569
Lembar Kerja Siswa
Faktorisasi Bentuk Aljabar Materi Singkat: 1. Pengertian Suku pada Bentuk Aljabar 1.1.1
Suku Tunggal dan Suku Banyak 4a,5a 2 b, 6 x 2 3 xy 8 y Bentuk-bentuk seperti (suku satu/tunggal) dan (suku banyak) disebut bentuk Aljabar. 1.1.2 Suku-suku Sejenis Perhatikan bentuk aljabar berikut ini ! 12 x 2 9 x 8 y 7 xy 4 x 2 5 y Bentuk
aljabar
diatas
terdiri
dari
6
suku,yaitu
12 x 2 ,9 x,8 y,7 xy,4 x 2 , dan5 y , dengan suku-suku yang sejenis yaitu : i)
12x
2
8y
dan
4x
2
5y
ii) dan Suku-suku dikatakan sejenis bila memiliki variable yang sama, dan variable yang sama itu harus memiliki pangkat yang sama juga. Dengan kata lain, suku-suku yang sejenis hanya berbeda pada koefisiennya. 1.2 Operasi Hitung Pada bentuk Aljabar 1.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
570
Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut ini.
i) ii) i) ii)
a. Suku-suku sejenis b. Sifat Distributif perkalian terhadap penjumlahan pengurangan, yaitu : ab ac a (b c) a (b c) ab ac atau ab ac a (b c ) a (b c) ab ac atau c. Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu: Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif Hasil perkalian dua bilangan bulat negative adalah bilangan bulat
positif iii)
Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negative adalah bilangan bulat negative
1.2.2
Perkalian bentuk Aljabar
Bentuk-bentuk perkalian suku dua dan suku banyak yang perlu diingat kembali meliputi materi sebagai berikut.
x ( x a ) x 2 ax 1.
x( x a b) x 2 ax bx 2.
1.2.3
Pembagian Bentuk Aljabar
571
Jika dua bentuk aljabar memiliki factor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk yang sederhana dengan memperhatikan factorfaktor yang sama.
KPK dari dua bilangan atau lebih diperoleh dari hasil kali faktor-faktor prima yang berbeda dengan pangkat yang lebih tinggi. Untuk FPB, diperoleh dari faktor-faktor prima yang sama dengan mengambil pangkat yang terendah. 1. Pecahan dalam bentuk aljabar dapat dijumlahkan dan dikurangkan jika penyebutnya sama, jika berbeda harus disamakan. 2. Perkalian pada pecahan adalah mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut, sedangkan untuk pembanggian sama artinya dengan perkalian pecahan dan kebalikan pecahan kedua. 3. Pemangkatan pecahan bentuk aljabar Sifat perkallian dan pemangkatan pecahan : a c axc a. b x d = b x d
b.
a ( b )
n
=
ax a x ax … xa bx b xb x … xb 4. Menyederhanakan pecahan bersusun x+ y x x y Contoh: = (x + y) : ( 1 + 1 2
+
y 2 )
=
(x + y) : (
2 x+ y ¿ 2
572
= (x + y) x
2 2 x+ y
=
2 x +2 y 2 x+ y
Soal Latihan 1. Bentuk aljabar berikut ini yang suku tiga adalah.... a. 2x (5x + 3y) + 3x2 b. 7 (3x – y) + 2x c. 5 (2x + 3y) + 4 d. 7x+2y+6xy +1 2 2. Koefisien y pada (3x – 5y)(-7y) adalah.... a. -35 b. -18 c. 18 3. Koefisien dari bentuk aljabar 3p – 2q – 5 adalah.... a. p dan q b. -5 c. 3 dan 2 4. Bentuk sederhana dari 12a - 3b -8a + 7b adalah.... a. 4a + 4b b. -4a – 4b c. -8a + 7b d. 12a – 3b 5. P = 4 (x + 3) +3 + 7 (5 – 2x). Jika x = 3 maka nilai dari P adalah.... a. 50 b. 40 c. 30 6. Hasil dari (2x – 5) – (4x – 3) adalah..... a. -2x – 2 b. -2x – 8 c. 2x – 2 7. Jika 5 + px = -7, maka untuk x = -3 nilai p adalah..... a. 4 b. 3 c. -3
d. 35 d. 3 dan -2
d. 20 d. 2x + 8 d. -4
573
8. Hasil dari a.
1 4a
−1 4 a−3 b
d.
–
2 3 a , adalah..... b.
−3 a−8 b 12 ab
c.
3 b−8 a 12 a
3 a−8 b 12 ab
9. Jika diketahui (3x + p) (2x + q) = 6x2 – 13x + 6, maka nilai p dan q berturut-turut adalah... a. -2 dan -3 b. -3 dan -2 c. 2 dan -3 2 2 2 10. Jika (-3p – 5q) = 25q + 9p + x, maka nilai x adalah.... a. 30pq b. 15pq c. -15pq
d. 3 dan -2 d. -30pq
574
Lembar Kerja Siswa FUNGSI 1. Pengertian Relasi Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan himpunan B. Menyatakan Relasi Relasi antara dua himpunan yang ditentukan dapat dinyatakan dengan caracara berikut ini : a. Diagram panah b. Diagram Cartesius c. Himpunan pasangan berurutan 2. Fungsi dan Pemetaan Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke B adalah Relasi Khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Menyatakan Pemetaan Pada pembahasan pengertian pemetaan telah dikemukakan bahwa pemetaan adalah relasi khusus. Oleh karena itu, pemetaan pun dapat dinyatakan dengan tiga cara berikut. a. Diagram panah
575
b. Diagram Cartesius c. Himpunan pasangan berurutan.
Korespodensi Satu-satu Himpunan A dikatakan berkorespodensi satu-satu dengan himpunan B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B, dan setiap anggota B dipasangkan dengan tepat satu anggota A. Dengan demikian, banyak anggota himpunan A ke B haruslah sama.
Merumuskan Suatu Fungsi Suatu fungsi yang dinyatakan dengan aturan tertentu umumnya diberi nama dengan menggunakan huruf latin kecil, misalnya f,g,h atau huruf lainnya. Jika fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota himpunan B, maka dapat ditulis sebagai berikut. f : x -> y dibaca : fungsi f memetakan x ke y. Dalam hal ini y disebut bayangan (peta) dari x oleh f.
Variabel Bebas dan Variabel Bergantung Dalam persamaan grafik fungsi y=f(x)=ax+b,nilai y selalu bergantung pada nilai x. Variabel x disebut Variabel bebas dan Variabel y disebut variable bergantung.
Materi Singkat 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda-benda (obyek) yang dapat didefinisikan dengan jelas. Contoh : - Kumpulan hewan berkaki empat ( himpunan ) - Kumpulan siswa pandai ( bukan himpunan )
576
Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital, dan anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil di antara dua kurung kurawal “{ }”. Anggota himpunan tidak boleh sama (hanya ditulis satu kali). Contoh : Q = Himpunan penyusun kata “matematika” Q = {m, a, t, e, i, k} 2. Anggota Himpunan Adalah benda atau obyek yang membentuk suatu himpunan. Jika x anggota A, maka ditulis x ∈ A. Jika x bukan anggota A, maka ditulis x ∉ A. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A). 3. Menyatakan Suatu Himpunan Untuk menyatakan suatu himpunan dapat dilakukan dengan tiga cara : a) Menyatakan dengan kata-kata Contoh : K = Himpunan bilangan cacah K = {bilangan cacah} b) Menyatakan dengan notasi pembentuk himpunan Contoh : K = { x I x ∈ bilangan cacah } c) Menyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya Contoh : K = { 0, 1, 2, 3, 4, ..... } 4. Himpunan Kosong Adalah hompunan yang tidak mempunyai anggota, disimbolkan dengan { } atau ∅ . 5. Himpunan semesta Adalah himpunan yang memuat semua objek atau benda yang sedang dibicarakan. Lambangnya adalah “S”. 6. Diagram Venn Adalah suatu diagram yang digunakan untuk menggambarkan suatu himpunan. Himpunan semesta dinyatakan dengan persegi panjang dan anggotanya
577
dinyatakan dengan noktah. Jika anggotanya tidak terhingga, maka anggotanya tidak ditulis. S
C
E
7. Hubungan Antar Himpunan a) Himpunan saling lepas / saling asing
S
A
B
b) Himpunan tidak saling lepas
S
P
Q
c) Himpunan yang sama
K=L S d) Himpunan yang ekuivalen Untuk himpunan berhingga
himpunan A dan B ekuivalen jika n(A)
= n(B) Untuk himp. tak berhingga himpunan A dan B ekuivalen jika tiap-tiap anggotanya berpasangan satu-satu. 8. Himpunan Bagian
578
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A menjadi anggota himpunan B. (Notasi : A ⊂ B) S
B A
Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian, digunakan dengan 2 cara : a) Segitiga Pascal b) Menyebutkan semua himpunan bagiannya. 9. Irisan (Interaksi) Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan juga anggota himpunan B. Dengan notasi A ∩ B = {x I x ∈ A dan x ∈ B} 10. Gabungan Gabungan dua himpuanan A dan B adalah himpunan semua objek yang merupakan anggota himpunan A atau B atau kedua-duanya. Dengan notasi A ∪ B = { x I x ∈ A atau x ∈ B}
Banyaknya anggota gabungan dan irisan dua himpunan
579
∪
B) = n(A) + n(B) – n(A
∩ B) n(A ∩
B) = n(A) + n(B) – n(A
n(A
∪ B) n(A ∪ B)’ = n(S) - n(A ∪ B)
11. Sifat-sifat operasi dua himpunan
No Nama sifat 1 2
Gabungan
Irisan
Idempoten
A ∪ A =A
A ∩ A =A
Komutatif
A ∪ B=B ∪ A
A ∩ B=B ∩ A
Assosiatif
(A ∪
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B
∪
B)
C=A ∪
(B ∪ C)
3 Distributif
A ∪
(B
∩ C)
∩
C) = (A ∪
B) ∩ (A ∪ C)
4 Identitas 5
A ∪ {}=A
,
A ∪ A’ = S
(B
∪
C) = (A ∩
B) ∪ (A ∩ C) A ∪ S A ∩ {}={} , A ∩ S
=S Komplemen
A ∩
=A ,
(A’)’ = A
A ∩ A’ = {} , S’ = {} dan {}
580
= S’
6 Hukum 7 8
De (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Morgan A – B = A ∩ B’
Selisih
A’ = S – A = S ∩ A’
Soal Latihan 1. Diantara kumpulan-kumpulan berikut ini yang merupakan himpunan adalah.... a. Kumpulan alat musik petik c. Kumpulan siswa pandai b. Kumpulan serangga d. Kumpulan anak nakal 2. Himpunan bilangan ganjil diantara 1 sampai 10 adalah.... a. 1, 3, 5, 7, 9 b. 3, 5, 7, 9 c. 1, 3, 5, 8 d. 1, 2, 5, 7 3. {2, 4, 6, 8, 10}, jika dinyatakan dengan kata-kata adalah.... a. Himpunan bilangan genap antara 2 dan 10 b. Himpunan bilangan genap antara 2 sampai 10 c. Himpunan bilangan genap antara 1 dan 11 d. Himpunan bilangan genap antara 1 sampai 11 4. Notasi pembentuk himpunan yang tepat untuk himpunan {3, 5, 7, 11} adalah.... a. {x I x ≤ 11, x ∈ bilangan ganjil} c. {x I 1 < x ≤ 11, x ∈ bilangan prima} b. {x I x > 1, x ∈ bilangan prima}
∈ bilangan ganjil} 5. {q I -3 < q ≤ 3, q
∈
anggota-anggotanya adalah.... a. {-2, -1, 0, 1} b. {-2, -1, 0, 1, 2}
d. {x I 1 < x
≤
11, x
bilangan bulat } jika dinyatakan dengan mendaftar
c. {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} d. {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
581
6. Berikut ini yang merupakan himpunan kosong adalah.... a. {bilangan genap antara 16 dan 18} c. {bilangan cacah kurang dari satu} b. {bilangan prima yang genap} dibagi 3} 7. Diketahui : K L M
d. {bilangan genap yang habis
= {1, 2, 4} = {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Pernyataan yang benar untuk himpunan di atas adalah.... a. K ⊂ L
b. K ⊂ M
c. L ⊂ M
d.
M ⊂ K 8.
S
Q
Dari
diagram
venn
disamping,
pernyataan P
berikut yang benar adalah.... a. Q ⊂ P c. ( P ∩ ∪ Q=Q b. P ∩ Q = { }
d.
Q )
(
P
∪ Q) ∩ P=Q 9. Dari sekelompok anak terdapat 30 anak suka bermain lompat tali, 22 anak suka bermain sepak bola dan 12 anak suka kedua-duanya. Banyaknya anak dalam kelompok tersebut adalah..... a. 24 anak b. 28 anak
c. 36 anak
d. 40 anak
582
10. Dalam satu kelas terdapat 43 anak. Diantara 43 anak tersebut ternyata 31 anak gemar menggambar, 24 anak gemar mewarnai dan 16 anak gemar kedua-duanya. Banyaknya anak yang tidak gemar menggambar dan mewarnai adalah.... a. 4 anak b. 8 anak c. 12 anak d. 15 anak
Lembar Kerja Siswa Persamaan Garis lurus
JaraktegakgarisAB Jarakmendat arg arisAB a. Gradien atau kemiringan (m) garis AB =
583
( x1 , y1 )
b. Untuk sembarang titik A y 2 y1 m AB m BA x 2 x1 atau
dan B
m AB
( x2 , y 2 )
yang terletak pada garis, maka y1 y 2 mBA x1 x 2 y2 y1 = dengan adalah
perubahan nilai y pada garis AB dan
x2 x1
adalah perubahan nilai x pada
garis AB. mp
c. Misalkan
mq
dan
masing-masing menyatakan gradient p dan q. m p mq 1. Garis p sejajar garis q jika dan hanya jika m p m q 1 2. Garis p tegak lurus garis q jika dan hanya jika
d. * Jika gradient m diketahui dan melalui (0,0) maka persamaan garisnya
adalah y=mx Jika gradient m diketahui dan melalui (o,c) maka persamaan garisnya adalah y=mx+c dengan (o,c) adalah titik potong garis y=mx+c dengan sumbu Y.
e. Persamaan garis yang melalui titik
y y1 m( x x1 )
( x1 , y1 )
dan bergradien m adala
584
( x1 , y1 ) Persamaan garis yang melalui sembarang titik
dan
( x2 , y 2 )
y y1 x x1 y 2 y1 x 2 x1 adalah f. Hubungan gradient dengan persamaan garis lurus : Persamaan garis yang saling sejajar y m1 x c1 y m2 x c 2 Jika garis dengan persamaan dan saling sejajar
m1 m 2 maka Persamaan garis saling berimpit y m1 x c1 y m2 x c 2 Jika garis dengan persamaan dan saling berimpit maka : m1 m2
c1 c 2
dan Persamaan garis saling berpotongan Jika garis dengan persamaan
y m1 x c1
dan
y m2 x c 2
saling
m1 m 2
berpotongan maka Persamaan garis saling berpotongan tegak lurus y m1 x c1 dan Jika garis dengan persamaan
berpotongan tegak lurus maka
m1 m2 1
y m2 x c 2
saling
585
g. Penerapan persamaan garis lurus 1. Fungsi permintaan Qd a bPd dengan Qd banyak barang yang diminta Pd = harga barang per unit yang diminta a dan b adalah bilangan konstan dengan b<0 2. Fungsi penawaran Qs a bPs dengan Qs banyak barang yang diminta Ps
= harga barang per unit yang diminta
a dan b adalah bilangan konstan dengan a<0
Latihan Soal 1. Gradien garis yang melalu titik O dan titik A(-20,25) adalah … 1 4 4 1 4 5 5 a. b. c.
1 d.
1 4
586
2. Jika gradient garis yang melalui titik R(-1,a) dan S(-4,-2a) adalah 2, maka nilai a adalah …. a. -6 b. -2 c. 2 d. 6 3. Persamaan garis yang mempunyai gradient -3 dan melalui titik (0,6) adalah … a. 3x + y = 6 b. 3x – y = 6 c. y - 3x = 6 d. -3y – y = 6 4. Persamaan garis yang melalui titik P(-3,-5) dan tegak lrus dengan garis 2y + 3x = 0 adalah … a. 3y = 2x - 9 b. 3 y= -2x - 24 c. 2y = 3x - 1 d. 2y = -3x - 19 5. Garis dengan persamaan 2y - 4x = 6 berimpit dengan garis … a. y -2x = 3 b. 3y - 6x = 8 c. y + 2x =3 d. 2y + 4x = 6 6. Koordinat titik potong garis 2y+3x-6=0 dengan sumbu x dan sumbu y berturut-turut adalah … a. (2,0) dan (3,0) b. (2,0) dan (0,3) c. (0,2) dan (3,0) d. (0.2) dan (0,3) 7. Suatu fungsi permintaan dinyatakan dengan Q=50-0,5P. Permintaan tertinggi dari fungsi tersebut adalah … a. 10 unit c. 100 unit b. 50 unit d. 500 unit 8. Suatu fungsi permintaan dinyatakan dengan Q=80-0,2P. Harga tertinggi dari fungsi permintaan tersebut (dalam ribuan) adalah … a. Rp 40 c. Rp 160 b. Rp 80 d. Rp 400 9. Garis yang melalui (-2,3) dan tegak lurus dengan garisyang melalui (-1,-3) dan (-2,-6) adalah … a. 3y – x = 7 b. 3y + x = 7 c. 3y – x = - 7 d. 3y + x = -7
587
10. Gradien garis yang melalui (3,-4) dan (-2,-5) adalah … 1 5 a. -5 c. 1 5 b. d. 5
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Materi Singkat: 1. Kalimat Terbuka a. Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah. Contoh : 1 adalah bilangan prima bersifat salah. Hasil kali 2 dan 5 sama dengan hasil kali 5 dan 2 bersifat benar b. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya
588
Contoh : g + 15 = 21, Jika g = 6 maka kalimat tersebut benar. Jika g = 4 maka kalimat tersebut salah. ‘g’ merupakan variable atau peubah, sedangkan 4 atau 6 adalah konstanta atau pengganti dari variable. 2. Persamaan Linear dengan satu Variabel a. Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung “=” dan variabelnya berpangkat satu. Contoh : 6 + 18 = 24 b. Menyelesaikan persamaan dengan cara substitusi yang mengganti variabel suatu persamaan dengan bilangan anggota semestanya., dengan cara menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, menambah atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama dan dalam bentuk pecahan. 3. Pertidaksamaan Linear Suatu Variabel a. Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan <, >, ≤ atau ≥ dan variabelnya berpangkat satu. b. Ketidaksamaan adalah pernyataan yang memuat notasi <, >, ≥, ≤ atau ≠ dan variabelnya berpangkat satu. c. Menyelesaikan pertidaksamaan linear bisa dengan menambah, mengurangi dan mengalikan dengan bilangan yang sama. d. Cara menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk pecahan adalah dengan mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan KPK dari penyebutpenyebutnya. 4. Persamaan linier dengan dua variable adalah suatu persamaan yang tepat mempunyai dua variable dan masing-masing variabelnya berpangkat satu. 5. Terdapat 3 metode untuk menentukan penyelesaian atau akar dari system persamaan linier dua variable, yaitu sebagai berikut :
589
a. Metode Grafik dilakukan dengan membuat grafik persamaan linier yang dimaksud, dengan cara menentukan titik potong grafik dengan sumbu x ataupun sumbu y. b. Metode Substitusi dilakukan dengan cara mengganti salah satu variable dengan variable lainnya. c. Metode Eliminasi dilakukan dengan menghilangkan salah satu variable
590
Soal Latihan 1. Pernyataan berikut yang merupakan persamaan linear satu variabel adalah.... a. x + 3y = 11 2. Untuk x
b. 2x + 3 = 5 – 3x
d. x2 = 11
c. 4x – 5 ≤ 10
∈ A = {-2, -1, 0, 1, 2} nilai x yang memenuhi persamaan 2x – 5 = 5 –
3x adalah..... a. 2
b. 1
c. 0
3. Nilai p yang memenuhi persamaan
a. p = 2
b. p = 3
3 p−3 2
d. -2
= 6 adalah....
c. p = 4
d. p = 5
4. Persamaan berikut ekuivalen dengan persamaan 4x + 5 = 17, kecuali.... a. 4x = 17 - 5
b. 4x = 12
c. x = 3
d. x = 4
5. Harga satu buku tiga kali harga 1 pensil. Jika harga 1 buku Rp 3.600,00 maka harga 6 pensil adalah.... a. Rp 3.600,00
b. Rp 4.800,00
c. Rp 7.200,00
d. Rp 9.000,00
591
6. Sebuah perusahaan baru menerima 100 orang karyawan baru sehingga jumlah karyawannya menjadi 2400 orang. Jika jumlah karyawan sebelumnya x orang, kalimat matematika dari pernyataan tersebut adalah..... a. x = 2400 + 100 b. x = 100 – 2400
c. x + 2400 = 100
d. x + 100 = 2400
7. Kalimat berikut yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel adalah.... a. 2 – 3y ≤ 5
b. x + 4y ≥ 11
c. 2x – 7 ≥ 4y
d. 2x + 11 = 5 – 3x 8. Penyelesaian dari pertidaksamaan -3x + 5 > 20 adalah.... a. x < 5 b. x > 5 c. x < -5 d. x > -5 9. Diketahui pertidaksamaan 13 – 2(y + 1) > (y + 1) – 8. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah.... a. y > -6 b. y < -6 c. y > 6 d. y < 6 10. Angga berencana mengundang paling sedikit 250 orang dalam pesta ulang tahunnya. Apabila banyak undangan dinyatakan dengan 2p + 80 maka..... a. p < 100 b. p ≤ 150 c. p ≤ 100 d. p < 150
592
Lembar Kerja Siswa Teorema Pythagoras * Jika
ABC siku-siku di titik A,
Maka berlaku :
BC 2 AC 2 AB 2
a2 b2 c2 b2 a2 c2
C b
atau
atau
a
cc
A
c
B
atau
c2 a2 b2
Dalam
ABC , apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi
dihadapan sudut B, c adalah sisi dihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan teorema Pythagoras, yaitu : a 2 b2 c2 Jika ,maka ABC siku-siku di A 2 2 2 b a c Jika ,maka ABC siku-siku di B 2 2 2 c a b Jika ,maka ABC siku-siku di C
593
Dalam setiap segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya
dihadapan sudut
30
0
adalah
1 2
30 0
, panjang sisi
hipotenusa ( sisi miring ).
Latihan Soal 1. Diketahui ABC dengan panjang AB=3cm, BC=4 cm, dan AC=6 cm. Sudut terkecilnya adalah … a. BAC b. ABC c. ACB d. Tak dapat ditentukan 2. Segitiga tidak dapat dilukiskan, jika panjang sisi-sisinya adalah … a. 6 cm, 7 cm, 8 cm b. 8 cm, 4cm, 12 cm c. 10 cm, 8 cm, 6 cm d. 4 cm, 4 cm, 5 cm 3. Yang termasuk tripel Pythagoras adalah … a. 2,3,4 c. 7,4,8 b. 4,5,6 d. 12,16,20 4. Dari ketiga bilangan dibawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah … a. 2,6,9 c. 20,10,30 b. 4,8,12 d. 21,28,35 5. Alas sebuah segitiga 12 cm dan tingginya 10 cm. Luas segitiga tersebut adalah …
cm 2
a. 120 cm 2 b. 60
c. 24
cm 2
d. 12 40 70 0 ABC, besar ABC= dan BAC= . Besar ACB adalah … 0
6. Pada
cm 2
594
a.
40 0 50
c.
0
b. 7. Diketahui
60 0 70 0
d. ABC siku-siku di A, panjang AB=7 cm dan BC=25 cm. Panjang
AC adalah … a. 9 cm b. 24 cm c. 25 cm d. 68 cm 8. Panjang diagonal suatu persegi panjang adalah 10 cm dan panjang salah satu sisinya 6 cm. Panjang sisi lainnya adalah … a. 8,5 cm b. 8,0 cm c. 7,5 cm d. 7,0 cm 9. Yang berikut ini merupakan sisi-sisi suatu segitiga. Sisi-sisi dari segitiga sikusiku adalah … 1 1 1 2 2 2 a. cm, 2 cm, dan cm b. 5 cm, 7 cm, dan 8 cm c. 4 cm, 5 cm, dan 6 cm d. 12 cm, 13 cm, dan 15 cm
( x 5)
10. Panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah
( x 2) sisi siku-siku adalah tersebut adalah … cm 2 a. 48 cm 2 b. 54 cm 2 c. 98 d. 108
cm, sedangkan panjang
( x 1) cm dan
cm. Luas segitiga siku-siku
595
Semester II Lembar Kerja Siswa Garis-garis pada segitiga Materi singkat: . Garis Tinggi Pada Segitiga
596
Sebelum mempelajari perhitungan garis tinggi pada segitiga, kamu harus memahami terlebih dahulu proyeksi titik atau garis pada suatu garis. Proyeksi merupakan dasar perhitungan garis tinggi pada segitiga. Coba kamu pelajari uraian berikut. a. Proyeksi Proyeksi sebuah titik adalah pembentukan bayangan suatu titik terhadap satu bidang, dengan syarat garis hubung titik dan titik hasil proyeksinya harus tegak lurus dengan bidang tersebut. Bagaimana panjang garis proyeksi tersebut ? Ada dua macam perhitungan yang dapat kamu lakukan. Berdasarkan materi persamaan garis lurus yang telah kamu pelajari, dapat diuraikan sebagai berikut.
597
598
599
600
601
602
Garis Berat pada Segitiga Garis berat pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan membagi dua dengan sama panjang sisi yang ada di hadapan sudut tersebut. Titik G pada segitiga ABC merupakan titik berat segitiga. Bagaimana cara menghitung panjang garis berat pada suatu segitiga? Coba perhatikan segitiga sebarang ABC pada Gambar 5.12 di samping. Garis EC merupakan garis berat sedangkan garis DC merupakan garis tinggi. Untuk menghitung panjang EC, perhatikan uraian berikut.
603
604
605
606
607
Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.
Klasifikasi segitiga
Menurut panjang sisinya:
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o. Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar. Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda
608
Segitiga sama sisi
Segitiga sama kaki
Segitiga sembarang
Menurut besar sudut terbesarnya:
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya sama dengan 90o. Sisi di depan sudut 90o disebut hipotenusa atau sisi miring. Segitiga lancip adalah segitiga yang besar semua sudut < 90o Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya > 90o
Segitiga siku-siku
Segitiga tumpul
Segitiga lancip
609
Latihan Soal 1. Sepotong lidi yang panjangnya 35 cm diletakkan diatas lantai. Ujung lidi diangkat keatas dan pangkalnya tetap menempel dilantai, tinggi antara lantai dan ujungnya 21 cm . Panjang proyeksi lidi pada lantai saat ini adalah ….. a. 21 cm b. 28 cm c. 30 cm d. 35 cm 2. Nia berjalan kearah barat sejauh 18 m, kemudian berbelok kearah selatan sejauh 24 m di S. Jarak dari tempat Nia berangkat sampai dengan ke S adalah ….. a. 30 m b. 35 m c. 37 m d. 39 m 3. 24 cm
26 cm
14 cm Tinggi segitiga KLM pada gambar diatas adalah ….. a. 12,8 cm b. 20,3 cm c. 15,3 cm d. 21,8 cm 4. C
A
B O Pada gambar segitiga samakaki diatas, AB = 6 cm dan BC = 5 cm. Panjang DC adalah …… a. 3 cm b. 5 cm
c. 4 cm d. 6 cm
610
5. Segitiga ABC mempunyai panjang sisi 6 cm, 8 cm dan 10 cm. Panjang garis berat segitiga yang melalui sudut C adalah ….. a. 4 cm b. 8 cm a. 5 cm d.10 cm 6. B (x+7) D C A Pada gambar diatas, panjang BD adalah …… a.7
b. 12
a. 9 d. 16 7. Segitiga sama kaki ABC mempunyai panjang sisi AB = 32 cm dan AC = BC = 20 cm. Tinggi segitiga itu adalah ….. a.12 cm
b. 24 cm
3 a. 18 cm d. 20 cm 8. Sebuah tangga yang panjangnya 13 m disandarkan pada puncak tembok yang tingginya 12 m. Jika ujung tangga tepat berada pada puncak tembok, jarak pangkal tangga ke tembok adalah …… a. 5 m b. 10 m c. 15 m 313 d. m 9.
Q
p
611
r
S
P R
Berdasarkan gambar diatas, panjang SR adalah ……
r 2 q2 p2 2q a.
r 2 p2 q2 2p b.
p2 q2 r 2 2q c.
r 2 q2 p2 2r
d. 10. Segitiga sama sisi ABC mempunyai panjang sisi 10 cm. Letak titik berat dari sudutnya sejauh …… 3 a. 5 3 b. 10/3 3 c. 10 Lembar Kerja Siswa Lingkaran
612
Materi singkat: Lingkaran dalam dan luar segitiga Suatu lingkaran yang berada di dalam segitiga serta menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut disebut lingkaran dalam segitiga. Jari-jari lingkaran dalam segitiga bisa dicari
dengan rumus: dimana r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga, L adalah luas segitiga dan s adalah setengah keliling segitiga.
Suatu lingkaran yang berada di luar segitiga serta keliling lingkaran tersebut menyinggung perpotongan tiga garis segitiga disebut lingkaran luar segitiga. Jari-jari
lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan rumus: dimana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga; a, b dan c adalah tiga sisi segitiga dan L adalah luas segitiga.
Mencari luas dan keliling segitiga
613
atau
Teorema Heron Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.
Segitiga sama sisi Untuk mencari luas dan keliling segitiga sama sisi yang bersisi a dapat digunakan rumus sebagai berikut:
Lingkaran
614
Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi
615
bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar. Elemen lingkaran Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb: n sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Elemen lngkiaran yang berupa titik, yaitu : Titik pusat (P) merupakan jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari. Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu : Jari-jari (R) merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran. Tali busur (TB) merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB). Busur (B)
616
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran. Keliling lingkaran (K) merupakan busur terpanjang pada lingkaran. Diameter (D) merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas. Apotema merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran. Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu : Juring (J) merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya. Tembereng (T) merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya. Cakram (C)
617
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar. Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan dengan
adalah jari-jari lingkaran dan
adalah koordinat pusat lingkaran.
Persamaan parametrik Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y. Luas lingkaran Luas lingkaran memiliki rumus yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu
618
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam
dan
jari-jari luar .
Penjumlahan elemen juring
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran. Luas juring Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;
619
dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran. Luas cincin lingkaran Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam jari-jari luar , yaitu di mana untuk
rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran
Luas potongan cincin lingkaran Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh. Keliling lingkaran Keliling lingkaran memiliki rumus: Panjang busur lingkaran Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
dan
620
yang
diturunkan
di mana digunakan Tanda
dari
rumus
untuk
menghitung
panjang
suatu
kurva
sebagai kurva yang membentuk lingkaran.
mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan
bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua. Pi atau π Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu
perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
621
Latihan Soal
B
20
1.
0
A
O D C Jika panjang busur AB = 45 cm, maka panjang busur Cd adalah ….. 0 a. 135 cm60 b. 120 cm c. 115 cm d. 140 cm 2. Pada segi delapan beraturan , besar setiap sudut pusat dan besar setiap sudut sei delapan berturut-turut adalah …… 0 0 45 135 a. dan 0 0 60 150 b. dan 0 0 30 135 c. dan 0 0 45 150 d. dan
3. Diketahui keliling lingkaran 176 cm dan
22 7
. Jari-jari lingkaran tersebut
adalah ….. a. 7 cm c. 28 cm b. 32 cm d. 14 cm 4. Keliling lingkaran yang mempunyai diameter 16 cm adalah ….. a. 50,24 cm b. 50,26 cm c. 49,30 cm d. 49,29 cm 0 5. 30 B O 7 cm
622
A
Luas juring OAB diatas adalah …...
a.
b.
c.
d.
5 12 cm 2 6 6 12 cm 2 5 6 11 cm 2 5 5 11 cm 2 6
6.
C A
B
O
Jika besar 0 50 a. 55 0 b. 0 60 c. 0 65 d.
BAC 25 0
, maka besar
ABC
adalah …..
623
3,14 7. Luas daerah lingkaran yang panjang jari-jarinya 24 cm, untuk ….. a. 1808,64 b. 1800,64 c. 1724,28 d. 1720,30
cm 2 cm 2 cm 2 cm 2
8. C
D
A B O Garis OB pada gambar diatas merupakan bagian lingkaran yaitu ….. a. Diameter b. Jari-jari c. Busur d. Apotema 9. 14 cm Luas daerah yang diarsir adalah ….. cm 2 cm 2 a. 44 c. 42 2 cm cm 2 b. 43 d. 41 10. D C A
2x 0
78 0
B
B
3x 0
Pada gambar diatas, besar
A 78 0
,
C
dan
B
adalah …..
adalah
624
a. b. c. d.
102
0
105
0
102
0
90
dan dan dan
0
dan
108 110
0
110 108
0
0
0
Lembar Kerja Siswa Garis Singgung Persekutuan Materi singkat: Garis singgung persekutuan luar
MN = Garis pusat persekutuan AB = Garis singgung persekutuan luar
625
AB adalah garis singgung persekutuan luar AB = CN AB2 = MN2 - ( r1 – r2 )2 CONTOH SOAL
Pada gambar di atas, garis AB merupakan garis singgung. Panjang jari-jari OB = 6 cm dan OA = 10 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB. Jawab :
626
AB2 = OA2 - OB2 AB2 = 102 - 62 AB2 = 100 - 36 AB2 = 64 AB = 8 cm 1. Kedudukan Dua Lingkaran Dua lingkaran yang berbeda dapat digambarkan pada kedudukan yang berbeda. Macam-macam kedudukan dua lingkaran tersebut, yaitu: a. Dua Lingkaran bersinggungan
Perhatikan gambar di atas, kedua lingkaran bersinggungan di dalam dan dapat dibuat sebuah garis singgung k pada titik singgung P. Garis k menyinggung kedua lingkaran di titik P. Kedudukan titik pusat lingkaran O, titik pusat lingkaran Q dan titik singgung P adalah segaris. Pada kedudukan
627
dua lingkaran yang bersinggungan di dalam seperti tersebut hanya dapat dibuat sebuah garis singgung persekutuan.
Perhatikan gambar di atas, kedua lingkaran bersinggungan di luar dan dapat dibuat tiga garis singgung persekutuan. Garis k merupakan garis singgung persekutuan dalam. Garis l dan m merupakan garis singgung persektuan luar. Kedudukan titik pusat lingkaran O, titik pusat lingkaran Q dan titik singgung P adalah segaris. b. Dua Lingkaran berpotongan Perhatikan gambar!
Kedua lingkaran berpotongan dan dapat dibuat dua buah garis singgung persekutuan luar. Garis k menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B. Garis m menyinggung kedua lingkaran di titik C dan D. c. Dua Lingkaran saling lepas
628
Perhatikan gambar!
Kedua lingkaran saling lepas dan pada kedudukan seperti ini dapat dibuat dua buah garis singgung persekutuan luar dan dua buah garis singgung persekutuan dalam. Garis k menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B. Garis l menyinggung kedua lingkaran di titik C dan D. Garis k dan l merupakan garis singgung persekutuan luar. Garis m menyinggung kedua lingkaran di titik E dan F, sedangkan garis n menyinggung kedua lingkaran di titik G dan H, sehingga garis m dan n merupakan garis singgung persekutuan dalam. 2. Garis Singgung Persekutuan luar Bagaimanakah sifat-sifat garis singgung persekutuan luar dua lingkaran? Perhatikan gambar!
629
Lingkaran O dan Q merupakan lingkaran yang saling lepas. AO adalah jari-jari lingkaran O dan BQ adalah jari-jari lingkaran Q. Garis k adalah garis singgung persekutuan luar yang menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B, sehingga AB tegak lurus OA dan BQ. Segi empat ABQO berbentuk trapesium siku-siku. 3. Garis Singgung Persekutuan Dalam Bagaimanakah sifat-sifat garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran? Perhatikan gambar!
Lingkaran O dan Q merupakan lingkaran yang saling lepas. AO adalah jari-jari lingkaran O dan BQ adalah jari-jari lingkaran Q. Garis k adalah garis singgung persekutuan dalam yang menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B, sehingga AB tegak lurus OA dan BQ. OQ adalah garis hubung titik pusat lingkaran O dan lingkaran Q. AB berpotongan dengan OQ di titik C. Segitiga AOC sebangun dengan segitiga BCQ. Contoh soal: 1. Diketahui dua lingkaran berjari-jari 18 cm dan 23 cm. Jika jarak kedua titik pusat lingkaran tersebut adalah 37 cm, maka bagaimanakah kedudukan kedua lingkaran tersebut?
630
Jawab: Jarak titik pusat 37 cm dan jumlah jari-jari kedua lingkaran = 18 + 23 = 41 cm. Jarak titik pusat < jumlah jari-jari dua lingkaran, lihat gambar! Sehingga kedudukan kedua lingkaran adalah saling berpotongan. 2. Dua lingkaran saling bersinggungan di luar. Berapa banyak garis singgung persekutuan yang dapat dibuat?
Jawab: Banyak garis singgung persekutuan yang dapat dibuat sebanyak 3 buah yang terdiri dari dua garis singgung persekutuan luar (garis l dan m) dan sebuah garis singgung persekutuan dalam (garis k). (lihat pada gambar!)
631
Latihan Soal 1. Jarak dua pusat lingkaran adalah 15 cm, sedangkan panjang garis singgung persekutuan dalamnya = 12 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 6 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….. a. 3 cm c. 9 cm b. 6 cm d. 15 cm 2. A
P
B
Q Pada gambar diatas panjang jari-jari PA = 7 cm dan QB = 3 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam AB = 24 cm, maka jarak kedua pusatnya adalah ….. a. 10 cm c. 26 cm b. 25 cm d. 31 cm 3. Panjang sisi segitiga adalah 10 cm, 24 cm dan 26 cm, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah ….. a. 4 cm b. 5 cm
c. 13 cm d. 30 cm
632
4. Dua buah lingkaran yang pusatnya di P dan di Q masing-masing berjari-jari 7 cm dan 3 cm. Jika jarak P ke Q = 14 cm. Panjang garis persekutuan dalamnya adalah….. 96 a. 64 b. 136 c. 104 d. 5.
A B
M N dan NB = 2 cm. Pada gambar diatas, panjang jari-jari MA = 4 cm Jarak MN = 10 cm. Maka panjang garis singgung persekutuan luar AB adalah …..
64 a.
cm
96 b.
cm
104 c.
cm
136 d. 6. Panjang garis singgung dalam dua buah lingkaran adalah 8 cm. Jarak kedua pusat lingkaran itu adalah 10 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 4 cm, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….. a. 3 cm b. 7 cm
633
c. 4 cm d. 6 cm 7. Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran adalah 24 cm. Sedangkan jarak kedua pusat lingkaran itu adalah 26 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 15 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….. a. 4 cm c. 9 cm b. 5 cm d. 11 cm 8. Panjang sisi segitiga adalah 30 cm, 40 cm dan 50 cm, panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah ….. a. 20 cm b. 10 cm
c. 25 cm d. 30 cm
9. C
O B A Gambar diatas , panjang BC = 20 cm dan AC = 25 cm. Luas ….
cm 2
a. 37,5 cm 2 b. 50 cm 2 c. 75
AOB adalah
634
d. 100
cm 2
10. C S T O U
B
Pada gambar diatas, panjang PQ = 36 cm dan QR = 39 cm, Panjang QU = …… a. 6 cm b. 9 cm
c. 30 cm d. 45 cm
635
Lembar Kerja Siswa Bangun Ruang Sisi Lengkung Materi singkat: A. Tabung (Silinder) Perhatikan gambar di samping. Bentuk apakah yang dimanfaatkan alat musik tersebut. Mengapa drum selalu berbentuk tabung? 1. Unsur-unsur Tabung dan Melukis Jaring-jaring Tabung Sebelum kita mempelajari lebih lanjut mengenai tabung, coba sebutkan benda-benda di sekitar kalian yang berbentuk tabung. Berikut ini akan kita pelajari berbagai hal tentang tabung. a. Unsur-unsur Tabung Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuah tabung? Agar dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.
636
Dari kegiatan tersebut kita akan dapat mengetahui unsur-unsur tabung. Salin dan isikan unsur-unsur itu pada tempat yang tersedia. a. Tinggi tabung .... b. Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung .... c. Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung .... d. Alas dan atap tabung berupa bidang datar yang berbentuk .... e. Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibuka dan dilembarkan berbentuk .... b. Jaring-jaring Tabung Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu: a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder, b. satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung. Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung. Coba kalian gambarkan jaring-jaring dari kaleng tersebut. Apakah kalian mendapatkan jaring-jaring tabung seperti gambar berikut?
637
Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t. Jaring-jaring tabung terdiri atas: a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t. b. Dua lingkaran dengan jari-jari r. 2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Tabung Sebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika kalian ingin membuat tabung dari kertas yang ukurannya tepat sama dengan ukuran benda tersebut, berapakah luas kertas yang kalian perlukan? Untuk menjawabnya, pelajari uraian materi berikut. a. Luas Selimut Dengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring tabung sekali lagi.
638
Sehingga kita dapatkan rumus:
b. Volume Tabung Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga. Artinya, jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk sebuah tabung dimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.
639
640
641
B. Kerucut 1. Unsur-unsur Kerucut dan Melukis Jaring-jaring Kerucut Perhatikan gambar di samping. Pernahkan kalian melihat bangunan ini? Jika kita cermati bentuknya, bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang dengan sisi lengkung yaitu kerucut. a. Unsur-unsur Kerucut Untuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kita ilustrasikan seperti pada gambar 2.5 berikut.
642
Dengan mengamati gambar tersebut, kita dapat mengetahui unsur-unsur kerucut dengan melengkapi pernyataan berikut. 1) Tinggi kerucut = …. 2) Jari-jari alas kerucut = …. 3) Diameter alas kerucut = …. 4) Apotema atau garis pelukis = …. b. Jaring-jaring Kerucut Berdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.
643
Gambar 2.6(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut t, apotema atau garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua buah bidang datar yang ditunjukkan gambar 2.6 (b) yaitu: a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang busur 2πr, b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r. 2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut Dapatkah kalian menghitung luas bahan yang diperlukan untuk membuat kerucut dengan ukuran tertentu? Perhatikan uraian berikut. a. Luas Selimut Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah
644
luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.
Jadi luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.
Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA1 maka kita dapatkan:
645
Sedangkan luas permukaan kerucut = luas selimut + luas alas kerucut = πrs + πr2 = πr (s + r)
Jadi
dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut s = garis pelukis (apotema)
b. Volume Kerucut Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.
Hubungan antara r, t dan apotema (s) adalah s2 = r2 + t2
646
c. Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung 1) Luas selimut
647
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t1, jari-jari r, dan apotema s1. Sedangkan kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t 2, jari-jari r2, dan apotema s2. Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas selimut kecil.
C. Bola
648
Mengapa dalam olahraga bowling, benda yang dilemparkan berbentuk bola? Apakah kelebihannya sehingga benda-benda berbentuk bola digunakan dalam olahraga sepak bola, bola voli, bowling, dan billiard? Agar dapat lebih mengenal bangun bola, pelajarilah materi berikut ini. 1. Unsur-unsur Bola Perhatikan gambar berikut.
Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d. 2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Bola
649
650
D. Hubungan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung dengan Jari-jari Pada rumus mencari volume bangun ruang sisi lengkung, semua tergantung pada unsur-unsur bangun tersebut, misalnya jari-jari dan tinggi bangun tersebut. 1. Perbandingan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari a. Perbandingan Volume Tabung
Apabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama, tetapi jari-jari berbeda, maka perbandingan kedua volume tabung sama dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
651
b. Perbandingan Volume pada Kerucut Apabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapi jari-jari alasnya berbeda, maka perbandingan volume kedua kerucut dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
c. Perbandingan Volume pada Bola Apabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda, maka perbandingan volumenya sama dengan perbandingan di pangkat tiga dan masing-masing jarijarinya.
652
2. Selisih Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari a. Selisih Volume pada Tabung Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r 1 dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Maka berlaku:
653
b. Selisih Volume pada Kerucut Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga jarijari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:
Jadi selisih volumenya:
654
dengan r1 = jari- jari awal r2 = jari-jari setelah diperbesar Bagaimana jika jari-jari kerucut diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
c. Selisih Volume pada Bola Sebuah bola dengan jari-jari r1 diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r2 dengan r2 > r1. Berlaku:
Jadi selisih volumenya:
655
dengan r1 = jari-jari awal, r2 = jari-jari setelah diperbesar Bagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
656
Latihan Soal
657
1. Diameter alas suatu kerucut 10 cm. Jika tinggi kerucut tersebut 12 cm, panjang garis pelukisnya adalah ….. a. 13 cm b. 7 cm c. 10 cm d. 3 cm 2. Sebuah tabung dengan jari-jari 8 cm dan tinggi 20 cm, maka luas seluruh permukaan bangun tersebut adalah ….. cm 2 a. 2028 cm 2 b. 1845 cm 2 c. 1692 cm 2 d. 1408 3. Volume kerucut yang keliling alasnya 251,2 cm. Panjang garis pelukis 50 cm
3,14 dan
……. cm 3
a. 1046,46 cm3 b. 1256 cm3 c. 50.240 cm3 d. 83.733.3 4. Jika diameter suatu bola 20 cm. Luas kulit bola tersebut adalah …… cm 2 a. 5024 cm 2 b. 1256 cm 2 c. 2512
658
d. 572
cm 2
5. Diameter alas sebuah tabung adalah 21 cm, tinggi 35 cm,
22 7
Luas sisi tabung itu adalah ….. cm 2 a. 4620 b. 6006 c. 3003 d. 7393
cm 2 cm 2 cm 2
6. Volume tabung yang berdiameter 14 cm, tinggi 15 cm dan
…..
cm3
a. 660 b. 770
cm 3
c. 2310 d. 9240
cm3 cm3
7. Luas bola yang volumenya 11.040 a. 2397
cm
3
cm3
b. 11.304 cm3 c. 2826 cm3 d. 37.680
cm 3
3,14 dan
adalah …..
22 7 adalah
659
KUMPULAN SOAL Soal Latihan
660
A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a , b , c atau d didepan jawaban yang paling benar ! Untuk nomor 1 sampai 5 pilihlah satu jawaban yang benar. 1. x(3 − 2x) + 6x − 8= . . . a. 2x2 + 9x – 8 b. -12 x2+ 12x – 8 c. − 2 x2 + 9x – 8 d. 2 x2 − 9x – 8 2 2. (−2y − 3) = . . . a. 4 y2 + 6y + 9 b. − 4 y2 + 6y + 9 c. 4 y2− 6y + 9 d. − 4y2 + 6y – 9 3. t2 - t -12 = . . . a. (t + 4) (t − 3) b. (t − 4) (t − 3) c. (t + 4) (t + 3) d. (t − 4) (t + 3) 4. -6p2 + 16p - 8 = . . . a. (3p + 2) (2 p − 4) b. (−3p + 2) (2 p − 4) c. (−3p + 2) (−2 p − 4) d. (−3p + 2) (2 p + 4) 5. Berikut ini yang merupakan bentuk kuadrat sempurna adalah . . . a. 9 y2- 12 y - 4 b. 4 y2 - 12 p + 9 c. 9 y2+12 y - 4 d. 4y2 +12 p - 9 6. Penjumlahan 4a – b + 4 dengan 6a – 8b – 10 adalah … 10a 2 9b 2 6 a. 10a 7b 6 b. 10a 9b 6 c. 10a 7b 14 d. 7. Hasil dari 4(3x-6) dijumlahkan dengan 3x+10 adalah …
661
a. b. c. d.
15 x 4 15 x 14
15 x 14 15 x 4
6x 2 4x
8. Pengurangan 3x 2 a. 3x 2 b. 3x 2 8 x c. 3x 2 8 x d.
oleh
3x 2 4 x
x2 x 3 x 10
adalah …
2
9. Bentuk sederhana dari 1 x5 a. 1 x5 b. 1 2 x 3x c. 1 4x 5 d.
10. Bentuk sederhana dari x7 x5 a.
adalah …
x 2 2 x 35 x 2 14 x 49
adalah …
662
b.
c.
d.
x5 x7 x7 x5 x5 x7
11. Nilai dari 5 3b a. 5 2b b. 9 2b c. 9 4b d.
4 1 b 2b
x 4 3 x
adalah …
12. Nilai dari adalah … 2 x 12 3x a. x 2 12 6x b. x4 3 x c. 4 3 d.
663
13. Diketahui suatu fungsi f dengan rumus f(x) = x2 – 5x, nilai-nilai fungsi berikut yang benar adalah .... a. f(-1) = 6 b. f(3) = 6 c. f(-2) = -6 d. f(2) = -6 14. Diketahui P= {1, 2} dan Q = {a, b, c}, banyaknya pemetaan yang dapat dibuat dari himpunan P ke himpunan Q adalah .... a.
5
b.
6
c.
8
d.
9
15. Diketahui suatu fungsi g dengan rumus g(x) = ax - 5. Nilai fungsi g untuk x= -1 adalah 3. Nilai a yang memenuhi adalah .... a. 8 b. 3 c. – 3 d. – 8 16. Diketahui A = {1,2,3}, dan B = {a,b}. Suatu pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke himpunan B adalah … a. 3 b. 6 c. 8 d. 9
664
f ( x) 8 x 2 10 x 7 17. Diketahui a. 0 b. 4 c. 10 d. 14
. Maka nilai
1 f( ) 2
adalah …
f ( x) x 2 7 x 10 18. Fungsi f dinyatakan dengan rumus
. Maka pembuat nol
fungsi diatas adalah … x 2 x5 a. dan x 2 x 5 b. dan x2 x5 c. dan x2 x 5 d. dan 19. Gradien garis yang melalui titik (0,0) dan (3,6) adalah … a. -2 1 2 b. 1 2 c. d. 2 x 2y 3 0 20. Gradien garis yang sejajar dengan adalah … a. 2 1 2 b. 1 2 c. d. -2 21. Persamaan garis yang bergradien -3 dan melalui titik (0,-2) adalah … 3x y 2 0 a.
665
3x y 4 0 b. c.
4x y 2 0 2x y 2 0
d. 22. Suatu persegi , mempunyai panjang sisi (4x-3) cm. Maka luas persegi tersebut adalah … 16 x 2 a. 16 x 2 b. 16 x 2 c. 16 x 2 d.
24 x 9 24 x 9 24 x 9 24 x 9
192 23. Bentuk sederhana 4 5 a. 4 3 b. 8 5 c. 8 3 d.
adalah …
24. Perhatikan gambar berikut ! Nilai x untuk segitiga disamping adalah …
666
x
13 cm 5
a. 8 cm b. 12 cm
5 cm
c. 15 cm d.18 cm
17. Panjang diagonal ruang sebuah kubus yang panjang rusuknya p cm adalah … p 3
a.
cm p 2
b.
cm 3p
c.
cm 2p
d.
cm
18. Jika ABCD adalah suatu persegi dengan panjang sisi 10 cm , maka panjang diagonalnya adalah …
a.
5 4
cm
8 5 b.
cm
667
9 3 c.
d.
cm
10 2
cm
19. Perhatikan gambar berikut ini ! Dari gambar segitiga disamping , teorema Pythagoras yang benar b
a
c
adalah …
a.
c
b.
c.
d.
a2 b2 c2
b2 a2 c2
c2 a2 b2
c2 a2 b2
20. Bilangan – bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah … a. 4 , 7 , dan 8 b. 13, 14, dan 15 c. 16, 30, dan 34
668
d. 41, 21, dan 20 21. Sebuah tabung dengan jari-jari 8 cm dan tinggi 20 cm, maka luas seluruh permukaan bangun tersebut adalah ….. cm 2 a. 2028 cm 2 b. 1845 cm 2 c. 1692 cm 2 d. 1408 22. Panjang diagonal suatu persegi panjang adalah 10 cm dan panjang salah satu sisinya 6 cm. Panjang sisi lainnya adalah … a. 8,5 cm b. 8,0 cm c. 7,5 cm d. 7,0 cm 23. Yang berikut ini merupakan sisi-sisi suatu segitiga. Sisi-sisi dari segitiga sikusiku adalah … 1 1 1 2 2 2 a. cm, 2 cm, dan cm b. 5 cm, 7 cm, dan 8 cm c. 4 cm, 5 cm, dan 6 cm d. 12 cm, 13 cm, dan 15 cm
( x 5)
24. Panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah
( x 2) sisi siku-siku adalah tersebut adalah … cm 2 a. 48
cm, sedangkan panjang
( x 1) cm dan
cm. Luas segitiga siku-siku
669
b. 54 c. 98
cm 2 cm 2 cm 2
d. 108 25. Sebuah tangga yang panjangnya 13 m disandarkan pada puncak tembok yang tingginya 12 m. Jika ujung tangga tepat berada pada puncak tembok, jarak pangkal tangga ke tembok adalah …… a. 5 m b. 10 m c. 15 m 313 d. m 26. Q r p
S
P R
Berdasarkan gambar diatas, panjang SR adalah ……
r 2 q2 p2 2q a.
r 2 p2 q2 2p b.
670
p2 q2 r 2 2q c.
r 2 q2 p2 2r
d. 27. Segitiga sama sisi ABC mempunyai panjang sisi 10 cm. Letak titik berat dari sudutnya sejauh …… 3 a. 5 3 b. 10/3 3 c. 10 d. 3 28. Sepotong lidi yang panjangnya 35 cm diletakkan diatas lantai. Ujung lidi diangkat keatas dan pangkalnya tetap menempel dilantai, tinggi antara lantai dan ujungnya 21 cm . Panjang proyeksi lidi pada lantai saat ini adalah ….. a. 21 cm b. 28 cm c. 30 cm d. 35 cm 29. Nia berjalan kearah barat sejauh 18 m, kemudian berbelok kearah selatan sejauh 24 m di S. Jarak dari tempat Nia berangkat sampai dengan ke S adalah ….. a. b. c. d.
30 m 35 m 37 m 39 m
30. 24 cm
26 cm
14 cm Tinggi segitiga KLM pada gambar diatas adalah ….. a. 12,8 cm
671
b. 20,3 cm c. 15,3 cm d. 21,8 cm
ESSAY Untuk soal nomor 31 sampai 40 kerjakan disertai dengan langkah-langkahnya. 31.
Tulislah suatu bentuk aljabar untuk setiap situasi berikut. Kemudian sederhanakanlah bentuk aljabar tersebut. a. Anita membawa 4 kotak yang masing-masing berisi sebanyak t kelereng dan 3 kotak masing-masing berisi sebanyak r + 2 kelereng. b. Anita membeli 5 bungkus kue yang masing-masing seharga Rp. x,00 rupiah. Kemudian Anita membeli permen seharga Rp 15.000,00 dan kerupuk seharga
Rp 5.000,00. 32. Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut. a. 2n – 3n b. 2k – 5b – b – k c. 2x2 – 4 + 3x2 – 6 – x2 33. Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut. a. 18y + 5(7 + 3y) b. 30(b + 2) + 2b c. x + 5x + 8(x + 2) 34. Tentukan hasil perkalian berikut. a. 7(3x + 5) b. y(y – 9) c. 7(–2a2 + 5a –11) d. –2(n – 6) 35. Tentukan hasil perpangkatan berikut a. (p – 3)2
672
b. (2x – 1)2 c. (-2a + 1) 36.
Diketahui suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan {(-2, 4), (-1,-3), (2, 6), (7,10), (8,-)}. a. Tulislah himpunan A dan B. b. Gambarlah koordinat Cartesius dari relasi tersebut. c. Apakah relasi itu merupakan fungsi? Jelaskan! 37. Diketahui A = { a, b, c } B = { -1, 0 } a. Buatlah semua pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B b. Tentukan banyaknya pemetaan yang dapat dibuat?
38. Diketahui suatu fungsi f dengan rumus f (x- 2x - 5dengan daerah asal M = {-5, -1, 2, 6, 8 }. i. Tentukan nilai fungsi f untuk x = -5, x = 8 ii. Tentukan daerah hasil fungsi f. iii. Gambarlah grafik fungsi f pada koordinat Cartesius
39. Tentukan persamaan garis g, jika garis g: a. Sejajar dengan garis y = 5x –2 dan melalui titik (4, 0). b. Sejajar dengan sumbu Y dan melalui titik (4, -3).
673
Tulislah persamaan garis yang memenuhi keadaan tegak lurus pada sumbu Y melalui titik (-5,10)
