Az Alexander-polinom Szakdolgozat
Huszár Kristóf Matematika BSc szakos hallgató, matematikus szakirány
Témavezető: Dr. Stipsicz András (DSc), tudományos tanácsadó MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
Belső konzulens: Dr. Fehér László (PhD), egyetemi docens
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet, Analízis Tanszék
Budapest, 2013
Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás
1
Bevezetés
2
A dolgozat felépítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Szükséges előismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1. Csomók és láncok
6
1.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Lánc-diagramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3. Reidemeister-mozgások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4. Hurkolódási szám I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5. Algebrai invariánsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.1. A fundamentális csoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.2. Homológiacsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6. Példák, konkrét számolások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2. Seifert-felületek
23
2.1. Röviden az irányíthatóságról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2. Seifert algoritmusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3. Hurkolódási szám II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4. Példák, konkrét számolások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.5. Felületek stabilizációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3. Az Alexander-polinom
39
3.1. Seifert-mátrixok, Seifert-forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.1.1. Determináns és szignatúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1.2. Az Alexander-polinom I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.1.3. A bogozási reláció I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2. Kauffman-állapotok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.2.1. Az Alexander-polinom II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
i
3.2.2. A bogozási reláció II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.3. Végtelen ciklikus és univerzális Abeli fedések . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.3.1. Konstrukció Seifert-felületekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.3.2. Az Alexander-invariáns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.3.3. Prezentációs mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.3.4. Az Alexander-polinom III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.4. Példák, konkrét számolások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.4.1. Seifert-felülettel, Seifert-mátrixszal . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.4.2. Kauffman-állapotokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.4.3. Bogozási relációval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.4.4. A π1 (41 ) csoport prezentációja alapján . . . . . . . . . . . . . . .
82
4. Kitekintés
83
4.1. Az Alexander-polinom korlátai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.1.1. Whitehead-féle kettős csomók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2. Többváltozós általánosítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.2.1. Előkészületek és konstrukció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.2.2. Torres tételei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.3. Záró gondolatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Irodalomjegyzék
89
Egy kelta csomó. [Scharein, 2013] alapján.
ii
Köszönetnyilvánítás Szakdolgozatom elkészítésében, illetve matematikai tanulmányaim során sok embertől kaptam közvetlen, vagy közvetett segítséget, amiért nagyon hálás vagyok. Mindenek előtt szeretnék köszönetet mondani Dr. Stipsicz Andrásnak (MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet), témavezetőmnek, akitől az elmúlt évben rengeteget tanultam, és akinek a segítsége és útmutatása nélkül jelen dolgozat nem jöhetett volna létre. Konzultációink, beszélgetéseink során mindig nagy lelkesedéssel mesélt az Alexander-polinomról, aktuális kutatásokhoz való kapcsolódási pontokról, és még sok minden másról. A dolgozat kéziratát rendkívüli alapossággal ellenőrizte, figyelme a matematikai hibák és pontatlanságok mellett a szerkesztésére, illetve a sajtóhibákra is kiterjedt. Kérdéseimmel bármikor fordulhattam hozzá. Szeretnék köszönetet mondani egyetemi konzulensemnek, Dr. Fehér Lászlónak (ELTE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék) akitől hasznos tanácsokat, ötleteket kaptam a szakdolgozat megírásához. 2007-ben, még középiskolás diákként a Kisinóci matektáborban az ő izgalmas bemutatóján találkoztam először a topológia alapfogalmaival, amely emlékek még most is velem vannak. 2009 tavaszán hallgattam életem első egyetemi szintű geometria kurzusát. A kurzus oktatója, Dr. Némethi András (MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet) a törzsanyagon kívül az algebrai topológia alapjairól is beszélt nekünk. Bár akkor sok mindent nem értettem abból, amit mondott, a témakör iránt táplált lelkesedése, előadói stílusa azt gondolom, meghatározó szerepet játszott abban, hogy egyetemi tanulmányaim során érdeklődésem a geometria, illetve a topológia felé fordult. Ezúton szeretném kifejezni hálámat Dr. Dave Ellis-nek (Beloit College, WI, USA), aki tanárom és témavezetőm volt a 2011-es tavaszi félév során. Az ő topológia kurzusán hallottam először csomókról, illetve az Alexander-polinomról. Dr. Paul Campbellnek (Beloit College, WI, USA) is nagy köszönettel tartozom, aki a mentorom volt a Beloitban eltöltött félév során, és akinek a matematikai kutatószemináriumán rengeteget tanultam nemcsak matematikáról, hanem szakszövegek szerkesztéséről, megírásáról is. Mindkettejükkel azóta is rendszeres kapcsolatban állok, ami számomra nagyon sokat jelent.
1
Talán nem is lehet egy mondatban leírni azt, amit a családom és szeretteim iránt érzek. Az ő segítségük, kritikai megjegyzéseik, támogatásuk, valamint biztatásuk nélkül nem tartanék most itt. Nagyon köszönöm továbbá az Eötvös József Colleium falai között megismert barátaimnak, hogy egyetemi éveim alatt igazi otthonra lelhettem a Ménesi úton. Köszönöm hallgatótársaimnak is, hogy tanulhattam velük és tőlük. Végül, de nem utolsó sorban szeretnék nagy köszönetet mondani középiskolai matematikatanáromnak, Lányi Verának, amiért elindított a matematika sokszor nehéz, de mindenképp csodálatos útján.
A nyolcas csomó Seifert-felülete. Az ábra a SeifertView nevű programmal készült.
2
Bevezetés James Waddell Alexander II (1888–1971) amerikai topológus 1928-ban publikált írásában definiálta a róla elnevezett Alexander-polinomot [Alexander, 1928], amely az új-zélandi Vaughan Jones (1952–) felfedezéséig [Jones, 1985], több mint ötven éven keresztül az egyetlen ismert polinomiális lánc-invariáns volt. Annak ellenére, hogy John Horton Conway (1937–) brit matematikus az 1960-as évek végén a bogozási reláció bevezetésével új szemléletet vitt a kutatásokba [Conway, 1970], ezirányú munkásságára csak a Jones-polinom felfedezése által keltett szenzációt követően figyelt fel a matematikustársadalom. Ekkor azonban a Conway által kidolgozott „bogozási elmélet” a polinomiális invariánsokkal kapcsolatos csomóelméleti vizsgálódások kulcsfontosságú eszközévé vált, és még abban az évben elvezetett egy újabb eredményhez, a HOMFLY-polinom felfedezéséhez [Freyd et al., 1985], amely az Alexander-polinom és a Jones-polinom közös általánosításának tekinthető. Az kutatások tempója az azóta eltelt közel harminc évben tovább gyorsult, annak is köszönhetően, hogy a csomóelmélet ezer szálon keresztül kötődik nemcsak a topológiához, hanem a matematika és az elméleti fizika különféle területeihez is. Sőt, egyre több alkalmazással bír a biológián, valamint a kémián belül is [Flapan, 2000].
A dolgozat felépítése A szakdolgozat célkitűzése az Alexander-polinom bemutatása, illetve az ehhez szükséges csomóelmélet felépítése. Az 1. fejezet első felében Stipsicz [2010] és Cromwell [2004] felépítését követve definiáljuk a csomóelmélet alapfogalmait, és kimondunk a legfontosabb kérdésfelvetései közül néhányat (1.1. és 1.2. szakaszok), második felében (1.3., 1.5., és 1.4. szakaszok) pedig elsősorban áttekintjük azokat a legfontosabb tételeket, illetve alapvető konstrukciókat amelyekre a későbbi fejezetekben támaszkodni fogunk. A 2. fejezetben megismerkedünk a Seifert-felületekkel, amelyek csomók és láncok vizsgálatának rendkívül hasznos eszközei. A fejezetben definiált fogalmak, valamint a kimondott és bizonyított tételek – ezek közül a két legfontosabb a Seifert-algoritmus (2.2.2. Tétel), valamint a felületek stabilizációjára vonatkozó 2.5.3 Tétel – készítik elő az
3
Alexander-polinomnak a következő fejezetben szereplő konstrukcióit. A szakdolgozat gerincét a 3. fejezet képezi, amelyben bemutatjuk az Alexanderpolinom három, lényegesen különböző – geometriai, kombinatorikai és absztrakt algebrai – konstrukcióját (rendre 3.1., 3.2. és 3.3. szakaszok). Mindegyik felépítés másfajta előnnyel bír a másik kettőhöz képest. A kombinatorikus konstrukció segítségével könnyen tudunk számolni a gyakorlatban, míg az absztrakt algebrai megközelítéssel természetes módon adódik, hogy az Alexander-polinom lánc-invariáns. A geometriai konstrukció pedig hidat képez a másik kettő között. A fejezet zárószakaszában bemutatjuk az elméletet működés közben: egy nevezetes csomó Alexander-polinomját fogjuk kiszámítani négyféleképp. Az utolsó, 4. fejezet első felében (4.1. szakasz) bemutatunk egy szellemes konstrukciót, amelynek segítségével tetszőleges csomóból kiindulva elkészíthetünk egy olyan csomót, amelynek Alexander-polinomja megegyezik a triviális csomóéval. Ez az eredmény rávilágít az Alexander-polinom korlátaira, miszerint nem alkalmas (illetve csak részben alkalmas) csomók osztályozására. A fejezet második felében (4.2. szakasz) továbbvisszük az absztrakt algebrai utat, és röviden bemutatjuk Alexander-polinom többváltozós általánosítását, amely az egyváltozós változatnál pontosabban jellemzi a láncokat. Ezt követően bizonyítás nélkül ismertetjük Torres [1953] nevezetes tételeit. Végül néhány gondolat erejéig kitérünk azokra a további lehetőségekre, amelyek az Alexander-polinomban, illetve tágabb értelemben a csomóelméletben rejlenek. Fontos megjegyezni, hogy a dolgozat struktúrájának kialakulására nagy hatással volt a már elfogadott (de még nem kiadott) [Ozsváth, Stipsicz, és Szabó, 2013] kézirat bevezető fejezete. Mindezekkel együtt azt gondolom – és ezt remélhetőleg jelen dolgozat is mutatja –, hogy az Alexander-polinom nagyon érdekes és hasznos eszköze a topológiának, amely még sok izgalmas kérdést, és gondolkodással eltöltött hónapokat, éveket tartogat számunkra.
Szükséges előismeretek A dolgozat írásakor törekedtünk arra, hogy minden fogalmat definiáljunk, és a kimondott tételek közül minél többet bizonyítsunk. Természetesen nincs lehetőség arra, hogy minden felhasznált tételt bizonyítással közöljünk, ezért röviden áttekintjük azokat a témaköröket, amelyekre a dolgozatban erősen támaszkodunk. Az elemi lineáris és absztrakt algebra, valamint az elemi ponthalmaz topológia ismeretén túl fontos, hogy az Olvasó tisztában legyen az algebrai topológia alapjaival is (fundamentális csoport, fedőterek és -leképezések, Seifert–van Kampen-tétel; [szimpliciális] homológiaelmélet, Hurewicz-izomorfizmus, Mayer–Vietoris-sorozat). A most felsorolt témakörökbe (és még sok minden másba) alapos bevezetést és áttekintést ad Szűcs And4
rás Topológia című egyetemi jegyzete [Szűcs]. További ajánlott irodalom: [Bredon, 1993], [Hatcher, 2002]. A 3.3. szakaszban támaszkodunk a moduluselmélet alapfogalmaira, illetve néhány eredményére (Hilbert bázistétele, Noether-gyűrűk feletti végesen generált modulusok), amelyek bizonyítással együtt megtalálhatók Kiss Emil [2007] tankönyvének 5., illetve 7. fejezeteiben. Technikai megjegyzések A dolgozatban szereplő ábrákat (amelyeknél nem szerepel hivatkozás) a Robert Scharein által írt KnotPlot (http://www.knotplot.com) programmal, a Jack van Wijk által írt SeifertView (http://www.win.tue.nl/~vanwijk/seifertview) alkalmazással, valamint az Inkscape vektorgrafikus rajzolóprogram 0.48-as verziójával (http://inkscape. org) készítettem. Az első program részletes leírását lásd Scharein [1998] doktori értekezésében.
Budapest, 2013. május 28. Huszár Kristóf
5
1. fejezet Csomók és láncok 1.1. Alapfogalmak1 1.1.1. Definíció (csomó). Egy K ⊂ R3 halmazt csomónak nevezünk, ha S 1 -gyel homeomorf.
8.7
8.12
10.16
10.123
1.1. ábra. Néhány csomó. Az ábrák alatt a csomók sorszámai szerepelnek a Rolfsen-féle táblázatban [Rolfsen, 2003, pp. 391–429.], [Bar-Natan és Morrison et al., 2013]. Ha X ⊂ R3 , akkor a folytonos h : X × [0,1] → R3 leképezés egy homotópia. Minden t ∈ [0,1] esetén tekintsük a h|X×{t} = ht : X × {t} → R3 megszorításokat és tegyük fel, hogy h0 = idX . 1.1.2. Definíció (izotópia). Legyen h a fenti tulajdonságokkal rendelkező homotópia és tegyük fel, hogy minden [0,1] 3 t-re a ht leképezés injektív. Ekkor a h függvényt izotópiának nevezzük. 1.1.3. Állítás. Bármely csomó izotóp a triviális csomóval. Szemléletes érvelés. Az állítás azért teljesül, mert egy csomó belső deformációja az 1.2. ábrán látható (és ahhoz hasonló) átalakításokat is megenged. Így még a kibogozhatatlan hurkoktól is meg tudunk szabadulni. 1
[Cromwell, 2004] 1. fejezete alapján.
6
1.2. ábra. Az ún. Bachelor’s unknotting – bármely csomó izotóp a triviális csomóval. [Messer és Straffin, 2006] 2.4. ábrája alapján.
1.1.4. Következmény. Bármely két csomó izotóp egymással. Érezzük, hogy ez „csalás”, ráadásul ha két csomó között pontosan akkor nem tennénk különbséget, ha izotópak, akkor elméletünknek egyetlen objektuma lenne (a triviális csomó). Viszont ha nem magát az objektumot, hanem a teljes bennfoglaló teret deformáljuk, akkor az 1.2. ábrán bemutatott, ún. Bachelor’s unknotting már nem végezhető el. 1.1.5. Definíció (beágyazott izotópia). A K1 és K2 csomók beágyazottan izotópak, ha létezik h : R3 × [0,1] → R3 izotópia, amelyre h(K1 ,0) = h0 (K1 ) = K1 és h(K1 ,1) = = h1 (K1 ) = K2 . Megjegyzés. A beágyazott izotópia a csomók halmazán ekvivalenciarelációt indukál, ezért értelmes a következő definíció. 1.1.6. Definíció (ekvivalencia). Két csomó ekvivalens, ha beágyazottan izotópak. Jelölés: K1 ∼ K2 . A csomó ekvivalencia-osztálya a csomó típusa. Ha a továbbiak során két csomóról azt mondjuk, hogy különbözőek, akkor valójában arra gondolunk, hogy nem ekvivalensek, vagyis a típusuk különböző. 1.1.7. Definíció (lánc). Egy L lánc csomók véges diszjunkt uniója. Tegyük fel, hogy L = K1 ∪ . . . ∪ Kn . A Ki (i = 1, . . . , n) csomókat az L lánc komponenseinek nevezzük. Az L lánc komponenseinek számát a lánc multiplicitásának nevezzük, és µ(L)-lel jelöljük. 1.1.8. Definíció (lánc-ekvivalencia). Az L1 és L2 láncok beágyazottan izotópak, ha létezik h : R3 × [0,1] → R3 izotópia, amelyre h(L1 ,0) = h0 (L1 ) = L1 és h(L1 ,1) = h1 (L1 ) = L2 . 7
5.2.1
6.3.2
8.2.5
9.3.14
1.3. ábra. Néhány lánc. Az ábrák alatt a láncok sorszámai szerepelnek a Rolfsen-féle táblázatban [Rolfsen, 2003, pp. 391–429.], [Bar-Natan és Morrison et al., 2013]. Megjegyzés. Az 1.1.8 definícióban megfogalmazott ekvivalencia gyenge abban az értelemben, hogy az L1 és L2 láncok komponenseinek párosítását nem írtuk elő. Sőt, az egyes komponensek egyik irányítását sem tüntettük ki (a két lehetséges irányítás közül). Erősebb ekvivalencia-fogalmat kapunk akkor, ha például megköveteljük, hogy a h izotópia L1 komponenseinek irányítását is megőrizze. Ha másképp nem mondjuk, akkor a továbbiakban lánc alatt mindig irányított láncot értünk, és a lánc-ekvivalenciára is az erős értelemben gondolunk. 1.1.9. Definíció (lánc-invariáns). Egy olyan, a láncok halmazán értelmezett f függvényt, amelyre L1 ∼ L2 esetén f (L1 ) = f (L2 ) teljesül lánc-invariánsnak nevezünk. Ha ezen felül L1 ∼ L2 ⇔ f (L1 ) = f (L2 ), akkor azt mondjuk, hogy az invariáns teljes. A csomóelmélet egyik legfontosabb – és egyáltalán nem lezárt – alapkérdése az, hogy miképp különböztethetünk meg egymástól csomókat (láncokat). Az alapötlet, hogy keresünk egy f függvényt, amelynek értékeit a „csomó alapján” (vagy annak diagramja alapján, lásd 1.2. fejezet) „könnyen” kiszámíthatjuk, és amelyről megmutatjuk, hogy csomóinvariáns (lánc-invariáns). Ha ekkor f (K1 ) 6= f (K2 ), akkor biztosan kijelenthetjük, hogy K1 K2 . Azonban abból, hogy f (K1 ) = f (K2 ), nem következik, hogy K1 ∼ K2 , kivéve ha az invariáns teljes. Dolgozatunk célja az egyik legnevezetesebb csomó-invariánsnak, az Alexander-polinomnak, illetve láncokra történő többváltozós általánosításának bemutatása. Az olyan elfajult eseteket, mint amilyen az 1.4. ábrán is látható, szeretnénk kizárni, ezért bevezetjük a következő megszorítást. 1.1.10. Definíció (lokális laposság). Legyen K csomó. Egy p ∈ K pont lokálisan lapos, ha létezik olyan U 3 p környezet, hogy az (U, U ∩ K) pár homeomorf a B 3 egységgömbből valamint annak egy átmérőjéből képzett párhoz. Egy K csomó lokálisan lapos, ha minden pontja lokálisan lapos.
8
1.4. ábra. K∞ – egy végtelen sokszor hurkolódott vad csomó. 1.1.11. Definíció (szelíd csomó). A K ⊂ R3 csomót szelídnek nevezzük, ha lokálisan lapos. Egy lánc szelíd, ha minden komponense szelíd csomó. Egy csomóról azt mondjuk, hogy poligonális, ha előáll véges sok egyenesszakasz (él) uniójaként. 1.1.12. Tétel. Minden poligonális csomó lokálisan lapos. Bizonyítás. Legyen K ⊂ R3 poligonális csomó, és tekintsük egy p ∈ K pontját. Legyen Ep = K \ e, amennyiben e olyan éle K-nak, hogy p ∈ relint(e) (p az egyik él relatív belsejében van), illetve legyen Ep = K \ (e1 ∪ e2 ), ha e1 , e2 élei a K csomónak és p = e1 ∩ e2 (p két él találkozási pontja, azaz csúcspont). Világos, hogy ekkor p ∈ / cl(Ep ), tekintsük tehát a d : cl(Ep ) → R távolságfüggvényt, amelyre d(x) = distR3 (x, p), ahol distR3 az Euklideszi távolságfüggvény R3 -ban. Mivel cl(Ep ) zárt, ezért az r = inf {d(x) | x ∈ cl(Ep )} infimum realizálódik valamely x ∈ cl(Ep ) pontra, és mivel p ∈ / cl(Ep ), ezért r > 0. Ekkor Br/2 (p) ∩ Ep = ∅, továbbá Br/2 (p) ∩ K egy szakaszonként lineáris görbe. Ebből adódik, hogy U = Br/2 (p) választással teljesül az 1.1.10. Definíció feltétele, tehát p ∈ K lokálisan lapos. De a p pont választása tetszőleges volt, következésképp a K csomó lokálisan lapos. 1.1.13. Definíció (sima csomó). Legyen f : S 1 ,→ R3 egy beágyazás és K = im(f ). A K csomó sima, ha az f leképezés C ∞ -osztályú. Egy lánc sima, ha minden komponense sima csomó. A továbbiakban minden csomóról és láncról feltesszük, hogy szelíd. (Ezzel együtt a „szelídséget” alkalmanként külön hangsúlyozni fogjuk.) Megjegyezzük, hogy egy lánc szelíd ⇔ poligonális ⇔ sima.
9
1.2. Lánc-diagramok2 Amikor valaki elkezd vizsgálni egy láncot, legelső lépésben ösztönösen lerajzolja egy papírlapra. Vagyis nem is magát a láncot, hanem annak egy kétdimenziós reprezentációját, az ún. diagramját tekinti. (Csomó-diagramok láthatók az 1.1. ábrán is). De vajon ekvivalens-e a diagramokon történő vizsgálódás a háromdimenziós térben „élő” láncok elemzésével? Szelíd csomók esetében a válasz az, hogy igen. Ebben a szakaszban precízen bevezetjük a lánc-diagram fogalmát és tisztázzuk az imént megfogalmazott kérdést. 1.2.1. Definíció. Legyen L ⊂ R3 egy lánc és legyen π : R3 → R2 egy vetítés. Az x ∈ ∈ π(L) pont reguláris, ha |π −1 (x)| = 1, különben szinguláris. Ha |π −1 (x)| = 2, akkor az x pontot dupla-pontnak hívjuk. 1.2.2. Definíció (reguláris projekció). Ha a π(L) vetületnek véges sok szinguláris pontja van, amelyek mind (transzverzális) dupla-pontok, akkor a projekció reguláris. 1.2.3. Tétel. Szelíd láncnak létezik reguláris projekciója. Bizonyítás. Legyen L ⊂ R3 szelíd lánc. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy L poligonális. Tekintsünk egy π : R3 → R2 merőleges vetítést. Ismeretes, hogy ekkor L beágyazott izotópia segítségével π-re nézve ún. általános helyzetbe mozgatható. Ekkor (a) L egyik éle sem párhozamos a vetítés irányával, ennélfogva L mindegyik élének π általi képe egy nem elfajult szakasz; (b) amennyiben x a vetület egy szinguláris pontja, akkor transzverzális dupla-pont, továbbá π −1 (x) L semelyik csúcsát sem tartalmazza. Minden élpár legfeljebb egy metszéspontot eredményez a vetületen, valamint az élek száma véges (hiszen L poligonális), így a dupla-pontok száma is véges, amelyek pedig mind transzverzálisak. 1.2.4. Definíció (lánc-diagram). Tekintsük az L lánc reguláris projekcióját. A duplapontoknál az alul futó szál megszakításával a lánc diagramját, a dupla-pontokból pedig kereszteződéseket kapunk. 1.2.5. Következmény. Minden szelíd láncnak létezik diagramja. A lánc diagramja – a „semmitmondó” projekcióval ellentétben – már meghatározza magát a láncot is, mégpedig beágyazott izotópia erejéig. Pontosabban, ha két lánchoz ugyanaz a diagram tartozik, akkor azok beágyazottan izotópak. A következő szakaszból kiderül, hogy ennél többet is állíthatunk. 1.2.6. Definíció (kereszteződés előjele). Egy irányított lánc diagramját tekintve egy kereszteződés előjele pozitív, vagy negatív aszerint, hogy a kereszteződés egy kis környezete az alábbi ábrák közül melyikkel homeomorf. 2
[Cromwell, 2004] 3. fejezete alapján.
10
1.5. ábra. Pozitív és negatív előjelű kereszteződések.
1.3. Reidemeister-mozgások A következő, 1.3.1. Tételt Kurt Reidemeister (1893–1971) német matematikusról nevezték el, ő közölte ugyanis a tétel első bizonyítását [Reidemeister, 1927]. (Tőle függetlenül J. W. Alexander és G. B. Briggs is publikáltak egy bizonyítást nem sokkal később [Alexander és Briggs, 1927-28]). A tétel híres arról, hogy bár fontossága a csomóelméletben felbecsülhetetlen, nagyon ritkán szerepel a tankönyvekben bizonyítással együtt. A bizonyítás közlésére terjedelmi, illetve tartalmi okokból jelen dolgozatban sincs lehetőségünk. Egy precíz levezetés megtalálható Burde és Zieschang [2003] könyvének 4–11. oldalain. 1.3.1. Tétel (Reidemeister). Legyen D1 és D2 két adott lánc-diagram. A két diagram pontosan akkor reprezentálja ugyanazt a láncot (beágyazott izotópia erejéig), ha a két diagram egymásba alakítható az R1, R2 és R3 Reidemeister-mozgásoknak (1.6. ábra) és azok inverzeinek véges sokszori alkalmazásával, továbbá síkbeli beágyazott izotópiákkal.
1.6. ábra. A három Reidemeister-féle mozgás. Megjegyzés. Az 1.3.1. Tétel hatalmas értékét az adja, hogy segítségével drasztikus mértékben egyszerűsíthető annak ellenőrzése, hogy egy olyan függvény, amely a diagramokon értelmezett, valóban invariáns-e: elegendő csupán a három Reidemeister-mozgásra vonatkoztatott invarianciát megvizsgálni! Fontos megjegyeznünk, hogy az 1.3.1. Tételnek 11
létezik irányított változata is (ennek megfogalmazása értelemszerű), amelyet a későbbiekben mi is alkalmazunk.
1.4. Hurkolódási szám I. Vegyünk két diszjunkt, irányított K1 , K2 ⊂ S 3 csomót. Az alábbiakban bevezetjük a hurkolódási számukat, amely kulcsfontosságú lesz a továbbiakban. Tekintsük az L = = K1 t K2 lánc egy D diagramját, és a kereszteződésekhez rendeljünk hozzá előjeleket (±) az 1.5. ábrán látható módon. 1.4.1. Definíció (hurkolódási szám, 1. definíció). Tekintsük azon kereszteződések előjeles összegének a felét, amelyekben a két egymást keresztező ív az L = K1 tK2 lánc különböző komponenseihez tartozik. Az így kapott számot a K1 és K2 csomók hurkolódási számának nevezzük, és lk(K1 , K2 )-vel jelöljük. 1.4.2. Állítás. A kereszteződések előjeles összege mindig páros, ezért a kettővel való osztást követően kapott lk(K1 , K2 ) hurkolódási szám egész. Bizonyítás. Legyen P = P1 ∪ P2 az L = K1 t K2 lánc egy reguláris projekciója (nem diagramja). Könnyen átgondolható, hogy P2 a síkot olyan tartományokra osztja, amelyeket sakktábla-színezéssel láthatunk el. Ez azt jelenti, hogy az egyes tartományokat feketére, vagy fehérre színezhetjük oly módon, hogy az élszomszédos tartományok színezése különböző legyen, és egyetlen tartomány színe már meghatározza a színezést. Járjuk most be a P1 irányított zárt görbét. Tegyük fel, hogy fehér színű tartományból indulunk (ez nyilván mindegy). A mozgás végén (mivel P2 zárt) ugyanebbe a fehér tartományba kell visszaérnünk, de közben minden egyes alkalommal, amikor P1 -et keresztezzük, színt váltunk. Emiatt a színváltások száma páros, amiből azonnal adódik, hogy |P1 ∩ P2 | is páros. Ha a kereszteződések száma páros, akkor nyilván előjeles összegük is az. Következésképp lk(K1 , K2 ) ∈ Z 1.4.3. Állítás. A hurkolódási szám értéke nem függ az L = K1 tK2 lánc D diagramjának megválasztásától. Bizonyítás. Az állítás az 1.3.1. Reidemeister-tétel segítségével könnyen adódik, csupán az egyes (irányított) eseteket kell megvizsgálnunk. 1.4.4. Következmény. Tekintsük L = K1 t K2 lánc egy D diagramját, és vegyük most csak azoknak a kereszteződések az előjeles összegét (jelöljük a kapott összeget S(D)-vel), amelyeknél a K2 csomó a K1 alatt halad át. Ekkor S(D) = lk(K1 , K2 ). A bizonyítás során szükségünk lesz a következő fogalomra. 12
1.4.5. Definíció (lánc-diagram átfordítása). Legyen L egy lánc és P egy alkalmas sík (P -ről feltehető, hogy az xy-sík, azaz P = {|z| = 0}, továbbá L ⊂ {0 < z}), amelyre L-et merőlegesen levetítve a kapott projekció reguláris. Legyen D az a lánc-diagram, amit ebből a projekcióból nyerünk. Ekkor L-nek elkészíthetjük egy másik, D0 projekcióját a következő módon: L-et nyomjuk össze „nagyon laposra” egy z irányú merőleges affinitás (ennek fixpontjai pontosan a P sík pontjai) segítségével úgy, hogy az L00 kép-lánc benne legyen a {0 < z < ε} sávban (ahol ε > 0 alkalmasan kicsi szám). Forgassuk meg ez után a {0 < z < ε} sávot az x tengely körül 180◦ -kal, majd alkalmazzuk az (x, y, z) 7→ (x, y, z + ε) eltolást (hogy a lánc ismét a pozitív féltérbe kerüljön). Legyen L00 képe ezen transzformációnál L0 , és vetítsük le L0 -t merőlegesen P -re, végül a kapott projekcióból készítsük el az L0 lánc D0 diagramját. Ekkor D0 -ről azt mondjuk, hogy a D diagram átfordítása. Megjegyzés. Egy L lánc D diagramjának D0 átfordítása nem összetévesztendő azzal a diagrammal, amelyet a kiindulási diagram kereszteződéseinek lokális átfordításával kapunk. A második esetben a kapott diagram az L∗ tükörkép-lánchoz (3.1.15. Definíció) tartozik, ami nem feltétlenül beágyazottan izotóp L-lel, míg az első esetben D0 egy olyan lánchoz tartozik, amely az L lánccal beágyazottan izotóp (ugyanis az az 1.4.5. Definícióban szereplő geometriai transzformációk mind megőrzik L típusát). Eszerint D0 megkapható D-ből a Reidemeister-mozgások (és esetlegesen szükséges planáris izotópia) véges sokszori alkalmazásával. Az 1.4.4. Következmény bizonyítása. A Reidemeister-tétel segítségével most is belátható, hogy S(D) lánc-invariáns, vagyis értéke nem függ L diagramjának megválasztásától. Legyen D ⊂ P egy rögzített diagramja L-nek , és számítsuk ki ezen diagram alapján az S(D) és lk(K1 , K2 ) számokat. Vegyük most a D diagramnak a D0 átfordítását (1.4.5 Definíció). Mivel D és D0 beágyazottan izotóp láncokhoz tartoznak, ezért S(D) = S(D0 ). A D és D0 diagramok kereszteződéseit párba állíthatjuk oly módon, hogy ha C és C 0 rendre D és D0 egy-egy kereszteződése, akkor C ↔ C 0 pontosan akkor, ha C 0 a C képe a D diagram átfordításakor.Vegyük észre azonban S(D0 ) kiszámításánál pontosan azon kereszteződések előjeles összegét tekintjük, amelyeket S(D) kiszámításakor nem vettünk figyelembe. Vagyis az S(D) + S(D0 ) összeg megegyezik a D-beli összes kereszteződés előjeles összegével, ami pedig lk(K1 , K2 ) kétszerese. Mindezekből: 0
S(D) + S(D ) =
2 lk(K1 , K2 )
S(D) = S(D0 )
13
=⇒
S(D) = lk(K1 , K2 )
1.5. Algebrai invariánsok Az alábbiakban két fontos (absztrakt) algebrai invariánst tárgyalunk. Vizsgálódásunk középpontjában a csomók, illetve láncok (R3 -ra, vagy S 3 -ra vonatkoztatott) komplementuma áll, amely csomók esetében igen erős invariáns! C. Gordon és J. Luecke 1989-ben bebizonyították, a K1 és K2 csomók pontosan akkor ekvivalensek, ha S 3 \ K1 és S 3 \ K2 komplementumaik homeomorfak, ami azt jelenti, hogy a csomókomplementum teljes invariáns [Gordon és Luecke, 1989]. Láncok esetben azonban az állítás érvényét veszti.
1.5.1. A fundamentális csoport Az 1.1.1 definícióból következik, hogy bármely K csomó fundamentális csoportjára π1 (K) ∼ = Z teljesül, ezért a fundamentális csoport a csomókat nem különbözteti meg egymástól. Tekintsük viszont a csomó komplementerét, vagyis az R3 \ K halmazt és vegyük ennek π1 (R3 \ K) fundamentális csoportját. Itt már semmi sem garantálja, hogy bármely K csomóra ez a csoport ugyanaz! Ezt későbbi példáink is mutatni fogják. 1.5.1. Definíció (csomó, illetve lánc csoportja). A K csomó csoportjának a π1 (R3 \ K) def
csoportot nevezzük és π1 (K)-val jelöljük. Hasonlóképp, az L lánc csoportja: π1 (L) = π1 (R3 \ L).
Megjegyzés. Láncokra gyakran S 3 -beli objektumokként tekintünk. Természetes módon merül fel a kérdés, hogy vajon π1 (S 3 \ L) hogyan viszonyul a π1 (L) = π1 (R3 \ L) csoporthoz? Szerencsére a különféle nézőpontok nem okoznak lényegi különbséget; a Seifert–van Kampen tétel egyszerű alkalmazásával ugyanis megmutatható, hogy a két csoport egymással izomorf. Ha L1 ∼ L2 , akkor az S 3 \ L1 és S 3 \ L2 terek homeomorfak, így π1 (L1 ) ∼ = π1 (L2 ) teljesül. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy az a függvény, amely egy lánchoz hozzárendeli a lánc csoportját (pontosabban annak izomorfia-osztályát), lánc-invariáns. Wirtinger-prezentáció3 A csomó csoportja az első „komoly” csomó-invariánsunk, kiszámításáról azonban nem sokat tudunk. Most bemutatunk egy módszert, amellyel megadhatjuk egy csomó (illetve lánc) csoportjának prezentációját. Az eljárást Wilhelm Wirtinger (1865–1945) osztrák matematikus fejlesztette ki 1905 körül, de először Heinrich Tietze (1881–1964) szintén osztrák matematikus publikálta egy 1908-ban megjelent cikkében [James, 1999, p. 306.]. A módszer előnye, hogy csupán a csomó (lánc) diagramja alapján egyszerű számolási lépésekkel megkaphatunk egy prezentációt. 3
[Rolfsen, 2003, pp. 56–60.] alapján.
14
Térjünk rá ezek után a prezentáció kiszámítására. Az egyszerűség kedvéért csomókra szorítkozunk, de láncokra a módszer ugyanúgy működik. Tekintsük az irányított K csomó egy reguláris projekcióját a P ⊂ R3 síkra, amelyről feltehetjük, hogy az x, y tengelyeket tartalmazó sík. Jelöljük D-vel a K csomónak ezen vetületből nyert diagramját. Ekkor D=
Fn
i=1
αi , vagyis D az α1 , . . . , αn ívek diszjunkt uniója. Minden i-re az αi ívet kössük
össze az αi−1 , valamint az αi+1 ívekkel (mod n) a megfelelő kereszteződések alatt futó további βk ívek segítségével (1.7. ábra jobb oldala). Az így visszanyert csomó ekvivalens K-val, így a továbbiakban csak ezzel a csomóval foglalkozunk.
1.7. ábra Mindegyik αi ívhez tekintsünk egy, az ív alatt átmenő rövid xi nyilat, amelyet írányítsunk oly módon, hogy az αi és xi által meghatározott kereszteződés előjele pozitív (1.2.6. definíció) legyen (1.7. ábra bal oldala). Ez a kis xi nyíl egy hurkot reprezentál R3 \ K-ban a következőképp. Vegyük a (0,0,1) = ? pontot bázispontnak. A szóban forgó hurok pedig legyen a ? pontból xi kezdőpontjába, onnan xi -n keresztül a végpontba, végül pedig az xi végpontjából a ?-ba befutó vektorok által meghatározott irányított háromszög. Jelölje xi ezen hurok homotópia-osztályát is!
1.8. ábra. xi xk = xk xi+1
1.9. ábra. xk xi = xi+1 xk
15
D mindegyik kereszteződésénél fellép egy ri reláció, ami kétféle lehet a kereszteződés előjelétől függően (1.8. és 1.9. ábrák). Pozitív előjel esetén xi xk = xk xi+1 , a negatív esetben pedig xk xi = xi+1 xk . Jelölje ri ezek közül azt, amelyik a szóban forgó kereszteződésnél fennáll. Ily módon összesen n relációt kapunk. Az 1.5.2. tétel azt állítja, hogy az r1 , . . . , rn relációknál nem kell több a prezentáció megadásához. Sőt, ennél kicsit több is igaz! 1.5.2. Tétel. Az xi (i = 1, . . . , n) homotópia-osztályok generálják a π1 (K) csoportot, amelynek egy prezentációja π1 (K) ∼ = hx1 , . . . , xn | r1 , . . . , rn i. Ezen felül, ha az egyik (bármely) ri relációt elhagyjuk, a fenti izomorfizmus továbbra is igaz marad. Bizonyítás. A prezentáció helyességét a Seifert–van Kampen-tétel segítségével bizonyítjuk. Jegyezzük meg először, hogy K a P = {z = 0} ⊂ R3 síkban fekszik a kereszteződések kis környezetét kivéve, amelyekben ε távolságban „kilóg” a P sík negatív oldalán. Ahhoz, hogy a tételt alkalmazni tudjuk, az X = R3 \K teret n+2 alkalmas részre osztjuk. Jelölje ezen részeket A, B1 , . . . , Bn és C. Legyen A = ({z ≥ −ε}) \ K ⊂ X. A alsó határát úgy kapjuk, hogy a P 0 = {z = −ε} síkból elhagyunk n szakaszt, nevezetesen a β1 , . . . , βn szakaszokat. A Bi halmazok konstrukciója a következő. Tekintsünk egy tömör, zárt téglát, amelynek felső határolólapja rajta van a P 0 síkon és körülöleli a βi szakaszt.4 Bi -t úgy kapjuk, hogy ebből a tömör téglából elhagyjuk a βi szakaszt, majd a halmazt egy ívvel összekötjük a ? ponttal úgy, hogy az összekötő ív K-t elkerülje (1.10. ábra). A Bi halmazok konstrukciójánál a kiindulási téglákat válasszuk egybevágónak, de oly módon, hogy azok egymástól diszjunktak legyenek. Ez minden további nélkül megtehető.
1.10. ábra Végül legyen
C = cl R3 \ (K ∪ A ∪ B1 . . . ∪ Bn ) 4
[
„egy ív a ? bázispontba.”
βi jelöli az összekötő ívet is, de ez nem okoz félreértést, ugyanis mindig megmondjuk, hogy szakaszra, vagy ívre gondolunk.
16
Vegyük észre, hogy π1 (A) egy n elem által generált szabad csoport. Valóban, az A = = ({z ≥ −ε}) \ K teret úgy is elképzelhetjük, hogy kiindulunk a {z ≥ −ε} zárt (felső) féltérből, majd a féltér P 0 határolósíkjára az αi íveknek megfelelő, a féltérbe eső fogantyúkat csatolunk. A fogantyúk sehogyan sem hurkolódnak, így alkalmas homotópiával (vagy akár homeomorfizmussal) egymástól távolra vihetők. Ezek után a bázispontot ? = (0,0,1)nek választva – a pontosan az αi -t egyszer megkerülő hurok homotópia-osztályát xi -vel jelöljük – leolvasható az 1.11. ábráról, hogy π1 (A) = hx1 , x2 , . . . , xn | ∅i.
1.11. ábra Vizsgáljuk meg, mi történik, ha B1 -et hozzávesszük A-hoz. B1 a konstrukciójánál fogva egyszeresen összefüggő. B1 ∩ A egy téglalap, amelynek (relatív) belsejéből a β1 szakaszt elhagyjuk, ugyanakkor egy ?-ba vezető ívet hozzáadunk. Emiatt π1 (B1 ∩ A) ≈ ≈ Z ≈ hy | ∅i. Tekintsük az y huroknak az ι : B1 ∩ A → A bennfoglalás általi képét. −1 5 Az ι(y) és az xk x−1 1 xk x2 hurok π1 (A)-ban ugyanazt az elemet reprezentálja. A Seifert–
D
E
−1 van Kampen tétel alapján ezért π1 (A ∪ B1 ) = x1 , x2 , . . . , xn | xk x1 x−1 . Ugyanakkor k x2 −1 xk x1 x−1 k x2 ekvivalens az xk x1 = x2 xk relációval, ami pont r1 a jelölésünk alapján. Emiatt
π1 (A ∪ B1 ) = hx1 , x2 , . . . , xn | r1 i . Hasonlóképp, π1 (A ∪ B1 ∪ B2 ) = hx1 , x2 , . . . , xn | r1 , r2 i , és a gondolatmenetet folytatva kapjuk, hogy π1 (A ∪ B1 ∪ . . . ∪ Bn ) = hx1 , x2 , . . . , xn | r1 , r2 , . . . , rn i . Végül, ha C-t is hozzávesszük a A ∪ B1 ∪ . . . ∪ Bn halmazhoz, a fundamentális csoport nem változik. Ez azért van, mert C és C ∩ (A ∪ B1 ∪ . . . ∪ Bn ) is egyszeresen összefüggő halmazok. Ezzel beláttuk, hogy π(K) = π1 (A ∪ B1 ∪ . . . ∪ Bn ∪ C) = hx1 , x2 , . . . , xn | r1 , r2 , . . . , rn i . Már csak azt kell megmutatnunk, hogy az ri relációk egyike (mondjuk rn ) elhagyható. Ennek meggondolásához térjünk át R3 -ről az S 3 = R3 ∪ {∞} halmazra. Legyen 5
Feltettük, hogy a kereszteződés előjele pozitív, de ez az érvelésen mit sem változtat.
17
A0 = A ∪ {∞} és C 0 = Bn ∪ C ∪ {∞}. Világos, hogy A0 ∪ B1 ∪ . . . ∪ Bn−1 ∪ C 0 = S 3 \ \ K, továbbá π1 (A) = π1 (A0 ), valamint a B1 , . . . , Bn−1 halmazok hozzávételével ugyanazt kapjuk, mint az előbb. Vegyük észre azonban, hogy C 0 ∩ (A0 ∪ B1 ∪ . . . ∪ Bn−1 ) egyszeresen összefüggő, mivel homeomorf egy olyan kétdimenziós gömbfelülettel, amelyből egy gömbi ívet elhagyunk. Továbbá C 0 maga is egyszeresen összefüggő. Valóban, ez utóbbi szemléletesen könnyen látható, de akár a Seifert–van Kampen tételt is bevethetjük: C 0 = = Bn ∪ (C ∪ {∞}) ∼ = Bn ∪ B 3 (ahol B 3 = {x ∈ R3 | ||x|| ≤ 1}). Mivel mind Bn , mind Bn ∩ (C ∪ {∞}) ∼ = D2 egyszeresen összefüggő halmazok, ezért a tétel alapján C 0 is az (itt és a továbbiakban is „∼ =” homeomorfizmust jelöl) Tehát ily módon is megkaptuk a π1 (K) fundamentális csoport prezentációját, viszont ezúttal rn -t nem kellett hozzávennünk a relációk halmazához. Megjegyzés. Az előbbiekben a Seifert–van Kampen-tételt zárt halmazokra alkalmaztuk, holott ezen tétel kimondásában nyílt halmazok szerepelnek! Ez a gondolatmenet azért nem hibás, mert a bizonyításban fellépő mindegyik Xi zárt halmaznak van olyan Vi nyílt környezete, hogy Xi a Vi -nek deformációs retraktuma. Vagyis a fundamentális csoportok szempontjából ugyanarra az eredményre jutunk mindkét esetben. A zárt halmazok terminológiájának használatával viszont könnyebbé tehettük a levezetés megfogalmazását. Megjegyzés. Az 1.5.2. tétel bizonyítása során sehol sem használtuk ki, hogy K egy csomó. Ezért a bizonyítás (és így a tétel állítása is) minden további nélkül kiterjeszthető mkomponensű L láncokra.
1.5.2. Homológiacsoportok 1.5.3. Tétel (Hurewicz). Legyen X útösszefügő topologiukus tér. Ekkor H1 (X; Z) ∼ = π1 (X)/[π1 (X), π1 (X)] teljesül. Szavakban, egy útösszefügő topologikus tér első (szinguláris) homológiacsoportja izomorf a tér fundamentális csoportjának a kommutátor-részcsoport szerint vett faktorcsoportjával. [Bredon, 1993, pp. 174–175.] 1.5.4. Következmény. Legyen K ⊂ S 3 egy (irányított) csomó. Ekkor komplementumának első homológiacsoportjára H1 (S 3 \ K) ∼ = Z teljesül. 1. Bizonyítás (heurisztikus). Tekintsük a π1 (K) csoport Wirtinger-prezentációját: π1 (K) = hx1 , x2 , . . . , xn | r1 , r2 , . . . , rn−1 i . Ha megköveteljük, hogy a generátorelemek kommutáljanak, akkor ri az xi = xi+1 relációvá alakul. Vagyis π1 (X)/[π1 (X), π1 (X)] = = hx1 , x2 , . . . , xn | x1 = x2 , x2 = x3 , . . . , xn−1 = xn i = hx1 | ∅i ∼ = Z. 18
2. Bizonyítás. Az 1.5.4. következmény egy homológiaelméleti bizonyítását is megadjuk [Burde és Zieschang, 2003, p. 30]. Sőt, azt is belátjuk, hogy Hn (S 3 \ K) = 0 (n ≥ 2). Legelőször vezessünk be jelöléseket. Legyen V a K csomó egy tubuláris (csőszerű) környezete (amely egy tömör tórusszal homeomorf). Legyen C = cl(S 3 \V ). Megjegyezzük, hogy C ' S 3 \K. A homológiák kiszámításához felhasználjuk az algebrai topológia alábbi alapvető eredményeit: Hn (S 3 ) =
Hn (∂V ) = Hn (T 2 ) =
Z,
ha n = 0, 3;
0,
egyébként.
Z,
ha n = 0, 2;
Z ⊕ Z,
(1.1)
(1.2)
ha n = 1;
0, egyébként.
Z,
ha n = 0, 1;
0,
egyébként.
Hn (V ) = Hn (S 1 ) =
(1.3)
Először megállapítjuk, hogy H0 (S 3 \ K) ≈ Z, mivel S 3 \ K útösszefüggő. A többi homológiacsoportot az (S 3 , V, C) hármasra vonatkozó Mayer–Vietoris-féle hosszú ezgakt sorozat segítségével számítjuk ki. Mivel V ∩ C = ∂V és V ∪ C = S 3 , ezért sorozatunk a következő alakú: H3 (∂V ) −→ H3 (V ) ⊕ H3 (C) −→ H3 (S 3 ) −→ H2 (∂V ) −→ =
=
∼ =
∼ =
0
0
Z
Z
−→ H2 (V ) ⊕ H2 (C) −→ H2 (S 3 ) −→ H1 (∂V ) −→ =
=
∼ =
0
0
Z⊕Z
(1.4)
−→ H1 (V ) ⊕ H1 (C) −→ H1 (S 3 ). ∼ =
=
Z
0
Mivel H2 (S 3 ) = H1 (S 3 ) = 0, ezért a sorozatban szereplő H1 (∂V ) −→ H1 (V ) ⊕ H1 (C) leképezés izomorfizmus, amelyből ezáltal következik, hogy H1 (C) ≈ Z. Vizsgáljuk most a H2 (C) csoportot. Mivel ∂V a kompakt, irányítható 3-sokaságnak, C-nek a határa, ezért C-ben null-homológ, és így a ∂V ,→ C bennfoglalás a triviális H2 (∂V ) −→ H2 (C) homomorfizmust indukálja a második homológiacsoportokon. Ez pedig azt jelenti, hogy H2 (C) = 0, hiszen a fenti hosszú egzakt sorozatról leolvasható, hogy H2 (∂V ) −→ H2 (C) szürjektív. Ebből következik, hogy H3 (S 3 ) −→ H2 (∂V ) szürjektív és így szükségképpen 19
H3 (C) = 0 kell, hogy legyen. Végül mivel C egy 3-sokaság, ezért Hn (C) = 0 minden n > 3 egész szám esetén. Ezzel teljesen leírtuk egy csomó komplementumának (Z-együtthatós) homológiacsoportjait. 1.5.5. Következmény. Legyen L ⊂ S 3 egy m-komponensű lánc. Ekkor komplementumának első homológiacsoportjaira teljesül, hogy Z,
ha n = 0;
0,
egyébként.
Hn (S 3 \ L) = Zm , ha n = 1;
(1.5)
Bizonyítás. Az előző bizonyítás mindenfajta nehézség nélkül ismét elmondható. Legyen Vm az m komponensből álló L lánc egy tubuláris környezete (amely m darab tömör tórusz diszjunkt uniójával homeomorf), és Cm = cl(S 3 \ Vm ) ugyanúgy, mint az előbb. Ekkor a homológia alaptulajdonságai és (1.2), valamint (1.3) alapján
Hn (∂Vm ) =
m M i=1
Hn (Vm ) =
m M
Zm ,
ha n = 0, 2;
Hn (T 2 ) = Z2m , ha n = 1; 0,
Hn (S 1 ) =
egyébként.
Zm , 0,
i=1
(1.6)
ha n = 0, 1;
(1.7)
egyébként.
Ha most (1.4) analógiájára felírjuk az (S 3 , Vm , Cm ) hármashoz tartozó Mayer–Vietorisféle sorozatot, az előző bizonyításban alkalmazott gondolatmenettel teljesen megegyező okoskodás alapján következik a bizonyítandó állítás. 1.5.6. Állítás (Burde és Zieschang [2003], p. 30). Tekintsük egy K csomónak V tubuláris környezetét. Ekkor létezik két egyszerű zárt görbe ∂V -ben, m és l az alábbi tulajdonságokkal : (1) m és l egyetlen pontban metszik egymást, (2) m nullhomológ és l a K csomóval homológ V -ben, (3) l nullhomológ a csomó C = cl(S 3 \ K) komplementumában, (4) lk(m, K) = 1 és lk(l, K) = 0 S 3 -ban.
20
ϕ Bizonyítás. Tekintsük a Z ⊕ Z ∼ → H1 (V ) ⊕ H1 (C) izomorfizmust [lásd (1.4)]. = H1 (∂V ) − Jelöljük ki a H1 (V ) ∼ = Z és H1 (C) ∼ = Z csoportok egy-egy generátorelemét a következő
módon. H1 (V ) generátorának válasszuk a K irányított csomó homológiaosztályát (jelöljük ezt [K]-val), és reprezentáljuk [K]-t egy olyan l ⊂ ∂V egyszerű zárt görbével, amely C-ben null-homológ. (Ilyen görbe létezik, hiszen tekinthetjük a ϕ−1 ([K],0) ∈ H1 (∂V ) osztály egy reprezentánsát, ahol ([K],0) ∈ H1 (V ) ⊕ H1 (C).) Mivel ezek a feltételek az l ⊂ ∂V görbe homológiaosztályát egyértelműen kijelölik, ezért l (∂V -beli) izotópia erejéig egyértelműen meghatározott. Hasonlóképp, H1 (C) egy generátorát reprezentálhatjuk olyan m ⊂ ∂V zárt görbével, amely V -ben null-homológ. Feltehető, hogy m egyszerű, és hogy az l görbét egyetlen pontban metszi [Stillwell, 1993, 6.4.3. szakasz]. Mivel az m zárt görbe V -ben nullhomológ, ezért egy körlapot határol, amelyet a K csomó transzverzálisan metsz egyetlen pontban. Emiatt lk(m, K) = ±1, és m alkalmas irányításával elérhető, hogy lk(m, K) = = 1 teljesüljön. Ezek a tulajdonságok az m ⊂ ∂V görbét izotópia erejéig egyértelműen meghatározzák. Végül, mivel l null-homológ a K csomó C komplementumában, ezért egy C-beli felületet határol, amelytől K szükségképpen diszjunkt. Ezért (a következő fejezetben tárgyalt) a 2.3.2. Állítás értelmében lk(l, K) = 0. 1.5.7. Definíció (meridián, longitúdó). Az 1.5.6. állításban szerepló m görbét a K csomó (egyik) meridiánjának, l-et pedig K (egyik) longitúdójának nevezzük. Az 1.5.6. Állítás szerint l null-homológ C-ben (azaz a K csomó tubuláris környezetének komplementumában), ezért egy C-beli felületet határol. Egy ilyen felületnek persze lehetnek szinguláris pontjai, de a 2. fejezetben látni fogjuk, hogy l-hez nemcsak létezik, hanem konstruálható is olyan Σ felület, amely S 3 -ba beágyazott, irányítható és ∂Σ = = l. Ha egy ilyen felület határához hozzáragasztjuk azt a körgyűrűt, amelyet l és K határolnak, akkor pedig olyan felületet kapunk, amelynek határa a K csomó.
1.6. Példák, konkrét számolások 1.6.1. Példa (a 41 „nyolcas” csomó csoportja). Az 1.12. ábrán a 41 nyolcas csomó egy diagramja látható a csoportjának generátorait reprezentáló xi (i = 1,2,3,4) nyilakkal. Írjuk fel az 1–4. kereszteződésekben fellépő relációkat! (Bár az 1.5.2. Tétel szerint az egyik reláció a prezentációból elhagyható, így nem lenne szükséges mind a négyet felírni, de segíthet a prezentáció egyszerűsítésében ha több −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 rövidebb relációnk van.) 1. x2 x1 x−1 3 x1 ; 2. x4 x1 x4 x2 ; 3. x4 x2 x3 x2 ; 4. x3 x1 x3 x4 .
Ez alapján π1 (41 ) prezentációja E D −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 x , x x x x , x x x x . π1 (41 ) ∼ x , x x x = x1 , x2 , x3 , x4 x2 x1 x−1 3 1 3 4 1 4 4 2 3 2 2 4 3 1
21
1.12. ábra. A nyolcas csomó és csoportjának generátorai. Az 1. relációból x3 -at, a 3.-ból pedig x4 -et (ebben a sorrendben) kifejezve azt kapjuk, −1 −1 hogy x3 = x−1 = x2 x−1 1 x2 x1 és x4 = x2 x3 x2 1 x2 x1 x2 . Ezeket a a 2. és 4. relációkba
behelyettesítve, majd az x3 és x4 generátorokat, továbbá a felhasznált 1. és 3. relációkat elhagyva a csoport prezentációja két-két generátorral, illetve relációval is megadható: *
+
−1 −1 −1 −2 −1 −1 −1 −1 −1 π1 (41 ) ∼ . = x1 , x2 x2 x−1 1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 |
{z
} |
r1
{z r2
}
Látszólag bonyolultabbá vált a helyzet, de vegyük észre, hogy r1 ≡ r2 , ugyanis az r1 reláció pont azt jelenti, hogy −1 −1 −1 −2 x2 x−1 1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 = 1.
Ha ezt az egyenletet megszorozzuk balról x−1 2 -gyel, jobbról pedig x2 -vel, akkor −1 −1 −1 −1 x−1 1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 = 1
adódik, ami pont az r2 reláció. Ezért r1 és r2 közül az egyik elhagyható, így azt kapjuk, hogy E D −1 −1 −1 −1 , π1 (41 ) ∼ = x1 , x2 x−1 1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
vagy klasszikus felírásban D E −1 −1 −1 π1 (41 ) ∼ x x = x x x x x = x1 , x2 x1 x2 x−1 1 2 1 1 2 1 2 2
22
2. fejezet Seifert-felületek Könnyen látható, hogy ha egy K csomó egy S 3 -ba beágyazott kétdimenziós D ⊂ S 3 körlapot határol, akkor K szükségképpen a triviális csomó. Ebben a részben bebizonyítjuk, hogy bármely csomó (sőt, bármely lánc) egy alkalmas S 3 -ba beágyazott felület határa (2.2.2. Tétel). Emiatt egy csomó (illetve lánc) topologikus „bonyolultságát” az általa határolt felületet tanulmányozva is vizsgálhatjuk.
2.1. Röviden az irányíthatóságról Ebben a fejezetben végig irányítható, S 3 -ba (vagy R3 -ba) simán beágyazott összefüggő peremes 2-sokaságokkal (ún. Seifert-felületekkel, lásd 2.2.1. Definíció) foglalkozunk. A későbbiekben gyakran használunk majd olyan szemléletes fogalmakat, mint kétoldalúság, illetve pozitív és negatív oldal, ezért fontos, hogy precízen tisztázzuk ezek jelentését. Ismeretes, hogy minden topologikus 2-sokaság háromszögelhető (ezt először Radó Tibor (1895–1965) magyar matematikus bizonyította 1925-ben [Radó, 1924–26]. Az állítás egy modern levezetése Ahlfors és Sario [1960] könyvében olvasható [1. fejezet, §8. szakasz]). Ennek következtében a (kétdimenziós) felületek irányíthatóságát bevezethetjük a háromszögelés fogalmán keresztül. 2.1.1. Definíció (felületek irányíthatósága). Ha egy felület valamely (⇔ bármely) háromszögelésére fennáll, hogy a háromszögelésben szereplő háromszögek irányíthatók oly módon, hogy bármely élen az őt tartalmazó két szomszédos háromszög rajta ellentétes irányítást indukál (2.1. ábra), akkor a felületről azt mondjuk, hogy irányítható. Megjegyzések. (1) Ha a 2.1. ábrán látható felület (amely topologikusan körlap) poligonális határának a és b éleit azonosítjuk (A1 ↔ B1 , A2 ↔ B2 ), akkor egy Möbius-szalagot kapunk, amely már nem irányítható.
23
2.1. ábra. Felület irányíthatóságának jellemzése háromszögeléssel. (2) Tekintsünk egy irányítható (összefüggő) felületet, és annak egy háromszögelését. Egyetlen háromszög irányításának megválasztása (
, vagy
) már meghatározza a
háromszögelésben szereplő összes többi háromszög irányítását is. (3) Vegyük észre, hogy a felület határának (peremének) irányítása, illetve a kis háromszögeknek az irányítása egymást egyértelműen meghatározzák. 2.1.2. Definíció (felület irányítása). Legyen Σ egy irányítható felület és tekintsük egy háromszögelését. Σ irányításának azt nevezzük, hogy a háromszögelésben az egyik háromszög irányítását kiválasztjuk. (A fenti megjegyzés (2) pontja szerint ezt kétféleképp tehetjük meg.) Ebből azonnal adódik, hogy ha egy irányítható (de még nem irányított) felület valamely pontjában megadjuk az irányítást (azaz a felület egyetlen pontjában kijelöljük a körüljárási irányt), akkor ez a választás már az egész felület irányítását meghatározza.
2.2. ábra. Irányítható felület pozitív és negatív oldalai. Rögzítsük le S 3 (vagy R3 ) standard e = (e1 , e2 , e3 ) bázisát és tekintsünk egy Σ irányítható sima felületet. Tegyük fel, hogy Σ irányítása már adott (azaz Σ minden pontjában kijelöltük a körüljárási irányt). Most bevezetjük a pozitív, illetve negatív oldal fogalmát. Minden P ∈ Σ pontban tekintsük a TP Σ ∼ = R2 érintőteret. Világos, hogy Σ irányítása TP Σ-ra is öröklődik. Legyenek tehát b1 , b2 ∈ TP Σ olyan P -ből kiinduló bázisvektorok, amelyek által alkotott bázis irányítása összhangban van Σ irányításával. 24
2.1.3. Definíció (felület pozitív és negatív oldala). A fenti bekezdés jelöléseit megtartva, gondolatmenetét folytatva: azt mondjuk, hogy a P -ből kiinduló b vektor a Σ felület pozitív oldalára esik, ha (b1 , b2 , b) bázisa S 3 -nak, továbbá a (b1 , b2 , b) vektorok (ebben a sorrendben) jobbsodrású rendszert alkotnak, vagyis ugyanazt az irányítást reprezentálják, mint az (e1 , e2 , e3 ) vektorok. (A 2.2. ábrán b = b+ 3 pontosan ilyen vektor.) Ellenkező 3 esetben (pl. ha b− 3 vektor kiválasztásával egészítjük ki a P -beli érintőtér bázisát S -nak
(b1 , b2 , b− 3 ) bázisává) azt mondjuk, hogy a vektor a Σ felület negatív oldalára esik. Megjegyzés. A 2.1.3. Definíciónak szemléletes jelentést is adhatunk, amelyet később alkalmazni is fogunk. Képzeljük el ugyanis, hogy egy – matematikai értelemben vastagsággal nem rendelkező – kétdimenziós felületet egy vékony (de vastagsággal rendelkező) papírlapból készítünk el. Ez a valóságban is kivitelezhető, hiszen tudjuk, hogy minden felület háromszögelhető (az általunk tekintett felületek esetében véges sok háromszöggel is), ezért a háromszögelésben szereplő kis háromszögeket kivághatjuk papírból, majd összeragaszthatjuk a megfelelő oldalpárokat. Nevezzük a kapott objektumot papírlap-felületnek. Ezek után a felületek irányíthatóságát a következőképp is „definiálhatjuk”: egy felület pontosan akkor irányítható, ha a hozzá elkészített papírlap-felület kétoldalú, vagy még szemléletesebben: két színnel színezhető.
2.3. ábra. A hengerfelület kétoldalú, míg a Möbius-szalagnak egyetlen oldala van.
2.2. Seifert algoritmusa1 2.2.1. Definíció (Seifert-felület). Legyen L ⊂ S 3 irányított lánc. A Σ ⊂ S 3 felületet az L lánc Seifert-felületének nevezzük, ha Σ egy kompakt, összefüggő, irányítható, simán beágyazott felület, amelynek határa ∂Σ = L. Tekintsük egy csomó valamely reguláris vetületének sakktáblaszínezését. A fekete színű tartományokat egymástól elvágva, majd az egyes tartományokat a kereszteződéseknek megfelelő félig megcsavart szalagokkal ismét összeragasztva egy olyan kétdimenziós felületet kapunk, amelynek határa maga a csomó. Azonban egy ilyen felület nem feltétlenül 1
[Cromwell, 2004, pp. 102–104.] alapján.
25
lesz irányítható, ezért nem is lesz Seifert-felület. A következő eljárással azonban minden láncnak megadhatjuk egy Seifert-felületét. 2.2.2. Tétel (Frankl és Pontrjagin, 1930). Bármely L ⊂ S 3 láncnak van Seifert-felülete.
Bizonyítás. (Seifert, 1935; Cromwell, 2004, pp. 102–104.) Előkészületek. Ha az L lánc esetleg irányítatlan, akkor rögzítsük le mindegyik komponensének egy irányítását. Tekintsük a láncnak egy diagramját, amelyről feltesszük, hogy az xy-síkban van. Ezek után mindegyik kereszteződés kicsiny környezetében végrehajtjuk a következő műveletet: kitöröljük a kereszteződést, majd a keletkező szabad végeket összekötjük az egyetlen lehetséges módon, amely az irányítással kompatibilis és megszünteti a kereszteződést (2.4. ábra). Miután ezt a műveletet az összes kereszteződésnél elvégeztük, az eredmény n egyszerű zárt görbe diszjunkt uniója. Ezeket a zárt görbéket Seifert-köröknek nevezzük. Előfordulhat, hogy a Seifert-körök között néhány egymásba van ágyazva, vagyis egyik a másiknak a belsejében fekszik. Rendeljünk hozzá minden egyes λi (i = 1, . . . , n) Seifertkörhöz egy h(λi ) számot, amely azon Seifert-körök száma, amelyeknek λi a belsejébe esik. Konstrukció. Mindegyik λi Seifert-körnek feleltessünk meg egy ∆i zárt körlapot (pontosabban egy azzal homeomorf alakzatot) oly módon, hogy ∆i ⊂ {z = h(λi )} teljesüljön (azaz ∆i az xy-sík fölött h(λi ) magasságban fekszik), és ∂∆i -t az xy-síkra merőlegesen levetítve visszakapjuk λi -t. A körlapok mindegyike örököl egy meghatározott irányítást L diagramja alapján. Ezek után a körlapok két oldalát feketére és szürkére színezzük, mégpedig úgy, hogy ha egy körlap határának irányítása felülről nézve az óramutató járásával megegyező (negatív oldal), akkor feketére színezzük a felső oldalt, ha pedig a perem irányítása felülről nézve az óramutató járásával ellentétes (pozitív oldal), akkor szürkére. Végül mindegyik (megszüntetett) kereszteződésnél ragasszuk össze a két megfelelő Seifert-körhöz tartozó körlapot egy félig megcsavart szalaggal úgy, hogy felülről nézve szalag határa az eredeti kereszteződést adja vissza (2.4. ábra). Ezen algoritmus eredménye egy olyan Σ felület, amelyre ∂Σ = L teljesül.
2.4. ábra. Kereszteződés irányított feloldása, és félig csavart szalag hozzáadása. Irányíthatóság. Ha egy szalag két olyan körlapot köt össze, amelyek ugyanazon a magassági szinten helyezkednek el, akkor ezen körlapok felső lapjainak színezése külön26
böző kell, hogy legyen. Emiatt ekkor a szalag oldalai kiszínezhetőek két színnel úgy, hogy a felület két-színezhetősége nem romlik el. Minden más esetben egy szalag olyan ∆j és ∆k körlapokat köt össze, amelyekre |h(λj ) − h(λk )| = 1. Ekkor a ∆j és ∆k körlapok felső oldalának színezése megegyezik, így amikor a csavart szalagot a megfelelő kereszteződés helyére beillesztjük, a félcsavarnak köszönhetően ugyancsak megőrződik a felület két-színezhetősége. Ily módon beláttuk, hogy Σ valóban kétoldalú felület, vagyis tényleg irányítható. Megjegyzés. A 2.2.2. Tétel bizonyításában szereplő konstrukciót Seifert-algoritmusnak nevezzük. A továbbiakban az L lánc egy olyan Seifert-felületét, amelyet az L egy diagramjából a fenti eljárással kapjuk, projekció-felületnek nevezzük. Megjegyzés. A kapott Seifert-felület nem feltétlenül összefüggő; ha ugyanis a lánc kezdeti vetülete több komponensből áll, akkor a projekció-felület sem lehet összefüggő. Azonban akármilyen projekció-felületből kiindulva az egyes komponenseket csövekkel összekötve (2.5. ábra) összefüggő Seifert-felületet kapunk.
2.5. ábra. Cső egy felület különböző összefüggő komponensei között.
2.3. Hurkolódási szám II. Seifert-felületek segítségével a hurkolódási szám egy alternatív definícióját is megadhatjuk. Legyenek K1 , K2 ⊂ S 3 irányított, diszjunkt csomók. Tekintsük a K1 -nek egy Σ1 Seifert-felületét. (Megjegyezzük, Σ1 irányítása olyan, hogy a ∂Σ1 és K1 irányítása megegyezik.) Tegyük fel továbbá, hogy K2 a Σ1 felület relatív belsejét transzverzálisan metszi. 2.3.1. Definíció (előjeles metszéspont, előjeles metszési szám). Legyen Σ irányított (esetleg peremes) sima felület, és γ : [0,1] → S 3 egy sima görbe. Tegyük fel, hogy γ a Σ felületet véges sok pontban, transzverzálisan metszi. Legyen p ∈ (Σ \ ∂Σ) ∩ im(γ). A p metszéspont előjele pozitív, ha a görbe p pontban vett sebességvektora a felület pozitív oldalára esik. Egyébként a metszéspont előjele negatív. A Σ felület és γ görbe előjeles metszési száma a metszéspontjaik előjeles összege. 27
Megjegyzés. Ha Σ egy K csomó Seifert-felülete, akkor peremének irányítása (vagyis K irányítása) már meghatározza a felület irányítását. Legyen K 0 egy K-tól diszjunkt csomó, amely esetleg hurkolódik K-val. Ekkor K 0 és Σ metszéspontjainak előjele a 2.3.1. Definíció alapján a 2.6. ábráról olvasható le. Látható az is, hogy amennyiben egy metszéspont egy kereszteződés közelében van, előjele megegyezik a kereszteződés előjelével (vö. 1.5. ábra).
2.6. ábra. Metszéspontok előjele.
2.3.2. Állítás. Az lk(K1 , K2 ) hurkolódási szám értéke megegyezik Σ1 és K2 előjeles metszési számának értékével. Bizonyítás. Tekintsük S 3 -nak egy olyan izotópiáját, amely Σ1 -et körlap-szalag alakú felületté deformálja. Ilyen felület látható például a 2.12. ábrán. A megfelelő izotópia megtalálása általában nem egyszerű feladat, de peremes felületekre ilyen izotópia mindig létezik [Kauffman, 1987, pp. 81–82.]. Világos, hogy a most végrehajtott izotópia az lk(K1 , K2 ) hurkolódási számot, illetve Σ1 és K2 előjeles metszési számát is megőrzi. Ha most tekintjük a felülnézeti ábrát (pl. a 2.12. ábrán egy felületnek a felülnézeti képe látható), akkor azt láthatjuk, hogy K2 végig a Σ1 felület felett fut, kivéve akkor, amikor áthalad K1 valamely íve alatt, és ilyenkor Σ1 -et is metszi pontosan egyszer. Egy ilyen metszéspont előjele megegyezik a kereszteződés előjelével (2.6. ábra). Az 1.4.4. Következmény szerint ez pedig pontosan azt jelenti, hogy Σ1 és K2 előjeles metszési száma és lk(K1 , K2 ) megegyeznek. A hurkolódási szám egy további definícióját a csomó komplementumának első homológiacsoportja segítségével származtathatjuk. Tudjuk, hogy H1 (S 3 \ K1 ; Z) ∼ = Z. A K2 ⊂ ⊂ S 3 \ K1 csomó (lévén zárt hurok) egy [K2 ] ∈ Z homológiaelemet reprezentál. Legyen most µ a K1 egy irányított meridiánja, amelyre lk(µ, K1 ) = 1. 2.3.3. Állítás. A fenti jelölésekkel [K2 ] = lk(K1 , K2 )[µ], ahol [ · ] H1 (S 3 \ K1 ; Z)-beli elemet jelöl. Bizonyítás. Tekintsük az L = K1 t K2 lánc egy D diagramját, és vegyük sorra azon kereszteződéseket, amelyeknél K2 átmegy K1 alatt [2.7. ábra, (a)]. Ha az i-edik ilyen 28
kereszteződés előjele ±1 (i = 1, . . . , n), akkor vegyük fel a kereszteződés közelében K1 nek egy olyan mi meridiánját, amelyre lk(K1 , mi ) = ±1 [2.7. ábra, (b)]. Ekkor [mi ] = ±1 a H1 (S 3 \ K1 ; Z) homológiacsoportban, ezért
Pn
i=1
[mi ] = S(D) =
= lk(K1 , K2 )[µ] (itt ugyancsak az 1.4.4. Következményre hivatkozunk). A bizonyítás befejezéséhez azt kell már csak megmutatni, hogy K2 és m1 t . . . t mn homológ láncok S 3 \ K1 -ben. Ennek ekvivalens átfogalmazása, hogy K2 t −m1 t . . . t −mn null-homológ lánc. A 2.7. ábra (e) részének tanúsága szerint a (d) részen látható K20 csomó homológ a (K2 t −m1 t . . . t −mn ) lánccal, hiszen együtt egy S 3 \ K1 -beli felületet határolnak. Azonban K20 könnyen láthatóan null-homológ S 3 \ K1 -ben, ugyanis egyáltalán nincs ráhurkolódva K1 -re: teljes egészében a K1 csomó felett halad. Ez az észrevétel a bizonyítást be is fejezi.
2.7. ábra
2.3.4. Állítás. Legyenek K1 és K2 irányított csomók. Az lk kereszteződési számra ekkor lk(K1 , K2 ) = lk(K2 , K1 ), illetve lk(K1 , K2 ) = − lk(−K1 , K2 ) teljesül, ahol −K1 a K1 csomó irányításának megfordításával kapott csomót jelöli. Bizonyítás. Mindkét egyenlőség a hurkolódási szám 1.4.1. Definíciójának közvetlen következménye.
29
2.4. Példák, konkrét számolások A következőkben bemutatjuk a Seifert-algoritmust (2.2.2. Tétel) működés közben. 2.4.1. Példa (a 41 „nyolcas” csomó egy Seifer-felülete).
1.
2.
3.
4. 2.8. ábra
A 2.8. ábrán a 41 nyolcas csomó Seifert-felületének konstrukciója látható négy lépésben: 1. tekintjük a csomó egy diagramját, 2. elkészítjük a diagram irányított feloldását; 3. az egymásba ágyazott Seifert-köröket kiemeljük egymásból (esetünkben λ3 -at a körlap ragasztása előtt fel kell emelnünk a h(λ3 ) = 1 szintre), majd zárt körlapokat ragasztunk rájuk, hogy megkapjuk a ∆i Seifert-diszkeket; végül 4. a kereszteződések helyére félig megcsavart szalagokat ragasztunk. 30
Egy háromszögelést véve könnyen látható, hogy a kapott Σ41 Seifert-felület Eulerkarakterisztikája χ = −1, továbbá határkomponenseinek száma nyilván b = 1, ezért génusza g = (2 − χ − b)/2 = (2 − (−1) − 1)/2 = 1. Ez pedig azt jelenti (a kompakt irányítható 2-sokaságok klasszifikációs tétele alapján), hogy Σ41 homeomorf egy olyan felülettel, amelyet úgy kapunk, hogy egy tóruszból eltávolítunk egy nyílt körlapot.
2.5. Felületek stabilizációja2 2.5.1. Definíció (stabilizáció). Legyen Σ az L lánc egy Seifert-felülete. Σ-ból kiindulva további felületeket nyerhetünk a következő eljárással, amit stabilizációnak nevezünk. Legyenek p, q ∈ int Σ és kössük őket össze egy (sima) γ ⊂ S 3 \ Σ ívvel. Jelölje νγ a γ görbe egy kicsiny tubuláris környezetét. νp, illetve νq rendre a p, illetve q pontok megfelelő tubuláris környezeteit jelölik. Ekkor azt mondjuk, hogy a Σ1 = ∂νγ ∪ (Σ \ (νp ∪ νq)) irányítható felületet a Σ stabilizációjával kapjuk [Ozsváth et al., 2013]. Megjegyzés. Megköveteljük, hogy a stabilizált felület irányítható maradjon. Ez azért szükséges, mert Σ-t egyébként úgy is tudnánk stabilizálni, hogy utána a felület már nem lesz irányítható. Például ha a 2.9. ábrán látható γ görbéből indulunk ki, akkor a 2.5.1. Definícióban leírt eljárás olyan felületet eredményez, amely nem irányítható.
2.9. ábra. Nem megengedett ragasztás. Egy felület stabilizációja szemléletesen azt jelenti, hogy a felületre egy csövet ragasztunk. Ezáltal megváltozik a felület génusza, így alapvető topológiai tulajdonságai is. Mivel a génusz topológiai invariáns, ezért adódik, hogy egy láncnak végtelen sok olyan Seifertfelülete létezik, amelyek páronként nem homeomorfak. Azonban egy adott lánchoz tartozó Seifert-felületek között mégis szoros kapcsolat áll fenn, amint ezt a 2.5.3. Tétel is mutatja. Megjegyezzük, hogy olykor szokás destabilizációról is beszélni, amely a stabilizáció „inverz” művelete: a felületből eltávolítunk egy csövet, majd a keletkező két lyukat egy-egy körlap hozzáragasztásával befoltozzuk. 2
[Cromwell, 2004] 5.5. fejezete, illetve [Bar-Natan et al., 1998] alapján.
31
2.5.2. Definíció (S-ekvivalencia). Két felületet S-ekvivalensnek mondunk, ha véges sok (de)stabilizációval egymással beágyazottan izotóp felületekké tehetők. 2.5.3. Tétel. Ha Σ1 és Σ2 két olyan (Seifert-)felület, amelyre ∂Σ1 és ∂Σ2 ekvivalens láncok, akkor Σ1 és Σ2 S-ekvivalens. A 2.5.3. Tételnek a Reidemeister-tételre (az 1.3.1. Tétel) épülő elemi bizonyítását D. Bar-Natan, J. Fulman és L. Kauffman dolgozták ki [Bar-Natan et al., 1998]. Az alábbi bizonyítás [Cromwell, 2004] 114–120. oldalain olvasható levezetésen alapul. A bizonyítás során kivételesen nem követeljük meg, hogy a felületek összefüggők legyenek. Bizonyítás. Négy segédállításra bonthatjuk a bizonyítás lépéseit. Legelőször bevezetünk néhány egyszerűsítő jelölést, illetve rövidítést. Függőleges nyilakkal (↑) Seifert-köröket jelölünk (pontosabban azoknak egy részét), ahol a nyíl iránya a kör irányítását tükrözi. Két párhuzamos nyíl közé tett ‘+’ és ‘−’ jelek rendre pozitív, illetve negatív kereszteződéseket jelölnek. A kérdőjel (?) azt jelenti, hogy a kereszteződés előjele tetszőleges lehet. Ezen jelekre egyúttal úgy is gondolhatunk, hogy félig megcsavart téglalapokat jelölnek a megfelelő projekció-felületben. T -vel jelöljük, ha a két megfelelő Seifert-kör által határolt körlapot egy cső köti össze. Például a 2.11. ábra az alábbi jelölésbe tömöríthető (ha az ábrán szereplő szaggatott vonalaktól eltekintünk): x
+
x
? +
x
Amennyiben Σ1 és Σ2 két olyan felület, amelyek beágyazottan izotópak, akkor azt jelölje S
Σ1 = Σ2 . Ha pedig a felületek S-ekvivalensek, Σ1 ∼ Σ2 -t írunk. 2.5.4. Lemma. Az alábbi konfigurációkkal rendelkező felületek beágyazottan izotópak. x
+ −
x
=
x
T
x
=
x
− +
x
x
x
x
x
− Bizonyítás. Tekintsük a 2.10. ábrát, amin a határ irányításától függően + − , vagy +
konfiguráció szerepel. Vegyük észre, hogy ez egy olyan kétdimenziós irányítható peremes kompakt felület, amelynek két határkomponense van, továbbá génusza 0. A kétdimenziós kompakt peremes sokaságok klasszifikációja értelmében ezért ez a sokaság egy hengerfelülettel (csővel) homeomorf. Sőt, beágyazottan izotóp is egy hengerfelülettel, amely az ábra alapján könnyen leellenőrizhető.
32
2.10. ábra 2.5.5. Lemma. Az alábbi konfigurációkkal rendelkező felületek S-ekvivalensek. 1.
x
3.
x
+
x
? +
x
−
x
− ?
x
=
x
+ ?
x
=
x
? −
x
+
x
−
x
2.
x
4.
x
+
x
−
x
+ −
x x S ∼
− +
x
+ −
x x S ∼
− +
x
+
x
−
x
Bizonyítás. Az 1. eset egyenlőségének bal oldala a 2.11. ábrán látható. A ‘?’-lel jelölt kereszteződést egyszerűen végigcsúsztatjuk a megvastagított vonalakon egészen addig, amíg a szaggatott vonalak által kijelölt helyre nem kerül. A 2. esetben ez a trükk nem működik, ezért a következő módon járunk el:
x
+
x
+ −
x
S
∼
=
x
x
T +
− +
x
x
+ −
+ T
x
x
=
S
∼
x
x
− + +
− +
x
x
+ −
+
x
1.eset
=
x
− +
x
+ + −
x
=
x
A 3. esetnél ha megrajzoljuk az egyenlőség bal oldalán szereplő kifejezés által reprezentált konfigurációt, akkor a 2.11. ábra középső Seifert-körre (mint egyenesre) vonatkozó tengelyes tükörképét kapjuk. Ezek után a bizonyítás az 1. esetnél látottal analóg.
33
2.11. ábra
2.12. ábra. Körlap-szalag alakban adott felület.
Végül a 4. esetet a 2. esethez hasonlóan gondolhatjuk meg:
x
−
x
+ −
x
S
∼
=
x
x
− T
− +
x
x
+ −
T −
x
x
=
S
∼
x
x
− − +
− +
x
x
+ −
−
x
3.eset
=
x
− +
x
+ − −
x
=
x
Egy összefüggő, irányítható felületre – amelynek génusza g, határkomponenseinek száma pedig n – gyakran úgy tekinthetünk, mint egy gömbfelületre, amelyhez hozzácsatlakoztatunk g csövet (vagy másképp, fogantyút) és eltávolítunk a felületből n nyílt körlapot. Amennyiben a határkomponensek száma n ≥ 1, akkor a kétdimenziós kompakt irányítható peremes sokaságok klasszifikációjának3 következménye, hogy a felület homeomorf egy körlap-szalag alakban megadott felülethez. Egy ilyen alakzat látható a 2.12. ábrán. A 2.3. szakaszban a 2.3.2. Állítás bizonyításánál megemlítettük, hogy ennél több is igaz: tetszőleges irányítható, peremes (n ≥ 1), R3 -ba beágyazott kétdimenziós sokaság beágyazott izotópiával körlap-szalag alakra hozható [Kauffman, 1987, pp. 81–82.]. Általános esetben azonban a szalagok megcsavarodhatnak, vagy akár hurkolódhatnak is egymással, de ez nem befolyásolja a következő állítást. 2.5.6. Lemma. Bármely körlap-szalag felület S-ekvivalens egy projekció-felülettel. 3
A génusz és a határkomponensek száma együtt homeomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározzák a felületet.
34
Bizonyítás. Tekintsük a körlap-szalag felületet. Valahányszor egy szalag vetülete egy másikat keresztez úgy, ahogy a 2.13. ábra bal oldalán látható, akkor ragasszuk össze egy csővel a két szalagot. Ezáltal a kereszteződést a középső állapotba hozzuk, amely (lokálisan) megegyezik a megfelelő diagramból nyert projekció-felülettel. Abban az esetben, ha a két keresztező szalag felső oldalai azonos színűek, akkor a felső szalagot félig megcsavarva (2.13. ábra jobb oldala) alkalmazhatjuk az előző eljárást.
2.13. ábra. Bármely körlap-szalag felület S-ekvivalens egy projekció-felülettel.
2.5.7. Lemma. Egy adott lánc bármely két projekció-felülete egymással S-ekvivalens. Bizonyítás. Az 1.3.1. Tétel értelmében elegendő leellenőrizni, hogy egy adott lánc-diagramhoz tartozó projekció-felületből kiindulva, a diagramon az R1, R2, R3 Reidemeistermozgások akármelyikét végrehajtva, majd a módosított diagramon a Seifert-algoritmust elvégezve olyan projekció-felületet kapunk, amely az eredetivel S-ekvivalens. R1. Az első Reidemeister-mozgás által indukált változás a 2.14. ábrán látható. A szaggatott keret arra utal, hogy csak lokálisan történik változás, a kereten kívül minden változatlan marad. Az ábra alapján egyértelmű, hogy a mozgás előtti és utáni állapotok egymással beágyazottan izotópak (ennélfogva S-ekvivalensek); egy félcsavarral visszaállítható az eredeti állapot. R2. Három lényegileg különböző esetet kell megvizsgálnunk, amelyek a 2.15. ábra felső sorában láthatók. Az ábra alsó sorában a mozgást követően elkészített projekció-felületek megfelelő részleteit rajzoltuk meg. A bal oldali pár esetében a felületek egymással beágyazottan izotópak, hiszen az alsó ábrán látható szalagot félig megcsavarva visszakapjuk az eredeti felületet. A középső pár esetében a mozgást követően kapott felületből visszakaphatjuk a kiindulási felületet, amennyiben a szalag csavarodását (izotópiával) megszüntetjük, majd a keletkező csövet a felületből eltávolítjuk. Végül a jobb alsó felület lerajzolt részére úgy is tekinthetünk, hogy két Seifert-kört két (egy pozitív és egy negatív) félig megcsavart szalaggal összekötöttünk. Ez a konfiguráció a 2.5.4. Lemma értelmében S-ekvivalens a kiindulási állapottal, hiszen abból egy cső hozzáadásával kapható. R3. Nem meglepő, hogy a harmadik Reidemeister-mozgáshoz kapcsolódóan kell a legtöbb – szám szerint négy – esetet megvizsgálnunk (2.16. ábra). Az 1–3. esetekben az 35
S-ekvivalencia azonnal adódik a 2.5.5. Lemma felhasználásával a 2.17. ábrát tekintve. A 4. esetben a helyzet lényegesen bonyolultabb, de visszavezethető a korábbiakra (2.18. ábra). Az ábra számozását követve: izotópia
R2 (2-szer)
R3, 1–3. esetek
R2 (2-szer)
izotópia
1. ⇐===⇒ 2. ⇐=====⇒ 3. ⇐=======⇒ 4. ⇐=====⇒ 5. ⇐===⇒ 6. A 2.5.4., 2.5.5., 2.5.6. és 2.5.7. Lemmák igazolásával egyúttal a 2.5.3. Tételt is bebizonyítottuk.
2.14. ábra. Az R1 mozgás beágyazottan izotóp felületeket ad.
2.15. ábra. Az R2 mozgás lehetséges hatásai a kiindulási felületre.
36
2.16. ábra. A négyféle (irányítást is figyelembe vevő) R3 mozgás.
2.17. ábra
37
2.18. ábra
38
3. fejezet Az Alexander-polinom 3.1. Seifert-mátrixok, Seifert-forma1 Ebben a szakaszban F kétdimenziós, irányítható, R3 -ba (vagy S 3 -ba) simán beágyazott felületet jelöl. Definiáljuk F megvastagítását. Ehhez jegyezzük meg először, hogy egy irányítható felületnek két oldala van, ezért beszélhetünk a pozitív és negatív oldalairól. Legyen b : F × [−1,1] → R3 olyan homeomorfizmus, amelynél b(F × {0}) = F , valamint def b(F × {1}) = F + ∼ = F az F felület pozitív oldalán fekszik. Tetszőleges X ⊆ F részhalmaz kiemelhető a felület bármely oldalára: X + = b(X × {1}) és X − = b(X × {−1}). A legérdekesebb számunkra jelen esetben az, amikor X ⊆ F egy zárt hurok a felületen. Ekkor X egy elemet reprezentál a H1 (F ; Z) homológiacsoportban. Tekintsünk két zárt görbét F -en! Előfordulhat, hogy ezek metszik egymást, viszont ha az egyik görbét kiemeljük F pozitív (vagy negatív) oldalára, akkor a két görbe már biztosan diszjunkt lesz. Azonban a képgörbék hurkolódhatnak! Ez az észrevétel lehetővé teszi, hogy bevezessük az alábbi leképezést: Θ : H1 (F ; Z) × H1 (F ; Z) → Z (a, b) 7→ lk(a, b+ ). 3.1.1. Definíció (Seifert-forma). A most definiált Θ leképezést Seifert-párosításnak, hurkolódási formának, illetve Seifert-formának is nevezik. A 2.3. szakaszban látottak alapján Θ egy bilineáris függvény. Rögzítsük le tehát H1 (F ; Z) egy bázisát, és írjuk fel Θ mátrixát a megadott bázisban. 3.1.2. Definíció. A kapott M mátrixot a felület Seifert-mátrixának nevezzük. A szakasz legfőbb eredménye, hogy megmutatjuk: amennyiben F = Σ egy rögzített L lánc Seifert-felülete, akkor az Σ-hoz tartozó M Seifert-mátrixből olyan mennyiségeket 1
[Cromwell, 2004] 6.5. és 6.6. fejezetei alapján.
39
származtathatunk, amelyek csak L-től függnek. Hogy ez pontosan mit jelent, azonnal kiderül. Nyilvánvaló, hogy M önmagában nem lánc-invariáns: egy adott L lánc több, különböző génuszú (és így egymással nem homeomorf) felületet határol, amelynek megválasztásától függ a Seifert-mátrix mérete. (Ha Σ génusza g, határkomponenseinek száma [azaz L komponenseinek száma] µ, akkor M ∈ Z(2g+µ−1)×(2g+µ−1) .) Ha ezek után g és µ értékét lerögzítjük, Σ-nak még akkor is sokféle olyan beágyazása létezik R3 -ba, amelyek páronként nem beágyazottan izotópak, és különböző beágyazások során H1 (Σ; Z) báziselemeinek reprezentánsai eltérő módon hurkolódhatnak. Sőt, ha Σ-t beágyazásával együtt lerögzítjük, H1 (Σ; Z) bázisa még ekkor is többféleképp megválasztható, és egyértelmű, hogy M függ a bázis választásától. A helyzet azonban egyáltalán nem olyan rossz, mint amilyennek ezek után tűnhet. A 2.5.3. Tétel azt állítja, hogy ha egy L láncnak tekintjük két Σ1 és Σ2 Seifert-felületét, akkor Σ1 véges sok (de)stabilizációval L olyan Seifert-felületévé tehető, amely Σ2 -vel beágyazottan izotóp. Más szavakkal kifejezve: egy L lánc a Seifert-felületét S-ekvivalencia erejéig egyértelműen meghatározza. Továbbá rögzített Seifert-felület esetén egy bázistranszformáció az M mátrixot P > M P alakba viszi, ahol P ∈ GL(2g + µ − 1, Z) az áttérési mátrix. Ha tehát M -nek egy tulajdonságáról megmutatjuk, hogy invariáns a (de)stabilizációval és a bázistranszformációval szemben, akkor abból következik, hogy a szóban forgó tulajdonság lánc-invariáns. 3.1.3. Lemma. Legyen M egy összefüggő F felület Seifert-mátrixa. Fb legyen egy olyan felület, amelyet F -ből egyetlen stabilizációval kaphatunk. Ekkor H1 (Fb )-nek létezik olyan B bázisa, amely részhalmazként tartalmazza H1 (F ; Z) bázisát, és Fb Seifert-mátrixa a B bázisban 0
M
··· 0 ···
∗ .. .
0 .. .
0 1
∗
∗ 0 0 0 0 0
vagy
M
··· 0 ···
0 .. .
0 .. .
0 0 ∗ 0 0 0 1 0
alakú, ahol ∗ ismeretlen egész számot jelöl. Bizonyítás. Hajtsunk végre F -en egy stabilizációt, és vizsgáljuk, hogy az így kapott Fb felület H1 (Fb ; Z) homológiacsoportja milyen kapcsolatban áll H1 (F ; Z)-fel. Egy cső hozzáadásával H1 (F ; Z) rangja kettővel nő, és ezen generátorokat a cső m meridiánja, valamint egy l longitúdó reprezentálják (3.1). Tegyük fel, hogy a cső külseje a felület pozitív oldalán van. Láthatjuk, hogy lk(m, l+ ) = 0, lk(m, m+ ) = 0 és lk(l, m+ ) = 1. Fontos észrevétel, hogy l oly módon is megválasztható, hogy lk(l, l+ ) = 0 teljesüljön. Valóban, amennyiben lk(l, l+ ) = λ 6= 0, akkor l-et cseréljük le (l − λm)-re. Ekkor az lk leképezés bilineáris volta 40
és a kiemelés tulajdonságai alapján
lk (l − λm), (l − λm)+ = lk(l, l+ ) − λ lk(m, l+ ) − λ lk(l, m+ ) + lk(m, m+ ) = = lk(l, l+ ) − λ = 0. Tekintsük most H1 (F ; Z) egy (a1 , . . . , an ) bázisát. Ekkor (a1 , . . . , an , l, m) a H1 (Fb ; Z) csoport egy bázisát adja. A 3.1. ábra alapján világos, hogy lk(ai , m+ ) = lk(m, a+ i ) = 0 minden i = 1, . . . , n esetén. Az F -hez hozzáadott cső általános esetben csomózódhat, vagy a felület más részeivel, illetve fogantyúival hurkolódhat, ezért az lk(l, a+ i ), valamint b lk(ai , l+ ) értékek tetszőlegesek lehetnek. Legyen lk(l, a+ i ) = λi . Ezen jelölések mellett F
M -ből nyert Seifert-mátrixának alakja: ··· a+ 1
+ a+ m+ n l ∗ 0 .. .. . . ∗ 0 λn 0 1 0 0 0
a1 .. .
M an l λ1 · · · m 0 ···
(3.1)
A korábban látott trükk segítségével a H1 (Fb ) bázisát megváltoztathatjuk úgy, hogy mindegyik λi (i = 1, . . . , n) értéke nulla legyen. Ehhez cseréjük le ai -t bi = (ai −λi m)-re. Ekkor a (3.1) táblázatban szereplő hurkolódási számok a következőképpen változnak: + + + lk(l, b+ i ) = lk(l, (ai − λi m) ) = lk(l, ai ) − λi lk(l, m ) = 0.
Ugyanúgy, ahogy azt a bizonyítás elején meggondoltuk, most is teljesül, hogy lk(bi , m+ ) = = lk(m, b+ i ) = 0. Ezenfelül az is igaz, hogy
lk bi , b+ = lk (ai − λi m), (aj − λj m)+ = j
+ + + = lk ai , a+ − λi lk(m, a+ j j ) − λj lk(ai , m ) + λi λj lk(m, m ) = lk ai , aj .
Ez utóbbi eredményt másképp is meggondolhatjuk. Ha az m meridiánt végigcsúsztatjuk a hozzátartozó csövön, akkor úgy is gondolhatunk m-re, mint egy F -beli hurokra. De m az F felületen egy diszket határol, így a H1 (F ; Z) homológiacsoport nullelemét reprezentálja. Ez pedig azt jelenti, hogy ai és bi F -ben homológ görbék, emiatt az ai 7→ bi , (i = = 1, . . . , n) bázistranszformáció nem változtatja meg M elemeit. A megnövelt mátrixot így olyan alakra hoztuk, amely a lemma kimondásában a bal oldalon szerepel. Teljesen hasonlóan láthatjuk, hogy ha a cső külseje a felület negatív oldalán van, akkor a bizonyítás lépéseit elvégezve a másik alakot kapjuk. 3.1.4. Definíció (S-ekvivalencia mátrixokon). Az M1 és M2 mátrixokat S-ekvivalensnek nevezzük, ha M1 -ből véges sok növelési/csökkentési operáció segítségével, majd egy megfelelő M 7→ P > M P alakú leképezés alkalmazásával (ahol a P négyzetes mátrix Z felett invertálható) az M2 mátrixot kapjuk. 41
3.1. ábra. Egy cső hozzáadásával H1 (F ; Z) rangja kettővel nő. [Cromwell, 2004] 6.2. ábrája alapján.
A fejezet eddigi eredményeit a következő 3.1.5. Tételben foglaljuk össze: 3.1.5. Tétel. Ha két felület S-ekvivalens, akkor Seifert-mátrixaik is S-ekvivalensek. 3.1.6. Következmény. Bármely olyan tulajdonság, amelyet egy lánc Seifert-felületének Seifert-mátrixa segítségével definiálunk és invariáns az S-ekvivalenciával szemben, egy lánc-invariáns.
3.1.1. Determináns és szignatúra2 Itt és a továbbiakban – ha másképp nem jelezzük – minden Seifert-felületről feltesszük, hogy összefüggő. 3.1.7. Definíció (lánc determinánsa). Egy L lánc determinánsán az M + M > négyzetes mátrix determinánsának abszolút értékét értjük, ahol M az L lánc tetszőleges Seifertmátrixa. Jelölése: det (L). 3.1.8. Definíció (lánc szignatúrája). Egy L lánc szignatúráján az M + M > négyzetes mátrix szignatúráját értjük, ahol M az L lánc tetszőleges Seifert-mátrixa. Jelölése: σ(L).
3.1.9. Tétel. Legyen M egy olyan Seifert-mátrix, amely egy L lánc Σ Seifert-felületéből származtatható. Ekkor | det(M + M > )|, illetve M + M > szignatúrája csak L-től függenek, így lánc-invariánsok. Bizonyítás. Azt kell leellenőriznünk, hogy a determináns és szignatúra megőrződnek, ha bázistranszformációt hajtunk végre, vagy ha az M mátrixhoz tartozó Seifert-felületet stabilizáljuk. A nevezetes Sylvester-féle tehetetlenségi tétel következménye, hogy bázistranszformáció során a szignatúra nem változik. Tekintsünk most egy P áttérési mátrixot, 2
[Cromwell, 2004] 6.6. és 6.7. fejezetei alapján.
42
amely Z felett invertálható, így det(P ) = ±1. Ez alapján:
det(P > M P + (P > M P )> ) = det P > (M + M > )P = = det(P > ) det(M + M > ) det(P ) = det(M + M > ). c Seifert-mátrixot, amely egy olyan felülethez tartozik, amelyet Tekintsük most azt az M c -et az M -ből egy növelési operáció F stabilizálásával nyerünk (azt is mondjuk, hogy M c a következő alakú: végrehajtásával kapjuk). M
∗1 0 .. .. . . ∗n 0 0 1 1 0
M + M> ∗1 · · · 0 ···
∗n 0
c (szimmetrikus) mátrix determinánsát kifejtjük, akkor egy nem-nulla kifejtési Ha az M
tag képzésekor az utolsó sorból, illetve oszlopból is az 1-et kell kiválasztanunk, ezért a determinánsban a nem-nulla tagok mindegyikéből kiemelhető a bal alsó 2 × 2-es blokk determinánsa, amely −1-gyel egyenlő. Ami visszamarad az megegyezik det(M + M > ) érc mátrix determinánsának abszolút értéke) tehát tékével. A lánc determinánsa (amely az M c szignatúrájának kiszámításához vegyük észre, hogy a ∗ -k kinullázhanem változik. M i
tók alkalmas bázistranszformáció segítségével. (Alkalmazzuk a lineáris algebrából ismert szimmetrikus Gauss-eliminációt [Freud, 1996, pp. 206–207.] : egy lépés során az utolsó sor ∗i -szeresét levonjuk az i-edik sorból, rögtön utána pedig az utolsó oszlop ∗i -szeresét c blokk-diagonális alaklevonjuk az i-edik oszlopból. Ezáltal ∗i -t kinulláztuk.) Ezért M
ra hozható. Tudjuk, hogy blokk-diagonális mátrix szignatúrája a blokkok szignatúráinak összege. Mivel a jobb alsó 2×2-es blokk szignatúrája 0 (hiszen karakterisztikus polinomja x2 − 1, amelyből adódóan sajátértékei: ±1), ezért a szignatúra valóban invariáns a növelési operációkkal szemben. Ezzel beláttuk, hogy a determináns (3.1.7. Definíció), illetve a szignatúra (3.1.8. Definíció) valóban lánc-invariánsok. 3.1.10. Definíció (algebrai metszési szám). Legyenek a, b ⊂ F olyan hurkok, amelyek transzverzálisan metszik egymást. Ekkor τ (a, b) jelöli az a, b hurkok (algebrai) metszési számát, amelyet úgy kapunk, hogy tekintjük az a ∩ b halmaz pontjainak előjeles összegét, ahol az egyes metszéspontok előjelét a 3.2. ábra alapján definiáljuk. (Definíció szerint τ (x, x) = 0 minden x ⊂ F hurok esetén.) A Seifert-formához (3.1.1. Definíció) hasonlóan az algebrai metszési számból is természetes módon származtatható egy bilineáris függvény, amely H1 (F ; Z)-n értelmezett: τ : H1 (F ; Z) × H1 (F ; Z) → Z (a, b) 7→ τ (a, b). 43
3.2. ábra. Az a és b görbék (algebrai) metszési száma: τ (a, b). Könnyen látható, hogy ez tényleg bilineáris függvényt definiál, amely ráadásul antiszimmetrikus: τ (a, b) = −τ (b, a). Gondoljuk meg, hogy a Seifert-mátrixszal ellentétben τ mátrixa (miután H1 (F ; Z) egy bázisát lerögzítettük) az F felület R3 -ba történő beágyazására nézve invariáns! Tekintsünk ugyanis egy F 0 felületet, amely F -fel homeomorf, de nem feltétlenül beágyazottan izotóp vele. Egy F → F 0 irányítástartó diffeomorfizmus a felületi hurkok metszéspontjait azonos előjelű metszéspontokba viszi, sőt pontosan a metszéspontokat viszi metszéspontokba. Ezért valahányszor szükségünk van arra, hogy adott F felület és H1 (F ; Z) rögzített bázisa esetén τ mátrixát kiszámítsuk, tekinthetjük F sztenderd beágyazását R3 -ba (3.3. ábra), ami sokszor jelentősen egyszerűsíti a számolást.
3.3. ábra. g génuszú, peremes F felület H1 (F ; Z) egy bázisát reprezentáló αi hurkokkal. A most következő 3.1.11. és 3.1.12. Lemmák, valamint a 3.1.13. Tétel bizonyításához néhány ötletet a [Przytycki, 2011, pp. 285–290.] cikkből vettünk át. 3.1.11. Lemma. Legyen F kétdimenziós, irányítható, nem feltétlenül peremes, kompakt felület. Jelölje most det(τ ) a τ bilineáris függvény mátrixának determinánsát. (Ez jóldefiniált, hiszen az előzőek alapján det(τ ) értéke a beágyazástól, valamint a bázis megválasztásától is független.) Ekkor det(τ ) =
1,
ha |∂F | = 0, 1,
0,
ha |∂F | > 1.
Bizonyítás. Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor F határkomponenseinek száma egynél több. Legyen ∂1 ∈ ∂F az egyik komponens. Ekkor ∂1 olyan nem-nulla báziselemet reprezentál H1 (F ; Z)-ben (alkalmas bázist választva), amely semelyik (további) báziselemet nem metszi. Emiatt τ mátrixa szinguláris, így det(τ ) = 0. 44
Legyen most F olyan felület, hogy |∂F | = 0 vagy 1. Mivel egy homeomorfizmus megőrzi a felületi hurkok metszéspontjait, ezért feltehető, hogy F a sztenderd alakban adott és az (α1 , α2 , . . . , α2g ) bázis megválasztása is kanonikus (3.3. ábra). Az ábráról leolvasható, hogy τ mátrixa A = (τ (αi , αj ))i,j az alábbi blokk-diagonális alakot ölti: 0 −1 1 0
A=
...
0 1
. −1
0
Ebből pedig a determinánsok szorzástétele miatt azonnal adódik, hogy det(τ )=1, hiszen már egyetlen
0 −1 1 0
blokk determinánsa is 1.
3.1.12. Lemma. Legyen Σ egy lánc Seifert-felülete és legyenek a, b ⊂ Σ hurkok. Ekkor τ (a, b) = lk(a, b+ ) − lk(b, a+ ) teljesül. Bizonyítás. A hurkolódási szám definíciójának közvetlen következménye, hogy ha J és K irányított csomók, és egyetlen J ∩ K-beli kereszteződést átfordítunk, akkor lk(J, K) értéke ±1-gyel változik. Diagramszerűen felírva !
lk
!
− lk
= 1.
Ha tehát J és K esetleg metsző csomók, akkor a (J, K + ) pár a (J, K − ) párba vihető a J ∩ ∩ K-beli metszéspontokból származó kereszteződések átfordításával. Továbbá konvenció, ! hogy sgn
= 1 (ahol J az első, K pedig a második csomó). Mindezekből – a
kiemelés és a hurkolódási szám tulajdonságait felhasználva – adódik, hogy lk(J, K + ) − lk(K, J + ) = lk(J, K + ) − lk(J + , K) = = lk(J, K + ) − lk(J, K − ) =
X
def
sgn(p) = τ (J, K).
p∈J∩K
3.1.13. Tétel. Legyen M egy Σ felület Seifert-mátrixa. Ekkor 1,
ha |∂Σ| = 1, det(M − M > ) = 0, ha |∂Σ| > 1.
Bizonyítás. Válasszunk egy bázist H1 (Σ; Z)-ban a 3.3. ábrán látható módon.
M = lk(αi , αj+ )
i,j
és M > = lk(αj , αi+ ) =
i,j
= lk(αi+ , αj )
i,j
lk(αi , αj− ) . i,j
Ez alapján (M −M > )i,j = lk(αi , αj+ )−lk(αj , αi+ ) = τ (αi , αj ). Innen a tétel állítása azonnal adódik, hiszen a 3.1.11. Lemma alkalmazható det(τ ) = det(M − M > ) kiszámítására. 45
3.1.14. Tétel. Ha K egy csomó, akkor det(K) páratlan, valamint σ(K) páros. Bizonyítás. Legyen Σ a K csomó egy Seifert-felülete és legyen M egy Σ-ból származtatott Seifert-mátrix. A 3.1.13. Tétel szerint det(M − M > ) = 1. Modulo 2 számolva M + M > = = M − M > , így det(K) ≡ 1 mod 2. Mivel det(K) 6= 0, ezért az M + M > szimmetrikus mátrixot diagonalizálva a főátlóban nem lesznek nullák. Továbbá, mivel K csomó, ezért M ∈ Z2g(Σ)×2g(Σ) , így ismét mod 2 számolva azt kapjuk, hogy a főátlóbeli elemek összege 2g(Σ) ≡ 0, tehát σ(K) páros. 3.1.15. Definíció (lánc fordítottja, tükörképe, akirális lánc). Legyen L irányított lánc. Ekkor −L-lel jelöljük és az L lánc fordítottjának nevezzük azt a láncot, amelyet úgy kapunk, hogy L irányítását megfordítjuk. Továbbá, L∗ jelöli az L lánc tükörképét, amelyet L-ből az r : R3 → R3 , r(x) = −x origóra való tükrözéssel (ami egy irányításváltó homeomorfizmus) kapunk. Végül egy L láncról azt mondjuk, hogy akirális, ha L és L∗ ekvivalens láncok. 3.1.16. Tétel. Tetszőleges L láncra (1) det(−L) = det(L) = det(L∗ ), (2) σ(−L) = σ(L), (3) σ(L∗ ) = −σ(L). Bizonyítás. Legyen D az L lánc egy diagramja és tekintsük a D-ből nyert projekciófelületet, Σ-t. Legyen M egy Σ-ból származtatott Seifert-mátrix. Ha L irányítását megfordítjuk (azaz minden komponens irányítását megfordítjuk), akkor Σ csak annyiban változik, hogy pozitív és negatív oldalai kicserélődnek, M pedig a transzponáltjába megy át. Ily módon M + M > változatlan marad, vagyis det(−L) = det(M + M > ) = det(L), továbbá σ(−L) = σ(M + M > ) = σ(L). Mivel L∗ az L lánc tükörképe, így L∗ egy Σ∗ Seifert-felületét megkaphatjuk Σ tükrözésével. Ekkor az M kiszámításánál fellépő összes hurkolódási szám az ellentettjére változik, így a Σ∗ -ból származtatott M ∗ Seifert-mátrixra M ∗ = −M teljesül. Ebből következik,
hogy det(L∗ ) = det (−M ) + (−M )> = − det(M + M > ) = det(L). Ugyanakkor az is
egyértelmű, hogy a szignatúra előjelet vált, vagyis σ(L∗ ) = −σ(L). 3.1.17. Következmény. Bármely akirális lánc szignatúrája 0. 3.1.18. Következmény. A háromlevelű csomó jobbkezes és balkezes változatai (amelyek egymás tükörképei) egymással nem ekvivalensek.
46
Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy a 31 háromlevelű csomó szignatúrája nem nulla, így a 3.1.17. Következmény szerint nem lehet akirális. A szignatúra kiszámításához tekintsük a csomó egy Σ Seifert-felületét és rajzoljunk fel a felületre két α és β hurkot, amelyek a H1 (Σ; Z) csoport generátorait reprezentálják (3.4. ábra). Ez azért jogos, mert egy háromszögelést tekintve egyszerűen kiszámíthatjuk, hogy χ(Σ) = 1, ahonnan – 2.4.1. Példa során már említett χ(Σ) = 2 − 2g − b(Σ) összefüggés alapján – adódik, hogy g = 1, így (mivel b = 1) a H1 (Σ; Z) homológiacsoport rangja 2, sőt Z ⊕ Z-vel izomorf.
3.4. ábra. A háromlevelű csomó egy Seifert-felülete. Most felírjuk a felülethez tartozó M Seifert-mátrixot. Ehhez az lk(α, α+ ), lk(α, β + ), lk(β, α+ ) és lk(β, β + ) hurkolódási számokat kell meghatároznunk. Ezen értékek a 3.4. ábráról is leolvashatók, de a könnyebb áttekinthetőség végett az egyes párokat különkülön lerajzoltuk a 3.5. ábrán.
3.5. ábra. A H1 (Σ; Z) báziselemeit reprezentáló görbék Seifert-párosítása. 47
A 3.5. ábra alapján a Σ-hoz tartozó M Seifert-mátrix: !
!
lk(α, α+ ) lk(α, β + ) −1 0 M= = . + + lk(β, α ) lk(β, β ) −1 −1 Ez alapján !
−2 −1 M +M = , −1 −2 >
ahonnan det(31 ) = |4 − 1| = 3. Az M + M > mátrix karakterisztikus polinomja (2 + x)2 − − 1 = (x + 1)(x + 3), amelynek két negatív gyöke van (−1 és −3), ezért σ(31 ) = −2. Emiatt 31 nem lehet akirális csomó. Megjegyzés. A 3.1.18. Következmény szerint valójában két háromlevelű csomó van, tehát pontatlan, ha „a” háromlevelű csomóról beszélünk. Jelöljük ezért a fenti bizonyításban szereplő háromlevelű csomót 31 -gyel, tükörképét pedig a 3.1.15. Definíció szerint 3∗1 -gyel. 3.1.19. Definíció (széteső lánc). Legyen L lánc. Tegyük fel, hogy létezik olyan, a lánc R3 \ L komplementumába beágyazott S gömbfelület, amelynek mindkét oldalán vannak L-nek komponensei, továbbá jelölje R3 \S két összefüggőségi komponensét U1 és U2 . Ekkor – az Li = L ∩ Ui (i = 1,2) jelöléseket bevezetve – azt mondjuk, hogy az L = L1 t L2 lánc széteső. Az L1 és L2 láncokat az L lánc széteső komponenseinek nevezzük. 3.1.20. Tétel. Legyen L = L1 t L2 széteső lánc (split link). Ekkor (1) det(L) = 0, (2) σ(L) = σ(L1 ) + σ(L2 ). Bizonyítás. Legyen Σi az Li Seifert-felülete és Mi megfelelő Seifert-mátrix (i = 1,2). Az L lánc egy Σ Seifert-felületét – kihasználva, hogy a lánc szétesik – megkaphatjuk oly módon, hogy a Σ1 és Σ2 felületeket egy csővel összekötjük (figyelve arra, hogy a cső mindkét felület megfelelő oldalához csatlakozzon). Ezután H1 (Σ; Z) egy bázisát úgy kaphatjuk, hogy tekintjük H1 (Σ1 ; Z) és H1 (Σ2 ; Z) bázisainak unióját és ehhez még – utolsó báziselemként – hozzávesszük a felületeket összekötő cső m meridiánját. Mivel lk(aj , m+ ) = lk(m, a+ j +) = 0 bármely olyan aj esetén, amely H1 (Σi ; Z) tetszőleges báziselemét reprezentálja, ezért M alakja
M1 0 0 M2 0 0 , 0 0 0 amiről azonnal leolvasható a tétel mindkét állítása.
48
3.1.21. Definíció (összefüggő összeg). Legyen S egy olyan kétdimenziós, R3 -ba beágyazott gömbfelület, amely az L láncot pontosan két pontban transzverzálisan metszi, azaz |L ∩ S| = 2. Legyenek továbbá U1 és U2 az R3 \ S halmaz összefüggőségi komponensei, és tekintsük S-nek egy nyílt tubuláris környezetét (jelöljük V -vel). Ekkor ∂V az L láncot négy pontban metszi, legyenek ezek r1 , s1 ∈ U1 és r2 , s2 ∈ U2 . Vegyünk egy olyan egyszerű αi ⊂ (∂V ∩Ui ) ívet, amely összeköti az ri és si pontokat (i = 1,2). Definiáljuk a következő láncokat: def
Li = (L ∩ (Ui \ V )) ∪ αi
(i = 1,2).
Ekkor azt mondjuk, hogy az L lánc az L1 és L2 láncok összefüggő összege, amit L = = L1 #L2 -vel jelölünk. 3.1.22. Tétel. Tegyük fel, hogy L = L1 #L2 . Ekkor (1) det(L) = det(L1 ) det(L2 ), (2) σ(L) = σ(L1 ) + σ(L2 ). Bizonyítás. Legyen Σi az Li Seifert-felülete és Mi megfelelő Seifert-mátrix (i = 1,2). Az L lánc egy Σ Seifert-felületét megkaphatjuk egy R téglalapszerű körlemez hozzáadásával úgy, hogy R ∩ Σi = ∂R ∩ ∂Σi = γi egyetlen ív (i = 1,2), valamint γ1 és γ2 az R téglalap ellentétes oldalai. Ezután H1 (Σ1 ; Z) és H1 (Σ2 ; Z) bázisainak unióját véve H1 (Σ; Z) egy bázisát kapjuk, amelyben a Σ felület M Seifert-mátrixát felírva M1 0 M= 0 M2
!
adódik, amelyről ugyancsak leolvasható mindkét bizonyítandó állítás.
3.1.2. Az Alexander-polinom I.3 3.1.23. Definíció (Alexander-polinom, 1. definíció). Egy irányított L lánc (szimmetrizált) Alexander-polinomja ∆SL (t) = det(t1/2 M − t−1/2 M > ), ahol M az L lánc tetszőleges Seifert-mátrixa. ∆SL (t) ∈ Z[t1/2 , t−1/2 ] egy Laurent-polinom. (A ∆S (L) jelölés is használatos.) Megjegyzés. Ha Σ = D2 (és ezáltal L = ∂Σ a triviális csomó), akkor a ∆SL (t) = 1 konvenciót használjuk. Ez összhangban van azzal, hogy az üres mátrix determinánsa 1. Megjegyzés. A ∆SL (t) jelölésben a felső indexbeli „S” a Seifert-formával történő definícióra utal. A későbbiekben két további, a most bemutatásra kerülőtől alapvetően eltérő 3
[Cromwell, 2004] 7.1., 7.2. és 7.3. fejezetei alapján.
49
V konstrukciót is vizsgálunk, ahol a kapott polinomokat ∆K L (t) és ∆L (t) jelöli (utalva a
Kauffman-állapotokra, valamint a végtelen ciklikus fedésre). A dolgozatunkban bemutatott egyik legfontosabb eredmény éppen az, hogy megmutatjuk: a konstrukciók mind ekvivalensek. Ezek után az Alexander-polinom felső indexében található megkülönböztető jelzést elhagyjuk. 3.1.24. Tétel. Legyen M egy Seifert-mátrix, amely egy L lánc Σ Seifert-felületéből származtatható. Ekkor ∆SL (t) = det(t1/2 M − t−1/2 M > ) egy lánc-invariáns. Bizonyítás. Hogy belássuk, ∆SL (t) független Σ, illetve H1 (Σ; Z) bázisának megválasztásától, le kell ellenőriznünk, hogy invariáns a bázistranszformációra, valamint a felület stabilizációjára nézve. Először végrehajtunk egy bázistranszformációt, amelynek áttérési mátrixa legyen P .
det t1/2 P > M P − t−1/2 (P > M P )> = det P > (t−1/2 M − t−1/2 M > )P = = det(P > ) det(t1/2 M − t−1/2 M > ) det(P ) = det(t1/2 M − t−1/2 M > ). A 3.1.3. Tétel alapján a stabilizált felülethez tartozó megnövelt mátrix alakja 1/2 t M ∗
0
− t−1/2 M > ··· ···
∗ .. . ∗ 0
∗ 0
−t−1/2
0 .. .
. 0
t1/2 0
Mivel az egyetlen nem-nulla elem az alsó sorban −t−1/2 , az utolsó oszlopban pedig t1/2 , ezért a determinánst kifejtve a nem-nulla tagok mindegyikéből kiemelhető a bal alsó 2×2es blokk determinánsa, amely 1-gyel egyenlő. Ami visszamarad az megegyezik det(t1/2 M − − t−1/2 M > ) értékével. Ezzel beláttuk, hogy az Alexander-polinom tényleg lánc-invariáns.
3.1.25. Tétel. Ha L egy µ komponensből álló lánc, akkor (1) fL (−t1/2 ) = (−1)µ−1 fL (t1/2 ), ahol most fL (t1/2 ) = ∆SL (t), (2) ∆SL (t−1 ) = (−1)µ−1 ∆SL (t). Bizonyítás. A tétel állításai a determináns következő elemi tulajdonságainak következményei: ha A egy n × n-es négyzetes mátrix, akkor det(−A) = (−1)n det(A) és det(A) = = det(A> ). Ha Σ az L lánc Seifert-felülete és génusza g, akkor a Σ-ból származtatott M Seifert-mátrixnak 2g + µ − 1 sora, illetve ugyanennyi oszlopa van. Legyen A = t1/2 M − − t−1/2 M > . A tétel első, illetve második állítása rendre a bizonyítás legelején megfogalmazott első, illetve második elemi lineáris algebrai összefüggésből adódik. 50
3.1.26. Következmény. Ha K csomó, azaz µ = 1, akkor a ∆SK (t) Alexander-polinom t1/2 -nek páros függvénye és ezért csak t hatványai jelennek meg benne. Másképp megfogalmazva: ∆SK (t) ∈ Z[t, t−1 ]. Továbbá az is igaz, hogy ∆SK (t−1 ) = ∆SK (t), ami azt jelenti, hogy a polinom együtthatói szimmetrikusak. A lánc determinánsára vonatkozó eddigi eredmények mindenfajta nehézség nélkül átvihetők az Alexander-polinomra is. Ezeket a következő tételben foglaljuk össze. 3.1.27. Tétel. Az Alexander-polinom rendelkezik a következő tulajdonságokkal (1) Ha L lánc, akkor |∆SL (−1)| = det(L). (2) Ha K egy csomó, akkor ∆SK (1) = 1 (3) Ha L olyan lánc, amely komponenseinek száma egynél több, akkor ∆SL (1) = 0. (4) Ha L lánc, akkor ∆S (−L) = ∆(L) = ∆S (L∗ ). (5) Ha L1 t L2 széteső lánc, akkor ∆S (L1 t L2 ) = 0. (6) Ha L = L1 #L2 , akkor ∆S (L1 #L2 ) = ∆S (L1 )∆S (L2 ). Bizonyítás. Az (1) állítás a definíciók azonnali következménye. A (2) és (3) állítások a 3.1.13. Tételből következnek. Végül a (4), (5) és (6) állítások bizonyításai lényegében megegyeznek rendre a 3.1.16., a 3.1.20. és a 3.1.22. Tételek levezetéseivel. 3.1.28. Definíció (szélesség). Egy P (x) Laurent-polinom szélességén a kifejezésben előforduló legmagasabb és legalacsonyabb fokszámok különbségének abszolút értékét értjük. Jelölése: b(P ). 3.1.29. Definíció (lánc génusza). Egy L lánc génuszán (jelölése: g(L)) az őt kifeszítő Seifert-felületek génuszainak minimumát értjük. Képletszerűen: def
g(L) = min {g(Σ) | Σ Seifert-felülete L-nek}
3.1.30. Tétel. Ha L egy nem széteső, µ komponensből álló lánc, akkor fennáll az alábbi egyenlőtlenség: 2g(L) + µ(L) − 1 ≥ b(∆L ), ahol g(L) a lánc génuszát jelöli.
51
Bizonyítás. Legyen Σ egy összefüggő, minimális génuszú Seifert-felület, amelynek határa L és vezessük be az r = 2g + µ − 1 jelölést. H1 (Σ; Z) bázisának elemszáma r, így egy Σ-ból származó Seifert-mátrix mérete r × r. Emiatt a ∆SL (t)-ben előforduló legnagyobb fokszám r/2, a legkisebb pedig −r/2. Emiatt b(∆SL ) ≤ r. Ezt felhasználva: 2g(Σ) = 2 − χ(Σ) − µ(L) = r − µ(L) + 1 ≥ b(∆SL (t)) − µ(L) + 1, amit átrendezve a bizonyítandó állítást kapjuk.
3.1.3. A bogozási reláció I. A következő tétel több szempontból is rendkívül fontos. Egyrészt a 3.1.31. Tétel segítségével bizonyítjuk később, hogy ∆SL (t) = ∆K L (t) (3.2.8. Következmény), másrészt a Tétel által az Alexander-polinom kiszámítására a gyakorlatban is használható rekurzív eljárást kapunk (3.4.3. szakasz). 3.1.31. Tétel (bogozási reláció). Ha L+ , L− és L0 három olyan lánc, amelyek D+ , D− és D0 diagramjai csak egy kis környezeten belül különböznek egymástól, mégpedig a 3.6. ábrán látható módon, akkor teljesül, hogy ∆S (L+ ) − ∆S (L− ) = (t−1/2 − t1/2 )∆S (L0 ).
(3.2)
3.6. ábra
Bizonyítás. Legyenek Σ+ , Σ− és Σ0 azok a projekció-felületek, amelyeket rendre az L lánc D+ , D− és D0 diagramjaiból kapunk. Legyen továbbá M0 a Σ0 -hoz tartozó Seifert-mátrix. Az alábbiakban sorra vesszük a lehetséges eseteket. Ha a D+ diagram nem összefüggő4 , akkor D− és D0 sem lehet az. Ebből adódóan az L+ , L− és L0 láncok szétesnek és így a 3.1.27. Tétel (5) állítása alapján következik a (3.2) egyenlőség. Hasonlóképp járhatunk el, ha a D− diagram nem összefüggő. 4
Ez úgy értendő, hogy a vetület, amelyből a diagramot nyerjük, nem összefüggő.
52
Tegyük most fel, hogy D0 nem összefüggő, de a D+ és D− diagramok azok. Vegyük észre, hogy ekkor L0 széteső lánc, továbbá L+ és L− ekvivalensek. Ennek meggondolásához tekintsük a 3.7. ábrát, amelynek bal oldalán L+ diagramja látható, középen a kitüntetett kereszteződéssel. Ha most L+ diagramjának jobb oldali részét egyszer megforgatjuk úgy, hogy a középső kereszteződés előjele negatív legyen, akkor pont L− diagramját kapjuk. Mivel a most tekintett megforgatás beágyazott izotópia, ezért L+ és L− valóban ekvivalensek.
3.7. ábra. Beágyazott izotópia az L+ és L− láncok között. Az egyetlen hátralévő esetben a D+ , D− és D0 diagramok mind összefüggők. Legyen {a1 , . . . , an } bázisa H1 (Σ0 ; Z)-nak. Minden egyes ai hurok a Σ+ és Σ− felületekben is benne van. Ezért H1 (Σ+ ; Z) bázisát kapjuk oly módon, ha az ai hurkokhoz hozzáveszünk egyetlen b hurkot, amely pontosan egyszer halad át a kitüntetett kereszteződésnek megfelelő megcsavart szalagon, és a felület másik részén tér vissza a kiindulási pontba (ez azért lehetséges, mert feltettük, hogy D0 is összefüggő). Ekkor a Σ+ felület M+ Seifertmátrixának alakja a következő: a+ ··· 1 M0
+ a+ n b ν1 .. .
an b λ1 · · ·
νn β
a1 .. .
λn
(3.3)
Világos, hogy {a1 , . . . , an , b} rendszer H1 (Σ− ; Z)-nek is bázisa. Az M− Seifert-mátrix felírásakor csupán a (3.3) táblázat jobb alsó sarkában található lk (b, b+ ) hurkolódási szám értéke változik: β helyett β + 1. Fejtsük most ki a det(t1/2 M+ − t−1/2 M+> ) és det(t1/2 M− − t−1/2 M−> ) determinánsokat utolsó oszlopuk szerint, majd vonjuk ki őket egymásból. Szinte minden kiesik; ami megmarad:
∆S (L+ ) − ∆S (L− ) = β(t1/2 − t−1/2 ) det t1/2 M0 − t−1/2 M0> −
− (β + 1)(t1/2 − t−1/2 ) det t1/2 M0 − t−1/2 M0> =
= −(t1/2 − t−1/2 ) det t1/2 M0 − t−1/2 M0> =
= (t−1/2 − t1/2 ) det t1/2 M0 − t−1/2 M0> = (t−1/2 − t1/2 )∆S (L0 ), és pont ezt szerettük volna belátni. 53
3.2. Kauffman-állapotok Az előzőek során látottak szerint, ha egy lánc Alexander-polinomját szeretnénk kiszámítani, először el kell készítenünk a láncnak egy Seifert-felületét (például a Seifertalgoritmus segítségével), majd meg kell adnunk a felület egy Seifert-mátrixát, amely általában egyáltalán nem könnyű feladat. Végül egy determináns értékét is meg kell határoznunk. Az alábbiakban egy olyan – Louis H. Kauffman által kidolgozott [Kauffman, 1983] és [Kauffman, 1987, 132–147.] – konstrukciót mutatunk be, amelynek segítségével lényegesen könnyebben és gyorsabban kiszámíthatjuk egy L lánc Alexander-polinomját puszán annak D diagramja alapján. A [Stipsicz, 2010] egyetemi jegyzet felépítését követjük. Az egyszerűség kedvéért először csomókra szorítkozunk. Legyen K ⊂ S 3 csomó és tekintsük K-nak egy D diagramját. Jelölje Cr(D) a diagram kereszteződéseinek halmazát, Dom(D) pedig a tartományok halmazát (ahol tartomány alatt a vetület komplementumának egy komponensét értjük). Jelöljük meg a diagram egyik ívét egy × jellel, és tekintsük azokat a tartományok Dom0 (D) halmazát, amelyek nem tartalmazzák a határukon az ×-szel megjelölt ívet. 3.2.1. Állítás. A Cr(D) és Dom0 (D) halmazok számossága megegyezik. def
Bizonyítás. Legyen c = | Cr(D)| a kereszteződések száma. Ekkor az ívek száma 2c, hiszen minden kereszteződésből négy ív indul ki, de minden ívet két kereszteződésnél számolunk. def
Legyen d = | Dom(D)| és alkalmazzuk Euler poliéder-tételét: c+d = 2c+2. Innen c = d− −2 adódik és mivel | Dom0 (D)| = d−2 (hiszen Dom0 (D)-t úgy kapjuk, hogy Dom(D)-ből elhagyjuk azt a két tartományt, amelyek az ×-szel megjelölt ív két oldalán vannak), ezért ez pont a bizonyítandó állítás. 3.2.2. Definíció (Kauffman-állapot). Egy olyan σ : Cr(D) → Dom0 (D) bijekciót, amelyre minden c ∈ Cr(D) esetén c ∈ ∂(σ(c)) teljesül (vagyis σ minden kereszteződéshez egy mellette fekvő tartományt rendel), a D diagram Kauffman-állapotának nevezzük. A D diagram Kauffman-állapotainak halmazát Ks(D) jelöli. 3.2.3. Példa (Egyszerű csomók Kauffman-állapotai.). A háromlevelű csomónak és a nyolcas csomónak három, a nyolcasnak öt Kauffman-állapota van, amelyeket a 3.8. ábrán látható módon kisméretű geometriai szimbólumok segítségével szemléltethetünk. Minden egyes σ ∈ Ks(D) Kauffman-állapothoz két számot rendelhetünk a következő szabály szerint. Egy adott ci kereszteződésnél legyen s(σ(ci )) a σ(ci )-t tartalmazó tartományhoz a 3.9. ábra alapján rendelt érték. d(σ(ci )) értékét analóg módon definiáljuk (3.9. ábra). Mindezek után legyenek def
s(σ) =
X
def
s(σ(ci )) és d(σ) =
ci ∈Cr(D)
X ci ∈Cr(D)
54
d(σ(ci )).
Háromlevelű csomó (31 ).
Nyolcas csomó (41 ). 3.8. ábra
3.9. ábra. Az s és d függvények lokális definíciója.
3.2.1. Az Alexander-polinom II. 3.2.4. Definíció (Alexander-polinom, 2. definíció). Legyen D egy adott K csomó rögzített diagramja. A ∆K K (t) =
X
(−1)d(σ) ts(σ) ∈ Z[t1/2 , t−1/2 ]
(3.4)
σ∈Ks(D)
Laurent-polinomot a K csomó Alexander-polinomjának nevezzük. Megjegyzés. Megjegyezzük, hogy amennyiben K = O a triviális csomó D = S 1 projekcióval, akkor Dom0 (D) = Cr(D) = ∅. Mivel pontosan egy σ : ∅ → ∅ függvény létezik, ezért | Ks(D)| = 1. Emellett s és d definíciójában az összegzések az ∅, mint indexhalmaz felett történnek, ezért s(σ) = d(σ) = 0. Ez pedig azt jelenti, hogy ∆K O = 1. 3.2.5. Tétel. A 3.2.4. Definícióban leírt Alexander-polinom csomó-invariáns, vagyis nem függ a csomó diagramjának, illetve a diagram egyik ívének (× által történő) megválasztásától. Bizonyítás. Azt, hogy ∆K K (t) nem függ a K csomó diagramjának megválasztásától, úgy igazoljuk, hogy megmutatjuk: a polinom nem változik, ha a diagramon Reidemeistermozgásokat végzünk. Tegyük fel először, hogy az ×-szel megjelölt ív nem esik a diagram azon kis részébe, amelyet lokálisan megváltoztatunk. 55
R1. Az első Reidemeister-mozgás esetén a keletkező kis tartomány határán egyetlen kereszteződés van, így bármely Kauffman-állapotnak ezen kereszteződéshez a keletkező tartományt kell hozzárendelnie. Mivel ennek hozzájárulása s és d értékeihez is nulla, ezért az R1 mozgás nem változtat ∆K K (t) értékén (3.10. ábra, bal felső pár). R2. Az ötlet most az, hogy a mozgást követően előálló diagramban a Kauffmanállapotokat két csoportba oszthatjuk attól függően, hogy a mozgás által létrejövő kis bigonon kívüli
szimbólum a bigon függőleges tengelyén (tehát szimmetrikusan, lásd
3.10. ábra; 1/1, 2/1 és 3/1 esetek), vagy pedig attól jobbra/balra (tehát aszimmetrikusan, lásd 3.10. ábra; 1/2, 1/3, 2/2, 2/3 és 3/2, 3/3 esetek) helyezkedik el. Az első típusú állapotok megfelelnek a mozgás előtti diagram állapotainak, és mivel a két kereszteződésben az állapotok értéke nulla, ezért az ilyen állapotok s és d értékei nem változnak. A további állapotok pedig a 3.10. ábrán látható módon párba állíthatók oly módon, hogy az egyes párokon belül az s-értékek megegyeznek, míg a d-értékek paritása különbözik. Ezért ezek a párok (3.4) jobb oldalán álló összegben olyan tagokat eredményezzenek, amelyek kiejtik egymást. Ebből következik, hogy a diagramon végrehajtott R2-mozgás sem változtat a polinom értékén.
56
3.10. ábra. Az R1 és R2 mozgástól való függetlenség.
57
R3. A lokális ábrán ekkor három kereszteződés és hét tartomány szerepel, így közülük négy ‘kívülről’ (vagyis a szóban forgó környezeten kívül eső kereszteződésből) kapja az állapotát. Ezen tartományok elhelyezkedése az illeszkedés szempontjából háromféle lehet: a négy tartomány vagy egymás melletti, vagy három egymás melletti és a negyedik nem érintkezik velük, vagy 2 − 2 megoszlásban érintkeznek (3.11. ábra). Az első esetben a mozgás előtt és után is csak egyféle lehet a Kauffman-állapot a környezeten belüli kereszteződéseknél, és ezek hozzájárulása s-hez és d-hez egyforma. Nagyon hasonló gondolatmenettel látható, hogy a második és harmadik esetekben sem változik s és d. Megjegyezzük, hogy a 2.16. ábrán látható módon most is valójában négy irányított esettel állunk szemben. A 3.11. ábrán az első eset látható. A fennmaradó három esetben a bizonyítás ugyanígy történik.
3.11. ábra. Az R3 mozgástól való függetlenség (1. eset). Mindezeken kívül meg kell vizsgálnunk azt, hogy mi történik, ha a számolás kezdetén egy másik ívet jelölünk meg ×-szel a csomó-diagramon. Belátjuk, hogy az Alexanderpolinom a kitüntetett él megválasztásától sem függ. Ehhez elegendő, ha ×-et „átjuttatjuk” egy kereszteződésen anélkül, hogy a polinom megváltozna. A K csomóra most úgy tekintünk, mint egy S 3 -beli halmazra. Mozgassuk úgy a csomót S 3 -ban, hogy a szóban forgó kereszteződés a végtelen távoli pontba kerüljön (3.12. ábra, bal felső rajz). A nem 58
megjelölt ívet ekkor kétféleképp mozdíthatjuk el a végtelen távoli pontból (3.12. ábra, alsó rajzok). Ezután az egyiken Reidemeister-mozgásokat végezve K-nak olyan diagramját kapjuk, amelyen az × szimbólum a kereszteződés „túloldalán” van (3.12. jobb felső rajz). Mivel csak olyan lépéseket hajtottunk végre, amelyekről már tudjuk, hogy az Alexanderpolinomot megőrzik, ezzel beláttuk az ív kijelölésétől való függetlenséget is.
3.12. ábra. Az × jel „átvitele” egy kereszteződésen. Utolsó lépésként, ha × a végrehajtani kívánt Reidemeister-mozgás környezetében van, először az előzőek szerint ×-et a mozgásban érintett környezeten kívül visszük, ezután elvégezzük a tervezett R-mozgást, majd visszavisszük ×-et arra az ívre, amelyen eredetileg is volt. Ezzel beláttuk, hogy ∆K K csomó-invariáns.
3.2.2. A bogozási reláció II. Szeretnénk kiterjeszteni az Alexander-polinom 3.2.4. Definícióját több komponensből álló L láncokra is. Ehhez azonban előkészületekre van szükségünk. Ha L széteső lánc (vagyis olyan, amelynek létezik nem-összefüggő vetülete) D diagrammal, akkor ∆K L legyen azonosan nulla, hiszen ebben az esetben | Dom0 (D)| = 6 | Cr(D)| miatt nem értelmezhetjük a Kauffman-állapotokat. Ha azonban L-nek csak összefüggő vetületei léteznek, akkor ugyanazt a konstrukciót, amit a csomók esetében végeztünk, megismételhetjük most is. Annak ellenőrzése, hogy ∆K L a Reidemeister-mozgásokra nézve invariáns, ugyanúgy végezhető el, mint csomók esetében, sőt ugyanazon komponensen belül ×-et is tetszőleges ívre átvihetjük. Viszont több komponensből álló láncok esetében felmerül a következő kérdés: független-e ∆K L attól, hogy kezdetben ×-et L mely komponensére tesszük? A vá59
lasz szerencsére az, hogy független. A bizonyítás azon a fontos tényen múlik, hogy ∆K L is teljesíti a bogozási relációt, amelyet a 3.1.31. Tételben már megismerhettünk. 3.2.6. Tétel (bogozási reláció). Ha L+ , L− és L0 három olyan lánc, amelyek D+ , D− és D0 diagramjai csak egy kis környezeten belül különböznek egymástól, mégpedig a 3.6. ábrán látható módon, akkor teljesül, hogy ∆K (L+ ) − ∆K (L− ) = (t−1/2 − t1/2 )∆K (L0 ).
(3.5)
Bizonyítás. A 3.1.31. Tétel bizonyításában szereplő eseteket kell most is megvizsgálnunk. Tegyük fel először, hogy L0 -nak van nem-összefüggő D0 diagramja. Ha D+ szintén ilyen, akkor D− sem lehet összefüggő, ezért (3.5) mindkét oldala eltűnik, így az egyenlőség fennáll. Ha most feltesszük, hogy D+ összefüggő (de D0 továbbra sem az), akkor D− is összefüggő és a 3.7. ábra alapján könnyen látható, hogy L+ és L− beágyazottan izotópak, amiből következik, hogy ∆K (L+ ) = ∆K (L− ), ezért ugyancsak azonosságot kapunk. Tegyük fel most, hogy L0 minden diagramja összefüggő (könnyen látható, hogy ekkor L+ és L− minden diagramja is szükségképpen ilyen). Tekintsük L0 -nak egy adott D0 diagramját. Vegyük ezen diagramnak egy σ Kauffman-állapotát. Ez természetes módon, sőt egyértelműen kiterjeszthető D+ , illetve D− egy Kauffman-állapotává. Ekkor ugyanis a szaggatott szakaszt tartalmazó tartományban a σ Kauffman-állapot a tartománynak vagy a szakasz feletti, vagy pedig a szakasz alatti egyik kereszteződésénél van D0 -ban (3.13. ábra). Emiatt D+ -ban és D− -ban egyetlen választási lehetőségünk van arra, hogy σ-t kiterjesszük a keletkező kereszteződésben. Az állapotok s és d értékét kiszámítva (lásd a 3.9. ábrát) azt kapjuk, hogy az L+ -beliből az L− -belit levonva az L0 -beli érték (t1/2 − t−1/2 )-szeresét kapjuk. Az előzőekben minden L0 -beli állapotot figyelembe vettünk, de nem az összes L+ -, illetve L− -belit. Ezek az állapotok azonban meghatározzák egymást, és csak azokat kell most vizsgálnunk, amikor az állapotot mutató szimbólum az új kereszteződésnek jobb, vagy bal oldalán van. Ezekre az állapotokra azonban az s és d értékek megegyeznek (érdemes ismét ránézni a 3.9. ábrára), így a különbségben kiesnek. 3.2.7. Következmény. Egy L lánc Alexander-polinomja valóban lánc-invariáns: az eredmény nem függ a kitüntetett ív megválasztásától. Bizonyítás. L komponenseinek számára vonatkozó teljes indukciót alkalmazunk. Ha µ = = 1, akkor a csomókra vonatkozó tétel alapján kész vagyunk. Alkalmazzuk most a bogozási relációt egy olyan szituációban, amelyben L0 komponenseinek száma n, miközben L+ és L− mindketten (n − 1) komponensű láncok. Az indukciós feltevés alapján L± -ban 60
3.13. ábra nem számít, hogy az ×-szel a diagram mely ívet jelöljük meg. Mivel L+ és L− Alexanderpolinomjai L0 Alexander-polinomját a bogozási reláció értelmében egyértelműen meghatározzák, ezért következik a bizonyítandó állítás. 3.2.8. Következmény. Tetszőleges L lánc esetén ∆SL (t) = ∆K L (t) teljesül, vagyis az eddig látott két konstrukció ugyanazt a polinomot eredményezi. Bizonyítás. Azonnal következik az eddigiek alapján, ugyanis ∆SL és ∆K L mindketten teljesítik a bogozási relációt, továbbá a triviális csomón (amelyet O-val is jelölünk) felvett értékük ∆SO = ∆K O = 1. Ezek a tulajdonságok pedig már meghatározzák a polinomot.
3.3. Végtelen ciklikus és univerzális Abeli fedések 3.3.1. Konstrukció Seifert-felületekkel5 Tekintsünk egy K ⊂ S 3 csomót és legyen Σ ⊂ S 3 Seifert-felülete K-nak. Σ irányít◦
ható, így vehetjük a kétoldalú nyílt megvastagítását, amelyet egy ι : Σ × (−1,1) ,→ S 3 ◦
def
rögzített beágyazás segítségével írunk le, ahol Σ = Σ \ K a felület relatív belsejét jelöli. ◦
◦
Megjegyezzük, hogy Σ = ι Σ × {0} . Vezessük be a következő jelöléseket: ◦
T = ι Σ × (−1,1) , Y = S 3 \ Σ,
◦
T + = ι Σ × (0,1) ,
◦
T − = ι Σ × (−1,0) ,
X = S 3 \ K.
Most rátérünk a K csomó X komplementumához tartozó, ún. végtelenszeres ciklikus fedőtér konstrukciójára. Tekintsük a (T, T + , T − ), illetve (Y, T + , T − ) rendezett hármasokat és vegyünk belőlük megszámlálhatóan végtelen sok példányt: minden i ∈ Z számra képezzük a (Ti , Ti+ , Ti− ), illetve (Yi , Ti+ , Ti− ) hármasokat, ahol a másolatok kapcsolatát az etalonokkal a hi : Yi → Y és ki : Ti → T homeomorfizmusok adják meg. Legyenek továbbá φ± : T → Y olyan homeomorfizmusok, amelyekre φ± a T ± ⊂ T és T ± ⊂ Y halmazokat azonosítja (3.14. ábra). Megjegyezzük, hogy X ∼ = (Y t T )/φ± . 5
[Rolfsen, 2003, pp. 128–130.] alapján.
61
3.14. ábra F F F Tekintsük a Te = i∈Z Ti és Ye = i∈Z Yi halmazokat (ahol „ ” diszjunkt uniót je-
löl), és végezzük el a következő azonosításokat: legyen φ+ i olyan homeomorfizmus, amely identikus módon azonosítja a Ti+ ⊂ Ti és Ti+ ⊂ Yi halmazokat, valamint legyen φ− i az a homeomorfizmus, amely a Ti− ⊂ Ti+1 és Ti− ⊂ Yi halmazokat ragasztja össze szintén identikusan minden i ∈ Z esetén (3.15. ábra). Jelöljük az így kapott topologikus teret X∞ -nel.
3.15. ábra. A végtelenszeres ciklikus fedés konstrukciója.
3.3.1. Állítás. Legyen X = S 3 \ K a K csomó komplementuma, és X∞ az előző konstrukcióval kapott tér. Ekkor teljesülnek az alábbiak. (1) X∞ egy útösszefüggő nyílt 3-sokaság. (2) Létezik p : X∞ → X fedőleképezés, sőt X∞ reguláris fedése X-nek. (3) Létezik olyan τ : X∞ → X∞ homeomorfizmus, amely generálja az Aut(X∞ , p) csoportot, ami a (Z, +) csoporttal izomorf. Bizonyítás. (1) Az útösszefüggőség a konstrukció közvetlen következménye. Legelőször meggondoljuk, hogy Y0 útösszefüggő. Legyenek x, y ∈ Y0 pontok. Szeretnénk őket összekötni egy olyan S 3 -ban haladó úttal, amely elkerüli Σ-t. Tekintsünk egy olyan γ utat x 62
és y között, amely Σ-t a lehető legkevesebb pontban metszi. Azt állítjuk, hogy γ ekkor nem metszi Σ-t. Tegyük fel indirekt, hogy z ∈ γ ∩ Σ. Tekintsük a K csomó egy m irányítatlan meridiánját, amely transzverzálisan metszi Σ-t, méghozzá egyetlen w pontban. Σ útösszefüggő, ezért vehetünk egy η utat z és w között. Tekintsük most az η + és η − kiemeléseket. A w pont kiemelését úgy képzeljük, hogy w-ben m-et felvágva a kiemelést követően egy olyan m0 ívet kapunk, amely összeköti a w+ és w− pontokat S 3 \ Σ-ban. A z pont kiemelésekor pedig feltehető, hogy z + és z − a γ úton lesznek. Mindezek után legyen γ 0 az az út x és y között, amely először x-ből z + -ba halad γ mentén, majd z + -ból w+ -ba η + mentén, ezután w− -ba m0 -n haladva, majd z − -ba η − segítségével, végül z − -ból y-ba γ mentén. Ekkor γ 0 a Σ felületet γ-nál eggyel kevesebbszer metszi, amely ellentmond γ választásának. Y0 tehát valóban útösszefüggő. Ezek után nyilvánvaló, hogy Yi is útösszefüggő, továbbá Ti is az (i ∈ Z). A konstrukcióban szereplő ragasztásokat lépésenként végezve könnyen láthatjuk, hogy az útösszefüggőség minden egyes lépés után továbbra is fennáll, így X∞ útösszefüggősége teljes indukcióval adódik. Az, hogy X∞ nyílt 3-sokaság, szintén látható oly módon, hogy leellenőrizzük: ez a tulajdonság a ragasztási lépéseket egyesével elvégezve megőrződik. Ezek az ellenőrzések a sokaság definíciója alapján könnyen elvégezhetők. (2) Definiáljuk a p : X∞ → X leképezést a következő módon. def
p(x) =
hi (x),
ha x ∈ Yi ,
(i ∈ Z),
◦
i (x), ha x ∈ Σi ,
k ◦
def
ahol Σi = Ti \ Ti− ∪ Ti+ (3.16. ábra). A konstrukció miatt p jól-definiált és valóban fedőleképezés: legyen ugyanis x ∈ X tetszőleges. 1. eset. Ha x ∈ Y ⊂ X, akkor p−1 (x) =
n
o
h−1 i (x) | i ∈ Z . Y0 nyílt, továbbá h0
homeomorfizmus, ezért létezik U0 ⊂ Y0 nyílt környezet, amelyre h−1 0 (x) ∈ U0 . Legyen n
o
U = h0 (U0 ) és képezzük a p−1 (U ) = h−1 i (U ) | i ∈ Z ősképhalmazt. Mivel i 6= j esetén Yi ∩ Yj = ∅, ezért p−1 (U ) olyan nyílt halmazok páronként diszjunkt uniója, amelyek mindegyike homeomorf módon U -ra képződik. ◦
2. eset. Ha x ∈ X \ Y = Σ, a bizonyítás hasonlóképp történik. x ∈ T is teljesül, T pedig nyílt, így létezik olyan V ⊂ T nyílt halmaz, amely környezete x-nek. Ekkor p−1 (V ) olyan nyílt halmazok páronként diszjunkt uniója, amelyek mindegyike homeomorf módon V -re képződik. Valóban, tekintsük a Vi = ki−1 (V ) ⊂ Ti halmazokat. Ezek még a 3.15. ábrán látható azonosítások elvégzése után is páronként diszjunktak maradnak, így adódik az állítás első fele. A p fedőleképezés regularitását a következő állítás igazolása után gondoljuk meg. (3) Az előző rész bizonyításához hasonlóan (az X∞ konstrukciója során fellépő homeo63
3.16. ábra. Az X∞ végtelenszeres ciklikus fedőtér. morfizmusok ismeretében) fel tudjuk írni a keresett τ ∈ Aut(X∞ , p) fedő-automorfizmust: def
τ (x) =
(h−1 i+1 (k −1
i+1
◦ hi )(x), ha x ∈ Yi , ◦
◦ ki )(x), ha x ∈ Σi ,
(i ∈ Z).
Intuitíven, τ az a leképezés, amelynek segítségével az X∞ téren „eggyel jobbra léphetünk”. Bár ez első olvasatra nem precíz, azonban a definíció alapján τ ∈ Aut(X∞ , p), továbbá ◦
◦
τ (Yi ) = Yi+1 és τ Σi = Σi+1 is azonnal adódnak. Az állítás második fele, miszerint hτ i = Aut(X∞ , p), a következőképp bizonyítható. Legyen x ∈ X egy pont és tekintsük a p−1 (x) = {xi | i ∈ Z} fibrumát, ahol xi ∈ Yi ∪ ◦
∪ Σi ⊂ X∞ . Tekintsünk egy f ∈ Aut(X∞ , p) fedő-automorfizmust. Mivel X∞ útösszefüggő, ezért f -et az x0 pont f (x0 ) = xj képe egyértelműen meghatározza (azaz, ha g ∈ ∈ Aut(X∞ , p) egy másik fedő-automorfizmus és g(x0 ) = xj , akkor f ≡ g). De az előzőek szerint τ j (x0 ) = xj , tehát τ j ≡ f . Ezért minden fedő-automorfizmus τ alkalmas hatványa, ami pedig pontosan azt jelenti, hogy Aut(X∞ , p) a τ által generált végtelen ciklikus csoport. Végül p azért lesz reguláris fedés, mert tetszőleges x ∈ X esetén Aut(X∞ , p) tranzitíven hat az x pont p−1 (x) ⊂ X∞ fibrumán. Valóban, legyenek x1 , x2 ∈ p−1 (x). Ek◦
◦
kor x1 ∈ Yk ∪ Σk és x2 ∈ Yl ∪ Σl valamely k, l egészekre. A τ l−k ∈ Aut(X∞ , p) fedőautomorfizmusra τ l−k (x1 ) = x2 pedig nyilvánvalóan teljesül. 3.3.2. Definíció (végtelenszeres ciklikus fedés). A 3.3.1. állításban szereplő (1)–(3) feltételeket teljesítő X∞ teret az X végtelenszeres ciklikus fedésének nevezzük. f → X reguláris fedés. Le3.3.3. Definíció (univerzális Abeli fedés). Legyen p : X
gyen továbbá π10 (X) = [π1 (X), π1 (X)] a π1 (X) kommutátor-részcsoportja. Amennyiben f p ∼ f ∼ Aut X, = π1 (X)/π 0 (X) teljesül (vagy ami ezzel ekvivalens: p# π1 X = π 0 (X), ahol 1
p# a p :
f X
1
→ X fedőleképezés által a fundamentális csoportokon indukált leképezést
f teret X univerzális abeli fedésének hívjuk. jelöli), akkor az X
3.3.4. Állítás. X∞ az X = S 3 \ K térnek az univerzális Abeli fedése.
64
f p ∼ Bizonyítás. A bizonyításhoz csupán azt kell felhasználnunk hogy Aut X, = Z. Tekint
sük az alábbi rövid egzakt sorozatot (amelynek létezése fedőtér-elméleti megfontolásokból következik): p# ϕ f −−− f p −−−−−→ 1. 1 −−−−−→ π1 X −−→ π1 (X) −−−−−→ Aut X,
∼ = Z A sorozat ezgaktsága azt jelenti, hogy p# injektív, im p# = ker ϕ és ϕ szürjektív. Mivel ϕ a π1 (X) csoportot Z-re képezi, ezért szükségképpen π10 (X) ≤ ker ϕ, amiből π10 (X) ≤ ≤ p# π1 (X). Az abelizáció univerzális tulajdonsága alapján ekkor egyértelműen létezik
f p homomorfizmus, amelyre ϕ = Φ◦Ab, ahol Ab : π (X) → Φ : π1 (X)/π10 (X) → Aut X, 1
π1 (X)/π10 (X) a kanonikus szürjekció. Az eddigieket összegezve, az 1.5.4. Következmény, illetve a 3.3.1. Állítás alapján a π1 (X) Φ f p ∼ Z ∼ −−−−−→ Aut X, = 0 = Z 1.5.4 π1 (X) 3.3.1
f /π 0 (X). Mivel Φ szürjektív, így szükségképpen izohomomorfizmusra ker Φ = p# π1 X 1 0 f ∼ morfizmus. Vagyis p# π1 X = π (X) és éppen ezt szerettük volna megmutatni. 1
3.3.5. Következmény. Az X∞ tér fedő-izomorfizmus erejéig csak a K csomó típusától függ. Nem függ tehát a Σ Seifert-felület megválasztásától, illetve annak az S 3 -ba történő beágyazásától sem. Megjegyzés. Gondoljuk meg, hogy az előzőek során látott X∞ tér konstrukciója ugyanígy elvégezhető abban az esetben is, ha X = S 3 \ L, ahol L egy (nem feltétlenül egykomponensű) lánc. Fontos különbség azonban, hogy ha L komponenseinek száma, µ ≥ 2, akkor az X∞ végtelenszeres ciklikus fedőtér nem egyezik meg X univerzális Abeli fedőterével! Ezért láncok esetében nem támaszkodhatunk arra a geometriai szemléletre (legalábbis nem ebben a formában), amely csomók esetében rendelkezésünkre áll.
3.3.2. Az Alexander-invariáns6 A szakasz hátralévő részében az Alexander-polinom egy harmadik definícióját, illetve konstrukcióját járjuk körbe.7 A három általunk vizsgált megközelítés közül ez a legabsztraktabb. Előnye, hogy a konstrukcióból az invariancia szinte azonnal adódik, hátránya viszont, hogy a számolások lényegesen nehezebbek, mint például a Kauffman-állapotokkal 6 7
[Rolfsen, 2003, pp. 160–162.] alapján. Fontos szem előtt tartanunk, hogy most csak csomókra szorítkozunk. A láncokra vonatkozó (egyváltozós) Alexander-polinom absztrakt megközelítését a többváltozós általánosítással együtt a 4.2. fejezetben tárgyaljuk.
65
történő megközelítés esetén. A nehézségek azonban bőségesen kifizetődnek, hiszen az absztrakt utat végigjárva érthetjük meg leginkább, hogy valójában mi is az Alexanderpolinom. Nem utolsó sorban, ezt a gondolatmenetet általánosítva juthatunk el láncok többváltozós Alexander-polinomjának definíciójához. Mielőtt a részletekben elmélyülnénk, áttekintjük a konstrukció főbb lépéseit. Legyen K ⊂ S 3 csomó és X = S 3 \ K. Már tudjuk, hogy H1 (X; Z) végtelen ciklikus, így létezik egy olyan ϕ : π1 (X) → Z szürjekció, amelyre ker (ϕ) = π10 (X) = [π1 (X), π1 (X)]. Ez a kommutátor-részcsoport meghatározza X-nek egy útösszefüggő fedőterét, mégpedig az univerzális Abeli fedést (3.3.3. Definíció), amely – K csomó lévén – esetünkben (fedőautomorfizmus erejéig) az X∞ végtelenszeres ciklikus fedéssel egyezik meg. Célunk az, hogy ennek a térnek a szerkezetét minél jobban megértsük, pontosabban az, hogy homológiacsoportjait leírjuk. Ezek közül a H1 (X∞ ; Z) csoport az, amely száunkra most elsődlegesen fontos. Az X∞ teret úgy választottuk, hogy π1 (X∞ ) ∼ = π10 (X) teljesüljön. Ebből abelizáció def által következik, hogy H1 (X∞ ; Z) ∼ = π10 (X)/π100 (X) = G. Egyrészt G kommutatív, ezért hat rajta Z. Másrészt, legyen τ az Aut(X∞ , p) ∼ = Z egy generátoreleme (kétféle választás lehetséges), amely szintén hat a G csoporton. Ezek a hatások együttesen G-t egy Z[t, t−1 ]modulussá teszik, amelyet a csomó Alexander-invariánsának nevezünk. Látni fogjuk, hogy G (mint Z[t, t−1 ]-modulus) ciklikus, vagyis G = Z[t, t−1 ]/I alakú, továbbá szelíd csomók esetében I egy főideál, amely egyetlen ∆VK ∈ Z[t, t−1 ] Laurent-polinommal generálható, amelyet szintén Alexander-polinomnak hívunk. Erről a ∆VK polinomról (amely t-vel való szorzás erejéig meghatározott) megmutatjuk ugyanis, hogy szimmetrikus alakjában ∆SK val egyezik meg. Az Alexander-invariáns csomókra A fenti áttekintés során számba vettük a konstrukció alapgondolatait. Most precízen leírjuk, hogy miként látható el a H1 (X∞ ; Z) csoport (bal oldali) Z[t, t−1 ]-modulus struktúrával. (Megjegyezzük, hogy a következő gondolatmenettel nemcsak az első homológiacsoport, hanem a gradált H∗ (X∞ ; Z) homológiacsoport is Z[t, t−1 ]-modulussá tehető.) Vezesdef
sük be a Λ = Z[t, t−1 ] jelölést. Emlékeztetőül, hogy Λ egységei a t±k alakú elemek (k ∈ N). Az eddigiekkel összhangban legyen τ : X∞ → X∞ egy olyan fedő-automorfizmus, amely Aut(X∞ , p) ∼ = Z-t generálja. Kétféleképp választhatunk (hiszen Z-nek a ±1 a generátorai). Azonban ez a választás kanonikussá tehető, ha τ választásakor figyelünk arra, hogy a p∗ (τ ) ∈ H1 (X; Z) elemet K-nak azon m meridiánja reprezentálja, amelyre lk(K, m) = 1. Definiáljuk most a • : Λ × H1 (X∞ ; Z) → H1 (X∞ ; Z) modulusbeli szorzást. Mivel p(t) ∈ Λ, ezért általános alakja p(t) = c−r t−r + . . . + c0 + c1 t + . . . + cs ts , 66
ahol ci ∈ Z és r, s ∈ N. Ha α ∈ H1 (X∞ ; Z), akkor legyen def
•(p(t), α) = p(t) • α = c−r τ∗−r α + . . . + c0 α + c1 τ∗ α + . . . + cs τ∗s α,
(3.6)
ahol τ∗ : H1 (X; Z) → H1 (X; Z) a τ által indukált izomorfizmus, így p(t) • α ∈ H1 (X∞ ; Z) tényleg teljesül, ezért a • szorzás jól-definiált. 3.3.6. Állítás. A H1 (X∞ ; Z) Abel-csoport a (3.6) által definiált • szorzással ellátva bal oldali unitér modulussá válik a Λ = Z[t, t−1 ] gyűrű felett. Bizonyítás. Tetszőleges α, β ∈ H1 (X∞ ; Z) és p, q ∈ Λ elemek esetén egyszerű számolással adódik, hogy a p • (α + β) = p • α + p • β, (p + r) • α = p • α + r • α, valamint (pr) • • α = p • (r • α) azonosságok mind fennállnak. Triviálisan adódik továbbá, hogy az 1 ∈ Λ konstans polinomra 1 • α = α teljesül, ezért a modulus unitér. 3.3.7. Definíció (Alexander-invariáns). Legyen K csomó, X = S 3 \ K, és X∞ az X univerzális Abeli fedése (amely egyúttal a végtelenszeres ciklikus fedés is). A H1 (X∞ ; Z)t, mint Z[t, t−1 ]-modulust a K csomó Alexander-invariánsának nevezzük. Megjegyzés. A fenti gondolatmenetet H1 (X∞ ; Z) helyett tetszőleges Hi (X∞ ; Z) homológiacsoportra elmondhattuk volna. Ebből következik, hogy a • szorzás a H∗ (X∞ ; Z) gradált csoportot is Λ fölötti modulussá teszi. A szakirodalomban ezért Hi (X∞ ; Z)t és H∗ (X∞ ; Z)-t is Alexander-invariánsnak nevezik. Az előbbi esetben az i index az Alexander-invariáns dimenziója. Ha másképp nem jelezzük, a továbbiakban az Alexanderinvariáns említésekor mindig az 1-dimenziós változatra gondolunk. 3.3.8. Állítás. Ekvivalens csomók Alexander-invariánsai izomorfak. Bizonyítás. Az Alexander-invariáns – definíciójából adódóan – kizárólag a csomó X = = S 3 \ K komplementumától (pontosabban annak homeomorfia-osztályától) függ. Ha K és K 0 ekvivalens csomók, akkor létezik közöttük h : S 3 × [0,1] → S 3 beágyazott izotópia (1.1.5. Definíció), amelyre h0 (K) = K és h1 (K) = K 0 . Azonban h1 (S 3 \ K) = S 3 \ K 0 is teljesül. Ebből a bizonyítandó állítás azonnal következik. A H1 (X∞ ; Z) Alexander-invariáns kiszámítása π1 (X) alapján8 Legyen K ⊂ S 3 csomó, X = S 3 \K és tekintsük X univerzális Abeli fedését, amelyhez a p : X∞ → X fedőleképezés tartozik. A 3.3.1. szakaszban láttuk, illetve fedőtér-elméleti megfontolások alapján tudjuk, hogy a p# : π1 (X∞ ) → π1 (X) indukált leképezés injektív 8
[Rolfsen, 2003, pp. 174–176.] alapján.
67
és p# (π1 (X∞ )) ∼ = π10 (X). Ez a homomorfizmus indukál egy p# izomorfizmust a csoportok abelizáltjai között is: p# : H1 (X∞ ; Z) → π10 (X)/π100 (X).
(3.7)
Az alábbiakban tisztán absztrakt algebrai úton megadunk egy Λ-modulus struktúrát a π10 (X)/π100 (X) faktorcsoporton, amely a (3.7) csoport-izomorfizmust Λ-izomorfizmussá terjeszti ki. Ezáltal konkrét eljárást kapunk arra, hogy a H1 (X∞ ) Alexander-invariáns (mint Λ-modulus) prezentációját π1 (X) prezentációjának ismeretében meghatározzuk. 3.3.9. Definíció. Legyen c ∈ π10 (X), legyen továbbá x ∈ π1 (X) olyan csoportelem, amely a ϕ : π1 (X) → π1 (X)/π 0 (X) ∼ = Z abelizáció során Z egy generátorelemére képződik. 1
(x-et válasszuk oly módon, hogy a K csomó azon m meridiánja reprezentálja, amelyre lk(m, K) = 1 teljesül.) Legyen def
n
o
t {c} = xcx−1 , ahol {·} mellékosztályt jelöl a π10 (X)/π100 (X) faktorcsoportban. 3.3.10. Állítás. A 3.3.9. Definícióban szereplő t : π10 (X)/π100 (X) → π10 (X)/π100 (X) homomorfizmus jóldefiniált, és ezáltal π10 (X)/π100 (X)-nek automorfizmusa. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy c, d ∈ π10 (X) olyan elemek, amelyekre cd−1 ∈ π100 (X) és x, y ∈ π1 (X) olyanok, amelyekre xy −1 ∈ π10 (X). Célunk annak ellenőrzése, hogy ekkor xcx−1 , ydy −1 ∈ π10 (X) és (xcx−1 )(ydy −1 )−1 ∈ π100 (X). Tudjuk, hogy egy G csoport kommutátor-részcsoportja normálosztó G-ben, tehát G minden belső automorfizmusára nézve invariáns. Mivel π10 (X) / π1 (X), és a konjugálás automorfizmus, ezért a xcx−1 , ydy −1 ∈ π10 (X) tartalmazás azonnal adódik. Az állítás második részének igazolásához végezzük el a következő átalakítást. (xcx−1 )(ydy −1 )−1 = (xy −1 ) (ycy −1 )(yx−1 ) (yx−1 ) (xd−1 x−1 )(xy −1 ) . | {z } | a
{z b
} | {z } | a−1
{z c
}
Legyen ψ : π10 (X) → π10 (X)/π100 (X) a kanonikus szükjekció. Mivel a, b, c ∈ π10 (X), ezért a fenti egyenlőség jobb oldalára a ψ homomorfizmust alkalmazva ψ(aba−1 c) = ψ(a)ψ(b)ψ(a−1 )ψ(c) = ψ(b)ψ(c) = ψ(bc) = = ψ((ycy −1 )(yx−1 )(xd−1 x−1 )(xy −1 )) = ψ(ycd−1 y −1 ). Mivel cd−1 ∈ π100 (X) a feltétel szerint, ezért azt kell csak meggondolni, hogy π100 (X) invariáns az y-nal történő konjugálásra. De π100 (X) a π10 (X)-ben normálosztó, y pedig π1 (X)-ben van. Azonban a G0 kommutátor-részcsoport karakterisztikus részcsoportja G-nek, amiből következik, hogy G00 / G is teljesül! Ebből ycd−1 y −1 ∈ π100 (X), tehát ψ(ycd−1 y −1 ) = 1. Ez pedig pont azt jelenti, hogy a 3.3.10. Definícióban megadott t leképezés jóldefiniált, és ennélfogva automorfizmusa π10 (X)/π100 (X)-nek. 68
3.3.11. Állítás. A 3.17. diagram kommutatív. p#
H1 (X∞ ; Z)
/
π10 (X)/π100 (X)
τ∗
t
p#
H1 (X∞ ; Z)
/
π10 (X)/π100 (X)
3.17. diagram
Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy p# τ∗ (h) = t p# (h) tetszőleges h ∈ H1 (X∞ ; Z) esetén teljesül. Tegyük fel először, hogy h reprezentálható olyan X∞ -beli hurokkal, amely teljes egé◦
szében valamely Yi ∪ Σi halmazban fekszik (X∞ konstrukcióját lásd a 3.3.1. szakaszban). Az indexelés megváltoztatásával feltehető, hogy i = 0. A bizonyítás fő ötlete, hogy egy x0 ∈ Y0 ⊂ X∞ bázispont lerögzítésével „visszatérünk” a fundamentális csoportokhoz, és a 3.18. diagram kommutativitását igazoljuk. [A diagramon a t0 : π10 (X) → π10 (X) az a leképezés, amelyre t0 (c) = xcx−1 , ahol x-et a K csomó azon m meridiánja reprezentálja, amelyre lk(m, K) = 1 teljesül. A τ 0 : π1 (X∞ , x0 ) → π1 (X∞ , x0 ) izomorfizmust pedig úgy kapjuk, hogy a τ# : π1 (X∞ , x0 ) → π1 (X∞ , x1 ) indukált izomorfizmust komponáljuk azzal a π1 (X∞ , x1 ) → π1 (X∞ , x0 ) izomorfizmussal, amely minden hurok homotópiaosztályát megőrzi, viszont az x1 bázispontot visszaviszi x0 -ba.] Ebből következik a bizonyítandó állítás, ugyanis a 3.17. diagramot a 3.18. diagram abelizálásával kapjuk, amely megtartja a kommutativitást. π1 (X∞ , x0 )
p# /
π10 (X, y) t0
τ0
π1 (X∞ , x0 )
p# /
π10 (X, y)
3.18. diagram Az előző bekezdésben említett „visszatérés” precízen a következőképp történik. Tekintsük a K csomó 3.3.9. Definícióban rögzített m ⊂ X meridiánját, jelöljünk ki rajta egy tetszőleges y pontot, majd vegyük ennek p−1 (y) = {xi | i ∈ Z} ⊂ X∞ fibrumát (ahol ◦
xi ∈ Yi ∪ Σi ⊂ X∞ ). Paraméterezzük úgy az m görbét, hogy m(0) = m(1) = y teljesüljön, f ⊂ X∞ felemelését az X∞ fedőtérbe úgy, hogy m f(0) = x0 és tekintsük az m meridián m f(1) = x1 már automatikusan adódik (3.19. ábra). legyen. Ekkor m
Legyen most g ∈ π1 (X∞ , x0 ) egy olyan elem, amely reprezentálható egy x0 bázispontú γe0 ⊂ Y0 hurokkal (g = Jγe0 K), és amely az abelizáció során a h ∈ H1 (X∞ ; Z) elemre 69
képződik. Legyen továbbá p(γe0 ) = γ ⊂ X, így p# (Jγe0 K) = Jγ K ∈ π10 (X, y). Alkalmazzuk Jγ K-ra
a t0 izomorfizmust: t0 (p# (g)) = t0 (p# (Jγe0 K)) = t0 (Jγ K) = xJγ Kx−1 = Jm ∗ γ ∗ m−1 K
(3.8)
(ahol ∗ görbék konkatenációját jelöli). Induljunk most el a másik irányba, azaz tekintsük a g ∈ π1 (X∞ ) csoportelem τ 0 általi f∗γ e1 ∗ m f−1 K. Mivel τ : X∞ → X∞ képét. A 3.19. ábráról leolvasható, τ 0 (g) = τ 0 (Jγe0 K) = Jm
fedő-automorfizmus, ezért p◦τ = p. Ebből adódóan p(γe1 ) = p(τ (γe0 )) = p(γe0 ) = γ, amiből p# (Jγe1 K) = Jγ K következik. Ez alapján
f∗γ e1 ∗ m f−1 K = Jm ∗ γ ∗ m−1 K. p# (τ 0 (g)) = p# (τ 0 (Jγe0 K)) = p# Jm
(3.9)
Ha most a (3.8) és (3.9) egyenleteket összevetjük, kapjuk, hogy t0 (p# (g)) = p# (τ 0 (g)) minden g ∈ π1 (X∞ , x0 ) esetén. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy a 3.18. diagram kommutatív.
3.19. ábra Tegyük most fel, hogy h = [η] ∈ H1 (X∞ ; Z) egy általános elem a homológiacsoport◦
ban, azaz nem feltétlenül létezik olyan i egész szám, amelyre η ⊂ Yi ∪ Σi . Azonban η : [0,1] → X∞ folytonos leképezés a [0,1] kompakt halmazon, ezért képhalmaza is kompakt, így létezik J ⊂ Z véges (|J| = n) indexhalmaz, hogy η ⊂
S
j∈J
◦
◦
Yji ∪ Σji . Ekkor η-t
def
felbonthatjuk a ηj1 t . . . t ηjn diszjunkt unióra (ηji ⊂ Yji ∪ Σji , és hij = [ηji ], i = 1, . . . , n), amelyek együttesen egy η-val homológ láncot alkotnak (3.20. ábra). Alkalmazzuk a ηji (i = 1, . . . , n) hurkokra az első eset során kidolgozott módszert! Legyen gji ∈ π1 (X∞ , xji ) az a csoportelem, amely az abelizáció során hji -re képződik, továbbá legyen g = Jγeji K. Ha τj0i : π1 (X∞ , xji ) → π1 (X∞ , xji ) az az izomorfizmus, amelyet úgy kapunk, hogy τ 0 definíciójában x0 -t xji -re, x1 -et pedig xji +1 -re cseréljük, akkor –
ugyanúgy mint az első esetben – adódik, hogy t0 (p# (gji )) = p# τj0i (gji ) (i = 1, . . . , n),
amelyből abelizáció útján kapjuk a p# τ∗ (hji ) = t p# (hji ) (i = 1, . . . , n) egyenlőséget. 70
Mivel az itt fellépő leképezések mind homomorfizmusok, ezért
p# τ∗ (h) = p# τ∗
n X
!!
hji
= p#
i=1
=
n Y
n X
!
τ∗ (hji ) =
i=1
t p# (hji ) = t
i=1
n Y
n Y
p# τ∗ (hji ) =
(3.10)
i=1
!
p# (hji ) = t p#
i=1
n X
!!
hji
= t p# (h)
i=1
3.20. ábra Megjegyzések. (1) Homológiacsoportokra mindig mint additív csoportokra, a fundamentális csoportokra pedig mint multiplikatív csoportokra tekintünk. Ez magyarázza a (3.10) kifejezésben fellépő szumma és produktum szimbólumok váltakozását. (2) A 3.3.11. Állítás bizonyítása során sok diagramot elkészítünk, amelyek – bár szerkezetileg azonosak a 3.18. diagrammal – mind különbözők. Az általános eset azért vezethető vissza mégis az első, nagyon speciális esetre, mert az abelizáció során az összes ilyen diagram a 3.17. diagramba megy. A 3.17. Állításból következik, hogy π10 (X)/π100 (X) természetes módon Λ-modulussá tehető. Ezek után az p# csoportizomorfizmust a modulusban lineárisan értelmezve Λizomorfizmust kapunk. Most rátérünk a H1 (X∞ ; Z) Alexander-invariáns π1 (X) prezentációja alapján történő kiszámítására. 3.3.12. Állítás. Legyen π1 (X) egy csomó csoportja és tegyük fel, hogy végesen prezentálható.9 Ekkor π1 (X)-nek létezik olyan π1 (X) ∼ = hx, a1 , . . . , ap | r1 , . . . , rq i 9
A Wirtinger-prezentáció alapján szelíd csomókra a végességi feltétel mindig teljesül.
71
alakú prezentációja is, amelyre teljesül, hogy a ϕ : π1 (X) → π1 (X)/π10 (X) ∼ = Z abelizáció során ϕ(x) = 1 és ϕ(ai ) = 0 (1 ≤ i ≤ p). Szelíd csomók esetében a prezentáció ezen felül úgy is megválasztható, hogy p és q egyenlők legyenek. Bizonyítás. Tekintsük π1 (X) azon prezentációját, amelyet a Wirtinger-féle eljárás ered
D E ményez (1.5.2. Tétel). Ez a prezentáció x01 , x02 , . . . , x0p+1 r10 , . . . , rp0 alakú, és tudjuk azt
is, hogy a Hurewicz-leképezésnél mindegyik x0i generátor (1 ≤ i ≤ p + 1) az 1 ∈ Z def
def
elemre képződik. Mindezekből adódik, hogy x = x1 , illetve ai = xi+1 − x1 (1 ≤ i ≤ p) választással olyan prezentációt kapunk, amely rendelkezik az állításban megfogalmazott tulajdonságokkal. −k 3.3.13. Következmény. A 3.3.12. Állítás jelöléseit követve, az xk a±1 (1 ≤ i ≤ p, k ∈ i x
∈ N) alakú kifejezések generálják a π10 (X) kommutátor-részcsoportot. Továbbá, mindegyik −k alakú kifejezések rj (1 ≤ j ≤ q) konjugált egy olyan rj0 szóval, amely előáll xk a±1 i x
szorzataként. 3.3.14. Következmény. Összegezve, π10 (X)/π100 (X)-nek (mint Λ-modulusnak) egy prezentációját kapjuk, ha vesszük az α1 , . . . , αp generátorokat (ahol αi = ϕ(ai )), továbbá az ri0 relációkat formálisan átírjuk additív alakba; ha ri0 =
Q
j∈Ji
−kj xkj a±1 alakú (Ji alkalmas ij x
indexhalmaz), akkor a modulus-prezentáció relációi közé bevesszük a
P
j∈Ji
±tkj αij alakú
kifejezést.
3.3.3. Prezentációs mátrixok Hogy precízen bevezessük az Alexander-polinomot az Alexander-invariáns alapján, áttekintjük a prezentációs mátrixok legfontosabb jellemzőit [Rolfsen, 2003, pp. 203–206.]. Ebben a rövid szakaszban R egységelemes kommutatív gyűrűt, M pedig végesen prezentálható (bal oldali) R-modulust jelöl. Tekintsük M egy prezentációját: M∼ = hα1 , . . . , αr | ρ1 , . . . , ρs i .
(3.11)
Írjuk fel a relációkat a generátorelemek (R-együtthatós) lineáris kombinációjaként: ρi = ai,1 α1 + . . . + ai,r αr
(ai,j ∈ R).
(3.12)
Rendezzük a felírásokban szereplő együtthatókat a P = (ai,j )i,j ∈ Rs × r mátrixba. 3.3.15. Definíció (prezentációs mátrix). A most definiált P mátrixot az M modulus (3.11) prezentációjához tartozó prezentációs mátrixnak nevezzük. A P prezentációs mátrix minden összefüggést kódol, amely a generátorok és a relációk között fennáll, ezért P az általa prezentált modulust R-izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározza. 72
Sokszor hasznos, ha a P mátrixra másképp tekintünk. Gondoljuk meg, hogy a P -vel való jobb-szorzás egy Rs → Rr R-lineáris leképezés, és így felírhatjuk az alábbi rövid egzakt sorozatot: P Rs −−−−−→ Rr −−−−−→ M −−−−−→ 0. Nem nehéz ellenőrizni, hogy egy P mátrix által prezentált modulus R-izomorfizmus erejéig változatlan marad, amennyiben P -n a következő változtatásokat hajtjuk végre: (1) két sort, vagy két oszlopot felcserélünk; (2) egy sorhoz hozzáadjuk a többi sor R-együtthatós lineáris kombinációját; (3) egy oszlophoz hozzáadjuk a többi oszlop R-együtthatós lineáris kombinációját; (4) egy sort, vagy oszlopot megszorzunk egy tetszőleges R-beli egységgel; (5) a P mátrixot az alábbi mátrixra cseréljük:
1 ∗ 0 . . .
··· ∗ P
0
ahol a ∗ szimbólumok tetszőleges R-beli elemeket jelölnek; (6) az előző operáció inverze; (7) a mátrixot egy új sorral bővítjük, amely P sorainak R-lineáris kombinációja; (8) elhagyunk egy sort, amely előáll P sorainak R-lineáris kombinációjaként. Bizonyítás nélkül közöljük az alábbi állítást. 3.3.16. Állítás. Két mátrix – amelyeknek elemei R-beliek – pontosan akkor prezentál izomorf R-modulusokat, ha az egyik a másikba vihető az (1) − (8) átalakítások véges sokszori alkalmazásával. [Zassenhaus, 1958, 3. fejezet]. 3.3.17. Definíció (rend-ideál). Legyen M egy R-feletti modulus, amely a P ∈ Rs×r mátrixszal prezentálható. A P mátrix r × r-es minorjai által generált R-beli ideált az M modulus rend-ideáljának nevezzük. Amennyiben s < r, akkor a rend-ideál csak az R gyűrű nullelemét tartalmazza. Megjegyzés. A 3.3.16. Állításból következik, hogy a rend-ideál nem függ attól, hogy az M modulus melyik prezentációs mátrixát választjuk. Fontos észrevétel továbbá, hogy abban az esetben, ha M a négyzetes P mátrixszal prezentálható, a rend-ideál főideál és det(P ) által generált. 73
3.3.4. Az Alexander-polinom III.10 3.3.18. Definíció (Alexander-mátrix, -ideál, -polinom, 3. definíció). Legyen K ⊂ S 3 csomó és tekintsük a hozzá tartozó H1 (X∞ ; Z) Alexander-invariánst. Ennek bármely prezentációs mátrixát a K csomó Alexander-mátrixának nevezzük. A H1 (X∞ ; Z) Λ-modulus rend-ideálját a K Alexander-ideáljának hívjuk, és amennyiben ez főideál, bármely generátorát a K csomó Alexander-polinomjának nevezzük. Megjegyzés. Amennyiben az Alexander-ideál főideál, akkor választhatjuk egy kitüntetett generátorát is, mégpedig azt a Laurent-polinomot, amelynek legmagasabb, illetve legalacsonyabb fokú tagjaiban a fokszámok abszolút értékben egyenlők. Ezt a kitüntetett Alexander-polinomot ∆VK (t)-vel jelöljük. Erről hamarosan kiderül, hogy amennyiben létezik, megegyezik a ∆SK (t) polinommal (ezáltal ∆K K (t)-vel is). 3.3.19. Állítás. Legyen K ⊂ S 3 szelíd csomó. Ekkor a K Alexander-invariánsa végesen prezentált. Bizonyítás. Legelőször meggondoljuk, hogy Λ = Z[t, t−1 ] Noether-gyűrű. Valóban, Z bármely ideállánca könnyen láthatóan teljesíti a maximumfeltételt (hiszen bármely csökkenő osztólánc Z-ben abszolút értékben alulról korlátos), ezért Z Noether-gyűrű. Ezután a Hilbert-bázistétel alkalmazásával adódik, hogy a Z[x, y] polinomgyűrű is az. Λ pedig ennek homomorf képe, amely ezért szintén Noether-gyűrű. A 3.3.14. Következmény szerint a H1 (X∞ ; Z) Alexander-invariáns (mint Λ-modulus) végesen generált. Mivel Λ Noether-gyűrű, ezért ebből következik a végesen prezentáltság is a következő lemma tanúsága szerint. 3.3.20. Lemma. Legyen R Noether-gyűrű és M egy R-feletti (bal oldali) végesen generált modulus. Ekkor M végesen prezentált (vagy ami ezzel ekvivalens: prezentációs mátrixának mérete véges). Bizonyítás. Mivel M végesen generált, ezért létezik r pozitív egész és ϕ : Rr → M szürjektív modulus-homomorfizmus. Tudjuk, hogy Noether-gyűrű feletti végesen generált modulus minden részmodulusa is végesen generált. Mivel Rr ilyen, továbbá ker ϕ ⊂ Rr részmodulus, ezért ker ϕ előáll alkalmas Rs szabad modulus homomorf képeként (ahol s ≤ r pozitív egész). Ezért a ϕ Rs −−−−−→ Rr −−−−−→ M −−−−−→ 0 rövid sorozat egzakt, ami azt jelenti, hogy M végesen prezentált R-modulus. 10
[Rolfsen, 2003, pp. 206–210.] alapján.
74
A 3.3.19. Állítás következménye, hogy szelíd csomóknak mindig létezik Alexandermátrixa, amely bár nem csomó-invariáns, de származtathatunk belőle egyet, mégpedig úgy, hogy az Alexander-mátrixokat ekvivalencia-osztályokba soroljuk: két mátrix pontosan akkor legyen ekvivalens, ha az előző szakaszban definiált (1)–(8) transzformációkkal véges sok lépésben egymásba vihetők. (Ez az osztályozás ahhoz a gondolatmenethez hasonló, amit az S-ekvivalencia fogalmának bevezetésekor vittünk végig a 3.1. szakaszban.) Az Alexander-ideál azonban már eleve csomó-invariáns, hiszen nem függ az Alexander-mátrix megválasztásától. (Épp a most bevezetett ekvivalencia-osztályoktól függ!) Ebből következik, hogy amennyiben a ∆VK (t) Alexander-polinom létezik, akkor az csomó-invariáns, amely Λ-beli egységgel (azaz t±k alakú monommal) való szorzás erejéig egyértelműen meghatározott. 3.3.21. Állítás. Bármely K ⊂ S 3 szelíd csomóhoz létezik a ∆VK (t) Alexander-polinom. Bizonyítás. Láttuk, hogy a csomó csoportja π1 (K) prezentálható π1 (K) ∼ = hx, a1 , . . . , ap | r1 , . . . , rq i alakban, ahol p = q választás is lehetséges. Ez alapján azt is beláttuk (3.3.14. Következmény), hogy az Alexander-invariáns (mint Λ-modulus) prezentálható H1 (X∞ ; Z) ∼ = hα1 , . . . , αp | ρ1 , . . . , ρp i alakban. Mivel a generátorok és a relációk száma megegyezik, ezért a H1 (X∞ ; Z) modulusnak a fenti prezentációjához tartozó P prezentációs mátrixa négyzetes, amelynek emiatt rend-ideálját det(P ) generálja, tehát szelíd csomóknak valóban létezik a ∆VK (t) Alexander-polinomja. A következő tétel szerint szelíd csomóknak bármely Seifert-mátrixából elkészíthetjük egy Alexander-mátrixát. A tétel azonnali következménye, hogy a ∆VK és ∆SK polinomok megegyeznek. 3.3.22. Tétel. Legyen K ⊂ S 3 szelíd csomó, és legyen M a K egy Seifert-mátrixa (3.1.2. Definíció). Ekkor t1/2 M − t−1/2 M > egy Alexander-mátrixa K-nak. Megjegyzés. A 3.3.22. Tétel bizonyításakor nem használjuk ki, hogy szelíd csomóknak létezik négyzetes prezentációs mátrixa. Emiatt az Alexander-polinom létezésére is új bizonyítást kapunk (hiszen bármely Seifert-mátrix definíciójából adódóan négyzetes). Mielőtt bebizonyítjuk a 3.3.22. Tételt, szükségünk van az alábbi segédállításra. 3.3.23. Lemma. Legyen K ⊂ S 3 csomó és Σ Seifert-felülete K-nak (amelynek génusza g). Legyen továbbá a = (a1 , . . . , a2g ) adott bázisa H1 (Σ; Z)-nek. Ekkor H1 (S 3 \ Σ)-nak létezik olyan α = (α1 , . . . , α2g ) bázisa, amely duális bázisa a-nak a hurkolódási számra nézve. Pontosabban, lk(ai , αj ) = δi,j minden i, j esetén (ahol δi,j a Kronecker-delta). 75
Bizonyítás. Elegendő H1 (S 3 \ Σ) egyetlen konkrét bázisához megadnunk a duális bázist, ugyanis ekkor bármely további bázishoz könnyen elkészíthetjük az ahhoz tartozó duális bázist. Felhasználjuk azt az ismert tényt, miszerint tetszőleges irányítható, peremes (n ≥ 1), R3 -ba beágyazott kétdimenziós sokaság beágyazott izotópiával körlap-szalag alakra hozható [Kauffman, 1987, pp. 81–82.]. A 3.21. ábrán egy generikus, körlap-szalag alakban megadott felület látható, amelyről egyúttal az is leolvasható, hogyan célszerű megválasztanunk a duális bázist.
3.21. ábra. H1 (S 3 \ Σ) duális bázisa. [Cromwell, 2004] 6.3. ábrája alapján.
Megjegyzések (a 3.21. ábrához és a 3.3.23. Lemma bizonyításához). Minden körlap-szalag felület absztrakt módon homeomorf egy, a 3.21. ábrán látható generikus körlap-szalag felülethez. Azonban általában nem lesz vele beágyazottan izotóp, ugyanis gyakran különféle csavarodások is előfordulnak, amikor egy Seifert-felületet „kilapítunk”. A 3.22. ábrán négy lehetséges eset látható, de természetesen ezek kombinációja is felléphet. Bár mindezt fontos észben tartanunk, szerencsére a 3.3.23. Lemma bizonyítására ezen csavarodások, hurkolódások, stb. nincsenek hatással. Megjegyezzük még, hogy csomók esetében – mivel a Seifert-felületnek egyetlen határkomponense van – a 3.21. ábra alsó felén látható szalagokkal a felület nem rendelkezik.
3.22. ábra. Csavart (a), (b) és csomózódott (c) szalagok, illetve hurkolódott (d) szalagpár. [Cromwell, 2004] 5.7. ábrája alapján.
76
A 3.3.22. Tétel bizonyítása. Legyen Σ ⊂ S 3 a K csomó egy Seifert-felülete, a1 , . . . , a2g ∈ ∈ H1 (Σ; Z) bázis (jelöljük a-val), és M = ((mi,j ))i,j ∈ Z2g×2g a megfelelő Seifert-mátrix, 3 ahol mi,j = lk(ai , a+ j ). Tekintsünk α1 , . . . , α2g ∈ H1 (S \Σ; Z) bázist (jele α), amely a-nak
duálisa (3.3.23. Lemma). Megjegyezzük, hogy ha α =
P2g
j=1 cj αj ,
akkor cj = lk(α, aj ). Az
3
X = S \ K tér végtelenszeres ciklikus fedésének H1 (X∞ ; Z) homológiacsoportja (mint Λ+ modulus) prezentálható az α1 , . . . , α2g generátorok és az a− i = tai (i = 1, . . . ,2g) relációk
segítségével (lásd [Rolfsen, 2003, pp. 146–150., 163–165.], vö. 3.3.14. Következmény). Egy ilyen relációt az α bázisban felírva: a− i =
2g X
lk(a− i , aj )αj = t
j=1
2g X
lk(a+ i , aj )αj
(i = 1, . . . ,2g).
j=1
+ Mivel lk(a− i , aj ) = lk(ai , aj = mi,j ), ezért a fenti relációk a következő alakba írhatók: 2g X
(mi,j − tmj,i )αj
(i = 1, . . . ,2g).
j=1
Vegyük észre, hogy ha ezeket a relációkat mátrix alakba rendezzük, akkor eredményül M − tM > adódik. Mivel ez a mátrix négyzetes, az Alexander-ideálon nem változtat ha vesszük a transzponáltat, továbbá az sem, ha Λ-beli egységgel szorzunk, ezért
det M − tM > = det M > − tM = −t−g det t1/2 M − t−1/2 M > ∼
∼ det t1/2 M − t−1/2 M >
3.3.24. Következmény. Ha K ⊂ S 3 szelíd csomó, akkor ∆VK = det(t1/2 M − t−1/2 M > ), emiatt ∆VK = ∆SK .
3.4. Példák, konkrét számolások Az alábbiakban a nyolcas csomó (41 ) példáján keresztül bemutatjuk az Alexanderpolinom kiszámításának különféle módszereit.
3.4.1. Seifert-felülettel, Seifert-mátrixszal A 2.4.1. Példában a Seifert-algoritmus segítségével megadtuk a 41 csomó egy Σ Seifertfelületét. Először ezt felhasználva, a 3.1. szakaszban felépített elméletet alkalmazva fogjuk kiszámítani a 41 csomó Alexander-polinomját. Tekintsük a 3.23. ábrát! Ez valójában ugyanaz, mint ami a 2.8. ábrán látható, csak 90◦ -os pozitív irányú forgatást hajtottunk végre, és a felület határvonalát úgy rajzoltuk meg, hogy a Seifert-körlapok, és az őket összekapcsoló félig megcsavart szalagok jól kivehetők legyenek. Láttuk azt is, hogy Σ génusza (és határkomponenseinek száma is természetesen) 1, ezért H1 (Σ; Z) két elemmel 77
generálható. Legyenek α és β olyan hurkok a felületen, amelyek H1 (Σ; Z) egy generátorrendszerét reprezentálják.
3.23. ábra. A 41 csomó egy Seifert-felülete. Most felírjuk a Σ-hoz tartozó M Seifert-mátrixot, mint ahogy azt a 3.1.18. Következmény bizonyításánál a háromlevelű csomó esetében tettük. Az lk(α, α+ ), lk(α, β + ), lk(β, α+ ) és lk(β, β + ) hurkolódási számokat kell meghatároznunk. Ezen értékek a 3.4. ábráról most is leolvashatók lennének, de az egyes párokat a 3.5. ábrán most is lerajzoltuk.
3.24. ábra. A H1 (Σ; Z) báziselemeit reprezentáló α és β görbék Seifert-párosítása. A 3.24. ábra alapján a Σ-hoz tartozó M Seifert-mátrix: !
!
lk(α, α+ ) lk(α, β + ) −1 0 M= = . + + lk(β, α ) lk(β, β ) −1 1
(3.13)
A (3.13) eredmény alapján 1/2
t
−1/2
M −t
−t1/2 M = −t1/2
0
>
t1/2
!
!
−t−1/2 −t−1/2 − = 0 t−1/2 !
−(t1/2 − t−1/2 ) t−1/2 = , −t1/2 t1/2 − t−1/2 78
amelyből ∆S41 (t) = det(t1/2 M − t−1/2 M > ) = −(t1/2 − t−1/2 )2 + 1 = −t + 3 − t−1
(3.14)
Megjegyzések. (3.13) alapján azonnal adódik, hogy >
det(41 ) = | det(M + M )| =
det
!
−2 −1 = 5. −1 2
A csomó determinánsának értéke az Alexander-polinom ismeretében a 3.1.27. Tétel alapján szintén közvetlenül megkapható: det 41 = |∆41 (−1)| = | − 1 − 3 − 1| = 5. Továbbá M + M > karakterisztikus polinomja −(2 + x)(2 − x) − 1 = x2 − 5. Bár a √ kapott polinomnak nincs racionális gyöke, azonban a valós gyökök (x1;2 = ± 5) előjele ellentétes, ami azt jelenti (a Sylvester-féle tehetetlenségi tétel értelmében), hogy σ(41 ) = = σ(M +M > ) = 0. Ez utóbbi tényről úgy is meggyőződhetünk, hogy az M +M > mátrixot Z felett a módosított Gauss-eliminációval (lásd [Freud, 1996, pp. 206–207.]) diagonális alakra hozzuk:
!
!
!
−2 −1 −2 −2 −2 0 ∼ ∼ . −1 2 −2 8 0 12 Ez után természetes kérdés, hogy a 41 csomó és a 4∗1 ekvivalens-e (hiszen a σ(41 ) = = 0, ami nem zárja ki az akiralitást). A válasz az, hogy igen: 41 -nek és 4∗1 -nak egyegy diagramját véve, az egyik néhány ügyesen végrehajtott Reidemeister-mozgás (majd planáris izotópia) segítségével a másikba alakítható.
3.4.2. Kauffman-állapotokkal Tekintsük a 41 csomó egy D diagramját. A 3.2. szakaszban bemutatott eljárást alkalmazzuk. Jelöljük meg a diagram egyik ívét egy × jellel, és „felejtsük el” az ×-szel szomszédos síktartományokat. Az ezután megmaradó tartományok halmazának (Dom0 (D)) és a diagram kereszteződései halmazának (Cr(D)) számossága megegyezik, így tekinthetjük azokat σ : Cr(D) → Dom0 (D) bijekciókat (ún. Kauffman-állapotokat), amelyek D minden kereszteződéshez egy vele szomszédos tartományt rendelnek. A módszer ereje abban rejlik, hogy kis méretű diagramok esetén relatíve könnyű számba venni az összes Kauffman-állapotot (3.25. ábra), amelyek pedig meghatározzák a csomó (illetve lánc) Alexander-polinomját. Az s és d függvények lokális definíciója (3.9. ábra), és a 3.25. ábra alapján értelemszerűen kitölthetjük a 3.1. táblázatot, amelynek legalsó sorában szereplő monomok összege pont a 41 csomó Alexander-polinomját adja. −1 = −t + 3 − t−1 ∆K 41 (t) = 1 − t + 1 + 1 − t
79
(3.15)
3.25. ábra. A 41 csomó Kauffman-állapotai Ks s
d
1. 2. 3. 4.
0 0 0 0
0 0 0 0
Σ
0
0
∆(t)
1
s
d
−1/2 0 0 1/2
−1 0 0 1
0
0 1
s
d
0 1/2 0 1/2
0 0 0 1
1
1 −t
s
d
0 1/2 −1/2 0 0 1
s
d
0 0 0 0
−1/2 0 −1/2 0
−1 0 0 0
0
−1
−1 −t−1
3.1. táblázat
3.4.3. Bogozási relációval A 3.1.31. és 3.2.6. Tételekben megismert bogozási reláció segítségével rekurzív eljárást adhatunk az Alexander-polinom kiszámítására. Az eljárás azért fejeződik be véges sok lépésben, mert a bogozási relációban (lásd a (3.5) kifejezést) szereplő láncok közül kettő mindig „egyszerűbb”, mint a harmadik: az egyiknek a diagramja kevesebb kereszteződést tartalmaz, míg a másik lánc kicsomózásához kevesebb kereszteződést kell átfordítanunk (egyszerűen meggondolható, hogy minden csomó [lánc] kicsomózható [szétszedhető] a diagram néhány kereszteződésének átfordításával). Ezen észrevétel alapján tehát mindig felépíthetjük egy lánc ún. feloldási fáját, amelynek gyökere a kiindulási lánc, levelei pedig triviális láncok (hiszen ezek azok, amelyek tovább már nem egyszerűsíthetők). Továbbá minden szülőnek két gyereke van, és a gyerekek a fenti értelemben egyszerűbbek a szülőnél. Miután a feloldási fát felrajzoltuk, az Alexander-polinomot alulról a csúcs felé haladva, a bogozási reláció néhányszori alkalmazásával könnyen megkaphatjuk (3.26. ábra).
80
3.26. ábra. A 41 nyolcas csomó feloldási fája. [Cromwell, 2004] 7.2. ábrája alapján.
81
3.4.4. A π1 (41 ) csoport prezentációja alapján Az 1.6. szakaszban a Wirtinger-féle eljárással megadtuk a nyolcas csomó csoportjának prezentációját (1.6.1. Példa): E D π1 (41 ) = π1 (X) ∼ = x, y xyx−1 y −1 xy −1 x−1 yxy −1 ,
(3.16)
ahol X = S 3 \ 41 a megszokott módon a csomó komplementumát jelöli. A fenti csoportprezentációból kiindulva, a 3.3.14. Következmény útmutatását követve most megadjuk a H1 (X∞ ; Z) Alexander-invariáns Z[t, t−1 ]-modulus prezentációját, amelyről leolvashatjuk a csomó Alexander-polinomját. A (3.16) prezentáció generátoraira ϕ(x) = ϕ(y) = 1 teljesül, ahol ϕ : π1 (X) → def
π1 (X)/π10 (X) a kanonikus szürjekció. Cseréljük ezért ki az y generátort az a = yx−1 elemre. Ekkor a prezentáció az y = ax összefüggésnek a relációba való behelyettesítésével a következőképp módosul: D E π1 (X) ∼ = x, a x(ax)x−1 (ax)−1 x(ax)−1 x−1 (ax)x(ax)−1 .
(3.17)
A kapott relációt tovább egyszerűsíthetjük: x(ax)x−1 (ax)−1 x(ax)−1 x−1 (ax)x(ax)−1 = xax−1 a−2 x−1 axa−1 = = (xax−1 ) (a−1 ) (a−1 ) (x−1 ax) (a−1 ) . |
{z r10
} | {z } | {z } | r20
r30
{z r40
} | {z } r50
A 3.3.14. Következményben leírtak alapján, amennyiben ri0 = xki a± x−ki alakú, akkor helyettesítsük a ±tki a kifejezéssel, a reláció(ka)t írjuk át additív alakba, továbbá hagyjuk el a prezentációból π1 (X) azon generátorát, amely nincs benne ϕ magjában. A helyettesítést és az additív alakba történő átírást elvégezve (xax−1 )(a−1 )(a−1 )(x−1 ax)(a−1 )
ta − a − a + t−1 a − a = (t − 3 + t−1 )a
adódik, és ezáltal a 41 csomó Alexander-invariánsának Z[t, t−1 ]-modulus prezentációja D E H1 (X∞ ; Z) ∼ = a (t − 3 + t−1 )a ,
ami azzal ekvivalens, hogy H1 (X∞ ; Z) ∼ = Z[t, t−1 ]/(t − 3 + t−1 )
(3.18)
Láthatjuk, hogy H1 (X∞ ; Z) valóban ciklikus modulus és a t − 3 + t−1 ∈ Z[t, t−1 ] Laurent-polinom generálja, amely Z[t, t−1 ]-beli egység erejéig egyértelműen meghatározott. Bármelyik generátort a 41 csomó Alexander-polinomjának neveztük. 82
4. fejezet Kitekintés 4.1. Az Alexander-polinom korlátai A dolgozat korábbi fejezeteiben láttuk, hogy az Alexander-polinom, valamint a kiszámításához kidolgozott módszerek hasznos eszközei láncok vizsgálatának. Nem árt azonban tisztában lennünk az elmélet korlátaival. Dolgozatunk zárásaként bemutatunk egy módszert, amellyel tetszőleges K ⊂ S 3 csomóból kiindulva elkészíthetünk egy olyan K 0 csomót, amelyre ∆(K 0 ) = 1, vagyis amelyet az Alexander-polinom nem különbözteti meg a O triviális csomótól. Ugyanakkor megmutatjuk, hogy ha a kiindulási K csomó nem-triviális, akkor K 0 sem lehet az. Speciálisan, az Alexander-polinom nem teljes csomó-invariáns.
4.1.1. Whitehead-féle kettős csomók Legyen K ⊂ R3 tetszőleges irányított szelíd csomó. Tekintsük K-nak egy V tubuláris környezetét, és annak ∂V határán egy olyan l longitúdót, amely K-val homológ V -ben, és amelyre lk(l, K) = 0 teljesül. Ilyen l hurok az 1.5.6. Állítás értelmében létezik. Vegyük az L = K t l lánc egy diagramját. 1. lépés. Tekintsünk egy olyan környezetet, ahol a lánc komponenseihez tartozó szálak egymás mellett párhuzamosan futnak és változtassuk meg a lánc diagramját lokálisan a 4.1. ábrán látható módon, azaz „csavarjuk össze” a két szálat n-szer (ahol teljes csavarásokra gondolunk, nem csupán félcsavarokra). A 4.1. ábrán az n = 1 eset látható. Negatív egészekre is ugyanígy értelmezhető a csavarás művelete, csak a menet iránya ellentétes.
4.1. ábra
83
2. lépés. Fordítsuk meg ezután l irányítását, és tekintsünk egy másik olyan környezetet a diagramon, ahol a lánc komponenseihez tartozó szálak szintén párhuzamosak (lásd 4.2. ábra, D0 ). Ebben a környezetben hajtsuk végre a 4.2. ábrán látható lokális változtatások egyikét, így a D± diagramot kapjuk, amely már egy egyetlen komponensből álló csomónak a diagramja.
4.2. ábra 4.1.1. Definíció (Whitehead-kettőzés). Legyen K ⊂ R3 (vagy S 3 ) csomó, és végezzük el a fenti bekezdésben leírt műveleteket. A kapott csomót W h± n (K) jelöli, ahol n a konstrukció első lépése során végrehajtott csavarások száma, illetve a kitevőben ‘+’, vagy ‘−’ szerepel aszerint, hogy a második lépésben a D+ , vagy D− lokális változtatást alkalmaztuk. A W h± n (K) csomót a K csomó (egyik) Whitehead-kettőzésének nevezzük [Whitehead, 1937]. A W h+ n (31 ) család vizsgálata def
Tekintsük a 31 háromlevelű csomó K+ = W h+ n (31 ) Whitehead-kettőzését, amely a 4.3. ábrán látható. A bogozási reláció és a Seifert-forma kombinálásával nagyon gyorsan kiszámíthatjuk K+ Alexander-polinomját. Eszerint ∆(K+ ) − ∆(K− ) = (t−1/2 − t1/2 )∆(K0 ).
(4.1)
Könnyen látható, hogy K− = O, ezért ∆(K− ) = 1. K0 pedig olyan csomó, amelynek Σ Seifert-felülete egy n-szer megcsavarodott körgyűrű. Legyen α ∈ H1 (Σ; Z) ∼ = Z a generátorelem (amelynek irányítását úgy választjuk meg, hogy a körgyűrű csavarodásának menetirányával együtt jobbsodrású rendszert alkosson). Ekkor egyszerűen meggondolható, hogy lk(α, α+ ) = n + 3. Az n = −3 esetben ezért a Σ-hoz tartozó Seifert-mátrix az 1 × 1-es nullmátrix, így ∆(K0 ) = 0. Mindezeket és a (4.1) egyenletet összevetve adódik, hogy ∆(K+ ) − 1 = 0 ⇔ ∆(W h+ −3 (31 )) = 1 = ∆(O). Jogosan merül fel a kérdés, hogy esetleg W h+ −3 (31 ) nem a triviális csomó-e. Hiszen ekkor egyáltalán nem gond, sőt szükségszerű, hogy ∆(W h+ −3 (31 )) = 1. Belátható azonban [Cromwell, 2004, pp. 78–85.], hogy ha kezdetben K nem-triviális csomó volt (pl. a 31 csomó ilyen), akkor tetszőleges n ∈ Z mellett a W h± n (K) csomó sem lehet triviális. 84
4.3. ábra. A háromlevelű csomó Whitehead-kettőzése. [Cromwell, 2004, p. 128.] alapján.
4.1.2. Következmény. Az Alexander-polinom nem teljes invariáns.
4.2. Többváltozós általánosítás1 Ebben a szakaszban bemutatjuk, hogy az előzőekben megismert, de csak csomók esetében definiált Alexander-invariáns (3.3.7. Definíció) – valamint a belőle származtatott Alexander-polinom (3.3.18. Definíció) – hogyan általánosítható többkomponensű láncokra. Látni fogjuk, hogy sok különböző úton elindulhatunk, de van két kitüntetett választási lehetőség, amelyek „szép” általánosításokra vezetnek. Az első visszaadja ugyanazt az (egyváltozós) Alexander-polinomot, amelyet ∆SL és ∆K L konstrukciójakor már megismertünk, és alaposan megvizsgáltunk (3.1. és 3.2. szakaszok). A második választás azonban egy többváltozós Laurent-polinomot eredményez, amelyben a határozatlanok száma a kiindulási lánc komponenseinek számával egyezik meg. Ez utóbbi polinomot nevezzük láncok többváltozós Alexander-polinomjának, amely fogalom dolgozatunk címében is szerepel.
4.2.1. Előkészületek és konstrukció Legyen L egy irányított (szelíd) lánc µ = l komponenssel (L1 , . . . , Ll az egyes komponensek). Legyen továbbá k ≤ l pozitív egész szám, és rögzítsünk egy ν : {1, . . . , l} −→ {1, . . . , k} 1
[Ozsváth et al., 2013] 10. fejezete alapján.
85
szürjekciót. Csak a két szélsőséges esettel fogunk foglalkozni, amikor k = 1, vagy k = = l. (Utóbbi esetben ν bijekció.) Tekintsük a lánc π1 (S 3 \ L) csoportját (1.5.1. szakasz). Az 1.5.5. Tételben láttuk, hogy H1 (S 3 \ L; Z) = π1 (S 3 \ L)/π10 (S 3 \ L) ∼ = Zl = h[m1 ], [m2 ], . . . , [m3 ]i , ahol az mi ⊂ S 3 \ L (i = 1, . . . , l) hurkokat úgy választjuk, hogy mi az Li komponens olyan irányított meridiánja legyen, amelyre lk(mi , Lj ) = δi,j teljesül, [mi ] pedig az mi hurok homológiaosztályát jelöli a H1 (S 3 \L; Z) csoportban. Továbbá h[m1 ], [m2 ], . . . , [ml ]i szabad Abel-csoportot jelöl. Az eddigiek alapján m indukál egy oE n D −1 m∗ : H1 (S 3 \ L; Z) ∼ = Zl −→ Zk = t1 , . . . , tk ti tj t−1 i tj 1 ≤ i < j ≤ l
def
leképezést, amelynek értékét a báziselemeken az m∗ ([mi ]) = tm(i) képlettel írjuk elő, és lineárisan kiterjesztjük a Zl csoportra. Ha most az Ab : π1 (S 3 \ L) → H1 (S 3 \ L; Z) abelizációt az m∗ leképezéssel komponáljuk, akkor egy def
α = m∗ ◦ Ab : π1 (S 3 \ L) −→ Zk f →X leképezést kapunk. Tekinthetjük a ker α ⊂ π1 (S 3 \L) részcsoporthoz tartozó pk : X k
fedést (a korábbi terminológiával összhangban X = S 3 \ L). Megjegyzés. k = l esetén α-t a fenti speciális bázisválasztásnak köszönhetően explicite is fel tudjuk írni: ha ω ⊂ X egy zárt hurok, akkor α(ω) = (lk(ω, L1 ), . . . , lk(ω, L1 )) (itt ω jelöli magát a hurkot, illetve annak homotópia-osztályát is.) f ; Z) csoportot bal oldali Λ A 3.3.2. szakaszban látottakkal analóg módon a H1 (X k k ±1 modulussá tehetjük, ahol Λk = Z[t±1 1 . . . , tk ] a k-változós Laurent-polinomok gyűrűje.
f ; Z) modulus egy Q prezentációját, vagyis egy olyan modulus-homomorTekintsük H1 (X k
fizmust, amelyre az alábbi rövid sorozat egzakt: Q f ; Z) −−−−−→ 0. Λsk −−−−−→ Λrk −−−−−→ H1 (X k Vegyük a Q mátrix rend-ideálját (3.3.17. Definíció). Tudjuk (3.3.16. Állítás), hogy a rendideál nem függ a prezentációs mátrix megválasztásától, és mivel a 3.3.21. Állítás terméf ; Z)-nak, mint Λ -modulusnak lészetes módon láncokra is általánosítható, ezért a H1 (X k k f ; Z) modulus Alexander-ideálja most tezik négyzetes prezentációs mátrixa. Emiatt H1 (X k 1 k is főideál, amelynek generátora Λk -beli egységgel (azaz ±t±a · . . . · ±t±a (ai ∈ Z) alakú 1 k
elemmel) való szorzás erejéig egyértelműen meghatározott. Ezt a generátort az L lánc m függvényhez tartozó többváltozós Alexander-polinomjának nevezzük.
86
Megjegyzés. Ha k = 1, akkor a fenti konstrukció az egyváltozós Alexander-polinomnak a 3.3.4. szakaszban megadott harmadik definícióját (3.3.18. Definíció) terjeszti ki több komponensből álló láncokra, és a kiterjesztés összhangban van a Seifert-forma segítségével megadott 3.1.23., valamint a Kauffman-állapotok által leírt 3.2.4. Definíciókkal. 4.2.1. Definíció (többváltozós Alexander-polinom). Legyen L = L1 t . . . t Ln egy irányított (szelíd), µ = n komponensből álló lánc. Ekkor a fenti konstrukció során k = n ±1 választással kapott ∆L (t1 , . . . , tn ) ∈ Z[t±1 1 , . . . , tn ] Laurent-polinomot az L lánc többvál-
tozós Alexander-polinomjának nevezzük.
4.2.2. Torres tételei 4.2.2. Tétel (Torres, 1953). Legyen L ⊂ S 3 egy µ = n komponensből álló lánc, amelynek többváltozós Alexander-polinomja ∆L (t1 , . . . , tn ). Ekkor az m1 , . . . , mn ∈ Z számok alkalmas választásával ∆L (t1 , . . . , tn ) =
1 (−1)n tm 1
· ... ·
n tm n ∆L
1 1 ,..., . t1 tn
A következő tétel általánosítja a 3.1.27. Tétel (2) pontját (ha K csomó, akkor ∆K (1) = = 1) láncokra, illetve azok többváltozós Alexander-polinomjára. 4.2.3. Tétel (Torres, 1953). Legyen L = (L1 , . . . , L) ⊂ S 3 egy µ = n komponensből álló lánc, amelynek többváltozós Alexander-polinomja ∆L (t1 , . . . , tn ). Ekkor (1) ∆L (1, . . . ,1) = 0, ha n ≥ 3, és ∆L (1,1) = lk(L1 , L2 ), amennyiben n = 2. l
n−1 (2) ∆L (t1 , . . . , tn−1 ,1) = (tl11 · . . . · tn−1 − 1)∆L0 (t1 , . . . , tn ), ahol L0 = L \ Ln és li =
= lk(Li , Ln ) (i = 1, . . . , n − 1), amennyiben n ≥ 3. (3) ∆L (t1 ,1) = ∆L1 (t1 ) · tl11 /(t1 − 1), ha n = 2 és l1 = lk(L1 , L2 ).
4.3. Záró gondolatok A többváltozós Alexander-polinom kiszámításának módszerei további tanulmányok, sőt kutatások tárgyát is képezhetik. Ralph Hartzler Fox (1913–1973) amerikai matematikus 1953 és 1960 között publikált ötrészes cikksorozatban (lásd [Fox, 1953], [1954], [1956], [1953] és [Chen, Fox, és Lyndon, 1958]) dolgozta ki a szabad differenciálkalkulus elméletét (amelyet ezért Fox-kalkulusnak is neveznek), amelynek segítségével egy L lánc
87
többváltozós Alexander-polinomját π1 (S 3 \ L) csoportjának prezentációja alapján számíthatjuk ki. A Fox-kalkulust azonban nemcsak a csomóelméleten belül [Crowell és Fox, 1977], hanem csoportkohomológiák, valamint fedőterek elméletében is alkalmazzák. Szoros kapcsolat van az ismert polinomiális lánc-invariánsok (Alexander-, Jones-, és HOMFLY-polinomok) valamint a különféle Floer-homológia2 elméletek között. Ez a kapcsolat napjainkban az alacsony dimenziós topológiában és a mérceelméletben is rendkívül gyümölcsözőnek bizonyul [Ellwood, Ozsváth, Stipsicz, és Szabó, 2006]. Egy közeljövőbeli kutatás kiindulópontja lehet – jelen dolgozatban bemutatott alapokra építve –, hogy esetleg a többváltozós Alexander-polinom is kiszámítható a 3.2. szakaszban látottakhoz hasonlóan, Kauffman-állapotok segítségével. Ehhez kapcsolódó fontos kérdés, hogy léteznek-e a bogozási relációhoz hasonló összefüggések a többváltozós esetben. Amennyiben valaki találna ilyen relációkat, az a többváltozós Alexander-polinom mélyebb megértéséhez, és további polinomiális invariánsok definiálásához is elvezethet.
A 3-komponensből álló Borromeánus gyűrűk Seifert-felülete. Az elnevezés onnan ered, hogy a régi arisztokrata itáliai Borromeo-család címerén ez a lánc szerepel. Az ábra a SeifertView nevű programmal készült.
2
A német matematikus, Andreas Floer (1956–1991) tiszteletére.
88
Irodalomjegyzék Ahlfors, Lars V. és Sario, Leo. Riemann Surfaces. Princeton University Press, 1960. Alexander, J. W. Topological invariants of knots and links. Trans. Amer. Math. Soc., 30:275–305, 1928. Alexander, J. W. és Briggs, G. B. On types of knotted curves. Ann. of Math., 28(2): 563–586, 1927-28. Banagl, Markus és Vogel, Denis (szerkesztők). The Mathematics of Knots. Springer Berlin Heidelberg, 2011. Bar-Natan, Dror és Morrison et al., Scott. The Knot Atlas. http://katlas.org, 2013. Hozzáférés: 2013. április 7. Bar-Natan, Dror; Fulman, Jason és Kauffman, Louis H. An elementary proof that all spanning surfaces of a link are tube-equivalent. J. Knot Theory Ramifications, 7(7): 873–879, 1998. Bredon, Glen E. Topology and Geometry. Springer, 1993. Burde, Gerhard és Zieschang, Heiner. Knots. De Gruyter, 2003. Chen, Kuo-Tsai; Fox, Ralph. H. és Lyndon, Roger C. Free Differential Calculus, IV. The Quotient Groups of the Lower Central Series. Ann. of Math., 68(1):81–95, 1958. Conway, John. H. An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. In Computational Problems in Abstract Algebra, pages 329–358. Pergamon, 1970. Cromwell, Peter R. Knots and Links. Cambridge University Press, 2004. Crowell, Richard H. és Fox, Ralph H. Introduction to knot theory. Springer, 1977. Ellwood, David A.; Ozsváth, Peter S.; Stipsicz, András I. és Szabó, Zoltán (szerkesztők). Floer Homology, Gauge Theory, and Low Dimensional Topology: Proceedings of
89
the Clay Mathematics Institute 2004 Summer School, Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Budapest, Hungary, June 5–26, 2004. American Mathematical Society, Clay Mathematics Institute, 2006. Flapan, Erica. When Topology Meets Chemistry: A Topological Look at Molecular Chirality. Cambridge University Press, 2000. Fox, Ralph H. Free Differential Calculus. I: Derivation in the Free Group Ring. Ann. of Math., 57(3):547–560, 1953. Fox, Ralph H. Free Differential Calculus. II: The Isomorphism Problem of Groups. Ann. of Math., 59(2):196–210, 1954. Fox, Ralph H. Free Differential Calculus III. Subgroups. Ann. of Math., 64(3):407–419, 1956. Fox, Ralph H. Free Differential Calculus, V. The Alexander Matrices Re-Examined. Ann. of Math., 71(3):408–422, 1960. Frankl, F. és Pontrjagin, Lev. Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie. Math. Ann., 102(1):785–789, 1930. Freud, Róbert. Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, 1996. Freyd, Peter; Yetter, David; Hoste, Jim; Lickorish, W. B. Raymond; Millett, Kenneth és Ocneanu, Adrian. A new polynomial invariant of knots and links. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 12(2):239–246, 1985. Gordon, Cameron McA. és Luecke, John E. Knots are Determined by Their Complements. J. Amer. Math. Soc., 2(2):371–415, 1989. Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. James, Ioan Mackenzie. History of Topology. North Holland, 1999. Jones, Vaughan F. R. A Polynomial Invariant for Knots via von Neumann Algebras. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 12(1):103–111, 1985. Kauffman, Louis H. Formal Knot Theory. Princeton University Press, 1983. Kauffman, Louis H. On Knots. Princeton University Press, 1987. Kiss, Emil. Bevezetés az algebrába. Typotex, 2007. Messer, Robert és Straffin, Philip. Topology Now! MAA, 2006. 90
Ozsváth, Peter S.; Stipsicz, András I. és Szabó, Zoltán. Grid diagrams for knots and links. kézirat, megjelenés alatt (American Mathematical Society), 2013. Przytycki, Józef H. From Goeritz Matrices to Quasi-alternating Links. In Banagl, Markus és Vogel, Denis (szerkesztők), The Mathematics of Knots, pages 257–316. Springer Berlin Heidelberg, 2011. Radó, Tibor. Über den Begriff der Riemannschen Fläche. Acta Sci. Math. (Szeged), 2 (2-2):101–121, 1924–26. Reidemeister, Kurt. Elementare Begründung der Knotentheorie. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 5:24–32, 1927. Rolfsen, Dale. Knots and Links. AMS Chelsea Publishing, 2003. (első kiadás: Publish or Perish, Berkeley, 1976). Scharein, Robert G. Interactive Topological Drawing. Doktori értekezés, Department of Computer Science, The University of British Columbia, 1998. Scharein, Robert G. Knotplot script for celticc. http://www.knotplot.com/postscript/m/CelticC.html, 2013.
Hozzáférés: 2013.
május 28. Seifert, Herbert. Über das Geschlecht von Knoten. Math. Ann., 110(1):571–592, 1935. Stillwell, John. Classical Topology and Combinatorial Group Theory. Springer, 1993. Stipsicz, András. Kis csomóelmélet (kézirat). http://www.renyi.hu/~stipsicz/algtop/csomok.pdf, 2010. (2013. május 25.). Szűcs, András. Topológia (ELTE, egyetemi jegyzet). http://www.cs.elte.hu/~szucs/Top1−2.pdf. Hozzáférés: 2013. május 25. Torres, Guillermo. On the Alexander polynomial. Ann. of Math., 57(1):57–89, 1953. Whitehead, J. H. C. On doubled knots. J. London Math. Soc., 12(1):63–71, 1937. Zassenhaus, Hans. The Theory of Groups. Dover Publications, 1958.
91
