Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar
FAKTORISASI BENTUK ALJABAR A. Pengertian Suku pada Bentuk Aljabar 1. Suku Tunggal dan Suku Banyak Bentuk-bentuk seperti 3a, –5a2b, 3a – 7, 4p2 – 9pq, 2x + 3y – 9, dan 2xy2 –7x2y + 4xy disebut Bentuk Aljabar. Bentuk aljabar terdiri atas beberapa suku, seperti : ⇒ suku satu 5a ⇒ suku dua 7p – 6pq 3 2 ⇒ suku empat a + 2a – 8ab + 13 3 2 6x + 4x y – 8x + 2y – 7x ⇒ suku lima 2. Suku-suku Sejenis Suatu suku dinamakan sejenis jika memiliki faktor variabel yang sama berbeda koefisien. Sejenis Bentuk aljabar :
15 x 2 − 7 x + 8 y + 3 xy − 3 x 2 + 6 y Sejenis
Contoh : 1. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut! a. 9a – 8 b. 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5 2. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut! a. 9k + 8m – 2km – 3k + 7km b. 8a2 + 9a2b – 11a2 + a2b + 12ab2 Penyelesaian : 1. a. Banyak suku pada 9a - 8 adalah 2, yaitu 9a dan – 8. b. Banyak suku pada 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5 adalah 4, yaitu 2x4, –3x3, 4x2, dan –5. 2. a. Suku-suku yang sejenis pada 9k + 8m – 2km – 3k + 7km adalah : (i) 9k dan –3k (ii) –2km dan 7km b. Suku-suku yang sejenis pada 8a2 + 9a2b – 11a2 + a2b + 12ab2 adalah : (i) 8a2 dan – 11a2 (ii) 9a2b dan a2b LATIHAN 1. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut! a. 5x + 3 b. 7a2 + 3b – 5 c. 7x4 – 8x3 + 3x2 d. –x3 + 2x2 +8x – 5 e. 12x5 + 5x3 +2x2 – 6 2. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut! a. 2x + 3y – 2 + 4y b. 3a2 + 4ab2 – 15a2b – a2 + 7a2b c. 2x2 + 3y2 – 16x2y + 9x2 – 20x2y d. 5k + 2m – 3 + 7k + 8m e. 2m2 + 5m2n – 11m2 + m2n + 4mn2 Penyelesaian : 1. a. Banyak suku pada 5x + 3 adalah 2, yaitu 5x dan 3. b. Banyak suku pada 7a2 + 3b – 5 adalah 3, yaitu 7a2, 3b, dan –5. c. Banyak suku pada 7x4 – 8x3 + 3x2 adalah 3, yaitu 7x4, –8x3, dan 3x2. d. Banyak suku pada –x3 + 2x2 +8x – 5 adalah 4, yaitu –x3, 2x2, 8x, dan –5. e. Banyak suku pada 12x5 + 5x3 +2x2 – 6 adalah 4, yaitu 12x5, 5x3, 2x2, dan – 6. 2. a. Suku-suku yang sejenis pada 2x + 3y – 2 + 4y adalah: 3y dan 4y NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar b. Suku-suku yang sejenis pada 3a2 + 4ab2 – 15a2b – a2 + 7a2b adalah: (i) 3a2 dan –a2 (ii) –15a2b dan 7a2b c. Suku-suku yang sejenis pada 2x2 + 3y2 – 16x2y + 9x2 – 20x2y adalah: (i) 2x2 dan 9x2 (ii) –16x2y dan –20x2y d. Suku-suku yang sejenis pada 5k + 2m – 3 + 7k + 8m adalah: (i) 5k dan 7k (ii) 2m dan 8m e. Suku-suku yang sejenis pada 2m2 + 5m2n – 11m2 + m2n + 4mn2 adalah: (i) 2m2 dan –11m2 (ii) 5m2n dan m2n B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku yang sejenis. Contoh : 1. Tentukan jumlah dari : a. 3a + 5 dan 7a – 6 b. 12x2 – 7x + 16 dan –8x2 + 3x – 13 2. Kurangkanlah : a. 12a – 7 dari –3a + 15 b. 14x2 + 5x – 4 dari 11x2 – 16x + 3 Penyelesaian : 1. a. (3a + 5) + (7a – 6) = 3a + 5 + 7a – 6 = 3a + 7a + 5 – 6 = 10a – 1 2 b. (12x – 7x + 16) + (–8x2 + 3x – 13) = 12x2 – 7x + 16 – 8x2 + 3x – 13 = 12x2 – 8x2 – 7x + 3x + 16 – 13 = 4x2 – 4x + 3 2. a. (–3a + 15) – (12a – 7) = –3a + 15 – 12a + 7 = –3a – 12a + 15 + 7 = –15a + 22 b. (11x2 – 16x + 3) – (14x2 + 5x – 4) = 11x2 – 16x + 3 – 14x2 – 5x + 4 = 11x2 – 14x2 – 16x – 5x + 3 + 4 = –3x2 – 21x + 7 LATIHAN 1. Tentukan jumlah dari : a. 7x + 8 dan – 9x – 3 b. 3k – 8l + 2m dan –8k + 3l – 12m c. 2p – 4q + 5r dan –6p + 3q – 15r d. 21x2 + 5x – 6 dan –15x2 + 6x – 10 e. 3k2m + 5k – mn2 dan –6k2m + 7mn2 – 12k 2. Kurangkanlah : a. –5a + 3 dari 4a – 6 b. 5p – 7q + 2r dari –p + 2q – 3r c. –9a + 3b – c dari –3a + 5b – 4c d. 6x2 + 3x – 2 dari –4x2 + 2x – 6 e. –8x2y + 3x – 5yz2 dari x2y – 2x + 3yz2 Penyelesaian : 1. a. (7x + 8) + (– 9x – 3) = 7x + 8 – 9x – 3 = 7x – 9x + 8– 3 = –2x + 5 b. (3k – 8l + 2m) + (–8k + 3l – 12m) = 3k – 8l + 2m – 8k + 3l – 12m = 3k – 8k – 8l + 3l + 2m – 12m NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar = c. (2p – 4q + 5r) + (–6p + 3q – 15r) = = = d. (21x2 + 5x – 6) + (–15x2 + 6x – 10) = = = 2 2 2 2 2 e. (3k m+5k–mn )+(–6k m+7mn –12k ) 2. a. b. c. d. e.
–5k – 5l – 10m 2p – 4q + 5r – 6p + 3q – 15r 2p – 6p – 4q + 3q + 5r – 15r –4p – q – 10r 21x2 + 5x – 6 – 15x2 + 6x – 10 21x2 – 15x2 + 5x + 6x – 6– 10 6x2 + 11x – 16 = 3k2m+5k – mn2 – 6k2m+7mn2 – 12k = 3k2m – 6k2m+5k – 12k – mn2+7mn2 = –3k2m – 7k + 6mn2 (4a – 6) – (–5a + 3) = 4a – 6 + 5a – 3 = 4a + 5a – 6 – 3 = 9a – 9 (–p + 2q – 3r) – (5p – 7q + 2r) = –p + 2q – 3r – 5p + 7q – 2r = –p – 5p + 2q + 7q – 3r – 2r = –6p + 9q – 5r (–3a + 5b – 4c) – (–9a + 3b – c) = –3a + 5b – 4c + 9a – 3b + c = –3a + 9a + 5b – 3b – 4c + c = –6a + 2b – 3c (–4x2 + 2x – 6) – (6x2 + 3x – 2) = –4x2 + 2x – 6 – 6x2 – 3x + 2 = –4x2 – 6x2 + 2x – 3x – 6 + 2 = –10x2 – x – 4 2 2 2 (x y – 2x + 3yz ) – (–8x y + 3x – 5yz2) = x2y – 2x + 3yz2 + 8x2y – 3x + 5yz2 = x2y + 8x2y – 2x – 3x + 3yz2 + 5yz2 = 9x2y – 5x + 8yz2
2. Perkalian Bentuk Aljabar Sifat Distributif :
a (b +c ) =(a ×b ) +(a ×c ) =ab +ac a (b −c ) =(a ×b ) −(a ×c ) =ab −ac
Contoh : Tentukan hasil perkalian dari : 1. 3(4x – 2) 2. (a + 2)(a + 2) 3. (x – 3)(x + 2) 4. 5a(3t – 2s + 7r) 5. (2x – 3y)(x + 2y – 3z) Penyelesaian : 1. 3(4x – 2) = 12x – 6 2. (a + 2)(a + 2) = a2 + 2a + 2a + 4 = a2 + 4a + 4 3. (x – 3)(x + 2) = x2 + 2x – 3x – 6 = x2–x – 6 4. 5a(3t – 2s + 7r) = 15at – 10as + 35ar 5. (2x – 3y)(x + 2y – 3z) = 2x2 + 4xy – 6xz – 3xy – 6y2 + 9yz = 2x2 – 6y2 + 4xy – 3xy – 6xz + 9yz = 2x2 – 6y2 + xy – 6xz + 9yz LATIHAN Tentukan hasil perkalian dari : 1. a(5a – 3) 2. (x + 3)(x – 5) 3. (10 – 3y)(5 + y) 4. 5a2(t + 7s – 3r) 5. (3a – b)(2a – 5b – c) Penyelesaian : 1. a(5a – 3) = 5a2 – 3a 2. (x + 3)(x – 5) = x2 – 5x + 3x – 15 = x2 – 2x – 15 3. (10 – 3y)(5 + y) = 50 + 10y – 15y – 3y2 = – 3y2 – 5y + 50 4. 5a2(t + 7s – 3r) = 5a 2t + 35a 2 s −15a 2 r 5. (3a – b)(2a – 5b – c) = 6a2 – 15ab – 3ac – 2ab + 5b2 + bc = 6a2 + 5b2 – 15ab – 2ab – 3ac + bc NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar = 6a2 + 5b2 – 17ab – 3ac + bc 3. Pembagian Bentuk Aljabar Contoh : Tentukan hasil pembagian dari : 1. 12x2 : 3x 2. 18a5b : (–3a2) 3. 48x7y2z : (–12x3y) 4. –x5y3 : (–xy4z) 5. 14a6b8 × (a2b3 : 7a-3b5) Penyelesaian : 1. 12x2 : 3 =
12 x 2 12 x 2 = 3x 3 x
= 4 x 2−1 = 4 x1 = 4 x
18a 5b 18 a 5 = 2. 18a b : (–3a ) = − 3a 2 − 3 a 2 5
2
b = −6a 3b 1
z = −4 x 4 yz 1 − x 5 y 3 − 1 x 5 y 3 1 x4 −1 4 1 1 = = 1 x = = x 4 ( yz ) 4. –x5y3 : (–xy4z) = 4 4 − xy z − 1 x y z y z yz
3. 48x7y2z : (–12x3y) =
5. 14a6b8
48 x 7 y 2 z 48 x 7 = − 12 x 3 y − 12 x 3
× (a2b3 : 7a-3b5)
y 2 y
a 2b 3 −3 5 7a b
6 8 = 14a b ×
1 a 2 b 3 6 8 = 14 a b × −3 5 7 a b 6 8 1 5 1 = 14a b × a 2 b 7
( )
a5 6 8 14 a b × = 7b 2
14a11b 8 = 2a11b5 = 2 7b
LATIHAN Tentukan hasil pembagian dari : 1. 15ab : 3a 2. 36x2y4 : (–3x3) 3. 20p5qr3 : (–4p3q3) 4. –a-2b : (–ab2c-1) 5. 21m4n3 × (2m2n : 4m-5n3) Penyelesaian : 15ab 15 a b = = 5b 3a 3 a 1 2 36 x 2 y 4 36 x 2 4 3 3 2. 36x y : (–3x ) = = − 3 x −3x 3
1. 15ab : 3a =
3. 20p5qr3 : (–4p3q3) =
y 4 1
12 y 4 1 = −12 y 4 = − = −12 x −1 y 4 x x
20 p 5 qr 3 − 4 p 3q 3
5 3 20 p q r = 3 3 − 4 p q 1 5 p 2r 3 2 1 3 = − 5 p 2 r = − = –5p2q-2r3 2 q q
4. –a-2b : (–ab2c-1)
− a −2b − ab 2 c −1 −2 −1 a b 1 2 −1 = −1 a b c
=
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar 1 2 1 1 c 1 1 = 1 a = 3 c = 3 = a-3b-1c a b a b 1 a b c 5. 21m4n3
2m 2 n −5 3 4m n
× (2m2n : 4m-5n3)
4 3 = 21m n ×
2 m 2 n 4 3 −5 3 21 m n × = 4 m n m2 1 4 3 21 m n × = 2 1 5 m
1 2 n
4 3 1 7 1 = 21m n × m 2 2 n
m7 2 2n
4 3 = 21m n ×
11 3 11 = 21m n = 21m n 2 2n 2
4. Pemangkatan Bentuk Aljabar a. Arti Pemangkatan Bentuk Aljabar Pemangkatan suatu bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan a, maka a2 = a × a a m ×a n =a m +n
Sifat Pemangkatan :
a m : a n =a m −n
(a ) m
n
=a m ×n
Contoh : Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut! 1. (3a)2 2. (2ab)3 3. (–7x3)3 4. (–xy2z4)6 5. –(8x2y3)2 Penyelesaian : 1. (3a)2 = (3a) × (3a) = 9a2 2. (2ab)3 = (2ab) × (2ab) × (2ab) = 8a3b3 3. (–7x3)3 = (–7x3) × (–7x3) × (–7x3) = 343x9 4. (–xy2z4)6 = x6y12z24 5. –(8x2y3)2 = –64x4y6 b. Pemangkatan Suku Dua (a + b)2 = (a + b) × (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = (a + b) × (a + b) × (a + b) = (a2 + 2ab + b2) × (a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Dalam menentukan hasil pemangkatan suku dua, koefisien dari suku-sukunya dapat diperoleh dari bilangan yang terdapat pada segitiga Pascal.
( a + b)1 ⇒ ( a + b) 2 ⇒ ( a + b) 3 ⇒ ( a + b) 4 ⇒ NURFARISYAH, ( a + b ) 5S.Pd ⇒1
1 1 1 1
1 2
3 4
5 10 NIP. 19871204 201001 2 013
⇒ a +b
1 3
6
⇒ a 2 + 2ab + b 2 1
1 ⇒ a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4
4 10
⇒ a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
5
1 ⇒ a 5 + 5a 4b +10a 3b 2 + 10a 2b 3 + 5ab 4 + b 5
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar
Jadi, (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Contoh : Tentukan hasil perpangkatan berikut! 1. (3a + b)2 2. (2x – 5)3 3. (2x – 3y)4 4. (a + b + c)2 5. (2a – b + 3c)2 Penyelesaian : 1. (3a + b)2 = (3a)2 + 2(3a)(b) + (b)2 = 9a2 + 6ab + b2 2. (2x – 5)3 = [2x + (–5)]3 = (2x)3 + 3(2x)2(–5) + 3(2x)(–5)2 + (–5)3 = 8x3 + 3(4x2)(–5) + 3(2x)(25) + (–125)3 = 8x3 – 60x2 + 150x – 125 4 3. (2x – 3y) = [2x + (–3y)]4 = (2x)4 + 4(2x)3(–3y) + 6(2x)2(–3y)2 + 4(2x)(–3y)3 + (–3y)4 = 16x4 + 4(8x3)(–3y) + 6(4x2)(9y2) + 4(2x)(–27y3) + (81y4) = 16x4 – 96x3y + 216x2y2 – 216xy3 + 81y4 2 4. (a + b + c) = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)(c) + (c)2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 5. (2a – b + 3c)2 = [(2a – b) + 3c ]2 = (2a – b)2 + 2(2a – b)(3c) + (3c)2 = [2a + (–b)]2 + 6c(2a – b) + 9c2 = [(2a)2 + 2(2a)(–b) + (–b)2] + 6c(2a – b) + 9c2 = 4a2 – 4ab + b2 + 12ac – 6bc + 9c2 = 4a2 + b2 + 9c2 – 4ab + 12ac – 6bc LATIHAN Tentukan hasil perpangkatan berikut! 1. –(3a3b-4)-4 2. (p + 5)2 3. (4x – 3y)3 4. (a – b + c)2 5. (3a – 2b – c)2 Penyelesaian : b16 b16 1 1 16 3 -4 -4 -4 -12 16 1. –(3a b ) = –[(3 )a b ] = − 4 12 b = − 4 12 = − 12 3 a 81 a 3 a 2. (p + 5)2 = (p)2 + 2(p)(5) + (5)2 = p2 + 10p + 25 3. (4x – 3y)3 = [4x + (–3y)]3 = (4x)3 + 3(4x)2(–3y) + 3(4x)(–3y)2 + (–3y)3 = 64x3 + 3(16x2)(–3y) + 3(4x)(9y2) + (–27y3) = 64x3 – 144x2y + 108xy2 – 27y3 4. (a – b + c)2 = [(a – b) + c]2 = (a – b)2 + 2(a – b)(c) + (c)2 = (a – b)2 + 2c(a – b) + c2 = a2 – 2ab + b2 + 2ac – 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc 5. (3a – 2b – c)2 = [(3a – 2b) – c ]2 = [(3a – 2b) + (–c)]2 = (3a – 2b)2 + 2(3a – 2b)(–c) + (–c)2 = [(3a) + (–2b)]2 – 2c(3a – 2b) + c2 NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar = [(3a) + 2(3a)(–2b) + (–2b)2] – 2c(3a – 2b) + c2 = 9a2 – 12ab + 4b2 – 6ac + 4bc + c2 = 9a2 + 4b2 + c2 – 12ab – 6ac + 4bc C. Faktorisasi Bentuk Aljabar 1. Faktorisasi dengan Sifat Distributif Faktorisasi (pemfaktoran) adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distirbutif. ab + ac = a ( b + c ) faktor faktor Contoh : Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! 1. 4a + 8 2. 9p3 – 18p5 3. p(p + q) – 2q(p + q) 4. 4x2y + 6xy – 8x2y2 5. 2a – 2b + ac – bc 6. px + py – qx – qy Penyelesaian : 1. 4a dan 8 memiliki FPB = 4, maka : 4a + 8 = 4(a) + 4(2) = 4(a + 2) 3 2. 9p dan 18p5 memiliki FPB = 9p3, maka : 9p3 – 18p5 = 9p3(1) – 9p3(2p2) = 9p3(1 – 2p2) 3. p, 2q, dan (p + q) memiliki FPB = (p + q), maka : p(p + q) – 2q(p + q) = (p + q)(p – 2q) 4. 4x2y, 6xy, dan –8x2y2 memiliki FPB = 2xy 4x2y + 6xy – 8x2y2 = 2xy(2x) + 2xy(3y) – 2xy(4xy) = 2xy(2x + 3y – 4xy) 5. 2a – 2b + ac – bc = 2(a – b) + c(a – b) = (a – b)(2 + c) 6. px + py – qx – qy = p(x + y) – q(x + y) = (p – q)(x + y) LATIHAN : Faktorkanlah! 1. 12a – 4 6. 18x2y – 12xy2 3 2 2. 8a + 24a 7. a(x – y) + b(x – y) 3. a(x + y) + 4(x + y) 8. 18a2bc – 3ab2c – 27abc2 2 4. 8p + 12pq – 16pr 9. a2 – ax + ay – xy 5. p2 + pq – qr – pr 10. 2px – 2qx + py – qy Penyelesaian : 1. 12a – 4 = 4(3a) – 4(1) = 4(3a – 1) 3 2. 8a + 24a2 = 8a2(a) + 8a2(3) = 8a2(a + 3) 3. a(x + y) + 4(x + y) = (a + 4)(x + y) 4. 8p2 + 12pq – 16pr = 4p(2p) + 4p(3q) – 4p(4r) = 4p(2p + 3q – 4r) 5. p2 + pq – qr – pr = (p2 + pq) – (qr + pr) = p(p + q) – r(p + q) = (p – r)(p + q) 6. 18x2y – 12xy2 = 6xy(3x) – 6xy(2y) = 6xy(3x – 2y) NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar 7. a(x – y) + b(x – y) = (a + b)(x – y) 8. 18a2bc – 3ab2c – 27abc = 3abc(6a) – 3abc(b) – 3abc(9c) = 3abc(6a – b – 9c) 2 9. a – ax + ay – xy = a(a – x) + y(a – x) = (a + y)(a – x) 10. 2px – 2qx + py – qy = (2px – 2qx) + (py – qy) = 2x(p – q) + y(p – q) = (2x – y)(p – q) 2. Faktorisasi Bentuk a2 + 2ab + b2 dan a2 – 2ab + b2 Ingat! (a +b )2 =a 2 +2ab +b 2 (a −b )2 =a 2 −2ab +b 2
Contoh : 1. (x + 3)2 = (x)2 + 2(x)(3) + (3)2 = x2 + 6x + 9 2 2. a + 10a + 25 = (a)2 + 2(a)(5) + (5)2 =(a + 5)2 3. x2 – 18x + 81 = (x)2 – 2(x)(9) + (9)2 = (x – 9)2 4. 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2(2a)(3b) + (3b)2 = (2a + 3b)2 5. 16x2 – 56xy + 49y2 = (4x)2 – 2(4x)(7y) + (7y)2 = (4x – 7y)2 LATIHAN : Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. x2 + 14x + 49 2. a2 – 8a + 16 3. 9x2 + 6x + 1 4. m2 – 10mn + 25n2 5. x4 + 24x2 + 144 Penyelesaian : 1. x2 + 14x + 49 = (x)2 + 2(x)(7) + (7)2 = (x + 7)2 2 2. a – 8a + 16 = (a)2 – 2(a)(4) + (4)2 = (a – 4)2 2 3. 9x + 6x + 1 = (3x)2 + 2(3x)(1) + (1)2 = (3x + 1)2 4. m2 – 10mn + 25n2 = (m)2 – 2(m)(5n) + (5n)2 = (m – 5n)2 5. x4 + 24x2 + 144 = (x2)2 + 2(x2)(12) + (12)2 = (x2 + 12)2
3. Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab + b2 = a2 – b2 Jadi, (a + b)(a – b) = a2 – b2 Contoh : Faktorkan bentuk aljabar berikut! 1. a2 – 4 2. 4a2 – 25 3. x4 – 16y4 4. 3x4 – 243 5. 25x2 – (x – y)2 NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar Penyelesaian : 1. a2 – 4 = [(a)2 – (2)2] = (a + 2)(a – 2) 2 2. 4a – 25 = [(2a)2 – (5)2] = (2a + 5)(2a – 5) 4 4 3. x – 16y = [(x2)2 – (4y2)2] = (x2 + 4y2)(x2 – 4y2) = (x2 + 4y2)[(x)2 – (2y)2] = (x2 + 4y2)(x + 2y)(x – 2y) 4 4. 3x – 243 = 3(x4 – 81) = 3[(x2)2 – (9)2] = 3(x2 + 9)(x2 – 9) = 3(x2 + 9)[(x)2 – (3)2] = 3(x2 + 9)(x + 3)(x – 3) 5. 25x2 – (x – y)2 = [(5x)2 – (x – y)2] = [5x + (x – y)][5x – (x – y)] = (5x + x – y)(5x – x + y) = (6x – y)(4x + y) LATIHAN Faktorkan bentuk aljabar berikut! 1. a2 – 52 2. 64m2 – 16 3. a2b2 – 16c2 4. 2m4 – 32n4 5. 25a2 – 9(a + b)2 Penyelesaian : 1. a2 – 52 = [(a)2 – (5)2] = (a + 5)(a – 5) 2. 64m2 – 16 = [(8m)2 – (4)2] = (8m + 4)(8m – 4) 3. a2b2 – 16c2 = [(ab)2 – (4c)2] = (ab + 4c)(ab – 4c) 4. 2m4 – 32n4 = 2(m4 – 16n4) = 2[(m2)2 – (4n2)2] = 2(m2 + 4n2)(m2 – 4n2) = 2(m2 + 4n2)[(m)2 – (2n)2] = 2(m2 + 4n2)(m + 2n)(m – 2n) 2 5. 25a – 9(a + b)2 = [(5a)2 – (3(a + b))2] = [5a + 3(a + b)][5a – 3(a + b)] = (5a + 3a + 3b)(5a – 3a – 3b) = (8a + 3b)(2a – 3b)
4. Faktorisasi Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1 Faktorisasi (pemfaktoran) bentuk ax2 + bx + c adalah : x2 + bx + c = (x + p)(x + q) Dengan syarat c = p × q dan b = p + q Contoh : Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. x2 + 10x + 16 2. x2 + 2x – 48 3. p2 – 9pq – 10q2 4. 18 + 11y + y2 5. m2 – 12mn – 45n2 Penyelesaian : NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar 1. x2 + 10x + 16 = (x + 2)(x + 8) c = p ×q a= 1 b= 10 c= 16
16 = 1× 16 16 =2× 8 16 =4 ×4
2. x 2 +2 x −48 = ( x −6 )( x +8) c = p ×q a= 1
3.
4.
5.
b =p +q 10 ≠ 1+ 16 10 =2 +8 10 ≠4 +4
b =p +q b =2 −48 =1×( −48 ) 2 ≠1 +( −48) c =−48 −48 =( −1) ×48 2 ≠( −1) +48 −48 =2 ×( −24 ) 2 ≠2 +( −24 ) −48 =( −2 ) ×24 2 ≠( −2 ) +24 −48 =6 ×( −8 ) 2 ≠6 +( −8) −48 =( −6 )×8 2 =( −6 ) +8 2 2 ( p +q )( p −10q ) p −9 pq −10q = c = p ×q a= 1 b =p +q b =−9 −10 =1×( − 10 ) −9 =1 +( − 10 ) c =−10 −10 =( −1) ×10 −9 ≠( −1) +10 −10 =2 ×( −5) −9 ≠2 +( −5) −10 =( −2 ) ×5 −9 ≠( −2 ) +10 2 18 +11 y +y = (9 + y )( 2 + y ) c = p ×q a= 1 b =p +q b= 11 18 = 1× 18 11 ≠1 +18 c= 18 18 =( −1) ×( −18) 1 ≠( −1) +( −18) 18 =2 × 11 =2 + 9 9 18 =( −2 ) ×( −9 ) 11 ≠( − 2 ) +( −9 ) 18 =6 ×3 11 ≠6 +3 18 =( −6 ) ×( −3) 11 =( −6 ) +( −3) 2 m −12mn −45n 2 = ( m +3n )( m −15b ) c = p ×q a= 1 b =p +q b =−12 −45 =1×( −45 ) −12 ≠1 +( −45) c =−45 −45 =( −1) ×45 −12 ≠( −1) + 45
−45 =3 ×( − 15) −45 =( −3) ×15 −45 =5 ×( −9 ) −45 =( −5) ×9
−12 =3 +( −15 ) −12 ≠( − 3) +15 −12 ≠5 +( −9 ) −12 ≠ ( − 5) +9
LATIHAN Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. a 2 +4a +3 2. m 2 −8m −20 3. x 2 −13 xy +36 y 2 4. −76 −40b −b 2 5. ax 2 +15ax −16a 2 Penyelesaian : 1. a 2 +4a +3 = ( a +3)( a +1) 2. m 2 −8m −20 = ( m −10 )( m +2 ) 3. x 2 −13 xy +36 y 2 = ( x −4 y )( x −9 y ) 4. −76 −40b −b 2 = ( 2 +b )( −38 −b ) a ( x 2 +15 x −16 ) 5. ax 2 +15ax −16a = = a ( x −1)( x +16 ) 5. Faktorisasi Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 Catatan : (k ×l )(m ×n ) ax 2 +bx +c = NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar Suku ke-1 = ax 2 Didapat dari hasil perkalian k dengan m Suku ke-2 = bx Didapat dari hasil perkalian l dengan n Suku ke-3 = c Didapat dari hasil penjumlahan l dengan n Contoh : Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. 6 x 2 −11x +3 2. 8 x 2 −26 x +15 3. 10 x 2 +53 xy +15 y 2 4. 12m 2 −17 mn −5n 2 5. 3 x 2 + 5 x − 12 Penyelesaian : 1. 6 x 2 −11x +3 = ( 2 x −3)(3 x −1) = 6 x 2 −2 x −9 x +3 = 6 x 2 −11x +3 ( 4 x −3)( 2 x −5) 2. 8 x 2 −26 x +15 = 2 8 x − 20 x −6 x +15 = 2 = 8 x −26 x +15 2 (10 x +3 y )( x +5 y ) 3. 10 x +53 xy +15 y 2 = 2 = 10 x +50 xy +3 xy +15 y 2 = 10 x 2 +53 xy +15 y 2 (3m −5n )( 4m +n ) 4. 12m 2 −17 mn −5n 2 = = 20mn +3mn −20mn −5n 2 = 12m 2 −17 mn −5n 2 5. 3 x 2 + 5 x − 12 = (3 x −4 )( x +3) = 3 x 2 +9 x −4 x −12 = 3 x 2 +5 x −12 LATIHAN Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. 6a 2 +13a +6 2. 2m 2 −7 m +3 3. 15 −7 x −2 x 2 4. 8 p 2 +7 pq −15q 2 5. 15 x 2 −11xy −12 y 2 Penyelesaian : ( a +3)( a +1) 1. 6a 2 +13a +6 = 2 ( m −10 )( m +2 ) 2. 2m −7 m +3 = 2 ( x −4 y )( x −9 y ) 3. 15 −7 x −2 x = 2 2 ( 2 +b )( −38 −b ) 8 p + 7 pq − 15 q 4. = 2 2 5. 15 x −11xy −12 y = a ( x 2 +15 x −16) = a ( x −1)( x +16 ) D. Operasi Pecahan Bentuk Aljabar 1. Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar Pecahan yang pembilangnya atau penyebutnya atau kedua-duanya berbentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Contoh : ax −a
a ( x −1)
a
1. x 2 −x = x ( x −1) = x 4( a −3b ) 4a −12b a −3b 2. = = 4( 2 ) 8 2 NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar
x ( x +4 ) x ( x +4)( x −4) = x −4 ( x +3)( x −2 ) x −2 x 2 +x −6 4. = = 2 2 x( x +3) 2 x +6 x 2x − ( x + 2 ) −1 1 2−x −x+2 5. 2 = 2 = = − 2 = ( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x − 2) x −4 x −2
3.
x 2 +4 x = x 2 −16
(
)(
)
x 2 −1 x 2 +1 x 4 −1 x 4 − 14 ( x 2 + 1) = − ( x 2 + 1) 6. = = = − 2 x 2 −1 −2 2 2 − 2x 2 − 2x 2 + 2 2 ( m − 1)( m − 2) ( m −1)( m − 2) ( m −1) − ( m −1) m − 3m + 2 7. = = = = = − m +1 − ( m − 2) −m +2 −1 2−m ( 3x − 2 y )( x + 4 y ) ( x + 4 y) 3 x 2 + 10 xy − 8 y 2 8. = 2 2 = 6 x −13xy + 6 y ( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) ( 2 x − 3 y ) LATIHAN Sederhanakan bentuk aljabar berikut!
1. 2.
(
x2 xy
)
5.
6m 2 − 9mn 3 2 a + 4ab a 16m 2 + 24m 8m
6.
2a 4ab + 6bc
4m − 4n m 2 − mn
7.
x−y x2 − y2
8.
4a 2 − 9 2a + 3
15.
4m 2 − 9 3 + 2m
x 2 + xy −12 y 2 10. x 2 −16 y 2
16.
x 2 −16 y 2 8 y −2x
x 2 − 6 xy + 9 y 2 11. x 2 − 3 xy
17.
1− a2 a2 + a − 2
x 2 − 5x + 6 12. 2 x 2 + x − 10
18.
x 2 + x − 56 7−x
13.
19.
2m 2 + 3m − 9 m2 − 9
20.
2 x 2 −10 x + 8 4−x
3. 4. 9.
14.
m+2 2 m + 8m + 12
3a −3b b −a
3−a a2 −9
Penyelesaian : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
x.x x x2 = xy = y xy
(
)
3 2m 2 − 3mn 6m 2 − 9mn = = 2m 2 −3mn 3 3 2 ( ) a a + 4 b a + 4ab = = a + 4b a a 8m ( 2 m + 3) 16m 2 + 24m = = 2m + 3 8m 8m 2.a a 2a = = 2( 2ab + 3bc ) ( 2ab + 3bc ) 4ab + 6bc 4( m − n ) 4m − 4n 4 = = 2 m( m − n ) m m − mn x−y ( x − y) 1 = x2 − y2 ( x − y )( x + y ) = ( x + y ) ( 2a + 3)( 2a − 3) 4a 2 − 9 = = ( 2 a − 3) ( 2 a + 3) 2a + 3
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar
( m + 2) 1 m+2 = = 2 ( m + 6) ( m + 2 )( m + 6 ) m + 8m + 12 2 2 ( x − 3 y )( x + 4 y ) ( x − 3 y ) x + xy −12 y 10. = 2 2 x −16 y ( x − 4 y )( x + 4 y ) = ( x − 4 y ) ( x − 3 y )( x − 3 y ) ( x − 3 y ) x 2 − 6 xy + 9 y 2 3y 11. = = = 1− 2 x − 3 xy x( x − 3 y ) x x 2 ( x − 2)( x − 3) ( x − 3) x − 5x + 6 12. = = ( x − 2)( 2 x + 5) ( 2 x + 5) 2 x 2 + x − 10 9.
13.
3a −3b b −a
14.
3−a a2 −9
15.
4m 2 − 9 3 + 2m
16.
x 2 −16 y 2 8 y −2x
17.
1− a2 a2 + a − 2
18.
x 2 + x − 56 7−x
19.
2m 2 + 3m − 9 m2 − 9
20.
2 x 2 −10 x + 8 4−x
2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar Catatan : Sebelum menjumlah atau mengurangkan suatu pecahan bentuk aljabar maka terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan mencari KPK. Contoh : 1. 2. 3.
4.
3a a 2a a +2a + = = = a 3 3 3 3 4( 2 x ) +3( 7 x ) 2x 7x 8 x +21x 29x + = = = 3 4 12 12 12 2 x −1 2( 2 x +1) 2 x −1 4 x +2 − − = 4 3 4 3 3( 2 x −1) −4( 4 x +2 ) = 12 6 x −3 −16 x −8 = 12 −10 x −11 = 12 3( x −3) +2( x −10 ) 3 2 + = x −10 x −3 ( x −10)( x −3) 3 x −9 +2 x −20 = ( x −10 )( x −3) 5 x −29 = ( x −10 )( x −3)
LATIHAN Sederhanakan bentuk aljabar berikut! 1. 2.
2x x + 3 3 4 3 − 7m 7m
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
3. 4.
3 4 + a b 5a 4b − 3 5
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar 5.
9.
1−
2 3x
6.
x +1 y
7.
a+
8.
3m −a n
a + 1 3a − 2 + 4 5 7 7 − 14. 2a a − 3 2 4 + 15. m −3 m +5 3 2 − 16. a −b a +b
13.
b 3c
1 1 1 + − x y z
2x
2a 2b 2c − + 3 6 4 m m −n + 11. 4 3 1 2 − 12. a a −b
10.
18.
2. 3. 4. 5.
2x x + 3 3 4 3 − 7m 7m 3 4 + a b 5a 4b − 3 5 2 1− 3x
6.
x +1 y
7.
a+
8.
3m −a n
9.
1 1 1 + − x y z
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
b 3c
2a 2b 2c − + 3 6 4 m m −n + 4 3 1 2 − a a −b a + 1 3a − 2 + 4 5 7 7 − 2a a − 3 2 4 + m −3 m +5 3 2 − a −b a +b 2x
x
17. x − y + x + y 18. 19.
a +b 6a − 3a a −b
1 m+3 + 2 m−2 m −4 a+4 2 − 20. 2 a −9 a +3
19.
Penyelesaian : 1.
x
17. x − y + x + y
a +b 6a − 3a a −b
1 m+3 + 2 m−2 m −4
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar 20.
a+4 2 − 2 a −9 a +3
3. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar Contoh : 1.
a 3b × b b +2
2.
a 2 −9 a × a a +3
3. 4.
3ab
3a
= b(b +2 ) = b +2
a ( a +3)( a − 3) a (a 2 − 9 ) ( a − 3) a −3 = = = a ( a +3) a ( a +3) 1 a ( a − 3) ( a − 3) a 2a a a −3 a −3 : × = = = = a +2 a −3 a +2 2a 2a +4 2( a +2 ) 2 a ( a +2 )
=
a 2 − 4 a 2 − 4a + 4 : 2a a2
=
a2 − 4 2a × 2 2 a a − 4a +4
2a ( a 2 − 4 ) = a 2 ( a 2 − 4a +4 ) 2a ( a +2 )( a − 2 ) = a 2 ( a − 2 )( a − 2 ) 2( a +2 ) a( a − 2) 2a +4 = a 2 − 2a
=
LATIHAN Tentukan hasil perkalian dan pembagian bentuk aljabar berikut sampai paling sederhana! 1. 2. 3. 4.
9 m +3 × 2m + 4 3
8 x × x + 4x 4 2
12 a2 −9 × a +3 6 2 m m 2 + 4m − 12 × m −2 2m
3m 2 + 12m m − 6 × m 2 + m − 42 m + 4 m 2 − 49 m−2 6. × 2 m + 10m − 24 m + 7 2a 2 a 2 − 6a − 12 7. × a a 2 − 36 2 2a − 10a 7a 2 8. × 2 7a a − 25 5x 2 x 2 − 8x 9. × 10 x x 2 − 8 x + 16 2 a − 16 5a 10. × 2 2 a a − 2a − 24
5.
Penyelesaian : 1.
9 m +3 × 2m + 4 3
2.
8 x × x + 4x 4
3.
12 a2 −9 × a +3 6
2
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
a 3a : a −5 a + 4 4 x + 12 x + 3 : 12. 8 4
11.
13.
5 10 : m − 3m m − 3 2
a 2 − 36 a + 6 : b 2b m 2 + m − 12 m − 3 : 15. 12m 4m
14.
4a 2 + 12a a + 3 : a 2 − 8a + 12 a − 2 m 2 − 25 m−5 17. : 2 m − 2m − 48 m + 6
16.
18.
y 2 − 4 y − 32 2 y 2 + 8 y : 3y 6y2
19.
3b 2 −12b b 2 −16 : 5b 10b
20.
m 2 − 10m + 24 m 2 − 36 : 3m 6m 2 − 24
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar 4.
m2 m 2 + 4m − 12 × m −2 2m
3m 2 + 12m m − 6 × m 2 + m − 42 m + 4 m 2 − 49 m−2 6. × 2 m + 10m − 24 m + 7 2a 2 a 2 − 6a − 12 7. × a a 2 − 36 2a 2 − 10a 7a 2 8. × 2 7a a − 25 5x 2 x 2 − 8x 9. × 10 x x 2 − 8 x + 16 a 2 − 16 5a 10. × 2 a2 a − 2a − 24
5.
a 3a : a −5 a + 4 4 x + 12 x + 3 : 12. 8 4
11.
13.
5 10 : m − 3m m − 3 2
a 2 − 36 a + 6 : b 2b m 2 + m − 12 m − 3 : 15. 12m 4m
14.
4a 2 + 12a a + 3 : a 2 − 8a + 12 a − 2 m 2 − 25 m−5 17. : 2 m − 2m − 48 m + 6
16.
18.
y 2 − 4 y − 32 2 y 2 + 8 y : 3y 6y2
19.
3b 2 −12b b 2 −16 : 5b 10b
20.
m 2 − 10m + 24 m 2 − 36 : 3m 6m 2 − 24
4. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar Bersusun (Suplemen) Suatu pecahan yang pembilang atau penyebut atau kedua-duanya memuat pecahan disebut pecahan bersusun. Misalnya : 1 1 1 1+ + a a b atau a b − a2 − b b a Contoh : Sederhanakan pecahan-pecahan berikut! 1 1 121 + 1+ 3 12 + 4 16 16 1 3 = 1. = = = − = −5 1 3 6 −9 −3 3 3 1 3 − 12 − 2 4 2 4 1 1 a 2 + 3 +3 a (1 + 3a ) a a + 3a 2 a a 2. = = = = 1 (1 − 3a )(1 + 3a ) (1 − 3a ) 1 1 − 9a 2 −9 a2 2 − 9 2 a a NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas VIII Semester 1 Faktorisasi Bentuk Aljabar LATIHAN Sederhanakanlah! 1 1 + 2 6 1. 1 1− 3 1 m− 2 2. 1 m+ 4 1 1+ m 3. 1 1− m
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
