DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan
1
Geometri Ruang Hilbert
Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K ∈ {R, C} disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (·, ·) : V × V → K sehingga untuk setiap x, y, z ∈ V dan α ∈ K berlaku: (i) ( x, x ) > 0 dan ( x, x ) = 0 jika dan hanya jika x = 0 (ii) ( x, y + z) = ( x, y) + ( x, z) (iii) ( x, αy) = α( x, y) (iv) ( x, y) = (y, x ) Fungsi (., .) disebut hasilkali dalam (pada V). Perhatikan bahwa (ii), (iii), dan (iv) berakibat ( x, αy + βz) = α( x, y) + β( x, z) dan (αx, y) = α( x, y). Menurut definisi di atas hasilkali dalam bersifat linear terhadap komponen kedua dan bersifat konjugat linear terhadap komponen pertama. Contoh 1.2 Diberikan Cn yaitu himpunan semua n-tupel bilangan kompleks. Fungsi (·, ·) : Cn × Cn → C dengan n
∑ xj yj,
( x, y) =
j =1
untuk setiap x = ( x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Cn mendefinisikan sebuah hasilkali dalam pada Cn . Contoh 1.3 Diberikan C [ a, b] yaitu himpunan semua fungsi kontinu bernilai kompleks pada interval [ a, b]. Fungsi (·, ·) : C [ a, b] × C [ a, b] → C dengan
( f , g) =
Z b a
f ( x ) g( x ) dx,
untuk setiap f , g ∈ C [ a, b] mendefinisikan sebuah hasilkali dalam pada C [ a, b]. Definisi 1.4 Dua vektor x dan y di dalam ruang hasilkali dalam V dikatakan ortogonal jika ( x, y) = 0. Himpunan vektor { xi } ⊂ V dikatakan himpunan ortonormal jika ( xi , xi ) = 1 untuk setiap i dan ( xi , x j ) = 0 jika i 6= j. p Untuk setiap x ∈ V didefinisikan k x k := ( x, x ). Akan diperlihatkan bahwa k.k merupakan norma pada V. Kita ingat kembali definisi norma.
1
Definisi 1.5 Ruang vektor V atas lapangan K ∈ {R, C} disebut ruang bernorma jika ada fungsi k.k : V → R sehingga untuk setiap x, y ∈ V dan α ∈ K berlaku: (i) k x k ≥ 0 (ii) k x k = 0 jika dan hanya jika x = 0 (iii) kαx k = |α|k x k (iv) k x + yk ≤ k x k + kyk (ketaksamaan segitiga) Fungsi k.k disebut norma (pada V). Teorema 1.6 (Teorema Phytagoras) Diberikan { xn }m n=1 himpunan ortonormal di dalam ruang hasilkali dalam V. Maka untuk setiap x ∈ V,
2
m
k x k2 = ∑ |( x, xn )|2 + x − ∑ ( x, xn ) xn
n =1 n =1 m
Bukti. Tulis x sebagai m
m
∑ (x, xn )xn +
x=
x−
n =1
∑ (x, xn )xn
! .
n =1
Dengan menggunakan sifat-sifat hasilkali dalam diperoleh bahwa m
∑ (x, xn )xn
m
dan x −
n =1
∑ (x, xn )xn
n =1
ortogonal. Oleh karena itu
2
2
2
m
m m m
2 ( x, x ) = ∑ ( x, xn ) xn + x − ∑ ( x, xn ) xn = ∑ |( x, xn )| + x − ∑ ( x, xn ) xn .
n =1
n =1 n =1 n =1 Akibat 1.7 (Ketaksamaan Bessel) Diberikan { xn }m n=1 himpunan ortonormal di dalam ruang hasilkali dalam V. Maka untuk setiap x ∈ V
k x k2 ≥
m
∑ |(x, xn )|2 .
n =1
Akibat 1.8 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika x dan y dua vektor di dalam ruang hasilkali dalam V, maka |( x, y)| ≤ k x kkyk. n
y ky||
o
Bukti. Kasus y = 0 trivial, jadi diasumsikan y 6= 0. Himpunan merupakan himpunan ortonormal, maka dengan menerapkan ketaksamaan Bessel pada sebarang x ∈ V diperoleh |( x, y)|2 y 2 k x k2 ≥ x, = kyk k y k2 2
yakni diperoleh |( x, y)| ≤ k x kkyk. Diingat bahwa setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik. Teorema berikut menunjukkan bahwa setiap ruang hasilkali dalam merupakan ruang bernorma. Teorema 1.9 Setiap ruang hasilkali dalam V merupakan ruang bernorma dengan norma k x k = ( x, x )1/2 . Bukti. Karena V adalah ruang vektor, maka tinggal diperiksa bahwa k.k memenuhi sifat-sifat norma. Di sini hanya akan ditunjukkan bahwa ketaksamaan segitiga berlaku. Ambil x, y ∈ V, maka dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz
k x + yk2 = ( x, x ) + ( x, y) + (y, x ) + (y, y) = ( x, x ) + 2<( x, y) + (y, y) ≤ ( x, x ) + 2|( x, y)| + (y, y) ≤ ( x, x ) + 2( x, x )1/2 (y, y)1/2 + (y, y). Jadi
k x + yk2 ≤ (k x k + kyk)2 dan terbuktilah ketaksamaan segitiga. Teorema 1.9 menunjukkan bahwa di dalam ruang hasilkali dalam V terdapat metrik natural yang diinduksi oleh hasilkali dalam q d( x, y) = k x − yk = ( x − y, x − y). Dengan menggunakan metrik ini kita dapat mendefinisikan konsep kekonvergenan, kelengkapan, dan kepadatan di dalam V. Khususnya, kita dapat melengkapkan V ke suatu ruang bernorma V˜ dimana V tersisip secara isometrik sebagai subhimpunan padat. Catat bahwa V˜ juga merupakan ruang hasilkali dalam sebab hasilkali dalam di V dapat diperluas ke V˜ menggunakan sifat kekontinuan. Norma yang berasal dari hasilkali dalam haruslah memenuhi hukum jajargenjang
k x + y k2 + k x − y k2 = 2k x k2 + 2k y k2 . Dengan kata lain, apabila hukum jajargenjang berlaku di dalam sebuah ruang bernorma, maka ruang tersebut merupakan ruang hasilkali dalam. Lebih lanjut hasilkali dalam tersebut dapat diperoleh kembali dari norma melalui identitas polarisasi
( x, y) =
1 k x + yk2 − k x − yk2 + i k x + iyk2 − i k x − iyk2 . 4
Lebih jelasnya kita mempunyai teorema berikut. Teorema 1.10 Ruang bernorma (V, k · k) merupakan ruang hasilkali dalam jika dan hanya jika norma k · k memenuhi hukum jajargenjang.
3
Definisi 1.11 Ruang hasilkali dalam yang lengkap disebut ruang Hilbert1 . Ruang hasilkali dalam seringkali disebut ruang pra-Hilbert. Definisi 1.12 Dua ruang Hilbert H1 dan H2 dikatakan isomorfik jika ada operator linear surjektif T dari H1 ke H2 sehingga ( Tx, Ty)H2 = ( x, y)H1 untuk setiap x, y ∈ H1 . Operator demikian dikatakan uniter. Contoh 1.13 Didefinisikan L2 [ a, b] adalah himpunan semua fungsi terukur Lebesgue yang berniRb lai kompleks pada interval hingga [ a, b] yang memenuhi a | f ( x )|2 dx < ∞. Untuk f , g ∈ L2 [ a, b] didefinisikan hasilkali dalam
( f , g) =
Z b a
f ( x ) g( x ) dx.
Hasilkali dalam ini terdefinisi dengan baik sebab 1 1 | f ( x ) g( x )| ≤ | f ( x )|2 + | g( x )|2 2 2 sehingga f ( x ) g( x ) ∈ L1 [ a, b]. Dapat ditunjukkan bahwa L2 [ a, b] lengkap dan karenanya merupakan ruang Hilbert. Selain itu L2 [ a, b] merupakan lengkapan dari C [ a, b] terhadap norma Z b 1/2 2 kfk = | f ( x )| dx . a
Contoh 1.14 Didefinisikan l 2 adalah himpunan semua barisan bilangan kompleks { xn }∞ n =1 2 yang memenuhi ∑∞ n=1 | xn | dx < ∞ dengan hasilkali dalam ∞
∑ xn yn .
∞ ({ xn }∞ n =1 , { y n } n =1 ) =
n =1
Norma yang diinduksi oleh hasilkali dalam ini diberikan oleh !1/2 ∞
∑ | x n |2
k{ xn }∞ n =1 k =
.
n =1
Pertama kita periksa bahwa hasilkali dalam di atas terdefinisi dengan baik. Perhatikan jumlah parsial berikut !1/2 !1/2 !1/2 !1/2 N
∑
n =1
N
| xn yn | ≤
∑
n =1
| x n |2
N
∑
∞
| y n |2
∑
≤
n =1
∞
∑ | y n |2
| x n |2
< ∞.
n =1
n =1
∞ Karena jumlah parsialnya terbatas maka deret ∑∞ n=1 | xn yn | konvergen, dan akibatnya ∑n=1 xn yn konvergen. Mudah ditunjukkan bahwa l 2 merupakan ruang vektor dan aksioma hasilkali dalam dipenuhi. Sekarang kita buktikan kelengkapan l 2 . Diberikan sebarang barisan Cauchy (l ) 2 { xn }∞ l,n=1 di l dan sebarang ε > 0, maka ada M ∈ N sehingga ∞
(l ) ∞
(k)
{ x n } n =1 − { x n } ∞ n =1 = 1 David
∑ | xn
n =1
Hilbert (1862-1943), matematikawan Jerman.
4
(k)
!1/2 (l )
− x n |2
< ε1/2 ,
untuk setiap k, l ≥ M. Jadi untuk setiap N ∈ N, N
∑ | xn
(k)
(l )
− xn |2 < ε, untuk setiap k, l ≥ M
...(∗)
n =1
Untuk sebuah n yang tetap dan menggunakan (*) diperoleh (k)
(l )
| xn − xn | < ε1/2 , untuk setiap k, l ≥ M. (k)
Dengan demikian barisan { xn }∞ k =1 adalah barisan Cauchy di C, dan karenanya konvergen, katakan (k) yn := lim xn , n ∈ N. k→∞
Hal ini berlaku untuk setiap n ∈ N sehingga diperoleh barisan bilangan kompleks {yn }∞ n =1 .
(k) ∞ Karena setiap barisan Cauchy terbatas, maka ada K > 0 sehingga { xn }n=1 ≤ K untuk setiap k ∈ N. Akibatnya N
∑ | xn
(k) 2
| < K2 , untuk setiap k, N ∈ N.
n =1
Dengan mengambil k → ∞, N
∑ | y n |2 < K 2 ,
untuk setiap N ∈ N.
n =1
2 dan dengan mengambil N → ∞ disimpulkan bahwa {yn }∞ n=1 ∈ l . Kembali ke (*) untuk N yang tetap, l ≥ M yang tetap, dan k → ∞, maka N
∑ | xn
(l )
N
∑ | xn k→∞
− yn |2 = lim
(l )
(k)
− xn |2 ≤ ε.
n =1
n =1
Dengan mengambil N → ∞, maka
(l ) ∞
1/2 , untuk setiap l ≥ M.
{ xn }l,n=1 − {yn }∞ n =1 ≤ ε (l )
2 2 Ini memperlihatkan kekonvergenan { xn }∞ l,n=1 di l . Terbukti l ruang Hilbert. Pada subbab 3 akan diperlihatkan bahwa setiap ruang Hilbert berdimensi tak hingga yang memiliki subhimpunan terhitung yang padat isomorfik dengan l 2 . Dalam konteks ini l 2 adalah contoh kanonik dari ruang Hilbert.
Contoh 1.15 Diketahui µ adalah ukuran Borel pada Rn dan L2 (Rn , dµ) adalah himpunan seR mua fungsi terukur bernilai kompleks pada Rn yang memenuhi Rn | f ( x )|2 dµ < ∞. L2 (Rn , dµ) adalah ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam
( f , g) =
Z Rn
f ( x ) g( x ) dµ.
Contoh 1.16 Misalkan ( X, µ) adalah ruang ukuran dan H adalah ruang Hilbert. L2 ( X, dµ; H) menotasikan himpunan semua fungsi terukur pada X dengan nilai di H yang memenuhi Z X
k f ( x )k2H dµ( x ) < ∞. 5
Himpunan ini merupakan ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam
( f , g) =
Z X
( f ( x ), g( x ))H dµ( x ).
Contoh 1.17 (Jumlah langsung) Diberikan ruang Hilbert H1 dan H2 . Himpunan
{( x, y) : x ∈ H1 , y ∈ H2 } merupakan ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam
(( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )) = ( x1 , x2 )H1 + (y1 , y2 )H2 . Ruang ini disebut jumlah langsung dari H1 dan H2 , dan dinotasikan dengan H1 ⊕ H2 . Dua ukuran µ1 dan µ2 pada ruang M yang dilengkapi dengan aljabar-σ A dikatakan saling singular jika ada A ∈ A dengan µ1 ( A) = 0 dan µ2 ( M \ A) = 0. Jika µ1 dan µ2 adalah dua ukuran Borel pada R yang saling singular dan µ = µ1 + µ2 , maka L2 (R, dµ) isomorfik dengan L2 (R, dµ1 ) ⊕ L2 (R, dµ2 ). Kita juga dapat mengkonstruksi jumlah langsung terhitung ruang Hilbert. Diberikan barisan ruang Hilbert {Hn }∞ n=1 . Misalkan H adalah himpunan semua ∞ barisan { xn }n=1 dengan xn ∈ Hn yang memenuhi ∞
∑ k xn k2H
n
< ∞.
n =1
Maka H adalah ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam ∞ ({ xn }∞ n =1 , { y n } n =1 ) =
∞
∑ ( xn , yn )H . n
n =1
2
Teorema Representasi Riesz
Salah satu cara untuk mengkonstruksi ruang Hilbert adalah dengan membatasi hasilkali dalam pada suatu subruang tertutup M dari ruang Hilbert H yang diberikan. Terhadap hasilkali dalam di H, M merupakan ruang Hilbert. Komplemen ortogonal dari M, dinotasikan dengan M⊥ , adalah himpunan semua vektor di H yang ortogonal terhadap M. Mudah ditunjukkan bahwa M⊥ merupakan subruang tertutup dari H. Jadi M⊥ merupakan ruang Hilbert. Catat bahwa M ∩ M⊥ = {0}. Teorema berikut menunjukkan bahwa terdapat vektor yang tegaklurus dengan setiap subruang proper tertutup , yakni
H = M + M ⊥ = { x + y : x ∈ M, y ∈ M ⊥ }. Lema 2.1 Diketahui H ruang Hilbert, M subruang tertutup dari H, dan x ∈ H. Maka terdapat dengan tunggal z ∈ M yang jaraknya terdekat ke x. Bukti. Misalkan d = infy∈M ky − x k. Pilih barisan {yn } di M sehingga
kyn − x k → d. 6
Maka
kyn − ym k2 = k(yn − x ) − (ym − x )k2 = 2kyn − x k2 + 2kym − x k2 − k − 2x + yn + ym k2 1 = 2kyn − x k2 + 2kym − x k2 − 4k x − (yn + ym )k2 2 2 2 2 ≤ 2kyn − x k + 2kym − x k − 4d → 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0 untuk m → ∞, n → ∞. Identitas kedua berasal dari hukum jajargenjang sementara ketaksamaan diperoleh dari fakta bahwa 12 (yn + ym ) ∈ M. Jadi {yn } adalah barisan Cauchy dan karena M tertutup, {yn } konvergen ke suatu elemen z ∈ M. Jadi diperoleh k x − zk = d. Misalkan z1 , z2 ∈ M dengan jarak masing-masing ke x adalah d, maka
kz1 − z2 k ≤ 2kz1 − x k2 + 2kz2 − x k2 − 4d2 = 0. Ini menunjukkan ketunggalan titik dengan jarak terdekat. Teorema 2.2 (Teorema proyeksi) Diketahui H ruang Hilbert dan M subruang tertutup dari H. Maka setiap x ∈ H dapat dituliskan secara tunggal sebagai x = z + w dengan z ∈ M dan w ∈ M⊥ . Bukti. Ambil x ∈ H. Maka menurut Lema 2.1 terdapat dengan tunggal z ∈ M dengan jarak terdekat ke x. Definisikan w = x − z. Ambil y ∈ M dan t ∈ R. Jika d = k x − zk, maka d2 ≤ k x − (z + ty)k2 = kw − tyk2 = d2 − 2t<(w, y) + t2 kyk2 . Jadi, −2t<(w, y) + t2 kyk2 ≥ 0 untuk setiap t, yang berakibat <(w, y) = 0. Secara analog dengan mengganti peranan t dengan it diperoleh =(w, y) = 0. Jadi w ∈ M⊥ . Bukti ketunggalan untuk latihan. Teorema proyeksi memberikan isomorfisma natural antara M ⊕ M⊥ dengan H melalui
(z, w) 7→ z + w. Di dalam konteks isomorfisma ini kita tulis H = M ⊕ M⊥ . Proposisi 2.3 Diketahui H ruang Hilbert dan M subruang dari H. Maka ⊥ M = M⊥ . Khususnya, apabila M⊥ = {0}, maka M padat di dalam H. ⊥ tertutup dan memuat M maka jelas bahwa M ⊂ M⊥ . Selanjutnya, ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ambil sebarang x ∈ M⊥ = M , x = m + m⊥ dengan m ∈ M, m⊥ ∈ M . Jadi berlaku Bukti. Karena M⊥
⊥
( x, m⊥ ) = 0 = (m, m⊥ ). Akibatnya (m⊥ , m⊥ ) = 0, yang berarti m⊥ = 0 dan x = m ∈ M. Selanjutnya kita mengingat kembali pengertian dan sifat-sifat dasar operator linear terbatas di ruang bernorma. 7
Definisi 2.4 Operator linear terbatas dari ruang bernorma (V1 , k.k1 ) ke ruang bernorma (V2 , k.k2 ) adalah pemetaan T : V1 → V2 yang memenuhi untuk setiap u, v ∈ V1 dan α, β ∈ K: (i) T (αu + βv) = αTu + βTv (ii) k Tuk2 ≤ C kuk1 Konstanta terkecil C yang memenuhi (ii) disebut norma dari T, ditulis k T k. Jadi
k T k = inf{C : k Tuk2 ≤ C kuk1 } = sup{k Tuk2 : kuk1 ≤ 1}. Teorema 2.5 Diberikan T suatu operator linear dari suatu ruang bernorma ke ruang bernorma yang lain. Maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen: (a) T kontinu di satu titik (b) T kontinu di setiap titik (c) T terbatas Teorema 2.6 Misalkan T operator linear terbatas dari ruang bernorma (V1 , k.k1 ) ke ruang Banach (V2 , k.k2 ). Maka T dapat diperluas secara tunggal ke operator linear terbatas T˜ dari lengkapan V1 ke (V2 , k.k2 ). Misalkan L(H1 , H2 ) adalah himpunan semua operator linear terbatas dari ruang Hilbert H1 ke ruang Hilbert H2 . Maka L(H1 , H2 ) merupakan ruang Banach terhadap norma
k T k = sup{k Tx kH2 : k x kH1 ≤ 1}. Untuk bagian selanjutnya akan dibicarakan kasus khusus yakni untuk H2 = K. Definisi 2.7 Ruang L(H, K) disebut ruang dual dari H dan dinotasikan dengan H∗ . Anggota H∗ disebut fungsional linear kontinu. Teorema berikut menyatakan bahwa setiap fungsional linear kontinu di dalam ruang Hilbert dapat dinyatakan sebagai hasilkali dalam. Teorema 2.8 (Teorema representasi Riesz) Untuk setiap T ∈ H∗ , terdapat dengan tunggal y T ∈ H sehingga Tx = (y T , x ) untuk setiap x ∈ H. Lebih jauh ky T kH = k T kH∗ . Bukti. Definisikan N := { x ∈ H : Tx = 0}, yakni kernel dari T. Dengan menggunakan kekontinuan T, N merupakan subruang tertutup. Jika N = H, maka Tx = 0 = (0, x ) untuk setiap x. Selanjutnya diasumsikan N 6= H. Menurut teorema proyeksi terdapat vektor tak nol x0 ∈ N ⊥ . Kita definisikan y T := Tx0 k x0 k−2 x0 . Akan diperlihatkan bahwa y T memiliki sifat yang diinginkan. Jika x ∈ N , maka Tx = 0 = (y T , x ). Selanjutnya apabila x = αx0 , maka Tx = T (αx0 ) = αTx0 = ( Tx0 k x0 k−2 x0 , αx0 ) = (y T , αx0 ). 8
Karena fungsi-fungsi T dan (y T , .) bersifat linear dan bernilai sama pada N dan x0 , maka keduanya bernilai sama pada ruang yang dibangun oleh N dan x0 . Di lain pihak N dan x0 membangun H sebab setiap elemen y ∈ H dapat ditulis sebagai Ty Ty y = y− x0 + x0 . tx0 Tx0 Jadi Tx = (y T , x ) untuk setiap x ∈ H. Untuk bukti ketunggalan, misalkan Tx = (z, x ), maka kz − yT k2 = (z, z − yT ) − (yT , z − yT ) = T (z − yT ) − T (z − yT ) = 0. Jadi z = yT . Terakhir dibuktikan bahwa ky T kH = k T kH∗ . Perhatikan bahwa
k T k = sup{| Tx | : k x k ≤ 1} = sup{|(yT , x )| : k x k ≤ 1} ≤ sup{kyT kk x k : k x k ≤ 1} = kyT k dan
y y T T = yT , = k y T k. k T k = sup{ Tx : k x k ≤ 1} ≥ T kyT k kyT k
Catat bahwa ketaksamaan Cauchy-Schwarz menunjukkan bahwa konvers dari teorema representasi Riesz berlaku: setiap y ∈ H mendefinisikan sebuah fungsional linear kontinu Ty pada H dengan Ty x = (y, x ). Subbab ini diakhiri dengan sebuah akibat penting dari teorema representasi Riesz. Akibat 2.9 Jika B(·, ·) sebuah fungsi dari H × H ke K yang memenuhi untuk setiap x, y, z ∈ H, α, β ∈ K: (i) B( x, αy + βz) = αB( x, y) + βB( x, z) (ii) B(αx + βy, z) = αB( x, z) + βB(y, z) (iii) | B( x, y)| ≤ kk x kkyk untuk suatu k > 0, maka terdapat dengan tunggal operator linear terbatas A dari H ke H sehingga B( x, y) = ( Ax, y) untuk setiap x, y ∈ H. Norma dari A adalah konstanta terkecil k sehingga (iii) berlaku. Bukti. Pilih sebuah x tetap, maka (i) dan (iii) menunjukkan bahwa B( x, ·) adalah fungsional linear kontinu pada H. Teorema representasi Riesz menjamin adanya x 0 ∈ H sehingga B( x, y) = ( x 0 , y) untuk setiap y ∈ H. Definisikan operator A dengan Ax = x 0 . Mudah ditunjukkan bahwa A adalah operator linear kontinu dengan sifat yang diinginkan. Fungsi B seperti pada Akibat 2.9 sering disebut bentuk seskuilinear.
9
3
Basis Ortonormal
Pada subbab ini kita akan memperluas konsep basis dari ruang vektor dimensi hingga ke ruang Hilbert. Jika S adalah sebuah himpunan ortonormal di dalam ruang Hilbert H dan tidak ada himpunan ortonormal lain yang memuat S sebagai subhimpunan proper, maka S disebut basis ortonormal (sistem ortonormal lengkap) dari H. Teorema 3.1 Setiap ruang Hilbert tak nol H mempunyai basis ortonormal. Bukti. Misalkan O adalah himpunan semua himpunan ortonormal di dalam H. Catat bahwa O 6= ∅ (mengapa?). Selanjutnya didefinisikan relasi urutan pada O yaitu S1 ≺ S2 jika S1 ⊂ S2 . Jelas bahwa (O , ≺) merupakan himpunan terurut parsial. Ambil sebarang {Si }i∈I subhimS punan terurut linear dari O . Maka i∈I Si merupakan himpunan ortonormal yang memuat semua Si , dan karenanya merupakan batas atas untuk {Si }i ∈I . Oleh karena itu menurut Lema Zorn O memiliki elemen maksimal, yakni himpunan ortonormal yang tidak termuat secara proper di dalam setiap himpunan ortonormal yang lain. Teorema berikut memperlihatkan bahwa seperti halnya pada kasus ruang vektor dimensi hingga setiap elemen dari ruang Hilbert dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear (mungkin tak hingga) dari elemen-elemen basis. Teorema 3.2 Diberikan H ruang Hilbert dan S = { xα }α∈ I sebuah basis ortonormal. Maka untuk setiap y ∈ H y = ∑ ( xα , y) xα (1) α∈ I
dan
k y k2 =
∑ |(xα , y)|2
(2)
α∈ I
Kesamaan (1) berarti bahwa jumlahan di ruas kanan konvergen (tidak bergantung pada urutan α) ke y di H. Sebaliknya, jika ∑α∈ I |cα |2 < ∞, cα ∈ C, maka ∑α∈ I cα xα konvergen ke suatu elemen dari H. Bukti. Pada subbab 1 telah ditunjukkan (ketaksamaan Bessel) bahwa untuk setiap subhimpunan berhingga A0 ⊂ A, ∑α∈ A0 |( xα , y)|2 ≤ kyk2 . Jadi ( xα , y) 6= 0 untuk sejumlah paling banyak terhitung α di dalam A yang dapat kita urutkan sebagai α1 , α2 , . . .. Lebih jauh karena 2 ∑N j=1 |( xα j , y )| naik monoton dan terbatas, maka konvergen untuk N → ∞. Misalkan n
yn =
∑ ( xα , y) xα , j
j
j =1
maka untuk setiap n > m,
2
n
k y n − y m k2 = ∑ ( x α j , y ) x α j =
j = m +1
n
∑
|( xα j , y)|2 .
j = m +1
Jadi {yn } adalah barisan Cauchy dan karenanya konvergen ke suatu y0 ∈ H. Perhatikan bahwa !
(y − y0 , xαl ) = lim
n→∞
n
y − ∑ ( x α j , y ) x α j , x αl j =1
10
= (y, xαl ) − (y, xαl ) = 0,
dan jika α 6= αl untuk suatu l maka
(y − y0 , xα ) = lim
n→∞
n
y − ∑ ( xα j , y) xα j , xα
!
= 0.
j =1
Oleh karena itu y − y0 ortogonal dengan semua xα ∈ S. Mengingat bahwa S adalah sistem ortonormal lengkap maka haruslah y − y0 = 0. Jadi n
y = lim
n→∞
yakni (1) berlaku. Lebih jauh
2
n
0 = lim y − ∑ ( xα j , y) xα j = lim n→∞ n→∞
j =1
∑ ( xα , y) xα , j
j
j =1
n
kyk − ∑ |( xα j , y)| 2
! 2
j =1
= kyk2 − ∑ |( xα , y)|2 , α∈ I
yakni (2) berlaku. Bukti pernyataan konvers ditinggalkan sebagai latihan. Identitas (2) seringkali disebut sebagai identitas Parseval dan bilangan ( xα , y) seringkali disebut sebagai koefisien Fourier dari y terhadap basis { xα }. Sekarang kita akan membicarakan suatu prosedur untuk mengkonstruksi sebuah himpunan ortonormal dari sebarang barisan vektor yang bebas linear. Prosedur ini dikenal sebagai ortogonalisasi Gram-Schmidt. Diberikan barisan vektor yang bebas linear u1 , u2 , . . . dan kita definisikan w1 = u 1 ,
v1 =
w1 k w1 k
w2 = u 2 − ( v 1 , u 2 ) v 1 ,
v2 =
w2 k w2 k
.. . n −1
wn = u n −
∑ (vk , un )vk ,
k =1
vn =
wn k wn k
.. . Himpunan {v j } merupakan sebuah himpunan ortonormal dan mempunyai sifat bahwa untuk m setiap m, {u j }m j=1 dan { v j } j=1 membangun ruang vektor yang sama. Khususnya, himpunan kombinasi linear berhingga dari v j , j = 1, 2, . . . sama dengan himpunan kombinasi linear berhingga dari u j , j = 1, 2, . . .. Sebagai contoh polinomial Legendre diperoleh dengan menerapkan proses Gram-Schmidt ke fungsi 1, x, x2 , x3 , . . . pada interval [−1, 1] terhadap hasilkali dalam baku di L2 [−1, 1]. Definisi 3.3 Sebuah ruang metrik dikatakan separabel apabila memiliki subhimpunan terhitung yang padat. Sebagian besar ruang Hilbert yang muncul dalam penerapan bersifat separabel. Teorema berikut memberikan karakterisasi dari ruang Hilbert separabel. 11
Teorema 3.4 Ruang Hilbert H separabel jika dan hanya jika H memiliki basis ortonormal S yang terhitung. Jika S berhingga dengan n elemen maka H isomorfik dengan Cn . Jika S denumerabel maka H isomorfik dengan l 2 (contoh 1.13). Bukti. Misalkan H separabel dan { xn } suatu himpunan terhitung yang padat di dalam H. Dengan membuang beberapa xn kita dapat memperoleh subhimpunan { xn j } dari { xn } yang terdiri dari vektor-vektor bebas linear dengan ruang yang dibangun { xn j } sama dengan ruang yang dibangun oleh { xn } dan oleh karenanya { xn j } padat di dalam H. Dengan menerapkan prosedur Gram-Schmidt pada { xn j } kita memperoleh suatu sistem ortonormal lengkap yang terhitung. Sebaliknya, jika {yn } adalah sistem ortonormal lengkap dari ruang Hilbert H maka Teorema 3.2 mengakibatkan himpunan kombinasi linear dari vektor-vektor di {yn } dengan koefisien rasional padat di H. Karena {yn } terhitung, maka H separabel. Misalkan H separabel dan {yn }∞ n=1 adalah sistem ortonormal lengkap. Kita mendefinisikan 2 pemetaan T : H → l dengan Tx = {(yn , x )}∞ n =1 . Teorema 3.2 menunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik dan bersifat pada. Mudah diperlihatkan bahwa T uniter. Bukti bahwa H isomorfik dengan Cn jika S berhingga dengan n elemen dilakukan dengan cara yang sejalan. Catat bahwa dalam kasus separabel, proses Gram-Schmidt memungkinkan kita untuk mengkonstruksi sebuah basis ortonormal tanpa menggunakan Lema Zorn. Terakhir di bagian ini akan diberikan sebuah contoh yang menunjukkan bagaimana ruang Hilbert muncul secara alami dari masalah di dalam analisis klasik. Jika f sebuah fungsi terintegral pada [0, 2π ] maka dapat didefinisikan 1 cn = √ 2π Deret
Z 2π
e−inx f ( x ) dx.
0
∞
1 cn √ einx 2π n=−∞
∑
disebut deret Fourier dari f . Masalah klasik: untuk fungsi f yang mana dan dalam jenis kekonvergenan apa deret Fourier dari f konvergen ke f ? Masalah ini mulai dipelajari oleh matematikawan Perancis Joseph Fourier sejak tahun 1811 dan terus berkembang sampai sekarang dalam cabang matematika modern yang disebut analisis harmonik atau analisis Fourier. Salah satu hasil klasik di dalam analisis Fourier adalah Teorema 3.5 Jika f fungsi terdiferensial kontinu dan periodik dengan periode 2π, maka fungsi n
1
∑ cn √2π einx −n
konvergen seragam ke f untuk n → ∞. Teorema di atas memberikan syarat cukup kekonvergenan seragam dari deret Fourier suatu fungsi. Namun demikian mencari kelas fungsi sehingga deret Fouriernya konvergen seragam 12
atau konvergen titik demi titik merupakan masalah yang cukup sukar. Salah satu pemecahan persoalan ini adalah dengan menggunakan konsep kekonvergenan yang lain dan disinilah teori ruang Hilbert muncul. Himpunan fungsi { √12π einx }∞ n=−∞ merupakan himpunan ortonormal di ruang L2 [0, 2π ]. Apabila himpunan ortonormal ini lengkap maka Teorema 3.2 memberikan kesimpulan untuk setiap fungsi f ∈ L2 [0, 2π ] berlaku n
1
∑ cn √2π einx n→∞
f ( x ) = lim
−n
dengan kekonvergenan merupakan kekonvergenan terhadap norma L2 . Dapat dibuktikan bahwa { √12π einx }∞ n=−∞ merupakan sistem ortonormal lengkap. Kita akan membuktikan dengan memanfaatkan hasil klasik di atas (Teorema 3.5). √1 inx konvergen ke f di dalam norma L2 untuk Teorema 3.6 Jika f ∈ L2 [0, 2π ], maka ∑∞ n=−∞ cn 2π e n → ∞.
Bukti. Dapat diperlihatkan bahwa ruang fungsi terdiferensial kontinu yang periodik C1p [0, 2π ] padat di dalam L2 [0, 2π ]. Idenya adalah himpunan fungsi tangga padat di dalam L2 [0, 2π ]. Lebih jauh setiap fungsi tangga dapat dihampiri di dalam norma L2 oleh suatu fungsi di dalam C1p [0, 2π ]. Detailnya ditinggalkan sebagai latihan. inx , g ) = 0 Untuk menunjukkan bahwa { √12π einx }∞ n=−∞ lengkap cukup ditunjukkan bahwa ( e
untuk setiap n berakibat g = 0. Ambil sebarang f ∈ C1p [0, 2π ], maka menurut Teorema 3.5 n
1
∑ cn √2π einx →
f
−n
seragam dan karenanya juga di dalam norma L2 . Oleh karena itu ! n 1 inx ( f , g) = lim ∑ cn √ e , g = 0 n→∞ 2π −n jika (einx , g) = 0 untuk setiap n. Jadi g ortogonal dengan semua fungsi f di dalam himpunan padat C1p [0, 2π ]. Hal ini berakibat g = 0. Jadi { √12π einx }∞ n=−∞ adalah sistem ortonormal lengkap
dan menurut Teorema 3.2 deret Fourier dari setiap f ∈ L2 [0, 2π ] konvergen di dalam norma L2 ke f .
Teorema di atas menunjukkan bahwa konsep alami untuk kekonvergenan deret Fourier adalah kekonvergenan di dalam norma L2 . Hal ini juga mengilustrasikan salah satu dari prinsip dasar dari analisis fungsional yakni memilih sebuah ruang abstrak dan konsep kekonvergenan yang sesuai sehingga sebuah permasalahan dapat diselesaikan dengan mudah.
4
Hasilkali Tensor
Di dalam subbab 1 dan 2 telah dibicarakan beberapa cara untuk membentuk ruang Hilbert dari ruang Hilbert yang lain (jumlah langsung dan subruang). Pada subbab ini akan dijelaskan 13
hasilkali tensor H1 ⊗ H2 dari dua ruang Hilbert H1 dan H2 . Hasil ini dapat diperluas dengan mudah untuk mengkonstruksi hasilkali tensor H1 ⊗ H2 ⊗ . . . ⊗ Hn dari sejumlah berhingga ruang Hilbert. Diberikan dua ruang Hilbert H1 dan H2 . Untuk setiap h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 , h1 ⊗ h2 menotasikan bentuk konjugat linear yang beraksi pada H1 × H2 menurut
(h1 ⊗ h2 )h ϕ1 , ϕ2 i = ( ϕ1 , h1 )H1 ( ϕ2 , h2 )H2 . Definisikan E sebagai himpunan semua kombinasi linear berhingga dari semua bentuk konjugat linear yang dideskripsikan di atas. Selanjutnya didefinisikan hasilkali dalam (., .) pada E dengan ( h 1 ⊗ h 2 , g1 ⊗ g2 ) = ( h 1 , g1 ) H 1 ( h 2 , g2 ) H 2 dan kita dapat memperluas definisi ini untuk anggota E menggunakan kelinearan. Lema 4.1 Hasilkali dalam (., .) di atas terdefinisi dengan baik dan bersifat definit positif. Bukti. Untuk menunjukkan (., .) terdefinisi dengan baik kita harus menunjukkan bahwa ( ϕ, ϕ0 ) tidak bergantung pada bentuk kombinasi linear berhingga yang menyusun ϕ dan ϕ0 . Untuk itu cukup ditunjukkan jika µ adalah jumlahan berhingga yang merupakan bentuk nol, maka (η, µ) = 0 untuk setiap η ∈ E . Misalkan η = ∑iN=1 ci ( f i ⊗ gi ), maka ! N
N
(η, µ) =
∑ c i ( f i ⊗ gi ) , µ
i =1
=
∑ c i µ h f i , gi i = 0
i =1
karena µ adalah bentuk nol. Jadi (., .) terdefinisi dengan baik. Selanjutnya, misalkan ϕ = ∑kM=1 dk (ηk ⊗ µk ), maka {ηk }kM=1 dan {µk }kM=1 berturut-turut membangun subruang M1 ⊂ H1 N2 1 dan M2 ⊂ H2 . Jika kita pilih {ω j } N j=1 basis ortonormal dari M1 dan { ψl }l =1 basis ortonormal dari M2 , maka kita dapat menyatakan setiap ηk dalam ω j dan µk dalam ψl dan diperoleh N1 N2
ϕ=
∑ ∑ c jl (ω j ⊗ ψl ).
j =1 l =1
Dari sini diperoleh
( ϕ, ϕ) =
N1 N2
N1 N2
j =1 l =1
s =1 t =1
∑ ∑ c jl (ω j ⊗ ψl ), ∑ ∑ cst (ωs ⊗ ψt )
!
N1 N2 N1 N2
=
∑ ∑ ∑ ∑ c jl cst (ω j , ωs )H (ψl , ψt )H 1
2
j =1 l =1 s =1 t =1 N1 N2
=
∑ ∑ |c jl |2 .
j =1 l =1
Jadi ( ϕ, ϕ) = 0 berakibat c jl = 0 untuk semua j dan l. Ini berarti ϕ adalah bentuk nol. Terbukti (., .) definit positif. Definisi 4.2 Hasilkali tensor H1 ⊗ H2 dari H1 dan H2 didefinisikan sebagai lengkapan dari E terhadap hasilkali dalam (., .) yang didefinisikan di atas. 14
Teorema 4.3 Jika {ωk } adalah basis ortonormal dari H1 dan {ψl } adalah basis ortonormal dari H2 , maka {ωk ⊗ ψl } adalah basis ortonormal dari H1 ⊗ H2 Bukti. Untuk penyederhanaan notasi, kita memperhatikan kasus dimana H1 dan H2 keduanya berdimensi tak hingga dan separabel. Mudah dilihat bahwa himpunan {ωk ⊗ ψl } ortonormal dan karenanya kita hanya perlu membuktikan bahwa E termuat di dalam ruang tertutup S yang dibangun oleh {ωk ⊗ ψl }. Ambil sebarang ω ⊗ ψ ∈ E . Karena {ωk } dan {ψl } adalah basis, maka ω = ∑k ck ωk dan ψ = ∑l dl ψl dengan ∑k |ck |2 < ∞ dan ∑l |dl |2 < ∞. Akibatnya ∑l ∑k |ck dl |2 < ∞. Jadi menurut Teorema 3.2 ada vektor µ = ∑l ∑k ck dl ωk ⊗ ψl di S. Dengan perhitungan langsung diperoleh
ω ⊗ ψ − ∑ ck dl ωk ⊗ ψl → 0
k < M,l < N untuk M, N → ∞. Contoh 4.4 Ruang Hilbert di dalam deskripsi mekanika kuantum dari sebuah partikel Schrödinger tunggal dengan spin 12 adalah L2 (R3 , dx; C2 ), yakni himpunan pasangan (ψ1 ( x ), ψ2 ( x )) dari fungsi-fungsi yang kuadratnya terintegral Lebesgue. Dapat ditunjukkan bahwa L2 (R3 , dx; C2 ) ∼ = L2 (R3 , dx ) ⊗ C2 .
5
Operator di dalam Ruang Hilbert
Pada bagian ini H dan Hi selalu menyatakan ruang Hilbert atas lapangan K ∈ {R, C}. Pertama kita mengingat pengertian operator adjoin ruang bernorma. Diberikan ruang bernorma X and Y dengan ruang dualnya berturut-turut X 0 and Y 0 , dan operator T ∈ L( X, Y ). Operator adjoin (ruang bernorma) T 0 : Y 0 → X 0 didefinisikan melalui
( T 0 y0 )( x ) = y0 ( Tx ), dengan y0 ∈ Y 0 and x ∈ X. Definisi 5.1 Diberikan ruang Hilbert H1 , H2 , T ∈ L(H1 , H2 ), dan Φi : Hi → Hi0 , i = 1, 2 adalah isomorfisma isometrik yang diberikan oleh teorema representasi Riesz. Operator adjoin (ruang Hilbert) T ∗ dari T didefinisikan sebagai T ∗ := Φ1−1 T 0 Φ2 . Dengan kata lain berlaku,
( Tx, y)H2 = ( x, T ∗ y)H1 , untuk setiap x ∈ H1 , y ∈ H2 . Sifat-sifat dasar dari operator adjoin diberikan dalam teorema berikut. Teorema 5.2 Diberikan S, T ∈ L(H1 , H2 ), R ∈ L(H2 , H3 ), dan λ ∈ K. 15
(a) (S + T )∗ = S∗ + T ∗ (b) (λS)∗ = λS∗ (c) ( RS)∗ = S∗ R∗ (d) S∗ ∈ L(H2 , H1 ) and kSk = kS∗ k (e) S∗∗ = S (f) kSS∗ k = kS∗ Sk = kSk2 (g) ker (S) = (ran(S∗ ))⊥ , ker (S∗ ) = (ran(S))⊥ . Khususnya, S injektif jika dan hanya jika ran(S∗ ) padat di dalam H1 . Bukti. (a) - (e) mudah dibuktikan dari definisi operator adjoin. (f). Perhatikan bahwa untuk setiap x ∈ H1 ,
kSx k2 = (Sx, Sx ) = ( x, S∗ Sx ) ≤ k x k kS∗ Sx k, yang berarti
kSk2 = sup kSx k2 ≤ sup k x kkS∗ Sx k ≤ kS∗ Sk ≤ kS∗ kkSk = kSk2 . k x k≤1
k x k≤1
Hal ini memberikan kSk2 = kS∗ Sk dan juga
kSk2 = kS∗ k2 = kS∗∗ S∗ k = kSS∗ k. (g). Untuk setiap x ∈ H1 berlaku Sx = 0 ⇐⇒ (Sx, y) = 0 untuk setiap y ∈ H2
⇐⇒ ( x, S∗ y) = 0 untuk setiap y ∈ H2 ⇐⇒ x ∈ (ran(S∗ ))⊥ . Ini berarti ker (S) = (ran(S∗ ))⊥ . Selanjutnya, ker (S∗ ) = (ran(S∗∗ ))⊥ = (ran(S))⊥ . Dengan demikian pemetaan S 7→ S∗ merupakan sebuah isometri surjektif konjugat linear dari L(H1 , H2 ) ke L(H2 , H1 ). Perhatikan bahwa hal ini analog dengan pemetaan λ 7→ λ pada C. Sekarang kita akan mendefinisikan beberapa kelas yang penting dari operator-operator di ruang Hilbert. Definisi 5.3 Diberikan T ∈ L(H1 , H2 ). 1. T disebut operator uniter jika T invertibel dengan TT ∗ = IdH2 dan T ∗ T = IdH1 2. Dalam hal H1 = H2 , T disebut operator adjoin-diri (atau Hermitian) jika T = T ∗ 3. Dalam hal H1 = H2 , T disebut operator normal jika TT ∗ = T ∗ T Dari definisi ini kita memperoleh 16
• T operator uniter jika dan hanya jika T surjektif dan ( Tx, Ty) = ( x, y) untuk setiap x, y ∈ H1 • T operator adjoin-diri jika dan hanya jika ( Tx, y) = ( x, Ty) untuk setiap x, y ∈ H1 • T operator normal jika dan hanya jika ( Tx, Ty) = ( T ∗ x, T ∗ y) untuk setiap x, y ∈ H1 • Operator adjoin-diri dan operator uniter (dalam kasus H1 = H2 ) merupakan operator normal • T ∗ T dan TT ∗ merupakan operator adjoin-diri Contoh 5.4 (i). Diberikan H = L2 [0, 1] dan Tk ∈ L(H) adalah operator integral
( Tk )( x ) :=
Z 1
k (s, t) x (t) dt.
0
Maka Tk∗ = Tk∗ dengan k∗ (s, t) = k (t, s), sebab dengan menggunakan Teorema Fubini kita memperoleh Z 1Z 1
k (s, t) x (t) dt y(s) ds Z 1 Z 1 = k (s, t) x (t) dt y(s) ds 0 0 Z 1 Z 1 x (t) k (s, t) y(s) ds dt =
( Tk x, y) =
0
0
0
0
= ( x, Tk∗ y). Tk merupakan operator adjoin-diri jika dan hanya jika k (s, t) = k (t, s) dt-hampir di mana-mana. Dalam hal ini k disebut kernel simetris. (ii). Diberikan operator geser kiri T : l 2 → l 2 yakni (s1 , s2 , . . .) 7→ (s2 , s3 , . . .). Maka operator adjoin T ∗ dari T adalah operator geser kanan, yakni T ∗ ((t1 , t2 , . . .)) = (0, t1 , t2 , . . .). T bukan operator normal sebab TT ∗ = Id tetapi T ∗ T = PU dengan U = {(si ) : s1 = 0}. PU adalah operator proyeksi pada subruang U. (iii). Transformasi Fourier F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ), yakni
F ( f )(t) = p
1
Z
(2π )n
Rn
f ( x )e−itx dx
merupakan operator uniter. Sifat berikutnya secara geometris mengatakan bahwa operator yang mengawetkan jarak juga mengawetkan sudut. Lema 5.5 Diberikan T ∈ L(H1 , H2 ). Kedua pernyataan berikut ekuivalen: (i) T isometri (ii) ( Tx, Ty) = ( x, y) untuk setiap x, y ∈ H1 17
Teorema 5.6 Diberikan ruang Hilbert H atas lapangan C dan T ∈ L(H). Kedua pernyataan berikut ekuivalen: (i) T adjoin-diri (ii) ( Tx, x ) ∈ R untuk setiap x ∈ H Bukti. (i) ⇒ (ii): cukup jelas melalui
( Tx, x ) = ( x, T ∗ x ) = ( x, Tx ) = ( Tx, x ). (ii) ⇒ (i): untuk λ ∈ C diperhatikan bilangan real
( T ( x + λy), x + λy) = ( Tx, x ) + λ( Tx, y) + λ( Ty, x ) + |λ|2 ( Ty, y). Dengan mengambil konjugat kompleks pada kedua ruas diperoleh
( T ( x + λy), x + λy) = ( Tx, x ) + λ(y, Tx ) + λ( x, Ty) + |λ|2 ( Ty, y). Selanjutnya substitusikan λ = 1 dan λ = −i untuk mendapatkan
( Tx, y) + ( Ty, x ) = (y, Tx ) + ( x, Ty)
dan
( Tx, y) − ( Ty, x ) = −(y, Tx ) + ( x, Ty)
dan dari sini disimpulkan ( Tx, y) = ( x, Ty). Teknik menggunakan x + λy seperti dalam pembuktian di atas dikenal sebagai polarisasi. Lema 5.7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang diperumum) Jika operator T ∈ L(H) adjoindiri, maka |( Tx, y)| ≤ Mk x k kyk, dengan M := sup {|( Tx, x )| : k x k ≤ 1}. Bukti. Perhatikan dua kesamaan
( T ( x + y), x + y) = ( Tx, x ) + ( Tx, y) + ( Ty, x ) + ( Ty, y) dan
−( T ( x − y), x − y) = −( Tx, x ) + ( Tx, y) + ( Ty, x ) − ( Ty, y). Dengan menjumlahkan kedua kesamaan di atas dan dengan memanfaatkan sifat adjoin-diri dari T diperoleh 4<( Tx, y) = ( T ( x + y), x + y) − ( T ( x − y), x − y). Dengan menggunakan argumentasi homogenitas diperoleh untuk setiap x ∈ H
|( Tx, x )| ≤ Mk x k2 .
18
Selanjutnya hukum jajargenjang memberikan
|4<( Tx, y)| = |( T ( x + y), x + y) − ( T ( x − y), x − y)| ≤ |( T ( x + y), x + y)| + |( T ( x − y), x − y)| ≤ M k x + y k2 + M k x − y k2 = 2M(k x k2 + kyk2 ). Untuk x, y ∈ H dengan k x k = kyk = 1 berlaku |<( Tx, y)| ≤ M. Untuk x, y ∈ H dengan k x k = kyk = 1 yang tetap dapat dipilih sebuah bilangan kompleks θ dengan |θ | = 1 sehingga θ ( Tx, y) = |( Tx, y)|. Jadi
|( Tx, y)| = |( Tx, θy)| = |<( Tx, θy)| ≤ M. Dengan menerapkan kembali argumentasi homogenitas terbuktilah lema. . Teorema 5.8 Jika operator T ∈ L(H) adjoin-diri, maka
k T k = sup |( Tx, x )|. k x k≤1
Bukti. Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz sup |( Tx, x )| ≤ sup k Tx kk x k = sup k Tx k = k T k. k x k≤1
k x k≤1
k x k≤1
Sebaliknya dengan menggunakan Lema 5.7 diperoleh
k T k = sup k Tx k = sup sup |( Tx, y)| ≤ sup sup Mk x k kyk = sup |( Tx, x )|. k x k≤1
k x k≤1 kyk≤1
k x k≤1 kyk≤1
k x k≤1
Catatan: • supk xk≤1 |( Tx, x )| dapat dinyatakan sebagai ( max
)
sup ( Tx, x ), − inf ( Tx, x ) k x k≤1
k x k≤1
.
• Jika T ∈ L(H) adjoin-diri dan ( Tx, x ) = 0 untuk setiap x ∈ H, maka T = 0. Terakhir akan diberikan karakterisasi dari operator proyeksi yang adjoin-diri. Teorema 5.9 Diberikan P ∈ L(H) sebuah operator proyeksi, yakni P2 = P dengan P 6= 0. Kelima pernyataan berikut ekuivalen: (i) P proyeksi ortogonal, yakni ran( P) ⊥ ker ( P) (ii) k Pk = 1 (iii) P adjoin-diri (iv) P normal (v) ( Px, x ) ≥ 0 untuk setiap x ∈ H 19
6
Soal Latihan 1. Buktikan Teorema 1.10 2. Ruang Hardy pada cakram satuan terbuka Diberikan cakram satuan terbuka D : = { z ∈ C : | z | < 1} di bidang kompleks dan 1 ≤ p < ∞. Definisikan H p (D) := { f : D → C : f analitik , Np ( f ) < ∞}, dengan Np ( f ) := sup 0≤r <1
1 2π
Z 2π
iθ
p
1/p
| f (re )| dθ
0
.
Buktikan: (i) Untuk setiap z0 ∈ D dan setiap f ∈ H p (D) berlaku
| f (z0 )| ≤
1 Np ( f ), (d(z0 , ∂D)2 )1/p
dengan ∂D := {z ∈ C : |z| = 1}. (ii) H p (D), Np merupakan ruang bernorma (iii) H p (D), Np merupakan ruang Banach (iv) H p (D), Np ruang Hilbert jika dan hanya jika p = 2 (v) Apabila
∞
f (z) =
∑ an zn ,
n =0
maka f ∈ H 2 (D) jika dan hanya jika ( an )n≥0 ∈ l 2 . Lebih lanjut, pemetaan h : H 2 (D) → l 2 yang didefinisikan dengan h( f ) = ( an )n≥0 merupakan isomorfisma isometrik ruang Hilbert. 3. Diberikan X adalah ruang vektor dari semua fungsi f : R → C dengan n
f (t) =
∑ ck eiα t , k
k =1
n ∈ N, ck ∈ C, αk ∈ R. (i) Buktikan bahwa pemetaan (·, ·) : X × X → C dengan 1 a→0 2a
( f , g) := lim
Z a
merupakan sebuah hasilkali dalam pada X
20
−a
f (t) g(t) dt
(ii) Apabila k · k adalah norma yang diinduksi oleh (·, ·), maka tunjukkan !1/2 n
kfk =
∑ | c k |2
,
k =1
dengan f ∈ X, f (t) = ∑nk=1 ck eiαk t , αk 6= α j untuk k 6= j. (iii) Apabila H adalah ruang Hilbert yang diperoleh sebagai lengkapan dari X terhadap k · k, buktikan bahwa H tidak separabel. 4.
(i) Diberikan dua ruang Hilbert H1 dan H2 , sistem ortonormal {e1 , . . . , en } ⊂ H1 dan {b1 , . . . , bn } ⊂ H2 , λ1 , . . . , λn ∈ C, dan T : H1 → H2 dengan definisi n
T (x) =
∑ λ j bj (x, e j ).
j =1
Tentukan k T k. (ii) Diberikan ruang Hilbert ! H dan sebuah sistem ortonormal {e1 , e2 } ⊂ H, matriks a b persegi A = dengan a, b, c, d ∈ C, dan operator S, T : H → H dengan c d definisi S( x ) = a( x, e1 )e1 + b( x, e2 )e2 dan T ( x ) = c( x, e1 )e1 + d( x, e2 )e2 . Buktikan: k S + T k2 + k S − T k2 = 2 k S k2 + k T k2 jika dan hanya jika (max(| a + c|, |b + d|))2 + (max(| a − c|, |b − d|))2 = 2 max(| a|, |b|)2 + max(|c|, |d|)2 . (iii) Buktikan apabila H adalah ruang Hilbert dengan dimensi ≥ 2, maka L(H) := L(H, H) bukan ruang Hilbert. 5.
(a) Buktikan apabila µ1 dan µ2 adalah dua ukuran Borel pada R yang saling singular dan µ = µ1 + µ2 , maka L2 (R, dµ) isomorfis dengan L2 (R, dµ1 ) ⊕ L2 (R, dµ2 ) (b) Apabila µ adalah sebuah ukuran Borel pada R, maka buktikan bahwa L2 (R, dµ) separabel. (c) Berikan sebuah ruang ukuran hingga (yakni ( M, F , µ) dengan µ( M ) < ∞) sehingga L2 ( M, dµ) tidak separabel. (d) Diberikan ( M1 , µ1 ) dan ( M2 , µ2 ) dua ruang ukuran sehingga L2 ( M1 , dµ1 ) dan L2 ( M2 , dµ2 ) separabel. Tunjukkan bahwa terdapat dengan tunggal sebuah isomorfisma dari L2 ( M1 , dµ1 ) ⊗ L2 ( M2 , dµ2 ) ke L2 ( M1 × M2 , dµ1 ⊗ dµ2 ) sehingga f ⊗ g 7→ f g.
6.
(a) Berikan contoh ruang hasilkali dalam X dan sebuah subruang U ⊆ X dengan ⊥ i. U 6= U ⊥ ii. U ⊕ U ⊥ 6= X. (b) Diberikan ruang Hilbert H dan M subruang dari H. Misalkan f : M → C sebuah fungsional linear pada M dengan batas K. Buktikan bahwa terdapat dengan tunggal perluasan dari f ke sebuah fungsional linear kontinu pada H dengan batas yang sama. 21
(c) Tunjukkan bahwa bola satuan di dalam suatu ruang Hilbert berdimensi tak hingga memuat√tak hingga banyaknya translasi yang saling asing dari sebuah bola dengan jari-jari 42 . 7.
(i) Diberikan ruang Hilbert H dan A : H → H operator adjoin-diri sehingga ( Ax, x ) = 0 untuk setiap x ∈ H. Buktikan A = 0. (ii) Berikan sebuah matriks tak nol M ∈ M2 (R) sehingga ( Ax, x ) = 0 untuk setiap x ∈ R2 . (iii) Diberikan ruang Hilbert H atas R. Buktikan ketiga pernyataan berikut ekuivalen: (a) Untuk setiap T ∈ L(H) dengan sifat ( Tx, x ) = 0 untuk setiap x ∈ H berlaku T=0 (b) dimR (H) = 1 (c) Topologi konveks lokal pada L(H) yang dibangun oleh keluarga seminorma ( p x ) x∈H adalah Hausdorff, dengan p x ( T ) := |( Tx, x )|. Sifat ini memberikan karakterisasi ruang Hilbert real berdimensi satu.
8.
(a) Diberikan k ∈ L2 ([0, 1]2 ) dan Tk : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] adalah operator integral dengan definisi Z 1
( Tk )(s) :=
k (s, t) x (t) dt.
0
Tentukan kondisi pada kernel k sehingga operator Tk normal. (b) Diberikan ruang Hilbert H atas lapangan C dan operator T ∈ L(H) adjoin-diri. Buktikan bahwa operator T + iId dan T − iId bijektif dan mempunyai invers yang kontinu. Lebih jauh, tunjukkan bahwa transformasi Cayley dengan definisi
CT := ( T + iId)( T − iId)−1 merupakan operator uniter. 9. Nilai karakteristik dari sebuah operator T adalah bilangan kompleks λ sehingga T − λId mempunyai kernel tak trivial. Jika λ adalah sebuah nilai karakteristik dari operator T maka setiap penyelesaian tak trivial dari persamaan Tx = λx disebut vektor karakteristik dari T yang berkorespondensi dengan nilai karakteristik λ. Apabila diberikan ruang Hilbert H dan sebuah operator adjoin-diri T ∈ L(H), buktikan (i) Semua nilai karakteristik dari T bernilai real. (ii) Setiap dua vektor karakteristik dari T yang berkorespondensi dengan nilai karakteristik yang berbeda bersifat ortogonal. (iii) Bentuk kuadratik x 7→ ( Tx, x ) bernilai real. 10. Buktikan Teorema 5.9
22
Daftar Pustaka [1] Alt, Hans Wilhelm. Lineare Funktionalanalysis, 5., überarb. Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. [2] Reed, Mike, and Simon, Barry. Methods of Modern Mathematical Physics. I. Functional Analysis. New York: Academic Press, 1972. [3] Werner, Dirk. Funktionalanalysis, 6., korrigierte Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer, 2007.
David Hilbert was old and partly deaf in the nineteen thirties. Yet being a diligent man, he still attended seminars, usually accompanied by his assistant Richard Courant. One day a visitor was talking on his new findings in linear operators on Hilbert spaces. The professor was puzzled first. Soon he grew impatient and finally turned to Courant. "Richard, what is a Hilbert space?" he asked loudly.
23
