Bab 3 Gelanggang Polinom Miring Dalam bab ini akan dibahas mengenai Gelanggang Poliom Miring mulai dengan bentuk yang sederhana (satu variabel) sampai ke bentuk yang lebih kompleks (banyak variabel) berikut pembentukannya dari aljabar dan turunan nilpoten pada aljabar tersebut.
3.1
Gelanggang Polinom Miring dengan Satu Variabel
Sebelum uraian mengenai gelanggang polinom miring, berikut akan dijelaskan terlebih dahulu definisi tentang modul, aljabar, serta homomorfisma modul yang akan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya. Definisi 3.1.1
Misalkan R suatu gelanggang. Modul kiri M atas gelanggang
R atau ditulis R-modul kiri, adalah sistem matematika dengan operasi kali skalar
yang memenuhi sifat dan hubungan
berikut. (i)
membentuk grup komutatif.
(ii) Untuk setiap Untuk semua
dan dan
yang dilengkapi
hasil kali skalarnya ditulis
di , serta dan
a. b. c. d.
11
di M berlaku:
Jika pengali skalar berada di sebelah kanan, maka kita punya modul kanan. Dalam hal gelanggang R komutatif, mudul kiri adalah juga modul kanan dan hanya disebut R-modul. Contoh 3.1.2
Misalkan R suatu gelanggang komutatif,
dan
berturut-turut menyatakan himpunan matriks dengan entri-entri di berukuran modul kiri, Definisi 3.1.3
dan
Maka
merupakan suatu
-
-modul kanan, juga merupakan -modul. Misalkan R suatu gelanggang. Suatu R-Modul M disebut R-
aljabar jika M merupakan suatu gelanggang dan memenuhi sifat untuk setiap
dan
.
Contoh 3.1.4 a. Setiap gelanggang merupakan -aljabar, b. Jika R gelanggang komutatif maka gelanggang polinom
merupakan
suatu -aljabar, Definisi 3.1.5
Misalkan R suatu gelanggang. Misalkan pula M dan N adalah
dua buah R-modul kiri. Homomorfisma modul atau R-homomorfisma (disebut juga morfisma modul atau R-morfisma)
adalah suatu
pemetaan yang memenuhi: (i) (ii)
, untuk semua , untuk semua
dan
di M, dan
dan
Contoh 3.1.6 Misalkan R suatu gelanggang dan matriks dengan entri-entri di dengan
berukuran
untuk semua dan
Pemetaan merupakan suatu homomor-
fisma modul karena setiap
menyatakan himpunan
dan .
12
untuk
Selain itu, berikut dijelaskan pula definisi turunan yang akan digunakan pada pembentukan gelanggang polinom miring. Definisi 3.1.7
Misalkan K suatu lapangan dan S suatu K-aljabar. Suatu
homomorfisma grup
disebut turunan (derivasi) jika untuk setiap
berlaku Contoh 3.1.8 Misalkan atas
. Dalam hal ini yaitu
didefinisikan
. suatu lapangan dan merupakan suatu untuk semua (dalam hal ini
13
adalah gelanggang polinom -aljabar. Turunan . Dengan ).
Dengan demikian
pada Contoh 3.1.8 di atas memenuhi untuk setiap
. Jika
lapangan
bilangan riil, maka hal ini sesuai dengan aturan hasilkali turunan yang dipelajari pada kalkulus. Definisi 3.1.9 Misalkan K suatu lapangan. Misalkan S suatu K-aljabar dan D turunan (derivasi) pada S. D disebut nilpoten secara lokal (locally nilpotent) jika untuk setiap
terdapat
sehingga
Contoh 3.1.10 Turunan pada gelanggang polinom
. seperti pada Contoh
3.1.8 merupakan turunan yang nilpoten secara lokal karena untuk setiap dengan derajat polinom
terdapat
. Perhatikan bahwa nilai berbeda nilai
bergantung pada polinom
sehingga . Untuk
pun berbeda. Hal inilah yang mendasari munculnya
konsep nilpoten secara lokal. Definisi turunan yang nilpoten secara lokal tersebut khususnya akan digunakan pada pembentukan gelanggang polinom miring dari aljabar yang akan dibahas pada Subbab 3.3. Misalkan
suatu gelanggang dan
Misalkan pula
adalah gelanggang polinom atas
adalah turunan di
Konstruksi suatu himpunan
yaitu himpunan polinom yang berbentuk dengan
polinom di
14
.
.
Misalkan
yaitu
Untuk membentuk
menjadi suatu gelanggang, didefinisikan operasi
penjumlahan dan perkalian pada A sebagai berikut.
dengan
jika
dan
jika
Pada definisi perkalian unsur-unsur mengandung koefisian
serta
di atas terdapat suku-suku yang
. Dalam hal ini variabel
berada di sebelah kiri
. Selanjutnya, pada uraian berikut kita akan mencoba untuk
mengubah bentuk ini menjadi bentuk dimana suku-suku pada hasilkali di atas dapat ditulis dalam bentuk polinom dengan variabel Definisikan berikut. Ambil
.
. Definisi ini didasarkan atas uraian dan
15
Dapat dilihat bahwa, Jadi diperoleh
. .
Selanjutnya, dilakukan proses rekursif sebagai berikut
dan seterusnya, sehingga diperoleh
Hasil rekursif ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika pada pangkat sebagai berikut.
16
Ambil
Perhatikan bahwa
maka persamaan benar untuk
dan untuk
Misalkan persamaan benar untuk pangkat
bernilai
yaitu,
Akan dibuktikan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk pangkat bernilai
17
Perhatikan bahwa pada uraian tersebut terdapat penjumlahan:
.
Ambil
18
Diperoleh
Dengan demikian, operasi penjumlahan bersifat komutatif di A. Selanjutnya, operasi penjumlahan pun bersifat assosiatif di A.
19
dengan
sehingga berlaku,
Dengan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa
membentuk grup
komutatif. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa operasi perkalian di A memenuhi sifat assosiatif.
20
Diperoleh
Selain itu, operasi penjumlahan dan perkalian di A memenuhi sifat distributif.
21
juga,
Jadi, dengan definisi penjumlahan dan perkalian seperti di atas maka merupakan suatu gelanggang dan membentuk gelanggang polinom miring. Keunikan gelanggang polinom miring ini telah lebih dahulu dinyatakan dalam pendefinisian
. Dalam hal ini
. Dengan
demikian, gelanggang polinom miring merupakan suatu gelanggang yang tidak komutatif.
22
Contoh khususnya, jika dipilih atau
, maka akan diperoleh yang merupakan salah satu contoh dari
Aljabar Weyl seperti dibahas pada rujukan Coutinho (1995) bagian Introduction dan Chapter 1.
3.2
Gelanggang Polinom Miring dengan Banyak Variabel
Pada subbab ini akan dijelaskan perumuman bentuk dari polinom miring dengan satu variabel menjadi polinom miring dengan banyak variabel. Definisikan
Konstruksi suatu himpunan
Dengan langkah yang sama seperti pada kasus satu variabel, untuk membentuk
menjadi suatu gelanggang didefinisikan operasi penjumlahan
dan perkalian pada B sebagai berikut.
23
Ambil
yaitu
Operasi penjumlahan didefinisikan dengan
dengan
.
Sedangkan, operasi perkalian didefinisikan dengan
Dalam operasi perkalian di atas didefinisikan bahwa turunan-turunan saling komutatif, yaitu
Juga didefinisikan dan
.
Atau secara umum
dan dengan
dengan kasus polinom miring dengan satu variabel.
24
. Definisi ini sesuai
3.3
Turunan Nilpoten pada Aljabar
Keberadaan suatu turunan yang nilpoten secara lokal pada suatu aljabar memegang peran yang cukup penting. Hal ini memungkinkan kita untuk memandang aljabar tersebut sebagai gelanggang polinom. Lebih lanjut, kita bisa mengkonstruksi suatu gelanggang polinom miring atas aljabar. Lema 3.3.1 (Wright, 1981) Misalkan K suatu lapangan dan S suatu K-aljabar. Misalkan pula D suatu turunan yang nilpoten secara lokal pada S dan terdapat sehingga
, maka
(1) (2)
, dengan R gelanggang konstanta dari S .
Pembuktian Lema 3.3.1 ini diawali dengan pendefinisian dua buah homomorfisma gelanggang
dan
dengan didahului definisi berikut.
Definisi 3.3.2 Misalkan R dan S dua buah gelanggang. Pemetaan disebut homomorfisma gelanggang jika setiap
memenuhi
(i) (ii) Misalkan S suatu gelanggang dan D derivasi yang nilpoten secara lokal di S. Definisikan suatu pemetaan
Ambil
dengan
, karena D nilpoten secara lokal maka terdapat untuk
. Dengan demikian,
25
sehingga
Perhatikan bahwa untuk setiap
untuk setiap sehingga diperoleh
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa
memenuhi
26
atau .
Perhatikan bahwa untuk setiap
berlaku,
Dalam hal ini
dan .
Berlaku pula,
27
untuk
Dalam hal ini bahwa
. Dengan uraian di atas diperoleh
suatu homomorfisma gelanggang.
S suatu K-Aljabar dan
, maka St ideal dari S. Pandang ruang kuosien
. Selanjutnya, konstruksi juga pemetaan setiap
ke
. Ambil
yang memetakan , maka berlaku
28
dan
Maka
juga merupakan suatu homomorfisma gelanggang.
Bukti Lema 3.3.1 Definisikan suatu pemetaan
Perhatikan bahwa
dengan
. Lema di atas akan dibuktikan dengan terlebih
dahulu menunnjukkan bahwa karena
dan
merupakan suatu isomorfisma. Pertama,
merupakan homomorfisma maka
juga merupakan
suatu homomorfisma. Selanjutnya, untuk membuktikan
pada (surjektif), cukup dibuktikan bahwa
karena jika untuk setiap maka untuk setiap
terdapat
sehingga
.
Tulis
Dengan demikian akan terdapat
sehingga
. Misalkan
dan misalkan peta
dinyatakan dengan . Karena D nilpoten
secara lokal maka terdapat
sehingga
.
29
untuk setiap
Dengan demikian
Akan dibuktikan bahwa jika
maka
. Pembuktian akan
dilakukan dengan induksi matematika pada . (i) Untuk Jelas bahwa untuk setiap
dengan
atau
maka
. Jadi, (ii) Misalkan pernyataan benar untuk Artinya, untuk setiap berlaku (iii) Ambil
dengan
atau terdapat dengan
atau
dan
. Karena
demikian diperoleh
.
Selanjutnya,
30
atau sehingga . Definisikan maka
. Dengan
Perhatikan bahwa,
Dengan demikian persamaan
menjadi
Berdasarkan hipotesis induksi untuk terdapat
dengan
sehingga . Jadi,
. Maka diperoleh yang berarti
Kemudian, akan dibuktikan bahwa
bersifat pada.
bersifat satu-satu (injektif).
Pembuktian akan dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan maka itu,
atau terdapat atau untuk suatu
maka
sehingga
untuk setiap .
31
tidak satu-satu, . Oleh karena
Berlaku pula
Tulis
Diperoleh
Karena sehingga
kembali
atau
dan
, maka haruslah
untuk suatu
. Diperoleh
. Proses dilanjutkan sehingga diperoleh
untuk suatu
. Dengan proses ini didapat bahwa
membagi
untuk setiap Selanjutnya perhatikan bahwa
Karena
,
maka
diperoleh sehingga
. Dengan demikian kontradiksi dengan
membagi untuk setiap
suatu isomorfisma atau
Pada pembahasan awal telah diperoleh
, maka
. Hal ini
nilpoten secara lokal. Maka, haruslah
bersifat satu-satu sehingga didapat
konstanta
untuk setiap
. Jadi, .
, maka . Misalkan
gelanggang
maka
atau
. Karena
. Lema 3.3.1 menyatakan bahwa setiap aljabar turunan nilpoten secara lokal polinom
yang dilengkapi dengan
di , merupakan suatu gelanggang
. Dengan demikian, kita bisa membentuk suatu gelanggang
polinom miring
32
Lema 3.3.1 dapat diperumum untuk kasus banyak variabel seperti dinyatakan dalam teorema berikut. Proposisi 3.3.3 (Wright, 1981) Misalkan K suatu lapangan dan S suatu Kaljabar. Misalkan
derivasi-derivasi nilpoten secara lokal pada S
yang komutatif dan terdapat (1)
sehingga
, maka
, dengan R gelanggang konstanta dari S terhadap ,
(2)
.
Proposisi 3.3.3 ini dibuktian dengan induksi matematika. Kasus
telah
dijelaskan dengan Lema 3.3.1. Pembuktian lengkapnya dapat dilihat pada rujukan Coutinho (1995), Chapter 4 Section 3.
3.4 Gelanggang
Polinom
Miring
sebagai
Gelanggang
Operator Pada subbab ini akan dipaparkan Gelanggang Polinom Miring yang dipandang sebagai gelanggang operator. Untuk mempermudah pembahasan, hal ini dilakukan pada polinom miring dengan satu variabel. Misalkan
suatu gelanggang,
adalah turunan di
Misalkan
adalah gelanggang polinom atas
sehingga diperoleh gelanggang polinom miring
.
33
dan
Ambil
dan
Dalam uraian di atas, sehingga diperoleh pula
untuk setiap
. Uraian di atas menunjukkan bahwa merupakan suatu homomorfisma modul di
atau
sehingga diperoleh
Hal ini menyatakan
bahwa anggota-anggota gelanggang polinom miring dan
suatu subgelanggang dari
merupakan operator di
dengan
operator. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa operator.
34
gelanggang suatu gelanggang
