A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstanta. Dari contoh sederhana tersebut, marilah kita definisikan istilah tersebut di atas. a. Suku adalah bentuk aljabar yang memuat koefisien, variabel, dan konstanta atau memuat koefisien dan variabel saja. b. Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah. Variabel dituliskan dalam bentuk huruf abjad (huruf kecil). c. Koefisien adalah bilangan yang diikuti oleh variabel d. Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti variabel 2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama. Untuk lebih jelas memahami konsep suku-suku Suku Sejenis / tidak sejenis 18p dan 10p Suku sejenis -9a2 dan 1a2 Suku sejenis 9a dan 9b Suku tidak sejenis 4mn dan –8mn3 Suku tidak sejenis
sejenis, perhatikan tabel berikut ! Keterangan Variabel dan pangkat dari variabel sama Variabel dan pangkat dari variabel sama Variabelnya tidak sama Pangkat dari variabelnya tidak sama
PENDALAMAN MATERI 1 BANYAK SUKU, KOEFISIEN, VARIABEL, DAN KONSTANTA. 1. Diketahui bentuk aljabar: 2a + 3b – 7ab + 8. Tentukan: a. banyak suku, b. konstanta, c. koefisien untuk variabel a. 2. Diketahui bentuk aljabar: 17x2 - 8x + 69y – 9xy – 8. Tentukan: a. banyak suku, b. konstanta, c. variabel, d. koefisien untuk variabel y dan xy. 3. Diketahui bentuk aljabar: mn2 + n – m + mn. Tentukan : a. banyak suku, b. konstanta, c. variabel, d. koefisien untuk variabel mn dan m. 4. Diketahui bentuk aljabar: 2pq – p + q. Tentukan: a. banyak suku, b. konstanta, c. variabel, 1
5. Bentuk aljabar -3c + 7 – 10d + 17e. Tentukan : a. banyak suku, b. konstanta, c. variabel, d. koefisien untuk variabel c dan d. 2. Operasi Bentuk Aljabar a. Penjumlahan Dan Pengurangan Bentuk Aljabar Dua suku atau lebih dapat dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan apabila suku-suku tersebut merupakan suku-suku yang sejenis. Contoh : 1.1 1) 2p + 3p = 5p 2) 8xy – 6xy = 2xy 3) 3x2 + 7x + 6x2 – 4x – 2
= 3x2 + 6x2 + 7x – 4x – 2 = 9x2 + 3x – 2 4) (12d + 5e) – (8d – 2e) = 12d + 5e -8d + 2e = 12d – 8d + 5e + 2e = 4d + 7e PENDALAMAN MATERI 2 OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
1. Sederhanakan ! a. 6a – 6 + 4a – 4 b. 7b + 1 – 9b – 3 c. 14x + 7x – 8y + 2y d. -6x + 3y + 12x – 5y e. 8ab + 15a – 4ab – 17a f. 8k + 99j – 5k + 11j – 4 g. 30m + 8n + 4m – 7n – 10m + 3 h. 5p + 2q + 4r – 2p + 6q – 3r + 2 2. Sederhanakan ! a. (12a + 8) + (8a + 1) b. (4b – 7) – (-3a + 11) c. (2j + 4k) + (8j + 3k) d. (3x – 4y) – (8y + 4x) e. (5a – 4b) – (-6a – 7b) f. (18h – 5i + 8j) – (3h + 4i – 6j) g. (9m – 5n + 10k) – (-6n – 7m + 3k) h. (7a + 8 b – 11) + (5b – 10b – 2) 3. Jumlahkan ! a. 18h + 3 dan 12h – 5 b. 3m + 3n – 4 dan 5m + 7n c. 50a + 40b – 4 dan 10b – 40a + 9 d. 12f – 6g + 7h dan 8g – 11f – 5h e. 24b + 15c -1 dengan -3 + 5 c f. 8ab + 3b dengan ab – b + 7 g. -12a2b – 8ab dengan 6ab + 3b h. 9c2d3 + 12 dengan 10cd – 14 4. Kurangkan ! a. 8p + 3 + 5q dari 12p + 2q – 5 b. -27h – 18 dari 32 + 17h c. 15v + 4w dengan 20v – 3w + 8 d. 45c + 78 dengan 35c + 58 e. 5x + 3y + 7 oleh 4x – 3y + 4 f. 24a – 6b + 3 oleh 8b – 14a – 5 g. -7ab + 6a – 1 dari 3ab – 4b + 1 h. 2a – 3b + 4c dari -2a + 3b – 4c + 5
2
5. Jika p = d2 – 3d – 2 dan q = 3d2 + 2d – 4, hitunglah (p + q) dan (p – q) 6. Gambar pekarangan Pak Yasin membentuk huruf “L” seperti tampak pada gambar berikut. a. Tentukan keliling pekarangan Pak Yasin dalam p! b. Jika keliling pekarangan 56 cm, carilah nilai p! 3p + 3 1+p 3p - 5 7. Alas kandang ayam Pak Amin berbentuk persegi panjang. Panjang kandang (4a + 4) meter dan lebarnya (5a – 4) meter, sedangkan panjang kayu yang diperlukan untuk membuat alas adalah 90 meter. Tentukan : a. nilai a, b. ukuran kandang, c. luas kandang (dalam are). b. Perkalian bentuk aljabar 1) Perkalian suatu bilangan dengan dua suku Bentuk umum perkalian suatu bilangan dengan dua suku antara lain : k(p + 2q) = kp + 2kq k(p - 2q) = kp – 2kq, dengan p, q variabel dan k konstanta. Contoh : 1.2 a. 3(2x + y) b. 4(5x – 3y) c. -2(2a – 7) d. 5a(a – b)
= = = =
6x + 3y 20x – 12y -2a + 14 5a2 – 5ab
2) Perkalian antara dua suku Perkalian antara dua suku bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif. Contoh : 1.3 (2x + 5) ( 3x + 4)
= 2x(3x + 4) + 5(3x + 4) = 6x2 + 8x + 15x + 20 = 6x2 + 23x + 20
(3y – 4z) (8y – 1)
= 3y(8y – 1) – 4z(8y – 1) = 24y2 – 3y – 32yz + 4z
(a + b) (2a + b – 8)
= a(2a + b - 8) + b(2a + b – 8) = 2a2 + ab – 8a + 2ab + b2 – 8b = 2a2 + 3ab – 8a – 8b + b2
3) Perkalian istimewa Perkalian istimewa adalah perkalian yang hasil kalinya bersifat khusus. Beberapa perkalian istimewa : a. b. c. d. e.
(a (a (a (a (a
+ b)2 – b)2 + b) (a – b) + b) (a2 – ab + b2) – b) ((a2 + ab + b2)
= = = = =
a2 a2 a2 a3 a3
+ 2ab + b2 – 2ab + b2 – b2 + b3 – b3
Contoh : 1.4 Jabarkan ! a. (y + 2)2 = y2 + 2.y.2 + 22 2 b. (x – 3) = x2 + 2.x.(-3) + (-3)2 c. (p + 8) (p – 8) = p2 - 8 2 d. (3x + 5) (3x – 5) = (3x)2 - 52 e. (k + 3) (k2 – 3k + 9) = k3 + 33 2 f. (m – 4) (m +4m + 16) = m3 - 4 3
= = = = = =
y2 + 4y + 4 x2 – 6x + 9 p2 – 64 9x2 - 25 k3 + 27 m3 – 64 3
PENDALAMAN MATERI 3 OPERASI PERKALIAN BENTUK ALJABAR 1. Sederhanakan a. 5(3x + 2y) b. -5(4q – 3r) c. -4(-8h – 5i) d. 6(-2c – 4d) e. 5(4m – 3n) f. 2(8a + 5) + 4(6a + 10) g. 5(7c – 4) – 9(4c – 3) h. 10(4m + 5) - 8(5m + 6) 2. Jabarkan ! a. (x + 3) (x + 2) b. (x – 4) (x + 5) c. (2a – 1) (3a + 4) d. (5p + 7q) (4p + 3q) e. (8c – 5d) (-2c + 4d) f. (5d – 4e + 2) (2d + 3) g. (12x + 5) (5x – 4y – 6) h. (2m – 3n – 6)(m + n+8) 3. Jabarkan ! a. (x + 2)2 b. (y – 8)2 c. (2a – 4)2 d. (15b + 4c)2 e. (3p + 5q)2 f. (5mn – 4pq)2 g. (6abc + 7def)2 h. (13x3y – 5x2y2)2 4. Jabarkan bentuk aljabar berikut dalam bentuk perkalian istimewa ! a. a2 – 25 b. b2 – 121 c. 169 – c2 d. 324 – h2 e. 4d2 – 81e2 f. 49m2 – 225n2 g. 100x2 – 81y2 h. 441p2q2 – 25r2s2 5. Jabarkan bentuk aljabar berikut dalam bentuk perkalian istimewa! a. j3 + 27 b. k3 – 8 c. 64 – m3 d. 1000 + n3 e. g3 + 216 f. h3 – 729i3 g. 8a3 + 125b3 h. 343x3 – y3 6. Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentuk aljabar di bawah ini! b. (2a2 + 3b) (5a2 + 2ab – b2) c. (5x – 1)2 – (2x – 3)2 d. (3x + 5y)2 – (2x – 4y)2 2
e.
1 1 11x y 5x y 2 2
f.
1 1 4p 4p 16p 2
2
2
4
7. Tentukan hasil perpangkatan di bawah ini ! a. (2a + 5)3 b. (3x - 1)4 c. (3x + 2y)5 d. (2a + b)6 8. Jabarkan ! a. (2a + 4b + 5c)2 b. (4c – 6d + 10)2 c. (5m – 7n – 3k)2 d. (8x + 5y – 12z)3 e. (6v + 5w + 1)2 – (3v – 2w – 3)2 c.
Pembagian bentuk aljabar Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagi merupakan suku satu maka hasil pembagian dapat ditentukan dengan cara seperti pembagian pada bilangan bulat, tetapi jika pembagi lebih dari satu suku maka dapat ditentukan dengan cara bersusun kebawah. Contoh: 1.5 Tentukan hasil bagi dari bentuk aljabar berikut! a. 18a2 : 9a b. 2b2 - b – 1) : (b – 1) Penyelesaian: a. 18a2 : 9a = 2a b. 2b2 - b – 1) : (b – 1) = 2b + 1 b–1
2b +1 2b2 – b – 1 2b2 – 2b b–1 b–1 0
PENDALAMAN MATERI 4 OPERASI PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR 1. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini! a. 12a : 6 b. 27b2 : 9b c.
20a2b : 4ab
d. 48c3d4 : 8c2d2 e.
8a2b3c4 : 4a2bc3
f.
32m8n7 : (36m3n2 : 9mn)
g. 100c6d5 : (45c4d4 : 9cd3) h. (18p9q8 : 2p2q) : (6p8q5 : 2pq4) Ingat (ab : ac = ab – c) 2. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini! a. (2g2 + 3g + 1) : (g + 1) b. (3h2 + 8h + 4) : (h + 2) c.
(2i2 + 11i – 6) : (2i – 1)
d. (5j3 + 15j2 + 2j + 6) : (j + 3) e.
(6k3 – 8k2 – 15k + 20) : (3k – 4)
f.
(-3a3 + 11a2 – 2a – 15) : (5 – x)
g. (b4 – b3 – b2 + b) : (b2 + b) h. (x4 – 1) : (x + 1) 5
B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar 1. Bentuk ap + aq Bentuk ap + aq dapat difaktorkan menjadi: ap + aq ap – aq
= a(p + q) = a(p – q)
Contoh : 1.6 Faktorkan bentuk aljabar berikut ini a. 2x + 2y = 2(x + y) b. 3a + 6b – 12c = 3(a + 2b – 4c) c. 8ab + 12abc2 – 20ac = 4a(2b + 3bc2 – 5c) 2. Selisih kuadrat Misalkan : (x + y) (x – y) = x(x – y) + y(x – y) = x2 – xy + (yx) – y2 = x2 – y2 Jadi faktor dari : x2 – y2 = (x + y) (x – y) Contoh : 1.7 Faktorkan bentuk aljabar berikuk ini : a. x2 – 81 = (x + 9) (x – 9) b. 16a2 – 25 = (4a + 5) (4a – 5) c. 4x2 – 49y2 = (2x + 7y) (2x – 7y) d. 32a2 – 98 = 2(16a2 – 49) = 2(4a + 7) (4a – 7) e. 16c4 – 625d4 = (4c2 + 25d2) (4c2 - 25d2) = (4c2 + 25d2) (2c + 5d) (2c – 5d) PENDALAMAN MATERI 5 PEMFAKTORAN BENTUK (ap+ aq) = a(p + q) dan a2 – b2 = (a + b) (a – b) 1. Faktorkan ! a. 15x + 20 b. 36y – 12 c. 15a + 21b – 51 d. 2a + 20b – 8 e. 3x2 – 2xy + 20xz f. 5a2b3 + 10ab g. 15cd3 – 51c3d + 6cd h. 12m3n2 – 16mn – 9n 2. Faktorkan ! a. x2 – 225 b. 4x2 – 25 c. 81y2 – 1 d. 169x2 – 121y2 e. 9a2b2 – 25c2d2 f. 225y2z2 – 49a2b2 g. (a + b)2 – c2 h. (c + d)2 – d2 3. Faktorkan bentuk aljabar berilkut ini : a. 18p2 – 2 b. 10p2 – 40 c. 8p2 – 50q2 d. 80p2 – 72q2 e. 20p2q2 – 45x2y2 f. 2a2b2 - 242c2d2 g. 12a2b2c2 – 300 h. 20c4d2 – 125c2d4
6
3. Bentuk Kuadrat a. Bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a = 1 Karena nilai a = 1, maka bentuk ax2 + bx + c menjadi x2 + bx + c. Misalkan faktor dari : x2 + bx + c = (x + p) (x + q). Kita coba lakukan perkalian pada ruas kanan untuk mencari hubungan antara kedua ruas x2 + bx + c = (x + p) (x + q) = x(x + q) + p(x + q) = x2 + qx + px + pq = x2 + (p + q)x + pq. Maka terdapat hubungan b, c terhadap p dan q. b=p+q c = p x q, Dengan p dan q merupakan sembarang bilangan. Contoh : 1.8 Faktorkan ! x2 + 5x + 6 y2 + 2y – 35 Penyelesaian : Cara Tidak Langsung X2 + 5x + 6 = x2 + (2x + 3x) + 6 = (x2 + 2x + (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) =(x + 3) (x + 2)
Cara Langsung x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …) = (x + 2) (x + 3)
Keterangan b= 5 danc = 6
2 6
3
Jadi p =2, q=3 y2 + 2y – 35= y2 + (7y – 5y) – 35 = (y2 + 7y)–(5y + 35) = y(y + 7) – 5(y + 7) = (y – 5y) (y + 7)
y2 + 2y – 35 = (y +7) (y – 5)
b= 2, c=-35
7 -35
-5
Jadi p= 7, q= -5 b. Bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a 1 Misalkan bentuk faktor dari : ax2 + bx + c =
1 (ax + p) (ax + q). a
Maka : ax2 + bx + c
=
a2x2 + abx + ac
= = = =
1 (ax + p) (ax + q). a (ax + p) (ax + q) ax(ax + q) + p(ax + q) a2x2 + qax + pax + pq a2x2 + (p + q) ax + pq
kedua ruas dikalikan a ruas kanan dilakukan perkalian
Dari informasi diatas, hubungana,b, pd an q adalah : b =p+q ac = p x q, Dengan p dan q sembarang bilangan Contoh : 1. 9 Faktorkan : 8y2 + 10y + 3 penyelesaian : Cara tidak lansung 8y2 + 10y + 3 = = 8y2 + (4y + 6y) + 3 = (8y2 + 4y) + (6y + 3) = 4y(2y + 1) + 3(2y + 1) = (4y + 3) (2y + 1)
Cara langsung 8y2 + 10y + 3 =
1 (8y + 4) (8y + 6) 8 1 = .4(2y + 1). 2(4y + 3) 8 =
Keterangan B = 10 = p + q c = 8x3 = 24 = pq
4 24
p= 4 dan 6 q= 6
= (2y + 1) (4y + 3) 7
PENDALAMAN MATERI 6 MATERI PEMFAKTORAN BENTUK x2 + bx + c dan ax2 + bx + c, dengan a
0
1. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini. a. x2 + 3x + 2 b. x2 + 8x + 12 c. y2 + 2y – 8 d. y2 + 14y – 51 e. p2 – p – 20 f. p2 – 11p – 60 g. k2 – 49k + 360 h. k2 – 68k + 256 2. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini. a. h2 – 8hj + 12j2 b. h2 – 11hj + 24 j2 c. a2 + 10ab + 25b2 d. a2 – 12ab + 36b2 e. c2 - 14cd - 51d2 f. c2 + 30cd + 225d2 g. d2 – 40de + 400e2 h. m2 + 16mn +64n2 3. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini. a. 10t2 + 17t + 3 b. 4k2 + 7k – 2 c. 9a2 – 24a + 16 d. 12b2 – 11b – 5 e. 10c2 + 17c + 3 f. 10d2 – 43d + 12 g. –g2 + 12g – 36 h. –g2 + 11g – 24 4. Sederhanakan dalam bentuk faktorisasi. a. (4x2 + 4x + 1) – (9x2 – 12x + 4) b. (3x2 – 5xy – 4y2) + 2(x2 – xy – y2) 5. Sederhanakan, kemudian faktorkan bentuk-bentuk berikut ini. a. (5x – y)2 + 80x – 16y + 64 b.
9( x+
y 2 ) – 30x – 10y + 25 3
6. Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Tinggi bola (h meter) setelah t detik dinyatakan dengan rumus h = 8 + 2t – 3t2. a. Bila bola dilempar setelah 1,5 detik, tentukan tinggi bola! b. Jika h = 0, carilah nilai t! C.
Pecahan Bentuk Aljabar 1. Operasi pecahan bentuk aljabar a. Penjumlahan dan pengurangan Dua pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan penjumlahan atau pengurangan apabila penyebutnya sama. Jika penyebut-penyebut dari pecahan tersebut tidak sama, samakan penyebut dengan menggunakan faktor persekutuan terkeci (KPK). Contoh : 1.10 Sederhanakanlah! a. b.
2x 3 1
5x 7 5
3a 2b 8
Penyelesaian :
5x 14x 15x 29x 3 7 21 21 21 1 5 2b 15a 2b 15a b. 3a 2b 6ab 6ab 6ab a.
2x
b. Perkalian Perkalian pecahan bentuk aljabar mengikuti ketentuan :
a c ac x , dengan a dan b 0. b d bd Contoh : 1.11
2a 3b 6ab (ingat KPK (5 dan 7 adalah 35) x 5 7 35 y 1y 1 . x 3 y 1 y2 1 3 x 6y y 1 6y y 1 2y
a. b.
c. Pembagian Pembagian pecahan bentuk aljabar mengikuti ketentuan :
a a 1 a :c x b b c bc b c ac a: a x c b b a c a d ad : x b d b c bc Contoh : 1. 12 a. b.
2p:
4q
2p x
3
3p
3 4q 2q 5a 3 10a 6 5a 3 14a 8 5a 3 27a 4 : x x 1 7a 4 14a 8 7a 4 10a 6 7a 4 25a 3 PENDALAMAN MATERI 7 OPERASI PECAHAN BENTUK ALJABAR
(Evaluasi kemampuan pemahaman) 1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini ! a. b. c. d. e.
8
4
3a 3a 3 3 d1 d-1 y3 2y - 1 2a 10 a 5
2a 2 2 2 a 1 a1 9 5 2 2 x 5x 4 x 2x 8 9
2. Sederhanakan perkalian pecahan dibawah ini. a.
b.
c.
d.
e.
4cd3 16c 4 3 3 2c 8d 2 4a 2 6b 3b 2a 1 2m2 mn m n 2 m mn 2m n 12j3 j 2k 2k 3 j 2k 6jk 8h2 4h 2h 1 2 3 29h 4h 1
3. Sederhanakan pembagian pecahan di bawah ini. a.
2ab 4b : 9a 18a2
b.
48a2 b 16b 2 : 27a3 9a4
c.
4a 4 9a3 9a2 : 16a 5a2
d.
14c 2 c d 28c d : 3c 3 2c 4 18c - 2
e.
q 3q 3 2q2 18 : 2 2 70 4q 2q q 2q 35
2.
Menyederhanakan pecahan Suatu
pecahan
a b
dapat
dikatakan
sederhana,
apabila
faktor
persekutuan
a (pembilang) dan b (penyebut) adalah 1. Contoh : 1. 13 Sederhanakan pecahan berikut ini. a. b.
2x 6 4 2x 4 2 x 5x 6
Penyelesaian : a. b.
2x 6 2x 3 x 3 . 4 4 2 2x 4 2x 2 x2 . 2 x 5x 6 x 2x 3 x 3
10
PENDALAMAN MATERI 8 MENYEDERHANAKAN PECAHAN 1. Sederhanakanlah. a.
b.
c.
d. e.
51x 3 y 2 17xy 6x 2 y 8xy 2 2xy 2 5x 10xy 2 10x 20y 2 18x 2 9xy 2x y 12x 18y 15xy 8x 2 12xy 10x 2 y
2. Sederhanakan bentuk pecahan di bawah ini. a. b. c. d. e.
x 2 4x 4 x2 4 x 2 6x 5 x 2 12x 35 3x 2 7x 6 6x 2 14x 12 2x 2 7x 4 2x 2 x 1 x 2 6x 36 x 2 36
3. Ubahlah pecahan bersusun dibawah ini ke dalam bentuk yang paling sederhana.
a.
1 1 a b a b b a a
b.
2b 1 2b a
c.
d.
2b
a 1
a bc bc a 1 1 bc a 2a 5 b 3 5b 3 2a 11
