Statistika Latihan Soal Latihan Soal Latihan Soal

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Mahakuasa atas segala perkenanNya sehingga kami bisa menyediakan Kunci dan Pembahasan Panduan Latihan Ujian Nasional. Kunci dan Pembahasan ini disusun sebagai pegangan bagi guru dalam membimbing para siswa melakukan persiapan menghadapi ujian nasional dengan latihan-latihan soal dari buku Panduan Latihan Ujian Nasional. Kami menyadari akan segala keterbatasan dan kekurangan dalam penyajian Kunci dan Pembahasan Panduan Latihan Ujian Nasional ini, untuk itu kritik dan saran dari berbagai pihak sangat kami harapkan demi lebih baiknya karya kami berikutnya.

Aljabar ............................................................... Latihan Soal 1 .................................................... Latihan Soal 2 .................................................... Latihan Soal 3 .................................................... Latihan Soal 4 .................................................... Latihan Soal 5 .................................................... Latihan Soal 6 .................................................... Latihan Soal 7 .................................................... Latihan Soal 8 ....................................................

3 3 3 4 5 6 7 8 8

Kalkulus ............................................................ 9 Latihan Soal 9 .................................................... 9 Latihan Soal 10 .................................................. 10 Latihan Soal 11 .................................................. 10 Latihan Soal 12 .................................................. 12 Geometri dan Trigonometri ............................ Latihan Soal 13 .................................................. Latihan Soal 14 .................................................. Latihan Soal 15 .................................................. Latihan Soal 16 .................................................. Latihan Soal 17 ..................................................

2

13 13 14 15 16 17

Statistika ........................................................... Latihan Soal 18 .................................................. Latihan Soal 19 .................................................. Latihan Soal 20 ..................................................

18 18 19 20

LATIHAN UJIAN NASIONAL ........................... 21 TRYOUT Tryout Paket 1 .................................................... 30 Tryout Paket 2 .................................................... 38 Tryout Paket 3 .................................................... 46 Tryout Paket 4 .................................................... 53 Tryout Paket 5 .................................................... 61 PREDIKSI Prediksi Paket 1 ................................................. 69 Prediksi Paket 2 ................................................. 77 Prediksi Paket 3 ................................................. 85 Prediksi Paket 4 ................................................. 94 Predisi Paket 5 ................................................... 101

Kunci dan Pembahasan UN SMA – Matematika IPA

UN SMA – Matematika IPA RINGKASAN MATERI DAN LATIHAN SOAL Aljabar Latihan Soal 1

5a5 b 8c 6 Pembahasan:

4. a. 

1. d.

 3a 2b3c 4   3 5 2   15a b c 

1

1 2



Pembahasan:

 b3  5c 4  2  = 32   5a   b8c 6  = 5   5a  =

1

1 3 42 3

2 2 5

=

2 =





9 2 2 5

2 2 5 2 2 5







= 6 2 3 5 3. e. –6 Pembahasan: 2

3

log 10 =

log 4 5 log 8· 2log 25 8 log 14 8 log 7 2

log 4 log 8 log 25  · log 2 log 5 log 2 14 8 log 7 2 3 log 2 2log 5 ·  1 log 5 log 2

1 2





3 1

=

=

log 10 log 3

2

2





3 1

p 1 q Pembahasan: 2 log 5 = p dan 2log 3 = q

3

= 3 2 2 5



4

2



42 3

5. a.

85 9 2 2 5

42 3

×

42 3 4 3 6 16  12

= 

2 2 5

=

42 3

=

5a5 b 8c 6

9

=

1 3

=

1

2. a. 6 2  3 5 Pembahasan:

9



3 1

log 5  2log 2 2 log 3

p 1 q

Latihan Soal 2 x 2 1. c. (f  g)–1(x) = , x 1 x 1

Pembahasan:

2

=

= =

2

8

46 1 3

log 2

= –6

f(x) = 3x – 2 dan g(x) =

x x 1

(f  g)(x) = f(g(x))  x  = f   x  1

 x  = 3 2  x  1


3

y

Pembahasan: Misalkan y = f(x).

 x  = 3 2  x  1

y =

x 1 4x  2x  4 x  2



y =

x 1 2(4 x )  2x  4 2( x  2)



y =

x 1 8x  2x  4 2 x  4

y 2  (f  g)–1(y) = y 1



y =

x 2 Jadi, invers (f  g)(x) adalah (f  g)–1(x) = , x 1 dengan x  1.

   

   

y(x – 1) xy – y xy – x (y – 1)x



= 3x – 2(x – 1) =x+2 =y+2 =y+2

x =

y 2 y 1

2. b. 4x2 – 22x + 26 Pembahasan:

y(2x + 4) 2xy + 4y 2xy – 9x x(2y – 9)

= = = =



x =

4y  1 2y  9



f –1 (x) =

4 x  1 2x  9

f(x) = x2 – 5x + 2 dan g(x) = 2x – 3 (f  g)(x) = f(g(x)) = f(2x – 3)

9x  1 2x  4 9x – 1 9x – 1 –4y – 1 –4y – 1

= (2x – 3)2 – 5(2x – 3) + 2 = 4x2 – 12x + 9 – 10x + 15 + 2 = 4x2 – 22x + 26

x2 3 3. a. ,x  4x  3 4 Pembahasan: g(x) = y =

3x  2 4x  1 3x  2  y(4x – 1) = 3x + 2 4x  1  4xy – y = 3x + 2  4xy – 3x = y + 2  (4y – 3)x = y + 2

Jadi, g–1(x)=



x=

y 2 4y  3



g–1(y) =

y 2 4y  3

3 x2 dengan x  . 4 4x  3

2

4. e. 18x – 12x – 1 Pembahasan: (g  f )( x ) = g(f(x)) = g(3x – 1)

= 2(3x – 1)2 – 3 = 2(9x2 – 6x + 1) – 3 = 18x2 – 12x + 2 – 3 = 18x2 – 12x – 1 5. a. f –1 (x) =

4

4 x  1 9 ,x 2x  9 2

Jadi, inversnya adalah f –1 (x) =

4 x  1 9 ,x . 2x  9 2

Latihan Soal 3 1. d. –7 Pembahasan: Persamaan kuadrat: x2 + (p + 1)x + 8 = 0 diperoleh:  +  = –(p + 1) dan  ×  = 8. 1 Diketahui  =  , maka: 2 1  × = 8  ×  = 8 2   2 = 16  =±4   positif, maka  = 4. 1 1 = = × 4 = 2 2 2  +  = –(p + 1)  4 + 2 = –p – 1  p = –1 – 4 – 2  p = –7 2. b. k < –5 atau k > 1 Pembahasan: Dari fungsi kuadrat f(x) = x2 + (k + 2)x +

9 diperoleh 4

9 . Grafik fungsi kuadrat 4 memotong sumbu X di dua titik berbeda jika D > 0. D >0  b2 – 4ac > 0 a = 1, b = k + 2, dan c =

9  (k + 2)2 – 4(1)   > 0 4  

k2 + 4k + 4 – 9 > 0 k2 + 4k – 5 > 0


Pembuat nol: k2 + 4k – 5 = 0  (k + 5)(k – 1) = 0  k = –5 atau k = 1

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k < –5 atau k > 1. 3. c. 2 Pembahasan: Persamaan kuadrat: x2 + (p + 1)x – 18 = 0 diperoleh:  +  = –(p + 1) dan  ×  = –18 Diketahui  + 2  = 0, maka  = –2  .

 ×  = –18  –2  ×  = –18 2 = 9   =± 3   = –2    = –2(–3) atau  = –2(3) =6 = –6  +  = –(p + 1)  6 + (–3) = –p – 1  p = –1 – 6 + 3  p = –4 atau  +  = –(p + 1)  –6 + 3 = –p – 1  p = –1 + 6 – 3  p=2 Karena p  0, maka nilai p yang memenuhi adalah 2. 4. b. p = –2 atau p = 6 Pembahasan: Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika diskriminannya nol. D = 0  b2 – 4ac = 0  (p – 2)2 – 4(1)(4) = 0  p2 – 4p + 4 – 16 = 0  p2 – 4p – 12 = 0  (p + 2)(p – 6) = 0  p = –2 atau p = 6 5. d. p > 6 Pembahasan: Fungsi kuadrat f(x) definit positif jika koefisien x 2 bernilai positif dan diskriminannya bernilai negatif. 1) p – 2 > 0  p > 2 2) D < 0  b2 – 4ac < 0  (2p)2 – 4(p – 2)(p + 3) < 0  4p2 – 4(p2 + p – 6) < 0  4p2 – 4p2 – 4p + 24 < 0  –4p < –24  p>6 Jadi, nilai p yang memenuhi 1) dan 2) adalah p > 6. Latihan Soal 4 1. c. Rp10.500,00 Pembahasan: Misal: x = harga 1 bungkus mie y = harga 1 kaleng susu kental

diperoleh sistem persamaan linear: (i) 5x + 2y = 25.500 (iii) 10x + 3y = 42.000 Dari persamaan (2 × (i)) dan (ii), diperoleh: (i) 10x + 4y = 51.000 (ii) 10x + 3y = 42.000 – y = 9.000 (i) 5x + 2y = 25.500 5x + 2(9.000) = 25.500 5x + 18.000 = 25.500 5x = 7.500 x = 1.500 Jadi, Feby harus membayar sebesar: x + y = Rp1.500,00 + Rp9.000,00 = Rp10.500,00 2. c. 68 tahun Pembahasan: Misal: umur Pak Andi = x umur Bu Andi = y umur Amira =z x = z + 28  z = x – 28 y =x–6 x + y + z = 119  x + (x – 6) + (x – 28) = 119 3x – 34 = 119  3x = 153  x = 51  x + y + z = 119  51 + y + z = 119  y + z = 119 – 51 y + z = 68  Jadi, jumlah umur Amira dan Bu Andi adalah 68. 3. a. 90 kg Pembahasan: Misal: hasil panen Pak Ahmad = x hasil panen Pak Badrun = y hasil panen Pak Yadi = z (i) z =x – 15  x = z + 15 (ii) z =y + 15  y = z – 15 (iii) x + y + z = 225 Substitusikan (i) dan (ii) ke (iii) maka: (z + 15) + (z – 15) + z = 225 3z = 225 z= 75 x = z + 15 = 75 + 15 = 90 Jadi, hasil panen Pak Ahmad adalah 90 kg. 4. a. x  0, 6 x  y  12, 5x  4y  20 Pembahasan: Pertidaksamaan yang memenuhi daerah arsiran di sebelah kanan garis yang melalui (4, 0) dan (0, 5) adalah 5x + 4y  20. Pertidaksamaan yang memenuhi daerah arsiran di sebelah kiri garis yang melalui (2, 0) dan (0, 12) adalah 6x + y  12. Pertidaksamaan yang memenuhi sebelah kanan sumbu Y adalah x  0.


5

Uji titik pojok:

5. a. y + 2x  4; x + 2y  6; x  0; y  0 Pembahasan: Persamaan garis melalui titik (2, 0) dan (0, 4):

Titik (15, 0) (10, 5) (0, 30)

x y   1  2x + y = 4 2 4 Persamaan garis melalui titik (6, 0) dan (0, 3): x y   1  x + 2y = 6 6 3 Jadi, pertidaksamaannya adalah: 2x + y  4; x + 2y  6; x  0; y  0 Latihan Soal 5 1. d. x + y  48; 3x + y  72; x  0; y  0 Pembahasan: Misal: x = banyak penumpang kelas A y = banyak penumpang kelas B

Kelas Kelas A Kelas B Pembatas

Banyak x y 48

Barang Bawaan 60 kg 20 kg 1.440 kg

diperoleh: x + y  48 ... (i) 60x + 20y  1.440  3x + y  72 ... (ii) x  0 ... (iii) y  0 ... (iv) Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah x + y  48; 3x + y  72; x  0; y  0. 2. a. x  0; y  0; 36 x  24y  300; x  y  10 Pembahasan: Misal: banyak kandang ayam= x banyak kandang itik = y x + y  10 36x + 24y  300 x  0; y  0 3. b. Rp14.000,00 Pembahasan: Misal: banyak kapsul = x Y banyak tablet = y 30 Model matematika: (i) 5x + 2y  60 (ii) 2x + 2y  30 15 (iii) x  0; y  0 Biaya yang diminimumkan: B(x, y) = 1.000x + 800y Titik potong: (i) 5x + 2y = 60 O (ii) 2x + 2y = 30 – 3x = 30 x = 10 2x + 2y = 30 20 + 2y = 30 2y = 10 y = 5, titik (10, 5)

6

Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah Rp14.000,00. 4. b. Rp650.000,00 Pembahasan: Misalkan banyaknya kue A = x dan banyaknya kue B = y. Model matematika: 20 x  20y  4.000  x  y  200 ..... i  60 x  40y  9.000  3 x  2y  450 ..... ii Karena banyaknya kue A dan B tidak boleh negatif, maka x  0 dan y  0 . Kue A dijual dengan harga Rp4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp3.000,00/buah. Fungsi objektif/sasaran: f(x, y) = 4.000x + 3.000y Lakukan eliminasi pada persamaan (i) dan (ii) diperoleh: x+y = 200 |× 2| 2x + 2y = 400 3x + 2y = 450 |× 1| 3x + 2y = 400 – –x = –50 x = 50  y = 150 Titik potong kedua garis: (50, 150).

Titik Pojok f(x, y) = 4.000x + 3.000y (0, 0) 0 (150, 0) 600.000 (50, 150) 650.000 (0, 200) 600.000 Jadi pendapatan maksimumnya Rp650.000,00. 5. e. 9 jenis I dan 3 jenis II Pembahasan: Misalkan: banyaknya barang jenis 1 = x banyaknya barang jenis 2 = y maka: Jenis Barang x y Jumlah

12 15

B(x, y) = 1.000x + 800y 15.000 14.000 24.000

X

Unsur A

Unsur B

Harga

1 3 18

2 2 24

Rp250.000,00 Rp400.000,00

Dari data di atas dapat dibuat menjadi persamaan garis: x + 3y = 18 ..... (1) 2x + 2y = 24 ..... (2) Nilai maksimal adalah titik potong dari kedua garis tersebut. x  3 y  18  18  3 y Substitusikan ke persamaan (2), diperoleh: 2x + 2y = 24 2(18 – 3y) + 2y = 24 36 – 6y + 2y = 24 –4y = –12  12 y = =3 4


x + 3y = 18 x + 3 · 3 = 18 x = 18 – 9 x =9 sehingga titik potongnya adalah (9, 3) artinya perusahaan harus memproduksi 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II. Latihan Soal 6 1. b. x3 + x2 – 2x – 1 Pembahasan: Sukubanyak berderajat 3 dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4) yaitu: p(x) = (x2 + 2x – 3)(ax + b) + (3x – 4). Sukubanyak p(x) dibagi (x2 – x – 2) = (x – 2)(x + 1) bersisa s(x) = 2x + 3, berarti: p(2) = s(2)  (4 + 4 – 3)(2a + b) + (6 – 4) = 4 + 3  5(2a + b) + 2 = 7  5(2a + b) = 5  2a + b = 1 p(–1) = s(–1)  (1 – 2 – 3)(–a + b) + (–3 – 4) = –2 + 3  (–4)(–a + b) – 7 = 1  –4(–a + b) = 8  a–b=2 Eliminasi b: 2a + b = 1 a–b =2 + 3a = 3 a =1 2a + b = 1  2 + b= 1 b= –1  diperoleh sukubanyak: p(x) = (x2 + 2x – 3)(x – 1) + (3x – 4) = x3 – x2 + 2x2 – 2x – 3x + 3 + 3x – 4 = x3 + x2 – 2x – 1 2. c. 2x – 1 Pembahasan: f(x) = 2x3 – px2 – 28x + 15 f(x) dibagi (x – 5) dengan skema Horner: 5

2

–p

–28

15

2

10 –5p + 50 –25p + 110 –p + 10 –5p + 22 –25p + 125

f(x) habis dibagi (x – 5), berarti: –25p + 125 = 0  –25p = –125  p =5 diperoleh: f(x) = 2x3 – px2 – 28x + 15 = (x – 5)(2x2 + (–p + 10)x + (–5p + 22)) = (x – 5)(2x2 + (–5 + 10)x + (–25 + 22)) = (x – 5)(2x2 + 5x – 3) = (x – 5)(2x – 1)(x + 3) Jadi, salah satu faktor yang lain adalah 2x – 1.

3. c. –6 Pembahasan: f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2 (x – 2) adalah faktor sukubanyak artinya f(2) = 0. f(2) = 2(2)3 + a(2)2 + b(2) – 2 0 = 2(8) + a(4) + 2b – 2 0 = 4a + 2b + 14 4a + 2b = –14 (dibagi 2) 2a + b = –7 ..... (1) Jika f(x) dibagi (x + 3) sisa 50 artinya f(–3) = –50. f(–3) = 2(–3)3 + a(–3)2 + b(–3) – 2 –50 = 2(–27) + a(9) – 3b – 2 –50 = 9a – 3b – 56 9a – 3b = 6 (dibagi 3) 3a – b = 2 ..... (2) Dari (1) dan (2), diperoleh: 2a + b = –7 3a – b = 2 ––––––––– + 5a = –5 a = –1 dari a = –1didapat b = –7 – 2a = –7 – 2(–1) = –5 Jadi, a + b = –1 + (–5) = –6. 4. d. 2x + 8 Pembahasan: f(x) dibagi (x – 1) sisa 2 dan g(x) dibagi (x – 1) sisa 5, artinya h(x) = f(x) · g(x) dibagi (x – 1) sisanya 2 · 5 = 10. f(x) dibagi (x – 2) sisa 3 dan g(x) dibagi (x – 2) sisa 4, artinya h(x) = f(x) · g(x) dibagi (x – 2) sisanya 3 · 4 = 12. Misalkan sisa pembagian h(x) oleh x2 – 3x + 2 adalah px + q. Karena x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1), maka: sisa pembagian h(x) oleh (x – 1) adalah: p · 1 + q = 10 ..... (1) sisa pembagian h(x) oleh (x – 2) adalah: p · 2 + q = 12 ..... (2) Eliminasi (1) dan (2) diperoleh p = 2 dan q = 8. Jadi, sisa pembagian h(x) oleh x2 – 3x + 2 adalah 2x + 8. 5. b. 6 Pembahasan: P(x)= x3 + ax2 – 13x + b x = 2  23 + a(22) – 13(2) + b = 0 8 + 4a – 26 + b = 0 4a + b = 18 ... (i) x = 1  13 + a(12) – 13(1) + b = 0 1 + a – 13 + b = 0 a + b = 12 ... (ii) Dari (i) dan (ii): 4a + b = 18 a + b = 12 – 3a = 6 a= 2


7

a + b = 12 2 + b = 12 b = 10 Persamaan sukubanyak: P(x) = x3 + 2x2 – 13x + 10 = (x – 2)(x – 1)(x + 5) Jadi, x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (–5) = 6.

4. b. –1 Pembahasan: AX = B + AT X = A–1 (B + AT) 1  5 2   3 1  3 0       3   17 0   2 5  

= 15  0

Latihan Soal 7 1. e. –1 Pembahasan: A + B = CT

 3   2m

1   n  1 3   5 + =  3   m  n 0   2

 n4   3m  n

4   3 

T

2 5 2 =  3   4 3 

Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: • n+4=5 n=1 • 3m – n = –4 3m – 1 = –4 3m = –3  m = –1 Jadi, 3m + 2n = 3(–1) + 2(1) = –3 + 2 = –1. 2. d. –1 Pembahasan:

x  2

4  2  13 8  x 5  + 2 = y  9  y   8 20   3

x   2

4   2 x  10 4  13 8   + = y   6 18  2y   8 20 

8  13 8   3 x  10  = 18  y   8 20   8 Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: • 3x + 10 = 13 3x = 3  x = 1 • 18 – y = 20  y = –2 Jadi, x + y = 1 – 2 = –1. 3. e. 22 Pembahasan:

 8 5x   A+B–C =    x 4   x  6 y  6  8 5x    =   4  2  y   x 4  Dari persamaan matriks di atas, diperoleh: • x+6=8 x=2 • 2 – y = –x y=4 Jadi, x + 2xy + y = 2 + 16 + 4 = 22.

8

 5 2   0 1     0 3   15 5 

=

1 15

=

1  30 15    15  45 15 

 2 1 =   3 1  = (2)(1) – (–1)(–3) = 2 – 3 = –1

|X| 5. b. 1 Pembahasan:

2 5 5 4 P   dan Q     1 3  1 1 1  3 5   3 5  P 1     6  5  1 2   1 2  1  1 4   1 4     5  4  1 5   1 5   3 5   1 4   8 37  P 1  Q 1       1 2   1 5   3 14  det (P 1  Q 1)  8  14  ( 3)( 37)

Q 1 

 112  111  1 Latihan Soal 8 1. c. 720 kursi Pembahasan: Banyak kursi membentuk deret aritmetika dengan a = 20, b = 4, dan n = 15. n Sn = (2a + (n – 1)b) 2 15 (2(20) + 14(4)) S15 = 2 15 = (40 + 56) 2 15 = (96) = 720 2 Jadi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut 720 kursi. 2. c. 124 cm Pembahasan: Panj ang potongan tali membentuk barisan geometri dengan a = 4 cm dan U5 = 64 cm. U5 = 64  4 × r4 = 64  r4 = 16  r =2 S5 = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 124 Jadi, panjang tali semula 124 cm.


2 x = xlim  10 3 1 81    (9  ) x x2 x 8

3. d. 1.760 Pembahasan: U4 = 36  a + 3b = 36 U12 = 100  a + 11b = 100 –8b = –64 b =8

80 –

a + 3b = 36 a + 24 = 36 a = 12 Jumlah dua puluh suku pertama: 20 S20 = (2(12) + 19(8)) 2 = 10(24 + 152) = 1.760 4. d. 28 m Pembahasan: Panjang lintasan bola = panjang lintasan bola turun + panjang lintasan bola naik 3 4 4 4 3 = + 4 = + 3 3 1 1 1 1 4 4 4 4 = 16 + 12 = 28 meter 5. a. Rp1.740.000,00 Pembahasan: a = 46.000; b = 18.000 n Sn = (2a + (n – 1)b) 2 12 (2 · 46.000 + (12 – 1) · 18.000) S12 = 2 = 6(92.000 + 198.000) = 1.740.000 Jadi, jumlah keuntungan sampai bulan ke-12 adalah Rp1.740.000,00.

Kalkulus

=

81  0  0  (9  0)

=

8 99

=

8 18

4 9 2. b. 2 Pembahasan: =

sin2 2 x 1  cos 2 2 x = lim x  0 x sin 2 x x  0 x sin 2 x

lim

= lim x 0

2 1 =2 =

1 4 Pembahasan:

3. a. 

lim

x 3

2  x 1 2  x 1 2  x 1 · = lim x 3 x 3 x 3 2  x 1 = lim x3 = lim x3 = lim

Latihan Soal 9

x 3

4 9 Pembahasan:

=

lim( 81x 2  10 x  3)  9 x  1)

=

1. a.

x 

81x 2  10 x  3  (9 x  1)) = xlim(  = xlim 

(81x 2  10 x  3)  (9 x  1)2

= xlim 

4  ( x  1) ( x  3)(2  x  1) 3x ( x  3)(2  x  1)

1 2  x 1 1

2  3 1 1 1 =  22 4

4. e. –128 Pembahasan: x ( x  16) x 2  16 x lim = xlim 16 x 16 ( x  4) 4 x

81x 2  10 x  3  (9 x  1) 2

= xlim 

sin 2 x x

2

(81x  10 x  3)(81x  18x  1) 81x 2  10 x  3  (9 x  1) 8x  2 2

81x  10 x  3  (9 x  1)

= xlim 16

x( x  4)( x  4) ( x  4)

 ( x ( x  4)) = xlim  16

= –(16( 16 + 4)) = –16(8) = –128


9

u v  v u v2 1( x  5)  1( x  5) = ( x  5)2 x5x5 = ( x  5)2

5. a. –1 Pembahasan:

lim

x 1

f (x) =

sin (2 x  2) tan (1  x ) x 2  2x  1

= lim x 1

sin 2( x  1) tan (1  x ) ( x  1)( x  1)

=

sin 2( x  1) tan (1  x )  lim = lim x 1 x  1 ( x  1) ( x  1)( x  1) sin 2( x  1) tan (1  x ) 1  lim  lim = lim x 1 x 1 (1  ( x  1) x ) x 1 ( x  1) Misalkan u = x – 1. Jika x 1 maka (x – 1)  0 atau u  0. Misalkan v = 1 – x . Jika x  1 maka (1 – x )  0 atau v  0. sin 2u tan v 1 ·lim ·lim = ulim 0 u  0 v x 1 u ( x  1) 2 1 1   = 1 1 1  1 = –1

1 2 Pembahasan: cos x f(x) = sin x  cos x Misal:  u  = –sin x u = cos x v = sin x + cos x  v = cos x – sin x

4. b. 

f (x) = =

f ( 4 ) =

9 2 Pembahasan:

=

x 2  3x x x 3 2

f (x) =

3 2

f (1) =

9 2

x +3

1  cos 4 )2

 4

1



1 2

2  12 2



2

1 2

1  1  5. e. 8  x  3   x 2  2  x x   

3

Pembahasan:

2. b. 12x sin2 (3x2 – 2) · sin (6x2 – 4) Pembahasan: f(x) = sin4 (3x2 – 2) f (x) = (4 sin3 (3x2 – 2))(cos (3x2 – 2))(6x) = 12x sin2 (3x2 – 2) · 2 sin (3x2 – 2) cos (3x2 – 2) = 12x sin2 (3x2 – 2) · sin 2(3x2 – 2) = 12x sin2 (3x2 – 2) sin (6x2 – 4)

10

(sin

= 

= x + 3x

3. c.

 sin x  (sin x  cos x )  (cos x  sin x )  cos x (sin x  cos x )2

 sin2 x  cos2 x (sin x  cos x )2 1 = (sin x  cos x )2

Latihan Soal 10

f(x) =

u v  v u v2

=

sin(2x  2) tan(1  x ) Jadi, lim = –1. x 1 x2  2x  1

1. a.

10 ( x  5)2

10 ( x  5)2 Pembahasan: x 5 f(x) = x5 Misal: u = x – 5  u  = 1 v = x + 5  v = 1

1  f(x)=  x 2  2  x  

4

3

1 2  f (x) = 4  x 2  2  ·  2x  3  x   x  

1   1 = 8  x  3  ·  x2  2  x   x   Latihan Soal 11

5 3 Pembahasan:

1. b.

g(x) =

1 3 x – A2 x + 1 3

g(x) = x2 – A2


3

f(x) = g(2x – 1) f (x) = g(2x – 1)(2) = ((2x – 1)2 – A2)(2) Fungsi f naik pada x  0 atau x  1, berarti fungsi f stasioner pada x = 0 dan x = 1. f (0) = 0  ((0 – 1)2 – A2)(2) = 0  1 – A2 = 0  A2 = 1 diperoleh g(x) =

D

A

Nilai g(x):

+

– –1

+ 1

Nilai g(x) maksimum untuk x = –1, yaitu: 1 1 5 g(–1) = (–1)3 – (–1) + 1 =  + 1 + 1 = 3 3 3 2. b. Rp32.000,00 Pembahasan: U(x) = 40x – (4x2 – 8x + 24)x = –4x3 + 8x2 + 16x U(x) akan maksimum untuk x yang memenuhi U ( x ) = 0. –12x2 + 16x + 16 = 0  3x2 – 4x – 4 = 0  (3x + 2)(x – 2) = 0 2  x =  atau x = 2 3 (TM) x = 2, maka: U(2) = –4 · 23 + 8 · 22 + 16 · 2 = –32 + 32 + 32 = 32 Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00. 1 2

C

ra

E

F

ha

1 3 x – x + 1 dan g(x) = x2 – 1. 3

g(x) = 0  x2 – 1 = 0  x2 = 1  x = ± 1

3. c.

Perhatikan gambar berikut.

B

Jari-jari wadah = CD = 12 cm Tinggi wadah = BD = 18 cm Jari-jari permukaan air = ra Tinggi air = ha  BCD dan  BFE sebangun. BD CD = BE EF 

18 12 = ha ra

12ha  ra = 18 2h  ra = a 3 Volume air:

V =

1 2 ra ha 3

=

1 2ha 2 ( ) ha 3 3

=

1 4h h  a a 3 9

=

4 3 ha 27

2

dV 4 2 =   3ha dha 27

Pembahasan: f(x) = 31 x3 + ax2 – 2x + 1

=

2

f (x) = x + 2ax – 2 Syarat stasioner:

f (x) =0 x2 + 2ax – 2 =0 (–2)2 + 2a(–2) – 2 =0 4 – 4a – 2 =0 –4a =–2 a = 21

4. c. 3 Pembahasan: Debit air = laju air yang diisikan ke wadah

dV = dt Laju pertambahan tinggi air =

dha 27 = cm/detik. dt 100

4 2 ha 9

dV dV dha = × dt dha dt =

4 27 2 ha × 9 100

3 2 ha 25 Untuk ha = 5 cm diperoleh: =

dV 3 = × 52 dt 25 = 3 cm3/detik Jadi, debit air pada saat tinggi air 5 cm adalah 3 cm3/detik.


11

5. b. 1.175 Pembahasan: Biaya total pembangunan gedung selama x hari:

2.500 – 3x) x = 210x – 2.500 – 3x2 Biaya pembangunan gedung akan minimum jika B(x) = 0. B(x) = 0  210 – 6x = 0 x = 35  Biaya minimum proyek: B(25) = 210 × 35 – 2.500 – 3 × 352 = 7.350 – 2.500 – 3.675 = 1.175 Jadi, biaya minimumnya 1.175 juta rupiah. B(x) = x(210 –

3. e. 3 Pembahasan: 2

2

2  ( x  1)(3 x  1) dx =  (3 x  2x  1) dx

1

1

= x3  x2  x  

2 1

= (8 – 4 – 2) – (–1 – 1 + 1) = 2 – (–1) =3 4

4. c.

4

2 0

x dx   (2x  4) dx 2

Pembahasan: Parabola y 2 = 4x untuk y > 0 dapat dituliskan menjadi y = 2 x . Pada interval 0 < x < 2, daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 2 x dan sumbu X, luasnya L1 =

Latihan Soal 12 2 3 1. a. (x + 6x + 1) x 3  6 x  1 + C 9 Pembahasan: Misalkan u = x3 + 6x + 1, maka: du = 3x2 + 6= 3(x2 + 2) dx du  (x2 + 2) dx = 3 sehingga diperoleh: 1

 (x

2

Pada interval 2 < x < 4, daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 2 x dan garis y = 2x – 4, luasnya 4

L2 =

3

u

=

1 12 u du 3

1 2

·

x  (2x  4)) dx.

Luas daerah yang diarsir: L

= L1 + L2 =

 6 x  1) ( x 2  2) dx

=

 (2 2

1 2

 (x

x dx.

0

 2)( x 3  6 x  1) 2 dx

=

=

2

2

2

4

 2 x dx +

 (2

2

4

 2 x dx +

 2 x dx   (2x  4) dx

4

4

0

du 3

=

0

=

3 2

1 2 · u C 3 3

2 0

2 = u u C 9 2 3 = (x + 6x + 1) x 3  6 x  1 + C 9

12

x cos x dx =  u 3 du =

1 4 u +C 4

=

1 4 sin x + C 4

2

x dx   (2 x  4) dx 2

14  satuan volume 3 Pembahasan:

5. a.

Y

1 4 sin x + C 4 Pembahasan: Misalkan u = sin x, maka: du = cos x  du = cos x dx dx sehingga diperoleh: 3

4

2

4

2. b.

 sin

x  (2x  4)) dx

2

3 2 1 –4

–3 –2

–1

O –1

X 1

–2 –3 –4


2

3

4

Volume benda putar: 2

V =   (( 0 2

=  ( 0

3 1 5 x 2 )2 ) dx   (9  x 2 ) dx 4 2

3 5 4 x ) dx    (9  x 2 ) dx 16 2 2

3

1 3  1 5  =   x    9 x  x  3 2  16  0  =  (2 – 0) +  ((27 – 9) – (18 –

sin  =

8 )) 3

8  3

=

sisi depan sisi miring

2p  1 2p

Geometri dan Trigonometri

Menentukan panjang AB menggunakan rumus Pythagoras. AC2 = AB2 + BC2 AB2 = AC2 – BC2 = (2p)2 – (2p – 1)2 = 4p2 – (4p2 – 4p + 1) = 4p – 1

Latihan Soal 13

AB

=2 + =

14  satuan volume 3

1 1. e.  2 2 Pembahasan: cos 145° + cos 35° – cos 45° = cos (180° – 35°) + cos 35° – cos 45° = –cos 35° + cos 35° – cos 45° = –cos 45° 1 2 =  2 2. b. {210°, 330°} Pembahasan: 2 sin2 x – 5 sin x – 3 = 0

=

4p  1

tan  =

BC AB

=

2p  1 4p  1

5. c.

 2



3 2

2

 (2 sin x + 1)(sin x – 3) = 0  2 sin x + 1 = 0 atau sin x – 3 = 0

1  sin x =  atau sin x = 3 (TM) 2  x = 210°, 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya {210°, 330°}. 1 3. c.  5 Pembahasan: sin ( +  ) + sin ( –  ) = 2 sin  cos  3 1 =2( )  sin ( +  ) + 5 5 

4. c.

sin ( +  ) =

2 3 1  =  5 5 5

2p  1

Pembahasan: Untuk menentukan gambar yang tepat mari menentukan titik-titik koordinat yang memenuhi  persamaan fungsi y = 2 cos (2x + 2 ).  Untuk x = 0 diperoleh y = 2 cos (2 × 0 + 2 ) = 2 cos

 2

=0 Sehingga fungsi melalui titik (0, 0). Untuk x =

 4

diperoleh y = 2 cos (2 × = 2 cos (

 2

+

 4  2

+

 2

)

)

= 2 cos  = 2 × (–1) = –2  4  ) 2

Sehingga fungsi melalui titik ( , 2) .

4p  1

Pembahasan: Nilai sin  dalam segitiga siku-siku dapat digambarkan sebagai berikut.

Grafik fungsi y = 2 cos (2x +

memiliki periode  .

Sketsa grafik fungsi y = 2 cos (2x + berikut.


 2

) sebagai

13

Pada  BCD berlaku aturan sinus sebagai berikut.

BC BD = sin CDB sin BCD 

Jadi, grafik yang tepat adalah pilihan c. Latihan Soal 14 1. e. 2 5 cm Pembahasan: Pada segitiga ABD berlaku: BD tan 60° = AD  BD = AD tan 60°  BD = 2 3 × 3 = 6 cm Pada segitiga BCD berlaku: BC2 = BD2 + CD2 – 2BD · CD cos 45° 1 2 = 62 + ( 4 2 )2 – 2 · 6 · 4 2 · 2 = 36 + 32 – 48 = 20 BC = 20



6 BD = sin 30 sin 45 6 1 2

=

2

BD 1 2

1 6 2 1 2 2



BD =



BD =



BD =



BD = 3 2

6 2 6 2 2

Pada  ABD berlaku aturan kosinus berikut. AD2 = AB2 + BD2 – 2 AB BD cos ABD = (6 2 )2 + (3 2 )2 – 2 × 6 2 × 3 2 × cos 60° = 72 + 18 – 72 ×

= 2 5 cm

1 2

= 90 – 36 = 54

2. a. 6 2  3 cm Pembahasan: AD

=

54

=3 6

A

Jadi, panjang AD = 3 6 cm. B O

Pada segitiga AOB berlaku OA = OB = 6 cm.  AOB = 360° : 12 = 30° AB2 = OA2 + OB2 – 2OA · OB cos  AOB = 62 + 62 – 2 · 6 · 6 · cos 30° = 36 + 36 – 72 ·

4. d. 288 2 Pembahasan: Segi-8 beraturan terdiri atas 8 segitiga yang kongruen. Besar sudut pusat yang membentuk 360 segitiga = 45°. 8 C

cm 12 45o

1 3 2

1 A

m 2c

o

45 12 cm

B

= 72 – 36 3 = 36(2 – AB =

3)

36(2  3 )

Luas bangun datar segi-8 sebagai berikut. L

=8×

6 2  3 cm.

= 4 × 12 × 12 × sin 45°

3. d. 3 6 Pembahasan: Panj ang sisi-sisi segi empat dapat dicari menggunakan aturan sinus dan aturan kosinus.

14

= 8 × LABC

= 6 2  3 cm Jadi, panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah

1 2

× AB × AC × sin A

= 4 × 12 × 12 ×

1 2

2

= 288 2 Jadi, luas bangun datar adalah 288 2 cm2.


5. a. 240 2  3 Pembahasan: Sudut pusat yang terbentuk pada segitiga-segitiga 360  30 . bangun datar tersebut sebesar 12 Dengan demikian, dapat digambarkan sebagai berikut.

2. e. PGE dengan P titik tengah AH Pembahasan: G

H E

F P D

C

20

cm

B

O

O

cm 20 o 30

B

Menentukan panjang AB menggunakan aturan kosinus: AB2 = OA2 + OB2 – 2 OA · OB cos BOA = 202 + 202 – 2 × 20 × 20 cos 30° = 400 + 400 – 800 ×

1 3 2

= 800 – 400 3 AB =

800  400 3

=

400(2  3 )

= 20 2  3 Keliling bangun segi-12: K = 12 × AB = 12 × 20 2  3 = 240 2  3 Jadi, keliling bangun datar segi-12 adalah

Titik G pada bidang ABGH dan proyeksi titik E pad a b i d an g A B G H a d ala h t it ik P yan g merupakan titik tengah AH, sehingga proyeksi EG pad a b idang ABG H adalah P G . Su du t an tara g aris E G d an b id an g A B G H sa m a dengan sudut antara garis EG dan PG, yaitu EGP . Jadi, sudut antara garis EG dan bidang ABGH sama dengan EGP dengan P titik tengah AH. 11 3. c. 12 Pembahasan: Sudut antara bidang TAB dan TBC sama dengan sudut antara TP dan TQ dengan P dan Q titik tengah AD dan BC yaitu  =  PTQ. PQ = AB = 2 cm 1 AP = AD 2 1 = ×2 2 = 1 cm TP =

240 2  3 cm.

Latihan Soal 15 1. c. Titik P pada bidang diagonal CDEF Pembahasan: H E

B

A

A

30o

=

5 2  12

=

24

= C B

Titik P pada garis CF dan garis CF pada bidang diagonal CDEF, maka titik P pada bidang diagonal CDEF. Jadi, pernyataan yang benar adalah titik P pada bidang diagonal CDEF.

C

P A

Q 2 cm

B

TQ = TP = 2 6 cm

P

A

D

= 2 6 cm

cos  =

D

5 cm

TA 2  AP 2

G F

T

TP 2  TQ 2  PQ 2 2  TP  TQ

24  24  4 22 6 2 6

44 = 48 =

11 12

Jadi, nilai cos  =

11 . 12


15

16 3 cm 3 Pembahasan:

3 5. c. Pembahasan:

4. e.

P

H

G

E

F

E

G

3 2 cm

Q D

T

C P

A

P

Jarak titik E ke bidang BGD sama dengan jarak titik E ke garis GP dengan P titik tengah BD, yaitu sama dengan panjang EQ. EG dan AC merupakan diagonal sisi, maka panjang EG = AC = 8 2 cm. Segitiga APE siku-siku di A dengan: AE = 8 cm 1 AP = AC 2 1 = × 8 2 2 = 4 2 cm

AE 2  AP 2

=

64  32

=

96

Q

R

3 cm

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm. Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = 3 2 cm Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P'. Dimana P' terletak di perpotongan kedua diagonal alas. Jadi, sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh garis PT dengan TR (  PTR). Karena pada bidang PRT terdapat segitiga sikusiku PTP', maka akan lebih mudah menemukan tangen  PTR menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (  PTR =  PTP') P

3 2 cm

= 4 6 Perhatikan segitiga EGP! GP = EP = 4 6 cm Misalkan PQ = x cm, maka:

T

2

2

2

EQ = EP – PQ = EG – GQ

3 P' 2 2 cm

Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah:

GQ = ( 4 6 – x) cm 2

2

 ( 4 6 )2 – x2 = ( 8 2 )2 – ( 4 6 – x)2

tan  (PT, QRST) =

 96 – x2 = 128 – 96 + 8 6 x – x2

64

8 4 6= 6 6 3 4 diperoleh panjang PQ = 6 cm. 3 EQ = EP 2  PQ 2 =

8 6

=

=

3

Latihan Soal 16 1. b. 5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y – 58 = 0

32 96  3

Pembahasan: Persamaan lingkaran:

256 3 16 = 3 cm 3 =

2x2 + 2y2 + 4x – 8y – 8 = 0

Jadi, jarak titik E ke bidang BGD adalah

16

PP' TP'

3 6 2 = 3 2 2

 64 = 8 6 x x=

3 cm

P'

B

EP =

S

x cm

16 3 cm. 3

 x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0  x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 9  (x + 1)2 + (y – 2)2 = 32


Persamaan garis: 5x + 12y – 15 = 0  12y = –5x + 15

5 15 x 12 12 Garis singgung lingkaran yang sejajar 5x + 12y – 15 = 0 5 , yaitu: bergradien m =  12 

y =

y – y1 = m(x – x1) ± r 1 m2  y – 2= 

5 25 (x + 1) ± 3 1  12 144

 y – 2= 

5 169 (x + 1) ± 3 12 144

 y – 2= 

5  13  (x + 1) ± 3   12  12 

 12y – 24 = –5x – 5 ± 39  5x + 12y – 19 ± 39 = 0  5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y – 58 = 0 2. a. x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 Pembahasan: Titik pusat (2, 3) dan diameter 8 (r = 4). Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 42  x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16  x2 + y2 – 4x – 6y + 13 – 16 = 0  x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 3. d. x2 + y2 + 2x – 6y = 0 Pembahasan: Titik pusat (–1, 3) dan diameter 40 . Persamaan lingkaran: 2

1  (x + 1)2 + (y – 3)2 =  40  2   x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 10  x2 + y2 + 2x – 6y + 10 – 10 = 0  x2 + y2 + 2x – 6y = 0 4. a. x = 2 dan x = –4 Pembahasan: Lingkaran L  (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 Memotong garis y = 3, maka: (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9 (x + 1)2 = 9  x + 1 = 3   x + 1 = –3 atau x + 1 = 3  x1 = –4 x2 = 2 Jadi, titik potongnya di (–4, 3) dan (2, 3). PGS lingkaran untuk titik (–4, 3): (x1 + a)(x + a) + (y1 + b)(y + b)= r 2  (–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9  –3(x + 1) + 0 = 9  –3x – 3 = 9 x = –4 

PGS lingkaran untuk titik (2, 3): (x1 + a)(x + a) + (y1 + b)(y + b)= r 2  (2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9  3(x + 1) + 0 = 9  3x + 3 = 9 x =2  5. d. 4x + 3y – 31 = 0 Pembahasan: Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, 1) adalah: 7x + y – 3(x + 7) + 2(y + 1) – 12 = 0  7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0 4x + 3y – 31 = 0  Latihan Soal 17 1. a. x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 Pembahasan:  3  T  

M x 2 4 ( x, y )   (4  x, y )   (1  x, y  4) diperoleh: x' =1 –x x= 1– x' y' =y+ 4 y= y'– 4 Substitusi x dan y ke persamaan lingkaran: x2 + y2 = 4  (1 – x ' )2 + ( y '– 4)2 = 4

 1 – 2 x ' + ( x ' )2 + ( y ' )2 – 8 y ' + 16 – 4 = 0  ( x ' )2 + ( y ')2 – 2 x ' – 8 y ' + 13 = 0 Bayangannya: x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 2. a. (4, 4) Pembahasan:  1 T  

 2  A(3, –2)   A ' (3 + 1, –2 – 2)

A ' (4, –4) R

[ O , 90  ] A ' (4, –4)   A " (4, 4) 3. c. 4x + 11y = 5 Pembahasan: 3 5  T1 =   1 2 T2 = matriks yang bersesuaian dengan

1 0   pencerminan terhadap sumbu X =   0 1 T = T2  T1  1 0  3 5  3 5   =   =  0  1 1 2     1 2   x'   3 5   =    y'   1 2 

x   y

x 1  2 5   x'    =     y  6  5  1 3   y'    2 5  =   1 3 

 x'     y' 

 2x'  5y'   =    x'  3y' 


17

Bayangan garis x – 2y – 5 = 0 terhadap matriks transformasi T adalah: (2x' + 5y') – 2(–x' – 3y') – 5 = 0  2x' + 5y' + 2x' + 6y' – 5 = 0  4x' + 11 1y' – 5 = 0

Persamaan garis menjadi: 3x' + 2y' – 7 = 0  3(2x) + 2(2y) – 7(2) = 0  6x + 4y – 14 = 0  3x + 2y – 7 = 0

Jadi, bayangannya adalah 4x + 11y – 5 = 0.

Statistika

4. b. (10, 4) Pembahasan:

a 3 Diketahui translasi T1    dan T2    2   b a  3 T1  T2 artinya T2 dilanjutkan T1 =  2  b    a  3 A(–1, 2) ditranslasi   diperoleh bayangan (1, 11). 2  b Artinya:

 1  a  3   1      2  2  b   11 didapat a  1, b  7

a  3 B(x, y) ditranslasi   diperoleh bayangan 2  b B '(12, 13) . Artinya:  x  a  3   12      y  2  b   13 

 x  1  3   12      y  2  7   13   x   10     y   4  5. b. 3x + 2y = 7 Pembahasan:

3 3x + 2y = 6 ditranslasikan dengan matriks    4   x'  x  3   x  3           y '   y   4   y  4  Persamaan garis yang baru dengan: x' = x + 3  x = x' – 3 y' = y – 4  y = y' + 4 adalah: 3x + 2y = 6 3(x' – 3) + 2(y' + 4) = 6 3x' – 9 + 2y' + 8 = 6 3x' + 2y' – 9 + 8 – 6 = 0 3x' + 2y' – 7 = 0 Kemudian didilatasikan oleh pusat O dan faktor 2

 2x  2 O(0, 0)     2y 

18

Latihan Soal 18 1. e. 10,00 kg Pembahasan: Jumlah balita = n = 2 + 7 + 12 + 6 + 3 = 30 1 1 Letak Me = · n = · 30 = 15  kelas: 9 – 11 1 2 2 Tb = 8,5 fMe = 12 f =9 p =3

1 ·n  f 2 Me = Tb + ·p fMe

1 ·30  9 2 = 8,5 + ·3 12 = 8,5 + 1,5 = 10,00 Jadi, median dari data tersebut adalah 10,00 kg. 2. b. 34,0 Pembahasan: Banyak data = n = 50 1 1 Letak Q1 = ·n= · 50 = 12,5  kelas: 32 – 37 4 4 Tb = 31,5 fQ = 6 1 f = 10 p =6 1 ·n  f 4 Q1 = Tb + ·p fQ1

1 ·50  10 4 = 31,5 + ·6 6 = 31,5 + 2,5 = 34,0 Jadi, kuartil bawah dari data tersebut adalah 34,0. 3. b. 23,75 Pembahasan: b1 = 12 – 10 = 2 b2 = 12 – 6 = 6

Tb = 22,5 p =5

b1 ·p b1  b2 2 = 22,5 + ·5 26 = 22,5 + 1,25

Mo = Tb +

= 23,75 Jadi, modus dari data tersebut adalah 23,75.


4. d. Modus pendapatan warga daerah A lebih besar daripada modus pendapatan warga daerah B Pembahasan: Data pendapatan warga daerah A dan daerah B dalam bentuk tabel sebagai berikut. Pendapatan (Ratusan ribu rupiah) 6 –8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20

Daerah A

fk

Daerah B

fk

4 3 10 9 4

4 7 17 26 30

5 4 7 6 8

5 9 16 22 30

 warga kurang mampu

7 × 100% = 23,33% 30 Persentase warga daerah B yang tergolong kurang mampu 9 = × 100% = 30% 30 Dengan demikian, pernyataan pilihan e salah. Jumlah warga setiap daerah = 30. =

Median = nilai data ke- (n + 1) = nilai data

n

x

Dari tabel terlihat sebanyak 7 warga daerah A dan 9 warga daerah B tergolong kurang mampu. Warga daerah A yang tergolong kurang mampu lebih sedikit daripada warga daerah B. Hal ini berarti tingkat kesejahteraan warga daerah A lebih baik daripada tingkat kesejahteraan warga daerah B. Dengan demikian, pernyataan pilihan a salah. Persentase warga daerah A yang tergolong kurang mampu

1 2 1 ke2

5. a. 6 Pembahasan:  x 1.670 x   167 n 10

(30 + 1)

= nilai data ke15,5 Pada tabel pendapatan warga daerah A, nilai data ke-15,5 terletak pada kelas interval 12 – 14. Pada tabel pendapatan warga daerah B, nilai data ke-15,5 terletak pada kelas interval 12 – 14. Oleh karena nilai data ke-15,5 pada tabel pendapatan warga daerah A dan tabel pendapatan warga daerah B sama-sama terletak pada kelas interval 12 – 14, median pendapatan warga kedua daerah sama. Dengan demikian, pernyataan pilihan b salah. Pendapatan warga daerah A yang memiliki frekuensi terbesar adalah 12 – 14. Berarti modus pendapatan warga daerah A terletak pada kelas interval 12 – 14. Pendapatan warga daerah B yang memiliki frekuensi terbesar adalah 18 – 20. Berarti modus pendapatan warga daerah B terletak pada kelas interval 19 – 20. Hal ini berarti modus pendapatan warga daerah B lebih besar daripada modus pendapatan warga daerah A. Dengan demikian, pernyataan pilihan c salah dan pernyataan pilihan d benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan d.

SR 

i

x

i 1



n

60 6 10

Latihan Soal 19 1. b. 90 Pembahasan: Bilangan genap 3 angka. Angka ke-3 harus genap, yaitu 2, 4, atau 6, berarti ada 3 pilihan. Angka ke-1 diisi setelah angka ke-3, berarti ada 6 pilihan. Angka ke-2 diisi setelah angka ke-3 dan ke-1, berarti ada 5 pilihan. Banyak bilangan genap = 3 × 6 × 5 = 90. 2. c. 84 Pembahasan: Dari 10 orang terdapat 1 orang yang tidak bersedia dipilih, berarti ada 9 orang yang dipilih. Dari 9 orang tersebut dipilih 3 orang untuk mengikuti pelatihan. Banyak cara = C(9, 3)

9! = 3! 6! =

9  8  7  6! 3  2  1 6!

= 84 3. a. 144 Pembahasan: B, C, dan D selalu berdampingan, berarti dianggap 1 kelompok atau 1 elemen, yaitu BCD. Banyak elemen yang disusun ada 4, yaitu A, BCD, E, dan F, berarti banyak susunannya = P1 = 4!. Banyak cara menyusun BCD = P2 = 3!. Banyak susunan = P1 × P2 = 4! × 3! = 24 × = 144 4. b. 80 pilihan Pembahasan: Arman dapat memilih buku tentang kalkulus dari 4 judul buku. Arman dapat memilih buku tentang trigonometri dari 2 judul buku. Arman dapat memilih buku tentang vektor dari 2 judul buku. Arman dapat memilih buku tentang statistika dari 5 judul buku. Banyak pilihan buku yang dapat dipinj am = 4 × 2 × 2 × 5 = 80. Jadi, terdapat 80 pilihan buku yang dapat dipinjam Arman.


19

5. d. 12 jenis Pembahasan: Isi roti bakar ada 2 pilihan, yaitu cokelat dan selai kacang. Dua isi tambahan dapat dipilih dari 4 pilihan, yaitu keju, selai nanas, selai strawberi, dan selai mangga. Banyak isi tambahan yang dapat dipilih merupakan kombinasi 2 dari 4(4C2). Banyak jenis roti bakar berbeda yang dapat dipilih Rini =

Pembahasan: Banyak kelereng hitam = 5 Banyak kelereng putih = 4 Banyak kelereng biru = 3 Jumlah kelereng = 5 + 4 + 3 = 12 Banyak anggota ruang sampel n(S) = banyak cara pengambilan 3 kelereng dari 12 kelereng. n(S) = 12C3 =

2 × 4C2

2

4! = 2× 2!(4  2)! 2×

=

2×6

= 2 × 11 × 10

1

= 220

2  1 2!

Latihan Soal 20 9 1. e. 36 Pembahasan: Banyak hasil yang mungkin: n(S) = 36 A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 4 atau 7 = {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} n(A) = 9 Peluang muncul j umlah kedua mata dadu 4 atau 7:

9 n( A) = 36 n( S ) 2. c. Peluang terjadinya sebuah gempa bumi di kota Zadia pada suatu saat dalam 20 tahun ke depan lebih tinggi daripada peluang tidak terjadinya gempa bumi Pembahasan: Dalam 20 tahun ke depan: 2 Peluang terjadi gempa bumi = 3 2 1 Peluang tidak terjadi gempa bumi = 1 – = , 3 3 2 1 > , berarti peluang terjadi gempa a bumi yang lebih 3 3 tinggi daripada peluang tidak terjadinya gempa bumi. Jadi, jawaban yang sesuai pada pilihan c. 3. a.

20

1 22

12  11 10  9! 3  2  1 9! 1

2

= 12 Jadi, terdapat 12 jenis roti bakar berbeda yang dapat dipilih Rini.

P(A) =

=

4  3  2!

=

12! 3!(12  3)! 1

Misalkan K = kejadian terambil 3 kelereng hitam. n(K) = banyak cara mengambil 3 dari 5 kelereng hitam = 5C3 =

5! 3!(5  3)!

=

5  4 2  3  2! 3  2 1  1 2! 1

1

=5× 2 = 10 Peluang terambil 3 kelereng hitam: P(K) =

=

n (K ) n(S ) 10 220

1 22 Jadi, peluang terambil 3 kelereng hitam =

1 . 22 4. c. Peluang Anto memperoleh hadiah kulkas sebesar

adalah

1 99

Pembahasan Jika pengundian kedua hadiah dilakukan dengan mengambil dua nomor hp sekaligus, peluang Anto

2 1 = . 100 50 Berdasarkan peraturan kuis undian kedua hadiah dilakukan secara berurutan dan peserta yang telah memperoleh hadiah tidak akan diikutkan lagi pada undian selanjutnya sehingga permasalahan termasuk pengambilan tanpa pengembalian. Dengan demikian, pernyataan pilihan a salah. memperoleh hadiah =


Penghitungan peluang pada pengambilan tanpa pengembalian sebagai berikut. Pad a und ian laptop terdapat 100 pengirim dengan hadiah sebuah laptop sehingga peluang

1 . 100 Pada undian kulkas terdapat 99 pengirim dengan hadiah sebuah kulkas sehingga peluang Anto

P(3S, 2G) = (P(S))3 × (P(G))2 3

 1 3 =  ×   4 4

Anto memperoleh hadiah laptop adalah

1 memperoleh hadiah kulkas adalah . 99 Dengan demikian, pern yataan p ilihan b , d, dan e salah, sedangkan pernyataan pilihan c benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan c. 90 1.024 Pembahasan:

=

= 5C3 =

9 1.024 Peluang jarum menunjuk juring II sebanyak 3 kali dari 5 kali putaran: P = 5C3 × P(3S, 2G) = 10 × =

5! 3!(5  3)!

1 9 × 64 16

=

5. e.

Papan dibagi menjadi 4 juring sama besar sehingga peluang jarum menunjuk setiap juring adalah sama, 1 yaitu . 4 Misalkan peluang jarum penunjuk juring II adalah P(S) dan peluang jarum tidak menunjuk juring II adalah P(G) maka: 1 P(S) = 4 P(G) = 1 – P(S) 1 =1– 4 3 = 4 Jarum menunjuk juring II sebanyak 3 kali berarti jarum tidak menunjuk juring II sebanyak 2 kali. Cara menentukan urutan 3 kali jarum menunjuk juring II dari 5 kali putaran sama dengan cara menempatkan 3 huruf S pada 5 tempat. Cara menempatkan 3 huruf S pada 5 tempat merupakan permasalahan kombinasi. Banyak cara menempatkan 3 huruf S pada 5 tempat

2

9 1.024

90 1.024

Jadi, peluang jarum menunjuk juring II sebanyak 3 kali sebesar

90 . 1.024

LATIHAN UJIAN NASIONAL 15 8 Pembahasan:

1. c.

1

1

 62  108  2  (2  3)2  (2  5)8  2 =  6   2 2 6 2 2   20  9   (2  5)  (3 )  1

 2 2  3 2  28  58  2 =  12 6 4  2 5 3  1

 2 2 8  3 2  4  58 6  2 =  212   1

 26  32  5 2  2 =  212   1

=

=

5  4  3! 3! 1  2!

5 4

1

2

 32  5 2  2 =  6  2  =

35 23

=

15 8

1

2 1

=5× 2 = 10 Peluang jarum menunjuk juring II sebanyak 3 kali dan jarum tidak menunjuk juring II sebanyak 2 kali:

1

 62  108  2 15 Jadi, hasil dari  6 . 2  adalah 8  20 9  


21

3(2  2 )(2  2) 32 2

3 x  1 1 ;x 4x  2 2 Pembahasan: Misalkan y = f(x), maka:

5. b. f – 1 (x) =

2. e. 18 + 12 2 Pembahasan:



3(4  2) 32 2

·

32 2 32 2

y=



6(3  2 2) 98

 18  12 2

log 9  2 log 3  3log 4 2 3 log 18

=

 4xy + 3y = 2x – 1  x(4y – 2) = –3y – 1

log 9  2 log 3  3 log 4 3 log 2  3log 18 27

 (4x + 3)y = 2x – 1

 4xy – 2x = –3y – 1

14 6 Pembahasan:

3. b. 

27

2x  1 4x  3



x =

3y  1 4y  2



f –1 (x) =

3 x  1 4x  2

Jadi, invers dari f(x) adalah f –1 (x) =

3 3

=

log 9 log 3 log 4  · log 27 log 2 log 3 1 3 log 9

2 log 3 log 4  · 3 log 3 log 2 = 2

2 3  log 3· 2log 4 3 = 2 2  2·2 = 3 2 2 12  = 3 3 2

2

x1 x2  x1x2  

2

= ( x1x2 )( x1  x2 )

54 = (–18)(–6p) 54 = 108p p =

1 2

3 4 Pembahasan: Dari f(x) = (m – 1)x2 – 2mx + (m – 3) diperoleh a = m – 1, b = –2m, dan c = m – 3. f(x) definit negatif jika a < 0 dan D < 0. a <0 m – 1 <0  m <1 . ...(1)  D <0 b2 – 4ac < 0  2  (–2m) – 4(m – 1)(m – 3) < 0 4m2 – 4(m2 – 4m + 3) < 0  4m2 – 4m2 + 16m – 12 < 0 

7. a. m <

14 6

4. c. 11 Pembahasan: ( g  f )( x ) = g(f(x))

= g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 + 3 = 18x2 – 12x + 5 ( g  f )(1)

1 2 Pembahasan: Akar-akar dari x2 + 6px – 18 = 0 adalah x1 dan x2. b x1  x2   a  6 p c x1 · x2  a  18

6. c.



14 = 3 2 = 

= 18(1)2 – 12(1) + 5 = 18 – 12 + 5 = 11

22

3 x  1 1 ;x  . 4x  2 2



m <


3 4

...(2)

Dari syarat (1) dan (2) disimpulkan bahwa nilai m yang menyebabkan f(x) definit negatif adalah

3 . 4 8. b. 42 Pembahasan: Misalkan: x = usia ayah saat ini y = usia ibu saat ini Saat ini, dua kali usia ibu dikurangi usia ayah sama dengan 36 tahun. 2y – x = 36  –x + 2y = 36 Hasil penjumlahan usia ayah dan ibu tiga tahun yang akan datang sama dengan dua kali usia ayah saat ini. (x + 3) + (y + 3) = 2x  x + y + 6 = 2x  x–y =6 diperoleh SPLDV: m=

 x  2y  36  x  y  6

...(1) ...(2)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). –x + 2y = 36 x–y =6 + y = 42 Jadi, usia ibu saat ini 42 tahun. 9. c. x + y  3; x + 2y  4; x – 2y  0; x  0; y  0 Pembahasan: Berdasarkan grafik terdapat beberapa garis yang membatasi daerah yang diarsir. (i) Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan (0, 3) adalah:

x y  = 1 3 3  3x + 3y = 9 

x+y=3

Titik (0, 1) terdapat pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 1) ke x + y. x + y = 0 + 1 = 1  3. Diperoleh pertidaksamaan x + y  3. (ii) Persamaan garis yang melalui titik (4, 0) dan (0, 2) adalah:

x y  = 1 4 2  2x + 4y = 8 

x + 2y = 4

Titik (0, 1) terdapat pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 1) ke x + 2y. x + 2y = 0 + 2 × 1 = 2  4. Diperoleh pertidaksamaan x + 2y  4.

(iii) Titik potong antara garis x + y = 3 dan x + 2y = 4 adalah (2, 1). Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (2, 1) adalah x – 2y = 0. Titik (0, 1) terdapat pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 1) ke x – 2y. x – 2y = 0 – 2 × 1 = –2  0. Diperoleh pertidaksamaan x – 2y  0. (iv) Daerah penyelesaian terletak di kanan dan pada sumbu Y sehingga x  0. (v) Daerah penyelesaian terletak di atas dan pada sumbu X sehingga y  0. Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah x + y  3; x + 2y  4; x – 2y  0; x  0; y  0. 10. a. Rp13.400.000,00 Pembahasan: Misal: x = banyak sepeda gunung y = banyak sepeda balap Model matematika: (i) x + y  25 (ii) 1.500.000x + 2.000.000y  42.000.000  3x + 4y  84 (iii) x  0; y  0 f(x, y) = (500x + 600y) ribu Daerah penyelesaian: Y 25

21

C

B

9

A O

16

Uji titik pojok: O(0, 0)  f(0, 0) = A(25, 0)  f(25, 0)= =  B(16, 9) f(16, 9)= = C(0, 21)  f(0, 21)= =

25 28

X

0 500.000(25) + 0 12.500.000 500.000(16) + 600.000(9) 13.400.000 0 + 600.000(21) 12.600.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima pedagang Rp13.400.000,00. 11. c. f(x) = 2x3 – 5x2 – x + 7 Pembahasan: f(x) dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4)  f(x) dibagi (x + 1)(x – 3)bersisa (3x + 4)


23

Berdasarkan teorema sisa diperoleh: f(–1) = 3(–1) + 4 = 1 f(3) = 3(3) + 4 = 13 Misal f(x) dibagi (x2 – 3x + 2) hasil baginya (ax + b) dan bersisa (–2x + 5) f(x) = (x2 – 3x + 2) (ax + b) + (–2x + 5) f(–1) = ((–1)2 – 3(–1) + 2)(a(–1) + b) + (–2(–1) + 5) 1 = 6(–a + b) + 7  .... (1)  –a + b = –1 2 f(3) = ((3) – 3(3) + 2)(3a + b) + (–2(3) + 5) 13 = 2(3a + b) + (–1)   3a + b = 7

.... (2)

Eliminasi b dari (1) dan (2): –a + b = –1 3a + b = 7 – –4a = –8 a =2 Substitusi a = 2 ke –a + b = –1: –2 + b = –1  b = 1 f(x) = (x2 – 3x + 2)(2x + 1) + (–2x + 5) = 2x3 – 6x2 + 4x + x2 – 3x + 2 – 2x + 5 = 2x3 – 5x2 – x + 7 12. d. 4 Pembahasan: A + BA = C

 1 5   x 1   1 2    = C    2 7  3 2  5 7

 1 5   5  x 2 x  7    = C  20   2 7  7

 

4  x   9

2 x  12   = C 27 

 4  x 2 x  12  det   = det C 27   9

x 

((2 x  1)  4 x 2  6 x  5) · = xlim  (2 x  1)  4 x 2  6 x  5 (2 x  1)  4 x 2  6 x  5 = xlim  = xlim  = xlim 

27(4 – x) – 9(2x + 12) = –180

 3(4 – x) – (2x + 12) = –20 12 – 3x – 2x – 12 = –20  –5x = –20   x = 4 13. a. 197 Pembahasan: Tinggi tumpukan kursi membentuk barisan bilangan: 45, 53, 61, ... . Barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan a = 45 dan b = 8. U20 = a + (20 – 1)b = 45 + 19 · 8 = 45 + 152 = 197 Jadi, tinggi tumpukan 20 kursi yaitu 197 cm. 24

1 2 Pembahasan:

15. d.

lim ((2 x  1)  4 x 2  6 x  5)

T



32 3 Pembahasan: Barisan geometri: Un = arn – 1 8 8  ar3 = U4 = 3 3 20 20  U3 + U5 = ar2 + ar4 = 3 3 20  ar3 + ar5 = r 3 20 r  ar3 + ar3 × r2 = 3 8 8 20  + × r2 = r 3 3 3 2  2 + 2r = 5r  2r2 – 5r + 2 = 0  (2r – 1(r – 2) = 0 1  r = atau r = 2 2 Oleh karena deret geometri naik maka r = 2. Nilai suku keenam: 8 32 U6 = U4 × r2 = × 22 = 3 3

14. d.

(2 x  1)2  ( 4 x 2  6 x  5 )2 (2 x  1)  4 x 2  6 x  5

4 x 2  4 x  1  (4 x 2  6x  5) (2x  1)  4 x 2  6 x  5 2x  6 (2 x  1)  4 x 2  6 x  5

2x  6 x = xlim  2x 1 4x 2 6 x 5    2  2 x x x2 x x 2 = xlim 

2

= xlim  =

6 x

1 6 5  4  2 x x x

20 20 400

2 1 = 22 2


1 3 Pembahasan:

Absis titik singgung x = 1. Ordinat titik singgung: y = 3 1= 3 Gradien garis  : 3 3 m= = 2 2 1 Persamaan garis  yang melalui titik A(1, 3) dan 3 bergradien m = sebagai berikut. 2 3 y – yA = m(x – xA)  y – 3 = (x – 1) 2 Garis  memotong sumbu X berarti y = 0 sehingga: 3 0 – 3 = (x – 1) 2  –2 = x – 1 x = –1  Jadi, garis  memotong sumbu X di titik (–1, 0).

16. b.

 sin 4 x  sin 2 x  lim   x 0 6x   2 cos 3 x sin x  lim x 0 6x 2 cos 3 x sin x  lim · lim x 0 x 0 6 n 2(1)  ·1 6 2  6 1  3 17. a.

18 x  7

4x  1 Pembahasan:

2 21 3 Pembahasan: Bak air tanpa tutup berbentuk tabung berukuran: jari-jari= r

20. b. 1

f(x) = (3 x  2)(4 x  1) 2 f(x) = u(x) × v(x) dengan u(x) = (3x – 2) dan 1

v(x) = (4 x  1)2 1

1   1 u(x) = 3 dan v  (x) = (4 x  1) 2 × 4 = 2 (4 x  1) 2 2 f (x) = u (x) × v(x) + u(x) + v  (x) 1 2

= 3 × (4 x  1) + (3x – 2) × 2 (4 x  1) = 3 4x  1 + = =



1 2

2(3 x  2)

 r 2  2rt  28   

r 2  2rt  28 2rt  28  r 2

28  r 2 2r Misal volume tabung = V t



4x  1 3(4 x  1)  2(3 x  2)

4x  1 18 x  7 4x  1

Jadi, turunan pertamanya adalah f (x) =

tinggi = t Luas alas + luas selimut = 28 

18 x  7

. 4x  1

18. a. –2(6x2 – 6x) sin–3 (2x3 – 3x2) cos (2x3 – 3x2) Pembahasan: Misalkan y = u–2 dengan u = sin v dan v = (2x3 – 3x2)

 28  r 2  1 3 V  r 2t  r 2    14 r  r 2 r 2   Volume tabung akan mencapai maksimum jika V  = 0. 3 V   14   r 2  0 2



dy du dv = –2u–3, = cos v, = (6x2 – 6x) du dv dx

3 2 r  14  2



dy dx

dy du dv · · du dv dx –3 = –2u · cos v · (6x2 – 6x)

3 2 r  14 2

 3r 2  28

= –2 sin–3 v · cos v · (6x2 – 6x)



r2 



r 

28 3

1 2



r 

(4)(7)(3) (3)(3)

1  21 3 x = 2 2 x



r 

=

= –2 sin–3 (2x3 – 3x2) · cos (2x3 – 3x2) · (6x2 – 6x) = –2(6x2 – 6x) sin–3 (2x3 – 3x2) cos (2x3 – 3x2) 19. d. (–1, 0) Pembahasan: y

= 3 x = 3x

y = 3 ×

28 3

2 21 m 3


25

Y

2

21. e. 4 3

8

Pembahasan: 1

 (3x  1)(3 x

2

 2x  2)2 dx

x+y=8

1



11 (3 x 2  2x  2)2 d (3 x 2  2 x  2) 2 1



1 1 1 · (3 x 2  2 x  2)3  1 2 3



1 (3 · 12  2 · 1  2)3  (3 · ( 1)2  2 · ( 1)  2)3 6



1 (3  2  2)3  (3  2  2)3 6

 

1  33  ( 1)3 6



y = 2x







x dx

 (8  x ) dx 4

Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII 4

=

x dx   (8  x ) dx

2

x dx   ( x  8) dx

0 4

=

8

2 0

4 8

4

16 24. d.  63 Pembahasan:

sin 2 x dx

12

 1   1   2 x ·   cos 2 x   ( 4 x )   sin 2 x    2   4  1 4 · cos 2 x  C 8 1 2   x cos 2 x  x sin 2 x  cos 2 x  C 2 2

4

8

 2 x dx   ( x  8) dx 0

4

Pembahasan: Perpotongan kedua kurva: y= 2 x 

x+y=8 x+ 2 x =8



( x )2  2 x  8 = 0

 ( x )  4)( x  2) = 0  x = –4 atau  (tidak ada)

26

4

2 8

1 22. a. –x cos 2x + x sin 2x + cos 2x + C 2 Pembahasan: Integral parsial Fungsi 2x2 sin 2x dapat dipisah menjadi 2x2 dan sin 2x. Fungsi 2x2 diturunkan sampai diperoleh nilai nol, sedangkan sin 2x diintegralkan.

23. e.

Daerah I dibatasi oleh kurva y = 2 x dan sumbu X pada interval 0  x  4.

Luas daerah II: LII =

2

2

X

Daerah II dibatasi oleh garis y = 8 – x dan sumbu X pada interval 4  x  8.

2 3

 2x

8

0

28 6

4

4

Luas daerah I: LI =

1  (27  1) 6 

0

x =2 x=4

13

5 4

B

A 3

5

3 5 4 tan A = 3

5 13 12 tan B =  5 cos B = 

cos A =

tan( A  B ) 

tan A  tan B 1  tan A · tan B

4  12     3  5    4   12  1       3  5  20  36 16  16 15   15   48 63 63 1 15 15


25. d. 1 – 4p2 Pembahasan: sin A – cos A = 2p (sin A – cos A)2  2 sin A – 2 sin A cos A + cos2 A  sin2 A + cos2 A – 2 sin A cos A  1 – sin 2A  sin 2A 

(2p)2 4p2 4p2 4p2 1 – 4p2

= = = = =

26. a. 72 3 Pembahasan: Segi enam terdiri atas 6 segitiga yang kongruen. 12 cm

A

Rusuk sejajar ada 0 pasang. Rusuk bersilangan ada 3 pasang, yaitu (AB, TC), (AC, TB), dan (BC, TA). Rusuk berpotongan ada 12 pasang, yaitu (AB, AC), (AC, AT), (AT, AB), (BA, BC), (BA, BT), (BC, BT), (CA, CB), (CA, CT), (CB, CT), (TA, TB), (TA, TC), dan (TB, TC). Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (i) dan (iii). 4 3 28. a. 3 Pembahasan: H

G

B

O

30

P

30

E

F

120O D

A

=

Q

B

Jarak titik P dengan garis QG sama dengan panjang ruas garis PR. EG merupakan diagonal sisi, maka EG = 4 2 cm. 1 PG = EG = 2 2 cm. 2 PQG siku-siku di P, maka:

12 sin 30 = sin 120 

12  21 1 2

C

O

AB sin B  AC = sin C

=

R

4

C

AC AB = sin B sin C

G

P

O

QG  PQ 2  PG 2

3

 42  (2 2)2

12

 16  8

3

 24

= 4 3 cm Luas ABC

 2 6 cm

1 · AB · AC sin BAC 2 1 = · 12 · 4 3 ·sin 30 2 1 = 24 3 · 2

Luas segitiga PQG: 1 1 L   QG  PR   PQ  PG 2 2 1 1   2 6  PR   4  2 2 2 2

= 12 3 cm 2 Luas segi enam = 6 × luas ABC



=

6PR  4 2



= 6 × 12 3 cm 2 = 72 3 cm2 27. c. (i) dan (iii) Pembahasan: Banyak rusuk pada bidang empat ada 6. Banyak pasangan rusuk = 6C2 =

6! 2!  (6  2)!

=

6  5  4! 2  1 4!

=

30 = 15 2

4 2 6 4 3 cm  3

PR 

1 3 Pembahasan:

29. c.

H

G T

E

F

6 cm

D

C

6 cm A

B


27

Sudut antara bidang AFH dan bidang CFH adalah ATC   . EG merupakan diagonal sisi, maka EG = 6 2 cm. 1 TG = EG  3 2 cm 2

AT  TC  CG 2  TG 2  6 2  (3 2)2  36  18  54  3 6 cm Perhatikan ATC

cos  



AT 2  TC 2  AC 2 2 · AT · TC (3 6 )2  (3 6 )2  (6 2)2 2·3 6 ·3 6

54  54  72  2 · 54 

36 108

1  3 30. c. (x – 2)2 + (y + 4)2 = 20 Pembahasan L1 : x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0  x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = –15 + 4 + 16  (x – 2)2 + (y + 4)2 = 5 Lingkaran L1 berpusat di titik (2, –4) dan berjari-jari 5 . Lingkaran L 2 sepusat dengan lingkaran L1 berarti titik pusat lingkaran L2 adalah (2, –4). Jari-jari lingkaran L2 sama dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran L1 yaitu r = 2 5 . Persamaan lingkaran L2 yang berpusat di (2, –4) dan berjari-jari 2 5 adalah: (x – 2)2 + (y + 4)2 = (2 5 )2  (x – 2)2 + (y + 4)2 = 20 Jadi, persamaan lingkaran adalah: (x – 2)2 + (y + 4)2 = 20. 31. e. y = 3 dan y = 9 Pembahasan: Menentukan titik potong garis x = –5 dan L  (x + 5)2 + (y – 6)2 = 9. Substitusi x = –5 ke L: (–5 + 5)2 + (y – 6)2 = 9  ( y  6)2  9



28

y  6  3

Untuk y – 6 = 3  y = 9, diperoleh titik potong (–5, 9). Untuk y – 6 = –3  y = 3, diperoleh titik potong (–5, 3). Persamaan garis singgung melalui (–5, 9): (x + 5)(–5 + 5) + (y – 6)(9 – 6) = 9  0 + 3 (y – 6) = 9 y–6 =3  y =9  Persamaan garis singgung melalui (–5, 3): (x + 5)(–5 + 5) + (y – 6)(3 – 6) = 9  0 + (–3)(y – 6) = 9 y – 6 = –3  y =3  32. d. A'(14, 11) Pembahasan: Koordinat bayangan titik A(2, –8) oleh translasi

 1 T =   adalah (2 + (–1), –8 + 6) = (1, –2). 6 Koordinat bayangan titik (1, –2) oleh rotasi R[O, 90°] adalah (–(–2), 1) = (2, 1). Koordinat bayangan titik (2, 1) oleh transformasi  8 2   adalah (x', y'). dengan matriks M =  5 1   x ' x   M   y ' y   8 2   2      5 1   1  16  2     10  1   14     11  Jadi, bayangannya A'(14, 11). 33. e. –18 Pembahasan Titik (a, b) dirotasikan R[O, –90°] menghasilkan bayangan titik (b, –a).

 3 5   Titik (b, –a) ditransformasikan oleh matriks   1 2  menghasilkan bayangan titik (2, –3), berarti:  3 5     1 2 

 b  2  =   a   3 

b  1  2 5   2  1  4  15  11    =    a  = =   6  5  1 3   3  1  2  9   7    Diperoleh: –a = 7  a = –7 b = 11 a – b = –7 – 11 = –18 Jadi, nilai a – b = –18.


34. e. Sebanyak 18,75% siswa memperoleh nilai 70 – 74 Pembahasan: Nilai tertinggi ditunjukkan oleh nilai yang terletak paling kanan. Nilai paling kanan memiliki tepi bawah Tb = 74,5 dan tepi atas Ta = 79,5 sehingga diperoleh batas bawah, batas atas, dan kelas interval berikut. Batas bawah Bb = Tb + 0,5 = 74,5 + 0,5 = 75 Batas atas Ba = Ta – 0,5 = 79,5 – 0,5 = 79 Kelas interval = 75 – 79 Hal ini berarti, nilai tertinggi yang diperoleh siswa adalah 75 – 79. Dengan demikian, pernyataan pilihan a salah. Nilai terbanyak yang diperoleh siswa ditunjukkan oleh nilai yang memiliki batang tertinggi. Batang tertinggi memiliki tepi bawah Tb = 59,5 dan tepi atas Ta = 64,5 sehingga diperoleh batas bawah, batas atas, dan kelas interval berikut. Batas bawah Bb = Tb + 0,5 = 59,5 + 0,5 = 60 Batas atas Ba = Ta – 0,5 = 64,5 – 0,5 = 64 Kelas interval = 60 – 64 Hal ini berarti, nilai tertinggi yang diperoleh siswa adalah 60 – 64. Dengan demikian, pernyataan pilihan b salah. Nilai yang paling sedikit diperoleh siswa ditunjukkan oleh nilai yang memiliki batang terendah. Batang terendah memiliki tepi bawah Tb = 74,5 dan tepi atas Ta = 79,5 sehingga diperoleh batas bawah, batas atas, dan kelas interval berikut. Batas bawah Bb = Tb + 0,5 = 74,5 + 0,5 = 75 Batas atas Ba = Ta – 0,5 = 79,5 – 0,5 = 79 Kelas interval = 75 – 79 Hal ini berarti, nilai yang paling sedikit diperoleh siswa adalah 75 – 79. Dengan demikian, pernyataan pilihan c salah. Kelas interval 60 – 64 memiliki tepi bawah Tb = 60 – 0,5 = 59,5 dan tepi atas Ta = 64 + 0,5 = 64,5. Tinggi batang nilai yang memiliki Tb = 59,5 dan Ta = 64,5 adalah 12 sehingga frekuensi kelas interval 60 – 64 adalah 12. Jumlah siswa = 4 + 12 + 8 + 6 + 2 = 32.

12 × 100% 32 = 37,5% Hal ini berarti, persentase banyak siswa yang memperoleh nilai 60 – 64 adalah 37,5%. Dengan demikian, pernyataan pilihan d salah. Kelas interval 70 – 74 memiliki tepi bawah Tb = 70 – 0,5 = 69,5 dan tepi atas Ta = 74 + 0,5 = 74,5. Tinggi batang nilai yang memiliki Tb = 69,5 dan Ta = 74,5 adalah 6 sehingga frekuensi kelas interval 70 – 74 adalah 6.

Persentase kelas interval 60 – 64 =

6 Persentase kelas interval 70 – 74 = × 100% 32 = 18,75%

Hal ini berarti, persentase banyak siswa yang memperoleh nilai 70 – 74 adalah 18,75%. Dengan demikian, pernyataan pilihan e benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan e. 35. d. 153,5 Pembahasan: Rata-rata tinggi badan siswa



 fx f



7 ·143  6·148  5·153  5·158  3·163  4·168 76553 4



1.001  888  765  790  489  672 30



4.605 30

 153,5 cm 36. e. 66,5 Pembahasan: Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut.

Nilai

fi

fk

51 – 60

7

7

61 – 70

5

12

71 – 80

12

24

81 – 90

10

34

91 – 100

6

40

 kelas Q1

Jumlah data n = 40 1

Kuartil bawah (Q1) = nilai data ke- 4 (n + 1) 1

= nilai data ke- 4 (40 + 1) = nilai data ke-10,25 Nilai data ke-10,25 terletak pada kelas interval 61 – 70. Tb = 61 – 0,5 = 60,5 F =7

fQ1 = 5 p

= 70 – 61 + 1 = 10

Q1 = Tb +

1 n 4

= 60,5 + = 60,5 +

F

fQ1

p

1  40 4

5 3 5

7

 10

× 10

= 60,5 + 6 = 66,5 Jadi, kuartil bawah dari data adalah 66,5.


29

37. c. 105 Pembahasan: Banyak cara memilih 2 anak perempuan dan 2 anak laki-laki

n(A) = 7C3 =

7! 3! 4!

=

765 3  2 1

 C(4, 2) · C(5, 2) 

4! 5! · 2!2! 2!3!



4 · 3 · 2! 5 · 4 · 3! · 2 · 1 · 2! 2 · 1 · 3!

= 35 P(A) =

 6 ·10 =

 60 Banyak cara memilih 1 anak perempuan dan 3 anak laki-laki

 C(4, 1)·C(5, 3) 

4! 5! · 1! 3! 3! 2!



4 · 3! 5 · 4 · 3! · 1 · 3! 3! · 2 · 1

Banyak cara memilih 4 anak laki-laki

=

5! 4! 1!

7 44 Peluang paling sedikit terambil 1 manik-manik kuning sama dengan peluang tidak terambil ketiganya ungu, yaitu: =

=1–

5 · 4! 4! · 1 = 5 Jadi, banyak cara memilih jika maksimal 2 anak perempuan disertakan = 60 + 40 + 5 = 105 cara. 38. e. 20 Pembahasan: n1 = banyak jalan dari kota A ke B n2 = banyak jalan dari kota B ke C Banyak cara pergi dari kota A ke kota C melalui kota B = n1 × n2 = 4 × 5 = 20 Jadi, banyak jalan berlainan yang dapat ditempuh dari koa A ke kota C melalui kota B adalah 20. 37 39. b. 44 Pembahasan: Dari 12 manik-manik diambil 3 manik-manik: n(S) = 12C3 =

12! = 3!9!

37 44 40. b. 4.750 Pembahasan: Bibit yang hidup = 100 – 5 = 95 A = kejadian bibit yang disemai hidup 95 P(A) = 100 Banyak bibit yang diharapkan hidup:

12  11 10 = 220 3  2 1 A = kejadian terambil 3 manik-manik ungu

Fh(A) = P(A) × n =

95 × 5.000 100

= 4.750 Jadi, ada 4.750 bibit yang diharapkan hidup.

TRYOUT PAKET 1 16 9m2 n21 Pembahasan:

1. a.

(6m4n3)–2 × (4m2n–5)3 =

6–2 m–8 n–6 43 m6 n–15

=

(2 · 3)–2 m6 – 8 n–6 – 15 (22)3

=

2–2 · 3–2 · m–2n–21 · 26

=

24 3 · m 2n 21

=

16 9m2 n21

=

30

7 44

=

 40

C(5, 4)

35 220

P( A ') = 1 – P(A)

 4 · 10

=

n ( A) n(S )

2


2 5 Pembahasan

2. c.

Pembahasan

3

(g  h )(x)= g(h(x))

= g(4x + 5)

3 2 3( 3  1)  2  5  = 5 3 1 5( 3  1) 3 3  3  10

=

5 3 5

=

2(4x  5)  1 (4 x  5)  5

=

8 x  10  1 4 x  10

8x  9 4 x  10 Jadi, rumus komposisi fungsi =

3 3  13

=

5 3 5 (g  h ) (x) =

3 3  13

=

5 3 5

×

5 3 5 5 3 5

(3 3  13)(5 3  5) 25  3  25

=

15  3  15 3  65 3  65 50

=

8x  9 5 ; x 2 . 4 x  10

x 1 2 Pembahasan: Dari pengertian komposisi fungsi,

5. b.

3

( g  f )( x )  g (f ( x ))  g ( x 3 )  2 x 3  1 1 Misalnya ( g  f ) ( x )  y , maka: 3 3 2x  1  y  2x  y  1

45  50 3  65 = 50

50 3  20 50 2 = 3 5 Jadi, hasilnya adalah 3 

p 1 pq Pembahasan:

3. b.

5

3

log 10

=

5

= 5

=

log 10 log 3

5

log 2·5 5 log 3 log 2  5log 5 5 log 3

1 1 p = q 1 p = pq 4. b.

8x  9 5 ; x 4 x  10 2

 x  1 Jadi, ( g  f ) ( x ) 

=

2 . 5

 x3 

3

y 1

3

2 y 1

2

x 1 . 2

6. e. –96 Pembahasan: Akar-akar x2 + 4x + p = 0 adalah  dan .  b 4  + = = = –4 a 1 c p  ·  = = =p a 1  2 + 2 = (  + )2 – 2   –32 = (–4)2 – 2p –32 = 16 – 2p 2p = 48  p = 24 Jadi, –4p = –4(24) = –96. 7. b. –2 < m < 10 Pembahasan: 1  Grafik y =  m  3  x2 – mx + 2x + 2 tidak memotong 2  sumbu X jika D < 0. b2 – 4ac < 0 1  (–m + 2)2 – 4( m + 3)(2) < 0 2  m2 – 4m + 4 – 4m – 24 < 0  m2 – 8m – 20 < 0  (m + 2)(m – 10) < 0  –2 < m < 10


31

Model matematika dari permasalahan tersebut sebagai berikut. Memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 25.000y dengan kendala:

8. b. 18 anak dan 22 anak Pembahasan: Misalkan: x = banyak siswa laki-laki y = banyak siswa perempuan diperoleh SPLDV:

...(1)  x  y  40   2x  y  14  2x  y  14 ...(2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y = 40 2x – y = 14 + 3x = 54  x = 18 Substitusi x = 18 ke persamaan (1) diperoleh: 18 + y = 40  y = 22 diperoleh x = 18 dan y = 22. Jadi, banyak siswa laki-laki dan perempuan berturut-turut 18 anak dan 22 anak. 9. b. x + y  5; x + 2y  8; x  0; y  0 Pembahasan: Berdasarkan grafik terdapat beberapa garis yang membatasi daerah arsiran. (i) Persamaan garis yang melalui titik (5, 0) dan (0, 5) adalah: x y   1  5x + 5y= 25 5 5 x+y=5  Titik (0, 0) terdapat pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 0) ke x + y. x+y=0+0=0  5 Diperoleh pertidaksamaan x + y  5. (ii) Persamaan garis yang melalui titik (8, 0) dan (0, 4) adalah: x y   1  4x + 8y = 32 8 4  x + 2y = 8 Titik (0, 0) terdapat pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 0) ke x + 2y. x + 2y = 0 + 2 × 0 = 0  8 Diperoleh pertidaksamaan x + 2y  8. (iii) Daerah penyelesaian terletak di kanan dan pada sumbu Y sehingga x  0. (iv) Daerah penyelesaian terletak di atas dan pada sumbu X sehingga y  0. Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah x + y  5; x + 2y  8; x  0; y  0. 10. b. Rp450.000,00 Pembahasan: Misalkan: x = banyak sepatu jenis I y = banyak sepatu jenis II

32

Sepatu

Banyak

Jenis I Jenis II Pembatas

x y

Kul it Sintetis 300 250 4.500

Kulit Kerbau 1.000 500 12.000

300 x  250 y  4.500  6 x  5y  90 1.000 x  500 y  12.000  2x  y  24   x  0  y  0 Daerah penyelesaian SPtLDV: Y

24

18 C

B

A X 12 15 6x + 5y = 90 2x + y = 24

O

Titik B adalah titik potong garis 6x + 5y = 90 dan 1

2x + y = 24. Koordinat titik B(7 2 , 9). Uji titik pojok ke fungsi objektif. Titik Pojok

f(x, y) = 30.000x + 25.000y

O(0, 0)

30.000(0) + 25.000(0) = 0

A(12, 0)

30.000(12) + 25.000(0) = 360.000

B(7½, 9)

30.000(7½) + 25.000(9) = 450.000

C(0, 18)

30.000(0) + 25.000(18) = 450.000

Nilai f(x, y) maksimum adalah 450.000. Jadi, laba maksimum yang dapat diperoleh Rp450.000,00. 11. c. 4x3 – 12x2 – 2x + 11 Pembahasan: F(x) dibagi (2x2 – 3x – 2) = (2x + 1)(x – 2) bersisa (–7x + 5) Berdasarkan teorema sisa diperoleh: F   21  = –7   21  + 5 =

Laba 30.000 25.000

F(2)

17 2

= –7(2) + 5 = –9

F(x) dibagi (2x2 – 3x – 9) bersisa (7x – 16)


Misal hasil baginya ax + b F(x) = (2x2 – 3x – 9)(ax + b) + (7x – 16) F   21  =

17 2 2

 (2   21  – 3   21  – 9)   12 a  b  + 7   21  – 16 = 



1 2

 32  9    12 a  b  –

7 2

– 16 =

17 2 17 2



–7   12 a  b  = 28



– 12 a  b = –4

–a + 2b = –8 ... (1)  F(2) = –9  (2(2)2 – 3(2) – 9)(2a + b) + 7(2) – 16 = –9 (–7)(2a + b) = –7  2a + b = 1 ... (2)  Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2): –a + 2b = –8 |× 2| –2a + 4b = –16 2a + b = 1 |× 1| 2a + b = 1 + 5b = –15  b = –3 Substitusi b = –3 ke persamaan 2a + b = 1: 2a + (–3) = 1  2a = 4  a =2 diperoleh a = 2 dan b = –3 F(x) = (2x2 – 3x – 9)(ax + b) + (7x – 16) = (2x2 – 3x – 9)(2x – 3) + (7x – 16) = 4x3 – 6x2 – 18x – 6x2 + 9x + 27 + 7x – 16 = 4x3 – 12x2 – 2x + 11 Jadi, F(x) adalah 4x3 – 12x2 – 2x + 11. 12. d. 3 Pembahasan:  a 4   2 b   1 3   0 1        1 c   d 3   3 4   1 0 

 a  2 4  b   3 1      1  d c  3   4 3  Dari persamaan matriks tersebut, diperoleh: • a + 2 = –3 • c – 3 =3 a = –5 c =6 • 4+b = 1 • –1 + d = 4 b = –3 d =5 Jadi, a + b + c + d = –5 – 3 + 6 + 5 = 3. 13. d. 75 buah Pembahasan: Misalkan U n = banyaknya permen yang diterima anak ke-n. Deret aritmetika: U1 + U2 + U3 + U4 + U5 Diketahui: U2 = 11 dan U4 = 19. Beda = ...? U2 = a + b U4 = a + 3b 11 = a + b ....(1) 19 = a + 3b ....(2) Dari (1) dan (2): 11 = a + b 19 = a + 3b – –8 = –2b b = 4 U5 = U4 + 4 = 19 + 4 = 23

U3 = U2 + 4 = 11 + 4 = 15 U1 = U2 – 4 = 11 – 4 = 7 Dengan demikian, jumlah permen: S5 = 7 + 11 + 15 + 19 + 23 = 75 Jadi, jumlah permen seluruhnya adalah 75 buah. 14. e. 32 2 5

Pembahasan: Jumlah tak hingga deret geometri:

S =

a  1 r

81 =

27 1 r

 1–r=

27 81

 1–r=

1 3

2 3 Deret geometri bernomor genap: U2 + U4 + U6 + U8 + ... atau ar + ar3 + ar5 + ar7 + ... . 

r =

2 Suku pertama = ar = 27 ( ) = 18 3 Misalkan rasio deret geometri bernomor genap = r1. 2 2 4 ar 3 = r2 = ( ) = 3 9 ar Jumlah tak hingga suku bernomor genap:

r1 =

a 18 18 9  S    18   32 52 4 5 1  r1 5 1 9 9 15. a. –8 Pembahasan: x2  x  6 lim x 3 4  5x  1 S =

x2  x  6

= lim

4  5x  1 · 4  5x  1 4  5x  1

= lim x 3

( x 2  x  6)(4  5 x  1) 16  (5 x  1)

= lim

( x  3)( x  2)(4  5 x  1) 15  5 x

x 3

x 3

( x  3)( x  2)(4  5 x  1) 5( x  3) ( x  2)(4  5 x  1) = lim x 3 5 5(4  16) = 5 = –8 1 2 16. d. 2 Pembahasan: cos 2 x 0 lim   0 x  cos x  sin x = lim

x 3

4

(merupakan bentuk tak tertentu)


33

Karena mempunyai bentuk tak tertentu apabila distribusi secara langsung, maka gunakan pemfaktoran atau penyederhanaan. cos 2 x  cos x  sin x  cos 2 x lim  lim  cos x  sin x  cos 2 x  sin2 x x x 4

4

 lim

 x 4

cos 2 x  cos x  sin x  cos 2 x

 lim  cos x  sin x  x

 4

   sin 4 4 1 1 2 2  2 2  2  cos

f ( x ) =

8 x sin3 ( x 2  2)cos( x 2  2)  4 x  sin4 ( x 2  2)4 (4 x )2

32x 2 sin3 ( x 2  2)cos( x 2  2)  4 sin4 ( x 2  2) 16 x 2 1 3 2 = 2 sin (x + 2) cos (x2 + 2) – sin4 (x2 + 2) 4x 2 Jadi, turunan pertamanya adalah 1 sin4 (x2 + 2) f ( x ) = 2 sin3 (x2 + 2) cos (x2 + 2) – 4x 2 19. e. Titik minimum lokal f(x) terjadi di x = 2 Pembahasan:

=

Dari grafik y = f ( x ) diperoleh f ( x ) > 0 pada interval x < –2 dan x > 2, f ( x ) < 0 pada interval –2 < x < 2, atau f(x) stasioner pada x = –2 atau x = 2 sehingga diagram tanda f ( x ) sebagai berikut.

17. c. 280 Pembahasan:

 x3  5  f(x) =  2   x 1

5

x3  5 x2  1 2 2 3 du 3 x ( x  1)  ( x  5)2 x df = dan = 5u4 dx du ( x 2  1)2 df df du = × dx du dx 3 x 2 ( x 2  1)  ( x 3  5)2 x = 5u4 × ( x 2  1)2

Misalkan f(x) = u5 dengan u =

4

 x3  5  3 x 2 ( x 2  1)  ( x 3  5)2 x = 5 2  × ( x 2  1)2  x 1 4

df  x3  5  3 x 2 ( x 2  1)  ( x 3  5)2 x = 5 2 × f ( x ) =  dx ( x 2  1)2  x 1 4

 13  5  3  12 (12  1)  (13  5)  2  1 f (1) = 5 ×  2  × (12  1)2  1 1 4 3  1 2  ( 4)  2  1 = 5 ×  4  × 22  2  6  ( 8) = 5 × 16 × 4 14 = 5 × 16 × 4 = 280 Jadi, nilai f (1) = 280. 1 18. b. 2 sin3 (x2 + 2) cos (x2 + 2) – sin4 (x2 + 2) 2 4x Pembahasan: 4 2 f(x) = sin ( x  2) 4x u( x ) f(x) = dengan u(x) = sin4 (x2 + 2) dan v(x) = 4x v(x) u(x) = 4 sin3 (x2 + 2) × cos (x2 + 2) × 2x = 8x sin3 (x2 + 2) × cos (x2 + 2) v (x) = 4 u ( x )v ( x )  u ( x )v ( x ) f ( x ) = (v ( x ))2

34

Dari diagram di atas diperoleh: Fungsi f(x) naik pada interval (–  , –2) dan (2,  ); Fungsi f(x) turun pada interval (–2, 2); Fungsi f(x) mencapai maksimum lokal di x = –2; Fungsi f(x) mencapai minimum lokal di x = 2 Jadi, pernyataan yang benar pilihan e. 20. e. y = 2x2 – x – 5 Pembahasan: Gradien garis singgung di setiap titik dari kurva dy y = F(x) adalah , sehingga: dx dy y  = 4x – 1 dx Untuk mencari persamaan kurva y = F(x) dilakukan dengan cara sebagai berikut. y =  y  dx =  (4 x  1) dx = 2x2 – x + C Karena kurvanya juga melalui titik (2, 1) maka berlaku F(2) = 1. Akibatnya: 1 = 2(4) – 2 + C atau C = –5 Jadi persamaan kurva yang dimaksud adalah y = 2x2 – x – 5. 1 21. c.  (x3 – 3x + 1)–4 + C 2 Pembahasan: 6x2  6  ( x 3  3 x  1)5 dx = = =

2

3

5

 (6 x  6)( x  3 x  1) dx  2(3 x  3)( x  3 x  1) dx  2( x  3 x  1) d ( x  3 x  1) 2

3

3

5

5

3

1 3 =2· (x – 3x + 1)–4 + C 4 1 =  (x3 – 3x + 1)–4 + C 2 22. d. 16 satuan luas Pembahasan: Daerah tersebut digambarkan sebagai berikut.


sb Y

9 10 25 Pembahasan: 3 10 sin  = 10 4 sin  = 0,8 = 5 3 cos  =  5 sin ( +  ) + sin ( –  ) = 2 sin  cos 

24. b.  y=4

0

x=1

x=5

sb X

Luas daerah tersebut adalah: L

=



5

1

5

4 dx =  4x 1 = 20 – 4 = 16 satuan luas

117  satuan volume 5 Pembahasan: Akan dicari volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y  x 2  1 dan y  x  3 , diputar mengelilingi sumbu X. Daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  1 dan y  x  3 ditunjukkan oleh bagian yang diarsir pada gambar berikut.

23. c.

Y

X

Misalkan: kurva y1 = x + 3, y2 = x2 + 1, batas a = –1 dan batas b = 2 Volume benda putar yang terjadi adalah: b



2

2



V   y1  y2 dx a 2



2



  dx

    x  3  x 2  1 1 2

2





   x2  6x  9  x4  2x 2  1 dx 1 2





   x 4  x2  6x  8 dx 1

2

1  1     x 5  x 3  3x 2  8x  3  5  1  1 5 1 3 2      2   2  3  2  8  2   3   5 1 1 5 3 2     1   1  3  1  8  1  3  5 

satuan volume.

–3

3 3 10 × (  ) = 2× 10 5 = 

9 10 25

1 3 3 Pembahasan: 2 sin2 x – 7 sin x + 3 = 0  (2 sin x – 1)(sin x – 3) = 0 1 atau sin x = 3 (tidak memenuhi)  sin x = 2 1 sin x = 2   sin x = sin 6  x= + k·2 6   Untuk k = 0  x = + 0 · 2  = 6 6  13  (tidak Untuk k = 1  x = + 1 · 2= 6 6 memenuhi)  1 3 tan x = tan = 6 3 3 42 26. d. 2 Pembahasan: AC2 = AB2 + BC2 – 2AB · BC cos B = 122 + 152 – 2 · 12 · 15 cos 60° 1 = 144 + 225 – 360 · 2 = 369 – 180 = 189 25. e.

AC = 3 21 cm

AC CD = sin D sin A CD 3 21 = sin 45 sin 30

 32 8  1 1        12  16      3  8  5 3 5 3      33  117     30    5  5  Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah

5 4

CD 3 21 = 1 1 2 2 2 117  5

CD =

3 21 2 3 42 cm · = 2 2 2


35

27. d. Garis TC bersilangan dengan garis AD Pembahasan: a. Garis AD dan garis TA berpotongan di titik A. b. Garis AD dan garis TC bersilangan c. Garis TB dan garis CD bersilangan d. Garis TC dan garis AD bersilangan e. Garis TB dan garis TD berpotongan di titik T. Jadi, pernyataan yang benar adalah garis TC bersilangan dengan garis AD. 28. a. 3 14 Pembahasan:

Persamaan lingkaran dengan pusat P(2, –4) dan jari-jari r = 6 adalah: (x – 2)2 + (y – (–4))2 = 62 (x – 2)2 + (y + 4))2 = 36  2  x – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 – 36 = 0 x2 + y2 – 4x + 8y – 16 = 0  Jadi, persamaan lingkaran adalah x2 + y2 – 4x + 8y – 16 = 0. 31. a. y  3 x  7 4 2 Pembahasan:

H

Gradien garis singgung adalah 3 4 . Misalkan

G

E

persamaan garis singgung itu adalah y  3 x  c . 4 Akan kita tentukan nilai c. Substitusi persamaan garis ini ke dalam persamaan lingkaran,

F

D

C O

A

B

Segitiga DEG sama sisi, maka jarak antara titik D ke garis EG sama dengan panjang ruas garis DP dengan P titik tengah EG.



2





 4x  6 3 x  c  3  0  4





HF = EG = 6 2 cm

25 x 2  3 c  17 x  c 2  6c  3  0 16 2 2 Diskriminan persamaan kuadrat,

1 HP = 2 HF

D  3 c  17 2 2



1 = 2 ×6 2

2

DP = DH  HP =

108  18

=

126

2

 4  25 (c 2  6c  3) 16

2

Syarat menyinggung adalah: D = 0



2

4c 2  12c  91 = 0

 (2c  13)(2c  7) = 0

(6 3 )2  (3 2)2

=



 4c  12c  91

= 3 2 cm Segitiga DHP siku-siku di H, maka

7 13 c = 2 atau c =  2 Jadi, persamaan garis singgung yang ditanyakan



= 3 14 cm Jadi, jarak titik D ke garis EG adalah 3 14 cm.

 3 Pembahasan: Perhatikan limas T.OAB. Sudut antara TAB dengan alas kerucut adalah sudut TCO. TO tan TCO = OC 4 3 = 4 = 3

29. c.

adalah y  3 x  13 dan y  3 x  7 . 4 4 2 2 32. c. 48 Pembahasan: Segi empat ABCD dapat digambarkan sebagai berikut.

T

B

O C  A  TCO = 3 30. b. x2 + y2 – 4x + 8y – 16 = 0 Pembahasan: Lingkaran berpusat di titik P(2, –4) dan menyinggung garis y = 2 berarti jari-jarinya: r = |2 – (–4)| = |6| = 6

36



x2  3 x  c 4

Segi empat ABCD berupa jajargenjang dengan alas a = 4 satuan dan tinggi t = 3 satuan, maka luas segi empat ABCD: L =a× t =4× 3 = 12 satuan luas


 2 1  dilanjutkan Transformasi oleh matriks P =   5 3  0 4   dapat diwakili oleh oleh matriks Q =   1 3  matriks M berikut. 0 4   M = QP =   1 3  Segi empat ABCD

 2 1  20 12   =   5 3   13 8  ditransformasikan oleh matriks

 20 12   M=   13 8  20 12 = 160 – 156 = 4 13 8 Luas bayangan segi empat ABCD: L ' = |det (M)| × L = |4| × 12 = 4 × 12 = 48 satuan luas Jadi, luas bayangan segi empat ABCD adalah 48 satuan luas. 1 33. d. y = 6 – x2 2 Pembahasan: Akan dicari bayangan kurva y = x 2 – 3 j ika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2. • Matriks yang berhubungan dengan refleksi terhadap sumbu X adalah: 1 0     0 1 • Matriks yang berhubungan dengan dilatasi [O, 2] adalah: Det (M) =

2 0   0 2 Matriks yang berhubungan dengan pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan O, 2 adalah:  2 0  1 0   2 0       0 2  0 1  0 2  Bayangan x dan y oleh transformasi di atas adalah:  x '   2 0   x   2x          y '   0 2   y   2y  1 x '  2 x, maka x  2 x '  (1) y '  2 y , maka y   12 y '  (2) Substitusikan (1) dan (2) ke persamaan kurva, diperoleh: y  x2  3 2

 21 y '   21 x '   3 2

 x '  3 2 y '  6  12  x '  atau y  6  21 x 2

 21 y ' 

1 4

Jadi, bayangan kurva oleh transformasi di atas adalah y  6  12 x 2 .

34. e. Sebagian besar karyawan bagian produksi berusia lebih dari 29 tahun Pembahasan: Poligon frekuensi merupakan bentuk sajian data berkelompok. Nilai data pada poligon frekuensi merupakan titik tengah data. Sajian data dalam bentuk tabel sebagai berikut. U sia (Tahun) 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44

fi 6 7 9 12 6

fr 15% 17,5% 22,5% 30% 15%

Dari tabel diperoleh informasi sebagai berikut. Sebanyak 15% karyawan bagian produksi berusia 20 – 24 tahun. Dengan demikian pernyataan pilihan a salah. Sebanyak 17,5% karyawan bagian produksi berusia 25 – 29 tahun. Dengan demikian pernyataan pilihan b salah. Sebanyak 22,5% karyawan bagian produksi berusia 30 – 34 tahun. Dengan demikian pernyataan pilihan c salah. Sebanyak 30% karyawan bagian produksi berusia 35 – 39 tahun. Persentasenya memang paling besar di antara kelompok usia yang lain. Akan tetapi, bukan berarti sebagian besar karyawan berusia 35 – 39 tahun. Dengan demikian pernyataan pilihan d salah. Persentase karyawan yang berusia lebih dari 29 tahun = 22,5% + 30% + 15% = 67,5% > 50%. Hal ini bisa diartikan sebagian besar karyawan bagian produksi berusia lebih dari 29 tahun. Dengan demikian pernyataan pilihan e benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan e. 35. d. 68,5 Pembahasan: xi fi fix i 15,5 5 77,5 45,5 8 364 75,5 9 679,5 105,5 5 527,5 135,5 3 40,6 fi = 30 fi xi =2.055 Rata-rata penggunaan telepon setiap hari fi x i 2.055  = = 68,5 menit 30 fi 36. d. 67,2 Pembahasan: Data pada histogram tersebut dapat dibuat tabel seperti berikut. Nilai 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

fi 6 4 6 5 14 6 2

fk 6 10 16 21 35 41 43


 kelas P45

37

Jumlah data n = 43 P45 = nilai data

45 ke- 100

Banyak anggota ruang sampel n(S) = banyak cara pengambilan 3 kelereng dari 10 kelereng.

(n + 1)

n(S) = 10C3 =

45

= nilai data ke- 100 (43 + 1) = nilai data ke-19,8 Nilai data ke-19,8 terletak pada kelas interval 61 – 70. Tb = 61 – 0,5 = 60,5 F = 16

fP45 = 5 p

= 70 – 61 + 1 = 10

45 nF 100 P45 = Tb + ×p fp 45

= 60,5 +

45  43  16 100

I 2 0 0 3 0 0 1 1 2 2 0 1 1

II 2 0 3 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1

II I 2 3 0 0 2 1 2 0 1 0 1 1 0

Komposisi Jam Kerja Hari I, II, dan III 2 jam, 2 jam, 5 jam 2 jam, 5 jam, 2 jam 5 jam, 2 jam, 2 jam 2 jam, 3 jam, 4 jam 2 jam, 4 jam, 3 jam 3 jam, 2 jam, 4 jam 3 jam, 4 jam, 2 jam 4 jam, 2 jam, 3 jam 4 jam, 3 jam, 2 jam 2 jam, 3 jam, 3 jam 3 jam, 2 jam, 3 jam 3 jam, 3 jam, 2 jam

Dari tabel diperoleh 12 komposisi jam kerja hari I, II, dan III. Jadi, banyak komposisi lama jam kerja Amir yang mungkin selama 3 hari tersebut adalah 12. 38. a. 2.400 Pembahasan: Pada posisi kiper dipilih 1 dari 2 orang yang tersedia, berarti ada 2C1 = 2 pilihan. Pada posisi defender dipilih 4 dari 6 orang yang tersedia, berarti ada 6C4 = 15 pilihan. Pada posisi midfielder dipilih 3 dari 6 orang yang tersedia, berarti ada 6C3 = 20 pilihan. Pada posisi striker dipilih 3 dari 4 orang yang tersedia, berarti ada 4C3 = 4 pilihan. Banyak pilihan susunan pemain = 2 × 15 × 20 × 4 = 2.400. 1 39. d. 2 Pemahasan: Banyak kelereng hijau = 4 Banyak kelereng biru = 6 Jumlah kelereng = 4 + 6 = 10

38

10  9  8  7! 3!  7! 1 3

1

4

10  9  8 1 3  2 1 1 = 10 × 3 × 4 = 120 Misalkan K = kejadian terambil satu kelereng hijau dan dua kelereng biru. n(K) = banyak cara pengambilan 1 kelereng hijau dari 4 kelereng hijau dan 2 kelereng biru dari 6 kelereng biru =

n(K) = 4C1 × 6C2 =

× 10

5 = 60,5 + 3,35 × 2 = 60,5 + 6,7 = 67,2 Jadi, persentil ke-45 dari data adalah 67,2. 37. c. 12 Pembahasan: Dalam satu minggu Amir bekerja tiga hari. Setiap hari Amir bekerja paling sedikit 2 jam. Amir bekerja selama 9 jam per minggu. Komposisi lama jam kerja Amir yang mungkin selama 3 hari dapat dicari dengan cara berikut. Hari Kerja Jam Kerja Minimal Ko mposisi tambahan jam kerja (3 jam) dala m seminggu

=

10! 3!(10  3)!

=

4! 6!  1!(4  1)! 2!(6  2)! 4 3 ! 6  5  4 !  1 3 ! 2  1 4 ! 2

= 4 

65 21

= 2 × 6 × 5 = 60 Peluang terambil satu kelereng hijau dan dua kelereng biru:

1 n(K ) 60 = = 2 n(S ) 120 Jadi, peluang kelereng yang terambil satu kelereng P(K) =

1 . 2 40. e. Kemungkinan B menang lebih besar daripada kemungkinan A menang Pembahasan: Jawaban a, b, dan c salah, karena kemungkinannya kurang dari 50%. Kemungkinan A menang = 25%. Kemungkinan B menang = kemungkinan A kalah = 35%. Jadi, kemungkinan B menang lebih besar daripada kemungkinan A menang. hijau dan dua kelereng biru adalah

TRYOUT PAKET 2 1. d. (ii) dan (iii) Pembahasan: Diketahui a, b, dan c bilangan asli dengan a > b > c sehingga

1 1 1   . a b c

1 1  a b 3

3



 1  1 a  b    



(a 1 )3  ( b 1 )3



a 3  b 3


Disimpulkan bahwa pernyataan (i) salah.

 1   b

4

 (b 1 )4  b 4

4

1 1 4 4    (c )  c c  Diketahui b > c sehingga b4 < c4. Dengan demikian disimpulkan bahwa pernyataan (ii) benar. Diketahui a > c dan b bilangan asli sehingga: ac  ab  bc 2

  ab    bc 

2

 a 2b 2  b 2c 2 Disimbulkan bahwa pernyataan (iii) benar. ac



1 1  a c 6

3 6 2 2

(f  g )( x ) = f(g(x)) = f(3x + 10) = 2(3x + 10)2 – (3x + 10) + 1 = 2(9x2 + 60x + 100) – 3x – 10 + 1 = 18x2 + 120x + 200 – 3x – 9 = 18x2 + 117x + 191

Jadi, rumus komposisi (f  g )( x ) = 18x2 + 117x + 191.

x  8 3 ;x   2x  3 2 Pembahasan:

5. a.

6

 1  1     a c Disimpulkan bahwa pernyataan (iv) salah. Jadi, pernyataan yang benar ditunjukkan oleh pilihan d. 2. b. 1 + 3 Pembahasan: 6 7 2

4. e. 18x2 + 117x + 191 Pembahasan: Misalkan t = x – 2  x = t + 2 g(x – 2) = 3x + 4  g(t) = 3(t + 2) + 4  g(t) = 3t + 10  g(x) = 3x + 10

=

= =

6 7 2 3 6 2 2

×

3 6 7 2

g(x) =

x 6 2x  1

y =

x 6 2x  1



 y(2x + 1) = x – 6  2xy + y = x – 6  2xy – x = –y – 6  x(2y – 1) = –y – 6

3 6 2 2

( 6  7 2)(3 6  2 2



x =

y  6 2y  1



g–1(x) =

x  6 2x  1

(3 6 )2  (2 2 )2 6(3 6  2 2)  7 2(3 6  2 2 ) 9 · 64 · 2

3·6  2 12  21 12  14·2 = 54  8

 g–1(x + 2) =

( x  2)  6 2( x  2)  1

18  23 12  28 = 46

 g–1(x + 2) =

x  8 3 ;x   2x  3 2

=

46  23 12 46

=

46  23·2 3 46

=

46  46 3 46

=1+ 3 3. d. –6 Pembahasan: 1 b 1 1 a log · log 2 · clog 3 b c a = alog b–1 · blog c–2 · clog a–3 = (–alog b) · (–2 blog c) · (–3 clog a) = (–6) · alog b · blog c · clog a = (–6) · alog a = –6

6. d. 5 Pembahasan: Misalkan (p – 2)x2 – 2px + 2p – 7 = 0 akar-akarnya

1 .  1 c 2p  7 · = =  a p2

 dan

2p  7 p2  p – 2 = 2p – 7  p = 7–2p=5 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 5. 4 atau p > 4 7. c. p < 3 Pembahasan: 

1 =

p 4 memotong sumbu X di dua titik berbeda jika D > 0.

Grafik fungsi kuadrat f(x) = px2 + (2p + 4)x + 8 +


39

b2 – 4ac > 0

p  (2p + 4)2 – 4(p)(8 + ) >0 4 2 2  4p + 16p + 16 – 32p – p > 0  3p2 – 16p + 16 > 0  (3p – 4)(p – 4) > 0 4  p< atau p > 4 3 8. e. 110 Pembahasan: Misal: wortel dari petani A = x wortel dari petani B = y wortel dari petani C = z diperoleh persamaan: (i) x + y + z = 300 (ii) x = y + 25 (iii) y = z – 20  z = y + 20 x + y + z = 300  y + 25 + y + y + 20 = 300  3y + 45 = 300  3y = 255  y = 85 x = y + 25 = 85 + 25 = 110 Jadi, banyak wortel yang diperoleh dari petani A adalah 110 kg. 2x  3 y  12  3 x  2 y  6  9. b.  x 0   y 0 Pembahasan: (i) Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 4): x y  1 6 4  4 x  6 y  24  2 x  3 y  12 Titik (0, 0) terletak pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 0) ke 2x + 3y. 2 × 0 + 3 × 0 = 0  12 Diperoleh pertidaksamaan 2x + 3y  12. (ii) Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan (0, 3): x y  1 2 3  3 x  2 y  6 Titik (0, 0) terletak pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 0) ke 3x – 2y. 3 × 0 – 2 × 0 = 0  –6 Diperoleh pertidaksamaan 3x – 2y  –6. (iii) Daerah penyelesaian terletak di kanan dan pada sumbu Y sehingga x  0. (iv) Daerah penyelesaian terletak di atas dan pada sumbu X sehingga y  0. Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah 2x + 3y  12; 3x – 2y  –6; x  0; y  0. 10. e. Rp20.000,00 Pembahasan: Misal: banyak tablet I = x banyak tablet II = y 40

Model matematika: (i) 5x + 10y  25 (ii) 3x + y  5 (iii) x  0 (iv) y  0 B(x, y) = 4.000x + 8.000y Titik potong garis 5x + 10y + 25 dan 3x + y = 5 adalah: (i) 15x + 30y = 75 (ii) 15x + 5y = 25 25y = 50 y = 2  3x + 2 = 5 3x = 3 x = 1, titik (1, 2)

Y 5

5 2

0

(1, 2)

5 3

5

X

Uji titik pojok: Titik Pojok (5, 0) (1, 2) (0, 5)

B(x, y) = 4.000x + 8.000y 20.000 20.000 40.000

Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah Rp20.000,00. 11. a. 16 Pembahasan: Misal F(x) = x3 – 12x + a. Menurut Teorema Faktor, (x – 2) faktor dari F(x) apabila: F(2) = 0 F(2) = 23 – 12 · 2 + a = 0 atau a = 16 12. a. 3 : 1 Pembahasan:

 x  5 4   4 1   0 2    =   y  5 2 2  1     16 5  2  4 x  20  8  x  5  4 y  4   0   =   5  2 y  2   16 5    20  4 2  4 x  12 4 y  x  1   0  =    16 2 y  3  16 5     Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 4x – 12 = 0  4x = 12  x = 3  y= 1 2y + 3 = 5  2y = 2 Jadi, perbandingan nilai x dan y adalah 3 : 1. 13. c. 6 Pembahasan: Usia kelima anak membentuk barisan aritmetika dengan Un = a + (n – 1)b. Usia anak termuda 15 tahun: U1 = a = 15 


Usia anak tertua = 39 tahun: U5 = 39  a + 4b = 39  15 + 4b = 39  4b = 24  b =6 Jadi, beda usia anak pertama dan anak kedua adalah 6 tahun. 14. c. 9 + 3 3 Pembahasan: Barisan geometri tak hingga: 2 3 + ... 6+ 2 3+2+ 3 a = U1 = 6 U2 2 3 3 r= U = = 6 3 1 Jumlah semua suku: a 6 3 S    1  r 1  33 3



18 3 3



3 3 3 3



18 3  3 



93



18 3  3 



6



3 3 3



 93 3 3 15. e.  4 Pembahasan:

 12 3   = lim   x  2 ( x  2)( x  2) x 2   12 3( x  2)   = lim   x  2 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)   = lim

12  3( x  2) ( x  2)( x  2)

= lim

3 x  6 ( x  2)( x  2)

= lim

3( x  2 ) ( x  2)( x  2 )

= lim x 2

3 x2

x 2

x 2

=

3 3 =  22 4





Dicari nilai lim x  2 tan x . x 2

 Misal y  x  2 .

 Untuk x  2 , maka y  0, sehingga diperoleh:

) lim x   tan x = lim y tan ( y   2 2 y 0

x  2





y ( cot y ) = lim y 0 y =  lim y 0

cos y sin y

y =  lim y 0

cos y sin y

=  lim y 0

y  lim cos y sin y y 0

= (1)(1)  1 17. d. –351 Pembahasan: f(x)= (x2 – 3x + 5)4 (2x – 3)2 f(1)= (12 – 3 × 1 + 5)4 (2 × 1 – 3)2 = 34 × (–1)2 = 81 f(x)= u(x)v(x) dengan u(x) = (x2 – 3x + 5)4 v(x) = (2x – 3)2 u ( x ) = 4(x2 – 3x + 5)3 (2x – 3)

v ( x ) = 2(2x – 3) × 2 = 4(2x – 3)

3   12 lim  2   x 2 x  4 x 2 

x 2

16. d. –1 Pembahasan:

f ( x ) = u ( x )v(x) + u(x) v ( x ) = 4(x2 – 3x + 5)3 (2x – 3) × (2x – 3)2 + (x2 – 3x + 5)4 × 4(2x – 3) = 4(x2 – 3x + 5)3 (2x – 3)[(2x – 3)2 + (x2 – 3x + 5)] f (1) = 4(12 – 3 × 1 + 5)3 (2 × 1 – 3)[(2 × 1 – 3)2 + (12 – 3 × 1 + 5)] = 4 × 33 × (–1) × [(–1)2 + 3] = –432 f(1) + f (1) = 81 + (–432) = –351. Jadi, nilai f(1) + f (1) = –351. 18. c. –8 cotan3 x (1 + sin2 x) Pembahasan: 4 cos 4 x f(x)= sin2 x u( x ) Misalkan f(x) = dengan u(x) = 4 cos4 x dan v(x ) v(x) = sin2 x. u ( x ) = 16 cos3 x (–sin x) dan v ( x ) = 2 sin x cos x f ( x ) =

16 cos 3 x (  sin x )  sin 2 x  4 cos 4 x  2 sin x cos x

 sin x  2

2

3 3 5 = 16cos x sin x  8cos x sin x 4 sin x


41

=

16 cos3 x sin2 x  8 cos5 x sin3 x

cos3 x × (2 sin2 x + cos2 x) sin3 x = –8 × cotan3 x × (1 + sin2 x) Jadi, turunan pertamanya adalah: f ( x ) = –8 cotan3 x (1 + sin2 x). = –8 ×

5 3 Pembahasan:

19. b.

Diketahui: g(x) = f(x) = g(2x + 1) =

1 3 x  A2 x  7 3

1 (2x + 1)3 – A2(2x + 1) + 7 3

f ( x ) =

1 × 3 × 2(2x + 1)2 – 2A2 = 2(2x + 1)2 – 2A2 3

f turun pada interval  pada x <  dan x = x=

3 1 3 , x > , dan f stasioner di x =  2 2 2

1  3  1 , maka f    = 0 dan f    = 0. 2 2    2

1  1 f    = 0  2(2( ) + 1)2 – 2A2 = 0 2 2   2(1 + 1)2 = 2A2  A2 = 4  Dengan demikian, diperoleh fungsi 1 3 x – 4x + 7. 3 Menentukan nilai minimum relatif fungsi g. g(x) =

Fungsi g mencapai stasioner jika g ( x ) = 0.

1 × 3x2 – 4 3 x2 – 4  (x – 2(x + 2)   x – 2 = 0 atau x + 2 x = 2 atau x  

=0 = = = =

0 0 0 –2

Diagram tanda nilai fungsi g ( x ) di setiap nilai x sebagai berikut.

42

t

3 1  x  , berarti f naik 2 2

1 3 . Oleh karena f stasioner di x =  dan 2 2

g ( x ) = 0

Dari diagram tanda di atas tampak bahwa kurva g(x) mencapai minimum di x = 2. Nilai minimum fungsi g = g(2) 1 = × 23 – 4 × 2 + 7 3 8 = –8+7 3 8 –1 = 3 83 = 3 5 = 3 5 Jadi, nilai nimimum relatif fungsi g adalah . 3 20. b. 3 Pembahasan:

a a

Luas permukaan kotak = 27  a2 + 4at = 27 4at = 27 – a2  27  a2 t =  4a Volume kotak: V = luas alas × tinggi = a2t 27  a 2 = a2( ) 4a 27 1 a  a3 = 4 4 dV 0 Fungsi V mencapai stasioner jika da dV 27 3 2   a =0 da 4 4 27 3 2 = a  4 4  a2 = 9  a = ±3

-3 3 dV mencapai Dari diagram di atas diperoleh fungsi da maksimum di a = 3. Jadi, volume kotak akan maksimum jika panjang rusuk alas 3 cm.


24. b. 3 Pembahasan:

21. a. 1 x 3  x 2  5 x  5 3 Pembahasan:





f ( x )   x 2  2x  5 dx

4 sin 75 sin 15  2  cos (75  15)  cos (75  15)   2(cos 60  cos 90)

 31 x 3  x 2  5 x  C f (0)  5 1 (0)3  (0)2  5(0)  C  5 3 C 5 Jadi, f ( x )  31 x 3  x 2  5 x  5. 22. c. 0 Pembahasan: 2

=



 2

=

3

24 7 Pembahasan: 4

2 x sin 2 x dx

5

y

Y

 2

3  0) 

dengan a di kuadran II, maka kita a 3 4 peroleh cos a   dan tan a   . 5 3 Lihat gambar berikut.

 2

 2

1 2

25. e.

Jika sin a 

 2

 cos

 2(

2 sin 2 x cos2 2 x dx 2

1

  2 (2 sin 2x )cos

2

2 x dx

5 4

 2

x

 2

=

1 2   2 cos 2 x d (cos 2 x ) 

3

2

 2

 1 1  3 =   · cos 2 x  2 3    2 

 1 2 3 =   cos 2 x   6   2 = 

1  1  cos3 (2· )  (  cos3 (2·(  ))) 6 2 6 2

tan 2a 

sin 2a



cos 2a

 24 24 25   7 7 25

26. d. 800 2 Pembahasan: Segi-8 beraturan terdiri atas 8 segitiga sama kaki kongruen, digambarkan seperti berikut. A

1 1 3 3 =  cos   cos ( ) 6 6 1 1 3 3 =  ( 1)  ( 1) 6 6 = 

X

20

cm

45o O

20 cm

B

1 1 ( 1)  ( 1) 6 6

1 1  =0 6 6 23. d. 5 Pembahasan: =

k

 

V    x2

Perhatikan segitiga AOB. LAOB = 2

dx

=

1 × 20 × 20 × sin 45° 2

=

1 1 2 × 20 × 20 × 2 2

0

k

V   x 4 dx 0

1 × AO × BO × sin  AOB 2

k

625   1 x 5   5 0 625  51 k 5   51 05  625  1 k 5  5

k 5  3.125 k 5

= 100 2 Luas segi-8 = 8 × LAOB = 8 × 100 2 = 800 2 Jadi, luas segi-8 tersebut adalah 800 2 cm2.


43

27. b. (ii) saja Pembahasan: Garis DT bersilangan dengan garis AB, berarti (i) salah. Garis BC bersilangan dengan garis AT, berarti (ii) benar. Garis BT berpotongan dengan garis DT, berarti (iii) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (ii). 28. b. 6 cm Pembahasan: Pandang segitiga PGQ. PG = ½ CG = 1 cm 2 2 GQ = HG  HQ

=

G

pencerminan terhadap sumbu X adalah ( x ', y ').

 x '  1 0 3 5  x   3 5   x   =     =    y '   0 1  1 2   y  1 2  y 

2 cm

x  y =  

2 cm

A

Jadi, jarak P dan Q adalah

2 cm

=

B

6 cm.

1 10 10 Pembahasan:  (PH, BDHF)=  PHM =  1 PM = PQ 2 = 2 2 cm PH =

DP 2  DH 2

H F

P A

D M Q

G

B

2 2 PM 1 10 = = PH 10 4 5 30. c. x2 + y2 – 24x + 30y + 353 = 0 Pembahasan: Persamaan lingkaran sebagai berikut. (x – 12)2 + (y + 15)2 = 42  x2 – 24x + 144 + y2 + 30y + 225 = 16  x2 + y2 – 24x + 30y + 369 = 16  x2 + y2 – 24x + 30y + 353 = 0 31. c. y = –x + 5 – 5 2 Pembahasan: x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0 x2 – 6x + y2 – 4y = 12  2  x – 6x + 32 + y2 – 4y + 22 = 12 + 32 + 22 (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25  Diperoleh pusat lingkaran (3, 2) dan jari-jari r = 5. Garis y = x + 4 bergradien 1, maka garis yang tegak lurus dengan garis tersebut bergradien m = –1. Persamaan garis singgung: sin  =

y – 2 = m(x – 3) ± 5 1  m 2 2  y – 2 = –1(x – 3) ± 5 1  ( 1)

 y – 2 = –x + 3 ± 5 2

y = –x + 5 ± 5 2  Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya

44

 x '    y '

1  2 5   x '     6  5  1 3   y ' 

 2x ' 5 y '   =   x ' 3y '  Diperoleh: x

C

= 4 5 cm

y = –x + 5 – 5 2 .

1

 2 5  x '   =  1 3   y ' 

29. a.

E

3 5    1 2 

C

D

PG 2  GQ 2

1  5 = 6 cm

3 5  dilanjutkan dengan matriks transformasi   1 2

F

E

P

= 5 cm sehingga: PQ =

H Q

32. c. 4x + 11y = 6 Pembahasan: Bayangan titik (x, y) bila ditransformasi dengan

= 2 x ' 5 y '

y =  x ' 3 y ' Substitusikan x dan y ke dalam persamaan garis: x – 2y = 6  ( 2 x ' 5 y ' ) – 2(  x ' 3 y ') = 6 

2 x ' 5 y ' + 2 x ' 6 y ' = 6

 4 x ' 11y ' = 6 Jadi, persamaan bayangan garis adalah 4x + 11y = 6. 33. a. x2 + y2 + 12x + 34 = 0 Pembahasan: 1 1 1 1 M y 3 x, y)   ( x, 6 – y) 2 2 2 2 1 1 R [O, 90]   ( y – 6, x) 2 2 diperoleh: 1

[O , 2 ] (x, y)  (

1 y – 6  y = 2 x ' + 12 2 1 y ' = x  x = 2y ' 2 Substitusi x dan y ke persamaan lingkaran: x2 + y2 = 8 (2 y ' )2 + (2 x ' + 12)2 = 8  2  4 y ' + 4 x ' 2 + 48 x ' + 144 – 8 = 0 4 x ' 2 + 4 y ' 2 + 48 x ' + 136 = 0  x ' 2 + y ' 2 + 12 x ' + 34 = 0  Jadi, persamaan bayangan lingkaran L adalah x2 + y2 + 12x + 34 = 0. 34. d. Pada tahun 2014, hasil panen j agung mengalami kenaikan sebesar 10%

x' =


Pembahasan: Misalkan hasil panen jagung tahun 2013 adalah x. Jumlah hasil panen jagung selama lima tahun 10.400 ton sehingga: (2 + 1,6 + x + 2,2 + 2,6) × 1.000 = 10.400 (8,4 + x) × 1.000 = 10.400  8,4 + x = 10,4  x=2  Data hasil panen dalam bentuk tabel sebagai berikut. Tahun 2011 2012 2013 2014 2015

Hasil Panen (Ribuan ton) 2 1,6 2 2,2 2,6

Kenaikan/Penurunan (Ribuan ton) turun 0,4 (20%) naik 0,4 (25%) naik 0,2 (10%) naik 0,4 (18,18%)

Dari tabel dapat diketahui bahwa hasil panen jagung mengalami kenaikan tertinggi sebesar 400 ton. Ini terjadi pada tahun 2013 dan 2015. Dengan demikian, pernyataan pilihan a salah. Pada tahun 2013, hasil panen jagung mengalami kenaikan sebesar 25 %. D engan demikian pernyataan pilihan b dan c salah. Pada tahun 2014, hasil panen jagung mengalami kenaikan sebesar 10%. Dengan demikian, pernyataan pilihan d benar. Pada tahun 2015, hasil panen jagung mengalami kenaikan sebesar 18,18%. Dengan demikian, pernyataan pilihan e salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan d. 35. c. Rp1.925,00 Pembahasan: Rata-rata

5(4.000)  8(2.500)  10(2.000)  17(1.000) 5  8  10  17 = 1.925 =

2 6 3 Pembahasan: Rata-rata data:

36. d.

xi x = n

=

23  27  26  27  25  28 6

=

156 = 26 6

Menentukan nilai ( x i  x )2 Nilai Data (xi) 23 25 26 27 27 28

(xi – x ) –3 –1 0 1 1 2

2

(xi – x ) 9 1 0 1 1 4

( xi  x )2  16

Simpangan baku data: S =

=

=

1 n  ( xi  x ) 2 n i 1 1  16 6

4 6

=

4 6 6

=

2 6 3

Jadi, simpangan baku data adalah

2 6. 3

37. a. 120 Pembahasan: Bilangan yang terdiri atas empat angka merupakan bilangan puluhan ribu. Dari 6 angka yang terdiri atas 4 angka genap dan 2 angka ganjil akan disusun bilangan ganjil yang terdiri atas empat angka berbeda. Bilangan puluhan ribu ganjil memiliki satuan ganjil sehingga ada 2 angka yang dapat menempati nilai tempat satuan. Untuk 3 angka yang lain dapat disusun dari 5 angka yang tersisa, yaitu ada 5P3 susunan. Banyak bilangan puluhan ribu yang dapat dibuat: P = 2 × 5P3 5! =2 × (5  3)! 1

5  4  3  2! =2 × 2! 1 =2 × 5 × 3 × 3 = 120 Jadi, banyak bilangan yang dapat dibuat ada 120. 38. a. 90 pilihan Pembahasan: Buku tentang optik, fisikawan mempunyai 5 pilihan. Buku tentang kalor, fisikawan mempunyai 3 pilihan. Buku tentang gaya, fisikawan mempunyai 2 pilihan. Buku tentang mekanika, fisikawan mempunyai 3 pilihan. Banyak pilihan susunan buku yang dapat dipinjam = 5 × 3 × 2 × 3 = 90. 14 39. c. 285 Pembahasan:

8 20 7 : 19

Peluang bola pertama warna merah : Peluang bola kedua warna merah


45

6 18 Jadi, perluang ketiga bola berwarna merah adalah 8 7 6 14    . 20 19 18 285 22 40. c. 60 Pembahasan: Misalkan: S = {anggota klub} A = {anggota yang mengikuti basket} B = {anggota yang mengikuti futsal} C = {anggota yang mengikuti sepak bola} A  B = {anggota yang mengikuti basket dan futsal} A  C = {anggota yang mengikuti basket dan sepak bola} B  C = {anggota yang mengikuti futsal dan sepak bola} A  B  C = {anggota yang mengikuti basket, futsal, dan sepak bola) x = {anggota yang tidak mengikuti basket, futsal, maupun sepak bola} n(S) = 60 n(A) = 28 n(B) = 14 n(C) = 17 n( A  B )= 15 n( A  C )= 14 n( B  C )= 10 n(A  B  C )= 8 Diagram Venn dari keadaan tersebut: Peluang bola ketiga warna merah

S

A 7 6

7 8

:

2 = a 6  3 6  ab 2 5  3 6

ab  6  5  b2  2 5  5 = 18a2 + 6 30 ab –

30 ab – 10b2

= 18a2 – 10b2 + 5 30 ab

3  ab 1 a Pembahasan:

3. d.

2

6

log 40 =

2

2

=

log 40 log 6

2

2

=

2

log (8  5) log (2  3) log 8  2log 5 log 2  2log 3 3

2

log 23 

=

3

log 5 log 2

1 a

b 1 a = 1 a 3

=

3  ab 1 a

3  ab . 1 a 2 4. b. 4x – 10x – 1 Pembahasan: Jadi, 6log 40 =

Jadi, peluang terpilih seorang yang tidak mengikuti 22 . basket, futsal, dan sepak bola sebesar 60

TRYOUT PAKET 3 1. b. 12 Pembahasan: 1

4 2  27 3  625 4 =

3

 4  

3

= 8+9–5 = 12

46

a 6  b 5  b 20  b 5

7

22 n( x ) = 60 n(S )

2

= a 6  a 54  b 20  a 54

2

Nilai x dapat dicari dengan cara berikut. Banyak orang yang tidak mengikuti ketiganya: x = 60 – (7 + 7 + 7 + 6 + 8 + 2 + 1) = 60 – 38 = 22 Peluang terpilih seorang yang tidak mengikuti ketiganya:

3

(a 6  b 20 )(a 54  b 5 )

B

1 C

P=

2. c. 18a2 – 10b2 + 5 30 ab Pembahasan:

27



2

 4 625

( g  f )( x ) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x – 1)2 – 3(2x – 1) – 5 = 4x2 – 4x + 1 – 6x + 3 – 5 = 4x2 – 10x – 1 Jadi, rumus komposisi fungsi ( g  f )( x ) = 4x2 – 10x – 1.

3x  1 7 Pembahasan:

5. c. f–1 (x) =

f(x) =

x 1  2x 3

x  1 6x 3 7x  1 = 3 =


Misalkan y = f(x) 7x  1 y= 3  3y = 7x + 1  7x = 3y – 1

3y  1 7 3 x 1  f–1 (x) = 7



x=

Jadi, invers f(x) adalah f–1 (x) =

3x  1 . 7

6. b. –4 Pembahasan: Akar-akar x2 + (2a – 3)x + 18 = 0 adalah p dan q. b p + q= a (2a  3) = 1 = –2a + 3

c 18 = = 18 a 1 Diketahui p = 2q, maka: pq = 18 2q(q) = 18 2q2 = 18 q2 = 9  q = ± 3 Oleh karena q > 0, maka q yang memenuhi q = 3. p = 2q = 2(3) = 6 p + q = –2a + 3 6 + 3 = –2a + 3 2a = –6  a = –3 Jadi, nilai a – 1 = –3 – 1 = –4. 7. d. 3 Pembahasan: f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4 f(x) = x2 + bx + 4  y = x2 + bx + 4 Substitusikan persamaan y = 3x + 4 ke dalam y = x2 + bx + 4 menjadi: x2 + bx + 4 = 3x + 4 x2 + (b – 3)x = 0 x (x + (b – 3)) = 0 x = 0 atau x = 3 – b Karena x = 0, maka 3 – b = 0  b = 3. 8. b. 68 Pembahasan: Misalkan: x = hasil panen kolam I y = hasil panen kolam II z = hasil panen kolam III diperoleh SPLDV: x–y=7 ...(1) x – z = 12 ...(2) x + y + z = 206 ...(3) Eliminasi x dari (1) dan (2). x–y =7 x – z = 12 – –y + z = –5 ...(4) p·q =

Eliminasi x dari (1) dan (3). x + y + z = 206 x–y =7 – 2y + z = 199 ...(5) Eliminasi z dari (4) dan (5). –y + z = –5 2y + z = 199 – –3y = –204  y = 68 Jadi, hasil panen di kolam kedua 68 kg. 9. a. 2x + y  6; x + 2y  6; x  0; y  0 Pembahasan: Berdasarkan grafik terdapat beberapa garis yang membatasi daerah arsiran. (i) Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan (0, 6) adalah:

x y   1  6 x  3y  18 3 6  2x  y  6 Titik (0, 4) terdapat pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 4) ke 2x + y. 2x + y = 2 × 0 + 4 = 4  6. Diperoleh pertidaksamaan 2x + y  6. (ii) Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 3) adalah x y   1  3 x  6 y  18 6 3  x  2y  6 Titik (0, 4) terletak pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 4) ke x + 2y. x + 2y = 0 + 2 × 4 = 8  6. Diperoleh pertidaksamaan x + 2y  6. (iii) Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Y sehingga x  0. (iv) Daerah penyelesaian di atas dan pada sumbu X sehingga y  0. Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah 2x + y  6; x + 2y  6; x  0; y  0. 10. d. Rp11.000,00 Pembahasan: Model matematika:  x  100   y  150  x  y  300  f(x, y) = 30x + 40y Titik A(100, 150)  f(100, 150) = 9.000 Titik B(150, 150)  f(150, 150) = 10.500 Titik C(100, 200)  f(100, 200) = 11.000 Jadi, laba maksimum yang diperoleh tiap hari adalah Rp11.000,00. 11. c. 3x – 7 Pembahasan: f(x) dibagi (x2 – 9) bersisa (5x – 13) f(x) = F1(x)(x2 – 9) + (5x – 13)  f(x) = F1(x)(x + 3)(x – 3) + 5x – 13


47

Berdasarkan teorema sisa diperoleh: f(–3) = 5(–3) – 13 = –28 f(3) = 5(3) – 13 = 2 f(x) dibagi (x + 1) bersisa (–10) f(x) = F2(x)(x + 1) + (–10) Berdasarkan teorema sisa diperoleh f(–1) = –10 Misal f(x) dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa ax + b f(x) = F3(x)(x2 – 2x – 3) + ax + b  f(x) = F3(x)(x + 1)(x – 3) + ax + b f(3) = 3a + b  2 = 3a + b ... (1) f(–1) = –a + b  –10 = –a + b ... (2) Eliminasi b dari (1) dan (2): 3a + b = 2 –a + b = –10 – 4a = 12  a=3 Substitusi a = 3 ke 3a + b = 2:  3(3) + b = 2 b=2–9  b = –7  Jadi, sisa pembagiannya 3x – 7. 12. e. 22 Pembahasan:

Berdasarkan konsep barisan geometri, diperoleh:

U n  ar n 1 3 1

200  a  21  200  a  21 

2

a  4  200  800 Jadi, jumlah ayam yang dimiliki peternak tersebut adalah 800 ekor. 15. c. 0 Pembahasan: x 1 x lim x  1  x  lim x  1  x  x  x  x 1 x





 8 5x      x 4 

 6  x y  6   8 5x   =  4    x 4  2  y Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: 6 + x= 8  x = 2 y + 6 = 5x y + 6 = 5(2) y + 6 = 10  y = 4 Jadi, nilai x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 2 + 16 + 4 = 22. 13. d. 1.650 kg Pembahasan: a = 120; b = 10 Sn =

n (2a + (n – 1)b) 2

10 (2(120) + 9(10)) 2 = 5 (240 + 90) = 5 (330) = 1.650 Jadi, jumlah daging yang terjual selama 10 bulan ada 1.650 kg. 14. d. 800 ekor Pembahasan: Masalah tersebut merupakan aplikasi dari barisan geometri. Dari permasalahan tersebut diketahui S10 =

Un  200 , r  21 , dan

n

48

2 bulan 2  30 hari  3 20 hari 20 hari

 



2

2

x 

 lim

x 

 lim

x 

 lim

 8 5x   A+B–C =    x 4   3 y   x 5   3 1    = 9  5 1  3 6   y

   x  1   x   lim  x 1 x  

x 

 lim

x 

Jadi, lim

x 



( x  1)  x



x 1 x



1



x 1 x



1 x





1  1x  1

0 0 1 1



x 1 x  0 .

16. a. –4 Pembahasan: cos 4 x  1 2 sin 2 2 x lim lim = x 0 x tan 2 x x 0 x tan 2 x

2 sin 2 x sin 2 x  x tan 2 x 2·2 2  = –4 = 1 2 2 3 2 17. e. 2(x – x) (9x – 9x + 2) Pembahasan: f(x) = (2x – 1)(x2 – x)4 f(x) = u(x) · v(x) dengan u(x) = (2x – 1) dan v(x) = (x2 – x)4. u ( x ) = 2 dan v ( x ) = 4(x2 – x)3 (2x – 1) f ( x ) = u ( x )v(x) + u(x) v ( x ) = 2 · (x2 – x)4 + (2x – 1) · 4(x2 – x)3 (2x – 1) = 2(x2 – x)3 ((x2 – x) + 2(2x – 1)(2x – 1)) = 2(x2 – x)3 (x2 – x + 8x2 – 8x + 2) = 2(x2 – x)3 (9x2 – 9x + 2) = lim x 0

18. e.

1 cos x  1

Pembahasan: 1  cos x f(x) = sin x

u( x ) dengan u(x) = 1 + cos x dan v(x ) v(x) = sin x maka u ( x ) = –sin x dan v ( x ) = cos x.

Misalkan f(x) =


u( x )v ( x )  u( x )v ( x ) (v ( x ))2 (  sin x ) sin x  (1  cos x )cos x = (sin x )2 2  sin x  cos x  cos2 x = sin2 x (sin2 x  cos2 x )  cos x = sin2 x 1  cos x = sin2 x (1  cos x ) = 1 cos2 x (1  cos x ) = (1  cos x )(1  cos x ) 1 1  = 1  cos x cos x  1 1 Jadi, f ( x ) = . cos x  1 19. c. 2 Pembahasan: f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 f ( x ) = 3x2 – 12x + 9 Fungsi f(x) akan mencapai stasioner pada saat f ( x ) = 0. f ( x ) = 0  3x2 – 12x + 9 = 0  3(x2 – 4x + 3) = 0  3(x – 1)(x – 3) = 0  x = 1 atau x = 3 Diagram tanda nilai fungsi f ( x ) untuk setiap nilai x sebagai berikut. f ( x ) =

21. c. 11 6 Pembahasan: 2



  x

2

1   dx = x2 



1

2

x

2



 x 2 dx

1

2

 1 3 1 1  =  x  x  1 1 3 2

 1 3 1 =  x   x 1 3 1 1   1 3 1  3 =   2     1   2 3 1 3 8 1 1 11   1 = 3 2 3 6 22. b. 12 (sin x  x )  C Pembahasan: =

Ingat: cos x  2 cos 2  21 x   1

cos x  1 2

atau cos2  12 x  

sehingga cos 2  12 x  dx 





 cos x  1   dx 2 

  1 2

 (cos x  1) dx

 21 (sin x  x )  C Jadi,

2

 cos  x  dx  1 2

1 2

(sin x  x )  C .

256  15 Pembahasan:

23. d.

y Y 4

f ( x)  4  x 2

Dari diagram tanda di atas tampak bahwa fungsi f mencapai minimum di x = 3. f(3) = 33 – 6 × 32 + 9 × 3 + 2 = 27 – 54 + 27 + 2 = 2 Jadi, jarak terdekat kurva dengan sumbu X adalah 2. 20. e. 2,5 detik Pembahasan: Dalam fisika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukan terhadap waktu, sehingga: v (t )  h(t )  30  12t Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol, sehingga: v (t )  0

30  12t  0 t  2,5 Jadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik.

-2

-1

R

0

1

Xx

-2

Volumenya adalah: 2

V    f 2 ( x ) dx 0 2



  4  x 2



2

dx

0 2





   16  8 x 2  x 4 dx 0

2

  16 x  8 x 3  51 x 5   0 3 3 8 1    16  2   2   25  0  3 5   64 32 256   32   5  







3



15

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu X adalah 256  15 satuan volume.


49

24. c. 3 1 Pembahasan: tan 225  tan 195 2 sin (225  195)  cos (225  195)  cos (225  195) 2 sin 30  cos 420  cos 30 2 1 2  3 1  1 1 3 2 2

63 16 Pembahasan: 5 12 sin A = maka cos A = 13 13 4 sin B = dan sudut B tumpul maka: 5 3 cos B =  5

25. d.

tan (A – B) = =

sin( A  B ) cos( A  B ) sin A cos B  cos A sin B cos A cos B  sin A sin B

5  3  12 4 ·   · 13  5  13 5 = 12  3  5 4 ·    · 13  5  13 5 15  48 63 63 65 = = = 36  20 16 16 65 26. b. 56 Pembahasan: SQ =

PS 2  PQ 2

52  122 = 13 cm LPQRS = LSPQ + LSQR 1 1 = · PQ · PS + · SQ · QR · sin SQR 2 2 1 1 = · 12 · 5 + · 13 · 8 · sin 150° 2 2 1 = 30 + 52 · 2 =

= 56 cm2 27. c. (i) dan (ii) Pembahasan: (i) Garis AE pada sisi alas dan garis GH pada sisi atas, maka kedua garis tersebut tidak mempunyai titik persekutuan. Garis AE sejajar garis FJ dan garis FJ tidak sejajar garis GH, maka garis AE tidak sejajar garis GH.

50

Garis AE dan garis GH tidak mempunyai titik persekutuan dan tidak sejajar, maka garis AE dan garis GH bersilangan. (ii) Garis AF sejajar bidang DEJI dan garis JI pada bidang DEJI, maka garis AF dan JI tidak mempunyai titik persekutuan. Garis AF sejajar garis EJ dan garis EJ tidak sejajar garis JI. Garis AF dan garis JI tidak mempunyai titik persekutuan dan tidak sejajar, maka garis AF dan garis JI bersilangan. (iii) Garis FG dan HI pada bidang FGHIJ, maka garis FG dan HI tidak bersilangan. Jadi, pernyataan yang benar adalah (i) dan (ii). 28. a. a 2 Pembahasan:  BCD siku-siku sama E F kaki maka  BDC = P 45°.  CDP siku-siku a D sama kaki maka C a CDP = 45°. A B  BDP = 45° + 45° = 90° PD tegak lurus BD dan DH maka PD tegak lurus BDHF sehingga jarak titik P ke bidang BDHF adalah PD = AC = a 2 cm. 29. e. 2 Pembahasan: H

G

T

D C P O A

O

B

Bidang TAD dan bidang ABCD berpotongan pada garis AD. P titik tengah AD, maka TP dan OP tegak lurus AD. Sudut antara bidang TAD dan bidang alas ABCD adalah TPO =  . Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC  AB 2  BC 2  64  64  128  8 2 cm 1 AO  AC 2 1   8 2  4 2 cm 2 Segitiga AOT siku-siku di O, maka:

OT  AT 2  AO2  64  32  32  4 2 cm PO 

1 1 AB   8  4 cm 2 2


Segitiga POT siku-siku di O, berarti:

OT 4 2   2 tan  = PO 4 Jadi, tangen sudut antara bidang TAD dan bidang alas ABCD adalah 2 . 30. d. x2 + y2 = 52 Pembahasan: Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x2 + y2 = r2. Lingkaran tersebut melalui titik (–6, 4), maka: x2 + y2 = r2  (–6)2 + 42 = r2 r2 = 36 + 16  r2 = 52  Jadi, persamaan lingkaran adalah x2 + y2 = 52. 31. c.

Bayangan titik A dan B oleh transformasi T2  T1:  x '' A x ''B   a 0   xA  2 xB  2       y '' A y ''B   b 1   y A  1 y B  1

 0 1  a 0   2  2 3  2      3 1  b 1   2  1 4  1

 

 0 1  a 0   0 1      3 1  b 1   3 3 

 

 a 0   0 1  0 1       b 1   3 1  3 3 



 a 0   0 1 1  3 1        b 1   3 1 3  3 0 

y   31 x  73

Pembahasan: Dengan substitusi x = 1 dan y = 2, 2

2

1  2  4  1  10  2  19  0 yang menyatakan bahwa titik A(1, 2) terletak pada lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y + 19 = 0. Pusat lingkaran

adalah P(2, 5), sehingga mPA 

25 3 1 2

P(2, 5)

1



1  a 0   0 1  1 3           b 1   3 1  1 0 

 a 0   1 0    .  b 1  2 1 diperoleh a = –1 dan b = 2 sehingga 

 1 0  T2 =  .  2 1 Bayangan titik C(–5, 6) oleh T2  T1:

 x ''C   1 0   x 'C    =    y ''C   2 1   y 'C 

l A(1, 2) 1 mPA  ml  1 , maka ml   . Jadi, 3 persamaan garis singgung di titik A(1, 2) adalah y  2   1 ( x  1) atau y   1 x  7 . 3 3 3 32. a. (7, –7) Pembahasan:  2  Bayangan (x, y) oleh translasi T1 =   : 1

 1 0   xC  2    =  2 1   yC  1

Karena

 x ''   x   2   x  2            y ''   y   1   y  1 Titik  x ', y '  dilanjutkan ditransformasikan oleh

 1 0   5  2    =  2 1  6  1   1 0  7   7    =   =  2 1  7   7  Jadi, bayangan titik C adalah C ''(7, –7). 33. e. (–8, –6) Pembahasan: Transformasi T pada titik j (4, –3) berarti refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan dilatasi [O, 2], dan

1  ]. 2 Koordinat bayangan titik (4, –3) oleh refleksi terhadap garis y = x adalah (–3, 4). Koordinat bayangan titik (–3, 4) oleh dilatasi [O, 2] adalah (2(–3), 2(4)) = (–6, 8).

dilanjutkan rotasi R[O,

a 0 . T2 =   b 1 Bayangannya:  x ''   a 0   x '       y ''   b 1   y '   x ''   a 0   x  2      y ''   b 1   y  1

 

Koordinat bayangan titik (–6, 8) oleh rotasi R [O,

1 ] 2

adalah (–8, –6). Jadi, koordinat bayangan titik (4, –3) adalah (–8, –6).


51

34. c. Rp1.764.000,00 Pembahasan: Misalkan N = hasil penjualan seluruh barang Persentase juring beras = 100% – (6% + 39% + 21% + 14%) = 100% – 80% = 20% Penjualan beras = 504.000 + penjualan gula 20% × N = 504.000 + 14% × N  (20% – 14%) N = 504.000 6% N = 1.260.000 

100 × 504.000 6 N = Rp8.400.000,00  Hasil penjualan terigu = 21% × N 21 = × 8.400.000 100 = Rp1.764.000,00 Jadi, hasil penjualan terigu sebanyak Rp1.764.000,00. 35. c. 41 siswa Pembahasan: Nilai rata-rata ujian adalah: N=



(3  2)  (4  4)  (5  9)  (7  12)  (8  10)  (9  3)  (10  1) 2  4  9  15  12  10  3  1 6  16  45  90  84  80  27  10  56 358  56  6,39

x

Nilai yang lulus haruslah lebih tinggi dari 6,39 – 1 = 5,39. Jadi, jumlah siswa yang lulus = 15 + 12 + 10 + 3 + 1 = 41 siswa 36. a. 4 Pembahasan: Diketahui data: 2, 5, 6, 4, 8, 7, 3. Rata-rata data: x i x = n 2564873 = 7 35 = =5 7 Menentukan nilai ( x i  x ) 2 Nilai Data (xi)

( xi  x )

( xi  x ) 2

2 5 6 4 8 7 3

–3 0 1 –1 3 2 –2

9 0 1 1 9 4 4

( xi  x )2  28 Variansi data: V = S2 =

1 n

n

 (x i 1

i

 x )2 =

1 7

× 28 = 4

Jadi, variansi data adalah 4. 52

37. c. 150 Pembahasan: Tim harus beranggotakan 2 orang siswa putri, berarti siswa putra yang masuk anggota tim ada 2. Banyak cara memilih 2 orang siswa putri dari 6 siswa putri

6! 3 6  5  4! = = 3 × 5 = 15 2!(6  2)! 1 2  1 4! Banyak cara memilih 2 orang siswa putra dari 5 siswa putra

= 6C2 =

5  2 4  3! 5! = = 5 × 2 = 10 2!(5  2)! 1 2  1 3! Banyak cara memilih anggota tim yang beranggotakan 2 orang siswa putri = 6C2 × 5C2 = 15 × 10 = 150 Jadi, banyak cara memilih anggota tim yang beranggotakan 2 orang siswa putri adalah 150. 38. d. 18 Pembahasan: Perlengkapan komputer: Monitor 3 pilihan Casing CPU 3 pilihan Set mouse-keyboard 2 pilihan Speaker aktif 1 pilihan Banyak komputer berbeda yang dapat dibuat = 3 × 3 × 2 × 1 = 18 16 39. c. 95 Pembahasan: Dari 20 lampu ada 4 lampu mati, sehingga ada 16 lampu hidup. 4 A = pengambilan pertama dapat mati, P(A) = 20 16 B =pengambilan kedua dapat hidup, P(B|A) = 19 Jadi, peluang lampu pertama mati dan lampu kedua hidup: P(A  B) = P(A) · P(B|A) 4 16 = · 20 19 1 16 16 = · = 5 19 95 5 40. c. 40 Pembahasan: Jumlah siswa = 40 sehingga n(S) = 40. Misalkan: A = himpunan siswa yang mengikuti ekstrakurikuler basket B = himpunan siswa yang mengikuti ekstrakurikuler musik C = himpunan siswa yang mengikuti ekstrakurikuler komputer = himpunan siswa yang mengikuti AB ekstrakurikuler basket dan musik = himpunan siswa yang mengikuti A C ekstrakurikuler basket dan komputer = himpunan siswa yang mengikuti B C ekstrakurikuler musik dan komputer = 5C2 =


A  B  C = himpunan siswa yang mengikuti ekstrakurikuler basket, musik, dan komputer x = himpunan siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket, musik, maupun komputer n(A) = 22 n(B) = 17 n(C) = 20 n( A  B ) = 12 n( A  C ) = 9 n( B  C ) = 8 n( A  B  C ) = 5 Masing-masing banyak siswa yang mengikuti ekstrakurikuler dapat digambarkan dalam diagram Venn berikut.

11  8 2 7 Pembahasan:

2. c. 

3 7  2 14

=

7  2 14

S A

B 6 7 2 5 x 3 4 8 C

3 7  2 14 7  2 14

7  2 14

·

7  2 14

=

3·7  6 7 14  2 7 14  4·14 7  4·14

=

21  8 7 14  56 7  56

=

77  8 7 14 49

=

77  8 7 · 7 2 49

=

77  8·7· 2 49

11  8 2 7 11  8 2 =  7 =

n(S) = 6 + 7 + 2 + 4 + 5 + 3 + 8 + x 40 = 35 + x x = 40 – 35 = 5  Peluang t erpilih seo rang anak yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket, musik, maupun komputer: x 5 P= = n(S ) 40

3. b. 272 Pembahasan: 2 log a + 2log b = 12

 2log ab = 2log 212  ab = 212 ... (1) 3 · 2log a – 2log b = 4  2log a3 – 2log b = 4 

2

log



TRYOUT PAKET 4 4m 1. a. 3n Pembahasan:

 36m 5n7   3 5   64m n 



1 2

(2) disubstitusikan ke (1) diperoleh: a·

 62 n 7 5  =  2 3 5  8 m   62 n 2  = 2 2 8 m  =

61n 1 81m 1

=

8m 6n

=

4m 3n



1 2

a3  212 24 a 4  216 a  2 4  16

a  24 disubstitusikan ke (2) diperoleh:

1  2

 36m 5n7  Jadi, hasil dari  3 5   64m n 

a3 = 2log 24 b a3 b = 4 ... (2) 2

a3 (24 )3 4 = 2 24 8 =2 = 256 Jadi, a + b = 16 + 256 = 272. b=

3x ; x 1 x 1 Pembahasan:

4. a. g(x) =

( h  g )( x ) = 

1 2

=

4m . 3n

8x  5 x 1

 h(g(x)) =

8x  5 x 1


53

8x  5 x 1

 g(x) + 5 =

Dari f(x) = px2 + 2 6 x + p – 1 diperoleh nilai



g(x) =

8x  5 –5 x 1



g(x) =

8 x  5 5( x  1)  x 1 x 1



g(x) =

8x  5 5x  5  x 1 x 1



g(x) =

a = p, b = 2 6 , dan c = p – 1. D >0  b2 – 4ac > 0  (2 6 )2 – 4 · p · (p – 1) > 0  24 – 4p2 + 4p > 0  –4p2 + 4p + 24 > 0  –p2 + p + 6 > 0 Pembuat nol: (–p + 3)(p + 2) = 0  –p + 3 = 0 atau p + 2 = 0  p = 3 atau p = –2

8x  5  5 x  5 x 1 3x g(x) = x 1



Jadi, rumus fungsi g adalah g(x) =



1

5

5. a. f ( x )  1  ( x  2)



3x ; x  1. x 1

1 3

Pembahasan: Misal: 1

y = 1  x 3  5  2 1

y – 2 = 1  x 3  5

Ruas kiri dan kanan dipangkatkan 5 diperoleh: 5

 y  2

= 1 x 3

x 3 = 1   y  2



5

x = 1   y  2

5



1 3

1

Jadi, f 1( x )  1  ( x  2)5  3 . 6. a. 4 Pembahasan: Akar-akar x2 + (m – 2)x + (2m – 5) = 0 adalah x1 dan x2. b x1 + x2 = a ( m  2) = 1 = –(m – 2) c x1 – x2 = a

2m  5 1 = 2m – 5 x12 + x22 = –2  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = –2  (–(m – 2))2 – 2(2m – 5) = –2 2  m – 4m + 4 – 4m + 10 + 2 = 0  m2 – 8m + 16 = 0  (m – 4)2 = 0  m–4 =0  m =4 Jadi, nilai m yang memenuhi adalah 4. 7. e. –2 < p < 3 dan p  0 Pembahasan: =

Grafik f(x) = px2 + 2 6 x + p – 1 memotong sumbu X di dua titik berbeda jika D > 0.

54

____

____

++++ _2

3

Nilai p yang memenuhi adalah –2 < p < 3. Oleh karena f(x) merupakan fungsi kuadrat maka koefisien x2 tidak nol, yaitu p  0. Jadi, nilai p yang memenuhi adalah –2 < p < 3 dan p  0. 8. d. 40 tahun Pembahasan: Misalkan umur A dan B sekarang masing-masing x dan y. Enam tahun yang lalu, perbandingan umur A dan B adalah 3 : 2, artinya: x 6 3 = y 6 2 2x – 12 = 3y – 18 2x – 3y = –6 Jumlah umur keduanya tiga tahun yang akan datang adalah 78 tahun, artinya: (x + 3) + (y + 3) = 78 x + y = 72 Jika kedua persamaan di atas dieliminasi, diperoleh: 2x – 3y = –6 |× 1| 2x – 3y = –6 x + y = 72 |× 2| 2x + 2y = 144 – –5y = –150 y = 30 Karena y = 30, maka x = 42. Umur A dua tahun yang lalu = x – 2 = 40 tahun. Y 9. a. 3 2

X 0

3

4

Pembahasan: (i) Pertidaksamaan x + 2y  4 dibatasi oleh garis x + 2y = 4. Garis ini memotong sumbu X di titik (4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 2). Uji titik (0, 0) ke x + 2y  4. 0 + 2 × 0  4 bernilai benar.. Daerah penyelesaian pertidaksamaan ini adalah daerah yang dibatasi oleh garis x + 2y = 4 dan memuat titik (0, 0).


(ii) Pertidaksamaan x + y  3 dibatasi oleh garis x + y = 3. Garis ini memotong sumbu X di titik (3, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 3). Uji titik (0, 0) ke x + y  3. 0 + 0  3 bernilai salah. Daerah penyelesaian pertidaksamaan ini adalah daerah yang dibatasi oleh garis x + y = 3 dan tidak memuat titik (0, 0). (iii) Daerah penyelesaian pertidaksamaan x  0 adalah daerah di kanan dan pada sumbu Y. (iv) Daerah penyelesaian pertidaksamaan y  0 adalah daerah di atas dan pada sumbu X. Berdasarkan keempat pertidaksamaan tersebut diperoleh daerah penyelesaian seperti berikut.

Uji titik pojok: Titik Pojok

f(x, y) = 5.000x + 7.500y

O(0, 0) A(58, 0) B(44, 14) C(0, 25)

0 290.000 325.000 187.500

Nilai f(x, y) maksimum adalah 325.000. Jadi, hasil biaya parkir paling banyak adalah Rp325.000,00. 11. e. –2 dan –3 Pembahasan: 1 1 4 1 –6 1 5 6 1

5

  

Y

6

0

Karena f (1)  0, maka x  1 adalah akar persamaan

f ( x)  0 . Jadi, akar yang lain adalah –2 dan –3. 12. b. 16 Pembahasan:

3 2

X 0

3

4

Jadi, grafik daerah penyelesaian yang benar ada pada pilihan a. 10. d. Rp325.000.000,00 Pembahasan: Misal: x = banyak mobil y = banyak bus

Mobil Bus Pembatas

Banyak x y 58

Luas 6 24 600

Biaya Parkir 5.000 7.500

Model matematika:  x  y  58 6x  24 y  600  x  4 y  100   x  0  y  0 Fungsi objektif: memaksimumkan f(x, y) = 5.000x + 7.500y Y 58

C 25

B(44, 14) x + 4y = 100 A O

58

x + y = 58

100

X

Titik B merupakan perpotongan garis x + y = 58 dan x + 4y = 100. Koordinat B(44, 14).

 3x 3   AB =   5x 7  1   3 x 3   5 2   2     =  9  4 x x  y   5x 7     10  2 x 5  2 x  2y   3 x 3     =   18  4 x 9  4 x  4 y   5 x 7  Dari kesamaan matriks diperoleh: ... (1) 10 – 2x = 3x  10 = 5x  x = 2 –5 – 2x – 2y = 3 ... (2) Substitusi x = 2 ke 5 – 2x – 2y = 3:  –5 –2(2) –2y = 3  –2y = 3 + 5 + 2(2)  –2y = 12  y = –6 diperoleh x = 2 dan y = –6 Nilai (x + y2) = (2 + (–6))2 = (–4)2 = 16 13. b. Rp7.050.000,00 Pembahasan: Uang yang diambil bulan ke-1: U1 = Rp1.000.000,00 Uang yang diambil bulan ke-2: U2 = Rp925.000,00 Uang yang diambil bulan ke-3: U3 = Rp850.000,00 Pengambilan uang membentuk barisan aritmetika dengan a = 1.000.000 dan b = –75.000. n Sn = (2a + (n – 1)b) 2 Jumlah uang yang telah diambil selama 12 bulan: 12 S12 = (2(1.000.000) + 11(–75.000)) 2 = 6(1.175.000) = 7.050.000 Jadi, jumlah uang yang telah diambil selama 12 bulan adalah Rp7.050.000,00.


55

14. c. 129,5 cm Pembahasan: Dengan memodelkan masalah tersebut ke dalam bahasa matematika, n  4 , U1  a  0,5 cm, dan U 4  108 cm U 4  ar 4 1  108

8 9 Pembahasan:

17. a. 

y = 3x2 – 2  x=

1 = (4t – 1)–1 4t  1



dx = –(4t – 1)–2 × 4 = –4(4t – 1)–2 dt

0,5r 3  108 r 3  216 r 6 Selanjutnya, dicari jumlah dari potongan-potongan tali tersebut, yaitu:

S4 





a r 4 1

r 1 0,5 64  1





0,5 1.296  1  6 1 5  0,1(1.295)  129,5 Jadi, panjang tali semula adalah 129,5 cm. 15. c. 9 Pembahasan: 

 3x  lim   x 0  9x  9x  3x  = lim  x 0 9  x  9x 

  9 x  9x    9  x  9  x



 3x 9  x  9  x  = lim x 0   (9  x )  (9  x )  3x  = lim x 0   



 



9 x  9x    2x 

3  90  90 2 3 =  (3  3) 2 =9



=

 



  

dy dt

dy dx × dx dt = 6x × (–4(4t – 1)–2) = 6(4t – 1)–1(–4(4t – 1)–2) = –24(4t – 1)–3 dy Untuk t = 1, nilai : dt dy 24 24 8 = –24(4 × 1 – 1)–3 =  3 =  =  dt 3 27 9 dy 8 Jadi, nilai untuk t = 1 adalah  . dt 9 13  2x  5  18. b. f ( x )   sin 2   (3 x  1)2  3x  1  Pembahasan: =

 2x  5  f(x) = cos2    3x  1  Misalkan f(x) = u2 dengan u = cos v dan v =

=

cos x  cos 3 x 1  cos 2 x  x  3x   x  3x  2 sin   sin   2    2  = lim 2 x 0 1  (1  2 sin x ) lim

2 sin 2 x sin (  x ) 2 sin2 x

= lim

2 sin 2 x sin x 2 sin x sin x

= lim

sin 2 x sin x

=2

56

13 (3 x  1)2

= 2 cos v × (–sin v) ×

x0

x0

df dv du × × du dx dv

= 2u × (–sin v) ×

= lim x0

2x  5 . 3x  1

df = 2u du du = –sin v dv dv 13 2(3 x  1)  3(2x  5) = = dx (3 x  1)2 (3 x  1)2 df f ( x ) = dx

16. d. 2 Pembahasan:

x 0

dy = 6x dx

13 (3 x  1)2

 2x  5   2x  5  13 = –2 cos   × sin  × 2  3x  1   3 x  1  (3 x  1) =

 2x  5   2x  5  13 2 cos   × sin   (3 x  1)2  3x  1   3x  1 

 2x  5  13 sin 2   (3 x  1)2  3x  1  Jadi, turunannya adalah =

f ( x ) =

 2x  5  13 sin 2  . (3 x  1)2  3x  1 


1 <x<2 2 Pembahasan: 2 3 1 2 1 f(x) = x  x  3 x  3 2 6 2 1 1 g(x) = f(1 – x) = (1 – x)3 – (1 – x)2 – 3(1 – x) + 3 2 6 2 1 × 2(1 – x)(–1) – 3(–1) g ( x ) = × 3(1 – x)2 (–1) – 3 2 = –2(1 – x)2 + (1 – x) + 3

19. e. 

Fungsi g ( x ) naik jika g(x) > 0. Misalkan p = 1 – x maka diperoleh: –2p2 + p + 3 > 0 2p2 – p – 3 < 0  (2p – 3)(p – 1) < 0  2 –1 < p <  3 2 –1 < 1 – x <  3 1 –2 < –x <  2 1  <x< 2  2 1 < x < 2. Jadi, g naik pada selang  2 20. a. y  9 x  9 Pembahasan:

f (x)  1 x3  3x 2 3

f ( x )  1  3 x 2  3  2 x  x 2  6 x 3

  1 1 2  2 =  1 ( x  1)     2 1 1   = 2 x 2  1 2   1



x 2  6x  9  0 ( x  3)2  0 x  3 y  f (3)  1  33  3  3 2  9  27  18 3

Jadi, koordinat titik singgung (3, –18), maka persamaan garis singgungnya adalah: y  y1  m( x  x1 )

3

2x



x2  1

1

= 2 · 22 2 = 42 2 22. e. 1 Pembahasan:  2

 (2 sin x cos x ) dx 0

 2

=

 sin 2x dx 0



 1 2 =   cos 2x  2  0 = 

1  1 cos (2 · )  cos (2·0) 2 2 2

1 1 cos   cos 0 2 2 1 1 =  ( 1)  (1) 2 2 = 

=

1 1  =1 2 2

23. a. 3 23 satuan luas Pembahasan: Daerah tersebut adalah daerah R. Luas daerah R adalah: 1

L(R ) 

 2x( x

2



 1)

3

 1

( x 2  1)



1 2

2

0

1

 4 x  1 x 3  3 0   4  1  1  13   0  3  3 32





1 3 2 Pembahasan: 2 AB 1  A+B= =  3 2 3

24. b.  1 2

dx

1

=

  4  x  dx

Jadi, luas daerah R adalah 3 32 satuan luas.

dx

3

=

3

2 2 = 2 ( 3)  1  2 1  1

y  18  9( x  3) y  18  9 x  27 y  9 x  9 21. e. 4  2 2 Pembahasan:

3



=  2 x 2  1  1

m  f ( x ) 9  x 2  6 x

3

d ( x 2  1)

A–B=

4 AB 2  =  3 2 3


57

AB  AB sin A + sin B = 2 sin   cos   2    2  1 2 = 2 sin  cos 3 3 1 1 3 × ( ) =2× 2 2 1 3 = 2 25. b. {45°, 225°} Pembahasan: sin2 2x + 2 sin x cos x – 2 = 0  sin2 2x + sin 2x – 2 = 0  (sin 2x + 2)(sin 2x – 1) = 0  sin 2x = –2 atau sin 2x = 1 (TM) sin 2x = 1 sin 2x = sin 90° Penyelesaiannya: 1) 2x = 90° + k · 360° x = 45° + k · 180° = 45°, 225° 2) 2x = (180° – 90°) + k · 360° 2x = 90° + k · 360° x = 45° + k · 180° = 45°, 225° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {45°, 225°}. 26. a. 192 Pembahasan: Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen.

Garis KL tegak lurus dengan garis KN dan garis KL tegak lurus dengan garis LQ sehingga jarak antara garis KN dan LQ sama dengan panjang ruas garis KL. Jadi, jarak antara garis KN dan LQ sama dengan panjang ruas garis KL. 28. e.

8 3

3 cm

Pembahasan: H

G Q

E

F

T P D

A

C B

4 cm

Jarak titik B dengan garis PG = BT BG = AH = diagonal sisi kubus = 4 2 cm AP = PH =

1

2

diagonal sisi = 2 2 cm

PB  AP 2  AB 2 

2 2 

2

 42

 8  16  24  2 6 cm Dengan cara yang sama, diperoleh PG = 2 6 cm . Jadi, PB = PG. Dengan demikian, segitiga BPG sama kaki. Perhatikan gambar segitiga berikut.

A m 8c

G O

30° m 8c

B

O

P

Luas  AOB =

U

1 · AO · OB · sin  AOB 2

1 = · 8 · 8 · sin 30° 2 1 2 = 16 cm2 = 32 ·

Luas segi-12 beraturan = 12 · LAOB = 12 · 16 = 192 cm2 27. a. panjang ruas garis KL Pembahasan: Jarak antara dua garis adalah panjang ruas garis AB dengan titik A pada garis pertama dan titik B pada garis kedua sedemikian hingga AB tegak lurus dengan kedua garis tersebut.

58

T

B

PB = PG mengakibatkan BU = UG = 2 2 cm Karena PB = PG = 2 6 cm, maka PU = 4 cm. Segitiga UPG dan BTG sebangun, maka: TB PU = BG PG TB 4 = 4 2 2 6 16 2 TB = 2 6 TB = 83 3 cm Jadi, jarak titik B dengan garis PG adalah BT = 8 3

3 cm.


1 3 Pembahasan:

29. e.

H

G P

E

P

F



C

D a

A

B

D

B

P titik tengah EG. Sudut antara bidang BEG dan DEG sama dengan sudut antara garis BP dan DP, yaitu  BPD =  . 1 1 BF = a dan FP = FH = a 2 2 2 BP =

BF 2  FP 2

1 2 a 2

=

a2 

=

3 2 a 2

=

1 a 6 2

DP = BP =

1 a 6 2

DB = a 2

DP 2  BP 2  DB 2 cos  = 2 DP · BP

3 2 3 2 a  a  2a2 2 2 = 1 1 2 a 6  a 6 2 2 =

a2 3a2

1 = 3 Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang BEG dengan 1 DEG adalah . 3 30. e. x2 + y2 – 6x + 4y – 27 = 0 Pembahasan: AB merupakan diameter lingkaran L, sehingga titik pusat lingkaran L sama dengan titik tengah AB. Koordinat titik pusat:

 xA  xB y A  y B   1  5 8  4   2 , 2  =  2 , 2  = (3, –2)     Persamaan lingkaran L yang berpusat di titik (3, –2): (x – 3)2 + (y + 2)2 = r 2

Lingkaran L melalui titik B(5, 4), berarti: (5 – 3)2 + (4 + 2)2 = r 2  r 2 = 4 + 36 = 40 Persamaan lingkaran L: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 40  x2 – 6x + 9 + y2 + 4y + 4 – 40 = 0  x2 + y2 – 6x + 4y – 27 = 0 31. d. 4x + 3y – 23 = 0 Pembahasan: x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 Untuk x = 5 dan y = 1 diperoleh: 52 + 12 – 2 × 5 + 4 × 1 – 20 = 25 + 1 – 10 + 4 – 20 =0 Sehingga titik (5, 1) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgungnya:

2 4 (x + 5) + (y + 1) – 20 = 0 2 2 5x + y – x – 5 + 2y + 2 – 20 = 0  4x + 3y – 23 = 0  Jadi, persamaan garis singgung 4x + 3y – 23 = 0.

5x + 1y –

adalah

32. a. P ' (11, 24) Pembahasan: Matriks transformasi refleksi terhadap garis  0 1 y = x adalah  .  1 0 Misalkan P '( x ', y ') adalah bayangan titik P(x, y)

4 3 oleh transformasi matriks   dilanjutkan oleh  1 2 refleksi terhadap garis y = x.

 x '  =  y '

 0 1  4 3   x       1 0   1 2  y 

 1 2 x  =    4 3 y   x  2y  =    4 x  3y   x 'P   xP  2y P    =   y 'P   4 xP  3 y P   32 · 4  =   4 · 3  3 · 4  11  =    24  Jadi, bayangan titik P adalah P ' (11, 24). 33. e. x + 5y = –8 Pembahasan: M y x My R [ O,270 ] (x, y)   (x, –y)   (y, x)   (–x, –y)


59

Diperoleh: x ' = –x  x = – x ' y ' = –y  y = – y ' Substitusi x dan y ke persamaan garis: x + 5y = 8  (– x ' ) + 5 (– y ' ) = 8 – x' – 5y ' = 8   x ' + 5 y ' = –8 Jadi, persamaan bayangan garis x + 5y = –8. 34. c. 78 buah Pembahasan: Penjualan modem dari bulan Januari sampai dengan bulan Mei disajikan dalam tabel berikut.

Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni

Banyak Modem yang Terjual 250 220 180 150 110 ?

Jumlah Penurunan – 30 40 30 40 ?

Berdasarkan pola jumlah penurunan penjualan modem, penurunan penjualan berkisar antara 30 – 40. Jika pada bulan Mei terjual modem sebanyak 110 dan pada bulan Juni diperkirakan terjual n buah modem, nilai n terletak pada interval berikut. 110 – 40 < n < 110 – 30 70 < n < 80  Jadi, perkiraan penjualan modem pada bulan Juni adalah 78 buah.

3 ·5 7 Pembahasan: Modus (frekuensi terbesar) ada pada kelas interval 21 – 25. Tb = 20,5 b1 = 20 – 17 = 3 b2 = 20 – 16 = 4 p = 25,5 – 20,5 = 5 Modus data:

35. c. 20,5 +

b1 ·p b1  b2 3 = 20,5 + ·5 34 3 = 20,5 + ·5 7 36. d. 77,83 Pembahasan: Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Mo = Tb +

Nilai 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 60

fi 5 7 12 10 6

fk 5 12 24 34 40

 kelas P55

Jumlah data n = 40 Persentil ke-55: P55 = nilai data ke-

55 (n + 1) 100

55 (40 + 1) 100 = nilai data ke-22,55 Nilai data ke-22,55 berada dalam kelas interval 70 – 79. Tb = 70 – 0,5 = 69,5 F = 12 = nilai data ke-

fP55 = 12 p

= 79 – 70 + 1 = 10

 55 n  F  ×p P55 = Tb +  100  fP  55   55  40  12 5 100  10 = 69,5 + 12 6 10 5 = 69,5 + 6 = 69,5 + 8,33 = 77,83 Jadi, nilai persentil ke-55 data adalah 77,83. 37. a. 720 Pembahasan: Delapan orang A, B, C, D, E, F, G, dan H duduk mengelilingi api unggun dengan 3 orang selalu duduk berdampingan. Misalkan 3 orang yang selalu duduk berdampingan adalah A, B, dan C maka ABC dianggap 1 elemen sehingga banyak anak yang akan duduk ada 6 yaitu ABC, D, E, F, G, dan H. Banyak cara duduk ABC, D, E, F, G, dan H secara melingkar = (6 – 1)! = 5! Banyak cara duduk ABC = 3! Banyak cara duduk kedelapan anak = 5! × 3! = 120 × 6 = 720 Jadi, banyak cara duduk kedelapan anak ada 720. 38. c. 120 hari Pembahasan: Cara 1 : Dengan kaidah perkalian Yaitu menempatkan 3 ujian berbeda ke dalam 6 hari. Ujian pertama dapat ditempatkan pada salah satu dari 6 hari. Ujian kedua dapat ditempatkan pada salah satu dari 5 hari. Ujian ketiga dapat ditempatkan pada salah satu dari 4 hari. Jadi, jumlah pengaturan jadwal ujian = (6)(5)(4) = 120 Cara 2 : Dengan rumus permutasi P(6, 3) =

6! 6   3!

= 120


11 12 Pembahasan: A = jumlah kedua mata dadu tidak lebih dari tiga = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

TRYOUT PAKET 5

39. e.

n(A) = 3

n( A) P(A) = n( S ) 3 = 36

8

8a 243b15 Pembahasan:

1. a.

(6–1a4b9)–3 : (9a–5b–3)4 =

(2·3)3 a 12 b 27 (32 )4 a 20 b 12 = 23 33 – 8 a–12 + 20 b–27 + 12 = 23 3–5 a8 b–15 8a 8 = 243 b15 =

Peluang muncul jumlah kedua mata dadu lebih dari tiga: P( A ' ) = 1 – P(A) =1 – =

33 36

=

11 12

6 3 a 12b 27 9 4 a 20 b 12

3 36

2. c. 51(2 + 5 ) Pembahasan: (2 5  3 )(3)(2 5  3 ) (3)(4  5  3) 2  5  = 2 5 2 5 2 5

16 19 Pembahasan: Banyak bola merah (M) = 4 sehingga n(M) = 4. Banyak bola hitam (H) = 16 sehingga n(H) = 16. Jumlah bola dalam kotak = 4 + 16 = 20 sehingga n(S) = 20. Misalkan: K1 = kejadian terambil bola pertama berwarna merah K2 = kejadian terambil bola kedua berwarna hitam K1  K 2 = kejadian terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua berwarna hitam P(K1) = peluang terambil bola pertama berwarna merah n( M ) = n(S ) 4 = 20 P(K2/K1) = peluang terambil bola kedua berwarna hitam setelah terambil bola pertama berwarna merah

40. b.

=

n( H ) n(S )  1

=

16 20  1

=

16 19

=

3  17(2  5 ) 45

=

51(2  5) 1

= 51(2 +

5)

Jadi, bentuk sederhana dari

(2 5  3 )( 3)(2 5  3) 2 5

adalah 51(2 +

5 ).

1  2a 2b Pembahasan:

3. a.

2 20

log18 

2



2



2

2

2

log18 log 20 log(2  9) log(4  5) log 2  2log9 log 4  2log5

1  2log32 2b 1  2log3  2b 1  2a  2b 1  2a 20 Jadi, log18 = . 2b 2 4. c. x + 5x + 12 Pembahasan: f(x) = 2x – 3 (g  f)(x) = 4x2 – 2x + 6  g(f(x)) = 4x2 – 2x + 6  g(2x – 3) = 4x2 – 2x + 6 


61

Misalkan t = 2x – 3  x =

t 3 2

g(2x – 3) = 4x2 – 2x + 6 t 3 2 t 3  g(t) = 4( ) – 2( )+6 2 2  g(t) = (t2 + 6t + 9) – (t + 3) + 6  g(t) = t2 + 5t + 12  g(x) = x2 + 5x + 12 Jadi, rumus fungsi g(x) = x2 + 5x + 12.

5  13 x 1 ;x 5. d. (g  f) (x) = 4x  2 2 Pembahasan: –1

( g  f )( x ) = g(f(x))

= g(2x + 5)

2x  5 2(2 x  5)  3 2x  5 = 4 x  13 Misalkan y = ( g  f )( x ) =

1)

a>0 m 1  >0 2  m>1

1

2) D < 0 

b2 – 4ac < 0

m 1 )2 < 0 2  m2 – 8m + 16 – 4m + 4 < 0  m2 – 12m + 20 < 0  (m – 10)(m – 2) < 0 Pembuat nol: (m – 10)(m – 2) = 0  m – 10 = 0 atau m – 2 = 0  m = 10 atau m= 2 

(m – 4)2 – 4(

++

2x  5 y= 4 x  13 = 2x + 5 = 2x + 5 = 5 – 13y = 5 – 13y

5  13y x = 4y  2



5  13 x 1 ;x   ( g  f )1( x ) = 4x  2 2 6. e. 10 Pembahasan: 2x2 + 6x – 1 = 0  a = 1, b = 6, c = –1 p+q =

b 6 = = –3 a 2

c 1 1 = =  2 2 a p2 + q2 = (p + q)2 – 2pq p·q

=

= (–3)2 – 2(  = 9+1 = 10

1 ) 2

7. d. 2 < m < 10 Pembahasan: Dari f(x) = (

m 1 2 )x  ( m  4)x  2 diperoleh 2

m 1 , b = m – 4, dan c = 2. 2 Grafik fungsi f(x) terletak di atas sumbu X jika a > 0 dan D < 0.

a=

62

++ 2

 (4x + 13)y  4xy + 13y  4xy – 2x  x(4y – 2)

...(1)

10

diperoleh 2 < m < 10 ...(2) Irisan penyelesaian (1) dan (2):

2

10

Penyelesaiannya: 2 < m < 10 Jadi, nilai m yang memenuhi adalah 2 < m < 10. 8. d. 26 Pembahasan: Misalkan: x = banyak buku bacaan Ganang y = banyak buku bacaan Husna z = banyak buku bacaan Ida Diperoleh sistem persamaan linear berikut. x =6+y x–y=6 .... (1) y =4+z  y–z=4 .... (2) x + y + x = 38 .... (3) Eliminasi z dari (2) dan (3): x + y + z = 38 y–z =4 ––––––––––– + x + 2y = 42 .... (4) Eliminasi x dari (1) dan (4): x–y =6 x + 2y = 42 ––––––––––– + –3y = –36  y = 12 Substitusi y = 12 ke (3): x + y + z = 38  x + 12 + z = 12  x + z = 12 Jadi, jumlah buku bacaan Ganang dan Ida adalah 26 buah.


9. b. II Pembahasan: Menyelidiki daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan. (i) Pertidaksamaan 3x + 2y  12 dibatasi oleh garis 3x + 2y = 12. Titik potong terhadap sumbu koordinat seperti berikut.

x y

4 0

0 6

Titik potong terhadap sumbu X adalah (4, 0), sedangkan titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 6). Uji titik (0, 0) ke 3x + 2y  12. 3 × 0 + 2 × 0  12 bernilai benar.. Daerah pertidaksamaan 3x + 2y  12 adalah daerah yang dibatasi oleh garis 3x + 2y = 12 dan memuat titik (0, 0). (ii) Pertidaksamaan x + 2y  6 dibatasi oleh garis x + 2y = 6. Titik potong terhadap sumbu koordinat seperti berikut.

x y

6 0

0 3

Titik potong terhadap sumbu X adalah (6, 0), sedangkan titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 3). Uji titik (0, 0) ke x + 2y  6. 0 + 2 × 0  6 bernilai benar.. Daerah pertidaksamaan x + 2y  6 adalah daerah yang dibatasi oleh garis x + 2y = 6 dan memuat titik (0, 0). (iii) Pertidaksamaan 3x – 2y  6 dibatasi oleh garis 3x – 2y = 6. Titik potong terhadap sumbu koordinat seperti berikut.

x y

2 0

0 –3

Titik potong terhadap sumbu X adalah (2, 0), sedangkan titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, –3). Uji titik (0, 0) ke 3x – 2y  6. 3 × 0 – 2 × 0  6 bernilai salah. Daerah pertidaksamaan 3x – 2y  6 adalah daerah yang dibatasi oleh garis 3x – 2y = 6 dan tidak memuat titik (0, 0). (iv) Pertidaksamaan y  0 terletak di atas dan pada sumbu X. Dari keempat daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut diperoleh irisan penyelesaian seperti berikut. Y

10. d. 12 Pembahasan: Misal: x = banyak penumpang yang membeli tiket kelas utama y = banyak penumpang yang membeli tiket kelas ekonomi Diketahui: jumlah kursi tersedia adalah 48 penumpang x boleh membawa barang 60 kg/ penumpang penumpang y boleh membawa barang 20 kg/ penumpang kapasitas bagasi barang pesawat adalah 1.440 kg maka diperoleh: x + y = 48  x = 48 – y 60x + 20y = 1.440 Jadi 60(48 – y) + 20y = 1.440 2.880 – 60y + 20y = 1.440 –40y = –1.440 y = 36 x = 48 – 36 = 12 Jadi, agar diperoleh pendapatan maksimum dari penjualan tiket, maka perlu disediakan 12 tempat duduk kelas utama dan 36 tempat duduk kelas ekonomi. 11. b. 8  3x Pembahasan: Misalkan hasil baginya adalah H(x) dan sisanya adalah ax + b, F(x)= (x2 – 2x + 8) · H(x) + (ax + b) = (x – 4)(x + 2) · H(x) + (ax + b) Dengan Teorema Sisa, F(–2) = 14 dan F(4) = –4 Di pihak lain, F(–2) = (–2 – 4)(–2 + 2) H(–2) – 2a + b = –2a + b F(4) = (4 – 4)(4 + 2) H(4) + 4a + b = 4a + b Kita peroleh sistem persamaan linear –2a + b = 14 dan 4a + b = –4, yang mempunyai penyelesaian a = –3 dan b = 8. Jadi, jika F(x) dibagi x2 – 2x + 8 memberikan sisa (8 – 3x). 12. a. –2 Pembahasan: CA = B  C = BA–1  C–1 = (BA–1)–1 = AB–1  4 2  1  1 3 =      3 4  11  2 5 

6

3

X 0

2

4

6

-3

Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh nomor II.

=

1 4 2    11  3 4 

 1 3    2 5 

=

1  0 22    11  11 11

0 2  =    1 1 Determinan matriks C–1: det C–1 = (0)(–1) – (2)(1) =0–2 = –2


63

13. c. 38 Pembahasan: U 9 = S9 – S 8 = 2(92 – 82) + 4(9 – 8) = 2(17) + 4 = 38 1 14. b. 5 Pembahasan: Diketahui: U n  6  n maka diperoleh: 1 1 a  U1  dan r  6 6 Jadi, jumlah sampai tak berhingga adalah: 1 a 1  61  S  1  r 1 6 5

2 f (1) = 3 × (6 × 1 + 2) × (12  1  8  1  4)

= 3 × 8 × 16 4 = 24 × (2 )

4 x 2  2x  1  lim x  x  5x  4

4 x 2  2 x 1 x2 5 x4 x2

 lim

x 

 lim

x 



Jadi, nilai f (1) = 12.

1 cos x  1 Pembahasan:

18. c.

f(x) =

sin x 1  cos x

 2 x2  12 x x 5x  4 x2 x2 1 4 2 x  x2 5  4 x x2

400 4   00 0

1 4 Pembahasan:

=

cos x(1  cos x )  sin x sin x (1  cos x )2

=

cos x (1  cos x )  sin2 x (1  cos x )2

=

cos x (1  cos x )  (1  cos2 x ) (1  cos x )2

=

cos x (1  cos x )  (1  cos x )(1  cos x ) (1  cos x ) 2

=

cos x  (1  cos x ) 1  cos x



 4 x  4 cos  x  2 

cos  3 x  6   cos  x  2 

 x  2  x  2  cos  x  2  2 sin  2 x  4  sin  x  2   x  2  x  2 · lim x  2 2 sin 2  x  2  tan  x  2 

= lim

x 2

= lim

x 2

1 1  cos x 1 = cos x  1

=

1 1 ·1   2· 2 4 17. d. 12 Pembahasan:

19. c. 1 + 2 Pembahasan: y = 1 + sin 2x + cos 2x Syarat stasioner:

=

3

f(x) =

4

(12 x 2  8 x  4)3= (12 x 2  8 x  4) 4

Misalkan u = 12x2 + 8x – 4 maka f(x) = u f ( x ) =

df ( x ) du  du dx 1

3 4 u × (24x + 8) 4 1  3 2 = (12 x  8 x  4) 4  (24 x  8) 4 1 =

= 3(6x + 2) (12 x 2  8 x  4)

64

u( x )v ( x )  u( x )v ( x ) (v ( x ))2

x2

16. c. –

x  2

1 4

= 24 × 2–1 1 = 24 × 2 = 12

f ( x ) =

4 x2

2

1 4

f(x) =

lim

x

1 4

u( x ) dengan u(x) = sin x dan v(x) = 1 – cos x v (x ) u ( x ) = cos x dan v ( x ) = sin x

15. b.  Pembahasan:

lim









4

3 4

y = 0  2 cos 2x – 2 sin 2x = 0 2 cos 2x = 2 sin 2x  tan 2x = 1  2x = 45° atau 225°  y = 1 + sin 2x + cos 2x f(45°) = 1 + sin 45° + cos 45° 1 1 2+ 2 =1+ 2 2 = 1 + 2 (maksimum)


f(225°) = 1 + sin 225° + cos 225° 1 1 2 – 2 =1– 2 2 = 1 – 2 (minimum) Jadi, nilai maksimumnya adalah 1 +

 8 Pembahasan:

22. d.  3

2.

20. c. 10 Pembahasan: Bentuk taman sebagai berikut. D

6

 x sin  x

2

dx

0

 3

=



 12 · 0

C

 3

=

12 6 x sin x 2 dx   6



 12 sin  x

8x

0

A

B

p

Lebar taman = BC = (8 – x) m Misalkan panjang taman = p Keliling taman = (2x + 24) m  2(AB + BC) = 2x + 24  2(p + 8 – x) = 2x + 24

2

6 d( x2)  

  6  3 =    cos x 2    0  12  

6 2 3   =    cos x   0  12 = 

6  6   cos( ·( )2 )  (  cos( ·(0)2 )) 12  3 12 

2( x  12) 2

= 

6   cos   cos 0 12 9 12

 p + 8 – x = x + 12  p = x + 12 + x – 8  p = 2x + 4 Misalkan luas taman tersebut L. L = panjang × lebar = (2x + 4)(8 – x) = –2x2 + 12x + 32 Luas taman akan mencapai maksimum jika L = 0. L = –2x2 + 12x + 32  L = –4x + 12 L = 0  –4x + 12 = 0  –4x = –12 12  x = 4  x = 3 Substitusikan x = 3 ke p = 2x + 4. p = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10 m Jadi, agar luas taman maksimum panjang taman 10 m. 21. a. 12 4  x  C Pembahasan: Misal: u = 4 – x du = –1  du = –dx dx

= 

 2  cos   12 3 12

= 

 1  ·(  )  12 2 12





p+8–x=

6 4x

dx

= =

 6 · u 6 1 2

 12

=

   24 12

=

 8

9 satuan luas 2 Pembahasan: Terlebih dahulu ditentukan titik potong antara y  x 2 dan y  x  2 . Dalam hal ini titik potongnya adalah titik-titik (–1, 1) dan (2, 1), sehingga:

23. e.

Y y=x+2

y = x2

R -1 0

2

X

2

L(R ) 

   x  2   x   dx 2

1 2



  x

2



 x  2 dx

1

du

2

   31 x 3  21 x  2 x  1

1 2

u C 1 2

= 12 u  C = 12 4  x  C



9 2

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah


9 satuan luas. 2

65

24. b. –1 Pembahasan:

Perhatikan gambarnya berikut ini. 

 105  15   105  15  2 cos   sin   sin105  sin15 2 2     =   cos 75  cos15  75  15   75  15  2 sin   sin    2   2  2cos 60  sin 45

=

W



V

T

U

S

R

P

2 sin 45 sin30 

Q

Jadi, bidang PQVW dan bidang QRWT berpotongan pada garis QW. 28. c. 5 6 Pembahasan:

cos 60 2 sin30 1 2 = 1  2 = –1 =

H

G

E

2p 1  p2 Pembahasan:

F

H

25. d.

Jika tan a  p , maka cos a 

p

sin a 

1 1  p2

B

1 + p2 p

x

 PH =

I

=

15 2 3



3 3

Jadi, jarak H ke diagonal ruang AG adalah 5 6 cm.

26. a. 125 2 cm2 Pembahasan: Luas segitiga ABC adalah:

1 3 3 Pembahasan:

29. e. B

L  12 a  c sin B  12  20  25  sin 45 o

H

25

45

G

20

F

E

A

G

o

C

 125 2 Jadi, luas segitiga ABC adalah 125 2 cm2. 27. e. berpotongan pada garis QW Pembahasan: Titik T pada bidang QRWT tetapi di luar bidang PQVW, artinya bidang PQVW dan bidang QRWT tidak berimpit. Titik Q dan W terletak pada bidang PQVW dan bidang QRWT, artinya garis QW pada bidang PQVW dan bidang QRWT. Bidang PQVW dan bidang QRWT tidak berimpit tetapi bersekutu pada garis QW.

66

G

15 6 = 3 =5 6

2p 1  p2

 12  20  25  21 2

P

AH · GH 15 2 · 15 = AG 15 3

sin 2a  2 sin a cos a p 1  2  2 1 p 1  p2 

A

Jarak titik H ke garis AG sama dengan panjang ruas garis PH. GH merupakan rusuk kubus, panjang GH = 15 cm. AH merupakan diagonal sisi, panjang AH = 15 2 cm. AG merupakan diagonal ruang, panjang AG = 15 3 cm. Segitiga AGH siku-siku di H. 1 1 LAGH = · AG · PH = · AH · GH 2 2

, lihat gambar di bawah.

A

15

A

dan

1  p2

y

C

D

D

C O

A

a

B

O

C

Misal panjang rusuk kubus = a cm. AC 

AB 2  BC 2



a2  a2



2a 2

 a 2 cm


OC 

1 AC 2



1 a 2 2



1 a 2 cm 2

Garis singgung lingkaran: y – k = m(x – h) ± r 1  m 2  y – 3 = 2(x + 1) ± 2 5 1  4  y – 3 = 2x + 2 ± 10 y = 2x + 5 ± 10  y = 2x + 15 atau y = 2x – 5  Jadi, salah satu garis singgungnya adalah y = 2x + 15.

Sudut antara bidang BDG dengan bidang ABCD adalah GOC =  . Segitiga GOC siku-siku di C, maka:

OG  OC 2  CG 2

 4 8   32. e.   2 7  Pembahasan: Segitiga ABC dapat digambarkan sebagai berikut.

2

1    a 2   a2 2  

1 2 a  a2 2



3 2 a 2

1  a 6 cm 2 1 a 2 OC 1 1 2 3 cos  = = = = 1 OG 3 3 a 6 2 Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang BDG dengan

1 3. 3 30. c. x2 + y2 – 6x – 8y – 39 = 0 Pembahasan: Persamaan lingkaran: (x – a)2 + (y – b)2 = r2  (x – 3)2 + (y – 4)2 = 82 2  x – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 64  x2 + y2 – 6x – 8y + 25 – 64 = 0  x2 + y2 – 6x – 8y – 39 = 0 31. e. y = 2x + 15 Pembahasan: Persamaan lingkaran: x2 + y2 + 2x – 6y – 10 = 0 2  x + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 20 2 (x + 1)2 + (y – 3)2 = (2 5 )  Diperoleh titik pusat lingkaran (–1, 3) dan jari-jari r = 2 5. Persamaan garis: x + 2y + 5= 0 2y = –x – 5  1 5 y =  x  2 2 1 Garis x + 2y + 5 = 0 bergradien m =  , maka 2 garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis tersebut bergradien m = 2. bidang ABCD adalah

Segitiga ABC mempunyai alas a = 6 satuan dan tinggi t = 2 satuan, maka luas segitiga ABC: 1 L = ×a×t 2 1 = ×6×2 2 = 6 satuan luas Luas bayangan segitiga ABC = 72 satuan luas, maka:

L ' = |det (M)| × L 72 = |det (M)| × 6   |det (M)| = 12  det (M) = 12 atau det (M) = –12 Determinan matriks transformasi M haruslah 12 atau –12.

2 2 det A =

2 det B = det C = det D =

= 2 – 10 = –8

5 1

5

3 1 6

5

4

6

4

2

3

6

= –2 – (–15) = 13 = 36 – 20 = 16 = –24 – (–6) = –18

4 8 det E =

2 7

= –28 – (–16) = –12

 4 8 . Jadi, matriks M yang mungkin adalah   2 7 33. b. (10, 4) Pembahasan: a 3  a  3 T1  T2 =      =   2 b 2  b  T1  T2   A '(–1 + a + 3, 2 + 2 + b) A(–1, 2)  = A '(1, 11)


67

36. e. 163,75 Pembahasan: Tabel distribusi kumulatif data sebagai berikut.

sehingga diperoleh: –1 + a + 3 = 1  a = –1 2 + 2 + b = 11  b = 7 a  3 T1  T2 =   2  b

 1  3  =    2  7 2 =   9

Tinggi Badan (cm)

fi

fk

145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174

6 5 8 5 3 4

6 11 19 24 27 31

2  

9  B '(x + 2, y + 9) B(x, y)  = B '(12, 13) sehingga diperoleh: x + 2 = 12  x = 10 y + 9 = 13  y = 4 Jadi, koordinat B(10, 4). 34. d. Pada tahun 2015, hasil panen jagung dan kedelai mengalami kenaikan sama besar Pembahasan: Hasil panen palawija di Desa Senden tahun 2012 – 2015 dalam bentuk tabel sebagai berikut.

Tahun 2012 2013 2014 2015

Jagung 1.500 1.000 1.200 1.600

Turun 500 Naik 200 Naik 400

Hasil Panen (ton) Kedelai 900 1.000 Naik 100 800 Turun 200 1.200 Naik 400

Kacang Tanah 800 1.200 Naik 400 900 Turun 300 700 Turun 200

Dari tabel di atas dapat diketahui pada tahun 2013, hasil panen kacang tanah mengalami kenaikan paling tinggi daripada hasil panen jagung dan kedelai. Dengan demikian, pernyataan pilihan a salah. Pada tahun 2014, hasil panen kedelai mengalami penurunan paling kecil daripada hasil panen jagung dan kacang tanah. Dengan demikian, pernyataan pilihan b salah. Pada tahun 2014, hasil panen jagung mengalami kenaikan, sedangkan hasil panen kedelai dan kacang tanah mengalami penurunan. Dengan demikian, pernyataan pilihan c salah. Pada tahun 2015, hasil panen jagung dan kedelai mengalami kenaikan sama besar, yaitu 400 ton. Dengan demikian, pernyataan pilihan d benar. Pada tahun 2015, hasil panen jagung dan kedelai mengalami kenaikan, sedangkan hasil panen kacang tanah mengalami penurunan. Dengan demikian, pernyataan pilihan e salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan d. 35. a. Rp2.350.000,00 Pembahasan: Kelas modus terletak pada interval 21 – 25. Tb = 20,5 b1 = 25 – 22 = 3 p =5 b2 = 25 – 23 = 2 b1 p Mo = Tb + b1  b2 3 5 = 20,5 + 32 = 20,5 + 3 = 23,5 Jadi, modusnya Rp2.350.000,00.

68

Jumlah data n = 31 Kuartil atas: 3 Q3 = nilai data ke- (n + 1) 4 3 = nilai data ke- (31 + 1) 4 = nilai data ke-24 Nilai data ke-24 terletak pada kelas interval 160 – 164 Tb = 160 – 0,5 = 159,5 F = 19 fQ3 = 5 p = 164 – 160 + 1 = 5

3 nF p Q3 = Tb + 4 fQ3

3  31  19 = 159,5 + 4 5 5 23,25  19 5 5 = 159,5 + 4,25 = 163,75 Jadi, kuartil atas data adalah 163,75 cm. 37. e. 18 cara Pembahasan: Ada 3 pilihan orang untuk menjadi sopir. Jika satu orang sudah duduk di tempat sopir, maka 2 orang lagi akan didudukkan pada 3 posisi tempat duduk yang lain. Ini dilakukan dengan: 3! 3!   6 cara P(3, 2) = (3  2)! 1! Jadi, jumlah cara mendudukkan 3 orang seluruhnya adalah: 3 × P(3, 2) = 3 × 6 = 18 cara 38. d. 285 Pembahasan: Dari 7 pria dan 5 wanita dipilih 4 orang (paling banyak 2 pria), susunan panitia yang mungkin terdiri atas 2 pria dan 2 wanita, 1 pria dan 3 wanita, serta 4 wanita. Banyak cara memilih 2 pria dari 7 pria dan 2 wanita dari 5 wanita = 7C2 × 5C2 Banyak cara memilih 1 pria dari 7 pria dan 3 wanita dari 5 wanita = 7C1 × 5C3 Banyak cara memilih 4 wanita dan 5 wanita = 5C4 = 159,5 +


Banyak cara membentuk kepanitiaan = 7C2 × 5C2 + 7C1 × 5C3 + 5C4 7! 5! 7! 5!     = 2!(7  2!) 2!(5  2!) 1!(7  2!) 3!(5  3!) 5! 4!(5  4!) 3

=

7  6  5! 1

2  1 5!

2



5  4  3! 1

2  1 3!



7  6!  1 6!

= 7×3×5×2+7×5×2+5 = 210 + 70 + 5 = 285 Jadi, banyak cara membentuk kepanitiaan ada 285. 9 39. c. 44 Pembahasan: Banyak manik-manik kuning = 5 Banyak manik-manik ungu = 7 Jumlah manik-manik = 5 + 7 = 12 Dari 12 manik-manik diambil 3 manik-manik sehingga: 2 12  11 10  9! 12! = 3!(12  3)! 3  2  1 9! = 2 × 11 × 10 = 220 Kejadian yang mungkin terjadi adalah terambil 3 manikmanik kuning atau terambil 3 manik-manik ungu. Misalkan: A = kejadian terambil 3 manik-manik kuning B = kejadian terambil 3 manik-manik ungu n(A) = cara mengambil 3 manik-manik kuning dari 5 manik-manik kuning

n(S) = 12C3 =

7 5 = 12 12 Frekuensi harapan panah tidak mengenai sasaran pada kondisi berangin dari 60 percobaan: 5 × 60 = 25 12 Jadi, anak panah tidak mengenai sasaran sebanyak 25 kali. Fh =

PREDIKSI PAKET 1 1 1. a. 4a12 b Pembahasan: (2–2a3b5)–2 : (4a2b–3)3 =

=

=

5  4  3! 5! = 3!(5  3)! 3!  2! =

5 2 4 1 2 1

= 5 × 2 = 10 n(B) = cara mengambil 3 manik-manik ungu dari 7 manik-manik ungu

7  6  5  4! 7! = 3  2  1 4! 3!(7  3)! = 7 × 5 = 35 Peluang terambil manik-manik berwarna sama: P = P(A) + P(B) n( A ) n( B )  = n(S ) n(S ) 10 35  = 220 220 45 9 = = 220 44 Jadi, peluang terambil manik-manik berwarna sama 9 sebesar . 44 = 7C3 =

3 1 9 2 7  =  = 4 6 12 12 12 Peluang panah tidak mengenai sasaran pada kondisi berangin: P =

P' = 1 –

5  4 2  3! 5  4!  3!  2 1  1 4!  1

= 5C3 =

40. b. 25 Pembahasan: Peluang panah mengenai sasaran pada kondisi berangin:

(22 a 3b 5 )2 (4a 2b 3 )3

2 4 a6 b10 43 a 6b 9 24 (22 )3 a6  6 b9  10

=

24 2 a12b

=

1 22 a12 b

=

1 4a12 b

6

Jadi, hasil dari (2–2a3b5)–2 : (4a2b–3)3 adalah 2. b.

1 . 4a12 b

xy  2 y xy  y 2 xy  y 2

Pembahasan:

x y y x x y y x

x y y x =

x y y x



x y y x x y y x

=

x 2 y  2 xy xy  xy 2 x 2y  y 2 x

=

x ( xy  2 y xy  y 2 ) x( xy  y 2 )

=

xy  2 y xy  y 2 xy  y 2


69

a 1 b 1 Pembahasan:

3. c.

2 log 14 log 2  7 = 2 2 log 6 log 2  3

2

6

log 14 =

2

= =

2

log 2  2 log 7 log 2  2 log 3

1 a 1 b

3 2 ;x 3x2  4 3 Pembahasan:

4. c.

(h  f  g )( x ) = h(f(g(x)))

= h(f(x2 – 1)) = h(3(x2 – 1) – 2) = h(3x2 – 3 – 2) = h(3x2 – 5) 3 = (3 x 2  5)  1 3 = 3x 2  4 Jadi, rumus fungsi (h  f  g )( x ) =

3 2 ;x . 3x2  4 3

6 x  2 ;x3 3x  9 Pembahasan:

5. e.

f –1 (x)= =

3x  1 1  x  2 3x  6

3x  1 1  x  2 3( x  2)

3(3 x  1)  1 = 3( x  2) =

9x  2 3x  6 9x  2 3x  6 = 9x – 2 = 9x – 2 = –6y – 2 = –6y – 2 6y  2 = 3y  9

y=    

y(3x + 6) 3xy + 6y 3xy – 9x x(3y – 9)



x



f(x) =

Jadi, f(x) =

6 x  2 3x  9

6 x  2 ; x  3. 3x  9

6. a. 1 Pembahasan: Akar-akar x2 – (5a + 7)x + 27 = 0 adalah p dan q. p + q = 5a + 7 p · q = 27 70

Diketahui q = 3p, diperoleh: p · q = 27  p · 3p = 27 3p2 = 27  p2 = 9  p = ± 9 = ±3  Oleh karena p > 0 maka nilai p yang memenuhi adalah p = 3. Substitusikan p = 3 ke q = 3p. q=3×3=9 Substitusikan p = 3 dan q = 9 ke p + q = 5a + 7. p + q = 5a + 7  3 + 9 = 5a + 7  12 – 7 = 5a a =1  Jadi, a = 1. 2 7. c. m < atau m > 2 5 Pembahasan: Grafik fungsi memotong sumbu X di dua titik jika D > 0. y =mx2 + 2x + 4 + mx – m y =mx2 + (2 + m)x + 4 – m diperoleh a = m, b = 2 + m, c = 4 – m D >0  b2 – 4ac > 0  (2 + m)2 – 4(m)(4 – m) > 0  4 + 4m + m2 – 16m + 4m2 > 0  5m2 – 12m + 4 > 0  (5m – 2)(m – 2) > 0 2 atau m = 2 Pembuat nol: m = 5 –

+ 2 5

+ 2

2 Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m < atau m > 2. 5 8. a. 5 Pembahasan: Misalkan: x = banyak kelereng merah y = banyak kelereng kuning z = banyak kelereng biru diperoleh sistem persamaan linear berikut. x + y = 13 ...(1) y + z = 11 ...(2) x + z = 14 ...(3) Dari (1) dan (2) diperoleh: x + y = 13 y + z = 11 – x–z=2 ...(4) Dari (3) dan (4) diperoleh: x + z = 14 x–z=2 + 2x = 16  x=8 Substitusikan x = 8 ke persamaan (1). x + y = 13  8 + y = 13  y =5 Jadi, banyak kelereng kuning 5 butir.


9. d. x + y  4; x + 3y  6; x  0; y  0 Pembahasan: Berdasarkan grafik terdapat beberapa garis yang membatasi daerah yang diarsir. Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian. (i) Persamaan garis yang melalui titik (4, 0) dan (0, 4) adalah: x y  = 1  4x + 4y = 16 4 4 x+y =4  Titik (0, 3) terdapat pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 3) ke x + y. x + y = 0 + 3 = 3  4. Diperoleh pertidaksamaan x + y  4. (ii) Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 2) adalah: x y  = 1  2x + 6y = 12 6 2  x + 3y = 6 Titik (0, 3) terdapat pada daerah penyelesaian. Uji titik (0, 3) ke x + 3y. x + 3y = 0 + 3 × 3 = 9  6. Diperoleh pertidaksamaan x + 3y  6. (iii) Daerah penyelesaian terletak di kanan dan pada sumbu Y sehingga x  0. (iii) Daerah penyelesaian terletak di atas dan pada sumbu X sehingga y  0. Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah x + y  4; x + 3y  6; x  0; y  0. 10. e. Rp75.000.000,00 Pembahasan: Misal: banyak penumpang kelas I = x banyak penumpang kelas II = y Model matematika: x + y  500 ............ (1) 80x + 20y  16.000  4x + y  800 ............ (2) ............ (3) x  0 y  0 ............ (4) Harga H(x, y) = 250.000x + 125.000y Y 800 C 500

B Hp

0

A X 200 500 x + y = 500 4x + y = 800 Titik

A(200, 0) B(100, 400) C(0, 500)

Titik potong B: x + y = 500 4x + y = 800 –––––––––––– – –3x = –300 x = 100 x + y = 500 100 + y = 500 y = 400

H(x, y) = 250.000x + 125.000y 250.000(200) + 125.000(0) = 50.000.000 250.000(100) + 125.000(400) = 75.000.000 250.000(0) + 125.000(500) = 62.500.000

Ket. maks -

Jadi, pendapatan maksimum Rp75.000.000,00 pada titik potong B.

11. b. –3x + 36 Pembahasan: f(x) = F1(x)(2x – 4) + 6  f(2) = 6 f(x) = F2(x)(x + 4) + 24  f(–4) = 24 g(x) = G1(x)(2x – 4) + 5  g(2) = 5  g(–4) = 2 g(x) = G2(x)(x + 4) + 2 Misal h(x) dibagi 2x2 + 4x – 16 sisa ax + b. h(x) = H(x)(2x – 4)(x + 4) + ax + b h(2) = f(2) × g(2) = 2a + b  6 × 5 = 2a + b  2a + b = 30 .......... (1) h(–4) = f(–4) × g(–4) = –4a + b  24 × 2 = –4a + b  –4a + b = 48 .......... (2) Dari (1) dan (2) diperoleh: 2a + b = 30 –4a + b = 48 –––––––––––– – 6a = –18 a = –3 2a + b = 30 –6 + b = 30 b = 36 Jadi, sisanya –3x + 36. 12. a. –12 Pembahasan:

 5 4   c d   1     a b   5 d   d

3a   0 1    4   1 0

 5  c 4  d   3a 1      a  5 b  d   4 d  Dari kesamaan matriks diperoleh: –5 + c = 3a ....(1) 4 + d = 1  d = –3 ....(2) a + 5 = 4  a = –1 ....(3) b + d = –d ....(4) Substitusi a = –1 ke persamaan (1): –5 + c = 3a  –5 + c = 3(–1)  –5 + c = –3  c=2 Substitusi d = –3 ke persamaan (4): b + d = –d  b + (–3) = –(–3)  b =3+3=6 diperoleh a = –1, b = 6, c = 2, dan d = –3 Nilai ab + cd = (–1)6 + 2(–3) = (–6) + (–6) = –12 Jadi, nilai ab + cd = –12. 13. c. 20 Pembahasan: Rumus suku ke-n deret aritmetika adalah: Un = a + (n – 1)b U3 + U7 = 22  (a + 2b) + (a + 6b) = 22  2a + 8b = 22 ...(1) U5 + U9 = 30  (a + 4b) + (a + 8b) = 30  2a + 12b = 30 ...(2)


71

Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). 2a + 8b = 22 2a + 12b = 30 – –4b = –8  b =2 Substitusikan b = 2 ke persamaan (1). 2a + 8b = 22  2a + 8(2) = 22  2a + 16 = 22  2a = 6  a =3 Jumlah deret adalah 440, diperoleh: Sn = 440 n  (2a + (n – 1)b)) = 440 2 n  (2(3) + (n – 1)2) = 440 2  n(6 + 2n – 2) = 880  n(2n + 4) = 880  2n2 + 4n – 880 = 0  n2 + 2n – 440 = 0  (n + 22)(n – 20) = 0  n + 22 = 0 atau n – 20 = 0  n = –22 atau n = 20 Oleh karena n > 0, maka nilai n yang memenuhi adalah 20. Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 20. 14. c. 18 m Pembahasan: 8 32  ... . Saat bola turun: 2 +  5 5 a S  1 r 2  4 1 5 5  2   10 m 1 8 32 128   ... . Saat bola naik:  5 5 5 a S  1 r 8  5 4 1 5 8 5   5 1 8m Jadi, panjang lintasan bola tenis sampai berhenti adalah 10 + 8 = 18 m. 15. b. –6 Pembahasan:

( 4 x 2  8 x  3)2  (2 x  4)2

= xlim 

4 x 2  8 x  3  (2 x  4)

(4 x 2  8x  3)  (4 x 2  16x  16)

= xlim 

4 x 2  8 x  3  (2x  4) 24 x  13

= xlim 

2

4 x  8 x  3  (2 x  4)

24 x  13 x 4 x 2  8 x  3  (2 x  4) x

= xlim 

24  = lim

x 

4

400 20

x

=

24 22

=

24 4

= –6 16. b. 2 Pembahasan:

lim

x 0

sin 5x  cos 2 x sin 5x 5x 3

= lim x 0

sin 5 x (1  cos 2 x ) 5x3

= lim

sin 5 x  (2 sin2 x ) 5x 3

x 0

= 2  lim x 0

( 4 x 2  8 x  3  (2 x  4)) · = xlim  4 x 2  8 x  3  (2 x  4) 4 x 2  8 x  3  (2 x  4) 72

sin 5 x sin x sin x  lim  lim x 0 x 0 5x x x

= 2·1·1·1 = 2 17. c. 16 Pembahasan: f(x) =

5

(10 x 2  8)4 4

2 = (10x  8) 5

4

Misalkan u = 10x2 – 8 maka f(x) = u 5 f ( x ) =

lim ( 4 x 2  8 x  3  2 x  4)

( 4 x  8 x  3  (2 x  4)) = xlim 

8 3 4  2 x x2 x

24  0

= lim

df ( x ) du  du dx 1

=

4 5 u  20 x 5

=

 4 (10 x 2  8) 5  20 x 5

x 

2

13 x

1

2 = 16 x (10x  8)



1 5


f (2) = 16  2  (10  22  8) = 16  2  32



1 5

f (8) = 0  3 × 82 + 2a × 8 + b = 0

1  5

5 = 16  2  (2 )



1 5

= 16 × 2 × 2–1 = 16 Jadi, nilai f (2) = 16. 2 2 (6x + 5) cos 3 (3x2 + 5x) tan (3x2 + 5x) 3 Pembahasan:

18. d. 

f(x) =

3



cos2 (3 x 2  5 x ) = cos (3 x 2  5 x )



2 3

2

f(x) = h 3 dengan u(x) = 3x2 + 5x, dan h(u) = cos u

df 2  31 = h , dh 3 df f ( x ) = dx df = × dh

du dh = 6x + 5, = –sin u dx du

dh du × du dx

1

=

2 3 h × (–sin u) × (6x + 5) 3 2

2

=

× (–sin u) × (6x + 5) ×

1

3 cos 3 u

cos 3 u 2

cos 3 u

= 

2 2 sin u (6x + 5) × cos 3 u × 3 cos u

= 

2 2 (6x + 5) × cos 3 u × tan u 3

= 

2 2 (6x + 5) cos 3 (3x2 + 5x) tan (3x2 + 5x) 3

Jadi, f ( x ) = 

1

a

2 (6x + 5) cos (3x2 + 5x) tan (3x2 + 5x). 3

 (3 x

(a3 + 5a2 – 8a) – (1 + 5 – 8) = 50 a3 + 5a2 – 8a – 48 = 0 (a – 3)(a + 4)2 = 0 a = 3 atau a = –4 (TM) Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 3. 22. c. 2 cos x  C Pembahasan:



2 2 f ( ) = 0  3 × ( 3 )2 + 2a × 3 4 9

 10 x  8) dx == 50 50 a

dan f (8) = 0.

3×

2

1

 x 3  5x 2  8x  = 50 1

2 f(x) turun hanya pada interval < x < 8, berarti f(x) 3 2 naik pada x < dan x > 8 dan f(x) stasioner pada 3 2 x = dan x = 8. 3 f ( x ) = 3x2 + 2ax + b 2 2 f(x) stasioner pada x = dan x = 8 maka f ( 3 ) = 0 3

 

a

 (3 x  2)( x  4) dx ==5050

2 3

19. b. 3 Pembahasan: f(x) = x3 + ax2 + bx + c



 3 × 64 + 2a × 8 + b = 0  192 + 16a + b = 0  16a + b = –192 ...(ii) Eliminasi a dari persamaan (i) dan (ii). 4a + 3b = –4 |× 4| 16a + 12b = –16 16a + b = –192 |× 1| 16a + b = –192 ––––––––––––––– – 11b = 176  b = 16 Substitusikan b = 16 ke dalam persamaan (i) diperoleh: 4a + 3 × 16 = –4  4a + 48 = –4  4a = –52  a = –13 Jadi, a + b = –13 + 16 = 3. 20. c. Rp391.000,00 Pembahasan: Biaya = (9.000 + 1.000x + 10x2) rupiah Pendapatan = 5.000x rupiah Laba = pendapatan – biaya = 5.000x – (9.000 + 1.000x + 10x2) = 4.000x – 9.000 – 10x2 Laba (L) maksimum jika L' = 0 L' = 0  4.000 – 20x = 0  20x = 4.000  x = 200 L = 4.000(200) – 9.000 – 10(200)2 = 800.000 – 9.000 – 400.000 = 391.000 Jadi, laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp391.000,00. 21. c. 3 Pembahasan:

+ 2a ×

2 3

+b=0

2 3

+b=0

4 + 4a + 3b = 0 4a + 3b = –4

sin x x

Misal

dx  .... 1

u = x2 1

du = ...(i)

1 1 2 1 2 du x dx  dx maka dx = 2x 1 2 2x 2


73

1



24. c. 4  2 2 Pembahasan:

sin x sin u dx   1  2 x 2 du x x2  2  sin u du

2 sin  52,5  7,5 

tan 52,5° – tan 7,5° = cos 52,5  7,5  cos 52,5 7,5    

 2cos u  2cos

2 sin 45

= cos 60  cos 45

 x C

2  5 Pembahasan: Titik potong kedua kurva: y2 = x  (x3)2 = x  x6 – x = 0  x(x5 – 1) = 0  x(x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0  x = 0 atau x = 1 atau x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 Untuk x = 0  y = 03 = 0 Untuk x = 1  y = 13 = 1 Titik potong kedua kurva yaitu (0, 0) dan (1, 1). Y

=

1 2 2 1 1  2 2 2

=

2 2 1 2

2

23. c.

= 42 2

1 5 5 Pembahasan:

25. b.

tan  = 1 dan tan   sudut lancip sin  = cos  =

1 , dengan sudut  dan  3

1 2 2

1 3 10 dan cos  = 10 10 10 sin (    ) = sin  cos  – cos  sin 

1

sin  =

x1 = y 3 x2 = y 2 1

1 3 1 1 2 10  2 10 2 10 2 10 1 20 = 10 1 5 = 5 =

X 1

0

Daerah yang diarsir terletak pada interval

26. e. 48 3 Pembahasan:

1

A

0  y  1, dibatasi oleh kurva x1 = y 3 dan x2 = y2 8 cm

dengan x1 > x2.

60°

1

Volume =   ( x12  x22 ) dy

B

0

1

C

1  AB  BC  sin B 2 1 =  8  12  sin 60 2 1 = 48  3 = 24 3 cm2 2

4

0

1

3 5 1 5  =  y3  y  5 0 5 5

5

3 1 5 3 1 5 =  ( ·13  ·1 )   ( ·0 3  ·0 ) 5 5 5 5 3 1 = (  ) 0 5 5

74

12 cm

Luas ABC =

2 3

=   ( y  y ) dy

=

D

2  satuan volume 5

Luas jajar genjang ABCD = 2 · Luas  ABC = 2 · 24 3 = 48 3 cm2 27. d. KMQO Pembahasan: (i) Bidang LPRN melalui garis LP dan NR. (ii) Bidang MNRQ sejajar LP tetapi melalui garis NR.


(iii) Bidang LMP Q sej aj ar NR t etap i m elalui garis LP. (iv) Bidang KMQO sejajar LP dan NR. (v) Bidang KLQR ditembus (berpotongan) dengan garis LP dan NR. Jadi, bidang yang sejajar dengan garis LP dan NR adalah KMQO.

24 5 Pembahasan:

Titik P adalah proyeksi titik G pada bidang BDHF dan garis PB adalah proyeksi garis BG pada bidang BDHF. GE = BG = diagonal sisi = a 2 .

1 1 GP = GE  a 2 2 2 Perhatikan  GPB. 1 GP 2 a 2 1      30 BG 2 a 2 Jadi, besar sudut antara garis BC dan bidang BDHF =  = 30°. 30. b. x2 + y2 – 2x + 6y + 1 = 0 Pembahasan: Lingkaran yang berpusat di titik (1, –3) dan menyinggung sumbu X sebagai berikut.

28. a.

sin  

H

G

E

F

6 cm

P

C

D 11 cm 8 cm

A

B

Berdasarkan gambar di atas, jarak titik A ke bidang BCHE ditunjukkan oleh garis AP. Perhatikan segitiga ABE. E

BE = P

6 cm

=

82  62

=

64  36

= 100 = 10

D 8 cm

A

AB 2  AE 2

B

Luas segitiga ABE:

1 × AB × AE = 2  AB × AE =  8 × 6= 48 = 

1 × BE × AP 2 BE × AP 10 × AP 10 × AP



AP =

48 10



AP =

24 5

Jadi, jarak titik A ke bidang BCHE adalah

24 cm. 5

29. d. 30° Pembahasan: Sudut antara garis BG dan bidang BDHF adalah  . H

G P

E

F

 C

D A

a

a B

Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (1, –3) dan jari-jarinya 3. Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y – (–3))2 = 32  (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9 2  x – 2x + 1 + y2 + 6y + 9 – 9 = 0  x2 + y2 – 2x + 6y + 1 = 0 Jadi, persamaan lingkaran tersebut x2 + y2 – 2x + 6y + 1 = 0. 31. a. 4x – y – 18 = 0 Pembahasan: Lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 7 = 0 Untuk x = 5, diperoleh: x2 + y2 – 2x – 6y – 7 = 0  52 + y2 – 2(5) – 6y – 7 = 0  25 + y2 – 10 – 6y – 7 = 0  y2 – 6y + 8 = 0  (y – 2)(y – 4) = 0  y = 2 atau y = 4 sehingga titik singgungnya (5, 2) dan (5, 4). Untuk titik (5, 2), persamaan garis singgung:

1 1 A(x + x1) + B(y + y1) + c = 0 2 2 1 1  5x + 2y + (–2)(x + 5) + (–6)(y + 2) + (–7) = 0 2 2  5x + 2y – x – 5 – 3y – 6 – 7 = 0  4x – y – 18 = 0 Untuk titik (5, 4), persamaan garis singgung: 1 1 5x + 4y + (–2)(x + 5) + (–6)(y + 4) + (–7) = 0 2 2  5x + 4y – x – 5 – 3y – 12 – 7 = 0  4x + y – 24 = 0

x1x + y1y +


75

 23 1  32. b.    9 7  Pembahasan: Matriks transformasi:

 3 1 T1 =   4 2 

 5 2 T2 =    1 3   1 0  R = R[O,  ] =    0 1 Matriks transformasi yang mewakili transformasi T1 dilanjutkan R kemudan T2. T = T2  R  T1

Pembahasan: Nilai Titik Tengah Umur (xi)

fi

 5 2   3 1 =    1 3   4 2   23 1  =    9 7  Jadi, matriks transformasi yang mewakili adalah

 23 1   .  9 7  33. a. 13x – 5y + 4 = 0 Pembahasan: Misal P: x + 3y + 2 = 0 4 7  1 2  2 3   T = T2 T1 =   =  3 4 1 2  10 17     1  17 7  T–1 =    2  10 4  P ' = T · P  P = T–1 · P ' x  1  17 7   x '    =     y 2  10 4   y '    17 7 x =  2 x ' 2 y ' ; y = 5x ' – 2y ' Jadi, bayangannya adalah:

  172 x  72 y   3(5x  2y )  2 = 0  13x – 5y + 4 = 0 34. d. Rp980.000,00 Pembahasan: Dari diagram batang diperoleh hasil penjualan roti pada bulan Maret Rp9.800.000,00. Persentase juring cake = 100% – (8% + 42% + 12% + 28%) = 10% Hasil penjualan cake pada bulan Maret = 10% × Rp980.000,00 = Rp980.000,00 Jadi, hasil penjualan cake di Golden Bakeri pada bulan Maret adalah Rp980.000,00.

xifi 176 270 384 518 630 564 468 xi fi = 3.010

8 10 12 14 15 12 9 fi = 80

22 27 32 37 42 47 52

Rata-rata umur =

x f f

i i i

 5 2   1 0   3 1 =      1 3   0 1  4 2 

76

5

35. d. 37 8

=

3.010 5 = 37 8 tahun 80

36. b. 1,5 Pembahasan: Diketahui data: 14, 13, 11, 10, 14, 13, 10, 11

14  13  11  10  14  13  10  11 8 96 = 8

Mean data =

= 12 Menentukan nilai  x i  x Nilai Data (x i)

( xi  x )

(x i  x)

14 13 11 10 14 13 10 11

2 1 –1 –2 2 1 –2 –1

2 1 1 2 2 1 2 1  ( x i  x )  12

Simpangan rata-rata data: 1 n 1 SR =  ( xi  x ) = × 12 = 1,5 n i 1 8 Jadi, simpangan rata-rata data adalah 1,5. 37. a. 75 Pembahasan: Dari angka 1, 2, 3, 5, dan 8 akan disusun bilangan ratusan yang lebih dari 300 dengan angka boleh berulang. Bilangan ratusan memiliki nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan. Misalkan bilangan tiga angka lebih dari 300 dibuat kotak ratusan, puluhan, dan satuan berikut. Ratusan

Puluhan

Satuan

3

5

5

Ada 3 angka yang dapat menempati nilai tempat ratusan, yaitu 3, 5, atau 8.

Ada 5 angka yang dapat menempati nilai tempat puluhan, yaitu 1, 2, 3, 5, atau 8.


Ada 5 angka yang dapat menempati nilai tempat satuan, yaitu 1, 2, 3, 5, atau 8.

Banyak susunan bilangan yang mungkin =3×5×5 = 75 Jadi, banyak bilangan ratusan yang lebih dari 300 yang dapat dibuat adalah 75. 38. d. 720 Pembahasan: 2 siswa putra dan 1 siswa putri sudah dipilih maka siswa yang belum terpilih 3 siswa putra dari 6 siswa putra dan 2 siswa putri dari 9 siswa putri. Banyak cara memilih = 6C3 · 9C2 = 20 · 36 = 720 39. a. 52 Pembahasan: Banyak percobaan n = 169 kali. S = {seperangkat kartu bridge} sehingga n(S) = 52 Seperangkat kartu bridge terdiri atas 4 macam kartu. Setiap macam memiliki 9 kartu bernomor 2 sampai 10 sehingga setiap macam kartu memiliki 4 kartu bernomor ganjil, yaitu kartu bernomor 3, 5, 7, dan 9. Dengan demikian, seperangkat kartu bridge memiliki 4 × 4 = 16 kartu bernomor ganjil. Misalkan A = kejadian terambil kartu bernomor ganjil, maka n(A) = 16. Peluang kejadian A: 4 n( A) 16 P(A) = = = n(S ) 52 13 Frekuensi harapan terambil kartu bernomor ganjil: 4 Fh(A) = P(A) × n = × 169 = 52 13 Jadi, frekuensi harapan terambil kartu bernomor ganjil adalah 52 kali. 3 40. e. 4 Pembahasan: S = himpunan pasangan mata dadu dan angka atau gambar dari pelemparan sebuah dadu dan sekeping uang logam secara bersamaan Sebuah dadu memiliki 6 sisi yang terdapat mata dadu 1 sampai 6 dan sekeping uang logam memiliki 2 sisi, yaitu angka (A) dan gambar (G). Anggota ruang sampel S dapat ditentukan menggunakan tabel berikut Mata Uang

1 (A, 1) (G, 1)

2 (A, 2) (G, 2)

3 (A, 3) (G, 3)

3 4 Jadi, peluang muncul mata dadu ganjil atau sisi =

4 (A, 4) (G, 4)

5 (A, 5) (G, 5)

6 (A, 6) (G, 6)

Dari tabel di atas diperoleh 12 pasangan mata dadu dan angka atau sisi gambar sehingga n(S) = 12. Misalkan: A = kejadian muncul mata dadu ganjil = {(A, 1), (A, 3), (A, 5), (G, 1), (G, 3), G, 5)} B = kejadian muncul gambar = {(G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), G, 6)} A B = kejadian muncul mata dadu ganjil dan sisi gambar = {(G, 1), (G, 3), (G, 5)} n(A) = 6 n(B) = 6 n(A B) = 3

3 . 4

gambar sebesar

PREDIKSI PAKET 2 16 15 Pembahasan:

1. b.

 27  125     64 



2 3

 3 3  53  =  6  2   2 3    3

=

3



2 3

 2 3    3

5

 2 6  

2  3 2 3  52 = 24

24 32  52 16 = 9  25 =

=

16 225

16 sehingga: 225

Diperoleh p = 15p = 15 ×

Dadu

A B

Peluang muncul mata dadu ganjil atau sisi gambar: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) n( A ) n( B ) n( A  B )   = n(S ) n(S ) n(S ) 6 6 3   = 12 12 12 9 = 12

16 16 = 225 15 16 . 15

Jadi, nilai 15p = 2. e.

1 2



12  8



Pembahasan:

2 12  8

2

=

12  8 2

= =





12  8

12  8 12  8



12  8 1 2



12  8




77

pq  2q  1 2 pq  q Pembahasan: 2 log 3 = p 7 log 2 = q

( g  f )–1(x) =

3. a.

2



2

 (f 1  g 1 ) (x) =

log 2 =q log 7

1 =q log 7 1  2log 7 = q 

1 6(1  x )



f –1 (g–1)(x) =



g 1( x )  1 = 6



g–1(x) + 1 =



g–1(x) =

2

2

log 84 18 log 84 = 2 log 18 2

log 22  3  7 2 log 2  3 2

2

log 22  2 log 3  2 log 7 2 log 2  2 log 32

=

=

1 1 x – 1 x 1 x x g–1(x) =  1 x Misalkan y = g–1(x). x y= 1 x  y – xy = x  x + xy = y  x(1 + y) = y 

1 q q  1  2p q

2 p =



= =

2q  pq  1 q  2pq

3( x  1) 13 ;x  6 x  13 6 Pembahasan:

 g(x + 1) =

f(x) =

(3 x  5)  2 2(3 x  5)  3 3x  3 = 6 x  10  3 3x  3 = 6 x  13 =

3( x  1) 13 ;x  6 x  13 6

x 1 ; x  2 x2 Pembahasan: Misalkan y = f(x) y = 6x – 1 y 1 x=  6 x 1 –1  f (x)= 6

5. e.

78

x=

y 1 y

x 1 x x g(x) =  1 x x 1  g(x + 1) = 1  ( x  1)

4. e.

=

g–1(x) =

 (g–1(x))–1 =

pq  2q  1 2 pq  q

x2 3 ;x 2x  3 2 g(x) = 3x – 5 (f  g)(x) = f(g(x)) = f(3x – 5)

1 6(1 x ) 1 6(1 x ) 1 6(1 x ) 1 1 x 1 –1 1 x

x 1 x 2

Jadi, rumus fungsi g(x + 1) = 6

x 1 ; x  2 . x2

c. 10 Pembahasan: Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + mx + 20 = 0 adalah x1 dan x2.

b m = –m = a 1 20 c 20 = 20  x1 = x1 · x2 = = x2 a 1 x 1 = x2 + 1 20  x 2 = x2 + 1 20 = x22 + x2  2  x2 + x2 – 20 = 0  (x2 + 5)(x2 – 4) = 0  x2 = –5  x2 = 4 Karena x2 < 0, maka nilai yang memenuhi adalah x2 = –5. x1 = x2 + 1  x1 = –5 + 1 = –4 x1 + x2 =


x1 + x2 = –m  m = –(–4 – 5) =9 Jadi, nilai m + 1 = 9 + 1 = 10. 7. b. 0 < p < 6 Pembahasan:

22  p diperoleh 4p 22  p . a = p, b = p – 2, dan c = 4p f(x) definit positif jika a > 0 dan D < 0. a. a>0  p>0 Dari f(x) = px2 + (p – 2)x +

...(1) 0

b.

D< b2 – 4ac < 22  p )<  (p – 2)2 – 4 · p( 4p 2  p – 4p + 4 – (22 – p) <  p2 – 3p – 18 <  (p – 6)(p + 3) < Pembuat nol: p – 6 = 0 atau p + 3 = 0  p = 6 atau p = –3 

_

0 0 0 0

Y 4

IV I

III III

2

_ _

++

0 0

(ii) Pertidaksamaan 2x – y  4 dibatasi oleh garis 2x – y = 4. Garis ini memotong sumbu X di titik (2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –4). Uji titik (0, 0) ke 2x – y  4. 2 × 0 – 0  4 bernilai benar.. Daerah penyelesaian 2x – y  4 adalah daerah yang dibatasi oleh garis 2x – y = 4 dan memuat titik (0, 0). (iii) Pertidaksamaan x – 2y  –4 dibatasi oleh garis x – 2y = –4. Garis ini memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 2). Uji titik (0, 0) ke x – 2y  –4. 0 – 2 × 0  –4 bernilai benar.. Daerah penyelesaian x – 2y  –4 adalah daerah yang dibatasi oleh garis x – 2y = –4 dan memuat titik (0, 0). (iv) Daerah penyelesaian pertidaksamaan x  0 adalah daerah di kanan dan pada sumbu Y. (v) Daerah penyelesaian pertidaksamaan y  0 adalah daerah di atas dan pada sumbu X. Berdasarkan kelima pertidaksamaan tersebut diperoleh grafik penyelesaian:

V

++

II

...(2) 6

3

-4

0

2

X 4

Irisan penyelesaian (1) dan (2):

0

6

Penyelesaiannya 0 < p < 6. Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 0 < p < 6. 8. a. 6 Pembahasan: Misal: jam kerja mesin I = x jam kerja mesin II= y Sistem persamaan: (i) x + y = 14 (ii) 7x + 5y = 86 Dari (7 × (i)) dan (ii) diperoleh: (i) 7x + 7y = 98 (ii) 7x + 5y = 86 – 2y = 12  y = 6 Jadi, mesin dengan kemampuan cetak 5 rim/jam bekerja selama 6 jam. 9. c. III Pembahasan: (i) Pertidaksamaan x + y  4 dibatasi oleh garis x + y = 4. Garis ini memotong sumbu X di titik (4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Uji titik (0, 0) ke x + y  4. 0 + 0  4 bernilai salah. Daerah penyelesaian x + y  4 adalah daerah yang dibatasi oleh garis x + y = 4 dan tidak memuat titik (0, 0).

-4

Jadi, daerah yang ditunjuk oleh sistem pertidaksamaan tersebut adalah nomor III. 10. c. Rp5.500.000,00 Pembahasan: Misal: banyak sepatu laki-laki = x banyak sepatu wanita = y Model matematika: x + y  400 .................. (i) 100  x  150 .................. (ii) y  150 .................. (iii) L(x, y) = 20.000x + 10.000y Titik potong garis x + y = 400 dengan x = 100 adalah (100, 300). Titik potong garis x + y = 400 dengan x = 150 adalah (150, 250). Y 400

HP

150

O

100

150

400 X


79

Uji titik pojok:

(x, y)

L(x, y) = 20.000x + 10.000y

(100, 150) (150, 150) (150, 250) (100, 300)

3.500.000 4.500.000 5.500.000 5.000.000

15. d. 30 Pembahasan:

x 2  25 x 2  25 2x  1  3 · = lim x  5 2x  1  3 2x  1  3 2x  1  3

lim

x 5

Jadi, keuntungan terbesar yang diperoleh pemilik toko sepatu tersebut adalah Rp5.500.000,00. 11. e. 11 Pembahasan: Sukubanyak P(x) = x3 – x2 – 10x – 8 –1 1 –1 –10 –8

4

–1

2

8

1

–2 4

–8 8

0

1

2

0

P(x) = x3 – x2 – 10x – 8 = (x + 1)(x – 4)(x + 2) Karena x1 > x2 > x3 maka x1 = 4, x2 = –1, dan x3 = –2. Jadi, nilai dari 2x1 – (x2 + x3) = 2(4) – (–1 – 2) = 8+3 = 11 12. e. 9 Pembahasan: 12   4 3x  y   4    6   x  y 6  maka 3x – y = 24 dan 8 x + y = 6 maka x = 9. 13. b. 2.808 cm Pembahasan: Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang masing-masing potongan membentuk deret aritmetika. • Potongan tali terpendek adalah 3 cm, berarti U1 = a = 3. • Potongan tali terpanj ang adalah 105 cm, berarti U52 = 105. 1 Sn  n  2a   n  1 b  U52  105 2  a  51b  105 1 S52   52  2  3  51 2   3  51b  105 2  51b  102  26  6  102   b2  26 108   2.808 Jadi, panjang tali semula adalah 2.808 cm. 14. a. 18 Pembahasan: 4 2 a = 6, r = = 6 3 a 6 = = 6 · 3 = 18 S = 2 1 r 1 3 Jadi, panjang lintasan bola sampai dengan tepat bola berhenti adalah 18 m.

80

= lim x 5

( x 2  25)( 2 x  1  3) (2 x  1  9)

= lim x 5

( x 2  25)( 2 x  1  3) 2 x  10

= lim x5

= lim x 5

( x  5) ( x  5) ( 2 x  1  3) 2 ( x  5)

( x  5)( 2x  1  3) 2

=

(5  5)( 2(5)  1  3) 2

=

10(3  3) 2

10 ·6 2 = 30 = 3 2 Pembahasan:

16. b. 

lim

x0

sin 3 x cos 2 x  sin 3 x 4x 3

= lim x0

sin 3 x (cos 2 x  1) 4x3

= lim x 0

(sin 3 x )( 2 sin2 x ) 4x 3

=

2 sin 3 x sin x sin x · lim · lim · lim x 0 x 0 4 x 0 x x x

= 

1 · 3 · 1· 1 2

= 

3 2

17. a. 4(2x – 1)(6x + 1) Pembahasan: f(x) = (1 – 2x)2 (4x + 2) f(x) = u(x) × v(x) dengan u(x) = (1 – 2x)2 dan v(x) = (4x + 2) u (x) = 2(1 – 2x) × (–2) = –4(1 – 2x) dan v (x) = 4

f  (x) = u (x) × v(x) + u(x) × v (x) = –4(1 – 2x)(4x + 2) + (1 – 2x)2 × 4

= –4(1 – 2x){(4x + 2) – (1 – 2x)} = –4(1 – 2x)(6x + 1) = 4(2x – 1)(6x + 1)


  18. c. 4 cos3 (  x ) sin (  x ) 4 4 Pembahasan:  f(x) = cos4 ( – x) 4

(

1 1 x – 1) = 0 atau ( x + 1) = 0 2 2

1 1 x=1 atau x = –1 2 2 x= 2 atau x = –2  Diagram tanda g ( x ) sebagai berikut. 

Misalkan f(x) = u4 dengan u = cos v dan v =

 –x 4

dv du df = –1, = –sin v, = 4u3 dx dv du df df du dv = × × dx du dv dx = 4u3 × (–sin v) × (–1) = 4 cos3 v × sin v   = 4 cos3 ( – x) sin ( – x) 4 4 Jadi, turunannya adalah 4 cos3 (

  – x) sin ( – x). 4 4

19. b. 9 Pembahasan:

1 Diketahui g(x) = x 3 – A2 x + 5, A konstanta. 4 f(x) = g(4x – 1) 1 = (4x – 1)3 – A2(4x – 1) + 5 4 3 f ( x ) = × 4(4x – 1)2 – 4A2 4 = 3(4x – 1)2 – 4A2 1 3 f(x) turun pada interval   x  , berarti f(x) naik 4 4 1 3 1 pada x <  dan x > dan f(x) stasioner di x =  4 4 4 3 1 dan x = . Oleh karena f(x) stasioner di x =  4 4 3 1 3 dan x = , maka f (  ) = 0 dan f ( ) = 0. 4 4 4 3 3 f ( ) = 0  3(4 × – 1)2 – 4A2 = 0 4 4 3(3 – 1)2 – 4A2 = 0  3 × 22 – 4A2 = 0



4A2 = 3 × 4



A2 = 3  Dengan demikian, diperoleh fungsi 1 3 g(x) = x – 3x + 5. 4 Menentukan nilai maksimum fungsi g(x). Fungsi g(x) mencapai stasioner jika g ( x ) = 0.

g(–2) =

1 × (–2)3 – 3 × (–2) + 5 4

8 +6+5 4 = –2 + 11 =9 Jadi, nilai maksimum fungsi g(x) adalah 9. 20. c. 16 Pembahasan: Ketinggian peluru setelah t detik dirumuskan: = 

h(t) = –t 3 +

5 2 t + 2t + 10 2

Ketinggian peluru akan maksimum jika h (t) = 0. h (t) = –3t 2 + 5t + 2 –3t 2 + 5t + 2 h (t) = 0   (–3t – 1)(t – 2)  –3t – 1 = 0 atau t – 2  –3t = 1 atau t

= = = =

0 0 0 2

1 atau t = 2 3 Oleh karena t = waktu maka t > 0 sehingga t = 2. 5 Substitusikan t = 2 ke h(t) = –t 3 + t 2 + 2t + 10 2 5 2 3 h(2) = –(2) + (2) + 2(2) + 10 2 = –8 + 10 + 4 + 10 = 16 meter Jadi, tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut 16 meter. 

t= 

1 (4 + 2x – 3x2)3 + C 6 Pembahasan:

21. d. 

g ( x ) = 0

3 2 x –3 =0 4



1 2 x –1 =0 4

 

Dari diagram tanda di atas tampak bahwa fungsi g(x) mencapai maksimum di x = –2. Nilai maksimum fungsi g(x) = g(–2).

(

1 1 x – 1)( x + 1) = 0 2 2

 (3 x  1)(4  2 x  3 x Misal



2 2

) dx

u = 4 + 2x – 3x2 du = (2 – 6x) dx

1 du = (3x – 1) dx 2


81

 (3 x  1)(4  2x  3 x = 

26. e. 6 Pembahasan: Segi dua belas beraturan terbentuk dari 12 segitiga kongruen dengan menghubungkan semua titik sudut ke pusat. Luas segitiga: 1 L = × 108 12 = 9 cm2

2 2

) dx

1 2  u du 2

=

1 1 3  u C 2 3

=

1 3 u C 6

=

1 (4 + 2x – 3x2)3 + C 6

Sudut pusat: 1  = × 360° 12 = 30°

1 22. e. 3 Pembahasan:

L

 2

=

 2

 (sin

2

0

t cos t ) dt =  sin2 t d (sin t ) 0

1 2 r sin 30° = 9 2



1 2 1 r × =9 2 2



1 2 r =9 4

 2

1 3  =  sin t  3 0 =(

 1 1 sin3 )  ( sin3 0) 3 2 3

1 1 3 = · 13 – ·0 3 3

=

1 1 – 0 = 3 3

23. e. 198 satuan luas Pembahasan: 0





r

r 2 = 36



 r = ± 36 = ±6 Oleh karena r menyatakan panjang jari-jari maka r = 6 cm. Jadi, panjang jari-jari lingkaran luar segi dua belas beraturan adalah 6 cm. 27. b. CD Pembahasan: T

2 2

r





2

L    x  6 x dx   x  6 x dx 5

0

0

2

1  1     x3  3x2    x3  3x2  3 3   5  0   125  675    8   0        12  3 3      550  8  36  3 594  3  198 satuan luas 24. d. 3 Pembahasan: sin (90 – A)° = cos A = tan (2 · 30)° = tan 60° =

1 3 maka A = 30° 2

3

1 25. a. 3 2 Pembahasan: cos 41° cos 11° + sin 41° sin 11° = cos (41° – 11°) = cos (30°)

1 3 = 2 82

Q F

E

A

P

D

B

C

Perpanjangan garis BC dan DE berpotongan dengan perpanjangan garis AF, sehingga garis BC dan DE tidak sejajar dengan bidang TAF. Garis TC dan TD berpotongan dengan bidang TAF di titik T sehingga TC dan TD tidak sejajar dengan bidang TAF. ABCDEF berbentuk segi enam beraturan sehingga CD sejajar dengan AF. AF terletak pada bidang TAF dan CD sejajar AF sehigga CD sejajar bidang TAF. Jadi, garis yang sejajar bidang TAF adalah CD. 28. c. 10 cm Pembahasan: A BE = 6 cm 8 Segitiga ABE siku-siku di B. Jarak A ke CD = AE


D

B

= AB 2  BE 2 6 2 = 10 cm

E 12 C

1 2 2 Pembahasan:

29. a.

T

TM = 1 3 1 TM = 2 AM  1 C A 2 = 2 M 2 30. d. x2 + y2 + 2x – 6y = 0 Pembahasan: Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–1, 3)

tan  =

dan berdiameter 40 adalah: (x – a)2 + (y – b)2 = r2

1 (x + 1) + (y – 3) = ( 40 )2  2  x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 10 x2 + y2 + 2x – 6y = 0  31. d. y = –x + 12 dan y = –x + 4 Pembahasan: L : x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0 x2 – 8x + y2 – 8y = –24  2  x – 8x + 42 + y2 – 8y + 42 = 24 + 42 + 42 (x – 4)2 + (y – 4)2 = 8  Diperoleh titik pusat lingkaran P(4, 4) dan jari-jari 2

2

r = 8 . Garis y = x melalui titik pusat lingkaran, maka garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran L dan garis y = x tegak lurus dengan garis y = x. Oleh karena garis y = x bergradien 1 maka garis singgungnya bergradien –1. Persamaan garis singgung: y – 4 = –1(x – 4) ± 8 ×

1  ( 1)2

 y – 4 = –x + 4 ± 8 × 2 y = –x + 8 ± 4  y = –x + 12 atau y = –x + 4  Jadi, persamaan garis singgungnya y = –x + 12 dan y = –x + 4.

 1 2  32. c.    3 1  Pembahasan: Matriks M mentransformasikan titik A(2, 3) dan B(1, 2) berturut-turut ke titik A '(4, –3) dan B '(3, –1), maka:  2 1  4 3  M =    3 2   3 1  4 3  1  2 1   M =   3 1 4  3  3 2   1 2  =   3 1   1 2  Jadi, matriks M =  .  3 1 

33. e. 3x + 2y – 1 = 0 Pembahasan: Garis: 2x + 3y + 1 = 0

 1 0  T1 = pencerminan terhadap sumbu Y =    0 1   0 1 = T2 = rotasi sebesar  2 1 0   0 1  1 0   0 1  =   T = T2 T1 =   1 0   0 1   1 0  0 T–1 =  1  x  0  =  y   1

1  0 1  x '    0  y '

 y '  =   x '  Jadi, persamaan bayangannya: 2(–y) + 3(–x) + 1 = 0  3x + 2y – 1 = 0 34. d. 225 orang Pembahasan: M = 100% – (K + L + N) = 100% – (30% + 25% + 20%) = 100% – 75% = 25% Jadi, banyaknya karyawan yang upahnya lebih dari Rp45.000,00 per hari adalah: banyaknya karyawan M dan N = (25% + 20%) × 500 orang = 45% × 500 orang = 225 orang 35. c. 153,25 Modus data pada kelas interval 150 – 154. Tb = 149,5; b1 = 10 – 7 = 3; b2 = 10 – 9 =1; p = 154,5 – 149,5 = 5 Modus data:

 b1  Mo = Tb +  · p  b1  b2 

 3  = 149,5 +  ·5  3  1 = 149,5 + 3,75 = 153,25 Jadi, modus data adalah 153,25. 36. c. 3 Pembahasan: Diketahui data terurut: (x – 2), 3, 4, (x + 2), (2x – 2), (3x – 7), 2x, 10, (3x – 3), 15











 





x1

x2 x3

x4

x5

x6

x7 x8

x9

x10

Median data = =

x5  x6 2 2x  2  3x  7 5x  9 = 2 2


83

Mean data =

x1  x2  x 3  x 4  x5  x 6  x7  x 8  x9  x10 10

=

( x  2)  3  4  ( x  2)  (2x  2)  (3 x  7)  2x  10  (3 x  3)  15 10

=

x  x  2 x  3 x  2 x  3 x  2  3  4  2  2  7  10  3  15 10

=

12 x  20 10

37. c. 40 Pembahasan: Dari 6 angka (1, 2, 4, 5, 7, dan 8) akan dibuat bilangan 3 angka berlainan yang nilainya antara 400 dan 700. Bilangan yang terdiri atas 3 angka merupakan bilangan ratusan. Bilangan ratusan memiliki nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan. Misalkan bilangan tiga angka yang terbentuk digambarkan sebagai berikut

Median data = Mean data 

5x  9 12 x  20 = 2 10



5x  9 12 x  20 = 1 5

 5(5x – 9) = 12x + 10

13x = 65 x =5

Dengan demikian diperoleh: Data terurut: 3, 3, 4, 7, 8, 8, 10, 10, 12, 15 Mean data =

12 x  20 10

=

12  5  20 10

=

60  20 10

=

80 =8 10

Menentukan nilai  x i  x

Nilai Data (x i)

(x i  x )

(x i  x )

3 3 4 7 8 8 10 10 12 15

–5 –5 –4 –1 0 0 2 2 4 7

5 5 4 1 0 0 2 2 4 7  ( x i  x )  30

Simpangan rata-rata data: SR = =

84

1 n

n

x

i

x

Satuan

2 cara

5 cara

4 cara

Dapat di te mp ati 5 angka, setelah 1 angka ditempatkan di ratusan

Dadu Kedua

2

4

6

2

(2, 2)

(2, 4)

(2, 6)

4

(4, 2)

(4, 4)

(4, 6)

6

(6, 2)

(6, 4)

(6, 6)

Dari tabel di atas diperoleh 9 pasangan mata dadu bernomor genap sehingga n(A) = 9. Peluang muncul pasangan mata dadu bernomor genap:

i 1

1 × 30 = 3 10

Dapat ditempati oleh 4 angka setelah 2 angka d i t e m pa t k an p a da ratusan dan puluhan

Banyak bilangan yang terbentuk = 2 × 5 × 4 = 40 Jadi, banyak bilangan antara 400 dan 700 yang dapat dibentuk adalah 40. 38. c. 24 Pembahasan: Perlengkapan tenis meja: Meja ada 1 pilihan Net ada 2 pilihan Bed ada 4 pilihan Bola ada 3 pilihan Banyak pilihan perlengkapan tenis meja yang dapat dibeli Pak Siswanto = 1 × 2 × 4 × 3 = 24. 39. c. 17 Pembahasan: Banyak percobaan n = 68 kali S = himpunan pasangan mata dadu dari pelemparan 2 dadu secara bersamaan n(S) = 36 Misalkan: A = kejadian muncul pasangan mata dadu bernomor genap Mata dadu bernomor genap adalah 2, 4, dan 6. Pasangan mata dadu bernomor genap dapat ditentukan menggunakan tabel berikut. Dadu Pertama

 25x – 12x = 45 + 20



Puluhan

Hanya ditempati angka 4 dan 5

 25x – 45 = 12x + 20



Ratusan

P(A) =

n ( A) 9 1 = = n(S ) 36 4


Frekuensi harapan pasangan mata dadu bernomor genap: Fh(A) = P(A) × n 1 = × 68 4 = 17 kali Jadi, frekuensi harapan muncul pasangan mata dadu bernomor genap adalah 17 kali. 27 40. d. 220 Pembahasan: Banyak kaos di dalam lemari = 5 + 3 + 4 = 12. Diambil 3 kaos sekaligus. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = C(12, 3) = 220. Kemungkinan kaos yang terambil 2 merah dan 1 biru atau 2 merah dan 1 hitam. A = kejadian terambil 2 kaos merah dan 1 kaos biru atau 2 kaos merah dan 1 kaos hitam. n(A) = C(3, 2) · C (5, 1) + C (3, 2) · C (4, 1) =3·5+3·4 = 15 + 12 = 27 Peluang terambil dua kaos merah: n( A) 27  P(A) = n(S ) 220

3. e. –1 Pembahasan: 3

5

3

=

=

 27a 5 b 3   5 7 5  3 a b 

1

 33 a2  =  5 2  3 b  = (33 3–5 a2 b2)–1

5

=

1 7  log343 2 5 2 2

1 7  log7 3 2 9 2 1 3   3 2 9 2

=

=

3 

3 2

9 2

6  3 2 = –1 9 2

4. b. 4x2 – 10x + 9 Pembahasan: ( g  f )( x )  g (f ( x ))

 2x  1 g   2 

= (3–2 a2 b2)–1 2

–2

=3 a b =

log 5 2  2

3 

=

 27a 5a 7  =  5 5 3  3 b b 

1

log (5 2  5 2 )  2 1 ( 3) 3log3   7log 6  6log343 2

3 

1. e.

1

log33  7log6 2  6log343

5

=

1

log 25 5  3log 9 1 5

PREDIKSI PAKET 3 9 (ab )2 Pembahasan:

log 271  7 log 6  6log 343

2

 2x  1  2x  1  4   6 5 2    2   4x 2  4 x  1  2x  1   4  6 5 4  2   

–2

32 a 2b 2

 (4 x 2  4 x  1)  3(2x  1)  5

9 = (ab)2

 4x2  4x  1 6x  3  5  4 x 2  10x  9 Jadi, komposisi fungsi ( g  f )( x ) = 4x2 – 10x + 9.

1 ( 5  5 10 ) 10 Pembahasan:

2. a.

x 1 ;x2 x2 Pembahasan: 2x (f  g )1( x ) = ;x3 x 3 Menentukan (f  g )( x )

5. c. g(x) = 1 5 2 2 5

 

1 5 2 2 5

.

5 5

1 ( 5  5 10 ) 10


85

Misalkan y = (f  g )1( x ) y = (f  g )1( x ) 2x y =  x 3 y(x – 3) = 2x  yx – 3y = 2x  yx – 2x = 3y  x(y – 2) = 3y  3y x =  y 2

3y y 2 3y  (f  g )( y ) = y 2 3x =  (f  g )( x ) x 2 Menentukan fungsi g(x)  ((f  g )1)1( y ) =

(f  g )( x ) =

3x x 2

f(g(x)) =

3x x 2

 2g(x) + 1 =

3x x 2





2g(x) =



2g(x) =



2g(x)



g(x)



g(x)

Jadi, g(x) =

3x –1 x 2

3x x2  x 2 x2 2x  2 = x 2 2( x  1) = 2( x  2) x 1 = x 2 x 1 ; x  2. x 2

6. a. 30 Pembahasan: Dari persamaan 2x2 + 17x + m = 0 diperoleh a = 2, b = 17, c = m. b 17 x1 + x2 =  =  a 2 m c x1 · x2 = = 2 a 17 x2 = 2x1 – 1  x1 + x2 =  2 17  x1 + (2x1 – 1) =  2 17  3x1 =  +1 2 15  3x1 =  2 15 5  x1 =  =  6 2 86

5  x2 = 2x1 – 1 2 5 = 2( ) – 1 2 = –5 – 1 = –6 m x1 · x2 = 2 5 m  ( ) × (–6) = 2 2 30 m  = 2 2  m = 30 Jadi, nilai m yang memenuhi adalah 30. 7. c. 2 < m < 3 Pembahasan: x1 = 

y = (m – 2)x2 – 2mx + (m + 6) D = b2 – 4ac > 0 maka (–2m)2 – 4  (m – 2)(m + 6) > 0 4m2 – 4m2 – 16m + 48 > 0 m <3 a > 0 maka m – 2 > 0 sehingga m > 2 Jadi, 2 < m < 3. 8. d. Rp26.000,00 Pembahasan: Misalkan: x = harga 1 kg apel y = harga 1 kg salak z = harga 1 kg kelengkeng diperoleh SPLTV:  x  2y  2 z  47.000  2 x  y  3 z  68.500 3 x  2 y  z  63.000 

...(1) ...(2) ...(3)

Eliminasi y dari (1) dan (2). (2) × 2 | 4x + 2y + 6z = 137.000 (1) × 1 |

x + 2y + 2z =

47.000

3x + 4z =

90.000

–

...(4)

Eliminasi y dari (1) dan (3). x + 2y + 2z = 47.000 3x + 2y + z = 63.000 – –2x + z = –16.000  2x – z = 16.000 Eliminasi z dari (4) dan (5).

...(5)

(4) × 1 | 3x + 4z = 90.000 (5) × 4 | 8x – 4z = 64.000 + 11x = 154.000  x = 14.000 Substitusi x = 14.000 ke (5). 2x – z = 16.000  2(14.000) – z = 16.000  z = 12.000 Harga 1 kg apel dan 1 kg kelengkeng: x + z = 14.000 + 12.000 = 26.000 Jadi, Vero harus membayar Rp26.000,00.


Y

9. c. 8 6

0

8

9

X

Pembahasan: (i) Pertidaksamaan 2x + 3y  18 dibatasi oleh garis 2x + 3y = 18. Garis ini memotong sumbu X di titik (9, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 6). Uji titik (0, 0) ke 2x + 3y  18. 2 × 0 + 3 × 0  18 bernilai salah. Daerah penyelesaian pertidaksamaan ini adalah daerah yang dibatasi oleh garis 2x + 3y = 18 dan tidak memuat titik (0, 0). (ii) Pertidaksamaan x + y  8 dibatasi oleh garis x + y = 8. Garis ini memotong sumbu X di titik (8, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 8). Uji titik (0, 0) ke x + y  8. 0 + 0  8 bernilai benar.. Daerah penyelesaian pertidaksamaan ini adalah daerah yang dibatasi oleh garis x + y = 8 dan memuat titik (0, 0). (iii) Daerah penyelesaian pertidaksamaan x  0 adalah daerah di kanan dan pada sumbu Y. (iv) Daerah penyelesaian pertidaksamaan y  0 adalah daerah di atas dan pada sumbu X. Berdasarkan keempat pertidaksamaan tersebut diperoleh daerah penyelesaian seperti berikut. Y 8

Bentuk objektif: f(x, y) = 1.200x + 1.000y Model matematikanya adalah: x  0, y  0, x  y  180, dan 4 x  3 y  600 dengan bentuk objektif: maksimum (1.200x + 1.000y) Dicari titik potong: x  y  180 dan 4 x  3 y  600 x + y = 180 |× 4| 4x + 4y = 720 4x + 3y = 600 |× 1| 4x + 3y = 600 ––––––––––– – y = 120 y = 120  x = 60 Y 200 180 (60, 120)

0

150

180

X

Laba dapat dilihat dari titik-titik pojok. Titik Pojok (x, y) (0, 0) (150, 0) (60, 120) (0, 180)

f(x, y) = 1.200x + 1.000y 0 1.200(150) + 0 = 180.000 1.200(60) + 1.000(120) = 192.000 0 + 1.000(180) = 180.000

Jadi, laba maksimum yang diperoleh adalah Rp192.000,00.

6

11. e. 2x – 1 Pembahasan: P(x) = 2x3 – 5x2 – px + 3 dibagi (x + 1). 0

8

9

X

Jadi, grafik daerah penyelesaian yang benar ada pada pilihan c. 10. c. Rp192.000,00 Pembahasan: Misalkan: banyaknya buah mangga = x banyaknya buah pisang = y Daya muat gerobak: x  y  180 Modal yang tersedia: 8.000 x  6.000 y  1.200.000 4 x  3 y  600 • Laba penjualan sebuah mangga = Rp9.200,00 – Rp8.000,00 = Rp1.200,00 • Laba penjualan sebuah pisang = Rp7.000,00 – Rp6.000,00 = Rp1.000,00

Menggunakan metode Horner: x = –1

2

2

–5

–p

3

–2

7

p–7

–7

–p + 7

p–4

(x + 1) merupakan faktor P(x), berarti: p–4=0  p=4 Hasil baginya: 2x2 – 7x + (–4 + 7) = 2x2 – 7x + 3 sehingga diperoleh: P(x) = (x + 1)(2x2 – 7x + 3) = (x + 1)(2x – 1)(x – 3) Jadi, salah satu faktor P(x) adalah (2x – 1).


87

12. d. 2, –3, dan 2 Pembahasan: A + B = C maka:  2 p 2 3q     4 1 4    r q 2  

  p 7 q     5 5 r   5 4 7   

5 2q   2 5 6   p      1 4  4  r    1 4 2  =  r  5 q  4 5   3 1 5   p = –2, –2q = 6 maka q = –3, r – 5 = –3 maka r = 2 Jadi, nilai p, q, dan r berturut-turut adalah 2, –3, dan 2. 13. d. 561 Pembahasan: Deret aritmetika U5 = 21  a + 4b = 21 U12 = 42  a + 11b = 42 ––––––––––– – –7b = –21 b =3  Substitusi b = 3: a + 4b = 21  a + 4(3) = 21 a + 12 = 21  a =9  Jumlah sembilan suku pertama: 9 S9  (2a  (9  1)b ) 2 9  (2(9)  8(3)) 2 9  (18  24) 2 9  (42) 2  189 Jumlah dua puluh suku pertama: 20 S20  (2a  (20  1)b ) 2  10(2(9)  19(3))

 10(18  57)  10(75)  750 Jumlah suku kesepuluh sampai dengan suku kedua puluh: S = S20 – S9 = 750 – 189 = 561 14. d. 2.184 Pembahasan: Suku ke-n deret geometri dirumuskan sebagai berikut. Un = a r n – 1 U1 = a = 6 U3 = 54  ar 2 = 54  6r2 = 54  r2 = 9  r = ±3

88

Untuk r = 3 diperoleh deret geometri: 6 + 18 + 54 + ... . a( r n  1) Sn = r 1  S6 =

6(36  1) 3 1

6(729  1) 3 1 6(728) = 2 = 2.184 Jadi, jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah 2.184. 5 15. e. 2 Pembahasan: =

lim x 2  x x 2  5

x 

 lim x 2  x x 2  5  x 

4

 lim

x 

 lim

x 

 lim

2

x2  x x2  5 x2  x x2  5

2

x  x ( x  5) x2  x x2  5 x 4  x 4  5x 2 x2  x x2  5 5x 2

x2  x x2  5 5  lim x  5 1 1 2 x 5  1 1 0 5  1 1 5  2 x 

8 3 Pembahasan: (1  cos 4 x ) sin x lim x0 x 2 tan 3 x

16. d.

= lim x 0

(2 sin2 2x )sin x x 2 tan 3 x

= lim x 0

2 sin 2 x  sin 2 x  sin x x · x · x tan 3 x x

2 · lim = lim x0 x 0

= 2· =

sin 2 x sin 2 x sin x x · · · x x x tan 3 x

2 2 1 1 · · · 1 1 1 3

8 3


1 × 3 × 2(2x + 1)2 – A2 × 2 3 = 2(2x + 1)2 – 2A2

f ( x ) =

17. d. 0,024 Pembahasan: f(x) =

( x  2)3 (1  3 x )2

f(x) =

u( x ) dengan u(x) = (x + 2)3 dan v(x) = (1 – 3x)2 v(x)

u ( x ) = 3(x + 2)2 dan v ( x ) = 2(1 – 3x)(–3) = –6(1 – 3x)

u( x )v ( x )  u( x )v ( x ) (v ( x ))2

f ( x ) =

=

3( x  2)2 (1 3 x )2  ( x  2)3 ( 6(1 3 x )) ((1  3 x )2 )2

f ( 3) =

3 1 atau x > berarti 2 2 3 1 stasioner di x =  atau x > . 2 2 f(x) naik pada interval x < 

3(3  2)2 (1  3( 3))2  ( 3  2)3 (6(1  3( 3))) ((1  3( 3))2 )2

=

3(1)2  10 2  ( 1)3 ( 6  10) (10 2 )2

=

300  60 10.000

240 10.000 = 0,024 =

Jadi, nilai f(x) =

( x  2)3 untuk x = –3 adalah 0,024. (1 3x )2

Oleh karena f stasioner di x = 

3 1 atau x > maka 2 2

3 1 f (  ) = 0 atau f ( ) = 0. 2 2 1 1 f ( ) = 0  2(2 × + 1)2 – 2A2 = 0 2 2 2 × 4 – 2A2 = 0  

A2 =

8 =4 2

1 3 Dengan demikian, rumus fungsi g(x) = x – 4x + 2 3 1 dan g ( x ) = × 3 × x2 – 4 = x2 – 4. 3 Menentukan nilai minimum relatif fungsi g(x). Fungsi g(x) mencapai stasioner jika g ( x ) = 0. x2 – 4 = 0 g ( x ) =   (x + 2)(x – 2) = 0  x = –2 atau x = 2 Diagram tanda nilai fungsi g ( x ) di setiap nilai x sebagai berikut.

18. c. 12x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2) Pembahasan: f(x) = cos3 (5 – 4x2) = (cos (5 – 4x2))3 Misalkan u = 5 – 4x2 dan v = cos u maka f(x) = v 3 .

du dv df = –8x, = –sin u, dan = 3v2 dx du dv f ( x ) =

df ( x ) df ( x ) dv du = × × dx dv du dx = 3v 2 × (–sin u) × (–8x) = 24x cos2 u sin u = 12x cos u × 2 sin u cos u = 12x cos u sin 2u = 12x cos (5 – 4x2) sin 2(5 – 4x2) = 12x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2)

10 3 Pembahasan:

19. a. 

L = r 2 Laju pertambahan luas noda setiap perubahan panjang jari-jari:

Diketahui g(x) =

1 3 x – A2x + 2 3

f(x) = g(2x + 1) =

Dari diagram tanda di atas tampak bahwa fungsi g mencapai minimum di x = 2. Nilai minimum fungsi g(x): 1 10 8 g(2) = × 23 – 4 × 2 + 2 = – 6 =  3 3 3 10 Jadi, nilai minimum fungsi g(x) adalah  . 3 1 20. c. 8 Pembahasan: Misalkan r = jari-jari noda tinta. Luas noda tinta berbentuk lingkaran:

1 (2x + 1)3 – A2(2x + 1) + 2 3

dL  2 r dr Laju pertambahan luas noda setiap waktu: dL  6  mm 2/detik dt


89

dL dL dr = × dr dt dt

 6 = 2r ×

dr dt

6 dr = 2r dt dr 3 =  dt r Laju pertambahan panjang jari-jari noda tinta pada saat r = 24 mm: dr 3 1 = = mm/detik dt 24 8 Jadi, laju pertambahan panjang jari-jari noda tinta 1 saat r = 24 mm adalah mm/detik. 8 77 21. e. 6 Pembahasan: 

2

 (4 x

2

 x  5) dx

1

2

4 3 1 2  =  x  x  5x  3 2  1

4 3 1 2  4 3 1 2  =  (2)  (2)  5(2)    (1)  (1)  5(1)  2 2 3  3   32  4 1   2  10      5  =   3  3 2  56 35  3 6 112  35 = 6 77 = 6 1 1  4 sin3 8 x  C 22. c.  5 cos5 x 6 Pembahasan: =

sin x cos 8 x  dx 6 x 4 sin 8 x 1 1 1 =   cos6 x d (cos x )  8  4 sin 8 x d (sin 8 x ) 1 1  4 sin3 8 x  C =  5 cos5 x 6

56 65 Pembahasan: 4 3 cos A =  sin A = 5 5 12 5 cos B =  sin B = 13 13 A + B + C = 180° C = 180° – (A + B) sin C = sin (180° – (A + B)) = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B 4 5 3 12    = 5 13 5 13 20 36 56  = = 65 65 65 25. a.  2 Pembahasan: sin 27  sin 63 cos 138  cos 102

24. a.

 63  27   63  27  2 sin   cos   2 2     =  138  102   138  102  2 cos   cos   2 2     2 sin 45 cos 18 = 2 cos 120 cos 18 1 2 2  2 = 1 =  2 26. c. 12 Pembahasan: A

23. b. 21 31 satuan luas Pembahasan: Batas: 6x – x2 = x2 – 2x maka 2x2 – 8x = 2x(x – 4) = 0 maka x = 0 dan x = 4 4

L=

 (6 x  x

2

 8x  2x

2

dx

0

4

 2 2 3 =  4x  x  3 0  128  21 1 satuan luas = 64  3 3

90

60°

O

r

B

Luas segi enam beraturan = 216 3 cm2. 6 · LAOB = 216 3

LAOB = 36 3 LAOB =

1 · OA · OB · sin  AOB 2

36 3 =

1 2 · r · sin 60° 2

 x 2  2x ) dx 

0 4

=

r

 cos

1 2 1 3 ·r · 2 2 r 2 = 144  r = 12 Jadi, panjang sisi segi enam beraturan tersebut adalah 12 cm.

36 3 =


27. e. PR dengan R pada TQ sehingga PR tegak lurus TQ Pembahasan: T T R D A

C

P

Q P

B

Q

Garis AD dan bidang TBC saling sejajar, maka jarak semua titik pada garis AD ke bidang TBC sama. Titik P pada AD maka jarak garis AD ke bidang TBC sama dengan jarak titik P ke bidang TBC. Titik R pada TQ sedemikian hingga PR tegak lurus TQ. PR tegak lurus garis TQ dan garis BC, maka PR tegak lurus bidang TBC sehingga jarak titik P ke bidang TBC sama dengan panjang ruas garis PR. Jadi, jarak garis AD ke bidang TBC sama dengan panjang ruas garis PR dengan R pada TQ sehingga PR tegak lurus TQ.

2 6 cm 3 Pembahasan:

T

28. a.

AD = =

P

AB 2 – BD 2

C

16 – 4 A

= 2 3 cm

E

1 2 AD = 3 cm 3 3 Jarak P ke ABC = panjang PE = AP 2  AE 2

D

AE =

=

=

4

B

4 3

2 6 cm 3

AM= 6 cm, PM = 3 cm, AP = 1 cm

6  3 1

=

 0 1 . My = –x =   1 0   0 1   . ] adalah R[O, ]=  2 2 1 0  Refleksi terhadap garis y = –x dilanjutkan rotasi Matriks rotasi [O,

2 2 29. a. 3 Pembahasan: Bidang FHP dan AFH berpotongan pada FH. Jika M tengah-tengah FH, maka: PM  FH dan AM  FH  =  (FHP, AFH) =  (PM, AM)

cos  =

Jadi, persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + 4x – 10y + 20 = 0 31. a. x = 2 dan x = –4 Pembahasan: Menentukan titik potong garis y = 3 dengan lingkaran L  (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9. Substitusi y = 3 ke L, diperoleh: (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9  (x + 1)2 + 0 = 9  x + 1 = ±3 Untuk x + 1 = 3  x = 2 Titik potong A(2, 3). Untuk x + 1 = –3  x = –4 Titik potong B(–4, 3). Persamaan garis singgung melalui T(x1, y1) adalah: (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2 Persamaan garis singgung melalui A(2, 3): (x + 1)(2 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9 3(x + 1) + 0 = 9  x+1 = 3  x =2  Persamaan garis singgung melalui B(–4, 3): (x + 1)(–4 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9 –3(x + 1) + 0 = 9  x + 1 = –3  x = –4  Jadi, garis singgungnya x = 2 dan x = –4. 32. a. refleksi terhadap sumbu X Pembahasan: Matriks refleksi terhadap garis y = –x adalah

2 2 3

2  6  3 30. Pembahasan: Lingkaran berdiameter 6 berarti jari-jarinya r = 3. Persamaan lingkaran dengan pusat P(–2, 5) dan jari-jari r = 3 adalah: (x – (–2))2 + (y – 5)2 = 32 (x + 2)2 + (y – 5)2 = 9   x2 + 4x + 4 + y2 – 10y + 25 – 9 = 0 x2 + y2 + 4x – 10y + 20 = 0 

 [O, 2 ]: R[O,

 0 1  0 1     ]  My = –x =  2  1 0   1 0 

1 0   =  0  1 = Mx Jadi, transformasi tunggal yang mewakili adalah refleksi terhadap sumbu X. 33. d. (–44, 2) Pembahasan:  1 0  . Matriks transformasi R [O,  ] =   0 1 Koordinat bayangan titik A(1, –2) oleh transformasi yang diwakili matriks M, dilanjutkan rotasi R [O,  ], kemudian transformasi yang diwakili matriks N adalah (x', y').


91

 x '  5    y '   1  5   1

2   1 0   2 3   1      3   0 1  4 1   2  2   8    3   2 

 44     2  Jadi, bayangan titik A adalah A'(–44, 2). 34. c. Nilai modus data lebih kecil daripada nilai median data Pembahasan: Data pada histogram tersebut dapat dibuat tabel seperti berikut. Usia fi fk 21 – 25 4 4 26 – 30 15 19  kelas modus  kelas median 31 – 35 13 32 36 – 40 6 38 41 – 45 2 40 Dari tabel dapat diketahui bahwa kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak adalah kelas interval II atau kelas interval 26 – 30. Hal ini berarti kelas interval II sebagai kelas modus. Jumlah data n = 40

1 (n + 1) 2 1 = nilai data ke- (40 + 1) 2 = nilai data ke-20,5

36. a. 4V Pembahasan: Diketahui sekelompok data: x1, x2, x3, x4, ..., xn. Rata-rata data: x i x1  x2  x3  x 4  ...  x n x= = n n Ragam data: V = =

V1 = =

i

 x )2

i 1

1 ((x1 – x )2 + (x2 – x )2 + (x3 – x )2 + n (x4 – x )2 + ... + (xn – x )2

1 n

n

 (x

i

 x )2

i 1

1 ((2x1 – x 1)2 + (2x2 – x 1)2 + (2x3 – x 1)2 + n (2x4 – x 1)2 + ... + (2xn – x 1)2)

Nilai data ke-20,5 terletak pada kelas interval III atau kelas interval 31 – 35. Hal ini berarti kelas interval III sebagai kelas median. Oleh karena kelas modus lebih rendah daripada kelas median, nilai modus data lebih kecil daripada nilai median data. Dengan demikian pernyataan pilihan a dan d salah, sedangkan pernyataan pilihan c benar. Diketahui rata-rata usia karyawan adalah 31,625 tahun. 31,625 terletak pada kelas interval 31 – 35 atau kelas interval III. Oleh karena kelas modus lebih rendah daripada kelas interval III, nilai modus data lebih kecil daripada rata-rata data. Dengan demikian pernyataan pilihan b dan e salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan c. 18 35. b. 57,5 + 8 Pembahasan:

b1 Mo = Tb + ·p b1  b2 3 = 57,5 + ·6 35 18 = 57,5 + 8

92

n

 (x

Jika setiap nilai data dikalikan 2 diperoleh data baru: 2x1, 2x2, 2x3, 2x4, ..., 2xn. Rata-rata data baru: x i 2 x1  2 x2  2 x3  2 x 4  ...  2 xn x1 = = n n 2( x1  x 2  x 3  x 4 ... x n ) = n =2x Ragam data baru:

Median = nilai data ke-

Jadi, modus dari tabel tersebut adalah 57,5 +

1 n

=

1 ((2x1 – 2 x )2 + (2x2 – 2 x )2 + (2x3 – 2 x )2 + n (2x4 – 2 x )2 + ... + (2xn – 2 x )2)

=

1 ((2(x1 – x ))2 + (2(x2 – x ))2 + (2(x3 – x ))2 + n (2(x4 – x ))2 + ... + (2(xn – x ))2)

=

1 2 (2 × (x1 – x )2 + 22 × (x2 – x )2 + n 22 × (x3 – x )2 + 22 × (x4 – x )2 + ... + 22 × (xn – x )2)

=

1 (4 × (x1 – x )2 + 4 × (x2 – x )2 + n 4 × (x3 – x )2 + 4 × (x4 – x )2 + ... + 4 × (xn – x )2)

=

1 × 4 ((x1 – x )2 + (x2 – x )2 + (x3 – x )2 + n (x4 – x )2 + ... + (xn – x )2)

= 4×

18 . 8

1 ((x1 – x )2 + (x2 – x )2 + (x3 – x )2 + n

(x4 – x )2 + ... + (xn – x )2) = 4V Jadi, ragam data baru adalah 4V.


37. c. 20 Pembahasan: Ada 6 anak akan menempati 3 tempat. Tempat I selalu terisi oleh salah seorang anak, berarti banyak cara mengisi tempat I = 1. Tempat II dapat diisi dengan 5 cara. Tempat III dapat diisi dengan 4 cara. Banyak cara berfoto = 1 × 5 × 4 = 20. 38. d. 21 Pembahasan: Tim yang akan dibentuk paling tidak beranggotakan seorang matematikawan dan seorang fisikawan. Kemungkinan anggota tim yang terbentuk sebagai berikut. Tim I beranggotakan 1 matematikawan dan 4 fisikawan. Tim II beranggotakan 2 matematikawan dan 3 fisikawan. Tim III beranggotakan 3 matematikawan dan 2 fisikawan. Banyak cara memilih 1 matematikawan dari 3 orang matematikawan dan 4 fisikawan dari 4 orang fisikawan =

C1 × 4C4 =

3

=

3! 4! × 1!(3  1)! 4! (4  4)!

C2 × 4C3 =

3

3! 4! × 2!(3  2)! 3!(4  3)!

3  2! 4  3! × 2!  1! 3!  1! = 3 × 4 = 12 Banyak cara memilih 3 matematikawan dari 3 orang matematikawan dan 2 fisikawan dari 4 orang fisikawan 3! 4! = 3C3 × 4C2 = × 3!(3  3)! 2!(4  2)! =

1 2 4  3  2! × 0! 1 2  1 2! =1×6 =6 Banyak cara memilih anggota tim = 3C1 × 4C4 + 3C2 × 4C3 + 3C3 × 4C2 = 3 + 12 + 6 = 21 Jadi, anggota tim dapat dipilih dengan 21 cara. 39. a. Sebelum 100 tahun, peluang gedung roboh kurang dari 10% Pembahasan: Pernyataan perancang gedung adalah “Gedung dapat digunakan selama 100 tahun” atau “Gedung tidak akan roboh dalam 100 tahun”. Tingkat kebenaran pernyataan perancang gedung di atas 90%, =

246 336 Pembahasan: S ={susunan ketua, sekretaris, dan bendahara yang dipilih dari 8 orang}

40. e.

n(S) = 8P3 = A

8! 8  7  6  5! = (8  3)! 5!

= 8 × 7 × 6 = 336 = kejadian terpilih ketua laki-laki Ketua 5 cara

Sekretaris Bendahara 7 cara 5 cara 2 orang telah terpilih sebagai ketua dan sekretaris. Sisa 6 orang. 1 orang telah terpilih sebagai ketua. Sisa 7 orang.

Dipilih dari 5 laki-laki.

n(A) = 5 × 7 × 6 = 210 B = kejadian terpilih sekretaris wanita Ketua 7 cara

Sekretaris Bendahara 3 cara 6 cara

1 3  2! × =3×1=3 0! 1 2!

Banyak cara memilih 2 matematikawan dari 3 orang matematikawan dan 3 fisikawan dari 4 orang fisikawan =

berarti kemungkinan salahnya di bawah 10% atau kurang dari 10%. Dengan kata lain, pernyataan perancang gedung dapat dituliskan “Sebelum 100 tahun, peluang gedung roboh kurang dari 10%”.

2 orang telah terpilih sebagai ketua dan sekretaris. Sisa 6 orang. Dipilih dari 3 wanita. 1 orang telah terpilih sebagai sekretaris. Sisa 7 orang.

n(B) = 7 × 3 × 6 = 126 A  B = kejadian terpilih ketua laki-laki dan sekretaris wanita Ketua 5 cara

Sekretaris Bendahara 3 cara 6 cara 2 orang telah terpilih sebagai ketua dan sekretaris. Sisa 6 orang. Dipilih dari 3 wanita.

Dipilih dari 5 laki-laki.

n( A  B ) = 5 × 3 × 6 = 90 A dan B merupakan dua kejadian tidak saling lepas sehingga peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris wanita: P( A  B ) = P(A) + P(B) – P( A  B )

n ( A) n( A  B ) n (B ) + – n(S ) n(S ) n(S ) 210 90 126 = + – 336 336 336 =

246 336 Jadi, peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris =

wanita adalah

246 . 336


93

PREDIKSI PAKET 4 a 6b24 Pembahasan:

1. c.

=

(23 a 5b 3 )4  24 (2 a b 2 )3 (22  3  a 4b 3 )2

=

212 a 2 b 12  (23  3) 212 a 9 b 6  2 4  3 2 a 8 b 6

3

0

=

2

a20  9 8 3 b

4  3 2 1 6  6 12

=

a21 2  3  b24

=

a21 6b24

2. c. 8 2 – 3 Pembahasan: Ingat: a n x  b n x  (a  b ) n x

1 3 2    4 

50

 = 1 3 2    4  5 2  = 1 3 2  4  5 2 = 8 2 3

a  2c b Pembahasan:

3. c.

2

log 108 2 log 5

2

log (3  36) b

5

log 108 = =

= = = =

log 3  2log 36 b a  2log 62 b a  2  2log 6 b a  2 c b a  2c b

Jadi, nilai 5log 108 adalah

a  2c . b

4. b. h(x) = x2 – 1 Pembahasan:

4x 2  9 11  4 x 2 4x 2  9 f(g(h(x))) = 11  4 x 2

(f  g  h )( x ) = 

94

4 h( x )  5 4x 2  9 = 2  (4h( x )  5) 11  4 x 2 4h( x )  5 4x 2  9 =  7  4h( x ) 11  4 x 2 2  (4h(x) – 5)(11 – 4x ) = (7 – 4h(x))(4x2 – 9)  44h(x) – 16h(x) x2 – 55 + 20x2 = 28x2 – 63 – 16h(x) x2 + 36h(x) 2 8h(x) = 8x –8  2 h(x) = x – 1  Jadi, rumus fungsi h(x) = x2 – 1. 22  x 5. b. ;x  8 3( x  8) Pembahasan: g(x) = 3x + 2 y = 3x + 2   3x = y – 2 y 2  x = 3 x 2 diperoleh g–1(x) = 3 (g–1  f)(x) = g–1(f(x)) 1  6  x  = g    x 8 6x  x 82   = 3 6  x  2( x  8) x 8 = 3

6  x  2x  16 3( x  8) 22  x = ;x  8 3( x  8) 22  x Jadi, rumus (g–1  f)(x) = ; x  8. 3( x  8) 6. d. 20 Pembahasan: Dari persamaan kuadrat 3x2 + mx + 12 = 0 diperoleh a = 3, b = m, c = 12. b m x1 + x2 =  =  a 3 c x1 · x2 = =4 a x2 = 9x1  x1 · x2 = 4  x1 · 9x1 = 4 4 x12 =  9 2  x1 =  (karena x1 < 0) 3 =

2

=

4x 2  9 11  4 x 2



24(8a5b 3 )4 (16a 3b2 )3 (12a 4b3 )2

4

f(4h(x) – 5) =



21


3x + y + 4z = 3 × 7.500 + 11.000 + 4 × 9.000 = 22.500 + 11.000 + 36.000 = 69.500 Jadi, Bu Esti harus membayar Rp69.500,00. 9. e. ABD Pembahasan: x  0, y  0 maka daerah penyelesaian di kuadran I. 5x + 3y  15 maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis 5x + 3y = 15. x + 3y  6 maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis x + 3y = 6. Daerah yang memenuhi adalah daerah ABD.

2 x2 = 9x1 = 9 × (  ) = –6 3 m x1 + x2 =  3 2 m   + (–6) =  3 3 2  ( 18) m =   3 3 20 m =   3 3  m = 20 Jadi, nilai m adalah 20. 2 7. d. <m<2 5 Pembahasan:

10. b. Rp16.000,00 Pembahasan:

Grafik y = mx2 + mx + 2x – m + 4 tidak memotong sumbu X jika D < 0. b2 – 4ac < 0  (m + 2)2 – 4(m)(–m + 4) < 0  m2 + 4m + 4 + 4m2 – 16m < 0  5m2 – 12m + 4 < 0  (5m – 2)(m – 2) < 0 

2 <m <2 5

8. c. Rp69.500,00 Pembahasan: Misalkan: x = Harga 1 kg manggis y = Harga 1 kg duku z = Harga 1 kg mangga diperoleh sistem persamaan linear sebagai berikut. 2x + 2y + 3z = 64.000 ... (1) 3x + y + z = 42.500 ... (2) x + 2y + 2z = 47.500 ... (3) Eliminasi y dari (1) dan (2). 2x + 2y + 3z = 64.000 |× 1| 2x + 2y + 3z = 64.000 3x + y + z = 42.500 |× 2| 6x + 2y + 2z = 85.000 –4x + z = –21.000

Eliminasi y dari (1) dan (3). 2x + 2y + 3z = 64.000 x + 2y + 2z = 47.500 – x + z = 16.500 Eliminasi z dari (4) dan (5). –4x + z = –21.000 x + z = 16.500 – –5x = –37.500 

x=

   

x = 7.500 x + z = 16.500 7.500   7.500 + z = 16.500  z = 9.000 3x + y + z = 42.500 3 × 7.500 + y + 9.000 = 42.500 22.500 + y + 9.000 = 42.500 y + 31.500 = 42.500 y = 11.000

–

... (4)

... (5)

Jus A x 1 2 2.000

Misal Alpukat (kg) Jeruk (kg) Penjualan

Jus B y 2 1 3.000

Jumlah 10 8

Model matematika: x + 2y  10, 2x + y  8, x  0, y  0 f(x, y) = 2.000x + 3.000y Dengan eliminasi persamaaan garis diperoleh tiga titik ekstrim, yaitu: A(0, 5) maka hasil penjualan: f(x, y) = 0  2.000 + 5  3.000 = Rp15.000,00 B(4, 0) maka hasil penjualan: f(x, y) = 4  2.000 + 0  3.000 = Rp8.000,00 C(2, 4) maka hasil penjualan: f(x, y) = 2  2.000 + 4  3.000 = Rp16.000,00 (maksimum) 11. a. 8x + 8 Pembahasan: Menggunakan teorema sisa, maka: • f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, artinya f(2) = 24. • f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20, artinya f  32  = 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2)(2x – 3), maka diperoleh sisa pembagian S(x) = ax + b. Untuk x = 2, diperoleh: f(2) = 2a + b 24 = 2a + b ..... (1) Untuk x = f  32  = 20

=

3 a 2 3 a 2

3 2,

diperoleh:

+b +b

..... (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh: 24 = 2a + b 20 =

3 a 2

4 =

1 2a

+b –

a = 8 dari a = 8 didapat b = 24 – 2a = 24 – 2(8) = 8 Jadi, sisa pembagiannya adalah 8x + 8.


95

4 0 12. e.    12 16  Pembahasan: 1 0 A=   maka: 2 3 1 0  1 A2 + 2A + I =   2 3 2 1 0  2  =  8 9  4

16. e. 4 Pembahasan: Ingat: 2 sin2 x  1  cos 2 x

0  1 0  1 0   2   3  2 3   0 1 0   1 0   6   0 1

4 0  =   12 16 

 2  lim

sin x sin x  lim x  0 x tan 1 x

  2 

x  x

x

 x 1 2

......... (2)

4 2

17. e. 2x(2x + 3) (5x + 3) Pembahasan: f(x) = x2 (2x + 3)3

f  (x) = 2x · (2x + 3)3 + 3 · 2 · (2x + 3)2 · x2 = 2x · (2x + 3)3 + 6x2 · (2x + 3)2 = (2x + 3)2 (2x · (2x + 3) + 6x2) = (2x + 3)2 · 2x · ((2x + 3) + 3x) = 2x(2x + 3)2 (5x + 3) 18. a. –2 Pembahasan: f(x) = 2 cos x +

sin x

f (x) = –2 sin x +

cos x 2 sin x

f  2  = –2 

19. b. 2,5 Pembahasan: f(x) = 4x3 + px2 + 15x – 20



f  21 = 0

Fungsi f(x) maksimum ketika 2

12x + 2px + 15 = 0

2

12 1

2

= lim x 1 = lim x 1

( x  2)( x  1) x 1



= (1  2)(1  1) = –2

x 1

2

  + 15 = 0

+ 2p 21

3 + p + 15 = 0

x 1

( x  2)( x  1)( x  1) ( x  1)

( x  3)( x  1) = lim x 1

96

sin x sin x  x tan 1 x 2

 2  1 2

15. a. –2 Pembahasan:

x 1

 2  lim

......... (1)

14. c. 4 Pembahasan: a = 2, r = 3 a( r n  1) Sn = r 1 2(3 n  1) 80 = 3 1 80 = 3n – 1 3n = 81  n = 4 Jadi, banyak suku dari barisan tersebut adalah 4.

x 1

 

 2

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 5a + 10b = 35 |× 4| 20a + 40b = 140 4a + 6b = 24 |× 5| 20a + 30b = 120 –––––––––––––––– – 10b = 20 b = 2 5a + 10b = 35 5a + 20 = 35 5a = 15  a = 3 Un = a + (n – 1)b U15 = 3 + (15 – 1)2 = 3 + 28 = 31

lim

 

x 0

4 (2a + (4 – 1)b) = 24 2 4a + 6b = 24

x  3x  2

x 0

x 0

13. c. 31 Pembahasan: n Sn = (2a + (n – 1)b) 2 5 S5 = (2a + (5 – 1)b) = 35 2 5a + 10b = 35 S4 =

sin x 0 x Dengan demikian diperoleh: 1  cos 2 x 2 sin2 x lim  lim x 0 x 0 x tan 12 x x tan 21 x lim

p = –18 Untuk p = –18  12x + 2(–18)x + 15 = 0 2

4x2 – 12x + 5 = 0 (2x – 1)(2x – 5) = 0

5 1 x = 2 atau x = 2


+

–

+

1 2

f (x)

5 2

Dari gambar terlihat bahwa nilai minimum fungsi 5

dicapai ketika x = 2 = 2,5. 20. d. Rp675.000,00 Pembahasan: P(x) = 90x – 3x2 P(x) = 90 – 6x = 0 maka x = 15 potong P(15) = 90  15 – 3(15)2 = 1.350 – 675 = 675.000 21. b. 63

3 4

1 cos3 x + C 3 Pembahasan: Misalkan u = cos x du = –sin x dx 3 2 sin x dx =  sin x sin x dx 

22. b. –cos x +

2 =  (1  cos x ) sin x dx 2 =   (1  u ) du 1 = –u + u 3  C 3 1 = –cos x + cos3 x + C 3

23. c. 2 1  5 Pembahasan: 0



V =  7  x2

Pembahasan:



2

 ( x  7)2 dx

1 0

2 3 2  (6 x  4) 9 x  12x  4 dx

1

2

= 2  (3 x  2) 3 (3 x  2)2 dx 1 2

2

= 2  (3 x  2)(3 x  2)3 dx 1





=   x 4  15 x 2  14 x dx 1

0

1 5 3 2 =   x  5x  7x  5  1

  1  =   (0)     5  7   5    1 = 2 5  satuan volume 4 5 Pembahasan: 7 3 sin x = dan sin y = 25 5 24 4 cos x =  dan cos y =  25 5 sin (x + y) = sin x  cos y + cos x  sin y

24. c.  2

5

= 2  (3 x  2)3 dx 1

=

=

2 3 2 3

2

 (3 x  2)

5 3

· 3 dx

1 2

 (3 x  2)

5 3

· d (3 x  2)

1

1 2 8  2 8 = · (3 x  2) 3  3 3  1

=

8 8  1  (3·2  2) 3  (3 · ( 1)  2) 3  4 

8  1 8 =  8 3  ( 1) 3  4 

=

1 3  2 4

 

8 3

  3 ( 1)8  

1 8 3 (2  1) 4 1 = (256  1) 4 255  63 34 = 4 =

=

7  4   24  3      25  5   25  5

= 

100 125

= 

4 5

25. d. {195°, 255°, 315°} Pembahasan: cos 4x = sin 2x  1 – 2 sin2 2x = sin 2x 2  2 sin 2x + sin 2x – 1 = 0  (2 sin 2x – 1)(sin 2x + 1) = 0 (1) 2 sin 2x – 1 = 0

1 2 sin 2x = sin 30° (i) 2x = 30° + k · 360° x = 15° + k · 180° x = 195° sin 2x =


97

(ii) 2x = (180° – 30°) + k · 360° 2x = 150° + k · 360° x = 75° + k · 180° x = 255° (2) sin 2x + 1 = 0 sin 2x = –1 sin 2x = sin (–90)° 2x = –90° + k · 360° x = –45° + k · 360° x = 315 Jadi, himpunan penyelesaiannya {195°, 255°, 315°}. 26. c. 35 Pembahasan: A

D 60° C

2 34 cm 5 Pembahasan: M dan N masing-masing pertengahan ABCD dan EFGH. Jarak BDE dengan FCH = panjang PN.

28. d.

Perhatikan  ENM siku-siku di N. 1 EN = EG = 2 2 cm 2 MN = 17 cm EM = 5 cm Luas  ENM =

1 · EN · MN 2

1 · EM · PN 2 1 1 · 2 2 · 17 = ·5 · PN 2 2 =

PN =

2 34 cm 5

1 3 3 Pembahasan:

29. c.

H

B

AC2 = = = = AC = BC2 = = = = BC =

AD2 + CD2 242 + 72 576 + 49 625 25 cm AB2 + AC2 – 2 · AB · AC cos 60° 1 402 + 252 – 2 · 40 · 25 · 2 1.600 + 625 – 1.000 1.225 35 cm

E

A

P

C

D Q a

A

B

C

AP =

B

Bidang BDG dan ABCD berpotongan pada garis BD. Titik P merupakan titik tengah BD. Segitiga BDG sama kaki sehingga PG tegak lurus BD. Segitiga BCD sama kaki, maka PC tegak lurus BD. Sudut antara bidang BDG dan ABCD sama dengan sudut antara garis PG dan PC, yaitu  GPC. Jadi, sudut antara bidang BDG dan ABCD sama dengan  GPC.

98

F

G F

D

E

Proyeksi garis AP pada bidang BDHF adalah garis PQ, sehingga sudut antara AP dengan BDHF adalah  APQ =  . Misalkan panjang rusuk kubus = a AC merupakan diagonal sisi, maka AC = a 2 1 1 AQ = AC = a 2 2 2 1 AE = a dan EP = AQ = a 2 2

27. d.  GPC dengan P titik tengah BD Pembahasan: Perhatikan gambar berikut. H

G P

AE 2  EP 2

=

1 a2  ( a 2)2 2

=

3 2 a 2

1 a 6 2 Segitiga APQ siku-siku di Q. =


AQ AP

sin  =

Bayangan titik (–3, 5) dirotasikan R[P(2, –1), 90°] sebagai berikut.

1 a 2 2 = 1 a 6 2 1 1 3 = = 3 3 Jadi, nilai sinus sudut antara AP dan BDHF adalah 1 3. 3 30. e. (x – 3)2 + (y + 3)2 = 45 Pembahasan: Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik (3, –3) dengan garis 2x – y + 6 = 0, yaitu:

2(3)  ( 3)  6 r

= =

=

22  ( 1)2

636

5



 0 1  5   2  =        1 0   6   1  6   2  =     5   1  4  =    6   4  Titik ( x ', y ') ditranslasi oleh T =   menghasilkan 3 bayangan sebagai berikut.  x ''   x '   4   = +    y ''   y '   3 

4 1

15

 x '   cos 90  sin 90   3  2   2        y '   sin 90 cos 90   5  ( 1)   1

5

 4   4  = +    6   3 

5

=3 5 Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, –3) dan

 8  =   3 

jari-jari r = 3 5 adalah: (x – 3)2 + (y – (–3))2 = (3 5 )2  (x – 3)2 + (y + 3)2 = 45 Jadi, persamaan lingkaran: (x – 3)2 + (y + 3)2 = 45. 31. a. –4x – 3y = 27 Pembahasan: Persamaan lingkaran (x – 4)2 + (y + 6)2 = 25. Substitusikan T(0, –9) ke persamaan lingkaran. (0 – 4)2 + (–9 + 6)2 = 25  42 + 32 = 25 25 = 25 (benar)  Titik T(0, –9) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik T(0, –9): (x – 4)(x1 – 4) + (y + 6)(y1 + 6) = r 2  (x – 4)(0 – 4) + (y + 6)(–9 + 6) = 25 –4x + 16 – 3y – 18 = 25   –4x – 3y – 2 = 25 –4x – 3y = 27  Jadi, garis singgung lingkaran tersebut adalah –4x – 3y = 27. 32. b. (–8, –3) Pembahasan: Titik (x, y) dirotasikan oleh R[P(a, b),  ] menghasilkan bayangan sebagai berikut.

 x '   cos   sin    x  a   a        y '   sin  cos    y  b   b 

Jadi, koordinat bayangannya adalah A ''(–8, –3). 33. a. x2 + y2 + 12x + 32 = 0 Pembahasan: 1 [O, ]

1

2  ( 2 x, (x, y) 

1

R [O , 90 ]   ( 2 y – 6,

1 2 1 2

M

1

y 3  ( 2 x, 6 – y) 

1 2

y)

x)

Diperoleh:

x '=

1 2

y – 6  y = 2x ' + 12

y '=

1 2

x  x = 2y '

Substitusikan dengan x dan y ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 = 16 

(2y ' )2 + (2x ' + 12)2 = 16

 4y ' 2 + 4x ' 2 + 48x ' + 144 – 16 = 0 

4x ' 2 + 4y ' 2 + 48x ' + 128 = 0

x ' 2 + y ' 2 + 12x + 32 = 0  Jadi, bayangannya x2 + y2 + 12x + 32 = 0. 34. c. 60 Pembahasan: 30% dari 200 siswa 

30  200  60 100


99

4 49,5 54,5

Rata-rata =

8

6

10

8 4

59,6

64,5

69,5 74,5 79,5

x

52  4  57  6  62  8  67  10  72  8  77  4 40

2.590 40 = 64,75 =

36. b. 27 Pembahasan: Diketahui data terurut: x1, x2, x3, x4. Nilai data terkecil = x1. Nilai data terbesar = x4. Jangkauan data = 6 sehingga diperoleh: x4 – x1 = 6  x4 = 6 + x1 Median data = 6 sehingga diperoleh: x2  x3 =6 2  x2 + x3 = 12 Mean data = 6 sehingga diperoleh: x1  x2  x3  x 4 =6 4  x1 + x2 + x3 + x4 = 24 x1 + 12 + x4 = 24  x1 + x4 = 12  x1 + 6 + x1 = 12  2x1 = 6  x1 = 3  Dengan demikian diperoleh: x4 = 6 + x1 = 6 + 3 = 9 x1 × x4 = 3 × 9 = 27 Jadi, hasil kali antara nilai data terkecil dan nilai data terbesar adalah 27. 37. e. 455 Pembahasan: Banyak cara memilih anggota setiap kelompok sama dengan banyak cara memilih 3 siswa dari 15. Banyak cara memilih 3 siswa dari 15 merupakan permasalahan kombinasi. Banyak cara memilih 3 siswa dari 15 7

15! 5 15!  14  13  12! = 15C3 = = 1 3!(15  3)! 1 3  2  1 12! = 5 × 7 × 13 = 455 Jadi, banyak cara memilih anggota setiap kelompok adalah 455.

100

38. b. 48 Pembahasan: Banyak cara duduk 2 pemuda diujung kanan dan kiri ada 2P2 = 2 cara. Banyak cara duduk 4 pemudi di antara kedua pemuda ada 4P4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara. Banyak cara duduk 2 pemuda di ujung kanan dan kiri dan 4 pemudi di antara kedua pemuda tersebut adalah 2 × 24 = 48 cara. 1 39. a. 9 Pembahasan: Banyak anggota ruang sampel pada pelambungan dua dadu n(S) = 36. Misalkan K = kejadian muncul mata dadu kelipatan 3 pada dadu merah dan muncul mata dadu faktor dari 5 pada dadu putih. n(K) = banyak pasangan antara mata dadu kelipatan 3 dan mata dadu faktor dari 5. Mata dadu kelipatan 3 adalah 3 dan 6. Mata dadu faktor dari 5 adalah 1 dan 5. Banyak anggota kejadian K dapat dicari menggunakan tabel berikut.

Dadu putih Dadu merah

35. a. 64,75 kg Pembahasan: f

3 6

1

5

(3, 1)

(3, 5)

(6, 1)

(6, 5)

Dari tabel di atas diperoleh 4 pasangan antara mata dadu kelipatan 3 dan mata dadu faktor dari 5 sehingga n(K) = 4. Peluang kejadian K:

n (K ) n( S ) 4 = 36 1 = 9 Jadi, peluang muncul mata dadu kelipatan 3 pada dadu merah dan muncul mata dadu faktor dari 5 1 pada dadu putih sebesar . 9 40. c. Peluang gunung berapi akan meletus pada suatu saat dalam 5 tahun ke depan lebih tinggi daripada peluang tidak meletus Pembahasan: Dalam 5 tahun ke depan: Peluang gunung berapi meletus = 60%. Peluang gunung berapi tidak meletus = 1 – 60% = 40%. 60% > 40%, berarti peluang gunung berapi akan meletus pada suatu saat dalam 5 tahun ke depan lebih tinggi daripada peluang tidak meletus. Jadi, pernyataan yang sesuai ada pada pilihan c. P(K) =


PREDIKSI PAKET 5 1. b. –1 Pembahasan:

p2q 2r 3 p2q2r 3 = 1 5 3 6 5 3 6 1 (16 p q r ) 16 p q r =

16 p 2  5 q 3  2r 6  3

=

24  p 3 q r3

24   1  =



g(t) =

3

3

g(t) =

 4

=

=





3

2 4  2 9 2  ( 26 )

=

24  9 21 6

25 25 = –20 = –1 = 

Jadi, nilai

p 2 q 2 r 3 = –1. (16 p5q 3r 6 )1

1 (8  3 6) 10 Pembahasan: 22 3

2 3

=

2 2 3

×

2 2 3

Pembahasan: Misalkan t = x – 2  x = t + 2

x x3

 h(t) =

t2 (t  2)  3

 h(t) =

t 2 t 5

 h(x) =

x2 x5

2 2 3

2a  b 2b  c Pembahasan:

3. b.

( g  h )(x) = g(h(x))

2

log 45 log 45  2 log150 2



5 x ;x3 x 3

h(x – 2) =

2  2 6  6  23 = 2 43 1 83 6 = =  (8  3 6 ) 10 10

150

 3x  5  = 6 5  x  18 x  30 5 x  = x x 23 x  30 = x 23 x  30 Jadi, (f  g)(x) = ; x  0. x 5. a.

2. d. 

2 3

 3x  5  = f   x 

24  (23 )3 2   2 2

3(t  1)  2 (t  1)  1

3t  5 t 3x  5  g(x) = x (f  g)(x) = f(g(x)) 

8

2    1 

23 x  30 ;x  0 x Pembahasan: Misalkan t = x – 1  x = t + 1 3x  2 g(x – 1) = x 1

4. d.

log (9  5) 2 log (25  6)

 x  2 = g   x 5  x  2 = 5 –2  x 5



log 32  2log 5 2 log 52  2log 6

=

5 x  10 2( x  5)  x5 x5



2 · 2log 3  2log 5 2 · 2log 5  2log 6

=

5 x  10 2 x  10  x 5 x5



2a  b 2b  c

=

3x x5

2


101

Misalkan ( g  h )(x) = y 3x y= x5 xy + 5y = 3x  

xy – 3x = –5y



x(y – 3) = –5y x =

5y y 3

 ( g  h )–1(x) =

5 x x 3



Jadi, inversnya adalah ( g  h )–1(x) =

5 x ; x  3. x 3

6. a. 6 Pembahasan: Akar-akar persamaan (p – 1)x2 – 18x + 6 + 10p = 0 adalah  dan  .

 + =

 ·

b a

=

18 p 1

=

c a

=

6  10 p p 1

 + =

18 p 1

 2+ =

18 p 1



3 =

18 p 1



 =

6 p 1

 · =

6  10 p p 1 6  10 p p 1 6  10 p = p 1



2 · =



22 2



6  10 p  6  2  = p 1  p  1



72 = 6 + 10p p 1



10p2 – 4p – 78 = 0



5p2 – 2p – 39 = 0

 (5p + 13)(p – 3) = 0 13 p = 3 5 Untuk p = 3, maka nilai 2p = 2 · 3 = 6.



102

p=–

7. b. –11 < m < 5 Pembahasan: Grafik y = 2x2 – 3x – mx + 8 tidak memotong sumbu X jika D < 0. b2 – 4ac < 0  (–3 – m)2 – 4(2)(8) < 0  9 + 6m + m2 – 64 < 0  m2 + 6m – 55 < 0  (m + 11)(m – 5) < 0  –11 < m < 5 8. b. 96 juta rupiah Pembahasan: Misalkan: x = harga sepeda motor jenis I (juta) y = harga sepeda motor jenis II (juta) diperoleh SPLDV: ...(1) 5 x  4y  98  x  y  4 5 100 ...(2)  Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). (1) |× 4| 20x + 16y = 392 (2) |× 5| 20x + 25y = 500 – –9y = –108  y = 12 Substitusi y = 12 ke persamaan (2). 4x + 5y = 100  4x + 5(12) = 100  4x = 40  x = 10 Harga 6 sepeda motor jenis I dan 3 sepeda motor jenis II = 6x + 3y = 6 × 10 + 3 × 12 = 96 Jadi, dealer C harus membayar 96 juta rupiah. 9. b. II Pembahasan: Menyelidiki daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan. (i) Pertidaksamaan x + 2y  6 dibatasi oleh garis x + 2y = 6. Titik potong terhadap sumbu koordinat seperti berikut. x 6 0 y 0 3 Titik potong terhadap sumbu X adalah (6, 0), sedangkan titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 3). Uji titik (0, 0) ke x + 2y  6. 0 + 2 × 0  6 bernilai benar.. Daerah pertidaksamaan x + 2y  6 adalah daerah yang dibatasi oleh garis x + 2y = 6 dan memuat titik (0, 0). (ii) Pertidaksamaan x + y  5 dibatasi oleh garis x + y = 5. Titik potong terhadap sumbu koordinat seperti berikut. x 5 0 y 0 5 Titik potong terhadap sumbu X adalah (5, 0), sedangkan titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 5). Uji titik (0, 0) ke x + y  5. 0 + 0  5 bernilai benar.. Daerah pertidaksamaan x + y  5 adalah daerah yang dibatasi oleh garis x + y = 5 dan memuat titik (0, 0).


(iii) Pertidaksamaan x – 4y  0 dibatasi oleh garis x – 4y = 0. Titik potong terhadap sumbu koordinat seperti berikut.

x y

0 4 0 1 Garis x – 4y = 0 melalui titik (0, 0) dan (4, 1). Uji titik (1, 0) ke x – 4y  0. 1 – 4 × 0  0 bernilai benar.. Daerah pertidaksamaan x – 4y  0 adalah daerah yang dibatasi oleh garis x – 4y = 0 dan memuat titik (1, 0). (iv) Pertidaksamaan y  0 terletak di atas dan pada sumbu X. Dari keempat daerah pertidaksamaan diperoleh grafik daerah penyelesaian seperti berikut.

5

3

5

0

f(x, y) = 5.000x + 7.500y

O(0, 0) A(58, 0) B(44, 14) C(0, 25)

0 290.000 325.000 187.500

Jadi, hasil biaya parkir paling banyak adalah Rp325.000,00. 11. d. 3 Pembahasan: P(x) = 4x3 – (2p + 1)x2 + (3q – 2)x + 5 P(x) = (2x3 – x – 1) · h(x) + (4x + 3) = (2x + 1)(x – 1) · h(x) + (4x + 3)

P(1) = 4x + 3  4 – (2p + 1) + (3q – 2) + 5 = 4 + 3  –2p + 3q = 1

X

6

Jadi, daerah yang benar ditunjukkan oleh nomor II. 10. d. Rp325.000,00 Pembahasan: Misal: banyak mobil = x banyak bus = y Banyak x y 58

Luas 6 24 600

Biaya Parkir 5.000 7.500

Model matematika: (i) x + y  58 (ii) 6x + 24y  600  x + 4y  100 (iii) x  0; y  0 Fungsi objektif memaksimumkan: f(x, y) = 5.000x + 7.500y

C 25

B(44, 14) x + 4y = 100 A x + y = 58

5 Jadi, nilai 2p – q = 2   – 2 2 = 5–2

2 =2 3 8 = 7

58

58

.... (ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh: –2p – 6q = –17 –2p + 3q = 1 –––––––––––––– – –9q = –18  q = 2 –2p – 6q = –17 –2p – 6(2) = –17 5 –2p = –5  p = 2

=3 12. d. 85 Pembahasan: D = (2A – B + 3C)

Y

O

Titik pojok

 1 P    = 4x + 3  2 1 1 1   – (2p + 1) – (3q – 2) + 5 = –2 + 3 4 2 2  –2 – (2p + 1) – 2(3q – 2) + 20 = 4  –2p – 6q = –17 .... (i)

Y

Mobil Bus Pembatas

Uji titik pojok:

100

X

Titik B merupakan perpotongan garis x + y = 58 dan x + 4y = 100. Koordinat B(44, 14).

1   1 2   1 1    3  4   5 0 2 0  3   8

D  8  8  7  ( 3)  64  21  85 13. b. –490 Pembahasan: U3 = 2  a + 2b = 2 U8 = –13  a + 7b = –13 – –5b = 15 b = –3 a + 2b = 2 a + 2(–3) = 2 a =8


103

n (a + (n – 1)b) 2

Sn =

20 (8 + (20 – 1)(–3)) 2 10(8 + 19(–3)) 10(8 – 57) 10 (–49) –490

S20 =

= = = = 14. e. 8 Pembahasan: Usia Ari, Susi, dan Adi membentuk barisan geometri. Misalkan U 1 = usia Ari, U 2 = usia Susi, dan U3 = usia Adi. Usia Adi : usia Susi = 2 : 1  usia Adi = 2 · usia Susi Rasio barisan: r

=

usia Adi U3 2 · usia Susi = = =2 usia Susi usia Susi U2

diperoleh: U1 = a U2 = a · 2 = 2a U3 = a · 22 = 4a Jumlah usia ketiga anak = 14  a + 2a + 4a = 14 7a = 14  a =2  Usia Adi = 4a = 4 × 2 = 8 Jadi, usia Adi 8 tahun.

17. b. –9 Pembahasan: f(x) =

f ( x )

f (0)

= lim x 0 = xlim 0 = lim x 0 = lim

x 0

=

2 x (2 x  1)  ( x 2  3)2 (2 x  1)2

=

4x2  2x  2x2  6 (2 x  1)2

=

2x 2  2x  6 (2 x  1)2

=

0  0  6 6 = = –6 1 (0  1)2

4 3 Pembahasan:

18. d.

Misalkan f(x) =

u ( x ) = cos x + sin x dan v ( x ) = cos x. u( x )v ( x )  u( x )v ( x ) f ( x ) = (v ( x ))2

=

(cos x  sin x ) sin x  (sin x  cos x )cos x (sin x )2

cos x sin x  sin2 x  sin x cos x  cos 2 x sin2 x 2 2 sin x  cos x = sin2 x 1 = sin2 x =

x 2  5x  4  x 2  x  4 x 2  5x  4  x 2  x  4 · 6x x 2  5x  4  x 2  x  4

( x 2  5 x  4)  ( x 2  x  4)

1

1

f ( ) = 3

6 x( x 2  5 x  4  x 2  x  4 )

sin

2

1 ( ) 3

=

6x 6 x( x 2  5 x  4  x 2  4 x  4 )

1 2

x  5x  4  x 2  4x  4 1

004  00 4

1 = 4

1 6 Pembahasan: x cos x x cos x lim = lim x 0 2 sin 3 x cos x x 0 sin 4 x  sin 2 x 1 x 1 1 1 lim = =  = x  0 2 sin 3 x 2 3 6

1  3    2 

2

1 4 = 3 = 3 4

4 . 3 19. d. x < –5 atau x > –1 Pembahasan: f(x) = 5 + 15x + 9x2 + x3 f naik jika f ( x ) > 0 f ( x ) = 15 + 18x + 3x2 > 0 x2 + 6x + 5 > 0  (x + 5)(x + 1) > 0  1

Jadi, nilai f ( 3 ) =

16. e.

104

u( x ) dengan u(x) = sin x – cos x v(x )

dan v(x) = sin x.

x 2  5x  4  x 2  x  4 6x

x0

=

Jadi, f(0)+ 2 f (0) = 3 + 2(–6) = –9.

1 15. a. 4 Pembahasan: lim

03 x2  3 =3  f(0) = 0 1 2x  1

_

+ –5



+ –1

x < –5 atau x > –1

Jadi, fungsi f(x) naik pada internal x < –5 atau x > –1.


3

20. b. 80 meter Pembahasan: h(t) = 40t – 5t 2 h(t ) 0 t h(4)

= = = = = =

21. a. 4

L(U)

=

dx 3

1 2 Pembahasan: , , dan  menyatakan besar sudut-sudut dalam segitiga ABC, tan  = –3 dan tan  = 1

24. b. 2

 (x

2

 x 2 ) dx

1

2

tan  = tan (180  (  )) =  tan (  )

2

 1 3 1 =  x   x  1 3

tan   tan  1  tan  tan  3  1 2  =  1  ( 3).1 4 1  2 = 

8 1 1 = (  )  (   1) 3 2 3 = 2 32  21  31  1 = 4

1 2

25. c. {45°, 225°} Pembahasan:

1 12 Pembahasan:

22. b.

1 sin 2x = 0 2 2  sin x – sin x cos x = 0  sin x(sin x – cos x) = 0  sin x = 0 atau sin x – cos x = 0  sin x = 0 atau tan x = 1 a. sin x = 0 = sin 0° Penyelesaian: x = 0° + k · 360° Untuk k = 0, maka x = 0° b. tan x = 1 = tan 45° Penyelesaian: x = 45° + k · 180° Untuk k = 0, maka x = 45° Untuk k = 1, maka x = 225° Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {45°, 225°}. 26. d. ( 20 6 + 64) cm2 Pembahasan sin2 x –

 4

 sin 5 x sin x dx 0



  2 (cos 4x  cos 6x )  dx 0



1 1 1 4 =  sin 4 x  sin 6 x  2 4 6 0  1 1 1 3    sin   sin    0  2  4 6 2   1 1 1  =   0  ( 1)  24 6  1 1 =  2 6 1 = 12

D

C

2c

23. c. 2 3 satuan luas Pembahasan: 4 – x2 = 1 x2 = 3 x1 =  3 ataux2 =

m

=

3

Daerah U ada di kuadran I maka batas-batas pengintegralannya adalah x = 0 sampai x = 3 .

8 cm

10

1

2

1   = 3 x  x 3  3 0  1 3 = 3 3  ( 3) 3 = 2 3 satuan luas

 1 3 1 1  x =  x  1  1 3

=

 3x 0

Pembahasan:

 4



 1 dx

3

=

1 2

x4  1 1 x 2 dx =

2

0

40 – 10t 40 – 10t 4 detik 40 · 4 – 5 · (4)2 160 – 80 80 meter

2

 4  x

30° A

45° E


B

105

BC CD BC 8  CD = tan 45° = = 8 cm CD 1

tan  CDB =

cos  EAD = cos 30° =

AE AD AE

10 2

1 3 2 = 5 6 cm

AE = 10 2 ·

AB = AE + EB = ( 5 6 + 8) cm Luas trapesium ABCD 1 = · (AB + CD) · DE 2 1 = · ( 5 6 + 8 + 8) · 8 2 27. d. 8 Pembahasan: Berikut ini pasangan-pasangan garis bersilangan pada limas T.ABCD. AB dan TC AD dan TB AB dan TD AD dan TC BC dan TA CD dan TA BC dan TD CD dan TB Jadi ada 8 pasangan garis bersilangan. 28. a. 12 cm Pembahasan: A

B

C

E 18

8

D

AC = AD 2  CD 2 = 15 cm Jarak A ke BCDE = tinggi limas = AO AO = AC 2 – CO2 = 12 cm 1 29. a. 3 Pembahasan: A

E

B

D 8 cm

E 4 3 cm

C

4 3 cm

8 cm

D

Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: CD2 = CE 2 + DE 2 – 2 · CE · DE · cos  CED 82 = ( 4 3 )2 + ( 4 3 )2 – 2 · 4 3 · 4 3 ·

= ( 20 6 + 64) cm2

O

Perhatikan bahwa rusuk AB merupakan garis potong bidang ABC dan bidang ABD. Garis CE terletak pada bidang ABC dan tegak lurus AB. Garis DE terletak pada bidang ABD dan tegak lurus AB. Sudut CED adalah sudut antara bidang ABC dan bidang ABD. Garis CE dan DE masing-masing merupakan garis tinggi ABC dan ABD. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh: CE = 4 3 cm dan DE = 4 3 cm Perhatikan segitiga CED.

cos  CED 64 = 48 + 48 – 96 cos  CED –32 = –96 cos  CED 32 1 = cos  CED = 96 3 Jadi, kosinus sudut antara bidang ABC dan ABD 1 adalah . 3 2 2 30. b. x + y – 2x – 2y + 1 = 0 Pembahasan: Misal lingkaran L berpusat di (p, q) dan berjari-jari r. Lingkaran L menyinggung sumbu-sumbu koordinat berarti jari-jari lingkaran r = p = q. Persamaan lingkaran berpusat di (p, q): (x – p)2 + (y – q)2 = r2  (x – r)2 + (y – r)2 = r2 Lingkaran L melalui titik (1, 2) maka: (1 – r)2 + (2 – r)2 = r2  1 – 2r + r2 + 4 – 4r + r2 = r2 r2 – 6r + 5 = 0  (r – 1)(r – 5) = 0  r – 1 = 0 atau r – 5 = 0  r = 1 atau r =5  r=p=q=1 Persamaan lingkaran berpusat di titik (1, 1): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 12  x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1= 1 x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0  r=p=q=5 Persamaan lingkaran berpusat di titik (5, 5): (x – 5)2 + (y – 5)2 = 52  x2 – 10x + 25 + y2 – 10y + 25 = 25 x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0  Jadi, persamaan lingkaran L yang dimaksud adalah x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 atau x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0.

C

106


31. a. 2x + y + 16 = 0 Pembahasan: Lingkaran: (x + 4)2 + (y – 2)2 = 20 memotong sumbu X berarti: y = 0  (x + 4)2 + (0 – 2)2 = 20  (x + 4)2 + 4 = 20  (x + 4)2 = 16  x+4 =±4  x = –4 ± 4  x = –8 atau x = 0 Garis singgung di titik (–8, 0): (–8 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20  –4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20  –4x – 16 – 2y + 4 – 20 = 0  –4x – 2y – 32 = 0  2x + y + 16 = 0 Garis singgung di titik (0, 0): (0 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20  4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20  4x + 16 – 2y + 4 – 20 = 0  4x – 2y = 0  2x – y = 0 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya 2x + y + 16 = 0.

 0 1  32. c.   1 0  Pembahasan: Garis x = 0 sama dengan sumbu Y, maka matriks refleksi terhadap garis x = 0:  1 0   M=   0 1 Rotasi [O, 90°] berarti rotasi 90° dengan pusat O, maka matriks rotasi [O, 90°]:  0 1  R=  1 0  diperoleh:

34. c. 1.260 Pembahasan: Persentase kenaikan banyak buku yang terjual pada bulan Januari ke bulan Februari =

700  500 × 100% 500

200 × 100% 500 = 40% Kenaikan penjualan buku pada bulan Mei hingga bulan Juni = 40% × 900 = 360 Banyak buku yang terjual pada bulan Juni = 900 + 360 = 1.260 Jadi, banyak buku yang terjual pada bulan Juni adalah 1.260 eksemplar.

=

2

35. a. 48 3 Pembahasan: Jumlah anak = n = 40 Median adalah data ke-20 dan terletak pada interval 45 – 49. Tb = 44,5 fMe = 12 f p

= 10 = 49,5 – 44,5 = 5

Median:

1 n f 2 ·p Me = Tb + fMe = 44,5 +

20  10 ·5 12

= 44,5 +

50 12

1

1

= 44 2 + 4 6

 0 1  1 0   0 1 R  M = RM =      1 0   0 1   1 0  Jadi, matriks transformasi yang mewakili refleksi terhadap garis x = 0 dilanjutkan oleh rotasi  0 1 [O, 90°] adalah  . 1 0  33. a. x2 + y2 + 4x + 6y – 12 = 0 Pembahasan: Koordinat pusat lingkaran: R [O, 90] P(3, 2)    P '(–2, 3) Sumbu X P '(–2, 3)    P ''(–2, –3) Bayangan lingkaran dengan pusat P ''(–2, –3) dan jari-jari 5 adalah: (x – (–2))2 + (y – (–3))2 = 52  (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25 2  x + y2 + 4x + 6y – 12 = 0

= 48 2 3

36. a. 29,5 Pembahasan:

Usia (Tahun)

fi

fk

20 – 23

3

3

24 – 27

4

7

28 – 31

4

11

32 – 35

10

21

36 – 39

2

23

40 – 43

7

30

 Kelas D3

Desil ke-3:

3 (30 + 1) 10 = nilai data ke-9,3 Nilai data ke-9,3 terletak di kelas interval 28 – 31. D3 = nilai data ke-


107

Tb F fD 3 p

= 28 – 0,5 = 27,5 =7 =4 = 31 – 28 + 1 = 4  3   10 n  F  × p D3 = Tb +  f D3      3   10  30  7  ×4 = 27,5 +  4     = 27,5 + 2 = 29,5 Jadi, desil ke-3 data tersebut 29,5. 37. d. 210 Pembahasan: Kata BELANTARA tersusun dari 7 huruf berbeda, yaitu B, E, L, A, N, T, A, R, dan A. Dari huruf-huruf tersebut disusun 3 huruf. Cara menyusun huruf merupakan permasalahan permutasi. Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk = 7P3 7! = (7  3)!

7  6  5  4! 4! = 7×6×5 = 210 Jadi, banyak susunan huruf ada 210. 38. e. 36 Pembahasan: Jenis makanan kecil isi kardus: Roti ada 3 pilihan. Kue ada 2 pilihan. Makanan tradisional ada 3 pilihan. =

108

Kacang ada 2 pilihan. Banyak pilihan isi kardus = 3 × 2 × 3 × 2 = 36. 5 39. d. 14 Pembahasan: Terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Dua kelereng diambil satu per satu tanpa pengembalian kelereng pertama ke dalam kotak. Peluang terambilnya kelereng pertama dan kedua 5 4 20 5  berwarna merah =   . 8 7 56 14 5 40. b. 32 Pembahasan: Pembagian siswa dalam mengikuti kegiatan ekstrakurikuler sebagai berikut Siswa Perempuan

Siswa Laki-laki

Jumlah

Musik Renang Basket

7 5 8

5 5 2

12 10 10

Jumlah

20

12

32

Ekstrakurikuler

Jumlah siswa kelas XII IPA 3 adalah 32 sehingga n(S) = 32. A = kejadian terpilih siswa laki-laki dan mengikuti ekstrakurikuler renang Dari tabel diperoleh banyak siswa laki-laki dan mengikuti ekstrakurikuler renang adalah 5 sehingga n(A) = 5. Peluang kejadian A: n( A) 5 P(A) = = n(S ) 32 Jadi, peluang terpilih siswa laki-laki dan mengikuti 5 . ekstrakurikuler renang adalah 32


Catatan ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................


109

Catatan ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................

110


Catatan ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................


111

Catatan ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................

112


Statistika Latihan Soal Latihan Soal Latihan Soal

Recommend Documents