BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1 A. Pilihan Ganda 1. Bentuk x2 + 2x – 48 jika difaktorkan adalah… A. (x – 6)(x – 8) B. (x + 8)(x – 6) C. (x – 4)(x – 12) D. (x + 24)(x –2) Kunci Jawaban: B x2 + 2x – 48 = (x + 8)(x – 6) 2. Faktor dari y2 – 4y – 12 adalah… A. (y – 6) (y + 2) B. (y + 6) (y – 2) C. (y – 3) (y + 4) D. (y + 3) (y – 4) Kunci Jawaban: A y2 – 4y – 12 = (y – 6) (y + 2) 2
3. Faktor dari 3x + 7x – 6 adalah… A. (3x – 2) (x + 3) B. (3x + 3) (x – 2) C. (x + 6) (2x – 1) D. (x – 1) (2x + 6) Kunci Jawaban: A 3x2 + 7x – 6 = (3x – 2)(x + 3) 4. Salah satu faktor dari 6x2 + 11x – 10 adalah… A. (3x + 5) C. (2x + 5) B. (2x + 2) D. (3x + 2) Kunci Jawaban: C 6x2 – 11x – 10 = (2x + 5)(3x – 2)
5. Bentuk faktor dari 9x2 – 1 adalah… A. (3x + 1)(3x–1) B. 3(3x + 1)(3x – 1) C. 3(x +1)(x – 1) D. 9(x + 1)(x – 1) Kunci Jawaban: A 9x2 – 1 = (3x)2 – 12 = (3x + 1)(3x –1) 6. Bentuk dar 4x2 – 1 adalah… A. (4x + 1)(4x – 1) B. 2(2x + 1)(2x – 1) C. 4(x + 1)(x – 1) D. (2x + 1)(2x – 1) Kunci Jawaban: D 4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1)(2x –1) 7. Pemfaktoran dari 9a2 – 16b2 adalah… A. (3a – 4b)(3a – 4b) B. (3a + 4b)(3a + 4b) C. (9a – 16b)(9a + 16b) D. (3a – 4b)(3a + 4b) Kunci Jawaban: D 9a2 – 16b2 = (3a)2 – (4b)2 = (3a – 4b) (3a + 4b) 8. Pemfaktoran dari 25x² – 49y² adalah… A. (5a – b) (5a + 49b) B. (5a + 7b) (5a – 7b) C. (5a – 7b) (5a + 7b) D. (25a – 7b) (a + 7b)
Kunci Jawaban: C 25x² – 49y² = (5x)2 – (7x)2 = (5a –7b) (5a + 7b) 9. Bentuk faktor dari 4x2 – 36y2 adalah… A. (2x + 6y)(2x – 6y) B. (2x – 6y)(2x – 6y) C. (4x – 6y)(x + 6y) D. (4x + 6y)(x + 6y) Kunci Jawaban: A 4x2 – 36y2 = (2x)2 – (6y)2 = (2x + 6y)(2x – 6y) 10. Faktor dari 81a2 – 16b2 adalah… A. (3a – 4b)(27a + 4q) B. (3a + 4b)(27a - 4b) C. (9a - 4b)(9a + 4b) D. (9a - 4b)(9a - 4b) Kunci Jawaban: C 81a2 – 16b2 = (9a)2 – (4b)2 = (9a - 4b)(9a + 4b) 11. Faktor dari 49p2 – 64q2 adalah… A. (7p – 8q)(7p – 8q) B. (7p + 16q)(7p – 4q) C. (7p + 8q)(7p – 8q) D. (7p + 4q)(7p – 16q) Kunci Jawaban: C 49p2 – 64q2 = (7p)2 – (8q)2
= (7p + 8q)(7p – 8q) 12. Faktor dari 16x2 – 9y2 adalah… A. (2x + 3y)(8x – 3y) B. (4x – 9y)(4x + y) C. (4x + 3y)(4x – 3y) D. (2x + 9y)(8x – y) Kunci Jawaban: C 16x2 – 9y2 = (4x)2 – (3y)2 = (4x + 3y)(4x – 3y) 13. Pemfaktoran dari 4x2 + 6x adalah… A. (3x + 3) B. 2x (3x– 3) C. –2x (3x + 3) D. 2x (3x + 3) Kunci Jawaban: D 4x2 + 6x = 2x (3x + 3)
a. 2a + 3b – 5b + a= 2a + a + 3b – 5b= (2 + 1)a + (3 – 5)b = 3a – 2b b. 2(2m – 2) – (–5(2m – 1) = 4m – 4 – (–10m + 5) = 4m – 4 + 10m – 5 = 4m + 10m – 4 – 5 = (4 + 10)m – 9 = 14m – 9 2 2 2 c. 2x + 3xy – 5xy + y – x – 5y2 = 2x2 – x2 + 3xy – 5xy + y2 – 5y2 = (2 – 1)x2 + (3 – 5) xy + (1 – 5) y2 = x2 – 2xy – 4y2 1. Bentuk sederhana dari Penyelesaian:
x2 1 adalah… x 2 2x 1
x2 1 x 1x 1 = x 1 x 2 12 = = 2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1x 1 x 1
2. Bentuk sederhana dari: Penyelesaian:
6x 2 x 2 adalah… 4x 2 1
6 x 2 x 2 3x 22 x 1 3x 2 6x 2 x 2 = = = 4x 2 1 2 x 2 12 2 x 12 x 1 2 x 1
SOAL LATIHAN 1.2 A. Pilihan Ganda
( xy 3 ) 1 1. Nilai dari =… ( x 1 y 2 ) 3 A. x2y-9 B. x-4y-9
C. D.
4. Bentuk paling sederhana adalah…
x-4y3 x2y3
x4 2x 3 x4 B. 2x 3
( xy 3 ) 1 x 1 y 3 = ( x 1 y 2 ) 3 x 3 y 6
adalah… A.
1 a
B.
1 a 1
2 x 2 5 x 12 4x 2 9
2a 2 a 3a 2
2 a2 2 D. a 1
2a 2 2.a 1 2 = = 2 a 3a 2 a 1a 2 a 2
x3 3x 2 x3 B. 3x 2 x3 3x 2 A.
2 x 2 5x 3 6x 2 x 2 C.
x3 3x 2
adalah… ( p 2) A. ( p 8) ( p 2) B. ( p 8)
= =
2 x 1x 3 3x 22 x 1 x 3 3x 2
C. D.
p 2 6 p 16 p 2 64
( p 2) ( p 8) ( p 2) ( p 8)
Kunci Jawaban: B p 2 p 8 p 2 6 p 16 = 2 p 2 82 p 64 =
D.
Kunci Jawaban: B
2 x 2 5x 3 6x 2 x 2
=
2 x 3x 4 2 x 2 32 2 x 3x 4 2 x 32 x 3 x 4 2 x 3
5. Bentuk sederhana dari
Kunci Jawaban: C
adalah…
= =
2
C.
3. Bentuk sederhana dari
C.
Kunci Jawaban: B
= x–1 – (–3). y–3 – 6 = x–1 + 3. y–9 = x2y–9 2. Bentuk sederhana dari
x4 2x 9 x4 D. 2x 9
A.
Kunci Jawaban: A
2 x 2 5 x 12 4x 2 9
=
p 2 p 8 p 8 p 8 p 2 p 8
5x 2 x 6. Bentuk sederhana dari : 2 8 yz 4y2z adalah… A.
5 xy 2z
C.
5y 2 zz
3x x4 3 D. x4
Kunci Jawaban: B
x 4 9x B. 16
5x 2 x 2 : 8 yz 4y2z
Kunci Jawaban: C
B.
5x 2 yz
D.
5 xyz z
A.
5x 2 4y2z = × 8 yz 2 x
5.4.x.x. y. y.z = 8.x. y.z.z 5.x. y.z 2.z 5 xyz = 2z =
7. Hasil dari
3 A. x3 2 B. x3
x x 6 2x 6 adalah… : 6x 3 4x 2 x2 C. 3 x3 D. 2 2
Kunci Jawaban: B
x 2 x 6 2x 6 : 6x 3 4x 2 2 x x 6 4x 2 = 6x 3 2x 6 x 2x 3 22 x 1 = 32 x 1 2x 3 x 2 = 3 8. Bentuk adalah…
sederhana
dari
C.
3 x x 4 3x 2 12 x = 2 2 x 42 x 16 3 x x 4 = x 4x 4 3x = x 4
9. Bentuk
sederhana
adalah… ( p 5) A. 2p B.
C.
dari
p 2 25 2 p 2 10 p
p5 p 2)
( p 5)
D.
2p
p5 p2
Kunci Jawaban: A
p 2 25 2 p 2 10 p
= = =
3x 12 x x 2 16 2
p 2 52
2 p p 5
p 5 p 5 2 p p 5 p 5 2p
BAB 2 RELASI & FUNGSI SOAL LATIHAN 2.1 A. Pilihan Ganda Relasi 1. Himpunan pasangan berurutan berikut yang menyatakan relasi ”kurang dari ” adalah… A. {(1,6), (2,2), (2,4), (3,6)} B. {(1,2), (2,4), (3,2), (3,6)} C. {(1,2), (1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,6)} D. {(1,2), (1,4), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4)} Kunci Jawaban: C Cukup Jelas 2. Jika A = {2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5, 6}, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah “satu kurangnya dari”. Maka relasi tersebut jika dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan adalah… A. {(2,1), (3,2), (4,3), (5, 6)} B. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)} C. {(2,3), (3,4), (4,6), (3,5)} D. {(2,3), (3,4), (4,5), (5,6)} Kunci Jawaban: D Cukup Jelas 3. Perhatikan gambar! A
B
2
4
3
5
5
6
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah… A. faktor dari C. kurang dari B. kelipatan dari D. akar dari Kunci Jawaban: C
Cukup Jelas 4. Perhatikan gambar!
Aturan dari relasi yang digambarkan dengan diagram panah diatas ini adalah… A. kurang dari C. faktor dari B. lebih dari D. kuadrat dari Kunci Jawaban: C Cukup Jelas
Fungsi 5. Diketahui himpunan pasangan berurutan (1). {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a) } (2). {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d) } (3). {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b) } (4). {{1, a), (2, b), (1, c), (2, d) } Himpunan pasangan berurutan yang merupakan pemetaan/fungsi adalah… A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4) Kunci Jawaban: B Cukup Jelas 6. Diketahui : P = {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} R = {(1,1), (2,3), (3,4), (3,5)} Q = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,1)}
S = {(1,1), (2,3), (3,3), (3,4)} Himpunan pasangan berurutan di atas, yang merupakan fungsi adalah … A. P C. R B. Q D. S Kunci Jawaban: B Q = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,1)} Cukup Jelas 7. Diketahui P = {a, b, c, d} dan Q = {1, 2, 3}. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah… A. 81 C. 12 B. 64 D. 7 Kunci Jawaban: A P = {a, b, c, d} n(P) = 4 Q = {1, 2, 3} n(Q) = 3 Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q = 34 = 3 × 3 × 3 ×3 = 81 8. Diketahui X = {1, 2} dab Y = {a, b, c}. Banyaknya fungsi yang mungkin dari Y ke X adalah… A. 5 C. 8 B. 6 D. 9 Kunci Jawaban: A X = {1, 2} n(X) = 2 Y = {a, b, c} n(Y) = 3 Banyaknya fungsi yang mungkin dari Y ke X = 23 =2×2×2 =8
9. Diagram panah dibawah ini yang merupakan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q adalah… A. C.
B.
Kunci Jawaban: B Cukup Jelas
D.
A. MENENTUKAN NILAI SUATU FUNGSI 1. Notasi Fungsi Notasi suatu fungsi:
f : xy atau f : xf(x)
Dibaca: “fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B”. 2. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi
Domain (daerah asal) = A = {1, 2, 3} Kodomain (daerah kawan) = B = {a, b, c} Daerah Hasil = {a, c} Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = c Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = a Contoh Soal: 1. Fungsi f : x 3x – 5 dengan X {–3, –2, –1, 0, 1, 2}. Daerah hasil fungsi f adalah… Penyelesaian: f(x) = 3x – 5 Daerah hasil:
f(–3) = 3(–3) – 5 = –9 – 5 = –14 f(–2) = 3(–2) – 5 = –6 – 5 = –11 f(–1) = 3(–1) – 5 = –3 – 5 = –8 f(0) = 3(0) – 5 = 0 – 5 = –5 f(1) = 3(1) – 5 = 3 – 5 = –2 f(2) = 3(2) – 5 = 6 – 5 = 1 Jadi daerah hasilnya yaitu {–14, –11, –8, –5, –2, 1} 2. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = 7 – 2x – 3x2, bayangan –3 oleh fungsi tersebut adalah… Penyelesaian: f(x) = 7 – 2x – 3x2 bayangan –3 yaitu x = –3 substitusi x = –3 ke: f(x) = 7 – 2x – 3x2 f(–3) = 7 – 2(–3) – 3(–3)2 = 7 + 6 – 3(9) = 13 – 37 = – 24
3. Menghitung Nilai Fungsi Contoh Soal: 1. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 1 – 2x2.Nilai f (2) adalah…
Penyelesaian: Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 1 – 2x2 Sehingga f(x) = 1 – 2x2 f(2) = 1 – 2.(22)= 1 – 2.(4)= 1 – 8= 7 2. Diketahui f(x) = 2x – 3, jika f(a) = 7, maka nilai a adalah… Penyelesaian: f(x) = 2x – 3, jika f(a) = 7 f(a) =2a – 3 7 = 2a – 3 2a = 7 + 3 2a = 10 a=
10 =5 2
3. Koordinat titik potong fungsi f(x) = 3x – 18 dengan sumbu x adalah… Penyelesaian: Fungsi f(x) = 3x – 18 , sumbu x, maka y = 0 0 = 3x – 18 3x = 18 x=
18 =6 3
Jadi koordinat titik potongnya adalah (6, 0). 4. Jikaf(x) = 3x + 1 dan f(a) = 19 maka nilai a adalah… Penyelesaian: f (x) = ax + b f(a) = 19 3a + 1 = 19 3a = 19 – 1 3a = 18 a=
18 =6 3
5. Suatu fungsi dari P ke Q dinyatakan sebagai {(1, 2 Notasi itu adalah… Penyelesaian: f (x) = ax + b f(x) = y Untuk (2, 3) maka x = 2 dan y = 3
1 1 ), (2, 3), (3, 3 ), (4, 4)}. 2 2
3 = 2a + b 2a + b = 3 Untuk (4, 4) maka x = 4 dan y = 4 4 = 4a + b 4a + b = 4 2a + b = 3 4a + b = 4 –2a = 1
Substitusi nilai a =
1 ke: 2
2a + b = 3 2.
1 2 1 a= 2 a=
1 +b=3 2
1+b=3 b=3–1 b=2
Notasinya f (x) = ax + bf : x
1 x+2 2
6. Suatu fungsi didefinisikan oleh rumus f(x) = ax + 5 jika f(–1) = 1, maka rumus fungsinya adalah… Penyelesaian: f (x) = ax + b f(x) = ax + 5 f(–1) = 1 –a + 5 = 1 –a = 1 – 5 –a = – 6 a=
6 =6 1
Rumus fungsinya: f(x) = ax + 5 f(x) = 6x + 5
7. Fungsi f(x) = ax + b, jika f(2) = 2 dan f(3) = 13 maka nilai f(4) adalah… Penyelesaian: f (x) = ax + b f(2) = 2 f(3) = 13
2a + b = 2 3a + b = 13 2a – (3a) = 2 – 13 2a + 3a = 15 5a = 15 a=
15 = 3 5
Substitusi nilai a = 3 ke:
2a + b = 2 2(3) + b = 2 6 + b = 2 b = 2 + 6 b=4 Substitusi nilai a = 3 dan b = 4 ke: f(x) = ax + b f(x) = 3x + 4 maka f(4) f(4) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 8
SOAL LATIHAN 2.2 A. Pilihan Ganda 1. Perhatikan gambar berikut!
Domain dari diagram panah diatas… A. {1, 2, 3, 4} C. {1, 6} B. {1, 2, 6} D. {3} Kunci Jawaban: A Domain = {1, 2, 3, 4} 2. Perhatikan gambar!
Himpunan daerah hasil (range) dari diagram panah diatas ini adalah…. A. {1, 4, 9, 10} C. {1, 2, 3, 4, 5} B. {1, 2, 3, 4} D. {5} Kunci Jawaban: B Range = {1, 2, 3, 4} 3. Diketahui rumus fungsi f(x) = –2x + 5. Nilai f(-4) adalah… A. -13 C. 3 B. -3 D. 13 Kunci Jawaban: D f(x) = –2x + 5 Nilai f(-4) = –2.(-4) + 5 =8+5 = 13
4. Jika f(x) = 3x – 2 dan f(a) = 19. Maka nilai a adalah… C. 6 C. 55
D. 7
D. 57
Kunci Jawaban: B f (x) = ax + b f(x) = 3x – 2 f(a) = 19 3a – 2 = 19 3a = 19 + 2 3a = 21 a=
21 =7 3
5. Diketahuif(x) = 8x+5 dan Nilai a adalah… A. –2 C. –4 B. –3 D. –5
f(a) = 19.
Kunci Jawaban: B f(x) = 8x+5 f(a) = –19 8a + 5 = –19 8.a = –19 – 5 8.a = –24 a=
24 = –3 8
6. Suatu fungsi linear didefinisikan dengan f(x) = ax + b dengan x R. Jika pada fungsi tersebut diketahui f(-2) = 8 dan f(5) = 13, maka nilai a dan b berturutturut adalah… A. -3 dan 2 C. 2 dan -3 B. -2 dan 3 D. 3 dan -2 Kunci Jawaban: D f (x) = ax + b f(-2) = 8 f(5) = 13
2a + b = 8 5a + b = 13 7a = 21 a=
Substitusi nilai a = 3 ke:
21 =3 7
5a + b = 13 5.(3) + b = 13 15 + b = 13 b = 13 15 b = 2 7. Suatu fungsi didefinisikan f(x) = 7 –
1 x 2
dengan x {-2, 0, 2, 4}. Daerah hasil fungsi tersebut adalah… A. {6, 7, 8, 9} C. {8, 6, 4, 2} B. {8, 7, 6, 4} D. {8, 7, 6, 5} Kunci Jawaban: D f(x) = 7 –
2 = –1 2
b=
1 x 2
Daerah hasil:
1 1 x = 7 – 2 = 7 + 1 = 8 2 2 1 1 f(0) = 7 – x = 7 – 0 = 7 – 0 = 7 2 2 1 1 f(2) = 7 – x = 7 – 2 = 7 – 1 = 6 2 2 1 1 f(4) = 7 – x = 7 – 4 = 7 – 2 = 5 2 2 f(–2) = 7 –
Jadi daerah hasil = {8, 7, 6, 5}
8. Diketahui f(x) = 2x – 3, pada himpunan bilangan bulat dinyatakan dalam pasangan berurutan {(a,3), (b,-5), (-2,c), (-1,d)}. Nilai a + b + c – d adalah… A. -1 C. 2 B. 1 D. 0 Kunci Jawaban: C f(x) = 2x – 3 {(a,3), (b, –5), (–2,c), (–1,d)} Untuk (a, 3), maka x = a dan y = 3 3 = 2a – 3 2a – 3 = 3 2a = 3 + 3 2a = 6 a=
6 =3 2
Untuk (b,-5), maka x = b dan y = –5 –5 = 2b – 3 2b – 3 = –5 2b = –5 + 3 2b = –2
Untuk (-2,c), maka x = –2 dan y = c c = 2.(–2) – 3 –4 – 3 = c c = –7 Untuk (-1,d), maka x = –2 dan y = d d = 2.(–2) – 3 d = –4 – 3 d = –7 Nilai =a+b+c–d = 3 – 1 – 7 – (–7) =3–1–7+7 =2 9. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = ax + b. Jika f(–2) = 14 dan f(3) = –1, maka nilai a dan b adalah… A. –3 dan 8 C. 2 dan 5 B. 3 dan 8 D. 5 dan -2 Kunci Jawaban: A f (x) = ax + b f(-2) = 14 2a + b = 14 f(3) = 1 3a + b = 1 5a = 15 a= Substitusi nilai a = 3 ke: 2a + b = 14 2.(3) + b = 14 6 + b = 14 b = 146 = 8 Jadi nilai a = 3 dan b = 8
15 = 3 5
10. Fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = ax + b. Bila f(2) = 1 dan f(4) = 7, maka nilai a + 2b adalah… A. -7 C. 2 B. -2 D. 7 Kunci Jawaban: A f (x) = ax + b f(2) = 1 2a + b = 1 f(4) = 7 4a + b = 7 2a = 6 a=
6 =3 2
Substitusi nilai a = 3 ke: 2a + b = 1 2.(3) + b = 1 6+b=1 b = 1 6 b = 5 Nilai a + 2b = 3 + 2(5) = 3 10 = 7
12. Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x) = mx + n, f(0) = 4, dan f(-1) = 1. Maka nilai f(-3) adalah… A. –13 C. 5 B. -5 D. 13
11. Diketahui f(x) = px + q, f(-1) = -5, dan f(4) = 5. Nilai f(-6) adalah… A. –15 C. 7 B. -9 D. 10 Kunci Jawaban: A f (x) = px + q f(-1) = -5 p + q = -5 f(4) = 5 4p + q = 5 5p = -10 p= Substitusi nilai p = 2 ke: p + q = -5 -2 + q = -5 q = -5 + 2 = -3
10 =2 5
Persamaan fungsi: f(x) = 2x – 3 Nilai f(-6) = 2.(-6) – 3 = -12 – 3 = -15
Kunci Jawaban: B f (x) = mx + n f(0) = 4 0 + n = 4 n = 4 f(-1) = 1 -m + n = 1 Substitusi nilai n = 4 ke: -m + n = 1 -m + 4 = 1 -m = 1 – 4 -m = -3 m=3 Persamaan fungsi: f(x) = 3x + 4 Nilai f(-3) = 3.(-3) + 4 = -9 + 4 = -5 13. Koordinat titik potong fungsi g(x) = 20 – 5x dengan sumbu y adalah… A. (0, 20) C. (4, 0) B. (20, 0) D. (0, 4) Kunci Jawaban:A Fungsi g(x) = 20 – 5x , sumbu y, maka x = 0, y = 20 – 5x y = 20 – 5(0) y = 20 – 0 y = 20 Jadi koordinat titik potongnya adalah (0, 20).
B. Uraian 1. Suatu fungsi dirumuskan f:x 3x – 2 jika f(a) = 13, maka nilai a adalah… Penyelesaian: f (x) = ax + b f(x) = 3x – 2 f(a) = 13 3a – 2 = 13 3a = 13 + 2 3a = 15 a=
15 =5 3
2. Diketahui fungsi f(x) = 2x² – 2x– 12.
1 Nilai dari f( ) =… 2 Penyelesaian: f(x) = 2x² – 2x– 12 2
f(
1 1 1 ) = 2. – 2. – 12 2 2 2 1 = 2 . – 1 – 12 4 1 = – 13 2 1 26 = – 2 2 25 = 2 1 = –12 2
3. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = px + q, f(3) = -10, dan f(-2) = 0. Maka nilai f(-7) adalah… Penyelesaian: f (x) = px + q f(3) = -10 f(-2) = 0
3p + q = -10 -2p + q = 0 5p = -10
p=
10 = -2 5
Substitusi nilai p = -2 ke: 3p + q = -10 3.(-2) + q = -10 -6 + q = -10 q = -10 + 6 = -4 Persamaan fungsi: f(x) = -2x – 4 Nilai f(-7) = -2.(-7) – 4 = -14 – 4 = 10
4. Diketahui f(x) = px + q, f(-2) = -13, dan f(3) = 12. Nilai f(5) adalah… Penyelesaian: f (x) = px + q f(-2) = -13 f(3) = 12
-2p + q = -13 3p + q = 12 -5p = -25 p=
25 =5 5
Substitusi nilai p = 5 ke: -2p + q = -13 -2.(5) + q = -13 -10 + q = -13 q = -13 + 10 = -3 Persamaan fungsi: f(x) = 5x – 3 Nilai f(5) = 5.(5) – 3 = 25 – 3 = 22
BAB 3 PERSAMAAN GARIS LURUS 1. Gradien garis dengan persamaan 4x – 2y + 8 = 0 adalah… Penyelesaian: 4x – 2y + 8= 0 – 2y = – 4x – 8
4x 8 2
y=
y = 2x + 4 m=2 Gradien garis dengan persamaan 4x – 2y + 8 = 0 adalah 2 2. Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah… Penyelesaian: 3x + 2y = 6 2y = – 3x + 6
3x 6 2 3 y= x+3 2 y=
m=
3 2
Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah
3 2
1. Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah… Penyelesaian: Garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah: x1 y1
m
y 2 y1 4 (6) 10 5 x2 x1 2 2 4 2
x2 y2
Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah
5 2
SOAL LATIHAN 3.1 A. Pilihan Ganda 1. Perhatikan gambar!
A. -6 B. -3
C. 3 D. 6
Kunci jawaban : A
1 y – 3x = 2 2 1 –3x + y – 2 = 0 2 1 a = –3, b = 2 a 3 2 m= = = –3 × = –6 1 b 1 2
Persamaan Gradien garis pada gambar di samping adalah…
2 5 5 D. 2
5 2 2 B. 5
C.
A.
Jadi gradien garisnya = –6
Kunci Jawaban: A Persamaan garis: 5x + 2y = 10 a = 5, b = 2 m=
4. Gradien garis 2y + x – 4 = 0 adalah…
1 2 1 B. 4 A.
a 5 5 = = 2 b 2
Jadi gradien garisnya =
5 2
2. Gradien garis yang melalui titik (-3, 4) dan (-8, -6) adalah… A. 10 C. -2 B. 2 D. -10 Kunci jawaban : B Titik (-3, 4) dan (-8, -6) adalah: x1 y1
y 2 y1 m= x 2 x1 m=
m=
a 1 1 = = b 2 2
1 2
5. Gradien garis dengan persamaan 4x – y + 8 = 0 adalah… A. -4
10 10 64 2 = 8 (3) 8 3 5
B.
Jadi gradien garisnya = 2
3x = 2 adalah…
Kunci jawaban : A Bentuk: ax + by + c = 0 2y + x – 4 = 0 x + 2y – 4 = 0 a = 1, b = 2
Jadi gradien garisnya =
x2 y2
3. Gradien garis dengan persamaan
1 4 1 D. 2 C.
1 y – 2
1 4
C.
1 4
D. 4
Kunci jawaban : D Bentuk: ax + by + c = 0 4x – y + 8 = 0 a = 4, b = –1
m=
a 4 = =4 b 1
Kunci jawaban : C Bentuk: ax + by + c = 0 -3x – 2y = 7 a = -3, b = –2
Jadi gradien garisnya = 4 6. Gradien garis dengan persamaan 5y = 7 – 2x adalah…
1 2 2 B. 5 A. 2
2 5 1 D. 2 2 C.
9. Gradien garis 2x – y = 2 adalah… A.
Kunci jawaban : D 5y = 7 – 2x 5y = – 2x + 7
B.
2 7 x 5 5 2 1 m = = 2 5 2 y=
Jadi gradien garisnya = 2
1 2
7. Gradien garis 4x – 6y = 24 adalah…
2 3 3 D. 2
3 2 2 B. 3 A.
C.
1 2
C. 1 D. 2
Kunci jawaban : D Bentuk: ax + by + c = 0 2x – y = 2 a = 2, b = –1 m=
a 2 2 = = =2 b 1 1
Jadi gradien garisnya = 2 10. Gradien garis x – 3y = -6 adalah… A. -3
C.
1 3
1 3
D. 3
Kunci jawaban : C Bentuk: ax + by + c = 0 x – 3y = -6 a = 1, b = –3
a 4 4 2 = = = b 6 6 3
Jadi gradien garisnya =
1 2
B.
Kunci jawaban : B Bentuk: ax + by + c = 0 4x – 6y = 24 a = 4, b = –6 m=
3 3 a (3) = = = b 2 2 2 3 Jadi gradien garisnya = 2 m=
2 3
m=
a 1 1 = = b 3 3
Jadi gradien garisnya =
1 3
11. Gradien garis dengan persamaan 5y = 7 – 2x adalah… 8. Gradien garis -3x – 2y = 7 adalah… A.
3 2
B.
3 2 7 D. 3 C.
2 3
1 2 2 B. 5 A. 2
2 5 1 D. 2 2 C.
Kunci jawaban : D 5y = 7 – 2x
5y = – 2x + 7
Kunci Jawaban: D Titik (2, 1) dan (4, 7) adalah:
2 7 y = x 5 5 2 1 m = = 2 5 2
x1 y1
Jadi gradien garisnya = 2
1 2
12. Gradien garis yang melalui titik (4b, 5) dan (2b, 8) adalah –3. Nilai b adalah…
1 2 1 B. 6
1 2 2 D. 3
A.
C.
Kunci Jawaban: A m = –3 Titik (4b, 5) dan (2b, 8) adalah: x1 y1
m=
m=
14. Titik(2, -7) dan (-1, 5) terletak pada garis dengan persamaan y = mx + c. Nilai m + c adalah… A. -5 C. -3 B. -4 D. 1 Kunci Jawaban: C Titik
85 2b 4b 85 –3 = 2b 4b 3 –3 = 2b –3 × (–2b) = –3 6.b = –3 b=
3 1 = 6 2
13. Gradien garis yang melalui titik (2, 1) dan titik (4, 7) adalah… A. 0,2 C. 2 B. 0,5 D. 3
(2, -7) dan (-1, 5) adalah: x1 y1
m=
–3 =
y 2 y1 7 1 6 3 = = x 2 x1 4 2 2
Jadi gradien garisnya = 3
x2 y2
y 2 y1 x 2 x1
x2 y2
m=
y 2 y1 x 2 x1
x2 y2
5 (7) 5 7 12 = =–4 1 2 3 3
Substitusi nilai m = –4 ke: Titik (2, -7) x1 y1 y = mx + c. –7 = –4.(2) + c –7 = –8 + c c = –7 + 8 = 1 Nilai m + c = –4 + 1 = –3
1. Persamaan garis yang melalui titik (3, –2) dengan gradien m = 4 adalah… Penyelesaian: Titik (3, –2) dan gradien m = 4 x1 = 3 ; y1 = –2 dan m = 4 Persamaan garis : y – y1 = m (x – x1) y – (–2) = 4 (x – 3) y + 2 = 4x – 12 y = 4x – 12 – 2 y = 4x – 14
Smart Solution: y = mx + c –2 = 4(3) + c
–2 = 12 + c c = –2 – 12 c = –14 Jadi : y = mx + c y = 4x– 14
2. Persamaan garis melalui titik (–4, 3) dengan gradien 2 adalah… Penyelesaian: Titik (–4, 3) dengan gradien m = 2 x1 = –4 ; y1 = 3 dan m = 2 Persamaan garis : y – y1 = m (x – x1) y – 3 = 2 (x – (–4) y – 3 = 2 (x + 4) y – 3 = 2x + 8 2x + 8 = y – 3 2x – y + 8 + 3 = 0 2x – y + 11 = 0
Smart Solution: y = mx + c
3 = 2(–4) + c 3 = –8 + c c=3+8 c = 11 Jadi : y = mx + c y = 2x+ 11 2x+ 11 = y 2x – y + 11 = 0
1. Persamaan garis yang melalui titik (–3,6) dan (1,4) adalah… Penyelesaian: Cara Biasa: Smart Titik (–3 , 6) dan (1,Solution: 4)
y y1 x x1 = y 2 y1 x 2 x1 y6 = 46 y6 = 2 y6 = 2
x (3) 1 (3) x3 1 3 x3 4
(xx11y–1x22y).2y = (y1 – y2).x + [(x1 × y2) – (y1 × x2) (–3 – 1).y = (6 – 4).x + [(–3×4) – (6 × 1) –4y = –2x + [–12 – 6] –4y = 2x – 18 2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2) x + 2y = 9
4.(y – 6) = –2(x + 3) 4y – 24 = –2x – 6 4y + 2x = – 6 + 24 4y + 2x = 18 2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2)
x + 2y = 9 1. Persamaan garis melalui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 6 adalah… Penyelesaian: Cara Biasa: Gradien garis 2x + 3y = 6 adalah : Smart Solution: 2x + 3y = 6 3y = –2x + 6 Titik (-3, 2) berarti x = –3 ; y = 2
2x 6 y= 3 2 y= x+2 3
m1 =
Sejajar garis 2x + Persamaan garis: 2x + 2x + 2x + 2x +
2 3
Karena sejajar berarti m1 = m2 = Titik (-3, 2)
1
3y = 6 3y 3y 3y 3y
1
= 2(x1) + 3(y1) = 2(–3) + 3(2) = –6 + 6 =0
2 3
x1 y1 Persamaan garis: y – y1 = m (x – x1) y–2 =
2 (x – (–3) 3
3.(y – 2) = –2.(x + 3) 3y – 6 = –2x – 6 2x + 3y = –6 + 6 2x + 3y = 0
1. Persamaan garis melalui titik (-4, -2) dan tegak lurus dengan garis 2x + 6y – 12 = 0 adalah .... Penyelesaian Cara Biasa: Gradien garis 2x + 6y – 12 adalah: 2x + 6y = 12 6y = –2x + 12
2 x 12 6 2 y= x+2 6 2 1 m1 = 6 3 y=
Titik (–4, –2) berarti x1 = –4 ; y1 = –2 Persamaan garis: y – y1 = m (x – x1) y – (–2) = 3.(x – (–4) y – (–2) = 3.(x + 4) y + 2 = 3x + 12
Syarat dua garis tegak lurus: m1×m2 = –1
1 × m2 = –1 3
m2 = –1 × –3 m2 = 3
Smart Kediri Solution: Titik (-4, -2) berarti x1 = –4 ; y1 = –2 Sejajar garis 2x + 6y = 12 (tanda berkebalikan) Persamaan garis: 6x – 2y = 6(x1) – 2(y1) 6x – 2y = 6(–4) – 2(–2) 6x – 2y = –24 + 4 6x – 2y = –20 –20 = 6x – 2y 2y = 6x + 20 (sama-sama bagi 2) y = 3x + 10 Contoh Soal: Perhatikan gambar !
Persamaan garis pada gambar adalah… Penyelesaian: x1 = –4 dan y1 = 3 y1.x + x1.y = x1 . y1 3x – 4y = –4 . 3 3x – 4y = – 12
SOAL LATIHAN 3.2 A. Pilihan Ganda Persamaan Garis Melalui Titik 1. Persamaan garis lurus yang melalui titik (0, 3) dengan gradien -2 adalah… A. y = -2x – 3 B. y = 2x + 3 C. 2x – y = 3 D. y + 2x = 3 Kunci Jawaban: C Titik (0, 3), maka x1 = 0, y1 = 3 m = –2 Persamaan garis: y – y1 = m (x – x1) y – 3 = –2 (x – 0) y – 3 = –2x 2x – y = 3 2. Persamaan garis yang melalui titik pangkal koordinat dan titik A(–3, 4) adalah…
3 x+4 4 4 B. y = x 3 A. y =
4 x+4 3 3 D. y = x 4
C. y =
Kunci Jawaban: B Titik (0, 0) dan 4) x1 y1
y y1 x x1 = y 2 y1 x 2 x1 y0 x0 = 40 30 y x = 4 3 –3y = 4x y =
4 x 3
pangkal A(–3,
x2
y2
3. Persamaan garis lurus yang melalui titik (7, –4) dan (9, 6) adalah… A. y = 5x + 39 B. 5x – y = 39 C. y = 5x – 39 D. 5x + y = 39 Kunci Jawaban: B Titik 6) x1 y1
y y1 x x1 = y 2 y1 x 2 x1
(7, –4) dan (9,
x2 y2
y (4) x 7 = 6 (4) 9 7 y4 x7 = 64 2 y4 x7 = 10 2
2.(y+4) = 10.(x–7) 2y+8 = 10x – 70 10x – 70 = 2y+ 8 10x – 2y = 8 + 70 10x – 2y = 78 (sama-sama bagi 2) 5x – y = 39
Persamaan Garis Sejajar 4. Persamaan garis yang melalui titik (1, – 2) dan sejajar dengan garis yang persamaannya y= 2x + 1 adalah… A. y = 2x – 3 C. y = 2x + 4 B. y = 2x + 3 D. y = 2x – 4 Kunci Jawaban: D Cara Biasa: Gradien garis y = 2x + 1 adalah m1 = 2 Karena sejajar berarti m1 = m2 = 2 Titik (1, –2)
x1 y1 Persamaan garis: y – y1 = m (x – x1) y – (–2) = 2.(x – 1) y + 2 = 2x–2 y = 2x– 2 – 2 y = 2x– 4
Smart Solution: Titik (1, –2) berarti x1 = 1 ; y1 = –2 Sejajar garis y = 2x + 1 Persamaan garis: 2x – y = 1 2x–y = 2(x1) – (y1) 2x– y = 2(1) – (–2) 2x–y = 2 – (–2) 2x–y = 2 + 2 2x– y = 4 2x – 4 = y y = 2x– 4 5. Persamaan garis yang melalui titik (–2,5) dan sejajar dengan garis yang persamaannya 3x – 2y – 6 = 0 adalah…
2 x+5 3 2 B. y = x + 8 3 A. y =
3 x+5 2 3 D. y = x + 8 2
Kunci Jawaban: C Smart Solution Titik (–5, 0)berarti x1 = –2 ; y1 = 5 Sejajar garis: x – 3y + 2 = 0 Persamaan garis: x – 3y = –2 x – 3y = (x1) – 3(y1) x – 3y = –2 – 3(5) x – 3y = –2 – 15 x – 3y = –17 7. Dari garis-garis dengan persamaan: I. y– 5x + 12 = 0 II. y + 5x– 9 = 0 III. 5y–x– 12 = 0 IV. 5y + x + 9 = 0 Yang sejajar dengan garis yang melalui titik (2, 1) dan (3, 6) adalah… A. I C. III B. II D. IV Kunci Jawaban: B Sejajar dengan garis yang melalui titik (2, 1) dan (3, 6)
C. y =
Kunci Jawaban: D Smart Solution: Titik (–2, 5)berarti x1 = –2 ; y1 = 5 Sejajar garis: 3x – 2y – 6 = 0 Persamaan garis: 3x – 2y = 6 3x – 2y = 3(x1) – 2(y1) 3x – 2y = 3(–2) –2(5) 3x – 2y = –6– 10 3x – 2y = – 16 –2y = – 3x – 16
3 16 3 x y= = x+8 2 2 2
6. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 5) dan sejajar garis x – 3y + 2 = 0 adalah… A. 3x – y = 17 C. x – 3y = -17 B. 3x + y = 17 D. x + 3y = -17
x1 y1
m=
y 2 y1 6 1 5 = = = –5 x 2 x1 3 2 1
x2 y2
Diantara (I), (II), (III), (IV) kita cari yang gradiennya sama (sejajar). Untuk (II) . y + 5x– 9 = 0 a = 5 dan b = 1 m=
a 5 = = –5 1 b
Jadi garis yang sejajar: y + 5x– 9 = 0
Persamaan Garis Tegak Lurus 8. Persamaan garis melalui titik (2, –1) dan tegak lurus dengan garis y = 2x + 5 adalah… A. 2x + y = 0 C. x + 2y = 0 B. 2x – y = 0 D. x – 2y = 0
Kunci Jawaban: C Gradien garis y = 2x + 5 adalah m1 = 2 Syarat dua garis tegak lurus: m1 × m2 = –1 2 × m2 = –1
1 1 m2 = = 2 2
Titik (2, –1) berarti x1 = 2 ; y1 = –1 Persamaan garis: y – y1 = m2 (x – x1)
1 y – (–1) = .(x – 2) 2 1 y + 1 = .(x – 2) 2
Untuk (iv) 4y + x + 5 = 0, miv=
1 4
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh bahwa garisnya tegak lurus. m1×m2 = –1
3 2 × = –1 2 3 –1 = –1
3 2 2 B. 3
2 3 3 D. 2
A.
9. Diketahuigaris-garis dengan persamaan: (i) 2y – 3x + 10 = 0 (ii) 3y + 2x –15 = 0 (iii) 3y – 2x – 5 = 0 (iv) 4y + x + 5 = 0 Pasangan garis yang saling tegak lurus adalah… A. (ii) dan (iii) C. (i) dan (ii) B. (ii) dan (iv) D. (i) dan (iii) Kunci Jawaban: C Garis tegak lurus jikam1×m2 = –1 Untuk (i) 2y – 3x + 10 = 0
C.
Kunci Jawaban: B Gradien garis 2y – 3x = 6 adalah: 2y = 3x + 6 y= m1 =
3x 6 3 y= x+3 2 2
3 2
Syarat dua garis tegak lurus: m1×m2 = –1
3 × m2 = –1 2 2 2 m2 = –1 × = 3 3 Jadi gradien garis g =
(3) 3 mi= = 2 2
Untuk (iii) 3y – 2x – 5 = 0
(2) 2 = 3 3
10. Garis g tegak lurus dengan garis yang persamaannya 2y – 3x = 6. Gradien garis g adalah…
2.(y + 1) = –1.(x – 2) 2y + 2 = –x + 2 2y = –x + 2 – 2 2y = –x + 0 x + 2y = 0
Untuk (ii) 3y + 2x –15 = 0, mii=
miii=
2 3
2 3
B. Uraian 1. Gradien garis yang tegak lurus dengan garis 3x + 5y + 20 = 0 adalah… Penyelesaian: Gradien garis 3x + 5y + 20 = 0 adalah: 5y = –3x– 20
3x 20 5 3 y = x– 4 5 3 m1 = 5 y=
2x 2x 2x 2x
3 × m2 = –1 5 m2 = –1 ×
Penyelesaian: Sejajar dengan garis yang melalui titik (5, 2) dan (–1, –1) x1 y1
m=
5 5 = 3 3
2. Persamaan garis yang sejajar dengan x + y – 2 = 0 dan melalui titik (-5, 0) adalah… Penyelesaian: Titik (–5, 0)berarti x1 = –5 ; y1 = 0 Sejajar garis: x + y – 2 = 0 Persamaan garis: x + y = 2 x + y = (x1) + (y1) x + y = –5+ 0 x+y=–5 x+y+5=0 y+x+5=0 3. Persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik (– 2, 5) adalah… Penyelesaian: Smart Solution Titik (–2, 5)berarti x1 = –2 ; y1 = 5 Sejajar garis: 2x + 3y + 6 = 0 2x + 3y = – 6 Persamaan garis: 2x + 3y =– 6 2x + 3y = 2(x1) +3(y1)
3y = 2(–2) + 3(5) 3y = –4+ 15 3y= 11 3y– 11 = 0
4. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik (5, 2) dan (-1, -1) adalah…
Syarat dua garis tegak lurus: m1 × m2 = –1
+ + + +
x2 y2
y 2 y1 1 2 3 3 1 = = = = x 2 x1 1 5 6 6 2
Titik (–2, 3), berarti x1 = –2 ; y1 = 3 Persamaan garis: y – y1 = m (x – x1)
1 .(x – (–2) 2 1 y – 3 = .(x + 2) 2 y–3=
2.(y – 3) = 1.(x + 2) 2y – 6 = x + 2 x + 2 = 2y – 6 x – 2y + 2 + 6 = 0 x – 2y + 8 = 0
5. Persamaan garis yang melalui titik (6, –1) dan tegak lurus dengan garis y = 3x + 2 adalah… Penyelesaian: Gradien garis y = 3x + 2 adalah m1 = 3 Syarat dua garis tegak lurus: m1 × m2 = –1 3 × m2 = –1 m2 =
1 1 = 3 3
Titik (6, –1)berarti x1 = 6 ; y1 = –1 Persamaan garis: y – y1 = m2 (x – x1)
y – (–1) = y+1=
1 .(x – 6) 3
=
1 .(x – 6) 3
3.(y + 1) = –1.(x – 6) 3y + 3 = –x + 6 3y = –x + 6 – 3 3y = –x + 3 y =
x3 1 = x+1 3 3
6. Persamaan garis yang melalui titik (–3, – 2) dan mempunyai gradien
3 adalah… 5
Penyelesaian: Titik (–3, –2), maka: x1 = –3 & y1 = –2 m=
3 5
Persamaan garisnya: y – y1 = m (x – x1)
3 (x – (–3) 5 3 y + 2 = (x + 3) 5
y – (–2) =
5.(y + 2) = –3.(x + 3) 5y + 10 = –3x – 9 5y + 3x + 10 + 9 = 0 3x + 5y + 19 = 0 7. Persamaan garis yang melalui titik (–5, – 4) dan tegak lurus terhadap garis yang melalui titik (–1, 3) dan (–4, 6) adalah… Penyelesaian: Tegak lurus dengan garis yang melalui titik (–1, 3) dan (–4, 6). x1 y1
m1 =
x2
y2
63 y 2 y1 = x2 x1 4 (1)
3 3 = = –1 4 1 3
Titik (–5, –4), berarti x1 = –5 ; y1 = –4 Persamaan garis: y – y1 = m (x – x1) y – (–4) =–1.(x – (–5) y+4 =–1.(x + 5) y + 4 = –x– 5 y+x=–5–4 x+y=–9 x+y+9=0 8. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(–2, –3) dan tegak lurus terhadap garis dengan persamaan: y =
2 x + 9 adalah… 3
Penyelesaian: Garis: y =
2 2 x + 9, maka m1 = 3 3
Titik A(–2, –3), berarti x1 = –2 ; y1 = –3 Karena tegak lurus: m1 × m2 = –1
2 × m2 = –1 3 3 3 m2 = –1 × = 2 2
Persamaan garis: y – y1 = m (x – x1)
3 .(x – (–2) 2 3 y + 3 = .(x + 2) 2
y – (–3) =
2.(y + 3) = –3.(x + 2) 2y + 6 = –3x– 6 2y + 3x + 6 + 6 = 0 3x + 2y + 12 = 0 Jadi persamaan garis: 3x + 2y + 12 = 0
BAB 4 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua
x y 5 . Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real. x y 1
variabel
Penyelesaian: Untuk memudahkan menggambar grafik dari x + y = 5 dan x – y = 1, buatlah tabel nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut Y x+y=5 x+y=5
6 5 4 3 2 1
x–y=1
X –1
1 2
3
4
x y (x, y)
0 5 (0,5)
5 0 (5,0)
x–y=1 x y (x, y)
0 –1 (0,–1)
1 0 (1,0)
5
6
Dari gambar tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 2). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 adalah {(3, 2)}. Contoh Soal: Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear
2 x 3 y 6 . Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real. x y 3
dua variabel
Penyelesaian: 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 Langkah I (Eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3. 2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6 x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9 – 2x – 3x = 6 – 9 –x=–3 x=3 Langkah II (Eliminasi variabel x) Untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 2. 2x + 3y = x–y=
6 ×1 2x + 3y = 6 3 ×2 2x – 2y = 6 3y – (–2y) = 6 – 6 5y = 0 y=
–
0 5
y=0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}. Contoh Soal: Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear
2 x 3 y 6 . Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real. x y 3
dua variabel
Penyelesaian: Persamaan (1) 2x + 3y = 6 Persamaan (2) x – y = 3 x = y + 3 Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) 2x + 3y = 6 2(y + 3) + 3y = 6 2y + 6 + 3y = 6 2y + 3y = 6 – 6 5y = 0 y=
0 5
y=0
Selanjutnya substitusi nilai y = 0, ke persamaan (2) y=0 x=y+3 x=0+3 x=3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.
Cara Cepat: Persamaan 1 adalah A1x + B1y = C1 Persamaan 2 adalah A2x + B2y = C2 maka: x
B1 C2 B2 C1 A2 B1 A1 B2
Untuk mencari nilai y kita substitusi nilai x yang telah didapat ke persamaan 1 atau persamaan 2. Contoh Soal: 1. Dengan metode gabungan, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
2 x 3 y 6 . Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real. x y 3
linear dua variabel
Penyelesaian: Cara Pertama: Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi dan substitusi, diperoleh: 2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6 x–y = 3 × 2 2x – 2y = 6 – 3y – (–2y) = 6 – 6 5y = 0 y=
0 =0 5
Selanjutnya substitusi nilai y = 0 ke x–y=3 x–0=3 x=3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.
Cara Kedua: Persamaan 1 adalah Persamaan 2 adalah
maka:
x
2x + 3y = 6 x – y=3
A1x + B1y = C1 A2x + B2y = C2
3 3 1 6 9 6 9 6 15 3 1 3 2 1 3 2 3 2 5
Selanjutnya substitusi nilai x = 3 ke x–y=3 3–y=3 y=3–3 y=0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}. 2.
Penyelesaian sistem persamaan 2x + 4y + 2 = 0 dan 3x – y – 11 = 0 adalah x1 da y1. Nilai x1 + y1 adalah…
A. -5
B. -1
C. 1
Kunci jawaban : C Penyelesaian: Persamaan (1) 2x + 4y + 2 = 0 Persamaan (2) 3x – y – 11 = 0 2x + 4y = – 3x – y = 11
2x + 4y = – 2 3x– y=11
2 × 3 6x + 12y= –6 × 2 6x– 2y= 11– 14y= –28 14y = –28 y=
28 14
y1 = –2 Substitusi nilai y1 = –2 ke:
2x + 4y = –2 2x + 4.(–2) = –2 2x – 8 = –2 2x = –2 + 8 2x = 6
x=
6 3
x1 = 3 Jadix1 + y1 = 3 + (–2) = 1
D. 5
SOAL LATIHAN 4.1 A. Pilihan Ganda 1. Penyelesaian sistem persamaan x – y = 12 dan x + y = 6 adalah… A. (3, -9) C. (3, 9) B. (9, -3) D. (-9, 3)
18 =9 2
8 =2 4
y=
Substitusi nilai x = 9, ke: x+y=6 9+y=6 y=6–9 y = –3 Penyelesaiannya = (9, -3)
8 = –4 2
Jadi himpunan penyelesaian = {(2, –4)}
2. Nilai y yang merupakan penyelesaian dari 3x – y = 12 dan x + 4y = 17 adalah… A. 3 C. 6 B. 5 D. 7 Kunci Jawaban: A 3x – y = 12 × 1 3x – y = 12 x + 4y = 17 × 3 3x + 12y = 51– –13y = –39 y=
39 13
y=3
3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah… A. {(–2, –4)} C. {(2, –4)} B. {(–2,4)} D. {(2,4)}
Kunci Jawaban: C x – 2y = 10
x=
Substitusi nilai x = 2 ke: x – 2y = 10 2 – 2y = 10 –2y = 10 – 2 –2y = 8
Kunci Jawaban: B x – y = 12 x+y=6 + 2x = 18 x=
3x + 2y = –2 + 4x= 8
4. Nilai x yang merupakan penyelesaian dari 2x – 5y = 2 dan 5x + 2y = 34 adalah… A. 2 C. 6 B. 4 D. 8 Kunci Jawaban: C 2x – 5y = 2 × 2 4x–10y= 4 5x + 2y = 34 × 5 25x +10y=170+ 29x= 174 x=
174 29
x=6
5. Penyelesaian sistem persamaan 3x – 2y = 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai dari 4p + 3q adalah… A. 17 C. –10 B. –1 D. –17 Kunci Jawaban: B 3x – 2y = 12 × 1 3x – 2y = 12 5x + y = 7 × 2 10x + 2y = 14 + 13x= 26 x=
26 13
x=2
x=p=2 Substitusi nilai x = 2,ke: 5x + y = 7 5.(2) + y = 7 10 + y = 7 y = 7 – 10 y= –3 y = q = –3 Nilai dari 4p + 3q = 4.(2) + 3.(–3) =8–9 = –1 6. Dari sistem persamaan 3x + 2y = 8 dan x – 5y = –37, nilai 6x + 4y adalah… A. –30 C. 16 B. –16 D. 30 Kunci Jawaban: C 3x + 2y = 8 ×1 3x + 2y = 8 x – 5y = –37 × 3 3x – 15y = –111– 17y= 119 y= Substitusi nilai x = 7,ke: 3x + 2y = 8 3x + 2.(7)= 8 3x + 14= 8 3x = 8 – 14 3x = – 6 x=
119 17
y=7
6 = –2 3
Nilai dari 6x + 4y = 6.(–2) + 4.(7) = –12+ 28 = 16
7. Penyelesaian sistem persamaan dari 2x + 3y = 26 dan 3x + 4y = 37 adalah x dan y. Nilai x – y adalah… A. 3 C. 5 B. 4 D. 6 Kunci Jawaban: A
2x + 3y = 26 × 3 6x + 9y = 78 3x + 4y = 37 × 2 6x + 8y = 74– y=4 Substitusi nilai y = 4,ke: 2x + 3y = 26 2x + 3(4) = 26 2x + 12= 26 2x = 26 – 12 2x = 14 x=
14 =7 2
Nilai dari x – y= 7 – 4 = 3 8. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 19 dan x – y = –8 adalah {(x,y)}. Nilai x – 7y =… A. –50 C. 40 B. –40 D. 50 Kunci Jawaban: A 2x + 3y = 19 × 1 2x + 3y = 19 x – y = –8 × 2 2x – 2y = –16– 5y= 35 y=
35 5
y=7 Substitusi nilai y = 7, ke: x – y = –8 x – 7 = –8 x = –8 + 7 x = –1 Nilai x – 7y = –1 – 7(7)= –1 – 49= –50
9. Diketahui persamaan y = ax + b. Jika y = –3 untuk x = 1 dan y = 9 untuk x = 3, maka nilai 3a + 2b adalah… A. –9 C. 0 B. –3 D. 6 Kunci Jawaban: C y = ax + b –3 = a + b a + b = –3
9 = 3a + b 3a + b = 9 Eliminasi kedua persamaan diatas. a + b = –3 3a + b = 9 – –2a = –12 a=
12 =6 2
Substitusi nilai a = 6, ke: a + b = –3 6 + b = –3 b = –3 – 6 = – 9 Nilai 3a + 2b = 3.(6)+ 2.(–9) = 18 – 18 =0
Kunci Jawaban: B 2x + y = 13 ×3 6x + 3y = 39 3x – 2y = 2 ×2 6x – 4y = 4– 7y = 35
Substitusi nilai y = 5, ke: 3x – 2y = 2 3x – 2.(5) = 2 3x – 10 = 2 3x – 10 = 2 3x = 2 + 10
x
=
12 =4 3
Nilai dari 7x + 3y = 7x + 3y = 7.(4) + 3.(5) = 28 + 15 = 43 11. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 3x + 2y = 19 dan 2x – y = 1 adalah {(x,y)}. Nilai 4x – 5y =… A. –18 C. 12 B. –13 D. 22
10. Diketahui sistem persamaan 2x + y = 13 dan 3x – 2y = 2. Nilai 7x + 3y adalah… A. 47 C. 35 B. 43 D. 19
y=
3x = 12
35 =5 7
Kunci Jawaban: B 3x + 2y = 19 × 1 3x + 2y = 19 2x – y = 1 × 2 4x – 2y = 2+ 7x= 21 x=
21 7
x=3 Substitusi nilai x = 3, ke: 2x – y = 1 2.(3) – y = 1 6–y=1 y=6–1 y=5 Nilai 4x – 5y = 4.(3) – 5.(5) = 12– 25 = –13
B. Uraian 1. Diketahui sistem persamaan 2x– 3y = 18 dan x + 4y = –2. Nilai x + y =… Penyelesaian: 2x– 3y = x + 4y = – 4–
18 × 1 2x– 3y = 18 2 × 2 2x + 8y = – –11y = 22 y=
22 = –2 11
Substitusi nilai y = –2, ke: x + 4y = –2 x + 4.( –2) = –2 x– 8 = –2 x = –2 + 8 = 6 Nilai dari x + y= 6– 2 = 4 2. Penyelesaian dari sistem persamaan x – 3y = 1 dan x – 2y = 2 adalah… Penyelesaian: x – 3y = 1 x – 2y = 2– –y= –1 y=1 Substitusi nilai y = 1, ke:x – 3y = 1 x – 3.(1) = 1 x – 3= 1 x=1+3 x=4 Jadi himpunan penyelesaiannya (4, 1) 3. Penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x + 5 danx + 3y = 1 adalah… Penyelesaian: y = 2x + 5 2x – y = –5 2x – y = –5 × 1 2x – y = – 5 x + 3y = 1 × 2 2x + 6y = 2 – –7y= –7 y=
7 =1 7
Substitusi nilai y = 1, ke:
x x x x
+ 3y = 1 + 3.(1) = 1 +3=1 =1–3 x = –2 Jadi himpunan penyelesaiannya (–2, 1) 4. Jika x dan y merupakan penyelesain dari –4x + y = 7 dan x + 2y = 5, maka nilai 3x – y adalah… Penyelesaian: –4x + y = x + 2y = 20+
7 × 1 –4x + y = 7 5 × 4 4x + 8y = 9y= 27 y=
27 =3 9
Substitusi nilai y = 3, ke: x + 2y = 5 x + 2.(3) = 5 x+6=5 x=5–6 x = –1 Nilai dari 3x – y = 3.(–1) – 3 = –3 – 3 = –16 5. Penyelesaian dari 2x + 3y = 10 dan –3x + y = –4 adalah x = a dan y = b. Nilai dari a – 2b =… Penyelesaian: 2x + 3y = 10 × 1 2x + 3y = 10 –3x + y = –4 × 3 –9x + 3y = –12– 11x= 22 x=
22 =2 11
x=a=2
Substitusi nilai x = 2, ke: 2x + 3y = 10
2.(2) + 3y = 10 4 + 3y = 10 3y = 10 – 4 3y = 6 y=
6 =2 3
y = b= 2 Nilai dari a – 2b = 2 – 2.(2) =2–4 = –6
1. Harga 3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00, sedangkan 1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00. Harga sebuah kemeja adalah… Penyelesaian: Misalkan: Kemeja = x Celana = y 3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00 1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00 3x + 2y = x + 4y = 400.000
3x + 2y = 300.000 x + 4y = 400.000
300.000 × 2 6x + 4y = 600.000 × 1 x + 4y = 400.000 5x = 200.000 x=
200.000 5
x = 40.000 Jadi harga sebuah kemeja (x) adalah Rp40.000,00 2. Jumlah dan selisih dua buah bilangan masing-masing 12 dan 4. Selisih kuadrat kedua bilangan itu adalah… Penyelesaian: Misalkan: bilangan 1 = x bilangan 2 = y Jumlah dua buah bilangan 12 Selisih dua buah bilangan 4 x + y = 12 x–y =4 + 2x = 16 x =8 Selisih kuadrat = 82 – 42 = 48
x + y = 12 x–y=4 Substitusi nilai x = 8 ke x + y = 12 8 + y = 12 y = 12 – 8 y=4
SOAL LATIHAN 4.2 A. Pilihan Ganda 1. Jumlah dua bilangan cacah adalah 34 dan selisih kedua bilangan itu adalah 4. Hasil kali kedua bilangan itu adalah… A. 130 C. 140 B. 135 D. 145
30 = 15 2
Substitusi nilai a = 15, ke: a + b = 34 15 + b = 34 b = 34 – 15 b=9 Hasil kali = a×b = 15 × 9 = 135 2. Harga 2 pasang sepatu dan 3 pasang sandal adalah Rp 175.000,00 sedangkan harga 3 pasang sepatu dan 4 pasang sandal adalah Rp 255.000,00. Harga sepasang sepatu dan 2 pasang sandal adalah… A. Rp71.000,00 C. Rp95.000,00 B. Rp90.000,00 D. Rp105.000,00 Kunci Jawaban: B Misalkan: dan Sandal = y
x= Harga Harga
Kunci Jawaban: B Misalkan: Bilangan I = a Bilangan II = b a + b = 34 a–b=4 + 2a = 30 a=
2x = 130.000
Sepatu = x,
2x+3y =175.000 × 3 6x + 9y = 525.000 3x+4y =255.000 × 2 6x + 8y = 510.000
y = 15.000 Substitusi nilai y = 15.000, ke: 2x+ 3y = 175.000 2x+ 3.(15.000) = 175.000 2x+ 45.000 = 175.000 2x = 175.000 – 45.000
130.000 = 65.000 2
1 sepatu = Rp 65.000 1 sandal = Rp 15.000 = 1 sepatu dan 2 sandal = x + 2y = 65.000 + 2.(15.000) = 65.000 + 30.000 = 90.000
3. Harga 3 buah CD dan 4 buah kaset adalah Rp 230.000,00. Sedangkan harga 2 buah CD dan 5 buah kaset yang sama adalah Rp 200.000,00. Harga 4 buah CD dan 5 buah kaset adalah… A. Rp 250.000,00 C. Rp 400.000,00 B. Rp 300.000,00 D. Rp 460.000,00 Kunci Jawaban: B Misalkan: Kaset = y
CD = x, dan
3x+4y =230.000 × 2 6x + 8y = 460.000 2x+5y =200.000 × 3 6x+15y = 600.000
7y = 140.000 y=
140.000 7
y = 20.000 Substitusi nilai y = 20.000, ke: 2x+5y =200.000 2x+5.(20.000) =200.000 2x+ 100.000 =200.000 2x=200.000 – 100.000 2x = 100.000 x= Harga
Harga
100.000 = 50.000 2
1 CD = Rp 50.000 1 Kaset = Rp 20.000
= 4x + 5y = 4.(50.000) + 5.(20.000)
= 200.000 + 100.000 = 300.000 4. Pada sebuah toko, Hida dan Anis membeli terigu dan beras dengan merk yang sama. Hida membeli 6 kg terigu dan 10 kg beras seharga Rp 84.000,00, sedangkan Anis membeli 10 kg terigu dan 5 kg beras seharga Rp 70.000,00. Harga 8 kg terigu dan 20 kg beras adalah… A. Rp 152.000,00 C. Rp 128.000,00 B. Rp 130.000,00 D. Rp 120.000,00 Kunci Jawaban: D Misalkan: Terigu = x Beras = y 6x+10y =84.000 :2 3x+5y =42.000 10x+5y =70.000 :1 10x+5y = 70.000–
–7y = –28.000 y=
28.000 7
y = 4.000 Substitusi nilai y = 4.000, ke: 10x+ 5y = 70.000 10x+ 5.(4.000) = 70.000 10x+ 20.000 = 70.000 10x= 70.000 – 20.000 10x = 50.000 x= Harga Harga
50.000 = 5.000 10
1 kg terigu = Rp 5.000 1 kg beras = Rp 4.000 = 8x + 20y = 8.(5.000) + 20.(4.000) = 40.000 + 80.000 = 120.000
A. Rp 11.000,00 B. Rp 11.500,00
Kunci Jawaban: D Misalkan: Gula pasir = x Minyak goreng = y
4x+3y =40.000 × 3 12x+ 9y = 120.000 3x+2y =28.500 × 4 12x+ 8y = 114.000–
y = 6.000 Substitusi nilai y = 6.000, ke: 4x+ 3y = 40.000 4x+ 3.(6.000) = 40.000 4x+ 18.000 = 40.000 4x= 40.000 – 18.000 4x= 22.000 x=
22.000 = 5.500 4
Harga 1 kg gula pasir = Rp 5.500 Harga 2 kg gula pasir = 2x = 2.(5.500) = 11.000 6. Besar uang Agnes adalah 4 kali uang Ketut, sedangkan selisih uang Agnes dan Ketut adalah Rp Rp 36.000,00. Jumlah uang Agnes dan Ketut adalah… A. Rp 45.000,00 C. Rp 60.000,00 B. Rp 48.000,00 D. Rp 72.000,00 Kunci Jawaban: C Misalkan: Uang Agnes = a Uang Ketut = b a = 4b … (i) a – b = 36.000 … (ii) Substitusi a = 4b, ke (ii) a – b = 36.000 4b – b = 36.000 3b = 36.000 b=
5. Harga 4 kg gula pasir dan 3 liter minyak gorengadalah Rp 40.000,00, sedangkan harga 3 kg gula pasir dan 2 liter minyak goreng adalah Rp 28.500,00. Harga 2 kg gula pasir adalah…
C. Rp 12.000,00 D. Rp 12.500,00
36.000 = 12.000 3
Substitusi nilai b = 12.000, ke (i) a = 4b = 4.(12.000)= 48.000 Jumlah a + b= 48.000 + 12.000 = 60.000 7. Di lapangan parkir terdapat 105 kendaraan yang terdiri dari sepeda
motor dan mobil. Jika jumlah roda seluruh kendaraan tersebut (tanpa ban serep) adalah 290 roda, maka banyaknya mobil di tempat parkir tersebut adalah… A. 35 C. 60 B. 40 D. 70 Kunci Jawaban: B Misalkan: Motor = a dan Mobil = b a + b = 105 …(i) 2a + 4b = 290 …(ii) a+b = 105 × 2 2a+2b = 210 2a+4b = 290 × 1 2a + 4b = 290– –2b= –80 b=
80 2
b = 40 Jadi banyaknya mobil adalah 40 buah 8. Harga dua baju dan satu kaos Rp 170.000,00, sedangkan harga satu baju dan tiga kaos Rp 185.000,00. Harga tiga baju dan dua kaos adalah… A. Rp 275.000 C. Rp 475.000 B. Rp 375.000 D. Rp 575.000 Kunci Jawaban: A Misalkan: Kaos = y
Baju = x, dan
2x+y =170.000 ×1 2x+y = 170.000 x+3y =185.000 ×2 2x+ 6y = 370.000
5y = 200.000 y=
200.000 5
y = 40.000 Substitusi nilai y = 60.000, ke: x + 3y = 185.000 x + 3.(40.000) = 185.000 x + 120.000 = 185.000 x=185.000 – 120.000 x = 65.000 Harga 1 Baju = Rp 65.000 1 Kaos = Rp 20.000 Harga = 3x + 2y
= 3.(65.000) + 2.(40.000) = 195.000 + 80.000 = 275.000 9. Harga sebuah mesin foto copy adalah 5 kali harga sebuah komputer. Harga 5 buah computer dan 2 buah mesin foto copy adalah Rp 60.000.000,00. Harga sebuah mesin foto copy tersebut adalah… A. Rp 20.000.000 C. Rp 30.000.000 B. Rp 25.000.000 D. Rp 35.000.000 Kunci Jawaban: A Misalkan: Mesin Foto kopi = a Komputer = b a = 5b … (i) 5b + 2a = 60.000.000 … (ii) Substitusi a = 5b, ke (ii) 5b + 2a = 60.000.000 5b + 2(5b) = 60.000.000 5b + 10b = 60.000.000 15b = 60.000.000 b=
60.000.000 = 4.000.000 15
Substitusi nilai b = 4.000.000 ke (i) a = 5b= 5.(4.000.000)= 20.000.000 Jadi harga sebuah mesin fotokopi adalah Rp 20.000.000,10. Di dalam kandang terdapat bebek dan kambing sebanyak 15 ekor. Jika banyak kakinya ada 40 buah, maka banyaknya kambing adalah… ekor. A. 4 C. 6 B. 5 D. 10 Kunci Jawaban: B Misalkan: Ingat kaki bebek ada 2 buah, dan kaki kambing ada 4 buah. Bebek = a Kambing = b a+b = 15 :1 a + b = 15 2a+4b = 40 : 2 a + 2b = 20 – –b = –5
b=5 Jadi banyaknya kambing ada 5 ekor. 11. Di dalam dompet Mimi terdapat 25 lembar uang yang terdiri dari lembaran lima ribu rupiahan dan sepuluh ribu rupiahan. Jika jumlah uang itu Rp 200.000,00, banyak uang lima ribu rupiah dan sepuluh ribu rupiah adalah… A. 10 dan 15 C. 14 dan 11 B. 12 dan 13 D. 15 dan 1 Kunci Jawaban: A Misalkan: Uang lima ribu = a Uang sepuluh ribu = b a + b = 25 … (i) 5000a + 10000b = 200.000 … (ii) Persaman (ii) kita bagi 5000 Menjadi: a + 2b = 40 … (ii) Kita gunakan metode campuran: a + b = 25 a + 2b = 40 –b = –15 b = 15 Kita substitusi nilai b = 15 ke: a + b = 25 a + 15 = 25 a = 25 – 15
a = 10 Jadi banyak uang lima ribu rupiah dan sepuluh ribu rupiah adalah 10 dan 15..
BAB 5 TEOREMA PYTHAGORAS Contoh Soal: 1. Perhatikan gambar dan pernyataan berikut.
b
a c
(1)
(4) a2 = c2 – b2 Pernyataan yang benar adalah .... A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) Kunci jawaban : A Sisi miring pada segitiga panjangnya adalah b satuan Sehingga b2 = a2 + c2 atau a2 = b2 – c2
a2 = b2 – c2 (2) b2 = a2 + c2 (3) c2 = a2 + b2
D. (2) dan (4)
SOAL LATIHAN 5.1 A. Pilihan Ganda 1. Perhatikan gambar dibawah ini!
A. 6 cm B. 8 cm
C. 24 cm D. 35 cm
Kunci Jawaban: C
30 cm Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar untuk segitiga siku-siku ABC adalah… A. c2 + a2 = b2 C. c2 + b2 = a2 B. c2 – b2 = a2 D. a2 + b2 = c2 Kunci Jawaban: C Cukup Jelas
Misalkan panjang sisi yang lain = x x2 = 302 – 182
4. Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-siku 5 cm adalah… A.
4 cm
x
Q 2
2
52 4 2
QR =
25 16 9
75 cm D. 125 cm
5 cm 5 cm
2
QR = PR – PQ QR =
5 cmC. 50 cm
Kunci Jawaban: C
P
R
900 324 576
x= x = 24 cm
B.
Kunci Jawaban: A
5 cm
x
x=
2. Segitiga PQR siku-siku di Q, jika PQ = 4 cm dan PR = 5 cm, maka panjang QR adalah… A. 3 cm C. 16 cm B. 9 cm D. 20 cm
18 cm
QR = QR = 3 cm
Misalkan panjang hipotenusa = x x2 = 52+52 x= x=
25 25 50
5. Perhatikan gambar dibawah ini! 3. Panjang hipotenusa segitiga siku-siku adalah 30 cm, jika panjang salah satu sisinya 18 cm, maka panjang sisi lainnya adalah…
Nilai x pada gambar di bawah adalah… A.
10 cm
C.
20 cm
B.
12 cm
D.
40 cm Panjang BD pada gambar di bawah ini adalah… A. 10 cm C. 34 cm B. 26 cm D. 36 cm
Kunci Jawaban: D ML2 = KL2 + KM2
200
2
= (2x)2 + x2 200 = 4x2 + x2 200 = 5x2 5x2 = 200 x2 =
Kunci Jawaban: B
B
200 5
x2 = 40 x=
6 cm
40 cm.
C
6. Perhatikan gambar dibawah ini!
8 cm
A
BC2 = AC2 + AB2
Dalil Pythagoras pada gambar di atas adalah… A. a2 = b2 + c2 C. b2 = a2 + c2 B. a2 = c2 – b2 D. b2 = a2 – c2
BC =
82 6 2
BC =
64 36 100
BC = BC = 10 cm Selanjutnya cari panjang BD
D 24 cm
Kunci Jawaban: C
C 2
2
b =a +c
7. Perhatikan gambar dibawah ini!
2
10 cm
BD2 = CB2 + CD2 BD =
10 2 24 2
BD =
100 576
BD = 676 BD = 26 cm
B
Contoh Soal: 1. Perhatikan bilangan-bilangan berikut : (1) 13, 12, 5 (2) 6, 8, 11 (3) 7, 24, 25 (4) 20, 12, 15 Bilangan-bilangan di atas, yang merupakan tripel Pythagoras adalah… A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4) Kunci jawaban: B (1) 132 = 122 + 52 169 = 144 + 25 169 = 169 Jadi 13, 12, 5 merupakan tripel Pythagoras (3) 252 = 242 + 72 625 = 576 + 49 625 = 625 Jadi 7, 24, 25 merupakan tripel Pythagoras Jawaban yang benar (1) dan (3) 2. Perhatikan ukuran-ukuran segitiga berikut ini (1) 4 cm, 5 cm, 6 cm (2) 17 cm, 15 cm, 8 cm (3) 8 cm, 10 cm, 12 cm (4) 25 cm, 7 cm, 24 cm Yang merupakan segitiga siku-siku adalah… A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3)
D. (2) dan (4)
Kunci jawaban: D Segitiga siku-siku dapat dibentuk apabila panjang sisi-sinya merupakan tripel pythagoras. (2) 172 = 152 + 82 289 = 225 + 64 289 = 289 Jadi 17, 15, 8 merupakan tripel Pythagoras (4) 252 = 72 + 242 625 = 46 + 576 625 = 625 Jadi 25, 7, 24 merupakan tripel Pythagoras
SOAL LATIHAN 5.2 A. Pilihan Ganda 1. Rangkaian bilangan berikut merupakan panjang sisi-sisi sebuah segitiga: (i) 8 cm, 15 cm, 19 cm (ii) 12 cm, 16 cm, 20 cm (iii) 15 cm, 20 cm, 30 cm (iv) 7
1 1 cm, 10 cm, 12 cm 2 2
Yang merupakan segitiga siku-siku adalah… A. (ii) dan (iv) C. (i) dan (iii) B. (ii) dan (iii) D. (i) dan (iv) Kunci Jawaban: A (ii) 12 cm, 16 cm, 20 cm 202 = 162 + 122 400 = 256 + 144 400 = 400 Merupakan Segitiga siku-siku. (ii) 7
1 1 cm, 10 cm, 12 cm 2 2
Kunci Jawaban: D (ii) 5, 12, 13 132 = 122 + 52 169 = 144 + 25 169 = 169 Merupakan Segitiga siku-siku. (iii) 7, 24, 25 252 = 242 + 72 625 = 576 + 49 625 = 625 Merupakan Segitiga siku-siku. 4. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah… A. 4, 3, 6 C. 6, 8, 11 B. 5, 3, 4 D. 8, 10, 12
12,52 = 102 + 7,52 156,25 = 100 + 56,25 156,25= 156,25 Merupakan Segitiga siku-siku. 2. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah… A. 12, 13, 6 C. 24, 5, 25 B. 14, 48, 50 D. 10, 6, 7 Kunci Jawaban: B 14, 48, 50 502 = 482 + 142 2500 = 2304 + 196 2500 = 2500 Jadi 14, 48, 50 merupakan Pythagoras.
(iii) 7, 24, 25 (iv) 7, 24, 26 Dari ukuran-ukuran segitiga di atas, yang dapat membentuk segitiga sikusiku adalah… A. (i) dan (ii) C. (iii) dan (iv) B. (ii) dan (iv) D. (ii) dan (iii)
tripel
3. Diketahui ukuran-ukuran sisi segitiga sebagai berikut : (i). 5, 9, 13 (ii). 5, 12, 13
Kunci Jawaban: B 5, 3, 4 52 = 42 + 32 25 = 16 + 9 25= 25 Merupakan tripel Pythagoras.
5. Perhatikan gambar dibawah ini!
Panjang sisi segitiga PQR pada gambar di atas ini adalah 8 cm, maka panjang QB adalah… C. D.
48 cm 40 cm
C. D.
30 cm 20 cm
Kunci Jawaban: B PQ = PR = QR = 8 cm PB = BR = PR : 2 = 8 : 2 = 4 cm QB2 = QR2 – BR2 QB =
82 4 2
QB =
64 16
QB =
48
Jadi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm merupakan segitiga siku-siku. 6. Dari segitiga berikut yang merupakan segitiga siku-siku adalah segitiga dengan panjang sisi… A. 6 cm, 8 cm, dan 10 cm B. 10 cm, 12 cm, dan 14 cm
C. 10 cm, 15 cm, dan 20 cm D. 7 cm, 15 cm, dan 18 cm Kunci Jawaban: A 6 cm, 8 cm, dan 10 cm 102 = 82 + 62 100 = 64 + 36 100 = 100 Jadi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm merupakan segitiga siku-siku.
BAB 6 L I N G KA R A N
Contoh Soal: 1. Perhatikan gambar berikut!
Keliling daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah… Penyelesaian: K 10,5 10,5 K lingkaran 21 2
22 21 7 2
54cm
2. Perhatikan gambar berikut!
Keliling bangun di atas adalah… Penyelesaian: K 10 10 K lingkaran
20 d 22 20 7 7 42 m
3. Perhatikan gambar!
Keliling bangun pada gambar di atas adalah…
Penyelesaian:
1 lingkaran: 2 d 14 d = 14 cm, maka r = = = 7 cm 2 2 1 22 K1 = × 2πr = πr = × 7 = 22 cm lingkaran 2 7 2 Perhatikan gambar
Perhatikan gambar trapesium sama kaki: ttrapesium = 11 – 7 = 4 cm
14 cm x
x
4 cm 3 cm
3 cm
14 cm
Kita tentukan panjang x: x2 = 42 + 32
x =
16 9
x = 25 x = 5 cm
Jadi keliling gambar tersebut = 22 + 5 + 5 + 20 = 52 cm 4. Perhatikan gambar di bawah!
Luas daerah arsiran adalah … Penyelesaian: Perhatikan gambar trapesium:
Kita tentukan tinggi trapesium: t2 = 102 – 62 t = 100 36 t 6 cm
Perhatikan gambar d=
1 lingkaran: 2
1 1 × ttrapesium = × 8 = 4 cm 2 2
t = 64 t = 8 cm
Ldiarsir =
1 Llingkaran + Ltrapesium 2
(Jumlah sisi sejajar) × t trapesium 1 × πr2 + 2 2 1 (10 16) × 8 = × 3,14 × 4 × 4 + 2 2 (26) × 8 = 3,14 × 28 + 2 20 8 = 25,12 + 2 =
= 25,12 + 104 = 129,12 cm2 5. Sebuah roda yang berdiameter70 cm berputar 60 kali. Jika π = 3,14 , maka jarak yang ditempuh adalah…. Penyelesaian: d = 70 cm, maka r =
d 70 = = 35 cm 2 2
Berputar 60 kali, artinya 60 × Klingkaran π = 3,14 Jarak yang ditempuh
= 60 × Klingkaran = 60 × 2πr = 60 × 2 ×
22 × 35 7
= 60 × 2 × 22 × 5 = 13.200 cm = 132 m
SOAL LATIHAN 6.1 A. Pilihan Ganda Keliling 1. Jika diameter suatu lingkaran 3,5 m dan π=
22 , maka keliling lingkaran adalah… 7
A. 11,5 m B. 11 m
C. 10,5 m D. 7,5 m
Kunci Jawaban: B d = 3,5 m π=
22 7
K = 2πr atau K = πd K = πd=
22 77 × 3,5 = = 11 m 7 7
Keliling daerah yang diarsir pada gambar jika panjang sisi persegi 14 cm adalah… A. 44 cm C. 58 cm B. 56 cm D. 72 cm Kunci Jawaban: A Panjang sisi = diameter lingkaran d = 14 cm Kdiarsir = Klingkaran = πd
2. Luas suatu lingkaran adalah 616 cm2. jika π =
22 , maka kelilingnya adalah… 7
A. 98 cm B. 88 cm
C. 78 cm D. 68 cm
=
22 × 14 = 22 × 2 = 44 cm 7
4. AB = BC = CD = DE = 7 cm. Keliling daerah arsir…
Kunci Jawaban: B L = 616 cm2 π= L
22 7
= πr2
r2 =
L
=
7 4312 616 = 616× = = 196 22 22 22 7
r = 196 = 14 cm Keliling lingkaran: K = 2πr K = 2πr = 2 ×
A. 66 cm B. 77 cm
C. 88 cm D. 99 cm
Kunci Jawaban: D d1 = AD = 21 cm d2 = AC = 14 cm d3 = DE = 7 cm
22 × 14 = 88 cm 7 Keliling daerah yang diarsir
1 × πd1 + πd1 + πd3 2 1 22 22 22 = × × 21 + × 14 + ×7 2 7 7 7 =
3. Perhatikan gambar!
= (11 × 3) + (22 × 2) + 22 = 33 + 44 + 22 = 99 cm
Gambar
diatas
menunjukkan
bingkai
lampu hias dari kawat. Jika π =
22 , 7
maka panjang kawat yang diperlukan adalah… A. 21,2 m C. 41 m B. 22 m D. 44 m
5. Perhatikan gambar!
Kunci Jawaban: A Perhatikan
7 cm Sebuah bangun datar terdiri dari sebuah persegi dan setengah lingkaran. Keliling bangun diatas adalah… A. 32 cm C. 43 cm B. 39 cm D. 50 cm Kunci Jawaban: C
D 7 cm
7 cm
C
7 cm
1 1 22 × πd = × ×7 = 11 m lingkaran 2 2 7 2 1 Perhatikan Lingkaran kecil: 2
K1
=
d = 2,8 m Karena bentuk dan ukuran sama, maka 2
1 Klingkaran = Klingkaran 2 22 61,6 K = πd = × 2,8 = = 8,8 m 7 7 Panjang kawat yang diperlukan = 11 + 1,4 + 8,8 = 21,2 m
B
Keliling bangun diatas: =7+7+7+
d = 2,8 + 1,4 + 2,8 = 7 m
×
7 cm
A
1 Lingkaran besar: 2
1 Keliling Lingkaran 2
1 2πr 2 22 = 21 + ×7 7 = 21 +
= 21 + 22 = 43 cm
7. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 50 meter dan lebarnya 21 meter. Di tepi taman terdapat kolam yang berbentuk setengah lingkaran dengan panjang diameter sama dengan lebar taman. Keliling taman tanpa kolam adalah… A. 109 m C. 154 m B. 142 m D. 175 m
Kunci Jawaban: C
50 cm
6. Perhatikan gambar!
21 cm
21 cm
50 cm
d = 21 cm, r =
Keliling bangun yang diarsir:
21 cm 2
= AB + BC + CD + DE + AE
Keliling taman tanpa kolam:
= (AB + CD) + ( BC + AE + DE ) = (20 + 20) + 62,8 = 40 + 62,8 = 112,8 cm
1 = 50 + 21 + 50 + Klingkaran 2 1 = 121 + Klingkaran 2 1 = 121 + 2πr 2 22 21 = 121 + 7 2
14 cm
= 121 + 11 3 = 121 + 33 = 154 m
9. Perhatikan gambar di bawah ini!
8. Perhatikan
gambar disamping !
20 cm
30 cm Keliling bangun yang diarsir adalah… cm. A. 37,2 C. 102,8 B. 75,4 D. 112,8 Kunci Jawaban: D
D
A
Kunci Jawaban: C 7 cm F 7 cm G
E
7 cm
C 20 cm
E
Keliling daerah yang diarsir pada bangun di atas adalah… A. 25 cm C. 50 cm B. 34 cm D. 78cm
B
30 cm
d = 20, maka r = 10 cm AB = CD = 30 – 10 = 20 cm ( BC + AE + DE ) = Klingkaran = 2πr = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 cm
7 cm
H 7 cm A
D 7 cm 7 cm B
7 cm
C
Jari-jari r = 7 cm Keliling daerah yang diarsir: = BC + CD + FG + GH + =7+7+7+7+ = 28 +
22 7 7
1 Klingkaran 2
1 2πr 2
= 28 + 22 = 50 cm
1 × 2πr 2 1 22 = ×2× ×7 2 7 =
15 cm
= 22 cm Keliling daerah yang diarsir:
= AB + BC + CD + DE + EF + FA
7 cm
= (AB + DE) + (BC + EF) + ( CD + FA ) = (13 + 13) + (8 + 8) + (22) = 64 cm
20 cm gambar di bawah ini!
10. Perhatikan 11. Seorang pelari mengelilingi lapangan berbentuk lingkaran dengan diameter 140 meter sebanyak 10 kali. Jarak yang ditempuh adalah… A. 1.400 m C. 2.800 m B. 2.200 m D. 4.400 m Kunci Jawaban: D
Keliling daerah yang diarsir gambar diatas ini adalah … cm. A. 42 C. 55 B. 48 D. 64
pada
C 15 cm
7 cm
A
20 cm
140 = 70 m 2
Mengelilingi sebanyak 10 kali. Keliling Lingkaran = 2πr =2×
22 × 70 7
= 44 × 10 = 440 m Jarak yang ditempuh = 440 × 10 kali = 4.400 m
Kunci Jawaban: D D E
F
d = 140 m, maka r =
B
12. Beberapa sekeliling lingkaran. dan jarak
pohon palem ditanam di sebuah taman berbentuk Diameter taman itu 14 meter antara dua pohon palem yang
berdekatan 2 meter. Jika π =
22 maka 7
banyak pohon palem di sekeliling taman itu adalah… A. 44 batang C. 21 batang B. 22 batang D. 11 batang Dik: r = 7 cm AB = DE = 20 – 7 = 13 cm BC = EF = 15 – 7 = 8 cm ( FA + CD ) =
1 × Keliling lingkaran 2
Kunci Jawaban: B d = 14 m, r =
14 =7m 2
Jarak antara dua pohon 2 m
Keliling taman Jarak tanam 2r = 2
Banyak pohon palem =
d = 20 cm, maka r =
d 20 = = 10 cm 2 2
L = πr2 L = 3,14 × 10 × 10 = 314 cm2
= πr =
22 7 7
= 22 batang 13. Sebuah kandang ayam berbentuk lingkaran dengan diameter 28 meter. Jika keliling kandang tersebut akan dipagar dengan kawat strimin dengan biaya per meternya Rp150.000,00. maka biaya pembuatan pagar seluruhnya adalah… A. Rp4.200.000,00 B. Rp6.600.000,00 C. Rp13.200.000,00 D. Rp26.400.000,00 Kunci Jawaban: C d = 28 m, maka r =
d 28 = = 14 m 2 2
Biaya permeter kawat = Rp150.000,Kkandang = Klingkaran = 2πr
15. Perhatikan gambar dibawah ini!
10cm
13 cm 20 cm
Luas daerah yang diarsir pada gambar diatas adalah… A. 140,75 cm2 C. 161,25 cm2 2 B. 142,25 cm D. 180 cm2 Kunci Jawaban: A d = 10 cm, maka r =
10 = 5 cm 2
Perhatikan gambar
10cm
22 =2× ×14 7
= 2 × 22 × 2 = 88 m Biaya pembuatan pagar = Kkandang× biaya permeter kawat = 88 × Rp150.000,= Rp13.200.000,-
Luas 14. Luas lingkaran yang berdiameter 20 cm adalah… A. 154 cm2 C. 616 cm2 B. 314 cm2 D. 1256 cm2 Kunci Jawaban: B
13 cm t 10 cm
5 cm
5 cm
Kita tentukan tinggi trapesium: t2 = 132 – 52
t = 169 25 t = 144 t = 12 cm Ldiarsir =
= Ltrapesium –
1 Llingkaran 2
Jmlh sisi sjjr t trapesium 2
–
1 ×πr2 2
(10 20) 12 1 = – × 3,14 × 5 × 5 2 2 360 1 = – × 78,5 2 2 = 180 – 39,25 = 140,75 cm2
B. 117,50 cm2 D. 116,50 cm2 Kunci Jawaban: A dling besar = d1 = 20 cm, maka r1 = 10 cm dling kecil = d2 =10 cm, maka r2 = 5 cm π = 3,14 L = πr2 Ldiarsir
= =
16. Perhatikan gambar dibawah ini!
= =
6 cm
=
7cm
Dengan melihat gambar diatas, luas daerah yang diarsir adalah… A. 19,2 cm2 C. 50,8 cm2 B. 32,4 cm2 D. 62,5 cm2
= =
= 117,75 cm2
Kunci Jawaban: C d = 7 cm, maka r =
1 1 Lling besar – Lling kecil 2 2 1 2 1 2 π r1 – π r2 2 2 1 π ( r12 – r22 ) 2 1 × 3,14 × (102 – 52) 2 1 × 3,14 × (100 – 25) 2 1 × 3,14 × (75) 2 235,5 2
7 = 3,5 cm 2
18. Perhatikan gambar di bawah !
Luas daerah yang diarsir:
1 2 Jumlah sisi sejajar tinggi 1 = – ×πr2 2 2 (13 7) 7 1 = – × 3,14 × 3,5 × 3,5 2 2 20 7 = – 19,23 2 = Ltrapesium – L. Llingkaran
= 70 – 19,2 = 50,8 cm2
17. Perhatikan gambar!
Luas daerah yang diarsir adalah… A. 630 cm2 C. 378 cm2 B. 476 cm2 D. 168 cm2 Kunci Jawaban: D r=
28 = 14 cm 2
Luas daerah yang diarsir: Jika diameter lingkaran besar 20 cm dan diameter lingkaran kecil 10 cm, sedangkan π = 3,14 , maka luas daerah yang diarsir adalah… A. 117,75 cm2 C. 116,75 cm2
1 4
= Lpersegi – 4 Llingkaran = (s s) – πr2 = (28 28) = 784 – 616
22 14 14 7
= 168 cm2
Kunci Jawaban: C r = 28 cm Luas daerah yang diarsir:
19. Perhatikan gambar dibawah ini!
7 cm
C
D
3,5 cm B
A Luas yang
daerah diarsir gambar
di atas adalah… (π = 22 ) A. 56 cm2 B. 36,75 cm2
=
C. 19,25 cm2 D. 17,5 cm2
1 Llingkaran 2
Jmlh sisi sjjr t trapesium 2
–
1 ×πr2 2
(14 7) 3,5 1 22 – × × 3,5 × 3,5 2 7 2 73,5 269,5 = – 2 14 =
= 36,75 – 19,25 = 17,5 cm2
20. Perhatikan gambar berikut!
28 cm
Luas daerah yang diarsir adalah… (π =
22 ) 7
A. 2.464 cm2 B. 1.948 cm2
= 3 × 22 × 28 = 1.848 cm2
21. Perhatikan gambar dibawah ini!
7
Kunci Jawaban: D Panjang AB = 4 × 3,5 = 14 cm Panjang CD = 7 cm Tinggi trapesium = 3,5 cm rlingkaran = 3,5 cm Luas daerah yang diarsir: = Ltrapesium -
3 Llingkaran 4 3 = × π r2 4 3 22 = × × 28 × 28 4 7 =
Jika persegi ABCD mempunyai panjang sisi 10 cm, maka luas daerah arsir adalah… A. 21,5 cm2 C. 63,5 cm2 2 B. 57 cm D. 68 cm2 Kunci Jawaban: B AB = BC = CD = AD = 10 cm Panjang AC = sisi = diameter lingkaran AC2 = AD2 + CD2 AC2 = 102 + 102 AC2 = 100 + 100 AC2 = 200 d2 = 200 Ldiarsir = Llingkaran – Lpersegi
1 2 2 πd –s 4 1 = × 3,14 × 200 – 10 × 10 4 1 = × 628 – 100 4 =
= 157 – 100 = 57 cm2
C. 1.848 cm2 D. 1.784 cm2 22. Perhatikan gambar dibawah ini !
23. Perhatikan gambar dibawah ini!
Luas daerah yang diarsir adalah… (π = 3,14) A. 122 cm² C. 1.064 cm² B. 218 cm² D. 1.160 cm² Kunci Jawaban: B
C
A
B
Luas daerah arsiran bangun diatas adalah… A. 68 cm2 C. 476 cm2 B. 308 cm2 D. 784 cm2
Kunci Jawaban: C d = 28 cm, maka r =
Perhatikan segitiga ABC, AB = diameter lingkaran AB2 = BC2 + AC2 AB AB AB AB
= 12 16 = 144 256 = 400 = 20 cm 2
2
d = 20 cm, maka r =
20 = 10 cm 2
Luas daerah yang diarsir: = Llingkaran – Lsegitiga = πr2 –
1 at 2
1 = 3,14 10 10 – 12 16 2 = 314 – 96 = 218 cm²
28 = 14 cm 2
Luas daerah arsiran bangun diatas:
1 1 Llingkaran – 2 Llingkaran 2 2 1 = (28 28) + πr2 - πr2 2 1 22 22 = 784 + 1414 1414 7 2 7 = Lpersegi +
= 784 + 308 - 616 = 476 cm2
24. Seorang tukang kebun membuat taman berbentuk lingkaran dengan keliling 44
22 7
m. Jika π=
maka Luas taman
yang dibuat adalah… A. 154 m2 C. 308 m2 B. 176 m2 D. 352 m2 Kunci Jawaban: A K = 44 cm 2πr = 44 r=
44 7 22 = = 22 = 7 cm 22 2 22 7
Ltaman = Llingkaran = πr2
28 cm
28 cm
=
Luas taman yang ditanami rumput: = 80 – 14,13 = 65,87 m2
22 77 7
= 22 7 = 154 m2
25. Seekor kambing diikat di tengah-tengah tanah lapang berbentuk persegi panjang dengan ukuran 14 m x 20 m. Jika panjang tali pengikat 7 m, maka luas daerah yang tidak terjangkau oleh kambing adalah… A. 126 m2 C. 182 m2 B. 154 m2 D. 280 m2 Kunci Jawaban: A Luas tanah = 14 x 20 = 280 m2 r=7m Luas lingkaran = πr2 =
22 77 7
= 22 7 = 154 m2 Luas daerah yang tidak terjangkau oleh kambing = Ltanah - Llingkaran = 280 – 154 = 126 m2 26. Taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 10 meter dan lebar 8 meter. Di dalam taman terdapat dua buah kolam berbentuk lingkaran yang besarnya sama, sedangkan disekitarkolam ditanami rumput. Jika diameter kolam 3 meter, luas taman yang ditanami rumput adalah… A. 18,84 m2 C. 70,58 m2 B. 65,87 m2 D. 80 m2 Kunci Jawaban: B Luas taman = p × l = 10 × 8 = 80 m2 dlingkaran = 3 m, maka r =
3 = 1,5 m 2
Luas kolam = 2 × Llingkaran = 2 × πr2 = 2 3,14 1,5 1,5 = 14,13 m2
27. Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan jari-jari 21 m. Disekeliling taman akan ditanam pohom palem dengan jarak antara pohon yang satu dengan yang lain 4 m. Jika harga satu pohon palem Rp70.000,00 maka jumlah uang yang diperlukan untuk membeli pohon palem adalah… A. Rp 2.310.000,00 B. Rp 2.080.000,00 C. Rp 1.820.000,00 D. Rp 1.640.000,00 Kunci Jawaban: A r = 21 m Jarak antar pohon 4 m Harga 1 pohon palem = Rp70.000 Klingkaran = 2πr =2×
22 × 21 7
= 132 m Banyak pohon palem =
K lingkaran
Jarak tanam 132 = 4
= 33 buah pohon Jumlah uang yang diperlukan untuk membeli pohon palem: = 33 × 70.000 = Rp 2.310.000
28. Doni pergi ke sekolah menggunakan sepeda yang diameter rodanya 0,35 m. Dari rumah ke sekolah roda berputar 4.000 kali. Jika π =
22 , maka jarak 7
antara rumah dan sekolah adalah… A. 4,4 km C. 5,4 km B. 4,6 km D. 6,2 km
Kunci Jawaban: A d = 0,35 m = 35 cm maka r =
Panjang Jari-jari & Diameter
d 35 = cm 2 2
Berputar 4.000 kali, π =
30. Pada gambar di bawah!
22 7
Jarak yang ditempuh = 4.000 × Klingkaran = 4.000 ×2πr = 4.000 × 2 ×
22 35 × 7 2
= 4.000 × 22 × 5 = 440.000 cm = 4.400 m = 4,4 km 29. Sebuah taman berbentuk sepertiga lingkaran dengan jari-jari 21 m. Jika sekeliling taman tersebut akan ditanam pohon bunga dengan jarak 50 cm, maka banyak bunga yang dibutuhkan… A. 44 bunga C. 88 bunga B. 86 bunga D. 172 bunga Kunci Jawaban: C r = 21 m = 2.100 cm Banyak bunga
1 .K lingkaran = 3 Jarak tana m 1 2r = 3 50 1 22 2 2100 7 = 3 50
2 22 100 50 4400 = 50 =
= 88 bunga
30 m
50 m
Luas daerah yang diarsir 1.346 m2, Jika nilai π = adalah… A. 7 m B. 14 m
22 , maka panjang jari – jari 7 C. 20 m D. 24 m
Kunci Jawaban: A Luas daerah yang diarsir 1.478 m2 p = 50 cm, l = 30 cm, π =
22 7
Ldiarsir = Lpersegi panjang - Llingkaran 1.346 = (p l) – πr2 1.346 = (50 30) - πr2 1.346 = 1.500 = - πr2 πr2 = 1.500 – 1.346 πr2 = 154 r2 =
154 154 7 = = 154 = 49 22 22 7
r=
49 = 7 cm
B. Uraian 1. Untuk membuat bingkai antena parabola digunakan plat alumunium sepanjang 2,64 m. Jika π =
22 , maka diameter 7
28 m
antena parabola tersebut adalah…
28 m
Penyelesaian: Panjang plat
π=
Taman tersebut akan dibuat pagar dengan biaya Rp 10.000,00 per meter. Biaya pembuatan pagar terebut adalah…
= Kparabola = 2,64 m = 264 cm
22 7
Penyelesaian: d = 28 m Biaya pagar = Rp 10.000,0 per meter Ktaman = Klingkaran + 28 + 28 = πd + 56
Kparabola = Klingkaran Kparabola = πd d
=
K parabola
=
7 1848 264 d= = 264 × = = 84 cm 22 22 22 7 2. Sebuah
roda
berputar
40
menempuh jarak 52,8 m. Jika π =
= 22 × 4 + 56 = 88 + 56 = 144
kali
22 , 7
maka jari-jari roda tersebut adalah… Penyelesaian: Berputar 40 kali Jarak tempuh = 52,8 m = 5.280 cm
22 × 28 + 56 7
Biaya pembuatan pagar = Ktaman× Rp 10.000 = 144 × Rp 10.000 = Rp 1.440.000,4. Perhatikan gambar dibawah ini!
Jarak tempuh = 40 × Klingkaran 5.280 = 40 × 2πr 5.280 = 80 ×
22 ×r 7
Persegi ABCD dengan sisi 14 cm. Luas daerah yang diarsir adalah…
7 × 5.280 = 80 × 22 × r 36960 = 1760 × r r=
36960 1760
Penyelesaian: Persegi, s = 14 cm
r = 21 cm
s 14 = = 7 cm 2 2 1 = Lpersegi – Llingkaran 2 1 = s2 – πr2 2
Lingkaran, r = 3. Sebuah taman berbentuk gambar di bawah ini!
seperti
Ldiarsir
= (14 × 14) – (
1 22 × × 7 × 7) 2 7
= 196 – (11 × 7) = 196 – 77 = 119 cm2 5. Pada hari minggu Deni bermain sepeda di halamanrumahnya. Jari-jari roda yang dipergunakan oleh Deni 42 cm. Jika selama bersepeda rodanya berputar sebanyak 50 kali, panjang lintasan yang dilalui adalah… Penyelesaian: r = 42 cm berputar 50 kali Jarak tempuh = 52,8 m = 5.280 cm Jarak tempuh = 50 × Klingkaran = 50 × 2πr = 100 × 3,14 × 42 = 13.188 cm = 131,88 m 6. Di dalam lapangan rumput berbentuk persegi dengan sisi 6 m, terdapat taman bunga berbentuk lingkaran dengan
diameter 4 m. Jika π = 3,14 , maka luas daerah yang ditumbuhi rumput adalah… Penyelesaian: Persegi, s = 6 m Lingkaran, d = 4 m, maka r = π = 3,14 Lrumput
4 =2m 2
= Lpersegi – Llingkaran = s2 – πr2 = (6 × 6) – (3,14 × 2 × 2) = 36 – 12,56 = 23,44 m2
1. Perhatikan gambar!
Luas tembereng disamping adalah… Penyelesaian: Lingkaran, r = 10 cm Segitiga, a = t = 10 cm
1 Llingkaran – Lsegitiga 4 1 1 1 1 = πr2 – × a× t= ×3,14×10×10 – ×10×10 4 2 4 2 314 100 = – 4 2
Ltembereng =
= 78,5 – 50 = 28,5 cm2
Contoh Soal: 1. Perhatikan gambar!
Besar BAD adalah… Penyelesaian: BOD = 1800 – 1200 = 600 BAD =
1 BOD = 300 2
SOAL LATIHAN 6.2 A. Pilihan Ganda Panjang Busur
Jika pada gambar diatas panjang busur = 44 cm dan π =
1. Perhatikan gambar! Jika π =
A. 21 cm B. 20
1 cm 3
1 3 2 D. 16 cm 3
C. 18 cm
AOB ×2πr 360 0
75 0 360 0
22 × 14 7 75 2 22 2 = 360 0 6600 = 360 110 = 6 2 = 18 cm 6 1 = 18 cm 3 =
22 7
π=
44 =
22 π= 7
Panjang busur AB =
Kunci Jawaban: B Panjang busur = 44 cm
Panjang busur =
Kunci Jawaban: C r = 14 cm
AOB = 750
lingkaran adalah… A. 86 cm C. 88 cm B. 84 cm D. 264 cm
22 dan jari7
jari 14 cm, maka panjang busur AB pada gambar diatas adalah…
×2×
60 0 360 0
2. Perhatikan gambar!
× 2πr
1 22 ×2× ×r 6 7
44 × 6 × 7 = 2 × 22 × r 2 × 22 × r = 44 × 6 × 7 r=
44 6 7 2 22
r=6×7 r = 42 cm Jadi d = 2 × r = 2 × 42 = 84 cm
3. Perhatikan gambar! Jari-jari & Diameter
22 , maka diameter 7
Jika yang
luas juring diarsir pada
gambar diatas 17
1 9
cm2
dan
π
22 , maka jari-jari 7
=
lingkaran adalah… A. 6
1 cm 4
1 2
C. 7 cm
B. 7 cm
D. 8 cm
1 = 9 154 = 9 154 = 9
17
360 o
×
=
2
21 cm 2
360 o
× πr2
120 o 22 21 21 × × × 360 o 7 2 2
21 2 231 = 2 2 = 115 cm2 3 = 11×
22 2 ×r 7
1 22 2 × ×r 9 7 22 2 ×r 63
154 × 63 = 9 × 22 × r2 9702 = 198 × r2 198 × r2= 9702 r 2=
1 cm2 3
D. 112 cm2
Luas juring OAB =
× πr2
o
40 360 o
2 cm2 3
d = 21 cm, maka r =
1 Luas juring = 17 cm2 9
C. 114
Kunci Jawaban: B
22 7
Luas juring =
A. 116 cm2 B. 115
Kunci Jawaban: B π=
adalah…
5. Perhatikan gambar! Pada gambar diatas, panjang busur AB = 32 cm dan π =
9702 198
22 . Panjang busur BC 7 adalah… A. 64 cm C. 98 cm B. 80 cm D. 120 cm
r = 49
r = 49 r = 7 cm
Kunci Jawaban: D Panjang busur AB = 32 cm AOB = 400 BOC = 1500
besarAOB Panjang Busur AB = besarBOC Panjang Busur BC
32 40 0 = Panjang Busur BC 150 0
Luas Daerah Yang Diarsir 4. Perhatikan gambar!
Jika diameter lingkaran di bawah 21 cm dan π =
22 , 7
maka luas daerah yang diarsir
150 0 × 32 40 0 4800 0 = 40 0 = 120 cm
Panjang Busur BC =
Sudut Pusat 6. Perhatikan gambar!
= 2× 50° = 100° BesarBOC pada gambar di atas adalah… A. 450 B. 500 C. 900 D. 1000
Kunci Jawaban: A BOC = ACB + ABC = 200 + 250 = 450 7. Perhatikan gambar !.
BOC = … A. 70° B. 100°
C. 120° D. 140°
Kunci Jawaban: A BOC = ACB + ABC = 300 + 400 = 700 8. Perhatikan gambar dibawah ini! Pada gambar diatas, diketahui ∆ABC sama kaki di mana CA = CB, AE dan BD adalah garis bagi yang berpotongan di O. Jika ACB = 50°, maka AOB = … A. 125° C. 100° B. 115° D. 95° Kunci Jawaban: C ACB = 50° keliling AOB merupakan sudut pusat Maka AOB = 2 × ACB
Sudut Keliling 9. Perhatikan gambar di bawah!
O adalah pusat lingkaran dan COD = 44°. Besar sudut ABD =… A. 22° C. 46° B. 44° D. 68° Kunci Jawaban: D AOD + COD = 180° AOD + 44° = 180° AOD = 180° – 44° AOD = 136° Karena ABD sudut keliling.
1 × AOD 2 1 = × 136° 2
Maka ABD =
= 68°
10. Perhatikan gambar dibawah ini! Pada gambar diatas, ∆PQR sama kaki dengan RP = RQ. Garis QS dan PT adalah garis tinggi yang berpotongan di O. Jika POQ = 120°, maka PRQ adalah … A. 80° C. 40° B. 60° D. 30° Kunci Jawaban: B POQ = 120° PRQ = sudut keliling Maka PRQ =
1 × POQ 2
=
1 × 120° 2
= 60° 11. Perhatikan gambar di bawah ini!
Jika besar ABC = 30o, maka besar AOD = … A. 60o C. 100o o b. 80 D. 120o Kunci Jawaban: D ABC = 30° AOC = 2 × ABC = 2 × 30° = 60° Besar AOD + AOC = 180° AOD + 60° = 180° AOD = 180° – 60° AOD = 120°
BAB 7 GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Contoh Soal: 1. Perhatikan gambar berikut !.
Jika r = 10 cm dan OB = 26 cm, maka panjang garis singgung AB adalah… Penyelesaian: r = OA = OC = 10 cm OB = 26 cm AB2 = OB2 – OA2 AB =
26 2 10 2
AB =
676 100 576
AB = AB = 24 cm Jadi panjang AB = 24 cm
1. Perhatikan gambar berikut!
Jika jarak PQ = 26 cm dan AB adalah garis singgung persekutuan dalamnya, maka panjang AB adalah … Penyelesaian: AB =
PQ 2 AP BQ
AB =
26 2 7 3
AB =
2
2
676 100 576
AB = AB = 24 cm
SOAL LATIHAN 7.1 A. Pilihan Ganda Garis Singgung Persekutuan Luar 1. Perhatikan gambar dibawah ini!
l=
p 2 R r
l=
25 2 10 3
l= l= Gambar atas menunjukkan dua buah lingkaran dengan pusat P dan Q. Panjang jari-jari PR = 12 cm dan QS = 5 cm. RS adalah garis singgung persekutuan luar. JikaPQ = 30 cm, maka panjang RS adalah… A. B.
756 cm 851 cm
C. D.
875 cm 949 cm
Kunci Jawaban: B PQ = p = 30 cm PR = R = 12 cm QS = r = 5 cm RS = garis singgung persekutuan luar RS =
PQ 2 PR QS
2
l=
p 2 R r
l=
30 12 5
l=
900 49 =
2
2
2
851 cm
2. Dua lingkaran mempunyai jari-jari masing-masing 10 cm dan 3 cm. Jika jarak kedua titik pusat lingkaran 25 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah… A. 15 cm C. 20 cm B. 17 cm D. 24 cm Kunci Jawaban: D p = 25 cm R = 10 cm r = 3 cm
2 2
625 49 576 = 24 cm
3. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat A dan B, dengan panjang jari-jari masing-masing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak AB = 13 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah… A. 5 cm C. 12 cm B. 6 cm D. 15 cm Kunci Jawaban: C AB = p = 13 cm R = 7 cm r = 2 cm l=
p 2 R r
l=
132 7 2
l= l=
2 2
169 25 144 = 12 cm
4. Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran adalah 12 cm dan jarak dua titik pusat lingkaran tersebut adalah 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah… A. 3 cm C. 8 cm B. 5 cm D. 11 cm
Kunci Jawaban: C l = 12 cm p = 13 cm r = 3 cm l2 = p2 – (R – r)2
122 = 132 – (R – 3)2 144 = 169 – (R – 3)2 (R – 3)2 = 169 – 144 (R – 3)2 = 25 R – 3 = 25 R–3=5 R=5+3 R = 8 cm
Perbandingan Luas Lingkaran 5. Jarak 2 titik pusat lingkaran A dan B adalah 13 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam 12 cm. Jika jari-jari lingkaran B = 2 cm, maka perbandingan luas lingkaran A dengan luas lingkaran B adalah… A. 1 : 2 C. 3 : 2 B. 1 : 4 D. 9 : 4 Kunci Jawaban: D p = 13 cm, d = 12 cm, rB = 2 cm d2 = p2 – (RA + rB)2 122 = 132 – (RA + 2)2 144 = 169 – (RA + 2)2 (RA + 2)2 = 169 – 144 (RA + 2)2 = 25 (RA + 2) = 25 RA + 2 = 5 RA = 5 – 2 RA = 3 cm Perbandingan luas lingkaran A dan B:
L A R A2 = LB rB2
2
LA 3 = LB 2 2 LA 9 = LB 4 LA : LB = 9 : 4
Contoh Soal: 1. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm dan 17 cm. Maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah… Penyelesaian: a = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cm s = L=
1 1 × (8+17+15) = ×(40) = 20 cm 2 2
s.(s a)(s b)(s c) = 20.(20 8)(20 17)(20 15) = 20.(12)(3)(5)
L = 3600 = 60 cm Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga: r=
L 60 = = 3 cm s 20
SOAL LATIHAN 7.2 A. Pilihan Ganda Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam 1. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku yang panjang sisisisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm adalah… A. 1 cm C. 3 cm B. 2 cm D. 4 cm Kunci Jawaban: A a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm s =
1 1 × (3 + 4 + 5) = × (12) = 6 cm 2 2
L=
s.(s a)(s b)(s c)
L=
6.(6 3)(6 4)(6 5)
L=
6.(3)(2)(1)
L = 36 = 6 cm Panjang jari-jari segitiga:r =
lingkaran
3. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga siku-siku yang panjang sisi siku-sikunya 8 cm dan 15 cm adalah… A. 3 cm C. 8,5 C cm B. 6 cm D. 17 cm 8 cm
B
A 15 cm
Kunci Jawaban: C
dalam
L 6 = = 1 cm s 6
2. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah 3 cm, Jika luas segitiga 60 cm2, maka kelilingnya adalah… A. 20 cm C. 40 cm B. 30 cm D. 80 cm
Panjang
AC2 = AB2 + BC2 AC =
15 2 8 2
AC =
225 64
AC = 289 AC = 17 cm a = 8 cm, b = 17 cm, c = 15 cm s =
1 1 × (8+17+15) = ×(40) = 20 cm 2 2
Kunci Jawaban: C r = 3 cm L = 60 cm2
L=
s.(s a)(s b)(s c)
L=
20.(20 8)(20 17)(20 15)
L 60 L , maka: s = = = 20 cm s 3 r 1 Karena s = × Keliling Lingkaran 2
L=
20.(12)(3)(5)
r=
Klingkaran
= 2 × s = 2 × 20 = 40 cm
Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam
L = 3600 = 60 cm Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga: r =
abc 8 17 15 2040 = = = 8,5 cm 4L 4 60 240
Contoh Soal: Perhatikan gambar berikut!
Gambar diatas menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masing-masing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut! Penyelesaian:
Panjang EF + Panjang GH + Panjang DI = Keliling Lingkaran Panjang sabuk lilitan minimal= DE + FG + HI + Klingkaran = 14 + 14 + 14 + 2πr = 42 + 2 × = 42 + 44 = 86 cm
22 ×7 7
BAB 8 KUBUS, BALOK, LIMAS & PRISMA
Contoh Soal: 1. Perhatikan gambar dibawah ini!
1 2
3 4
5 6
Rangkaian persegi di bawah adalah jaring-jaring kubus. Jika nomor 2 merupakan alas kubus, maka yang merupakan tutup kubus adalah nomor …. A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 Kunci jawaban: C Penyelesaian Cukup jelas 2. Perhatikan
gambar
dibawah
1
2
ini!
3
4
Dari rangkaian persegi di atas, yang merupakan jaring-jaring kubus adalah… A. 1 dan 3 B. 1 dan 4 C. 2 dan 3 D. 2 dan 4 Kunci jawaban: B Penyelesaian Cukup jelas 3. Keliling alas sebuah kubus 28 cm. Luas seluruh bidang sisi kubus tersebut adalah… A. 343 cm2 B. 294 cm2 C. 168 cm2 D. 49 cm2 Kunci jawaban : B Penyelesaian Diketahui: K = 28 K = 4 × s s = L = 6s2 = 6 72 = 294 cm2
K 28 = = 7 cm 4 4
4. Jika panjangsalah satu diagonal sisi sebuah kubus 50 cm, maka luas sisi kubus itu adalah…. A. 1.500 cm2 B. 3.000 cm2 C. 7.500 cm2 D. 15.000 cm2
Kunci jawaban : C Penyelesaian Diketahui: Panjang diagonal sisi = 50 cm s 2 = 50 s= 2
50 2
=
50 2
cm
2500 50 L = 6s = 6 = 6 1.250 = 7.500 cm2 =6 2 2 2
SOAL LATIHAN 8.1 A. Pilihan Ganda 1. Bidang diagonal kubus berbentuk… A. persegi B. persegi panjang C. jajargenjang D. belah ketupat
4. Perhatikanrangkaian persegi berikut!
Kunci Jawaban: A Cukup Jelas 2. Banyak adalah…. A. 4 B. 6
(i)
(ii)
diagonal ruang pada kubus C. 8 D. 12
Kunci Jawaban: A Cukup Jelas 3. Di antara rangkaian persegi berikut, yang merupakan jaring-jaring kubus adalah… A.
C.
(iii)
(iv)
Dari rangkaian persegi di atas yang merupakan jaring-jaring kubus adalah… A.(i) C.(iii) B.(ii) D.(iv) Kunci Jawaban: B Cukup Jelas 5. Perhatikan rangkaian berikut ini! (i)
enam
persegi
(iii)
B.
D. (ii)
Kunci Jawaban: C Cukup Jelas
(iv)
Di antara rangkaian persegi diatas, yang merupakan jaring-jaring kubus adalah… A. (i), (ii) dan (iii)
B. (i), (ii) dan (iv) C. (i), (iii) dan (iv) D. (ii), (iii) dan (iv) Kunci Jawaban: C Cukup Jelas
Kunci Jawaban: C Cukup Jelas
9. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH!
6. Perhatikan gambar!
Pada jaringjaring kubus di samping, yang diarsir adalah sisi atas (tutup). Persegi yang menjadi alasnya adalah nomor… A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 Kunci Jawaban: D Cukup Jelas
7. Perhatikan gambar!
Jaring-jaring kubus diatas sebagai tutupatasnya adalah nomor IV, maka sisi alas kubus adalah nomor… A. I C. V B. II D. VI Kunci Jawaban: A Cukup Jelas 8. Pada jaring-jaring kubus ini
1 2 4 A. 1 B. 2
3
Jika persegi yang diarsir sebagai sisi atas (tutup) kubus, maka yang menjadi alas kubus adalah persegi nomor… C. 3 D. 4
Banyak diagonal ruangnya adalah… A. 2 C. 6 B. 4 D. 12 Kunci Jawaban: B Banyak diagonal ruangnya = 4 buah Yaitu AG, BH, CE, DF.
Luas Permukaan Kubus 10. Luas permukaan kubus yang luas alasnya 16 cm² adalah… A. 64 cm² C. 128 cm² B. 96 cm² D. 64 cm² Kunci Jawaban: B Lalas = 16 cm2 s2 = 16 s = 16 = 4 cm L = 6 × s2= 6 × 42= 6 × 16 = 96 cm² 11. Luas permukaan kubus yang volumenya 125 cm³ adalah …. A. 150 cm² C. 250 cm² B. 200 cm² D. 300 cm² Kunci Jawaban: A Vkubus = 125 cm³ s3 = 125 s = 3 125 = 5 cm L = 6 × s2 = 6 × 52= 6 × 25 = 150 cm²
3
12. Jumlah luas seluruh permukaan kubus yang panjang diagonal bidangnya (diagonal sisi) 8 cm adalah… A. 128 cm2 C. 256 cm2 2 B. 192 cm D. 384 cm2 Kunci Jawaban: B Panjang diagonal sisi = 8
s 2 =8 8 s= cm 2 8 Luas = 6 × s = 6 × 2 64 =6× 2 384 = 2
v1 s13 3 27 1 = 3 = 3= = v 2 s 2 9 729 27 Jadi perbandingan v1 : v2 = 1 : 27 15. Panjang
salah
satu
Kunci Jawaban: B Panjang diagonal ruang kubus =
13. Volume suatu kubus 216 cm3, maka panjang rusuk kubus adalah… A. 4 cm C. 14 cm B. 6 cm D. 16 cm Kunci Jawaban: B Vkubus = 216 cm³ s3 = 216 s =
3
216 = 6 cm
Volume Kubus 14. Panjang rusuk 2 buah kubus masingmasing 3 cm dan 9 cm. Perbandingan volume kedua kubus tersebut adalah… A. 1 : 3 C. 1 : 9 B. 1 : 6 D. 1 : 27 Kunci Jawaban: D s1 = 3 cm s2 = 9 cm
48 48
s 3 = s 3 = 16 3
2
Panjang Rusuk Kubus
ruang
sebuah kubus adalah 48 cm. Volume kubus tersebut adalah… A. 96 cm³ C. 48 cm³ B. 64 cm³ D. 16 cm³
2
= 192 cm²
diagonal
s 3 = 4 3
s = 4 cm Vkubus =s3 = 4 × 4 × 4 = 64 cm³
16. Volume sebuah kubus yang memiliki luas sisi 64 cm2 adalah… A. 512 cm3 C. 1.000 cm3 B. 729 cm3 D. 1.331 cm3 Kunci Jawaban: A Lsisi = 64 cm2 s2 = 64s = 64 = 8 cm Vkubus = s3 = 8 × 8 × 8 = 512 cm³ 17. Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang setiap sisi dalamnya 65 cm. Bak mandi tersebut diisi air sampai
4 nya. Volume air pada bak mandi 5 tersebut… A. 219.700 cm³ B. 319.700 cm³
C. 400.000 cm³ D. 500.000 cm³
Kunci Jawaban: A s = 65 cm Vbak mandi= s3 = 65 × 65 × 65 = 274.625 cm³ Vair =
4 × 274.625 5
= 219.700 cm³
18. Iwan membuat penampungan air berbentuk kubus dengan ukuran rusuk 0,5 m. Volume panampungan air Iwan adalah… A. 0,125 liter C. 12, 5 liter B. 1,25 liter D. 125 liter Kunci Jawaban: D Rusuk kubus s = 0,5 m = 5 dm Vkubus =s3 = 5 × 5 × 5 = 125 dm³ = 125 liter
B. Uraian 1. Luas sebuah kubus adalah 484 cm². Volume kubus tersebut adalah… Penyelesaian: L = 484 cm² s2 = 484 s = 484 = s = 22 cm Volume: V = s3 = 22× 22× 22 = 10.648 cm3 2. Keliling alas kubus adalah 36 cm. Volume kubus tersebut adalah… Penyelesaian: K = 36 cm K = 4 ×s s=
K 36 = = 9 cm 4 4
V = s3 = 9 × 9 × 9 = 729 cm3 3. Volume kubus yang luas sisinya 225 cm2 adalah… Penyelesaian: Lsisi = 225 cm3 s2 = 225 s = 225 = 15 cm V = s3 = 15 × 15 × 15 = 3.375 cm3
4. Volume sebuah kubus yang memiliki luas sisi 144 cm2 adalah… Penyelesaian: L = 144 cm2 s2 = 144 s = 144 s = 12 cm Volume: V = s3 = 12 × 12 × 12 = 1.728 cm3
Contoh Soal: 1. Dari rangkaian persegi panjang berikut, yang merupakan jaring-jaring balok adalah…
A.
B.
C.
D.
Kunci jawaban: D Penyelesaian Cukup jelas 2. Volume balok yang berukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm dan tinggi 3 cm adalah.... A. 144 cm3 B. 124 cm3 C. 34 cm3 D. 18 cm3 Kunci jawaban: A Panjang = 8 cm, lebar = 6 cm, tinggi= 3 cm V = p lt = 8 6 3 = 144 cm3
SOAL LATIHAN 8.2 A. Pilihan Ganda Konsep Balok 1. Banyak diagonal adalah… A. 4 B. 6
ruang
pada
balok
C. 8 D. 10
Kunci jawaban: A Banyak diagonal ruang balok ada 4 buah 2. Perhatikan gambar dibawah ini
4. Sebuah balok berukuran panjang 10 cm, lebar 7 cm, dan tinggi 5 cm. Panjang diagonal ruang balok tersebut adalah… A.
22 cm
B.
44 cm
=
= = =
Kunci Jawaban: B Cukup Jelas 3. Perhatikan gambar berikut!
diarsir disebut… A. diagonal bidang B. bidang diagonal
Daerah
yang
C. diagonal ruang D. rusuk
Kunci Jawaban: C Cukup Jelas Panjang Diagonal Balok
174 cm D. 350 cm
Kunci Jawaban: C Jadi panjang diagonal ruang balok
=
Gambar diatas adalah jaring-jaring balok ABCD.EFGH. Letak titik E ditunjukkan oleh nomor… A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
C.
p2 l 2 t 2
10 2 7 2 5 2 100 49 25 100 49 25 174 cm
Luas Permukaan Balok 5. Perbandingan panjang, lebar dan tinggi sebuah balok adalah 5 : 3 : 2. Jika volume balok 810 cm³, maka luas permukaan balok tersebut adalah… A. 144 cm² C. 558 cm² B. 324 cm² D. 625 cm Kunci Jawaban: D p:l:t=5:3:2 V = 810 cm³ Karena p : l : t = 5 : 3 : 2 Maka: p : l : t = 5x : 3x : 2x V = 810 p× l × t = 810 5x× 3x× 2x = 810 30.x3 = 810 x3 =
810 30
x3 = 27
x = 3 27 x = 3 cm p = 5x = 5 × 3 = 15 cm
l = 3x = 3 × 3 = 9 cm t = 2x = 2 × 3 = 6 cm L = 2(pl + pt + lt) = 2(15 × 9 + 15 × 6+ 9 × 6) = 2(135 + 90 + 54) = 2(279) = 558 cm² 6. Luas alas sebuah balok 112 cm², panjang balok = 14 cm, tingginya = 5 cm. Luas permukaan balok adalah… A. 182cm² C. 444 cm² B. 222 cm² D. 560 cm² Kunci Jawaban: C p = 14 cm t = 5 cm Lalas = 112 cm² p × l = 112 l= L
112 p
=
112 = 8 cm 14
= 2(pl + pt + lt) = 2(14 × 8 + 14 × 5+ 8 × 5) = 2(112 + 70+ 40) = 2(222) = 444 cm²
8. Perhatikan gambar dibawah ini!
Luas daerah arsir diatas adalah… A. 65 cm2 C. 117 cm2 B. 75 cm2 D. 135 cm2 Kunci Jawaban: A Yang diarsir lebar = 5 cm
122 52
Panjang p = =
144 25 = 169 = 13 cm Luas daerah arsir = p × l = 13 × 5 = 65 cm2 9. Perhatikan gambar berikut! H E
G F 24 cm
D
7. Sebuah kotak kayu berbentuk balok. Tinggi kotak 50 cm dan panjang kotak tersebut dua kali tingginya. Bila lebarnya 40 cm lebih pendek dari panjangnya, maka luas permukaan kotak itu adalah… A. 1,4 m² C. 14 m² B. 2,8 m² D. 28 m² Kunci Jawaban: D t = 50 cm p = 2t p = 2 × 50 = 100 cm l = p – 40 = 100 – 40 = 60 cm L = 2(pl + pt + lt) = 2(100 × 60 + 100 × 50 + 60 × 50) = 2(6.000 + 5.000+ 3.000) = 2(14.000) = 28.000 cm² = 28 m²
A
10 cm
B
C 7 cm
Luas bidang ABGH adalah… A. 240 cm² C. 260 cm² B. 250 cm² D. 270 cm² Kunci Jawaban: B BG2 = BC2 + CG2 BG=
72 242 = 49 576 = 625 =25 cm
Luas bidang ABGH = AB × BG = 10 × 25 = 250 cm²
Volume Balok 10. Pada balok ABCD.EFGH dibawah ini!
V= p l t = 10 3 4 = 120 cm3
Panjang AB = 9 cm, luas ABCD = 36 cm² dan luas bidang ABFE = 54 cm². Volume balok adalah… A. 216 cm³ C. 486 cm³ B. 324 cm³ D.1.994 cm³ Kunci Jawaban: A AB = p = 9 cm Karena: L.ABCD = 36 cm² AB × BC = 36 p × l = 36 l =
36 p
=
36 = 4 cm 9
L.ABFE = 54 cm² AB × BF = 36 p × t = 54 t=
54 p
=
54 = 6 cm 9
Maka, p = 9 cm, l = 4 cm, t= 6cm V= p l t = 9 4 6 = 216 cm3 11. Sebuah bak berbentuk balok dengan luas sisi atas dan sisi depan masingmasing 30 m2 dan 40 m2. Jika rusuk yang membatasi sisi alas dan depan mempunyai panjang 10 m, maka volume bak adalah… A. 150 m2 C. 80 m2 B. 120 m2 D. 60 m2 Kunci Jawaban: B Panjang p = 10 m Luas sisi atas = 30 m2 p l = 30 10 l = 30
l=
30 =3m 10
Luas sisi depan = 40 m2 p t = 40 10 t = 40
t=
40 =4m 10
12. Kawat yang panjangnya 1,5 m akan digunakan untuk membuat dua buah model kerangka balok dengan ukuran 7 cm × 3 cm × 5 cm. Panjang sisa kawat adalah… A. 30 cm C. 79 cm B. 45 cm D. 90 cm Kunci Jawaban: D Panjang kawat = 1,5 m = 150 cm Kerangka = 7 cm × 3 cm × 5 cm Panjang kawat yang diperlukan untuk membuat 1 buah kerangka balok: = 4p + 4l + 4t =4×7+4×3+4×5 = 28 + 12 + 20 = 60 cm Sisa kawat = 150 – 60 = 90 cm 13. Budi mempunyai kawat sepanjang 24 meter. Ia akan membuat kerangka balok yang berukuran 15 cm × 12 cm × 13 cm. Banyak kerangka balok yang dapat dibuat adalah… buah. A. 10 C. 15 B. 12 D. 25 Kunci Jawaban: C Panjang kawat = 24 m = 2.400 cm Kerangka = 15 cm × 12 cm × 13 cm Panjang kawat yang diperlukan untuk membuat 1 buah kerangka balok: = 4p + 4l + 4t = 4 × 15 + 4 × 12 + 4 × 13 = 60 + 48 + 52 = 160 cm Banyak kerangka balok yang dapat dibuat =
Panjang kawat Panjang kerangka kawat
=
2400 160
= 15 buah
14. Kawat sepanjang 9,6 m akan dibuat model kerangka balok yang berukuran 5 cm × 4 cm × 3 cm. Banyak model kerangka balok yang dapat dibuat adalah… buah. A. 16 C. 20 B. 17 D. 21 Kunci Jawaban: C Panjang kawat = 9,6 m = 960 cm Kerangka = 5 cm × 4 cm × 3 cm Panjang kawat yang diperlukan untuk membuat 1 buah kerangka balok: = 4p + 4l + 4t =4×5+4×4+4×3 = 20 + 16 + 12 = 48 cm Banyak kerangka balok yang dapat dibuat =
Panjang kawat Panjang kerangka kawat
=
960 48
= 20 buah
B. Uraian 1. Luas permukaan balok adalah 376 cm². Panjang balok 10 cm dan lebarnya = 8 cm. Volume balok adalah… Penyelesaian: p = 10 cm l = 8 cm
Lpermukaan = 376 cm2 2(pl + pt + lt) = 376 2(10 × 8 + 10 × t + 8 × t) = 376 2(80 + 10t + 8t) = 376 (80 + 18t) =
376 2
(80 + 18t) = 188 18t = 188 – 80 18t = 108 t=
108 = 6 cm 18
V = p×l×t = 10 × 8 × 6 = 480 cm
3
2. Sebuah balok berukuran panjang 12 cm, lebar 9 cm, dan panjang salah satu diagonal ruangnnya 17 cm. Volume balok adalah… Penyelesaian: p = 12 cm l = 9 cm panjang diagonal ruang = 17 cm
p 2 l 2 t 2 = 17 p2 + l2 + t2 = 172 12 + 92 + t2 = 172 144 + 81 + t2 = 289 t2 = 289 – 225 t2 = 64 2
t = 64 = 8 cm V = p×l×t = 12 × 9 × 8 = 864 cm3
3. Alas sebuah akuarium berbentuk persegi panjang dengan panjang 1 meter 2 dan lebarnya 0,5 meter. Jika bagian 3 akuarium itu berisi air sebanyak 200 liter, maka tinggi akuarium adalah… Penyelesaian: p=1m l = 0,5 m Berisi air = 200 liter 2 .Vbalok = 0,2 m3 3 2 ×p×l×t = 0,2 3 2 × 1 × 0,5 ×t = 0,2 3 1 × t = 0,2 3 t = 0,2 × 3 t = 0,6 m
Contoh Soal: 1. Banyak sisi pada limas dengan alas segi-10 adalah… A. 11 B. 12 C. 20
D. 30
Kunci jawaban: A Banyak sisi = sisi alas + sisi tegak = 1 + 10 = 11 2. Alas sebuah limas berbentuk persegi dengan keliling 40 cm dan tinggi limas 12 cm. Volum limas tersebut adalah… A. 400 cm3 B. 480 cm3 C. 1200 cm3 D. 1440 cm3 Kunci jawaban: A Diketahui: Alas berbentuk persegi,
K = 40 cm
K 40 = = 10 cm 4 4 1 1 1 1200 V = × Lalas× t = ×s2×t = × (10 × 10) × 12 = = 400 cm 3 3 3 3 3 K = 4 ×ss =
3. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi panjang dengan panjang 16 cm dan lebar 10 cm. Tinggi limas 15 cm. Volume limas tersebut adalah… A. 800 cm³ B. 1.600 cm³ C. 2.400 cm³ D. 4.200 cm³ Kunci Jawaban: C p = 16 cm,l = 10 cm, dan t = 15 cm V =
1 1 1 2400 × Lalas×t = × (p×l) ×t = × (16× 10) × 15= = 800 cm 3 3 3 3 3
4. Alas limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm. Jika tinggi limas 12 cm, berapakah luas seluruh bidang sisi limas? A. 624 cm2 B. 468 cm2 C. 384 cm2 D. 360 cm2 Kunci jawaban: D Alas berbentuk persegi, s = 10 cm Tinggi limas = TO = 12 cm
T x
B
Luas Limas
1 ×10 = 5 cm 2
= Lalas + 4 L.sisi tegak
BT2 = BO2 + TO2
12 cm BT =
5 2 12 2
BT =
25 144 169
O
BT = BT = 13 cm
1 2
= (ss) + (4 QR BT) = (10 × 10) +(4 × = 100 + 260 = 360 cm2
1 10 13) 2
SOAL LATIHAN 8.3 A. Pilihan Ganda Konsep Limas
tsisi limas
=
1 TB BC 2
=
1 25 14 2
=
625 7
1. Perhatikan gamber berikut!
2
Kunci Jawaban: B Cukup jelas.
Luas Limas 2. Limas T.ABCD diketahui panjang AB = BC = CD = AD = 14 cm. TA = TB = TC = TD = 25 cm.
625 49 576
= = 24 cm Karena bentuk sisi beraturan, maka: Jumlah luas sisi tegak: = 4 × Lsegitiga =4×
2
2
=
Gambar diatas merupakan jaringjaring bangun… A. balok B. limas segitiga C. prisma segitiga D. limas segi empat
2
2
tegak
limas
1 × BC × tsisi limas 2
= 2 × 14 × 24 = 672 cm²
3. Sebuah limas alasnya berbentuk persegi dengan sisi 10 cm dan tinggi limas 12 cm. Jumlah luas sisi tegak limas itu adalah… A. 130 cm2 C. 390 cm2 B. 260 cm2 D. 520 cm2 Kunci Jawaban: B Alas berbentuk persegi, s = 10 cm Tinggi limas = TO = 12 cm
Jumlah luas sisi tegak adalah… A. 336 cm² C. 672 cm² B. 600 cm² D. 700 cm²
T
Kunci Jawaban: C
x
B
1 × 10 = 5 cm 2
12 cm O
Kunci Jawaban: B Alas persegi, panjang sisi = 24 cm tbidang tegak = 20 cm L = Lalas + Jumlah L.sisi segitiga tegak
BT2 = BO2 + TO2 BT cm
= 5 12 = 25 144 = 169 =13 2
Lsisi tegak
2
1 2 1 = (4 × 10 13) 2
= (s×s) + (4 ×
= (24 × 24) + (2 × 24×20) = 576 + 960 = 1.536 cm²
= (4 QR BT)
= 260 cm2
3. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm dan tinggi limas 12 cm. Luas permukaan limas adalah… A. 260 cm² C. 360 cm² B. 340 cm² D. 620 cm² Kunci Jawaban: C Alas persegi, panjang sisi = 10 cm tlimas = 12 cm (Ingat!! bidang tegak berbeda dengan tinggi limas) tbidang tegak = tbidang tegak segitiga =
1 12 10 2
1 ×a×tbidang tegak) 2
5. Perhatikan bangun berikut yang terdiri balok dan limas ! Diketahui balok berukuran 8 cm × 8 cm × 11 cm. Jika tinggi limas 3 cm. Luas permukaan bangun adalah… A. 592 cm² C. 496 cm² B. 560 cm² D. 432 cm² Kunci Jawaban: C
2
2
=
144 25 = 169 L
= Lalas
= 13 cm + Jumlah L.sisi segitiga tegak
= (s×s) + (4 ×
1 ×a×tbidang tegak) 2
= (10 × 10) + (2 × 10×13) = 100 + 260 = 360 cm²
4. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 24 cm dan tinggi segitiga sisi tegaknya 20 cm. Luas permukaan limas tersebut adalah… A. 1.344 cm² C. 2.112 cm² B. 1.536 cm² D. 2.496 cm²
Alas persegi, panjang sisi = 8 cm tlimas = 3 cm (Ingat!! bidang tegak berbeda dengan tinggi limas) tsisi limas
L
= tbidang tegak segitiga =
1 32 8 2
=
9 16
2
= 25 = 5 cm = 4 Lsisi limas + 4 Lsisi balok + Lalas balok
1 a t) + (4 p l) +(s s) 2 1 = (4 85) + (4 11 8) +(8 8) 2 = (4
= 80 + 352 + 64 = 496 cm² Volume Limas
6. Alas limas yang berbentuk belah ketupat memiliki diagonal 8 cm dan 10 cm. Jika tinggi limas 12 cm, maka volum limas adalah… A. 160 cm³ C. 480 cm³ B. 320 cm³ D. 960 cm³ Kunci Jawaban: A Alas belah ketupat, d1 = 8 cm d2 = 10 cm tlimas = 12 cm
1 × Lalas× tlimas 3 1 1 = × ( × d1× d2) × tlimas 3 2 1 1 = × ( × 8 ×10) ×12 3 2 1 = × (40) × 12 = 160 cm³ 3
=
= 1.080 cm³
8. Limas yang alasnya belah ketupat dengan panjang sisi 13 cm, panjang salah satu diagonalnya 10 cm, tinggi limas 15 cm. Volume limas adalah… A. 600 cm3 C. 1200 cm3 B. 900 cm3 D. 1800 cm3 Kunci Jawaban: A Alas belah ketupat, d1 = 10 cm Panjang sisi = 13 cm tlimas = 15 cm
1 Panjang d2 = 2 × 13 10 2
1 × Lalas× tlimas 3 1 1 = × ( ×a×tsegitiga) × tlimas 3 2 1 1 = × ( × 10 × 24) × 27 3 2 1 1 = × ( × 10 × 24) × 27 3 2
V =
2
2
= 2 × 169 25 = 2 × 144 = 2 × 12 = 24 cm
V =
7. Alas sebuah limas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 10 cm, 26 cm dan 24 cm. Jika tinggi limas 27 cm, maka volume limas tersebut adalah… A. 1.080 cm³ C. 3.240 cm³ B. 1.170 cm³ D. 3.510 cm³ Kunci Jawaban: A Alas segitiga, 10 cm, 26 cm, 24 cm tlimas = 27 cm
1 × (120) × 27 3
1 × Lalas× tlimas 3 1 1 = × ( × d1 × d2) × tlimas 3 2 1 1 = × ( × 10 × 24) × 15 3 2 1 = × (120) × 15 3
V =
= 600 cm³
9. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 18 cm. Tinggi segitiga pada bidang tegaknya 15 cm. Volume limas tersebut adalah… A. 1.296 cm³ C. 3.888 cm³ B. 1.620 cm³ D. 4.860 cm³ Kunci Jawaban: A Alas persegi, panjang sisi = 18 cm (Ingat!! bidang tegak berbeda dengan tinggi limas) Tinggi bidang tegak = tbidang tegak segitiga = 15 cm
1 tlimas = 15 18 2
2
2
11. Pada gambardibawah!
= 225 81 = 144 = 12 cm
1 × Lalas× tlimas 3 1 = × (s×s) × tlimas 3 1 = × (18 × 18) ×12 3 1 = × (324) ×12 3
V =
= 1.296 cm³
Tinggi Limas 10. Sebuah limas alasnya berbentuk jajaran genjang yang alas dan tinggi masingmasing 12 cm dan 10 cm. Jika volume limas itu 600 cm³, maka tinggi limas tersebut adalah… A. 30 cm C. 10 cm B. 15 cm D. 5 cm Kunci Jawaban: B Alas jajar genjang, a = 12 cm t = 10 cm 3 Vlimas = 600 cm
1 × Lalas× tlimas 3 1 600 = × (a×t) × tlimas 3 1 600 = × (12 ×10) × tlimas 3 1 600 = × (120) × tlimas 3 V =
Bidang alas balok berukuran AB = 20 cm, BC = 10 cm dan volume limas H.ABCD = 1.000 cm³, maka volume balok ABCD.EFGH yang berada di luar limas adalah… A. 1.500 cm³ C. 2.500 cm³ B. 2.000 cm³ D. 3.000 cm³ Kunci Jawaban: B AB = 20 cm, BC = 10 cm V.limas H.ABCD = 1.000 cm³
1 × Lalas× tlimas= 1.000 3 1 ×(AB × BC)× tlimas = 1.000 3
(20 × 10)× tlimas = 1.000 × 3 200 × tlimas = 3.000 tlimas =
3.000 = 15 cm 200
V.balok ABCD.EFGH yang berada di luar limas: = V.balok ABCD.EFGH – V.limas H.ABCD = (p× l × t) – 1.000 = (20 × 10 × 15) – 1.000 = 3.000 – 1.000 = 2.000 cm³ 12. Pada gambar dibawah!
600 = 40 × tlimas tlimas =
600 40
tlimas = 15 cm
Volume Diluar
Volume limas H.ABCD adalah 9.000 cm³. Volume kubus yang berada di luar limas adalah… A. 13.500 cm³ C. 27.000 cm³
B. 18.000 cm³
D. 30.000 cm³
Kunci Jawaban: B V.limas H.ABCD = 9.000 cm³
1 × Lalas× tlimas= 9.000 3
Lalas× tlimas = 9.000 × 3 Lalas× tlimas = 27.000 Karena: AB × BC = Lalas AE = tkubus = tlimas Vkusbus = AB × BC × AE Vkusbus = Lalas× tlimas = 27.000 Volume balok ABCD.EFGH yang berada diluar limas = V.balok ABCD.EFGH – V.limas H.ABCD = 27.000 – 9.000 = 18.000 cm³ 13. Limas alasnya berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm. Jika tinggi limas 12 cm, panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk membuat model kerangka limas tersebut adalah… A. 52 cm C. 72 cm B. 66 cm D. 80 cm Kunci Jawaban: D
Alas, Panjang = PQ = SR = 8 cm, Lebar = QR = PS = 6 cm Tinggi = TO = 12 cm PR2 = PQ2 + QR2 PR = 8 6 = 64 36 100 = 10 cm Panjang TQ = TR = TP = TS TR2 = OR2 + TO2 2
2
2
TR =
1 2 PR TO 2
TR =
1 2 10 12 2
TR =
52 122
2
TR =
25 144 TR = 169 TR = 13 cm Panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk membuat model kerangka limas: = (2 × PQ) + (2 × PS) + (4 × TR) = (2 × 8) + (2 × 6) + (4 × 13) = 16 + 12 + 52 = 80 cm
B. Uraian 1. Sebuah limas alasnya persegi dengan panjang sisi 8 cm. Bila tinggi limas 3 cm, maka luas seluruh limas adalah… Penyelesaian: Alas berbentuk persegi, s = 8 cm Tinggi limas = TO = 3 cm
Pada gambar diatas, limas dengan alas persegi panjang berukuran 32 cm 18 cm dan tingginya 12 cm. Luas permukaan limas adalah… Penyelesaian: Alas berbentuk persegi panjang: p = 32 cm, l = 18 cm tlimas = 12 cm
T x
B
1 × 8 = 4 cm 2
tsisi kiri-kanan
1 = 12 18 2
3 cm
=
O
= 15 cm
144 81 = 225 tsisi depan-belakang
BT2 = BO2 + TO2
4 2 32
= 16 9 = 25 = 5 cm
1 2
= (8 × 8) +(4 × = 64 + 80 = 104 cm2
1 85) 2
2. Perhatikan gambar berikut!
=
1 12 2 32 2
=
144 256
2
= 400 = 20 cm
BT = Luas seluruh Limas = Lalas + 4 L.sisi tegak
= (ss) + (4 QR BT)
2
2
L
= Lalas +2Lsisi kiri-kanan +2Lsisi depan-blkg = (p×l) + (2 × (2 ×
1 × 18 × 15) + 2
1 × 32 × 20) 2
= (32×18) + (18×15) + (32×20) = 576 + 270 + 640 = 1.486 cm²
3. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 20 cm dan panjang rusuk tegaknya masing-masing 26 cm. Luas permukaan limas tersebut adalah… Penyelesaian:
Alas berbentuk persegi, s = 20 cm Rusuk tegak = 26 cm L = Lalas + Jumlah L.sisi segitiga tegak = (s×s) + (4 ×
1 ×a×tbidang tegak) 2
= (20 × 20) + (2 × 20×26) = 400 + 1.040 = 1.440 cm²
4. Sebuah limas alasnya terbentuk segitiga samakaki dengan panjang sisi yang sama 10 cm, sisi yang lain 12 cm, tinggi limas 15 cm. Volume limas adalah… Penyelesaian: Alas segitiga sama kaki = 10 cm, 10 cm, 12 cm tlimas = 15 cm 2
tsisi limas = =
1 10 2 12 = 100 36 2
64 = 8 cm
1 × Lalas× tlimas 3 1 1 = ×( ×a× tsisi limas) × tlimas 3 2 1 1 = ×( × 12 × 8) ×15 3 2 1 = ×(48) ×15 3
V =
= 240 cm3
5. Sebuah limas alasnya berbentuk jajargenjang dengan alas 15 cm dan tinggi 8 cm. Bila volume limas 600 cm3, maka tinggi limas adalah…
Penyelesaian: Alas jajar genjang, a = 15 cm t = 8 cm 3 Vlimas = 600 cm
1 × Lalas× tlimas 3 1 600 = × (a×t) × tlimas 3 1 600 = × (15 ×8) × tlimas 3 1 600 = × (120) × tlimas 3
V =
600 = 40 × tlimas tlimas =
600 40
tlimas = 15 cm
Contoh Soal: 1. Banyak sisi pada prisma dengan alas segi-9 adalah… A. 10 B. 11 C. 18
D. 27
Kunci jawaban: B Banyak sisi= alas + sisi tegak + tutup= 1+ 9 + 1 = 11 2. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat dengan keliling 100 cm dan panjang salah satu diagonalnya 30 cm serta tinggi prisma 12 cm. Luas seluruh permukaan prisma tersebut adalah… A. 2400 cm2 B.6000 cm2 C. 7200 cm2 D. 18000 cm2 Kunci jawaban: A Alas berbentuk belah ketupat,
C K = 100 cm K=4×s
s
s O
A s
B
s =
K 100 = = 25 cm 4 4
AC = BC = AD = BD = 25 cm
s D C
Untuk mencari panjang AC, gunakan teorema pythagoras: AB = d1 = 30 cm AO =
A
O
1 1 × AB = × 30 = 15 cm 2 2
OC2 = AC2 – OA2
OC = 25 15 = OC = 400 = 20 cm Jadi panjang diagonal CD = 2 × OC = 2 × 20 = 40 cm tprisma = 12 cm 2
Lalas = Luas
2
6252 2252
30 40 = 600 cm 2
= (2 Lalas) + (Kalastprisma) = (2 600) + (100 12) = 1200 + 1200 = 2400 cm2
3. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonalnya 18 cm dan 24 cm. Jika tinggi prisma 10 cm, volume prisma tersebut adalah… A. 1.080 cm3 B. 1.296 cm3 C. 2.062 cm3 D. 2.160 cm3 Kunci jawaban: D
Diketahui: d1 = 18 cm, d2 = 24 cm, t = 10 cm Lalas
1 ×d1×d2 2 1 = × 18 × 24 2 432 = 2 =
= 216 cm2 Volume
= Lalas×tprisma = 216 × 10 = 2.160 cm3 Jadi volume prisma tersebut adalah 2.160 cm3
SOAL LATIHAN 8.4 A. Pilihan Ganda Konsep Prisma 1. Banyaknya rusuk suatu prisma tegak yang alasnya segilima beraturan adalah… buah A. 10 C. 15 B. 12 D. 18 Kunci Jawaban: C Prisma segi-5 Banyak rusuk = 3 × 5 = 15
Banyak sisi bangun diatas adalah… A. 18 C. 6 B. 9 D. 5 Kunci Jawaban: D Banyak sisi = 5 5. Perhatikan gambar berikut!
2. Banyaknya sisi suatu prisma segienam adalah… buah. A. 5 C. 7 B. 6 D. 8 Kunci Jawaban: D Banyak sisi = alas + sisi + tutup =1+6+1 =8 3. Nama prisma tegak yang mempunyai rusuk sebanyak 54 adalah… A. prisma segi-18 B. prisma segi-24 C. prisma segi-46 D. prisma segi-54 Kunci Jawaban: A Banyak rusuk = 54 Nama prisma = Prisma segi-18
54 = 18 3
20 cm
15 cm
30 cm
Volume bangun ruang di samping adalah… A. 450 cm3 C. 4.500 cm3 B. 900 cm3 D. 9.000 cm3
Luas Permukaan Prisma 6. Diketahui sebuah prisma dengan alas belah ketupat. Diagonal belah ketupat 6 cm dan 8 cm. Tinggi prisma 8 cm. Maka luas permukaan prisma adalah… A. 160 cm2 C. 208 cm2 B. 184 cm2 D. 384 cm2 Kunci Jawaban: C Alas belah ketupat, d1 = 6 cm d2 = 8 cm tprisma = 8 cm 2
Panjang sisi = =
4. Perhatikan gambar berikut! Kalas
1 1 6 8 2 2
32 42 =
= 25 = 5 cm = 4 × s = 4 × 5 = 20 cm
9 16
2
Lalas = L
1 1 ×d1×d2 = × 6×8 = 24 cm2 2 2
9. Perhatikan gambar dibawah ini!
= (2 Lalas) + (Kalastprisma) =(2 24) + (20 8)= 48 + 160 =208 cm2
7. Sebuah prisma tegak, alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan ukuran sisinya 3 cm, 4 cm dan 5 cm. Jika tinggi prisma 12 cm, maka luas permukaan prisma adalah… A. 72 cm2 C. 120 cm2 B. 90 cm2 D. 156 cm2 Kunci Jawaban: D Alas segitiga = 3 cm, 4 cm, 5 cm tprisma = 12 cm Lalas =
1 1 × a×t = × 3 × 4 = 6 cm2 2 2
Kalas = 3 + 4 + 5 = 12 cm L = (2 Lalas) + (Kalastprisma) = (2 6) + (12 12)= 12 + 144 = 156 cm2 8. Perhatikan gambar berikut! Gambar di samping menunjukkan sebuah prisma. Luas permukaan prisma tersebut adalah… A. 868 cm² C. 1.008 cm² B. 870 cm² D. 1.120 cm² Kunci Jawaban: B Karena bentuk prisma trapesium, maka digunakan cara biasa: L = Lalas + Ltutup + Lsamping kiri + Lsamping kanan + 2 Ldepan = (18 × 10) + (12 × 10) + (10 × 10) + (17 × 10) + (2 ×
(18 12) 10 ) 2
= 180 + 120 + 100 + 170 + (30 ×10) = 180 + 120 + 100 + 170 + 300 = 870 cm²
ABCD.EFGH pada gambar disamping adalah Prisma dengan ABFE sejajar DCGH. Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AE = 8 cm, dan BF = 5 cm. Luas permukaan prisma adalah… A. 156 cm² C. 184 cm² B. 158 cm² D. 236 cm² Kunci Jawaban: C AB = 4 cm, BC = 6 cm, AE = 8 cm, dan BF = 5 cm EF =
4 2 8 5
EF =
16 3 2 = 16 9 = 25 = 5 cm
Luas ABFE = = = = =
2
Jumlah sisi sejajar tinggi 2 ( BF AE ) AB 2 (5 8) 4 2 13 4 2 52 2
= 26 cm² Luas BCFG = BC BF = 6 5 = 30 cm² Luas BCAD = BC AB = 6 4 = 24 cm² Luas ADEH = AD AE = 6 8 = 48 cm² Luas FGEH = FG EF = 6 5 = 30 cm² Luas permukaan prisma: = 2.LABFE + LBCFG + LBCAD + LADEH + LFGEH = 2.(26) + 30 + 24 + 48 +30 = 52 + 132 = 184 cm² 10. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang salah satu sisi
siku-sikunya 30 cm, volume prisma 30.000 cm³ dan tinggi prisma 50 cm. Luas permukaan prisma adalah… A. 3.300 cm² C. 6.600 cm² B. 3.600 cm² D. 7.200 cm² Kunci Jawaban: D Alas segitiga siku-siku, a = 30 cm tprisma = 50 cm Karena bentuk prisma trapesium, maka digunakan cara biasa: V
= Lalas× tprisma
1 × a × talas× 50 2 1 30.000 = × 30 × talas × 50 2 30.000 =
30.000 = 750 × talas talas =
30.000 = 40 cm 750
Sisi miring segitiga = =
30 2 40 2 900 1600 2500 = 50 cm
= Kalas = 30 + 40 + 50 = 120 cm L = (2 Lalas) + (Kalastprisma) = (2 600) + (120 50) = 1.200 + 6.000 = 7.200 cm2
Volume Prisma 11. Alas prisma berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal 18 cm dan 24 cm. Bila tinggi prisma 20 cm, maka volume prisma itu adalah… A. 420 cm3 C. 4320 cm3 3 B. 2160 cm D. 8640 cm3 Kunci Jawaban: C Alas belah ketupat, d1 = 18 cm d2 = 24 cm tprisma = 20 cm
1 1 Lalas= ×d1×d2 = ×18×24 = 216 cm2 2 2
V = Lalas× tprisma = 216 × 20 = 4320 cm3 12. Sebuah prisma dengan alas berbentuk belah ketupat. Keliling alas 40 cm dan panjang salah satu diagonalnya 12 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, maka volume prisma adalah… A. 720 cm³ C. 1.800 cm³ B. 1.440 cm³ D. 3.600 cm³ Kunci Jawaban: A Kalas = 40 cm Panjang d1 = 12 cm tprisma = 15 cm Panjang sisi =
K 40 = = 10 cm 4 4
Panjang diagonal
1 d2 = 10 12 2
2
2
100 6 = 100 36 = 64 = 8 cm 1 1 Lalas = ×d1×d2 = × 12 × 8 = 48 cm2 2 2 d2 =
2
V = Lalas× tprisma = 48×15 = 720 cm3
13. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang 12 cm, 16 cm dan 20 cm. Jika tinggi prisma 30 cm, maka volume prisma tersebut adalah… A. 960 cm³ C. 2.880 cm³ B. 1.200 cm³ D. 3.600 cm³ Kunci Jawaban: C Alas segitiga, 12 cm, 16 cm, 20 cm tprisma = 30 cm Lalas =
1 1 × a × t = × 12 × 16 = 96 cm2 2 2
V = Lalas × tprisma = 96 × 30 = 2.880 cm3
14. Prisma alasnya berbentuk segitiga dengan panjang masing-masing sisinya
12 cm, 5 cm dan 13 cm, sedangkan tinggi prisma 10 cm. Volume prisma adalah… A. 130 cm³ C. 300 cm³ B. 200 cm³ D. 600 cm³ Kunci Jawaban: C Lalas =
1 1 × a × t = × 12 × 5 = 30 cm2 2 2
V = Lalas × tprisma = 30 × 10 = 300 cm3
B. Uraian 1. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal masing-masing 16 cm dan 12 cm dan tinggi prisma 12 cm. Luas permukaan prisma tersebut adalah… Penyelesaian: Alas prisma berbentuk belah ketupat, d1 = 16 cm, d2 = 12 cm tprisma = 12 cm Panjang sisi alas prisma 2
s
=
1 1 d1 d 2 2 2
=
1 1 16 12 2 2
=
82 62 =
2
L
3. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat dengan diagonal d1 dan d2. Perbandingan d1 : d2 = 2 : 3. Jika tinggi prisma 20 cm dan volume prisma 960 cm³, maka d2 =…
2
2
64 36
= 100 = 10 cm Kalas = 4 ×s = 4 × 10 = 40 cm Lalas =
Lalas = p × l = 18 × 10 = 180 cm2 Kalas = 2(p + l) = 2(18 + 10) = 56 cm L = (2 Lalas) + (Kalastprisma) = (2 180) + (56 30) = 360 + 1.680 = 2.040 cm2
1 1 ×d1×d2 = ×16×12 = 96 cm2 2 2
= (2 Lalas) + (Kalastprisma) = (2 96) + (40 12) = 192 + 480 = 672 cm²
2. Prisma tegak ABCD. EFGH beralaskan persegi panjang dengan AB = 18 cm dan BC = 10 cm. Bila AE = 30 cm, luas seluruh permukaan prisma adalah…
Penyelesaian: Alas berbentuk belah ketupat d1 : d2 = 2 : 3 maka d1 : d2 = 2x : 3x tprisma = 20 cm V = 960 cm³
V = Lalas× tprisma
1 × d1× d2 × 20 2 1 960 = × 2x× 3x × 20 2 960 =
960 = 60x2 x2 =
960 60
x2 = 16
x = 16 = 4 cm Maka: d2 = 3x = 3 × 4 = 12 cm
Penyelesaian:
4. Perhatikan gambar berikut! AB = p = 18 cm BC = l = 10 cm AE = t = 30 cm
Kolam renang berukuran panjang 50 m dan lebar 16 m. Kedalaman air pada ujung yang dangkal 1 m, terus melandai hingga pada ujung yang dalam 3 m seperti tampak pada gambar di atas ini. Volum air di dalam kolam adalah…
Penyelesaian: Alas segitiga sama kaki, Panjang kaki yang sama = 13 cm Panjang sisi yang lain = a = 10 cm tprisma = 15 cm tsegitiga
Penyelesaian: V = Lalas× tprisma =
3 1 50 2
× 16
200 = × 16 2 = 100 × 16 = 1.600 m³
5. Volume prisma yang alasnya segitiga sama kaki dengan panjang kaki yang sama 13 cm, panjang sisi yang lain 10 cm, tinggi prisma 15 cm adalah…
2
=
1 13 10 2
=
169 5 = 169 25
=
144 = 12 cm
2
2
1 × a×tsegitiga 2 1 = × 10× 12 = 60 cm2 2
Lalas =
V = Lalas× tprisma = 60 × 15 = 900 cm3
