Faktorisasi Bentuk Aljabar

Publikasi Maryono,S.Pd. di https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono

2013

Kumpulan soal-soal ulangan harian dan pembahasaannya

Faktorisasi Bentuk Aljabar Satuan Pendidikan Bidang Study Kelas / Semester

: SMP. N 2 Jatipuro : MATEMATIKA : VIII / I

1. STANDAR KOMPETENSI Memahami bentuk aljabar. 2. KOMPETENSI DASAR 1.1 Melakukan operasi aljabar 1.2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya 3. INDIKATOR 1 Menyelesaikan operasi tambah dan kurang pada bentuk aljabar. 2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya 3 Menentukan faktor suku aljabar 4 Menyelesaikan operasi kali, bagi dan pangkat pada bentuk aljabar 4. TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Peserta didik dapat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dan pecahan bersusun 2. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. 3. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan pecahan bentuk aljabar. 4. Peserta didik dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya (memfaktorkan bentuk aljabar). 5. TOPIK MATERI : FAKTORISASI SUKU ALJABAR 1 Pengertian Suku pada Bentuk Aljabar 2 Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar 3 Faktorisasi Bentuk Aljabar 4 Operasi Pecahan dalam Bentuk Aljabar 6. URAIAN MATERI AJAR A. PENGERTIAN SUKU PADA BENTUK ALJABAR 1.1 Suku Tunggal dan Suku Banyak Contoh bentuk Aljabar Suku Satu atau Suku Tunggal  4a  -5a2b  5c  -2pq  -pq  2p2q2 Contoh bentuk Aljabar Suku Banyak  2q + 5 suku dua  7p2 – 2pq ( binom )  2a + 5ab + 7 suku tiga (trinom)  P3 + 2p2q + 2pq2 – 7q suku empat  2x3 – 3x2y – 5x + 8y – 7y2 suku lima 1. 2 Suku-suku Sejenis Pada 2x, 2 disebut koofisien dan x disebut variabel (peubah) Perhatikan bentuk aljabar berikut ini ! 13x2 – 9x +6xy – 8y – 3x2 + 5y Bentuk aljabar diatas terdiri dari 6 suku, yaitu 13x2 , 9x, 6xy, 8y, 3x2 dan 5y, dan memiliki suku-suku sejenis, yaitu : i) 13x2 dan -3x2 ii) -8y dan 5y 1


2013


Suku-suku dikatakan sejenis apabila memiliki variabel yang sama dengan pangkat yang sama juga. Dengan kata lain, suku sejenis memiliki perbedaan hanya pada koofisienya saja.

Suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar memiliki variabel-variabel yang sama dan pangkat dari masing-masing variabel juga sama

B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR 1. Penjumlahan dan pengurangan Bentuk Aljabar Untuk menentukan penjumlahan dan pengurangan pada bentuk Aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut ini : a Suku-suku sejenis b Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan, yaitu : i) ab + ac = a (b + c) atau a (b + c) = ab + ac ii) ab – ac = a (b – c) atau a(b – c) = ab - ac c Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu : i) Hasil perkalian dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif. ii) Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. iii) Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.

Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku yang sejenis Contoh : 1. Sederhanakan bentuk aljabar 5x + 6x – 9x 2. Tentukan hasi penjumlahan dari 12x2 – 9x + 6 dan -7x2 + 8x – 14 3. Kurangkanlah 5x – 3 dan 9x – 6 Jawab : 1 5x + 6x – 9x = (5 + 6 – 9)x = 2x 2 Penjumlahan dari 12x2 – 9x + 6 dan -7x2 + 8x – 14 (12x2 – 9x + 6) + (-7x2 + 8x – 14) = 12x2 – 9x + 6 -7x2 + 8x – 14 =12x2 -7x2 – 9x + 8x + 6 – 14 = 5x2 – x – 8 3 Pengurangan 5x – 3 dan 9x – 6 (5x – 3) – (9x – 6) = 5x – 3 - 9x + 6 = 5x – 9x – 3 + 6 = - 4x + 3

Latihan 1 1) Tentukan banyak suku dan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar berikut ! a) 6a + 3a – 5a Jawab :

2


2013


2)

3)

4)

5)

............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .. b) 5x3 + y2 – 6y2 – 2x3 Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .. Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini ! a) -15p + 6p - 17p Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ......... b) 3y2 + 7y – 6y2 – 10y Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ......... Sederhanakanlah bentuk – bentuk Aljabar berikut ini ! a) 15x – 3(x – 7) Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ....................................... b) a(a + 2b) + 4a(a + b) Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ...................................... Tentukan jumlah dari : a) 2a – 7b dan -4a + 5b Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................... b) 5x2 – 6y + 3 dan -2x2 + 7y – 5 Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ................................................................................................................. Kurangkanlah : a) 6a – 5 dari 7a + 3 Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ....................................... b) -3(4y2 - 2y +5) dari 2(y2 + 2y + 2) Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 3


2013


............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................

2. Perkalian Bentuk Aljabar Perkalian bentuk Aljabar erat kaitanya dengan “faktorisasi Aljabar” yang akan dibahas pada bahasan berikutnya. Perkalian suku dua dan suku banyak yang perlu diingat kembali meliputi materi-materi berikut ini : 1.

Contoh Soal :

x (x + k) = x(x) + x(k) = x2 + kx 2. x (x + y + k) = x(x) + x(y) + x(k) 2 = x + xy +kx 3. (x + p)(x + q) = x(x) + x(q) + p(x) + p(q) = x2 + (p + q)x + pq 4. (x + p)(x + q + r) = x(x) + x(q) + x(r) + p(x) + p(q) + p(r) 2 = x + xq + xr + px + pq + pr

Tentukanlah hasil perkalian bentuk aljabar berikut ini ! 1 (x + 2)(x + 3) 2 (2x + 3)(x2 + 2x - 5) Jawab : 1 (x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 2 2 (2x + 3)(x + 2x - 5) (2x + 3)(x2 + 2x - 5) = 2x (x2 + 2x - 5) + 3(x2 + 2x - 5) = 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15 = 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15 = 2x3 + 7x2 – 4x – 15

Latihan 2 Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut ini ! 1. 4a(2a – 5ab) Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ................................................ 2. -2p (x2 + 2x) Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ................................................................................................................. 3. (3p – 7)(p – 3) Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ................................................................................................................. 4. (a – 3)(a2 + 4a + 5) Jawab : 4


2013


................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................ 5. 3y(4xy – 4yz) Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................... 3. Pembagian Bentuk Aljabar Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar terlebih dahulu kita tentukan faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.

\

Untuk bilangan bulat a dengan pangkat m dan n selalu berlaku : am x an = am + n dan am : an = am - n

Contoh soal : Tentukanlah hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini ! 1. 5xy : 2x 2. (p2q x pq) : p2 q2 Jawab : 1. 5xy : 2x =

2. (p2q x pq) : p2 q2 = = =p

Latihan 3 Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini ! 1. 6xy : 2y Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ................................................................................................................. 2. p4q6r5 : pq2r3 Jawab : 5


2013


............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ...................................... 3. 18a3b5c6 : 2ab2 : 3a2c2 Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ........................................................................................................ 4. 3x2y x 2yz2 : xyz Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................ 8p3q2r x (15p5q7r4 : 5p2q4r3)

5.

Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ...............................................................................................................

3

Pemangkatan Bentuk Aljabar (a) Arti Pemangkatan Bentuk Aljabar Operasi pemangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku : an= a x a x a x ... x a sebanyak n kali

Dalam pemangkatan bentuk aljabar perlu dibedakan pengertian – pengertian berikut ini : i) 3a2 dengan (3a2) 2 Pada bentuk 3a , yang dikuadratkan hanya a, sedangkan pada bentuk (3a)2, yang dikuadratkan adalah 3a. Jadi, 3a2 tidak sama dengan (3a)2. 3a2 = 3 x a x a dan (3a)2 = (3a) x (3a) ii) –(3a)2 dengan (-3a)2 Pada bentuk –(3a)2 ,yang dikuadratkan hanya 3a, sedangkan pada bentuk (-3a)2, yang dikuadratkan adalah -3a. Jadi, -(3a)2 tidak sama dengan (-3a)2 -(3a)2 = -(3a x 3a) dan (-3a)2 = (-3a) x (-3a)

Contoh Soal :

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut ini ! 1. (5a)3 2. (-7x2y3)2 Jawab : 1. (5a)3 = (5a) x (5a) = 25a2 2. (-7x2y3)2 = (-7x2 y3) x (-7x2 y3) = 49 x4y6 (b)

Pemangkatan Suku Dua Dalam menentukan hasil pemangkatan suku dua, koofisien dari suku-suku hasil pemangkatan dapat ditentukan berdasarkan Segitiga Pascal. Hubungan antara segitiga Pascal dengan pemangkatan suku dua ditunjukkan seperti berikut ini : 6


2013


1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

(a + b)1 dan (a + b)1 (a + b)2 dan (a + b)2 (a + b)3 dan (a + b)3 (a + b)4 dan (a + b)4

Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal diatas merupakan Koofisienpada hasil pemangkatanbentuk Aljabar suku dua.

Koofisiendari suku-suku pada hasil pemangkatan suku dua diperoleh dari bilangan pada segitiga Pascal 1. (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 2. (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 3. (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 Contoh4.Soal (a +: b)5 = 1a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 Perhatikan, pangkat dari a turun, dan pangkat dari b naik !

T e n t Tentukan hasil pemangkatan berikut ini ! (a) (a + b)2 (b) (4x – 3)2 Jawab : Untuk (a + b)2 dan (a – b)2, bilangan segitiga Pascalnya adalah 1, 2, 1, sehingga penjabaran dari pengkuadratan suku dua adalah sebagai berikut : (a) (a + b)2 = 1(a)2 + 2(a)(b) + 1(b)2 = a2 + 2ab + b2 (b) (4x – 3)2 = 1(4x)2 + 2(4x)(-3) + 1(-3)2 = 16x2 – 24x + 9

Latihan 4 1.

Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut ini ! a. (-7a)2 Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ................................................................................................................. b. (4p2q2)3 Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ...................................... c. (5a – 7)2 Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ........................................................................................................ d. (3a2 – 2a)3 Jawab : 7


2013


................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................ 2.

Tentukan suku ke-4 dan hasil pemangkatan bentuk Aljabar berikut ini! a. (p + q)4 Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ............................................................................................................... b. (2a2 + 3a)5 Jawab : ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................

C. FAKTORISASI BENTUK ALJABAR 1. Faktorisasi dengan Hukum Distributif Hukum distributif dapat dinyatakan sebagai berikut : ab + ac = a(b + c) , dengan a, b, c sebarang bilangan bulat. bentuk perkalian bentuk penjumlahan

Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian. Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif

2. Faktorisasi Bentuk x2 + 2xy + y2danx2 – 2xy + y2 Untuk memfaktorkan bentuk Aljabar x2 + 2xy + y2 dan x2 - 2xy + y2 perhatikan uraian berikut ! a. x2 + 2xy + y2 = x2 + xy + xy + y2 = (x2 + xy) + (xy + y2) = x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(x + y) = (x + y)2 b. x2 – 2xy + y2 = x2 – xy – xy + y2 = (x2 – xy) – (xy – y2) = x(x – y) – y(x – y) = (x – y)(x – y) = (x – y)2 Berdasarkan pembahasan diatas, dapat disimpulkan :

x2+ 2xy + y2 = (x + y)2 x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 8


2013


Contoh Soal : Faktorkanlah bentuk berikut ini ! 1) a2 + 10a + 25 2) 16x2 – 56xy + 49y2 Jawab : 1) a2 + 10a + 25 = (a)2 + 2(a)(5) + (5)2 = (a + 5)2 2) 16x2 – 56xy + 49y2 = (4x)2 – 2(4x)(7y) + (7y)2 = (4x – 7y)2 3. Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat Bentuk x2 – y 2disebut selisih dua kuadrat, karena terdiri dari dua suku yang masingmasing merupakan bentuk kuadrat, dan merupakan bentuk pengurangan (selisih) x2 – y2 = x2 + xy – xy – y2 = (x2 + xy) + (xy – y2) = x(x + y) + y(x – y) = (x + y)(x – y) Dapat disimpulkan bahwa : Faktorisasi selisih dua kuadrat adalah : x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Contoh Soal : Faktorkanlah selisih dua kuadrat berikut ini ! 1) a2 + 4 2) 5a2 + 5b2 Jawab : 1) a2 + 4 = a2 + 22 = (a + 2)(a + 2) 2 2) 5a + 5b2 = 5(a2 + b2) = 5 (a + b)(a - b) 4. Faktorisasi Bentukax2 + bx + c dengana = 1 Untuk memehami pemfaktoran ax2 + bx + c dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita tulis dengan x2 + bx + c, perhatikan uraian berikut ini : Misal : (x + 3)(x + 4) = x2 + 4x + 3x + 13 = x2 + 7x + 12 Dari contoh diatas dapat diperoleh hubungan sebagai berikut ; x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) 3+4 3x4

Ternyata pemfaktoran bentuk x2 + bx + c dapat dilakukan dengancara menentukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagai berikut: i) Bilangan Konstan c merupakan hasil perkalian ii) Koofisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan Faktorisasi bentuk x2 + bx + c adalah : x2 + bx + c = (x + p)(x + q) dengan syarat c = p x q dan b = p + q

9


2013


Untuk bentuk x2 + bx + c, jikakoofisien x2 bertanda negatif, maka pemfaktoran dapat dilakukan dengan mengalikan semua sukunya dengan (-). Contoh Soal : Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut ini ! 1) x2 + 10x + 16 2) 12 + 4x – x2 Jawab : 1) x2 + 10x + 16 = (x + 2)(x + 8) 2+8 2x8

2) 12 + 4x – x2 = -x2 + 4x + 12 = -1 (x2 – 4x – 12) = -1(x – 6)(x + 2) = (-x + 6)(x + 2) = (6 – x)(2 + x) 5. Faktorisasi Bentuk ax2 + bx + c dengan a Misalkan pada :

1

8 x 15 = 120 10 x 12 = 120 2

(2x + 3)(4x + 5) = 8x + 10x + 12x + 15 = 8x2 +

22x

+ 15

Dapat disimpulkan bahwa pemfaktoran 8x2 + 22x + 15 , terlebih dahulu 22x diuraikan menjadi dua suku dengan aturan sebagai berikut : i) Jika kedua suku itu dijumlahkan, maka akan menghasilkan koofisien x ii) Jika kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil kali koofisien x2 dengan bilangan konstan Dengan demikian, pemfaktoran 8x2 + 22x + 15 dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut ; 8 x 15 = 120

8x2 + 22x + 15 = 8x2 10x + 12x + 15 1012

= 2x(4x + 5) + 3(4x + 5)

10 x 12 = 120

= (4x + 5)(2x + 3)

Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c p x q = a x c dan p + q = b

1 dilakukan dengan langkah sebagai berikut :

Contoh Soal : Faktorkanlah bentuk – bentuk berikut ini ! 1) 6x2 – 11x + 3 Jawab : 18 6x2 – 11x + 3 = 6x2 – 2x – 9x + 3 = 2x(3x – 1) – 3(3x – 1)

+6x2

+3

2x

-3

3x

-1

3x)(-3)=-9x

(2x)(-1)=-2x

-9x+(-2x)=-11x maka 6x2-11x+3=(2x+(-3))(3x+(-1))10 = (2x-3)(3x-1)


2013


-2

-9 = (2x – 3)(3x – 1)

Latihan 5 Faktorkanlah bentuk – bentuk berikut ini ! 1. 2a + 10 Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ........................................................ 2. 8p2q – 16pq2 + 24pq Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................... 3. 4x2 – 8x + 4 Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .......................................................... 4.

5.

6.

7.

8.

9.

16p2 + 72pq + 81q2 Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ........................................................... a2 – 4b2 Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ............................................................................................................... a4 - 16 Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ .................................... a2 + 4a + 3 Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ .................................................... a2 – 10a + 21 Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .......................................................... 5x2 + 13x + 6 Jawab : 11


2013


.................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 10. 12 + 4m – 2m2 Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ......................................................

D. OPERASI PECAHAN DALAM BENTUK ALJABAR 1. Menyederhanakan Pecahan Aljabar  Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan bilangan yang sama kecuali 0, maka diperoleh pecahan baru yang senilai, tetapi menjadi lebih sederhana.  Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang sama, maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Contoh Soal : Sederhanakanlah pecahan

=

Jawab :

=

pembilang dan penyebut dibagi dengan 4

2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar Telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan yang mempunyai penyebut yang sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnya. Jika penyebutnya berbeda, maka penyebut-penyebut tersebut harus disamakan lebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut tersebut, kemudian masingmasing pecahan diubah menjadi pecahan lain yang senilai, dan penyebutnya merupakan KPK yang sudah ditentukan. Dalam penjumlahan atau pengurangan pecahan Aljabar, jika penyebutnya dapat difaktorkan, maka kerjakan pemfaktoran terlebih dahulu. Contoh : Sederhanakan pecahan berikut ini ! – Jawab : –

–

= =

–

= = =

3. Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar Hasil pekalian dua pecahan dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut, yaitu : = Untuk pembagian dua pecahan, telah dibahas bahwa membagi dengan suatu pecahan sama dengan mengalikan pecahan tersebut terhadap kebalikanya, yaitu : 12


2013


=

x

Contoh :

1. 2. Jawab : 1. 2.

= =

Latihan 6 Sederhanakanlah Pecahan Berikut ini ! 1. Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ............................................................................................................. 2. Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .............................. 3. Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................. Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan pecahan – pecahan berikut ini ! 1. Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................. 2. Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................... 3. Jawab: .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 13


2013


.................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................... 4. Jawab: .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................... Tentukan hasil perkalian pecahan-pecahan berikut ini ! 1) Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................. 2) Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ........ 3) Jawab : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ......................................................................... 4) Jawab : .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................

SOAL LATIHAN BAB I I. Untuksoalnomor 1 sampaidengannomor 15, pilihlahsalahsatujawaban yang paling tepat !

1.

Padabentukaljabar 2x2 + 3xy – y2terdapat …. Variable a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

2.

Sukuduaterdapatdalambentukaljabar …. a. 2x2 + 4x – 2 b. 3x2 – y2 + xy – 5 14


2013


c. 4x2 – y2 d. 2x2 3. Bentuksederhsana 3(r2 – 2r) + 6(r + 2) adalah ….. a. 3r2 + 12 b. – 3r2 – 12 c. 3r2 – 12 d. – 3r2 + 12

4. Hasildari a.

adalah …

2x + 3 + y

b. -2x – 3 + y c. 2x – 3 + y d. -2x – 3 – y 5. Jumlahdari 5ab + 2bc – d dan 3ab – 2bc + 6d adalah …. a. 8ab + 4bc – 5d b. 8ab – 4bc + 7d c. 8ab – 5d d. 8ab + 5d

6. Hasilpengurangan -2(3p+2) dari 2p+6d adalah…. a. -8p+2 b. -8p-10 c. 8p+2 d. 8p+10 7. Hasildari a2b x 4a4b3 adalah…. a. 4a6b4 a. 3a6b3 b. 4a8b3 b. 4ab4 8. Hasil dari 6a9b5 : 2a3b…. a. b. c. d.

3a3b5 3a3b4 3a6b5 3a6b4 15


2013


9. Bentuk 50 + 15x + x2 dapatdifaktorkanmenjadi…. a. (10 + x) (5 – x) b. (x + 10) (x + 5) c. (x +2) (x + 25) d. (x – 10) (x - 5) 10. Pemfaktoran 3x2 – 7x – 6 adalah... a. (x + 3) (3x – 2) b. (x – 3) (3x + 2) c. (x + 2) (3x- 3) d. (x – 2) (3x + 3) 11. Hasildari

-

adalah …

a. b. c. d. 12.

+

=…

a. b. c. d. 13. Bentuksederhanadari

=…

a. b. c. d. 14. Hasil dari (8x6y4 : 4x4 y4)3adalah … a. 2x6 y3 b. 2x5 y4 c. 8x6 y3 d. 8x5 y4 15. Bentuk paling sederhanadari adalah … a. b. c. d.

2a – 2 2a + 2 -2a + 2 -2a – 2 16


2013


II.

Untuk soal-aoal berikut ini, kerjakan dengan lengkap !

1. Sederhanakanlah : a. (3x2 – xy2) + (5x2 + 2xy2 -1) b. (2p – 3) – (3p + 7) – ( 5p – 9) + (p – 12) c. 3(6a –(a + b))+3(-2 (2a + 3b) + 4(a – b)) 2. Jabarkandansederhanakanla : a. (3x – 2) (4x + 5) b. (x + 8y) (2x – 3y) c. (9p – 5q)2 d. (x + 5) (x2 + 6x – 4) 3. Faktorkanlah : a. x2 + 6x – 16 b. 8x2 – 2xy – 15y2 c. P2 – 16q4 4. Sederhanakanlah : a. b. c. 5. Diketahui suatu segitiga dengan alas (x + 2) cm dan luasnya (x2 – 4) cm2 a. Tentukan tinggi segitigad alam variable x b. Jika x = 3, tentukan Ukuran Segitiga tersebut.

1


2013


Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat, dengan memberi tanda silang pada huruf a, b, c atau d pada lembar jawaban yang disediakan.

1. Bentuk aljabar 2x dan

mempunyai suku …

a. 1 dan 2 b. 1 dan 3 c. 2 dan 3 Pembahasan : 2x mempunyai suku 1 2x2 + x  1 mempunyai suku 3 2. Koefisien dan konstanta dari persamaan

d.

3 dan 4

adalah …

a. – 3 dan – 5 b. – 3 dan 5 c. 3 dan – 5 d. 3 dan 5 Pembahasan : Koefisien dari x2 = 3 Konstanta = 5 3. Bentuk paling sederhana dari 5x + 3y – 2 – x + y + 2 adalah …. a. 4x + 3y b. 4x + 4y c. 4x + 3y – 4 d. 4x + 4y – 4 Pembahasan : = 5x + 3y – 2 – x + y + 2 = 5x – x + 3y + y – 2 + 2 = 4x + 4y 4. Bentuk paling sederhana dari 6a – 3b + a + 4b adalah …. a. 6a + b b. 6a – 7b c. 7a + b d. 7a – 7b Pembahasan : = 6a – 3b + a + 4b = 6a + a – 3b + 4b = 7a + b 5. Bentuk paling sederhana dari adalah …. a.

c.

b. d. Pembahasan : = 5a2b  ab2 7a2b + 6ab2 = 5a2b 7a2b  ab2 + 6ab2 = 5ab2  2a2b 6. Bentuk paling sederhana dari 4(2x – 5y) – 5(x + 3y) adalah …. a. 3x – 2y b. 3x – 5y c. 3x – 17y Pembahasan : = 4(2x – 5y) – 5(x + 3y) = 8x – 20y – 5x  15y = 3x  35y 7. Jika maka P – 2Q = …. a. b. Pembahasan : = P – 2Q = 4x2 + 3x  2(5x  x2) = 4x2 + 3x  10x + 2x2 = 4x2 + 2x2+ 3x  10x = 6x2  7x

c.

d.

3x – 35y

d.

18


2013


8. Bentuk sederhana dari

adalah …..

a.

c.

b. Pembahasan : = 9x2 +6xy + y2  (4y2 + 8xy + 4x2) = 9x2 +6xy + y2  4y2  8xy  4x2 = 9x2  4x2+6xy  8xy + y2  4y2 = 5x2  2xy  3y2

d.

18

9. Bentuk sederhana dari a.

adalah ….. c.

b. d. Pembahasan : =2 (9a2 + 36a + 36)  (9a2 + 30a + 25) =18a2 + 72a + 72  9a2  30a  25 =18a2  9a2 + 72a  30a + 72  25 =9a2 + 42a + 47 10. Bentuk sederhana dari 4(p – 3q) – 3(5q + 4p) adalah … a. – 8p – 27q b. – 8p + 27q c. –27p – 8q Pembahasan : = 4p – 12q – 15q  12p = 4p  12p –12q – 15q =  8p – 27q 11. Jumlah dari 2p + 3q – 4 dan p – 3q + 2 adalah … a. 3p – 2 b. 3p – 6 c. 2p – 6 Pembahasan : = (2p + 3q – 4) + (p – 3q + 2) = 2p + p + 3q – 3q – 4+ 2 = 3p – 2 12. Jumlah dari 6xy + 3yz + 4z dan 3yz + 4yx – 4z adalah …..

d.

27p – 8q

d.

2p – 2

a. 6xy + 9yz c. 8xy + 7yz – 8z b. 10xy + 6yz d. 6xy + 9yz + 8z Pembahasan : = 6xy + 3yz + 4z + (3yz + 4yx – 4z) = 6xy + 4xy + 3yz + 3yz + 4z– 4z = 10xy + 6yz 13. Jumlah dari 7x – 3y + 4 dan– 8x + 9y – 5 adalah …. a.

x + 6y –1

b. –x + 6y – 1 Pembahasan : = 7x – 3y + 4 + (– 8x + 9y – 5) = 7x – 3y + 4 – 8x + 9y – 5 = 7x – 8x – 3y + 9y + 4– 5 = x + 6y – 1

c.

x + 6y + 1

d. –x + 6y + 1

19


2013


14. Hasil pengurangan dari a.

adalah … c.

b. d. Pembahasan : = 7a2 + 2a  (6a2  12a) = 7a2 + 2a  6a2 + 12a = 7a2  6a2 + 2a + 12a = a2 + 14a 15. Hasil pengurangan dari – 3(2p + 1) dari p + 5 adalah … a. –5p – 4 b. –5p + 2 c. 7p + 6 Pembahasan : = p + 5  [ – 3(2p + 1)] - 19= p + 5  ( –6p  3) = p + 5 + 6p + 3 = 7p + 8 16. Hasil pengurangan 2b – 3a + 5c dari 5a – 2c – 3b adalah ...

d.

7p + 8

a. 8a + 5b – 7c c. 8a – 5b – 7c b. – 8a – 5b – 7c d. 8a – 5b + 7c Pembahasan : = 5a – 2c – 3b  (2b – 3a + 5c) = 5a – 2c – 3b  2b + 3a  5c = 5a + 3a– 3b  2b  5c– 2c = 8a  5b 7c 17. Bentuk sederhana dari 7(5x + 4) adalah … a. 35x – 28 c. –35x + 28 b. –35x – 28 d. 35x + 28 Pembahasan : = 35x + 28 18. Bentuk sederhana dari – a(5a + 3b + 15) adalah … a. b. Pembahasan : = –5a2  3ab  15a 19. Hasil dari (2x + 3)(3x – 5) a. b. Pembahasan : = 2x(3x – 5) + 3(3x – 5) = 6x2  10x + 9x  15 = 6x2  x  15 20. Hasil dari (p – 3q)(2p + 5q) a. 2p2 – pq – 15q2 b. 2p2 + pq – 15q2 Pembahasan : = p(2p + 5q)  3q(2p + 5q) = 2p2 + 5pq  6pq  15q2

c. d.

c. d.

c. 2p2 – 11pq – 15q2 d. 2p2 + 11pq – 15q2

20


2013


= 2p2  pq  15q2 II.

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan singkat dan jelas !

1.

Dengan memakai hukum distributif, nyatakan bentuk-bentuk di bawah ini sebagai jumlah atau selisih ! a. 7(5x +4) b. 3(8b - 6) Pembahasan :

c. 9(-3c - 5) d. –a(5a + 3b + 15)

a. 35x + 28 2.

c. – 27c – 45

e. – 14p – 12q – 19

b. 24b – 18 d. – 5a2 – 3ab – 15a Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini ! a. 6a – 9 + 7a + 17 d. 5(3c + 2d) + 3(4c – 3d) -20b. 11m – 3n - 4n + 12m c. 4p – 3(2p + 5)

3.

e. –(14p + 12q + 19)

e. 9(2m + 3n) – (5m – 7n)

Pembahasan : a. 13a + 6

c. – 2p –15

b. 23m – 7n

d. 27c + d

e. 13m + 34

Tentukan jumlah dari : a. 3x + 4y dan 7x + 2y

d. -4k2 + 2m2- 3l2 dan 5l2 – 5k2 + m2

b. -8a – 2b dan 5a – 4b

e. 8c – 2b + 3d dan – 4d + 3c – 10b

c. 7q + 3p – 2r dan 6r – 2p + q Pembahasan :

4.

a. 3x + 4y 7x + 2y + 10x + 6y

c. 7q + 3p – 2r q – 2p + 6r + 8q + p + 4r

b. –8a – 2b 5a – 4b + –3a – 6b

d. – 4k2 + 2m2 – 3l2 – 5k2 + m2 + 5l2 + –9k2 + 3m2 + 2l2

e. 8c – 2b + 3d 3c – 10b – 4d + 11c – 12b – d

Kurangkanlah ! a. 5x + 3 dari 10x - 7

d. 3a – 8b + 5c dari 5a + 2b - c

b. 7b – 2c dari 12b + 8c

e. 5q – 3p + 2r dari 7p + 4r – 3q

c. 2y + 9 dari 7y – 5 Pembahasan : a. 10x – 7 5x + 3 – 5x –10

–1

10x – 7 –5x – 3 +

b. 12b + 8c 12b + 8c 7b – 2c – – 1 – 7b + 2c + 5b + 10c

d. 5a + 2b – c 5a + 2b – c 3a – 8b + 5c – –1 –3a + 8b – 5c + 2a + 10b – 6c e. 7p + 4r – 3q 7p + 4r – 3q – 3p + 2r + 5q – – 1 3p – 2r – 5q + 10p + 2r – 8q 22 21


2013


5.

Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini ! a.

c.

b.

d.

e.

Pembahasan :

I.

a.

c.

b.

d.

e.


1. Banyak suku pada bentuk aljabar a. 3 Jawab : b

b.

4

adalah ... c.

5

d.

6

Pembahasan :

2. Jika bentuk aljabar a.

12

maka koefisien dari x2y adalah ... b.

6

c.

5

d.

-10

Jawab : c Pembahasan : koefisiennya adalah 5 3. Pada bentuk-bentuk aljabar berikut, yg memiliki dua suku sejenis adalah ... a.

c.

b.

d.

Jawab : c Pembahasan : S ----->3a^2 + a^2 S ----->3b  8ab 4. Bentuk sederhana dari 3p + 9q – 7p + 2q adalah ... a. 4p + 11q b. –4p + 11q c. –4p – 11q

d.

4p – 11q

Jawab : Pembahasan : = 3p + 9q – 7p + 2q 22


2013


= 3p – 7p + 9q + 2q =– 4p + 11q 5. (9p + 8q – r) + (12p – 3q + 5r) = ... a. 21p + 11q + 4r b.

21p + 11q + 6r

c.

21p + 5q + 6r

d.

21p + 5q + 4r

Jawab : d Pembahasan : = (9p + 8q – r) + (12p – 3q + 5r) = 9p +12p + 8q– 3q – r+ 5r = 21p + 5q + 4r 6. (11x – 13y + z) – (10x – 13y – z) = ... a. x b. x + 2z

c.

x – 26y

d.

x – 26y + 2z

Jawab : b Pembahasan : = 11x – 13y + z – 10x + 13y + z = 11x – 10x – 13y + 13y + z + z = x + 2z 7. Hasil pengurangan 3x + 2y dari

adalah ...

a.

c.

b.

d.

Jawab : a Pembahasan :

8. Hasil penyederhanaan dari a.

adalah ...

b.

c.

d.

Jawab : b Pembahasan :

9. Hasil penyederhanaan bentuk 2(x + 3) + 4(x – 2) adalah ... a. 2x + 8 b. Jawab : d Pembahasan : = 2(x + 3) + 4(x – 2) = 2x + 6 + 4x – 8 = 6x  2

6x + 2

c.

6x – 2

d.

2x – 8

23


2013


11. Hasil dari 9x(3x + 4) adalah ... 12. a.

b.

27x + 36

c.

27x + 9x

c. d.

(x – 3)(x + 7) (x – 2)(x + 8)

d.

Jawab : d Pembahasan : = 9x(3x + 4) 15. Faktor dari ��− ��−�� adalah ... a. (x + 3)(x – 7) b. (x + 2)(x – 8) Jawab : a Pembahasan : = = (x + 3)(x  7) 16. Faktor dari

adalah ...

a.

(x – 5)(3x + 2)

c.

(x + 5)(3x – 2)

b.

(x + 5)(3x + 4)

d.

(x + 5)(3x – 4)

Jawab : Pembahasan : = (x – 5)(3x + 2) 17. a.

b.

c.

d.

Jawab : c Pembahasan :


adalah ...

a.

c.

b.

d. 24


2013


Jawab : a Pembahasan :


adalah ... 24

a.

b.

c.

d.

Jawab : d Pembahasan :


adalah ...

a.

c.

b.

d.

Jawab : b Pembahasan :

II.

Jawablah pertanyaan – pertanyaan dibawah ini dengan benar !

25


2013


21.

Sederhanakan bentuk aljabar : 5x2 + 3x – 9x2 + 3x Pembahasan : = 5x2 – 9x2 + 3x + 3x = – 4x2 + 6x

22.

Sederhanakan bentuk aljabar : 2(x + 5) + 5(9 – x) Pembahasan : = 2(x + 5) + 5(9 – x) = 2x + 10 + 45 – 5x = 2x – 5x + 10 + 45 = – 3x + 55 25

23.

Faktorkan bentuk aljabar : x2 + 2x – 3 Pembahasan : = x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x  1)

24. Sederhanakan bentuk aljabar : Pembahasan :

25. Sederhanakan pecahan bentuk aljabar : Pembahasan :

26


2013


I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat, dengan memberi tanda silang pada huruf a, b, c atau d pada lembar jawaban yang disediakan.

1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B pada diagram panah di samping adalah a. kurang dari b. setengah dari c. lebih dari d. faktor dari Pembahasan : "kurang dari" : {(1, 2), (1, 6), (1, 8), (3, 6), (3, 8), (4, 6),(4, 8)} 2. Relasi “factor dari” dari himpunan P = {1, 2, 3} ke Q = {2, 4, 6} ditunjukkan oleh diagram panah .... a. b. c. d.

Pembahasan : " factor dari " : {(1, 2), (1, 4) (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6)} 3. K = {3, 4, 5} dan L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi “dua lebihnya dari” dari himpunan K ke L adalah …. a. {(3, 5), (4, 6)} b. {(3, 5), (4, 6), (5, 7)}

c. {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} d. {(3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Pembahasan : " dua lebihnya dari " dri himpunan K ke L : 3 ---> 5, 4 ---> 6, 5 ---> 7 atau {(3, 5), (4, 6), (5, 7)} 4. Himpunan pasangan berurutan dari grafik catesius di samping adalah … a. {(2, 1), (3, 5), (4, 4), (6, 4)} b. {(1, 2), (2, 4), (4, 6), (5, 3)} c. {(1, 2), (2, 4), (4, 4), (4, 6), (5, 3)} d. {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)} Pembahasan : Himpunan Pasangan berurutan dari grafik cartesius : {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)} 5. Range dari himpunan pasangan berurutan {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)} adalah … a. {1, 2, 4, 5} b. {1, 2, 3, 4, 5}

c. {1, 2, 3, 4, 5, 6} d. {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Pembahasan : 27


2013


Range dari {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)} yaitu : {1, 2, 4, 5} 6. Diagram panah pada gambar di samping merupakan pemetaan maka rangenya adalah a. {a, b, c} b. {d, e} c. {a, b, c, d, e} d. {1, 2, 3, 4} Pembahasan : Rangenya adalah {a, b, c} 7. Daerah hasil pemetaan yang ditunjukan oleh diagram panah di samping adalah a. {a, b, c} b. {p, r} c. {p, q, r} d. { a, b, c, p, r} Pembahasan : Hasil pemetaan dari diagram panah di atas : {p, r} 8. Dari gambar diagram panah di dibawah, yang merupakan pemetaan ialah …

a. hanya I dan II b. hanyan II dan III

c. hanyan I dan III d. hanyan II dan IV

Pembahasan : yang merupakan pemetaan hanyan I dan III 9. Dari himpunan pasangan berurutan berikut ini : I. {(1, 2), (2, 2), (3, 3)} II. {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

III. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} IV. {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4)}

Yang merupakan pemetaan adalah … a. IV

b. III

c. II

d. I

Pembahasan : Yang merupakan pemetaan adalah {(1, 2), (2, 2), (3, 3)} 10. Dari diagram cartesius di bawah ini, yang menunjukkan pemetaan adalah ….

28

28


2013


10. Dari diagram cartesius di bawah ini, yang menunjukkan pemetaan adalah …. a. hanya I, II dan III b. hanya I, II dan IV

c. hanya I, III dan IV d. hanya II, III dan IV

Pembahasan : Yang menunjukkan pemetaan hanya I, II dan III 11. Diketahui : Himpunan A = {factor dari 10} dan B = {factor prima dari 30}. Banyak semua pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah … a. 81

b. 64

c. 16

d. 8

Pembahasan : A = {1, 2, 5, 10} ---> n(A) = 4 dn B = {2, 3, 5} ----> n(B) = 3 Banyak pemetaan A ---> B adalah 3^4 = 81 12. K = {factor dari 8} dan L = {bilangan prima yang kurang dari 7}. Banyak semua pemetaan yang mungkin dari himpunan K ke himpunan L adalah … a. 100

b. 81

c. 64

d. 16

Pembahasan : K = {1, 2, 4, 8} ---> n(K) = 4 L = {2, 3, 5} ---> n(L) = 3 n(K ---> L) = 3^4 = 81 13. Diketahui : P = {x| 11 < x <19, x bil. Prima}, Q = { y| y 2< 9, y bil. Cacah}, banyak semua pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah … a. 27

b. 8

c. 4

d. 2

Pembahasan : P = {13, 17} ---> n(P) = 2 Q = {1, 2} ---> n(Q) = 2 n(P ---> Q) = 2^2 = 4 14. Banyak koresponden satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan P ={3, 5, 7, 9} dan Q = {p, q, r, s} adalah … a. 4 cara

b. 8 cara

c. 16 cara

d. 24 cara

Pembahasan : Banyaknya koresponden satu-satu : 4! = 1.2.3.4 =24 cara 15. Jika n(P) = n(Q) = 3 , maka banyaknya koresponden satu-satu antara himpunan P ke Q adalah a. 15 cara

b. 12 cara

c. 9 cara

d. 6 cara

Pembahasan : 3! = 1.2.3 = 6 cara 16. Dari pernyataan-pernyataan berikut : I . Siswa dengan tempat duduknya II. Siswa dengan tanggal lahirnya 29

2013

Publikasi Maryono,S.Pd. di https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono Kumpulan soal-soal ulangan harian dan pembahasaannya

III. Negara dengan lagu kebangsaannya Yang berkoresponden satu-satu adalah … a. hanya II dan III b. hanya I, II dan III

c. hanya I dan III d. hanya I dan II

Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu adalah ... I . Siswa dengan tempat duduknya III. Negara dengan lagu kebangsaannya 17. Dari pernyataan berikut ini : (i) Himpunan negara dan himpunan bendera (ii) Semua penonton dan tiket masuk dalam pertandingan sepakbola (iii) Semua siswa di kelasmu dan nama siswa pada daftar hadir di kelasmu (iv) Semua siswa di sekolahmu dan guru-guru di sekolahmu Yang berkoresponden satu-satu adalah ... a. (i), (iii), (iv) b. (ii), (iii), (iv)

c. (i), (ii), (iii) d. (i), (ii), (iv)

Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu : (i) Himpunan negara dan himpunan bendera (ii) Semua penonton dan tiket masuk dalam pertandingan sepakbola (iii) Semua siswa di kelasmu dan nama siswa pada daftar hadir di kelasmu 18. Dari pasangan himpunan-himpunan berikut ini. (i) A = {x | 0 < x < 4, x bilangan cacah} dan B = {factor dari 4} (ii) P = {huruf Vokal} dan Q = {bilangan asli kurang dari 4} (iii) K = {a, b, c, d} dan L = {factor dari 6} (iv) D = {1, 2, 3, 4} dan E = {bilangan prima kurang dari 8} Yang berkoresponden satu-satu adalah ... a. (ii), (iii), (iv)

b. (i), (ii), (iv)

c. (i), (ii), (iv)

d. (i), (iii), (iv)

Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu : (i) A = {x | 0 < x < 4, x bilangan cacah} dan B = {factor dari 4} (iii) K = {a, b, c, d} dan L = {factor dari 6} (iv) D = {1, 2, 3, 4} dan E = {bilangan prima kurang dari 8} 19. Dari himpunan-himpunan berikut : A = {x| x < 4, x bilangan Asli} B = {x| x < 4, x bilangan Prima} C = {x| x < 4, x factor prima dari 70} D = {x| 2 < x < 10, x bilangan ganjil} Yang berkoresponden satu-satu adalah ... a. A dan B

b. A dan C

Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu : A = {x| x < 4, x bilangan Asli} C = {x| x < 4, x factor prima dari 70}

c. B dan D

d. C dan D

30


2013


20. Dari himpunan pasangan berikut : (i) (ii) (iii) (iv)

{(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3)} {(p, 5), (q, 7), (q, 9), (r, 11)} {(s, 3), (t, 4), (u, 5), (v, 6)} {(s, 3), (t, 4), (u, 3), (v, 6)}

Yang berkoresponden satu-satu adalah .. a. (i)

b. (ii)

c. (iii)

d. (iv)

Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu adalah .. (iii) {(s, 3), (t, 4), (u, 5), (v, 6)}

II.

Kerjakan Soal - Soal dibawah ini

1.

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} a. Tulislah himpuanan pasangan berurutan yang menunjukkan korespondensi satu-satu dari A ke B ! b. Berapakan banyak koresponden satu-satu dari A ke B ? Pembahasan : a. {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}

2.

b.

(1 x 2 x 3 x 4) = 24

Diketahui pemetaan f : x  2x – 3 dengan daerah asal D = {1, 2, 3, 4, 5}, a. Buatlah tabel pemetaan itu ! b. Tentukan himpunan pasangan berurutan dari f ! c. Buatlah grafik pemetaannya dalam diagram cartesius ! Pembahasan : Jawab :

3.

c.

a. Buatlah daftar untuk pemetaan x  ½ x + 1 dari himpunan {0, 2, 4, 6, 8} ke

himpunan bilangan cacah !

b. Tentukan himpunan pasangan berurutan dari f ! c. Buatlah grafik pemetaannya dalam diagram cartesius !

33 31


2013


Pembahasan : c.

4.

Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22. Tentukan : a. Nilai a dan b b. rumus fungsi f(x) c. Tentukan nilai f(10) Pembahasan : a. f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 maka : f(2) = 2a + b  2a + b = 13 … 1) f(x) = ax + b, jika f(5) = 22 maka : f(5) = 5a + b  5a + b = 22 … 2) Eliminasi b dari pers. 1) dan 2) 2a + b = 13 5a + b = 22 – −3a = −9 a = 3 Substitusikan a = 3 ke pers. 1) 2a + b = 13  2(3) + b = 13  6 + b = 13 b = 7

5.

b. Substitusikan a = 3 dan b = 7 ke fungsi f, maka rumus fungsi menjadi : f(x) = 3x + 7 c. f(x) = 3x + 7, jika f(10) maka : f(10) = 3(10) + 7 = 30 + 7 = 37

Fungsi f dinyatakan dengan rumus h(x) = px + q, jika h(–6) = 32, h(4) = –8, Tentukan : a. Nilai p dan q b. rumus fungsi h(x) c. nilai h(−2)

Pembahasan : a. h(x) = px + q, jika h(−6) = 32 maka : h(−6) = −6p + q −6p + q = 32 … 1) h(x) = px + q, jika h(4) = −8 maka : h(4) = 4p + q  4p + q = −8 … 2) Eliminasi q dari pers. 1) dan 2) −6p + q = 32 4p + q = −8 – −10p = 40 p = −4

c. Substitusikan p = −4 dan q = 8 ke fungsi h, maka rumus fungsi menjadi : h(x) = −4x + 8 32


2013


Substitusikan p = −4 ke pers. 1) −6p + q = 32  −6(−4) + q = 32  24 + q = 32 q = 32 – 24 = 8

c. h(x) = −4x + 8, jika h(−2) maka : h(−2) = 3(−2) + 8 = −6 + 8 = 2

Menentukan Nilai Fungsi Gafiknya : Contoh: Diketahui fungsiƒ :A →B dan fungsi ƒ ditentukan dengan aturan ƒ(x) = x + 1. Daerah asalfungsi ƒ ditetapkanA = {x│1 ≤ x ≤ 4, x  R}. a) Hitunglah ƒ(1), dan ƒ(2) b) Gambarlah grafik fungsi y = ƒ(x) = x + 1 pada sebuah bidang Cartecius. c) Tentukan wilayah hasil dari fungsi ƒ. Penyelesaian: a) y = ƒ(x) = x + 1, artinya setiap bilangan real x dipetakan kebilangan real yang nilainya sama dengan x +1. Dengan demikian,  untuk x = 1, maka ƒ(1) = 1 + 1 = 2  untuk x = 2, maka ƒ(2) = 2 + 1 = 3 b) Grafik fungsi y = ƒ(x) = x + 1 dengan daerah asal A = {x│1 ≤ x ≤ 4, x  R} adalah sebagai berikut: Y

(4,5) (3,4) 5

(2,3) (1,2)

4

3

0

1

2

3

4

x

2 Keterangan:

= daerah hasil

= daerah asal

1 33


2013


c) Berdasarkan grafik fungsi y = ƒ(x) = x + 1 yang berada di atas jelas bahwa untuk daerah asal A = {x│1 ≤ x ≤ 4, x  R}, maka wilayah hasilnya adalah Wƒ= {y│2 ≤ y ≤ 5, y  R} Contoh: Diketahui fungsi linier ƒ : x → f(x) = ax + b dengan nilaif(0) = 4 dan nilai f(4) = –4 1) Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah untuk fungsi f(x). 2) Tentukan titik potong fungsi f dengan sumbu x maupun sumbu y. 3) Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal Df = {x│x  R}. Penyelesaian: 1) f(x) = ax + b  untuk f (0) = 4, diperoleh : (0) + b = 4 b=4 

untuk f(4) = -4, diperoleh : a(4) + b = -4 4a + 4 = -4 a = -2

 rumus untuk fungsi f(x) adalah f(x) = -2x + 4 Jadi, nilai a = -2 b = 4, dan rumus untuk f(x) adalah f(x) = -2x + 4 2) y = f(x) = -2x + 4  titik potong dengan sumbu X diperoleh jika y = 0 -2x + 4 = 0 x = 2→(2,0)  titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika x = 0 y = -2(0) + 4 y = 4 →(0,4) Jadi, fungsi y = f(x) = -2x + 4 memotong sumbu X di titik (2,0) dan memotong sumbu Y di titik (0,4) 3) Grafik fungsi y = -2x + 4 untuk x  Rpada bidang cartesius diperlihatkan pada gambar di bawah ini:

34


2013


Y

(0, 4)

4

Y = -2x+4 3

(2, 0)

2 0

1

2

3

4

5

6

x

Harga dua buah pena Rp 3.000,00 dan harga lima buah penaRp 7.500,00. Berapakah harga sepuluh buah pena? Jawab:

1

Diketahui: - Harga dua buah pena Rp 3.000,00 - Harga lima buah pena Rp 7.500,00 Ditanyakan: Berapa harga sepuluh buah pena. . . ? Penyelesaian: Soal tersebut jika dikaitkan dengan fungsi adalah sebagai berikut: f(2) = 3. 000= 2 x 1.500 f(5) = 7.500 = 5 x 1.500 Tampak bahwa f(x) =1.500 x

x

Maka, untuk f(10) = 1.500x

10

= 15.000 Jadi, harga sepuluh buah pena adalah Rp15.000,00.

35


2013


I.


1. Pada pemetaan a. 3

bayangan dari 2 adalah … b. 8

c. 9

d. 27

Pembahasan : f(x) = 4x  5 f(2) = 4(2)  5 f(2) = 8  5 = 3 2. Pada pemetaan a. 33

maka h(5) adalah … b. 29

c. 21

d. 17

Pembahasan : h(x) = x^2 + 4 h(5) = 5^2 + 4 h(5) = 25 + 4 = 29 3. Pada pemetaan f : 5 – x, jika daerah asalnya {3, 2, 1, 0. 1, 2, 3, 4}, maka daerah hasilnya adalah … a. {–1, –2, –3, –4, –5, –6, –7, –8} c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b. {–2, –3, –4, –5, –6, –7, –8, –9} d. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Pembahasan : f(3) = 5  (3) = 8 f(1) = 5  1 = 4 f(2) = 5  (2) = 7 f(2) = 5  2 = 3 f(1) = 5  (1) = 6 f(3) = 5  3 = 2 f(0) = 5  0 =5 f(4) = 5  4 = 1 Daerah Hasilnya = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 4. Pada pemetaan daerah hasilnya adalah … a. {–4, –8, –12, –16, –20} b. {–8, –12, –16, –20, – 22}

jika daerah asalnya {x | x < 5, x  bilangan asli }, maka c. {4, 8, 12, 16, 20} d. {8, 12, 16, 20, 22}

Pembahasan : x = {1, 2, 3, 4, 5} f(1) = 4(1) = 4 f(4) = 4(4) = 16 f(2) = 4(2) = 8 f(5) = 4(5) = 20 f(3) = 4(3) = 12 daerah hasilnya = {4, 8, 12, 16, 20} 5. Pada pemetaan … a. {4, 11, 14, 15} b. {6, 11, 14, 15} Pembahasan : f(2) = 3(2) + 2 = 8 f(3) = 3(3) + 2 = 11

jika daerah asalnya x  {2, 3, 4, 5 }, rangenya adalah c. {6, 11, 14, 17} d. {8, 11, 14, 17} f(4) = 3(4) + 2 = 14 f(5) = 3(5) + 2 = 17 36


2013


Daerah hasilnya = {8, 11, 14, 17} 6. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = px + q, jika f(0) = –2 dan f(2) = 4, maka nilai p dan q berturut-turut adalah … a. 2 dan –5 b. – 2 dan 5 c. 2 dan –3 d. –2 dan 3 Pembahasan : f(0) = 2  p(0) + q = 2  q = 2 f(2) = 4 p(2) + q = 4 2p + (2) = 4 2p  2 = 4 2p =4 + 2 p = 6/2 = 3 7. Dari tabel di bawah ini, himpunan pasangan berurutannya adalah …. a. {(0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} b. {(0, 1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} c. {(-1, 1), (1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)} d. {(1, -1), (1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)} Pembahasan : Himpunan Pasangan berurutannya: {(0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} 8. Dari tabel fungsi f(x) = 3x – 2, rangenya adalah .....

a. {(2, -8), (-1, -5), (0, -2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)} b. {(2, 8), (-1, 5), (0, -2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)} c. {(-8, -2), (-5, -1), (-2, 0), (1, 1), (4, 2), (7, 3)} d. {(8, -2), (5, -1), (-2, 0), (1, 1), (4, 2), (7, 3)} Pembahasan : Range : {(2, -8), (-1, -5), (0, -2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)} 9. Diketahui fungsi f : x ---> ax – 7 dan f(5) = 18, maka nilai a adalah … a. 5 b. 6 c. 7

d. 8

Pembahasan : f(5) = 18 5a  7 = 18 5a = 18 + 7 5a = 25, maka a = 5 10. Diketahui fungsi f : x ---> 3x – 11 dan f(a) = –20, maka nilai a adalah … a. – 3 b. – 4 c. – 5 d. – 6 Pembahasan : f(a) = 20 3a  11 = 20 3a = 20 + 11  3a = 9  a = 3 37


2013


11. Pada pemetaan f : x ---> 3x + 2, jika f :(a ) 38, maka nilai a adalah … a. 18 b. 16 c. 12 d. 10 Pembahasan : f(a) = 38 3a + 2 = 38 3a = 38  2 3a = 36 ---> a = 12 12. Diketahui fungsi a. 4

, jika f( a) ---> 4, maka nilai a adalah … b. 5

c. 6

d. 7

Pembahasan : <---> x + 3 = 2.4 <---> x + 3 = 8 <---> x=83=5 13. Diketahui fungsi a. 22

, jika f(a) = 10, maka nilai a adalah … b. 21

c. 20

d. 19

Pembahasan : <---> 2a  12 = 3.10 <---> 2a = 30 + 12 <---> 2a = 42 ----> a = 21 14. Diketahui fungsi f(x) = ax – b, sedangkan f(3) = 4 dan f(–5) = –28, maka nilai a dan b berturut-turut adalah … a. –3 dan 8 b. 3 dan – 8 c. 4 dan 8 d. 4 dan – 8 Pembahasan : f(3) = 4 f(5) = 28 3a  b = 4 .....1) 5a  b = 28 .....2) Eliminasi b dari pers. 1 dan 2 3a  b = 4 5a + b = 28 ________________ + 8a = 32 a =4 Substitusikan a = 4 ke persamaan 1) : 3(4)  b = 4 12  b = 4 b = 4  12 ---> b = 8 15. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22, maka nilai a dan b berturut-turut adalah … a. –4 dan 5 b. 4 dan – 5 c. 3 dan 7 d. 3 dan – 7 Pembahasan : f(2) = 13 f(5) = 22 2a + b = 13 ..... 1) 5a + b = 22 .... 2) Eliminasi b dari persamaan 1 dan 2 2a + b = 13 5a  b = 22 _________________ + 3a = 9 38


2013


a =3 Substitusikan a = 3 ke persamaan 1) : 2(3) + b = 13 6+b = 13 ----> b = 13  6 = 7 16. Fungsi f dinyatakan dengan rumus h(x) = px + q, jika h(–6) = 32 dan h(4) = –8, maka nilai p dan q berturut-turut adalah … a. –2 dan 9 b. 2 dan – 8 c. 6 dan –4 d. –4 dan 8 Pembahasan : h(6) = 32 h(4) = 8 6p + q = 32 ..... 1) 4p + q = 8 .... 2) Eliminasi b dari persamaan 1 dan 2 6p + q = 32 4p  q = 8 _________________ + 10p = 40 p = 4 Substitusikan p = 4 ke persamaan 1) : 6(4) + q = 32 24 + q = 32 ----> q = 32  24 = 8 17. Diketahui fungsi f(x) = ax – b, sedangkan f(3) = 7 dan f(–5) = –25, maka rumus fungsi f(x) adalah … a. f(x) = 3x +5 b. f(x) = 3x – 5 c. f(x) = 4x + 5 d. f(x) = 4x – 5 Pembahasan : f(3) = 7 f(5) = 25 3a  b = 7 ..... 1) 5a  b = 25 .... 2) Eliminasi b dari persamaan 1 dan 2 3a  b = 7 5a + b = 25 _________________ + 8a = 32 a =4 Substitusikan a = 4 ke persamaan 1) : 3(4)  b = 7 12  b = 7 ----> b = 7  12 = 5 Rumus fungsi f(x) = 4x  5 18. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22, maka rumus fungsi f(x) adalah … a. f(x) = 3x + 7 b. f(x) = 3x – 7 c. f(x) = 2x + 5 d. f(x) = 2x – 5 Pembahasan : f(2) = 13 f(5) = 22 2a + b = 13 ..... 1) 5a + b = 22 .... 2) Eliminasi b dari persamaan 1 dan 2 2a + b = 13 5a  b = 22 _________________ + 3a = 9 a =3

39


2013


Substitusikan a = 3 ke persamaan 1) : 2(3) + b = 13 6+b = 13 ----> b = 13  6 = 7 Rumus funfsi f(x) = 3x + 7 19. Fungsi f dinyatakan dengan rumus h(x) = px + q, jika h(–6) = 32 dan h(4) = –8, maka rumus fungsi h(x) adalah … a. f(x) = – 5x + 8 b. f(x) = –5x – 8 c. f(x) = – 4x + 8 d. f(x) = –4x – 8 Pembahasan : h(6) = 32 h(4) = 8 6p + q = 32 ..... 1) 4p + q = 8 .... 2) Eliminasi b dari persamaan 1 dan 2 6p + q = 32 4p  q = 8 _________________ + 10p = 40 p = 4 Substitusikan p = 4 ke persamaan 1) : 6(4) + q = 32 24 + q = 32 q = 32  24 = 8 Jadi rumus fungsi f(x) = 4x + 8 20. Nilai a, b dan c dari tabel f(x) = 2x + 2, berturut-turut adalah …

a. [2, 4, 6}

b. [2, 6, 8}

c. [4, 6, 8}

d. [4, 8, 10}

Pembahasan : f(0) = 2(0) + 2  a = 2 f(2) = 2(2) + 2  b = 6 f(3) = 2(3) + 2 c = 8 -----> maka nilai a, b, dan c = [2, 6, 8] II.

Jawablah pertanyaan – pertanyaan dibawah ini dengan benar !

1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} d. Tulislah himpuanan pasangan berurutan yang menunjukkan korespondensi satu-satu dari A ke B ! e. Berapakan banyak koresponden satu-satu dari A ke B ? Pembahasan : a. {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}

b.

(1 x 2 x 3 x 4) = 24

2. Diketahui suatu pemetaan f : x  2x – 3 dengan daerah asal D = {1, 2, 3, 4, 5}, a. Buatlah tabel pemetaan itu ! b. Tentukan himpunan pasangan berurutan dari f ! 40


2013


c. Buatlah grafik pemetaannya dalam diagram cartesius ! Pembahasan : c.

3.

d. Buatlah daftar untuk pemetaan x  ½ x + 1 dari himpunan {0, 2, 4, 6, 8} ke

himpunan bilangan cacah ! e. Tentukan himpunan pasangan berurutan dari f ! f. Buatlah grafik pemetaannya dalam diagram cartesius ! Pembahasan : c.

4. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22. Tentukan : d. Nilai a dan b e. rumus fungsi f(x) f. Tentukan nilai f(10) Pembahasan : a. f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 maka : f(2) = 2a + b  2a + b = 13 … 1)

f(x) = ax + b, jika f(5) = 22 maka : f(5) = 5a + b  5a + b = 22 … 2)

b. Substitusikan a = 3 dan b = 7 ke Eliminasi b dari pers. 1) dan 2) fungsi f, maka rumus fungsi menjadi 2a + b = 13 : f(x) = 3x + 7 5a + b = 22 – c. f(x) = 3x + 7, jika f(10) maka : −3a = −9 a = 3 f(10) = 3(10) + 7 Substitusikan a = 3 ke pers. 1) = 30 + 7 = 37 2a + b = 13  2(3) + b = 13  6 + b = 13 b = 7 5. Fungsi f dinyatakan dg rumus h(x) = px + q, jika h(–6) = 32 dan h(4) = –8, Tentukan : a. Nilai p dan q b. rumus fungsi h(x) c. nilai h(−2) 41


2013


Pembahasan : a. h(x) = px + q, jika h(−6) = 32 maka : h(−6) = −6p + q −6p + q = 32 … 1) Eliminasi q dari pers. 1) dan 2) −6p + q = 32 4p + q = −8 – −10p = 40 p = −4 Substitusikan p = −4 ke pers. 1) −6p + q = 32  −6(−4) + q = 32  24 + q = 32 q = 32 – 24 = 8

h(x) = px + q, jika h(4) = −8 maka : h(4) = 4p + q  4p + q = −8 … 2) b. Substitusikan p = −4 dan q = 8 ke fungsi h, maka rumus fungsi menjadi : h(x) = −4x + 8 c. h(x) = −4x + 8, jika h(−2) maka : h(−2) = 3(−2) + 8 = −6 + 8 = 2


2013


Tentang Penyusun Maryono, S.Pd Lahir di Karanganyar, pada Tanggal 1 Januari 1970, menamatkan sekolah di SD Negeri Gondangmanis I tahun 1983, SMP Negeri 1 Karangpandan tahun 1986, SMA Negeri Karangpandan tahun 1989. Melanjutkan dengan mencari biaya kuliah sambil menjadi kondektur BUS solo tawangmangu, juga pernah sambil buruh jadi tukang kebun di sumber solo, Alhamdulillah, Lulus D-III Pendidikan Matematika FKIP UNS Tahun 1992. Demikian juga menyelesaikan jenjang S1 sambil mengajar namun berkat ridlo Alloh SWT berhasil Lulus Sarjana S-1 Pendidikan

Matematika

FKIP

UNS

tahun

1999.

Mengawali karier sebagai guru privat di “Widya Gama” Karanganyar, sebagai guru di kelas : sejak Juli 1993 mengajar di SMP Muhammadiyah 4 Karangpandan, STM Bhinneka Karya Surakarta, STM Pertanian Karanganyar, SMEA YPE “Wikarya” Pusat Semarang tahun 1993 sampai dengan 2002. Dan sejak 01 Desember 2000 diangkat sebagai CPNS di SMP Negeri 2 Jatipuro dan aktif sampai sekarang. Penyusun yang pernah menjabat sebagai Wakil Kepala Sekolah Bidang Kurikulum di SMEA Wikarya sejak 1996 sampai 2002 bahkan sejak 2006 sampai sekarang juga menjabat Wakil Kepala Sekolah Kurikulum di SMP Negeri 2 Jatipuro ini, tergolong cukup unik karena dari beragam pengalaman dan tempat bekerja seperti itu masih mengisi waktu luangnya untuk bertani, menurutnya agar roda ekonomi rumah tangga tetap kokoh, juga memberikan les privat. Karena keluarga dan mengembangkan diri demi ilmu yang ditekuninya agar dapat berkembang dan bermanfaat bagi nusa bangsa amat penting namun harus seimbang kebutuhan keluarga yaa setidaknya cukup. Tidak ketinggalan sekarang masih berusaha untuk aktif di dunia maya sebagai “Blogger” agar tidak GAPTEK. Terima Kasih, Wassalamu „alaikum warohmatulaahi wabarokatuh. Semoga keselamatan tercurahkan bagi kita.

Website/Blog

: http://uns-id.academia.edu

Email/Paypal

: [email protected]

Facebook

: Dimas Maryono

Twitter

: @dimasmaryono


2013


42

Faktorisasi Bentuk Aljabar

Recommend Documents