Materi Publikasi Karya Tulis MGMP Matematika Kabupaten Blitar Tahun 2014
MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN HALAMANPOLINOM SAMPUL
Oleh GUNAWAN SUSILO SMP NEGERI 1 GANDUSARI KABUPATEN BLITAR
BLITAR PEBRUARI 2014
PENGESAHAN
Yang bertanda tangan di bawah ini, mengesahkan karya tulis berjudul “MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM”
Adalah karya tulis yang dibuat oleh Drs. Gunawan Susilo untuk dipublikasikan melalui MGMP Matematika Kabupaten Blitar di SMP Negeri Sanankulon Blitar pada hari Kamis, 27 Pebruari 2014
Blitar, 11 Pebruari 2014 Yang mengesahkan, Kepala SMP Negeri 1 Gandusari Blitar
S A M U J I, S.Pd., M.M. NIP. 19680818 198901 1 002
(ii)
SURAT PERNYATAAN INTEGRITAS AKADEMIS
Saya, yang bertanda tangan di bawah ini: Nama
:
Drs. Gunawan Susilo
NIP
:
19640805 199903 1 004
Pangkat/Golongan
:
Pembina/ IV a
Unit Kerja
:
SMP Negeri 1 Gandusari - Blitar
NUPTK
:
51137742642200003
menyatakan dengan sebenarnya bahwa karya tulis yang berjudul: “MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM” 1. Karya tulis ini asli buatan saya sendiri dan bukan karya orang lain. 2. Ditulis pada tahun 2014 3. Belum pernah dipublikasikan di tingkat MGMP Kabupaten atau tingkat yang lebih tinggi.
Apabila terbukti tidak sesuai dengan pernyataan tersebut di atas, saya bersedia menerima sanksi sesuai peraturan dan perundangan yang berlaku. Surat pernyataan ini saya buat secara sadar, sehat jasmani dan rohani.
Mengetahui,
Blitar, 11 Pebruari 2014
Kepala SMP Negeri 1 Gandusari Blitar
Yang membuat pernyataan, Meterai Rp. 6.000
S A M U J I, S.Pd., M.M. NIP. 19680818 198901 1 002
Drs. GUNAWAN SUSILO NIP. 19640805 199903 1 004
(iii)
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL .................................................................................................. i PENGESAHAN ............................................................................................................ii SURAT PERNYATAAN .............................................................................................iii DAFTAR ISI ................................................................................................................ iv ABSTRAK .................................................................................................................... 1 PENDAHULUAN ......................................................................................................... 2 BARISAN POLINOM .................................................................................................. 3 INSPIRATOR ....................................................................................................... 3 KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM ......................................................... 4 ALGORITMA MENENTUKAN RUMUS UMUM BARISAN POLINOM ...... 5 MENGEMBANGKAN ALGORITMA BARISAN POLINOM .......................... 5 DERET POLINOM ....................................................................................................... 6 SISI LAIN KEINDAHAN SEGITIGA PASCAL ................................................ 7 KESIMPULAN ............................................................................................................. 8 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 9
(iv)
ABSTRAK
JUDUL
: MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM
BIDANG
: MATEMATIKA
NAMA
: GUNAWAN SUSILO
SEKOLAH
: SMP NEGERI 1 GANDUSARI BLITAR
KATA KUNCI : BARISAN POLINOM
Barisan bilangan merupakan salah satu keindahan matematika. Barisan bilangan kadangkadang menyembunyikan keteraturan, sehingga membuat beberapa orang dapat memberikan penafsiran yang berbeda. Banyak ahli matematika lintas zaman telah mengemukakan berbagai alternatif bentuk umum barisan, diantaranya adalah barisan aritmatika, barisan geometri, barisan bilangan pada segitiga Pascal, dan banyak barisan lainnya. Diantara keagungan Tuhan yang telah dibuka untuk kita melalui ahli-ahli matematika, terdapat sebuah barisan yang mampu menawarkan alternatif banyak bentuk umum barisan bilangan yang diketahui beberapa suku awalnya, serta mampu menunjukan sisi lain dari keindahan dan kehebatan barisan bilangan segitiga Pascal. Barisan tersebut adalah barisan polinom. Melalui forum ini, forum publikasi MGMP Matematika Kabupaten Blitar Tahun 2014, penulis berusaha menyampaikan beberapa manfaat keistimewaan barisan polinom. Menurut pengetahuan penulis keberadaan konsep keistimewaan barisan polinom merupakan sesuatu yang baru terungkap dan perlu banyak waktu untuk menguji kebenarannya, maka penulis berharap, penerapan keistimewaan barisan polinom pada berbagai persoalan, termasuk menyingkap sisi lain keindahan segitiga pascal dapat mendorong guru matematika pada khususnya, dan pemerhati matematika umumnya agar ikut mencermati dan meluruskan konsep tersebut.
(1)
PENDAHULUAN
Konsep polinom merupakan konsep yang telah cukup tua berkembang dan telah banyak digunakan zaman untuk memecahkan berbagai persoalan. Dengan membangun barisan yang dibangkitkan dengan fungsi polinom, penulis, telah menyampaikan keistimewaan barisan polinom melalui makalah dengan tajuk “Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom” , dan dipublikasikan melalui seminar secara parallel di Universitas Negeri Malang bulan Juni tahun 2009. Bulan Juli 2009, penulis, menyampaikan makalah dengan tajuk “Algoritma Menentukan Rumus Umum Deret Polinom”, dan dipublikasikan melalui seminar parallel di Universitas Negeri Surabaya, dalam tulisan tersebut dapat dilihat sisi lain keindahan dan kehebatan segitiga Pascal. Keistimewaan barisan polinom ternyata dapat membantu menyederhanakan beberapa penyelesaian persoalan matematika, sehingga dimungkinkan lebih mudah dimanfaatkan oleh pengguna matematika, termasuk anak didik kita. Keistimewaan barisan polinom ternyata dapat menjadi pelengkap pengetahuan kita agar lebih berhati-hati dalam menentukan rumus umum sebuah barisan, terutama saat-saat memberikan bekal bagi anak didik. Penulis berharap, forum MGMP Matematika di Kabupaten Blitar dapat ikut serta menelaah keberadaan konsep tersebut agar dapat memanfaatkan dengan tepat, khususnya bagi kepentingan anak didik.
(2)
BARISAN POLINOM
Barisan Polinom merupakan barisan yang dibangun menggunakan nilai fungsi polinom dengan domain bilangan asli. Jika f(x) merupakan fungsi polinom dan x berupa bilangan asli maka nilai f dapat membentuk barisan sesuai urutan nilai domainnya sebagai berikut:
f(1), f(2), f(3), , f(n),f(n 1), artinya, U1= f(1), U2 = f(2), …, Un = f(n), Un+1= f(n+1). INSPIRATOR Kalkulus merupakan sumber inspirasi penulis mengkaji keberadaan barisan polinom. Berawal dari definisi turunan dalam kalkulus yang dinyatakan dalam bentuk,
f ' ( x)
lim
f (x
x 0
x) x
f ( x)
untuk turunan fungsi-fungsi polinom menunjukkan pengurangan derajat fungsi tersebut, misalnya: Jika,
f ( x)
5 x 3 2 x 2 10
maka turunan pertamanya,
f ' ( x) 15x 2
4x
sedangkan turunan keduanya adalah,
f '' ( x)
30 x 4
turunan ketiganya adalah,
f ''' ( x)
30
untuk turunan keempat dan seterusnya adalah nol. Contoh diatas memberikan beberapa fakta yang menarik untuk kita amati diantaranya adalah: 1.
Turunan ketiga memberikan fungsi konstan. Benarkah itu pasti terjadi saat turunan ke derajat fungsi induknya ( f ( x)
5 x 3 2 x 2 10 ) ?
(3)
2.
Fungsi konstanta pertama yang dihasilkan pada turunan ketiga yaitu 30 atau 5 dikali 3! ( tiga factorial). Benarkah nilai konstanta turunan ketiga merupakan hasil kali koefisien suku pangkat tertinggi dari fungsi induknya dengan derajat faktorial fungsi induknya?
3.
Apakah dapat dipastikan apabila derajat fungsi induk dan koefisien suku pangkat tertinggi fungsi induk diketahui maka posisi fungsi turunannya yang pertama kali berupa fungsi konstan dapat diketahui ?
Fakta-fakta tersebut membawa penulis untuk mencoba menganalisa barisan yang dibangun dari fungsi polinom, menggunakan prinsip defferensial. Prinsip yang digunakan penulis adalah dengan membentuk barisan selisih suku dengan mengambil konsep turunan, tetapi dalam bentuk,
U n[1]
lim
x 1
Un 1 Un x
, dengan U n
f (n) dan U n
1
f (n 1) .
Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi,
U n[1]
Un 1 Un
dan selanjutnya disebut barisan pengurangan suku generasi pertama dari Un. KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM Dalam makalah “Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom”, jika diambil Un sebuah fungsi polinom berderajat i dengan bentuk, i
Un
ak n k
f ( n) k 0
maka diperoleh keistimewaan berikut: 1.
Barisan pengurangan suku generasi pertama derajatnya satu lebih rendah dari barisan induknya.
2.
Koefisien suku pangkat tertinggi dari barisan pengurangan suku generasi pertama sama dengan koefisien suku pangkat tertinggi barisan induknya dikali dengan derajat barisan induknya.
(4)
ALGORITMA MENENTUKAN RUMUS UMUM BARISAN POLINOM Dengan mengambil, dan memanfaatkan keistimewaan barisan polinom, penulis, dalam makalah “Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom” telah menyusun algoritma menentukan kemungkinan rumus umum barisan polinom sebagai berikut: 1.
2.
Periksa barisan (barisan utama) tersebut, apakah barisan konstanta ? a. Jika barisan konstanta lanjutkan ke langkah terakhir. b. Jika bukan, buat barisan selisih suku sampai generasi yang menghasilkan barisan konstanta paling awal. Misal: q merupakan generasi barisan suku paling akhir, dan p salah satu suku pada barisan selisih suku paling akhir. Maka barisan bilangan utama kemungkinan mengandung suku polinom
3.
4.
pnq , dengan q! = 1x2x…x q q!
Hapus elemen suku yang diperoleh pada langkah 2 (kedua) dari barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama menggunakan nilai suku polinom yang diperoleh. Barisan baru gunakan sebagai barisan utama dan menuju langkah pertama. Rumus umum yang mungkin adalah jumlah semua suku yang diperoleh dari langkah 3 (ketiga) dan salah satu suku barisan baru yang terakhir.
MENGEMBANGKAN ALGORITMA BARISAN POLINOM Keistimewaan barisan pengurangan suku diatas ternyata dapat menghilangkan (mengeleminir) nilai-nilai yang dihasilkan oleh suku-suku polinom, sampai tinggal barisan konstanta. Artinya barisan pengurangan suku yang dibentuk berikutnya tidak lagi memuat nilai-nilai yang dihasilkan oleh komponen fungsi polinom yang terkandung dalam barisan tersebut. Dalam makalah “Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom”, penulis memanfaatkan sifat barisan geometri, sehingga dapat menyusun algoritma sebagai berikut, 1. 2.
3.
Jika barisan berupa barisan konstanta menujulah ke langkah 5. Periksa rasio barisan a. Jika sama menujulah ke langkah ke 3. b. Jika tidak sama, carilah buat barisan selisih suku sampai mendapat barisan selisih suku yang memungkinkan mempunyai rasio sama. Jika rasio barisan yang terbentuk r, dan melakukan langkah generasi barisan selisih suku k, dan q sebagai suku pertama barisan selisih suku terakhir maka barisan utama kemungkinan mengandung suku eksponen
4. 5.
.
Hapus elemen yang diperoleh dari langkah 3. Barisan baru tinggal barisan polinom sehingga dapat digali semua sukunya menggunakan algoritma sebelumnya.
(5)
DERET POLINOM Jika Un merupakan barisan polinom maka bentuk umum dari deret polinom tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk:
Sn
U1 U 2 U 3 ... U n 1 U n
dengan menggunakan Sn dapat dibentuk barisan,
S1, S2,…, Sn-1, Sn sehingga,
Un = Sn – Sn-1 Ungkapan terakhir menunjukkan Un sebagai barisan pengurangan suku generasi pertama dari barisan Sn. Apabila Un sebagai barisan polinom berderajat i-1 maka Sn dimungkinkan juga berupa barisan polinom dengan derajad i. Dalam makalah “Algoritma Menentukan Rumus Umum Deret Polinom”, penulis berhasil menunjukkan adanya kesesuaian bentuk segitiga pascal yang dimodifikasi untuk mempermudah menentukan rumus umum dari Sn. Prosedure modifikasi segitiga pascal dan proses menentukan Sn dinyatakan dalam bentuk algoritma sebagai berikut: 1. Jika barisan Polinom dengan rumus umum (Polinom berderajad i-1) dinyatakan dalam bentuk Un = ao + a1n + a2n2 + ... + ai-2ni-2 + ai-1ni-1 maka dimungkinkan rumus umum deret barisan tersebut adalah Sn = A1n + A2n2 + A3n3 + ... + Ai-1ni-1 + Aini 2. Buat segitiga Pascal sampai pangkat i, hapus dua kolom paling kanan dan tandai bilangan-bilangan pada masing-masing baris dari kanan ke kiri dengan positip (+) diikuti negatif (-) secara bergantian, seperti berikut.
1 1 1 2 1 -1 3 3 1 1 -4 6 4 1 ................................................................................................. (-1)i-1i-1C0 (-1)iiC0
(-1)i-2i-1C1 (-1)i-1iC1
(-1)i-3i-1C2 (-1)i-2iC2
…. ….
i-1Ci-3
- iCi-3
i-1 iCi-2
1 i
1
3. Berlaku persamaan, i.Ai = ai-1 (i-1).Ai-1 = ai-2 + Ai(iCi-2) (i-2).Ai-2 = ai-3 + Ai-1(i-1Ci-3) - iCi-3 -----------------------------------------------3A3 = a2 + 6A4 – 10A5 + .......+ Ai(-1)i-2iC2 2A2 = a1 + 3A3 – 4A4 + ....... .+ i.Ai(-1)i-1 A1 = a0 + A2 – A3 + A4 - .... + Ai(-1)i
(6)
SISI LAIN KEINDAHAN SEGITIGA PASCAL Algoritma menentukan rumus umum deret polinom yang penulis kemukakan diatas menunjukan bahwa peran barisan segitiga pascal sangatlah besar. Sebagai contoh penulis mencoba menentukan rumus umum deret polinom dengan suku ke-n, Un = 12n5 – 16n3 – 9n2 + 4 menggunakan bantuan barisan segitiga pascal yang termodifikasi sebagai berikut: Un = 12n5 – 16n3 – 9n2 + 4 maka nilai ao = 4, a1 = 0, a2 = -9, a3 = -16, a4 = 0, dan a5 = 12. Un merupakan polinom berderajad 5 maka rumus umum deret yang dibentuk oleh barisan tersebut merupakan polinom berderajad 6, misal dalam bentuk Sn = A1n + A2n2 + A3n3 + A4n4 + A5n5 + A6n6. Kita buat segitiga pascal yang termodifikasi sampai pangkat 6 seperti berikut: 1 1 1
2
1
-1
3
3
1
1
-4
6
4
1
-1
5
-10
10
5
1
1
-6
15
-20
15
6
1
Berlaku: o 6A6 = a5 = 12 → A6 = 2 o
5A5 = a4+(15)A6 = 0+(15)(2) = 30 → A5 = 6
o
4A4 = a3+(10)A5+(-20)A6 = -16+(10)(6)+(-20)(2) = 4 → A4 = 1
o
3A3 = a2+(6)A4+(-10)A5+(15)A6= -9+(6)(1)+(-10)(6)+(15)(2)=-33 → A3 = -11
o
2A2 = a1+(3)A3+(-4)A4+(5)A5+(-6)A6=0+(3)(-11)+(-4)(1)+(5)(6)+(-6)(2)→ A2 = 9½
o
A1 = ao+(1)A2+(-1)A3+(1)A4+(-1)A5+(1)A6 = 4 – 9½ + 11 + 1 - 6 + 2 = 2½
Jadi, Sn = 2n6 + 6n5 + n4 – 11n3 + 9½ n2 + 2½ n
.
(7)
KESIMPULAN
Berdasarkan uraian diatas maka penulis menyimpulkan, 1. Barisan polinom mempunyai keistimewaan yang dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan beberapa persoalan matematika dengan cukup sederhana. 2. Kesederhanaan penggunaan sifat keistimewaan barisan polinom kiranya pantas dipertimbangkan untuk dijadikan tambahan pengetahuan bagi masyarakat umumnya, dan anak didik kita khususnya. 3. Keistimewaan barisan polinom dapat menggali lebih lengkap tentang sisi lain kehebatan barisan bilangan segitiga pascal untuk membantu menentukan rumus umum deret polinom yang diketahui rumus umum sukunya. tetapi keistimewaan barisan polinom masih tergolong pengetahuan yang masih muda (mulai dipulikasikan penulis tahun 2009), maka sangatlah perlu diteliti dan dianalisa, bahkan mungkin disempurnakan agar pengetahuan tersebut benar-benar dapat dimanfaatkan dengan tanpa keraguan,
(8)
DAFTAR PUSTAKA
Sudirham, Sudaryanto, Diferensiasi, Bahan Kuliah terbuka format Pdf: www.buku-e.lipi.go.id: 2012
Susilo, Gunawan, Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom, Makalah Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang, Juni 2009.
Susilo, Gunawan, Algoritma Menentukan Rumus Umum Deret Polinom, Makalah Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Surabaya, Juli 2009.
(9)
DAFTAR HADIR PESERTA PUBLIKASI ILMIAH PEMBICARA: Drs. GUNAWAN SUSILO (GURU SMP N 1 GANDUSARI BLITAR) HARI KAMIS, 27 PEBRUARI 2014 DI SMP N SANANKULON BLITAR JUDUL KARYA TULIS: MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
NAMA
UNIT KERJA
TANDA TANGAN
NO
NAMA
UNIT KERJA
TANDA TANGAN
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Mengetahui, Kepala SMP Negeri Sanankulon Blitar
Blitar, 27 Pebruari 2014 Ketua MGMP Matematika Kab. Blitar
SUGIANTO, S.Pd., M.M. NIP. 19600424 198112 1 002
WARMAN, M.Pd., MA NIP. 19611125 198403 1 007
