SUKU BANYAK ( POLINOM)
Bab 16
Skl 8 .Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk an xn an1 x n1 an2 x n2 .... a2 x 2 a1x a0 , dengan an 0 dan n {bil.cacah} disebut dengan Suku banyak (Polinomial) dalam x berderajat n ( n adalah pangkat tertinggi dari x) an , an1 , an2 ,....., a1 disebut keofisien suku banyak dari masing-masing peubah (variable) x
yang merupakan konstanta real dan an 0 , sedangkan a0 konstanta.
B. NILAI SUKU BANYAK Suku banyak dapat ditulis sbg. fungsi f(x) = an xn an1 x n1 an2 x n2 .... a2 x 2 a1x a0 untuk mencari nilai suku banyak f(x) untuk x = k atau f(k) dapat ditentukan dengan cara substitusi atau dengan skema Horner. a. Cara Substitusi. Substitusikan x = k pada suku banyak f(x) = an xn an1 x n1 an2 x n2 .... a2 x 2 a1x a0
Diperoleh f(k) = an k n an1k n1 an2 k n2 .... a2k 2 a1k a0 b. Cara Skema Horner. Langkah skema horner sbb : k
a
b ak
a
ak + b
c
d
ak 2 +bk
ak 3 +bk 2 +ck
ak 2 +bk+c
ak 3 +bk 2 +ck+d
nilai dari f(k) Contoh : Tentukan nilai dari suku banyak f(x) = x3 2 x2 x 1 untuk x = -2 a. Dengan substitusi F(-2) = (2)3 2(2)2 (2) 1 19
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
121
b. Dengan Horner x=-2
1
-2
1
1(-2)
-4(-2)
-18
-4
9
-19
1
-1
C. PEMBAGIAN SUKU BANYAK Jika suatu suku banyak f(x) berderaat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat m , maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S(x) . f(x) dinamakan yang dibagi (deviden)
f(x) = h(x) .g(x) + S(x)
g(x) dinamakan pembagi (divisor) derajat dari h(x) adalah n-m dan derajat s(x) adalah
m-1 Pembagian suku banyak lebih praktis dilakukan dengan cara Horner. a. Pembagian suku banyak dengan (x-k) dan (ax+b). Jika f(x) = an xn an1 x n1 an2 x n2 .... a2 x 2 a1x a0 dibagi dengan (x-k) dan memberikan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S, dapat ditulis dalam persamaan : f(x) = (x-k) h(x) + S f(x) berderajat n dan pembagi (x-k) berderajat 1 , maka hasil bagi h(x) berderajat (n-1) dan sisa pembagiannya S adalah berderajat 0. Nilai S dan koefisien dari h(x) dapat ditentukan dg. cara pembagian Horner untuk x = k b. Pembagian suku banyak dengan (ax+b) Jika f(x) = an xn an1 x n1 an2 x n2 .... a2 x 2 a1x a0 dibagi dengan (ax + b) dan memberi hasil bagi h(x) serta sisa S, maka didapat persamaan : b 1 h( x ) f ( x) ( x )h( x) s (ax b)h( x) S (ax b) S a a a
Nilai S dan koefisien dari h(x) ditentukan dengan cara Horner untuk x =
b a
c. Pembagian suku banyak dengan ax2 bx c, dengan a 0 Jika f(x) dibagi oleh suku banyak ax 2 + bx + c. Pembagian ini dapat diselesaikan dengan metode Horner jika dapat difaktorkan , dan diselesaikan dengan pembagian biasa jika tidak dapat difaktorkan.
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
122
a. Misalkan ax 2 + bx + c dapat ditulis sebagai a( x k1 )( x k2 ), a 0 b. f(x) dibagi dengan x k1 , maka f ( x) ( x k1 ) g ( x) s1 c. Hasil bagi g(x) dibagi lagi dengan x k2 , maka g( x) ( x k2 )h( x) s2 Jadi, f ( x) ( x k1 )[( x k2 )h( x) s2 ] s1 = ( x k1 )( x k2 )h( x) ( x k1 )s2 s1 =a( x k1 )( x k2 )
h( x ) ( x k1 ) s2 s1 a
h( x ) s2 x s1 s2 k1 a dengan hasil bagi f(x) oleh h(x) ax 2 bx c adalah dan sisanya s2 x s1 s2 k1 a
= (ax 2 bx c)
Contoh :
( x3 x2 2 x 4) : ( x 2 x 2)
Hasil bagi h(x) dan sisanya S = ax +b f ( x) ( x2 x 2)h( x) S ( x 2)( x 1)h( x) ax b
-2
1
1
-1
2
-4
-2
6
-16
1
-3
8
-20 = f(-2)
1
-1
2
-4
1
0
2
0
2
-2 = f(1)
1
f(-2) = -2a + b = -20 f(1) =
a + b = -2 -3a
= -18
, a = 6 dan b = -8
Jadi sisa pembagiannya S = 6x – 8 Menentukan hasil bagi : -2
1
1
1
1
-1
2
-4
-2
6
-16
-3
8
-20
1
-2
-2
6
Hasil pembagiannya h(x) = x - 2 d. Identitas. Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
123
Yang dimaksud dengan identitas dalam aljabar ialah dua buah bangun yang tidak sama bentuknya tetapi sama nilainya untuk setiap harga dari variabelnya.
Koefisien dari suku-suku yang sejenis pada ruas kiri dan kanan sama.
Contoh : Carilah hasil bagi dan sisanya dari (3x4 3x3 4 x2 5x 10) : ( x2 x 2) Pembagi D<0 ( tidak dapat difaktorkan) 3x4 3x3 4 x2 5x 10 x 2 x 2(3x 2 Ax B) Px Q 3x4 3x3 4 x2 5x 10 3x4 ( A 3) x3 (6 A B) x 2 (2 A B P) x Q 2B
maka : A=2 , B = 0 , P = 1 , Q = -10
D. TEOREMA SISA( DALIL SISA) 1) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k) , maka sisanya adalah f(k) b 2) Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisanya adalah f a x b xa 3) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – a )(x – b ), sisanya adalah S f (a ) f (b) a b ba
E. TEOREMA FAKTOR Jika pembagian oleh P(x)=x – a menghasilkan sisa = 0 maka F(x) = (x – a ) H(x) dan disimpulkan F(x) habis dibagi oeh P(x) dapat disimpulkan : F(x) habis dibagi oleh P(x) (x – a ) disebut factor dari F(x) x = a disebut akar dari F(x) Menentukan akar-akar polynomial Bila
koefisien = 0 , akar x = - 1
Bila
koefisien genap =
koefisien ganjil , akar x = - 1
Jika kedua kondisi diatas tidak memenuhi, maka dicari dari factor konstanta akhir an Sifat akar-akar polynomial ax2 bx c 0 maka x1 x2
b a
x1.x2
ax3 bx2 cx d 0 maka b c x1 x2 x3 x1.x2 x1 x3 x2 .x3 a a 4 3 2 ax bx cx dx e 0 maka
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
c a x1.x2 .x3
d a
124
x1 x2 x3 x4
b a
x1.x2 x1 x3 x1.x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4
c a
x1.x2 .x3 .x4
e a
SOAL-SOAL LATIHAN SUKU BANYAK. 1. Nilai suku banyak f(x) = -x3 – 2x2 – 3x untuk x = 3 adalah… a.-36 b.-6 c.0 d.12 e.18 2. Jika f(x) = x3 – 5x2 + x dan g(x) = 2x + 3 sedang h(x) = f(x) g(x) maka… a.h(x) = 2x4 – 13x3 – 12x2 – 3x b.h(x) = 2x4 – 7x3 – 12x2 - 3x c.h(x) = 2x4 – 13x3 – 12x2 + 3x d.h(x) = 2x4 – 7x3 – 13x2 + 3x 4 3 2 e h(x) = 2x – 7x – 17x + 3x 3. Nilai suku banyak –2x4 +5x3 – 7x2 – 5x – 2 untuk x = - 12 adalah… a.-0,75 b.-6,25 c.-5,25 d.-2 e.3 4. Jika x4 - 2x3 – 3x2 – x – 8 dibagi (x – 2) maka hasil bagi dan sisanya adalah. a.H(x) = x3 – 3x –7 dan S = -22 b.H(x) = x3 – 3x –10 dan S = -12 c.H(x) = x3 – 3x –2 dan S = -2 d.H(x) = x3 + 3x + 2 dan S = -12 e.H(x) = x3 + 3x + 2 dan S = -4 5. Jika x3 – 12x + a habis dibagi (x – 2) maka nilai a = … a.16 b.18 c.20 d.28 e.32 6. Jika f(x) = 6x3 + ax2 – 3x + b habis dibagi (2x – 1) dan bersisa 39 jika dibagi (x – 2); maka a dan b berturut-turut adalah… a.-1 dan –1 b.-1 dan 1 c.1 dan –1 d.-1 dan 2 e.1 dan 2 7. Jika (x + 2) merupakan factor dari 2x3 + x2 + px – 8 maka nilai p adalah… a.-32 b.-16 c.-10 d.0 e.2 8. Suatu suku banyak, yaitu f(x), jika f(x) dibagi x2 –x – 2 mempunyai sisa 2x + 3, maka jika dibagi (x – 2) mempunyai sisa… a.7 b.4 c.1 d.-1 e.-4 9. Jika (x –1) dan (2x +1) merupakan factor dari 6x3 - 7x2 + ax + b maka a dan b berturutturut adalah… a.-1 dan 2 b.0 dan1 c.-3 dan 4 d.-5 dan6 e.-2 dan 3 10. Jika 6x4 + 7x3 – 3x2 – 6x + 1 dibagi (3x –1), maka hasil bagi dan sisanya adalah… a. 6x3 + 9x2 – 6 dan –1 b. 6x3 + 9x2 – 6x dan 3 3 2 c. 2x + 3x – 2 dan 3 d. 2x3 + 3x2 – 2 dan –1 e. 2x3 + 3x2 – 2 dan – 13
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
125
11. Bila x4 - 3x3 + px2 + qx + 8 habis dibagi (3x – 1), maka nilai p dan q berturut-turut adalah… a.6;12 b.6;4 c.6;-12 d.3;9 e.3;3 12. Suku banyak f(x) bila dibagi (2x – 5) sisanya 17 dan bila dibagi (x + 3) sisanya 6.Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 + x – 15) bersisa… a.-2x b.2x +12 c.-2x + 11 d.22x – 1 e.-22x + 13 13. Suku banyak f(x) bila dibagi (x2 – 9) bersisa (2x – 1), bila dibagi x2 – 7x + 6 bersisa 3x + 4, maka bila dibagi x2 – 4x + 3 bersisa… a.x + 6 b.-x + 5 c.-3x + 3 d.-3x +4 e.-x + 8 14. Himpunan penyelesaian dari persamaan x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 = 0 adalah… a.1,-1,3 b.-1,1,-3 c.-1,3 d.1,-1,3,-3 e.-1,3,-3 15. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1)(9x – 3) bersisa 2x – 5. Jika suku banyak itu dibagi 9X + ) maka sisanya… a.-3 b.-7 c.-12 d.6 e.12 16. Bila x3 - 4x2 + 5x + p dan x2 + 3x – 2 dibagi (x+ 1) memberi sisa yang sama, maka nilai p sama dengan… a.-6 b.-4 c.-2 d.4 e.6 17. Jika x3 - 4x2 + px + q habis dibagi x2 – 3x + 2 maka… a.p = 5, q = 2 b.p = -5, q = 2 c.p = 2, q = -5 d.p = 5, q = -2 e.p = -2, q = 5 18. Jika x4 + 4x3 + 2x2 – 4x b dibagi x2 – 1 bersisa 6x + 5 maka… a.a = -1, b = 6 b.a = -1, b = -6 c.a = 1, b = 6d. d.a = 1, b = -6 e.a = -5, b = 6 19. Jika f(x) dibagi (x –1) sisanya 4 dan dibagi (x – 2) sisanya 5,maka jika f(x) dibagi (x2 – 3x + 2) sisanya… a.x +3 b.x – 3 c.x + 2 d.x – 2 e.x + 1 20. Jika f(x) dibagi x2 – x sisanya 5x + 1, jika dibagi x2 + x sisanya 3x = 1, maka jika f(x) dibagi (x2 –1) sisanya… a.-4x +2 b.4x + 2 c.2x + 4 d.2x – 4 e.8x + 2 21. Himpunan penyelesaian dari persamaan x3 - 3x2 - 10x + 24 = 0 adalah… a.3,-2,4 b.-3,-2,4 c.3,2,-4 d.-3,2,-4 e.-3,2,4 22. Garis singgung pada kurva y = 2x3 –2x + 1 yang dapat ditarik dari titik (0,-3) mempunyai gradien… a.1 b.2 c.3 d.4 e.5 23. Jika x4 - 3x3 + px2 + qx + 8 habis dibagi (x2 – 3x + 2) maka nilai p dan q berturut-turut adalah… a.6;10 b.6;12 c.6;-12 d.0;6 e.1;10
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
126
24. x5 - 4x4 - 3x3 +22x2 - 4x – 24 = 0 maka himpunan penyelesaiannya =… a.-1,-2,2,3 b.-1,-2,4,3 c.-1,-2,2,4,3 d.-1,-2,2,-3,4 e.-1,-2,-3,2 25. Jika 2x4 - 8x3 +px2 + qx – 15 habis dibagi (x2 –2x – 3) maka… a.p = 2, q = 7 b.p = 2, q = 5 c.p = 5, q = 2 d.p = 7, q = 2 e.p = 7, q = 5
Kasih itu murah hati Rela menderita
Soal – soal Suku banyak Ujian Nasional 1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah …. a. 8x + 8
b.8x – 8
c.– 8x + 8
d.– 8x – 8
e.– 8x + 6
2. Sisa pembagian suku banyak ( x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1 ) oleh ( x2 – x – 2 ) adalah …. a. –6x + 5
b.–6x – 5
c.6x + 5
d.6x – 5
e.6x – 6
3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …. a. 2x + 2
b.2x + 3
c.3x + 1
d.3x + 2
e.3x + 3
4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x 4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu factor yang lain adalah …. a. x – 2
b.x + 2
c.x – 1
d.x – 3
e.x + 3
5. Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b dibagi oleh ( x2 – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …. a. – 6
b.– 3
c.1
d.6
e.8
6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …. a. –x + 7
b.6x – 3
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
c.–6x – 21
d.11x – 13
e.33x – 39
127
7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah …. a. 2x – 1
b.2x + 3
c.x – 4
d.x + 4
e.x + 2
8. Suku banyak P(x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …. a. 20x + 24
b.20x – 16
c.32x + 24
d.8x + 24
5.D
7.D
e.–32x – 16
unci Jawaban Suku Banyak 1. A
2. A
3.B
4.A
6.E
8.D
SOAL LATIHAN PERINDIKATOR 1. Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa – 1, maka nilai (2a + b) = … 2. Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4 dan dibagi oleh (2x – 1) sisanya juga 4. Nilai dari a + 2b adalah … 3. Sukubanyak 3x3 + 5x + ax + b jika dibagi (x + 1) mempunyai sisa 1 dan jika dibagi (x – 2) mempunyai sisa 43. Nilai dari a + b = .... 4. Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi oleh (x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = … 5. Diketahui (x – 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x) dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya adalah – 50. nilai (a + b) = … 6. Suku banyak 2x3 + ax2 + bx + 2 dibagi (x + 1) sisanya 6, dan dibagi (x – 2) sisanya 24. Nilai 2a – b = … 7. Diketahui (x – 2) dan (x – 1) adalah factor–faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 –13x + b. Jika akar–akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2, x3, untuk x1> x2> x3 maka nilai x1 – x2 – x3 = … 8. Akar–akar persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3 dan x1< x2 < x3, maka x1 – x2 – x3 = … 9. Faktor–faktor persamaan suku banyak x3 + px2 – 3x + q = 0 adalah (x + 2) dan (x – 3). Jika x1, x2, x3 adalah akar–akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai x1 + x2 + x3 = …. 10. Suku banyak x4 – 2x3 – 3x – 7 dibagi dengan (x – 3)(x + 1), sisanya adalah … 11. Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah … 12. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah … 13. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linear yang lain adalah….. 14. Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika F(x) dibagi x2 – 4, sisanya adalah … 15. Suku banyak f(x) dibagi 2x –1 sisanya 7 dan x2 + 2x – 3 adalah faktor dari f(x). Sisa pembagian f(x) oleh 2x2 + 5x – 3 adalah … 16. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x2 + 3x – 2 adalah … 17. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah … 18. Suku banyak f(x) = x3 + ax2 + bx – 6 habis dibagi oleh (x – 2) dan (x + 1). Jika f(x) dibagi (x + 2) maka sisa dan hasil baginya adalah….. 19. Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 2 dan bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 + 2x – 3) adalah … Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
128
