Barisan dan Deret
Definisi Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli. Notasi: f: N R n f(n ) = an Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {an} dengan an adalah suku ke-n. Bentuk penulisan dari barisan : 1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi an 1 1 1 1 a 1 , a 1 n 1 an = 1, , , , ... 1 an 2 3 4 n 2
Definisi:
{an} dikatakan konvergen menuju L dan ditulis sebagai lim an L n
Jika untuk setiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk n N an L
Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang berhingga dinamakan divergen.
3
Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut. f (x) L , maka lim f (n) L Jika lim x n
Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah L’ Hopital untuk soal peubah kontinu.
4
Sifat dari limit barisan, jika {an} konvergen ke L dan {bn} konvergen ke M, maka
1. lim a n b n lim a n lim b n L M n
n
n
2. lim a n .b n lim a n . lim b n L.M n
an 3. lim n b n
n
n
an L nlim , untuk M 0 b n M nlim
{an} dikatakan
a. Monoton naik bila an+1 an b. Monoton turun bila an+1 an 5
Tentukan konvergensi dari barisan dengan rumus suku ke n di bawah ini:
n 1. an 2n 1 Jawab: n lim an lim n n 2n 1 lim n
n (1) 1 . 1 2 n2 n
1 Karena lim an , maka {an } konvergen menuju ½. n 2 6
Atau: Ambil f ( x)
x 2x 1
lim f ( x) lim x
x
x 2x 1
f ( x) lim Dengan dalil L’Hopital, lim n x
f ( x) Karena lim n
1 1 lim an n 2 2
1 1 2 2
artinya barisan an konvergen menuju ½.
7
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini: 4n 2 1 1. an 2 n 2 n 3
n 6.an n n 3
3n 2 2 2.an n 1
7.an n2 n
n 3.an n 1
5n 2 8.an 2 3 n
n 4.an n 4
1 2 3 4 9. , , , ... 2 3 4 5
ln(n) 5.an n 8
1 1 1 10. 1, , , , ... 4 9 16
Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut:
a n 1
n
a1 a2 a3 ... an ...
dengan an adalah suku ke-n.
9
Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret
a i 0
i
, maka S1 = a1 S2 = a1 + a2 . . . Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an =
n
a {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial dari a i 0
i
i 0
i
Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.
10
Deret tak hingga
a n0
n
dikatakan konvergen
dan mempunyai jumlah S jika barisan jumlah parsialnya {Sn} konvergen ke S.
Sebaliknya apabila {Sn} divergen maka deret dikatakan divergen.
11
Bentuk umum deret geometri adalah
i 1 2 3 ar a ar ar ar ... i 1
dengan a 0. Jumlah parsial deret ini adalah
Sn =
n
i 1
ar i 1 =
a +ar +a r2 + ... + a rn-1
rSn ar ar 2 ar 3 ... ar n
(1 r )S n a ar n Sehingga
a ar n Sn 1 r 12
a a ar n ; r 1 lim S n lim 1 r n n 1 r ; r 1 Karena lim Sn n
a ; r 1 maka Sn Konvergen. 1 r
Jadi, deret Geometri konvergen, jika r 1 dengan jumlah S
13
a . 1 r
1.
1 1 1 1 1 . .. 2 4 8 16 32
Jawab:
Kalau kita perhatikan, deret ini adalah deret geometri dengan rasio ½ ( r<1). Sehingga deret ini konvergen dengan jumlah
S
14
1/ 2 1 1 1/ 2
1 2. n(n 1) (Deret Kolaps) n 1 Jawab: 1 1 Kalau kita perhatikan n n 1 Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 . . . = 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 Dan
1 lim S n = lim 1 n n n 1
=1
Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen. 15
3.
1 i 1 i
(Deret Harmonik)
Jawab: Dari sini kita dapatkan 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 + . . . 2 3 4 5 6 7 8 n 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 + . . . 2 3 4 5 6 7 8 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + . . . 2 4 4 8 8 8 8 n 1 1 1 1 1 =1+ . . . 2 2 2 2 n Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen. 16
a Jika
n 0
n
konvergen maka lim an n
0.
Ekivalen dengan
lim an 0, maka deret divergen. n
Contoh: Buktikan bahwa
3n n 1
n2 2
3n 4
divergen.
Bukti
n2 lim an lim lim 2 n n 3n 3n 4 n Karena
lim an 0, n
maka
n 2 (1) 1 3 4 n2 3 2 3 n n
3n n 1
n2 2
3n 4
divergen.
17
Dalam banyak kasus bahwa
lim an 0 n
, tetapi dari sini
kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Sebagai contoh deret harmonik,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 2 3 4 5 6 7 8 n n 1 n Jelas bahwa
lim an 0 n
, tetapi deret harmonik adalah
deret yang divergen. Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.
18
1. Uji Integral Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,). Andaikan an f (n), n N a. Jika integral tak wajar maka
1
a
n
n 1
a n 1
n
f ( x) dx konvergen,
konvergen.
b. Jika integral tak wajar maka
1
f ( x) dx divergen,
divergen.
19
1. Selidiki kekonvergenan dari Jawab. Kita ambil f
1
xe
x2
( x) x e
ne
n2
n 1
x2
, sehingga
b 1 x2 2 lim e d ( x ) lim x e dx dx b 1 1 2 b b 1 1 1 1 1 x2 lim e lim b2 1 2 b 2 b e e 2e
Jadi karena
b
1
x2
2
x e x dx konvergen, maka
ne
n2
n 1
juga konvergen.
20
2. Selidiki kekonvergenan dari Jawab. Kita ambil f ( x)
2
1 n 2 n ln n
1 , sehingga x ln x
b dx d (ln x) dx lim lim 2 b x ln x x ln x b 2 ln x lim ln ln x lim ln ln b ln ln 2 b
Jadi karena
b
2
dx divergen, maka x ln x
1 n 2 n ln n
juga divergen.
21
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
1.
n 2 n 3
2. 3.
n 1
4.
2
2
n 1
1
n ln n 2
1
5.
n
1 2n 1 1
4n n 1
2
1
1
4 3n
3 2
22
2. Uji Deret p
1 Deret-p atau deret hiperharmonik berbentuk p . n 1 n
Jika p<0 lim n
1 . Maka deret divergen p n
Jika p 0, dengan menggunakan uji integral, kita dapatkan
lim
t 1
1 p 1 1 p t t 1 x ; p 1 1 lim t 1 p lim 1 dx p t 1 p x lim ln x t ; p 1 1 t ; p 1 1 1 p
Sehingga
; 0 p 1
1 p konvergen jika p>1 dan divergen jika p 1 n 1 n 23
Apakah deret berikut konvergen atau divergen? 1 1. 1, 001 n 1 n 1 Berdasarkan uji deret-p, deret n1, 001 konvergen n 1 karena p=1,001 > 1
2.
n 1
1
n
1
2
Berdasarkan uji deret-p, deret karena p= ½ < 1
n 1
1 n
1
2
divergen
24
3. Uji banding biasa (Uji banding dengan deret lain)
Andaikan
a n 1`
n
b
dan
1. Jika an bn , dan
n 1`
deret positif,
b n 1`
n
2. Jika
n
konvergen, maka
an bn , dan bn divergen, maka n 1`
a
n
konvergen
a
divergen
n 1`
n 1`
n
25
Selidiki Kekonvergenan deret berikut: Jawab:
n 1. 2 n 3 n 5
n 1 Bandingkan an 2 dengan bn n 5 n n n 1 . Perhatikan bahwa 2 2 n 5 n n
Karena
n 1
1 n
deret divergen (deret harmonik), maka
n divergen. 2 n 3 n 5 26
1 2. 2 n 1 3n 5 Jawab:
1 dengan 2 n 1 1 1 1 2 . 2 Perhatikan bahwa 2 3n 5 3n 3 n 1 Karena 2 konvergen dengan uji-p (p=2) n 1 n
1 Bandingkan 3n 2 5
1 maka 2 konvergen. n 1 3n 5 27
Selidiki kekonvergenan deret berikut
n 1. n2 n 1 1 2. 3 n 3 n 5 3.
2 n 1
n 2 n 3
4.
1 n
1
5.
1
n 1
2
1 2n 1
n 6. 3 n 3 n 4
28
4. Uji Banding limit
an bn deret positif dan L lim Andaikan an dan n b n 1` n 1` n
1. Jika 0 < L < maka
a n 1`
n
dan
b n 1`
n
sama-sama
konvergen atau divergen
2. Jika L = 0 dan
n 1`
a n 1`
b
n
n
konvergen maka
konvergen. 29
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : 2n 3 1. 3 2 n 5 n 7 n 1 Jawab: Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= 1 n 2 sehingga 2n 3 3 3 2 2 an 2 n 3 n n 5 n 7 L lim lim lim 3 2 2 n b n 1 n n 5n 7 n n2
1 Jadi karena L=2 dan n 2 konvergen (uji deret p, p=2), n 1 2n 3 konvergen. 3 2 n 1 n 5n 7 30
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : 1 2.
n 1
n2 4
Jawab: Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= 1 n sehingga an L lim = nlim n b n
1
2
n n2 4 lim = n n2 4 1 1 n
1 Jadi karena L=1 dan divergen (deret harmonik), n 1 n 1 maka 2 divergen. n 1 n 4 31
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
n 1. 2 n 1 n 2n 3
1 2. n n 1 n 1
3.
n 1
3n 1 4. 3 n 1 n 4
ln n 5. 2 n 1 n
2n 3 n2
32
5. Uji Hasil Bagi Diketahui
a
n
merupakan suatu deret dengan
an 1 suku-suku yang positif, dan lim n a n n 1
1. Jika < 1 maka deret
a n 1
2. Jika > 1 maka deret
n
konvergen
a n 1
n
divergen
3. Jika = 1 maka uji ini tidak memberikan kesimpulan
33
Selidiki kekonvergenan deret berikut: 3n 1. n 1 n ! Jawab: 3n Misalkan suku ke-n adalah an = , maka suku ke n+1 n 1 n! adalah an+1= 3 sehingga n 1! n 1 3n 1 3 n! an 1 3 n 1 ! lim lim lim 0 lim n n n 3 n 1 ! n n a n n 1 3 n n! n 3 Karena 0 1, maka konvergen n 1
n!
34
3n 2. 2 n 1 n Jawab:
3n Misalkan suku ke-n adalah an = 2 , maka suku ke n+1 n n 1 3 adalah an+1= sehingga 2 n 1 3n 1 2 n 1 2 2 an 1 n 1 3 n 3 n lim lim 3 lim lim n n a 2 2 n n n n 3 2 n 3 n 1 n 1 n
3n Karena , 3 1, maka 2 divergen n 1 n 35
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
5n 1. n 1 n 1
n 2. n 1 n !
4n n 3. n! n 1
5n 4. n 1 n !
n3 5. n 1 2n !
n! 6. 4 n 1 n
nn 7. n 1 2n !
36
6. Uji Akar
Diketahui
a n 1
n
merupakan suatu deret dengan
n a a lim n suku-suku yang positif, misalkan n
1. Jika a < 1 maka deret
a
konvergen
2. Jika a > 1 maka deret
a
divergen
n 1 n 1
n
n
3. Jika a = 1 maka uji ini tidak memberikan kesimpulan
37
Selidiki kekonvergenan deret 1.
2n2 n 1 n 1 Jawab:
n
n
2n 2 Misalkan suku ke-n adalah an = , maka n 1
2n 2 a lim an lim n n n 1 n
n
1/ n
2n 2 2 n n 1
lim
2n 2 Karena a = 2 (> 1), maka n 1 n 1
n
divergen
38
2.
n2 n 1 2n 1 Jawab:
n
n
n2 Misalkan suku ke-n adalah an = , maka 2n 1
n 2 a lim an lim n n 2n 1 n
n
1/ n
n2 1 lim n 2n 1 2
2n 2 Karena a = ½ (< 1), maka n 1 n 1
n
konvergen
39
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
1 1. n 1 ln n
n
n 2. n 1 3n 2
1 1 3. n n 1 2 n
4.
n
3n 2 n 1 2n 1
n
40
Kesimpulan Untuk menguji kekonvergenan deret 1. Jika lim an 0 n
a
n
a
n
perhatikan an ;
divergen.
n n n ! , r , n , gunakan uji hasil bagi. 2. Jika an memuat bentuk
3. Jika an hanya memuat bentuk pangkat n yang konstan, gunakan uji banding limit. 4. Usaha terakhir, cobakan uji banding biasa, uji akar, atau uji integral.
41
Latihan Periksa kekonvergenan dari deret berikut :
1 1. 2 n 3 n 5
n 2. 2 n 1 n 5
5n 3. n 1 n !
1 2 n 2 n 3
4.
3e n e 2 n 5. 2n 2 e n 1
ln n 6. n n 2
9.
n n 2 n 1 n 5
n3 10. n 1 n !
nn 7. n 1 n ! 3 cos n 8. n2 n 1
42
Deret Ganti Tanda Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut
1
n 1
n 1
an a1 a2 a3 a4 ...
dengan an > 0, untuk semua n. Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu
1 n 1
n 1
1 1 1 1 1 ... n 2 3 4
43
Deret ganti tanda, dikatakan konvergen jika:
1. an1 an
(an monoton turun)
2. lim an 0 n
Contoh Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut
1 1 1 1. 1 . . . 2 3 4 1 1 1 2. 1 . . . 2! 3! 4! 44
1. Jawab :
Dari soal ini, kita punya
1
n 1
n 1
dengan:
an
1 1 ; an 1 n n 1
1 an n n 1 1 1 1 a. an 1 1 n n n 1
an1 an
Artinya an monoton turun.
1 0 n n
b.lim an lim n
Karena kedua syarat terpenuhi maka deret ganti tanda tersebut konvergen. 45
1 n
2. Jawab (uji ganti tanda)
Dari soal diatas kita punya
dengan: an
1
n 1
n 1
1 n!
1 1 ; an 1 n! n 1!
1
an n! 1 n 1 a. a 1 n 1 n 1!
an1 an
1 b. lim an lim 0 n n n ! Karena a dan b terpenuhi maka deret ganti tanda tersebut konvergen. 46
Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut: 2 n 1 n n 1 1. 4. 1 n 3n 1 3 n 1 n 1 n n3 2. 1 2 n n n 1 1 n 1 5. n n(n 1) n 1 n 1 n 3. 1 n! n 1
47
Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga mutlak deret tersebut konvergen. Atau dengan kata lain
U n 1
n
dikatakan konvergen mutlak jika
U n 1
n
konvergen.
Dan dikatakan konvergen bersyarat jika U n divergen,
tetapi U n konvergen.
n 1
n 1
48
Langkah pengujian
U n 1
n
(konvergen mutlak/bersyarat/divergen): Konvergen deret konvergen mutlak
Uji
| U n 1
n
|
(uji deret positif) Divergen
Uji
U
n
(dgn DGT) 49
Konvergen deret konvergen bersyarat
Divergen deret divergen
Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen
1.
1 n 1
n 1
2n n!
Jawab: Dari soal diatas kita punya U n 1 n 1 n 2n 2 Misal an Uji | U n | n ! n 1 n 1 n!
Gunakan UHB
an 1 lim lim n a n n
2n 1
n 1!
2n
n !
Menurut uji hasilbagi , konvergen mutlak. 50
2 2n.2 n ! lim 0 lim n n n 2 n 1 n 1!
U n 1
2n 2n | Un | n! n !
n
n 2 n 1 konvergen, maka 1 n! n 1
1
2.
1 n
n 1
n 1
Jawab:
Un n 1
n 1
1 n
Deret ini divergen dengan uji deret-p (p=1/2)
Selanjutnya, uji DGT,
U 1 n
n 1
n 1
1 n
an1 an (tunjukkan)
(i) (ii)
lim a n lim n
Karena
n
n
U
n
0
divergen, tetapi
1 n 1
DGT konvergen,
n 1
Maka
1
n 1
1 n
U n 1
n
konvergen
konvergen bersyarat. 51
Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen:
n n 1 n 1. 5 n 1
2.
n 1
(4) n
4.
1 1 nn 1 n 1
5.
(1) n 1 n 1 n ln n
2 n
n
n
(1) 3. n 1 3n 2
(1) n 1 6. n 1 n n 1
52
Deret pangkat secara umum ada dua bentuk 1. Deret pangkat dalam x didefinisikan
n 2 3 a x a a x a x a x ... n 0 1 2 3 n 0
2.
Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan
n 2 3 a ( x b ) a a ( x b ) a ( x b ) a ( x b ) ... n 0 1 2 3 n 0
Yang akan ditentukan adalah selang (himpunan) kekonvergenan, yaitu himpunan semua bilangan real x sehingga deret kuasa konvergen. 53
Misalkan
a x U n 0
n
n
n 0
n
gunakan uji hasil bagi mutlak,
lim
n
U n 1 Un
1. Jika
1
maka deret konvergen mutlak.
2. Jika
1
maka deret divergen.
3. Jika
1
tidak dapat diambil kesimpulan
54
Tentukan selang kekonvergenan deret
1.
xn n ( n 1 ) 2 n 0
2.
xn (n 1) !
(n 1) ! x n
n 0
3.
n 0
( x 1) n 1 4. n 2 n 0
55
xn 1. n n 0 ( n 1)2 Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
lim
n
U n 1 Un
x (n 1) x x n1 xn lim lim n1 : n n 2 ( n 2) 2 n 2 (n 2) (n 1)2
x 1 2 x 2 2
* Untuk x=2,
2n 1 n n 1 2 n 1 n 1 n 1
56
1
Gunakan Uji Banding Limit, bn n an 1 L lim lim .n 1 n b n n 1 n
bn
Karena L=1, dan maka
1 Divergen (deret harmonik) n
1 divergen n 1 n 1
Untuk x = –2
2 n n n 1 n 1 2
1 n n 1 n 1
deret ini adalah deret ganti tanda (DGT) (i) an monoton turun 1 0 n n 1
(ii) lim a n lim n
DGT konvergen
Sehingga selang kekonvergenannya adalah [-2,2) 57
xn 2. n 0 ( n 1)! Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
lim
n
U n 1 Un
x n 1 xn lim : n n 2 ! n 1 !
lim n
x n 2
0
Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)
58
3. (n 1)! x n n 0
Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
lim
n
U n 1 Un
lim n
n 1 n 2 ! x
n 1! xn
lim n 2 x n
0, jika x 0 , jika x 0
Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.
59
Jawab(4) ( x 1) n 1 4. n 2 n 0
lim
n
U n 1 Un
( x 1) n 2 2n ( x 1) x 1 lim . lim n n 2 n 1 ( x 1) n 1 2 2
* Deret konvergen jika yaitu,
1,
x 1 1 2 x 1 2 3 x 1 2
(2) n1 (1) n1 2 n1 n 1 ( 1 ) .2 n * Uji x=-3 n0 2 n 2 n 0 n 0
Ini DGT, lim an 2 0 jadi DGT divergen. n
(2) n1 2. n * Untuk x = 1 2 n 0 n 0
kedivergenan suku ke-n.
Deret ini divergen dengan uji
Jadi HK = (-3,1). 60
Himpunan kekonvergenan deret pangkat
a n x n berbentuk
n 0
selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut: 1. satu titik x = 0 2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan real
61
n a ( x b ) Himpunan kekonvergenan deret pangkat n n 0
berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut : 1. satu titik x = b 2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan real
62
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:
( x 1) n 1. 2 n 0 n 1
2 3 x 2 x 2 2. x 2 ...
2!
( x 1) 3. 2 2 n n 0
n
n ( x 2) 4. (1) n n.3n n 1
3!
5. (1) n 1
n 1
2n x n n.3n
63
Dalam pasal sebelumnya untuk 1
n 1
ax n
x 1,
a 1 x
Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di
atas (misal S(x)= ax n ) misalkan bagaimana jika S(x) n 1
didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.
64
Misal S ( x)
n a x n n 0
maka
(i) S ' ( x) Dx an x n
n 0
= D[a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3+ . . .]
an n x n1 n 1
(ii )
65
x
0
x
S (t ) dt 0 n 0
an n 1 ant dt x n 0 n 1 n
(i) Perhatikan,
n 2 3 x 1 x x x ... n 0
merupakan deret geometri dengan a = 1 ; r = x, maka
1 x ; | x | 1 1 x n 0 (ii)
1
1 x 2
n
1 1 Dx 2 1 x 1 x
n 1 n x n 1
66
x
x
1 (iii) dt 1 t t 2 t 3 ... dt 1 t 0 0 x
1 1 1 1 1 1 ln(1 x) t t 2 t 3 t 4 ... x x 2 x 3 x 4 ... 2 3 4 2 3 4 0
1 1 1 ln(1 x) x x 2 x 3 x 4 ... 2 3 4 ln(1 x) x
1 2 1 3 x x ... 2 3
ln(1 x) (1) n 1
n 1
1 n x ; | x | 1 n
67
(iv)Perhatikan
xn n 0 n!
Deret ini konvergen untuk setiap x bilangan real.
x 2 x3 ... Misal S ( x) 1 x 2! 3! x2 x3 S ' ( x) 1 x ... 2! 3! Jadi
S(x)=S’(x) S ( x) e
n
x e n 0 n! x
68
x
Contoh Nyatakan Jawab :
sebagai deret pangkat dalam x
Nyatakan f(x) berikut sebagai deret pangkat dalam x: (gunakan rumus operasi deret)
1 1. f ( x) 1 x 2. f ( x)
1
1 x 2
5. f(x)=tan-1(x)
1 x 6. f ( x) ln 1 x
1 f ( x) 2 3x
x2 2 1 3. f ( x) x 1 x 1 x
7.
1 4. f ( x) 1 x2
8. f ( x) e 2 x 9. f ( x) e x 2
70
Misalkan f(x) dapat diturunkan hingga n kali pada x = b, Maka f(x) dapat dinyatakan sebagai deret kuasa dalam (x-b):
f ( x) n 0
f ( n ) (b) x bn n!
f ' (b) ( x b) f ' ' (b) ( x b) 2 f ( x) f (b) ... 1! 2!
Deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b. Bila b = 0, diperoleh Deret Mac Laurin, yaitu f ( x) f (0) f '(0) x
f ''(0) 2 x ... 2! 71
Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin: 1. f(x)= sin x Jawab: f(x) = sin x
f(0) = 0
f ’(x) = cos x f ’’(x) = - sin x
f’(0) = 1 f’’(0) = 0
f ’’’(x) = - cos x
f’’’(0) = -1
f
f lV(0) = 0
lV
(x) = sin x
Sehingga, 2 n 1 x3 x5 x7 x f ( x) sin x x . . . 1 n 3! 5! 7 ! 2n 1! n 0 72
2. f(x)= ex Jawab: f(x) = ex
f(0) = 1
f ’(x) = ex
f ’’(x) = ex
f’(0) = 1 f’’(0) = 1
f ’’’(x) = ex
f’’’(0) = 1
f
f lV(0) = 1
lV
(x) = ex
Sehingga, 2 3 4 n x x x x x f ( x) e 1 x . . . n! 2! 3! 4! n 0
73
3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat di x=1 Jawab: f(x) = ex
f(1) = e
f ’(x) = ex f ’’(x) = ex
f’(1) = e f’’(1) = e
f ’’’(x) = ex
f’’’(1) = e
f
f lV(1) = e
lV
(x) = ex
Sehingga,
f ( x) e
x
2 3 x 1 x 1 e e( x 1) e e . . .
2!
3!
n 0
n x 1 e
n!
74
1. Perderetkan f(x) berikut dalam deret Maclaurin a. f(x) = cos x b. f(x) = ln(3+2x)
2 c. f ( x) x5 1 d . f ( x) x 1
2. Perderetkan f(x) berikut dalam deret taylor dengan pusat x = a a. f(x) =
ex,
b. f ( x)
1 , a3 x2
75
a=2
c. f ( x)
1 , a3 x
