PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO
SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 2013/2014 Mata Ujian Dosen Hari, Tanggal 1.
: Analisis Real 1 : Dr. Julan HERNADI : Selasa, 22 April 2014
Tipe Soal Waktu Sifat Ujian
: REGULER : 90 menit : Boleh buka buku
Jawablah pertanyaan teoritis berikut: a) Apa yang dimaksud dengan sistem bilangan real? Jawab: Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real beserta sifat-sifatnya. Jadi di dalamnya membahas mengenai apa itu bilangan real, bilangan apa saja yang termasuk dalam himpunan bilangan real, sifat-sifat apa saja yang berlaku pada himpunan bilangan real, diantaranya sifat aljabar, urutan, kelengkapannya, dll. b) Jelaskan apa yang dimaksud sifat kelengkapan bilangan real dan apa maksud sifat ini? Jawab: Sifat kelengkapan bilangan bilangan real menyatakan bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari ℝ yang terbatas di atas mempunyai batas atas terkecil (supremum), dan yang terbatas di bawah mempunyai batas bawah terbesar (infimum). Dengan sifat kelengkapan ini, himpunan bilangan real ℝ dapat dinyatakan sebagai sebuah garis, yang sering dikenal dengan garis bilangan real. Sifat Kelengkapan menjamin bahwa setiap titik pada garis tersebut menyatakan sebuah bilangan real, dan sebaliknya setiap bilangan real menempati sebuah titik pada garis tersebut. c) Apa perbedaan dan persamaan antara supremum dan maksimum. Jawab: Perbedaan: Supremum belum tentu dicapai tapi kalau maksimum pasti dicapai. DKL supremum dapat saja di luar himpunannya, sedangkan maksimum harus di dalam himpunannya. Supremum lebih luas dari pada maksimum, kalau maksimum pasti supremum tapi kalau supremum ada maka maksimum belum tentu ada. Persamaan: Nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nilai anggota himpunan yang lain. Jadi, misal 𝑎 = sup 𝑆 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 ≥ 𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥 ∈ 𝑆 𝑏 = maks 𝑆 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏 ≥ 𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥 ∈ 𝑆 Keduanya hanya terdefinisi pada himpunan terbatas. Kalau maksimum ada maka keduanya bermilai sama. d) Barisan konvergen pasti terbatas, tetapi sebaliknya belum tentu berlaku. Buatlah sebuah contoh barisan terbatas dan sekaligus konvergen! Jawab: 1
Barisan (𝑥𝑛 ) dengan 𝑥𝑛 ≔ 𝑛 ,𝑛 ∈ ℕ. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas 𝑀 =: 1, dan barisan ini kovergen ke 0. 2.
Tuliskan supremum dan infimum himpunan dibawah ini. Buktikan kebenaran jawaban yang Anda berikan! −𝟏 𝒏 𝑬≔ 𝟏+ :𝒏 ∈ ℕ 𝒏 Jawab: 1
sup 𝐸 = 1 2 dan inf 𝐸 = 0 Bukti:
−1 𝑛
Diperhatikan bahwa 𝐸 ≔ 1 +
𝑛
1
1 2
1
: 𝑛 ∈ ℕ = {0,1 2 , 3 , 1 4 , … }. Jelas maksimum dari 𝐸
adalah 1 2 . Karena nilai maksimumnya tercapai maka nilai supremumnya sama dengan nilai maksimumnya. Dan nilai infimumnya juga tercapai maka nilai infimumnya sama dengan nilai minimumnya. 3.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak sebagai berikut! 𝒙𝟐 − 𝟏 ≤ 𝟐 − |𝒙 − 𝟏| Jawab :
𝑥2 − 1 ≤ 2 − 𝑥 − 1 Titik transisinya adalah 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 1. Daerah terpecah menjadi 3 bagian, yaitu 𝑥 ≤ −1, −1 < 𝑥 ≤ 1 dan 𝑥 > 1. Untuk 𝑥 ≤ −1 maka 𝑥 2 − 1 = 𝑥 2 − 1 dan 𝑥 − 1 = −(𝑥 − 1) substitusikan ke pertidaksamaan awal diperoleh 𝑥2 − 1 ≤ 2 + 𝑥 − 1 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 − 2 ≤ 0 Maka diperoleh −1 ≤ 𝑥 ≤ 2. Karena disyaratkan 𝑥 ≤ −1 maka diperoleh 𝑥 = −1. Untuk −1 < 𝑥 ≤ 1 maka 𝑥 2 − 1 = −(𝑥 2 − 1) dan 𝑥 − 1 = −(𝑥 − 1) substitusikan ke pertidaksamaan awal diperoleh − 𝑥 2 − 1 ≤ 2 + 𝑥 − 1 ⟺ −𝑥 2 + 1 ≤ 1 + 𝑥 ⟺ 𝑥 2 + 𝑥 ≥ 0 Maka diperoleh 𝑥 ≤ −1 atau 𝑥 ≥ 0. Karena disyaratkan −1 < 𝑥 ≤ 1 maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 Untuk 𝑥 ≥ 1 maka 𝑥 2 − 1 = 𝑥 2 − 1 dan 𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 substitusikan ke pertidaksamaan awal diperoleh 𝑥 2 − 1 ≤ 2 − 𝑥 − 1 ⟺ 𝑥 2 + 𝑥 − 4 ≤ 0. Diselesaikan dengan rumus abc diperoleh nilai nol: 𝑥1,2 =
−1± 1+16 2
=
−1± 17 2
. Jadi penyelesaiannya adalah
−1− 17 2
≤𝑥≤
−1+ 17 2
.
Karena syarat 𝑥 ≥ 1 maka penyelesaian pada domain ini adalah 1≤𝑥≤
−1+ 17
≈ 1.561.
2
Kesimpulan: Dengan menggabungkan semua kasus di atas maka diperoleh himpunan penyelesaian untuk 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 = −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.561 4.
𝒏𝟐 +𝟏
Diberikan barisan 𝒙𝒏 dengan 𝒙𝒏 ≔ 𝟐𝒏𝟐 −𝟑. a. Buktikan dengan menggunakan definisi limit bahwa 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒏 =
𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
b. Bila diberikan 𝜺 = 𝟏𝟐, berapa bilangan asli terkecil 𝑲 yang harus diambil agar berlaku 𝒙𝒏 − 𝟐 < 𝜀 untuk setiap 𝒏 ≥ 𝑲. Jawab: 𝑛2 +1
1
a. 𝑥𝑛 = 2𝑛2 −3 dan 𝑥 = 2 Diberikan 𝜀 > 0 sebarang. Harus ditemukan bilangan asli 𝐾 sehingga 𝑛2 + 1 1 2𝑛2 + 2 − 2𝑛2 + 3 5 5 𝑥𝑛 − 𝑥 = − = = = 2 <𝜀 2 2 2 2𝑛 − 3 2 2(2𝑛 − 3) 2(2𝑛 − 3) 4𝑛 − 6 Diselesaikan, maka diperoleh 5 < 𝜀 ⟺ 4𝑛2 − 6 𝜀 > 5 ⟺ 4𝑛2 𝜀 − 6𝜀 > 5 ⟺ 4𝑛2 𝜀 > 6𝜀 + 5 ⇔ 𝑛 > −6
4𝑛2
6𝜀 + 5 4𝜀
Jadi 𝐾 cukup diambil sebagai bilangan asli terkecil yang lebih besar dari
1
𝐾≔5
6𝜀+5 4𝜀
=
6×
1 12
+5
1 4× 12
4𝜀
, yaitu
6𝜀 + 5 4𝜀
𝐾=
b. Diberikan 𝜀 = 12 maka
6𝜀+5
=
0,5+5 0,33
= 16,67 = 4,08. Jadi, cukup diambil
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO
SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 2013/2014 Mata Ujian Dosen Hari, Tanggal
1.
: Analisis Real 1 : Dr. Julan HERNADI : Selasa, 22 April 2014
Tipe Soal Waktu Sifat Ujian
: KHUSUS : 90 menit : Boleh buka buku
Jawablah pertanyaan teoritis berikut: a) Apa yang menjamin adanya bilangan irrasional, jelaskan alasannya? Jawab: Adanya bilangan irrasional dijamin oleh sifat kelengkapan bilangan real. Diperhatikan bahwa himpunan bilangan rasional Q tidak memenuhi Sifat Kelengkapan, dan apabila dipaksakan untuk menyatakannya sebagai sebuah garis, maka garis tersebut akan berlubang-lubang. Sebagai contoh, bilangan 𝑥 di antara 1 dan 2 yang memenuhi 𝑥 2 = 2 bukan merupakan bilangan rasional, dan karenanya terdapat lubang di antara 1 dan 2. Maka lubang tersebut ditempati oleh bilangan irrasional. b) Jelaskan apa yang dimaksud sifat kepadatan bilangan rasional! Jawab: Berdasarkan aksioma kelengkapan dapat diketahui bahwa garis bilangan sebagai representasi bilangan real dipenuhi secara padat atau rapat oleh bilangan real secara terurut. Dan di antara dua bilangan real, tidak peduli sesempit apapun jaraknya, maka selalu ada bilangan rasional di antara keduanya. Ini menunjukkan bahwa bilangan rasional padat pada R . Artinya bilangan rasional tersebar di mana-mana pada garis bilangan. c) Pernyataan “maksimum sebuah himpunan belum tentu ada, tetapi supremumnya pasti ada”. Bagaimana kebenaran pernyataan ini. Berikan alasan terhadap jawaban Anda! Jawab: Pernyataan ini benar untuk himpunan yang terbatas. Khususnya terbatas ke atas, suatu himpunan yang terbatas ke atas belum tentu mempunyai nilai maksimum tapi pasti mempunyai nilai 1
supremum. Contohnya 𝐸 = {1 − 𝑛 ; 𝑛 ∈ ℕ} jelas 𝐸 terbatas ke atas, dengan supremum 1. Akan
2. 3.
tetapi 𝐸 tidak mempunyai nilai maksimum. d) Apa saja cara yang dapat dilakukan untuk membuktikan kekonvergenan barisan bilangan real! Jawab: Dengan menggunakan definisi limit, ekor barisan, Teorema Kekonvergenan Terdominasi (TKD), Teorema Kekonvergenan Terjepit (TKJ), dll. Lihat No 2 Tipe Soal Reguler Lihat No 3 Tipe Soal Reguler
4.
Diberikan barisan (𝒙𝒏 ) dengan 𝒙𝒏 ≔ 𝒏+𝟏 − 𝒏−𝟏.
𝟏
𝟏
a. Buktikan dengan menggunakan definisi limit bahwa 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒏 = 𝟎 𝟏
b. Bila diberikan 𝜺 = 𝟏𝟐, berapa bilangan asli terkecil 𝑲 yang harus diambil agar berlaku 𝒙𝒏 − 𝟎 < 𝜀 untuk setiap 𝒏 ≥ 𝑲. Jawab: 1
1
a. 𝑥𝑛 = 𝑛+1 − 𝑛−1 dan 𝑥 = 0 Diberikan 𝜀 > 0 sebarang. Harus ditemukan bilangan asli 𝐾 sehingga 𝑥𝑛 − 𝑥 =
1 𝑛+1
−
1 𝑛−1
−0 =
1 𝑛+1
−
1 𝑛−1
=
𝑛−1−𝑛−1 𝑛+1 𝑛−1
=
−2 𝑛2
−1
=
2 𝑛2
−1
<𝜀
Diselesaikan, maka diperoleh 𝑛2
𝜀+2 𝜀
2 < 𝜀 ⟺ 𝑛 2 − 1 𝜀 > 2 ⟺ 𝑛2 𝜀 − 𝜀 > 2 ⟺ 𝑛2 𝜀 > 𝜀 + 2 ⇔ 𝑛 > −1
𝜀+2
Jadi 𝐾 cukup diambil sebagai bilangan asli terkecil yang lebih besar dari
1
b. Diberikan 𝜀 = 12 = 0,083 maka
𝐾=
𝜀+2 𝜀
𝜀+2
0,083 +2
𝜀
=
𝜀
, yaitu
= 25,00001. Jadi, cukup diambil
0,083
𝐾 ≔ 26 5.
Tentukan titik interior, titik limit, titik terasing dan titik batas himpunan berikut ini. Berikan alasan terhadap jawaban Anda tersebut. 𝟏 𝟏 𝟏 𝑬 ≔ 𝟎 ∪ {𝟏, , , , … } 𝟐 𝟑 𝟒 Jawab: Diperhatikan bahwa 𝐸 diatas dapat dinyatakan sebagai berikut: 1 1 1 1 𝐸 ≔ 0 ∪ 1, , , , … = 0 ∪ ;𝑛 ∈ ℕ 2 3 4 𝑛 a. Titik interior 𝐸 : − (𝐸 tidak mempunyai titik interior) Untuk sebarang 𝑒 ∈ 𝐸 dan 𝑟 > 0 maka 𝑉𝑟 𝑒 = (𝑒 − 𝑟, 𝑒 + 𝑟) pasti memuat bilangan yang bukan anggota 𝐸, jadi 𝑉𝑟 𝑒 ⊈ 𝐸. b. Titik limit 𝐸 : 0 Diambil sebarang 𝜀 > 0. Menurut sifat Archimedes terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 1
1
𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑛 < 𝑁 < 𝜀. Diperoleh 𝐸 ∩ 𝑉𝜀 0 \ 0 = c. Titik terasing 𝐸 :
1
1 𝑛
∶𝑛≥𝑁 ≠∅
1
; 𝑛 ∈ ℕ . Diambil sebarang 𝑛 ∈ 𝐹. Didefinisikan 1
1
𝑑1 ≔ 2
1 𝑛1
−𝑛
1 1 −1
1 𝑛 1 −1
∉ 𝑉𝑑
1 𝑛1
dan
1 𝑛 1 +1
∉ 𝑉𝑑
titik terasing. Karena berlaku untuk sebarang
1
dan 𝑑2 ≔ 2
Dipilih 𝑑 ≔ min {𝑑1 , 𝑑2 }. Maka diperoleh 𝑉𝑑 diketahui bahwa
< 𝜀. Untuk setiap
;𝑛 ∈ ℕ
𝑛
Didefinisikan 𝐹 ≔
1 𝑛
1 𝑁
1
=
𝑛1 1 𝑛1 1 𝑛1
1 𝑛1
1 𝑛1
−𝑛
− 𝑑,
1 1 +1
1 𝑛1
. Jadi, 𝐹 ∩ 𝑉𝑑
+ 𝑑 . Dengan demikian dapat 1 𝑛1
1
1
1
𝑛1
= 𝑛 yaitu
merupakan
∈ 𝐹, maka 𝐹 merupakan himpunan titik-titik
terasing. d. Titik Batas 𝐸 : {0} Diambil sebarang 𝜀 > 0. Dperhatikan bahwa𝑉𝜀 0 = (−𝜀, 𝜀) memuat banyak anggota 𝐸 dan juga banyak anggota 𝐸 𝑐 .
