DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR
5. Taylor-polinom
5.1. Feladat. Írjuk fel az f (x) = e2x függvény x0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelít˝o értékét! megoldás: Els˝o lépésben kiszámoljuk a függvény els˝o négy deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x0 = 0 helyen: f (k) (x) f (k) (x0 ) k=0
e2x
1
k=1
2e2x
2
k=2
4e2x
4
k=3
8e2x
8
k=4
16e2x
16
Az f függvény x0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomja f 000 (x0 ) f (4) (x0 ) f 00 (x0 ) 2 3 T4 (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )4 . 2 6 24 0
Ebbe behelyettesítve a megfelel˝o adatokat 4 8 16 T4 (x) = 1 + 2(x − 0) + (x − 0)2 + (x − 0)3 + (x − 0)4 . 2 6 24 Elvégezve az egyszer˝usítéseket 4 2 T4 (x) = 1 + 2x + 2x2 + x3 + x4 . 3 3 Az e közelít˝o értékét úgy kapjuk, ha az el˝obbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = 12 helyen: 2 3 4 1 1 1 4 1 2 1 1 1 1 65 e ≈ T4 =1+2· +2· + · + · =1+1+ + + = . 2 2 2 3 2 3 2 2 6 24 24 1
2
KÉZI CSABA GÁBOR
5.2. Feladat. Írjuk fel az f (x) = ln 2x függvény x0 = Ennek segítségével számoljuk ki ln 2 közelít˝o értékét!
1 2
pont körüli harmadfokú Taylor polinomját!
megoldás: Els˝o lépésben kiszámoljuk a függvény els˝o három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x0 = 1/2 helyen: f (k) (x)
f (k) (x0 )
k=0
ln 2x
0
k=1
1 x
2
k=2
− x12
−4
k=3
2 x3
16
Az f függvény x0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja T3 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 000 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 )2 + (x − x0 )3 . 2 6
Ebbe behelyettesítve a megfelel˝o adatokat 2 3 16 1 4 1 1 T3 (x) = 0 + 2 x − + . − x− x− 2 2 2 6 2 Elvégezve az egyszer˝usítéseket
1 T3 (x) = 2 x − 2
1 −2 x− 2
2
8 + 3
3 1 x− . 2
Az ln 2 közelít˝o értékét úgy kapjuk, ha az el˝obbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = 1 helyen: 2 3 1 1 8 1 1 1 5 −2 1− + 1− =1− + = . ln 2 ≈ T3 (1) = 2 1 − 2 2 3 2 2 3 6 5.3. Feladat. Írjuk fel az f (x) = arctg x függvény x0 = 1 pont körüli harmadfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki arctg 0, 9 közelít˝o értékét! megoldás: Els˝o lépésben kiszámoljuk a függvény els˝o három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x0 = 1 helyen:
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
3
f (k) (x)
f (k) (x0 )
k=0
arctg x
π 4
k=1
1 1+x2
1 2
k=2
−(1 + x2 )−2 · 2x
− 12
k=3
2(1 + x2 )−3 · 4x2 − (1 + x2 )−2 · 2
1 2
Az f függvény x0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja T3 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 000 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 )2 + (x − x0 )3 . 2 6
Ebbe behelyettesítve a megfelel˝o adatokat π 1 1 1 T3 (x) = + (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 . 4 2 4 12 Az arctg 0, 9 közelít˝o értékét úgy kapjuk, ha az el˝obbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = 0, 9 helyen: π 1 1 1 arctg 0, 9 ≈ T3 (0, 9) = + (0, 9 − 1) − (0, 9 − 1)2 + (0, 9 − 1)3 ≈ 0, 7374. 4 2 4 12 5.4. Feladat. Írjuk fel az f (x) = ex függvény x0 = 0 pont körüli n-edfokú Taylor polinomját és Lagrange-féle maradéktagot! Adjuk meg az e közelít˝o értékét négy tizedesjegy pontossággal! megoldás: Az f (x) = ex függvény minden deriváltja ex , melynek a 0 helyen a helyettesítési értéke 1. A függvény x0 pont körüli Taylor polinomja Tn (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + . . . + (x − x0 )n . 2 n!
Ebbe behelyettesítve a megfelel˝o adatokat 1 1 1 1 Tn (x) = 1 + 1(x − 0) + (x − 0)2 + . . . + (x − 0)n = 1 + x + x2 + . . . + xn . 2 n! 2 n! A maradéktag eξ , ahol ξ ∈ [0, 1]. (n + 1)! Mivel
eξ 4 < . (n + 1)! (n + 1)!
A megkövetelt pontosság azt jelenti, hogy a maradéktagra teljesülnie kell, hogy 4 ≤ 0, 0001, (n + 1)!
4
KÉZI CSABA GÁBOR
ami pontosan akkor áll fenn, ha 4 ≤ 0, 0001(n + 1)!, azaz (n + 1)! ≥ 40.000 kell, hogy teljesüljön. A legkisebb pozitív egész n, ami azt teljesíti a 7. Ekkor az e szám 4 tizedesjegyre pontos értéke e≈1+
1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ≈ 2, 7182. 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
5.5. Feladat. Írjuk fel az f (x) = sin x függvény x0 = 0 pont körüli Taylor-sorát (azaz a Maclaurinsorát)! megoldás: Els˝o lépésben kiszámoljuk a függvény els˝o néhány deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x0 = 0 helyen: f (k) (x)
f (k) (x0 )
k=0
sin x
0
k=1
cos
1
k=2
− sin x
0
k=3
− cos x
-1
k=4
sin x
0
Vegyük észre, hogy minden páros sorszámú derivált értéke 0, így csak a pártalan sorszámú tagok fognak szerepelni a Taylor polinomban. Emiatt a (2n + 1)-edik Taylor polinomot foguk felírni. Az f függvény x0 pont körüli Taylor polinomja Tn (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 000 (x0 ) f (n) (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 )2 + (x − x0 )3 + . . . + (x − x0 )n . 2 3! n!
Ebbe behelyettesítve a megfelel˝o adatokat n
X (−1)k 0 −1 x 3 x5 T2n+1 (x) = 0+1(x−0)+ (x−0)2 + (x−0)3 +. . . = x− + +. . . = x2k+1 . 2 3! 3! 5! (2k + 1)! k=0 A maradéktag L2n+3 (x) =
f (2n+3) (ξ). (2n + 3)!
Mivel azonban |f (2n+3) | ≤ 1, ezért lim L2n+3 (ξ) = 0,
n→∞
így a sin x függvény Taylor sora ∞ X (−1)k 2k+1 sin x = x . (2k + 1)! k=0
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
5
5.6. Feladat. Írjuk fel az f (x) = x3 + 5x2 − 7x + 3 polinomot x − 1 polinomjaként! megoldás: Mivel a megadott polinom harmadfokú, ezért a negyedik deriválttól kezdve minden további derivált már 0. Mivel x − 1 polinomjaként szeretnénk felírni a polinomot, ezért az x0 = 1 pont körüli Taylor-polinomját írjuk föl az f függvénynek. Els˝o lépésben kiszámoljuk a függvény els˝o három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x0 = 1 helyen: f (k) (x) f (k) (x0 ) k=0
x3 + 5x2 − 7x + 3
2
k=1
3x2 + 10x − 7
6
k=2
6x + 10
16
k=3
6
6
Az f függvény x0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja f 00 (x0 ) f 000 (x0 ) T3 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + (x − x0 )3 . 2 6 Ebbe behelyettesítve a megfelel˝o adatokat T3 (x) = 2 + 6 (x − 1) +
16 6 (x − 1)2 + (x − 1)3 . 2 6
Elvégezve az egyszer˝usítéseket T3 (x) = 2 + 6 (x − 1) + 8 (x − 1)2 + (x − 1)3 .
6
KÉZI CSABA GÁBOR
I RODALOMJEGYZÉK [1] Bartha Gábor – Bogdán Zoltán – Duró Lajosné dr. – Gyapjas Ferencné – Hack Frigyes – dr. Kántor Sándorné – dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgy˝ujtemény II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. [2] Farkas István: Differenciálszámítás gyakorlati jegyzet, Debreceni Egyetem, 2005. [3] Gilbert János – Sólyom András – Kocsányi László: Fizika mérnököknek I-II, Egyetemi Tankönyv, M˝uegyetemi Kiadó, 1999. [4] Nándori Frigyes – Szirbik Sándor: Statika oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez˝os hallgatói részére, Mechanikai Tanszék, Miskolc-Egyetemváros, 2008. [5] Nagyné Kondor Rita – Szíki Gusztáv Áron: Matematika eszközök mérnöki alkalmazásokban, Egyetemi jegyzet, Debreceni Egyetem, 2011. [6] Kovács István – Trembeczki Csaba: Sokszín˝u matematika feladatgy˝ujtemény, az analízis elemei 11–12 emelt szint, Mozaik Kiadó, Szeged, 2011. [7] Lengyel Csilla Mária: Széls˝oérték-feladatok különböz˝o megoldási módszerei, ELTE, szakdolgozat, 2012. [8] Simon Anita: Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása, szakdolgozat, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, 2009. [9] Szentelekiné Dr. Páles Ilona: Analízis példatár, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2011. [10] George B. Thomas – Maurice D. Weir – Joel Hass – Frank R. Giordano: Thomas féle kalkulus I. kötet, Typotex, Budapest, 2008.
