BARISAN DAN DERET A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA I. TUJUAN Setelah mempelajari topik siswa dapat: 1. Menentukan suku ke n suatu barisan aritmatika 2. Menetukan rumus suku ke n dari barisan aritmatika 3. Menetukan suku pertama dan beda suatu barisan aritmatika jika dua suku lain diketahui. 4. Menentukan rata-rata dari deret aritmatika (mean aritmatik). 5. Menentukan jumlah deret aritmatika jika diketahui suku pertama dan suku terakhirnya. 6. Menentukan banyaknya suku (n) dari deret aritmatika jika suku pertama, beda dan jumlah deretnya diketahui.
II.
MATERI 1. Barisan Aritmatika Perhatikan barisan berikut. 1. 1,3,5,7,… 2. 2,6,10,40,30,… 3. 60,50,40,30,… Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1 , U 2 , U 3 , …..U n ialah barisan aritmatika,jika: U 2 - U 1 = U 3 -U 2 =…….= U n - U n 1 = konstan Konstan ini disebut beda dan dinyatakan dengan b. Untuk 1, 3, 5, 7 bedanya ialah 3 – 1 = 4 – 3 =7 – 5 =….= Untuk 60, 50, 40, 20,….bedanya ialah 50 - 60 = 40 – 50 = 30 – 40 = -10 a. Rumus suku ke n. Jika suku pertama n1 U 2 - U1 = b U2 - U3 = b U4 - U3 = b dan seterusnya.
dinamakan a, kita mendapatkan: U 2 = U1 - b = a + b U 3 = U 2 - b = (a + b) + b = a + 2b U 4 = U 3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
Ini memberikan barisan Aritmatika baku. A, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a + (n – 1) b Rumus suku ke n adalah u n = a + (n – 1) b.
Contoh 1 Carilah suku ke 40 dari barisan aritmatika 1, 6, 11, 16, … Penyelesaian: A = 1, b = 6 – 1, n = 40 u n = a + (n – 1) b u 40 = 1 (40 – 1) 5 = 196. Contoh 2 Carilah suku pertama dan bedanya, jika diketahui suku kesepuluh 41 dan suku ketiga ialah 20. Penyelesaian: u10 = a + ( 10 – 1) b = a + 9b a = 9b = 41…….(1)
u 3 = a ( 3 – 1) b = a + 2b a + 2b = 20 …….(2)
Sistem persamaannya: a + 9b = 41 a + 2b = 20 7b = 21 b = 3 b = 3 substitusi ke persamaan (1), didapat: a + 9.(3) = 41 a = 14 adi suku pertama (a) = 14 dan beda (b) = 3. Contoh 3 Carilah rumus suku ke n dari barisan: 2, 4, 6, 8, ……….. Penyelesaian: Suku pertama (a) 2 dan beda (b) = 4 – 2 = 2 Suku ke n: U n = a + ( n – 1 ) b Un = 2 + ( n – 1 ) 2 U n = 2 + 2n - 2 U n = 2n
b. Rata-rata dari suatu barisan Aritmatika ( Mean Aritmatika ). Kadang-kadang kita harus mencari mean aritmatika dua buah bilangan, P dan Q. Ini berarti kita harus menyisipkan sebuah bilangan A diantara P
dan Q, sedemikian rupa sehingga p + A + Q membentuk sebuah deret aritmetika A – P = b dan Q – A = b. Jadi A – P = Q - A 2A = P + Q P Q A = 2 Ternyata mean aritmetik dua bilangan tidal lain dari pada nilai tengahnya. Contoh 1 Hitunglah mean aritmetika dari 23 dan 58! Jawab: 23 58 = 40,5 2 Jika kita diminta untuk menyisipkan 3 buah mean aritmetik diantara dua buah bilangan yang diketahui, P dan Q berarti kita harus menyisipkan 3 buah bilangan A, B, dan C diantara Pdan Q sedemikian hingga P + A + B + C + Q merupakan deret aritmetik.
Mean aritmetika =
Contoh 2 Sisipkan tiga buah mean aritmetik diantara dua buah bilangan 8 dan 18. Jawab: 8 + A + B + C + 18 U 1 = 8 dan U 5 = a + 4b = 18 a= 8 4b = 10 b = 2.5 a + 4b = 18 A = a + b =8 + 2.5 = 10.5 B = a + 2b = 8 + 2(,.5) = 13 C = a + 3b = 8 + 3(2,5) = 15,5 Jadi mean aritmetik yang dicari adalah 10,5 ; 13 dan 15,5. 2. DERET ARITMETIK Deret aritmetik disebut juga deret hitung. Jumlah n suku pertama deret aritmetik ditulis S n Jadi S 5 artinya suku pertama dan seterusnya. Kita dapat mencari rumus untuk jumlah dari deret aritmrtika baku: A + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b] Dengan cara: Misalkan suku terakhir U n , maka suku sebelumnya ialah U n - b, sebelumnya lagi U n - 2b dan seterusnya.
Jadi S n = a + (a + b) + (a + 2b) +…+ (U n + 2b) + (U n -b) + U n S n = U n + (U n - b) +( U n + 2b) +…+ (a + 2b) + (a + b) + a 2 S n = (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) + … + (a + U n ) + (a +U n ) + (a + U n ) 2 S n = n (a + U n ) 1 a U n , yaitu n x (rata-rata dari suku pertama dan Sn = 2 terakhir) 1 Atau S n = n{a + (a + (n – 1) b]},karena U n = a +(n + 1)b 2 1 = n 2a n 1 b 2 Contoh 1 Carilah jumlah 50 suku yang pertama dari deret aritmetika 2+3+4+… Jawab: a = 2 , b = 3 – 2 = 1 dan n = 50 1 S n = .50 (2.2 + (50- 1). 1) 2 = 25(4 + 49) = 25(53) =1325 Contoh 2 Carilah jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 2. Jawab: Penyelesaian: a = 2, b = 2 dan U n = 98 Kita harus mencari dulu n. U n = a + (n – 1) b 98 = 2 + (n – 1) 2 98 = 2 + 2n – 2 2n = 98 n = 49
1 a Un 2 1 = .49 (2 + 98) 2 = 2450
Sn =
LATIHAN 1. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmetika: a. 2, 4, 6, 8, ……………….. ; suku ke 100 b. 3, 5, 7, ………………….. ; suku ke 20 c. -5, -1, 3, 7, ……………... ; suku ke 12 d. 2, 7, 12, 17, …………….. ; suku ke 15 e. 18, 14, 10, 6, …………… ; suku ke 24 f. 1, 4, 7, 10, ……………… ; suku ke 50 2. Tentukan rumus suku ke n dari setiap barisan aritmetika: a. 5, 8, 11, 14, ………. b. 10, 9, 8, 7, ………... c. 40, 30, 20, ………... d. 1, 8, 15, 22, ………. 3. Tentukan suku pertama danbeda dari setiap barisan aritmetika, jika diketahui: a. U 4 = 33 dan U10 = 45 b. U 3 = 15 dan U8 = 25 c. U 8 = 18 dan U3 = 12 d. U 4 = 9 dan U15 = 31 4. Tentukan jumlah deret aritmetika berikut: a. 80 + 70 + 60 + …… sampai 12 suku b. 2 + 3 + 4 + ……….. sampai 40 suku 5. Tentukan jumlah semua bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang habis dibagi 3. 6. Tentukan n jika: a. 1 + 2 + 3 + ……….. + n = 120 b. 5 + 7 + 9 + ……….. + n = 192 7. Tentukan 5 buah mean aritmetika diantara 12 dan 21,6.
B. BARISAN DAN DERET GEOMETRI I. TUJUAN Setelah mempelajari topik siswa dapat: 1. Menentukan suku ke n suatu barisan geometri dengan rumus. 2. Menentukan rumus suku ke n dari barisan geometri
3. 4. 5. 6.
Menentukan rasio jika dua suku dari barisan geometri diketahui Menentukan rata-rata dari deret geometri (mean geometric) Menentukan jumlah n suku yang pertama suatu deret geometri. Menentukan banyaknya suku dari deret geometri, jika suku pertama, rasio dan jumlah derenya diketahui. 7. Menentukan jumlah deret geometri tak hingga. 1. Barisan Geometri Perhatikan barisan: a. 1, 2, 4, 6, ……. b. 27, -9, 3, -1, ….. c. -1, 1, -1, 1, …… adalah contoh-contoh barisan geometri. U 1 , U 2 , U 3 , …..U n ialah suatu barisan geometri, jika U3 U U2 = = …….. = n Un 1 U4 U1 Konstanta ini dinamakan rasio, atau nisbah dan dinyatakan dengan r. 2 4 8 Untuk 1, 2, 4, 8, …….. , rasionya = = ……… = 2 1 2 4 9 3 1 27, -9, 3, -1, … , rasionya = ………. = 27 9 3 a. Rumus suku ke n. Jika suku pertama U 1 dinyatakan dengan a, kita mendapatkan: U2 = r U 2 = U 1 r = ar U1 U3 = r U2
U 3 = U 2 r = (ar)r = ar 2
U4 U 4 = U 3 r = ( ar 2 )r = ar 3 = r U3 Ini memberi barisan geometri baku: a, ar, ar 2 , ar 3 , …. ar n 1 Perhatikan bahwa suku ke n adalah U n = ar n 1
Contoh 1 Tentukan suku ke 5 dari barisan geometri: 1, 2, 4, ……… Penyelesaian: 2 a = 1, r = = 2. 1 n 1 U n = ar U 5 = ar 4 = 1. 2 4 = 2 4 = 16
Contoh 2 Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri 2,6, 18, ……. Penyelesaian: 6 a = 2, r = = 3 2 U n = ar n
1
= 2. 3 n
1
Contoh 3 Tentukan rasio r, jika diketahui suku-suku barisan geometri: U 1 = 3 dan U 4 = 24. Penyelesaian: U1 a = 3 U 4 = ar 3 = 24
ar 3 = 24 r3 = 8 r = 2 b. Rata-rata dari suatu deret geometri (mean geometri). Mean geometric dari dua buah bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sedemikian hingga P + A + Q membentuk suatu deret geometri. A Q A Q A 2 =PQ = r dan =r = P A P A A= PQ Adi mean geometri dua buah bilangan adalah akar dari hasil dari kalinya. Contoh 1 Tentukan mean geometric dua bilangan 4 dan 25 Penyelesaian: A =
4.25 = 10.
Untuk menyisipkan tiga mean geometric diantara dua bilangan geometri P dan Q, kita harus mencari tiga bilangan A, B, dan C sedemikian sehingga P + A + B + C + Q membentuk suatu deret geometri. Contoh 2 Sisipkan 4 buah mean geometric diantara 5 dan 1215. Tentukan keempat mean geometric tersebut. Penyelesaian:
Misalkan keempat mean tersebut masing-masing A, B, C, dan D. Maka 5, A, B, C, D, 1215 membentuk suatu deret geometric, yaitu: a = 5 dan ar 5 = 1215 1215 = 243 r5 = 5 r = 5 243 = 3 A = ar = 5.3 = 15 B = ar 2 = 5.32 = 45 C = ar 3 = 5.33 = 135 D = ar 4 = 5.34 = 405 Adi mean geometric yang dicari adalah 15, 45, 135, 405. 2. Deret Geometri Kita dapat mencari rumus untuk jumlah deret geometri baku: a + ar + ar 2 + … + ar n 1 sebagai berikut: S n = a + ar + ar 2 + …. + ar n 1 r S n = ar + ar 2 + … Sn - r Sn = a + 0
+0
+ ar n + ….
1
+ ar n + 0 - ar n
(1 – r) S n = a - ar n = a(1 - r n ) a (1 Sn = 1 a(r n atau S n = r
ar n ) ,r 1 r 1) , berlaku jika n 1
1
Contoh 1 Carilah jumlah dari tujuh suku dari deret geometri 4 + 2 + 1 + 0,5 + … Penyelesaian: 2 1 A = 4, r = = dan n = 7 4 2 n a (1 ar ) Sn = 1 r 1 4(1 ( ) 7 2 Sn = 1 1 2 = 7,94, dua tempat decimal Contoh 2 Carilah n jika 2 + 2 2 + 2 3 + … 2 n = 510
Penyelesaian: a = 2, r = 2 dan S n = 510 a (r n 1) Sn = r 1 2(2 n 1) 510 = 2 1 n 2 1 = 255 2 n = 256 n=8
3. Deret Geometri Tak Terhingga Deret geometri tak terhingga merupakan deret geometri yang banyak suku tak terhingga (“~ “) atau n = ~ Macam deret tak terhingga. a. Deret geometri tak terhingga yang konvergen. Deret geometri tak terhingga yang konvergen adalah suatu deret dengan r 1 atau -1 r 1 . Jumlah deret geometri tak terhingga yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan: a S= 1 r b. Deret geometri tak terhingga yang divergen (menyebar) Deret geometri tak terhingga yang divergen adalah deret dengan r 1atau r 1 atau r – 1 . Jumlah deret geometri tak terhingga yang divergen, tidak didefinisikan. Contoh 1 Tentukan jumlah deret geometri tak terhingga: 2 + 1 +
1 1 + +… 2 4
Penyelesaian: 1 a = 2 , r = < 1 (konvergen) 2 a S= 1 r 2 2 = = =4 1 1 1 2 2 Contoh 2 Tentukan jumlah deret geometri tak terhingga: 1 -
1 1 1 + + ….. 3 9 27
Penyelesaian: 1 a = 1, r = 1 (konvergen) 3 a S= 1 r 1 3 1 = = = 4 1 4 1 ( ) 3 3 Contoh 3 Selidiki ada atau tidak jumlah deret tak terhingga yang dinyatakan dengan: a.1 + 2 + 4 + 8 + ….. b. 2 – 6 + 8 – 54 + ….. Penyelesaian: a. a = 1, r = 2 1 Karena r 1 maka ini adalah deret geometri tak terhingga yang divergen. Jadi S tidak didefinisikan. b. a = 2, r = -3 1 Karena r 1 , ini adalah deret geometri tak terhingga yang divergen. Jadi S tidak didefinisikan. LATIHAN 1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri: a. 1, 3, 9, 27, …….. ; u 6 b. 1, 2, 4, ……….... ; u 5 c. 1, -2, 4, .………. ; u 5 d. 12, 6, 3, ………... ; u 7 2. Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri: a. 1, 2, 4, ………………… b. 3, 6, 12, ……………….. c. 4, 2, 1, ………………… d. 1, -2, 4, ……………….. 3. Tentukan rasio r dari barisan dengan: a. u 1 = 6, u 3 = 24 b. u 1 = 36, u 2 = -12 4. Tentukan dua mean geometric diantara 5 dan 8,64.
5. Tentukan jumlah setiap deret geometri a. 1 + 2 + 4 + ……… sampai 8 suku 1 1 b. 1 + + + ……..sampai 6 suku 2 4 6. Tentukan n jika: 3 + 3 2 + 3 3 + …. + 3 n = 120 7. Tentukan jumlah deret geometri tak terhingga: 3 3 3 + + + ……… 10 100 1000 1 8. Suku ke n suatu deret geometri ialah n 4 Carilah suku pertama, ke dua, rasio dan jumlah sampai tak terhingga. C. APLIKASI BARISAN DAN DERET Contoh 1. Untuk membuat ulir disediakan roda gigi pengganti yang banyaknya gigi masingmasing membentuk barisan aritmetika: 20, 25, 30, …, 120. Tentukan banyaknya roda gigi yang disediakan. Penyelesaian: A = 20, b = 25 – 20 = 5 U n = 120 U n = a + (n – 1)b 120 = 20 + (n – 1)(5) 120 = 20 + 5n – 5 5 n = 105 n = 21 jadi roda gigi yang disediakan sebanyak 21 buah 2. Perencanaan mesin perkakas memerlukan empat buah roda gigi A, B, C dan D yang satu sama lainnya merupakan penggerak dan yang digerakkan. Urutan diameternya merupakan barisan geometri yaitu: 60, 30, 15, (7,5), …… Tentukan berapa put/menit roda gigi D apabila diketahui putaran roda gigi A = 30 put/menit, B = 60 put/menit. Penyelesaian: Barisan geometri 30, 60, …… 60 A = 30, r = =2 30 U n = ar n 1 U 4 = 30(2 ) 4
1
= 30(2) 3 = 30(8) = 240 put/menit LATIHAN 1. Perencanaan sebuah mesin perkakas memerlukan 7 buah roda gigi yang satu sama lainnya merupakan penggerak dan yang digerakkan. Diameternya merupakan barisan geometri D1 , D2 , D3 , ……. D7 . Jika putaran roda gigi n1 = 30 put/menit dan n 4 = 101,25 put/menit, tentukan putaran roda gigi ke 5 ( n 3 ). 2. Suatu tiang akan dipancangkan ke dalam tanah. Biaya pemancangan untuk kedalaman 1 meter pertama Rp. 800.000,00, satu meter kedua Rp. 1.000.000,00 demikian seterusnya . Jika pertambahannya tetap menurut barisan aritmatika, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan untuk memancangkan tiang sedalam 7 meter. 3. Pada penentuan tegangan sabuk di dapat persamaan T = To.k dengan To dan k konstan serta besar sudut dalam radian. Buktikan bahwa jika meningkat secara barisan aritmetika maka T akan meningkat secara barisan geometri. 4. Suatu industri merencanakan membuat 9000 buah roda gigi dan harus selesai dalam waktu 1 tahun. Jika bulan meningkat secara deret aritmetika dan pada bulan pertama dapat memproduksi 200 buah, maka berapa hasil produksi dalam bulan ke 3 dan ke 12.
