális projektor, P ̸=0, P ̸=idH , akkor 25.8. All´ Sp(P )=Eig(P )={0, 1}. ´s Ha P x = λx, akkor λx = P x = P 2 x = λ2 x, ezért Eig(P ) ⊂ {0, 1}. Bizony´ıta Ha P ̸=0, akkor Ran(P ) ̸= 0, és minden x ∈ Ran(P ) esetén P x = x, tehát 1∈Eig(P ). Ha P ̸=idH , akkor Ker(P ) ̸= 0, és minden x ∈ Ker(P ) esetén P x = 0, tehát 0∈Eig(P ). Az ortogonális projektor önadjungált, sajátalterei kifesz´ıtik az egész teret, a sajátértékek halmaza zárt, ezért a spektruma az el˝oz˝o áll´ıtás szerint a sajátértékeken k´ıv¨ ul más pontot tartalmaz. Megjegyz´ es Sp(idH )=Eig(idH )={1}, és Sp(0)=Eig(0)={0}.

IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN

Recommend Documents