Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel

Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya. Bentuk Umum :

dy d 2 y dny F ( x, y, , 2 ,...., n )  0 dx dx dx

Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan2 ilmu pengetahuan dan teknik. Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi.

Contoh : dy 1.x  y 2  4  0 dx d2y dy 2. 2  y  y sin x  0 dx dx 2

3

d y d y 3. 3    2   y  cos x  dx   dx  3

2

3

2

d y d y 4. y 3   2 2   yx  4 x  0  dx   dx  3

2

2

 d y   dy  5. 4      y  y 2 cos x  dx   dx  4

3

SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL Untuk mencari solusi dari PD, harus mencari fungsi yang memenuhi persamaan itu, artinya yang memuat persaman itu menjadi benar. Hal ini berarti harus mengolah persamaan tersebut sehingga semua koefisien differensial hilang, yang ada

hanya hubungan antara variabel x dan y saja, yaitu :

F(x,y)=0

Contoh : d2y 4  0 2 dx

maka : y = 2x2 atau y = 2x2 + x , atau y = 2x2 –5x + 3 merupakan jawab dari PD diatas. Terlihat bahwa PD diatas mempunyai jawaban tidak tunggal. Secara umum solusi dari PD diatas dapat ditulis : y = 2x2 + c1x + c2 dimana c1 dan c2 adalah konstanta ,

JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS • Bentuk umum :

M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 1. PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0 • Solusi umum PD :

 f ( x)dx   g ( y)dy  c • contoh :

(x+1) dx + (y2 –3) dy = 0

, c adalah konstanta

1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 1 direduksi dengan mengalikan : g1 ( y ) f 2 ( x) PD diatas menjadi :

f1 ( x) g 2 ( y) dx  dy  o f 2 ( x) g1 ( y )

karena telah menjadi PD variabel terpisah, maka solusi PD diatas :



f1 ( x) g 2 ( y) dx   dy  c f 2 ( x) g1 ( y )

Contoh : 1. y(x-1) dx + (y+2)x dy = 0 2. xy dx + (1 + x2) dy = 0 3. dy  dx

4y xy  3x

4. cos y dx + (1 + e–x) sin y dy = 0

Latihan : 1. (1 + ex)dy + (1 + e-y)dx = 0 2. xln x dy + (ey + e-y)dx = 0 3. tg x dy – ctg y dx = 0 4. 2(1 + x2)dy – (1 – y2)dx = 0 5. (1 + x2) dy + (1 + y2) dx = 0 

3. PD Homogen Suatu fungsi f(x,y) dikatakan homogen berderajat n , jika : f(λx, λy) = λn f(x,y) PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 Dikatakan PD Homogen derajat n jika : M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen yang berderajat sama. Untuk mencari solusi dari PD homogen kita lakukan transformasi : y = vx dan dy = v dx + x dv dengan transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam x dan v dengan variabel terpisah.

Contoh : 1. ( x  y )dx  xydy  0 subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv, sehingga diperoleh : 2

2

( x 2  (vx) 2 )dx  x(vx)(vdx  xdv )  0 ( x 2  2 x 2v 2 )dx  x 3vdv  0 x 2 (1  2v 2 )dx  x 3vdv  0...... PD. variabel terpisah dx vdv  0 2 x (1  2v )

dx vdv    0 2 x (1  2v )

2 1 1 y ln x  ln(1  2v 2 )  c  ln x  ln(1  2 2 )  c 4 4 x

2.

( x  y )dx  3x ydy  0

3.

xydx  ( x  y )dy  0

4.

( x  2 y )dx  3xydy  0

3

3

2

2

2

2

2

Latihan : 1. (x2 + y2)dx – 2xydy = 0 2. y(x2 + y2)dx – x{x + (x2 + y2)}dy = 0 3. (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0 4. (xsin - ycos )dx + xcos dy = 0 5. xdy – ydx - (x2 – y2)dx = 0 

4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga : dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1) Rumus differensial : F F dF  dx  dy .............................(2) x y

Maka dari (1) dan (2) diperoleh :

F  M(x, y)......................................(3) x F  N(x, y).......................................(4) y

Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak adalah : M N  y x Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui persamaan (3) atau persamaan (4). Dari persamaan (3)

F  M(x, y)  F(x, y)   M(x, y) dx  A(x, y)  c(y) x Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y F A   c' (y)  N(x, y) y y

A A c' (y)  N(x, y)  c(y)   ( N(x, y) )dy  c y y

Dari persamaan (4)

F  N(x, y)  F(x, y)   N(x, y) dy  B(x, y)  c(x) y Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x F B   c' (x)  M(x, y) x x B B c' (x)  M(x, y)  c(x)   ( M(x, y) )dx  c x x

Contoh : 1. (x2 – y) dx – x dy = 0 M M ( x, y)  x  y   1 y N N ( x, y)   x.........  ....  1 x 2

F  N(x, y)  F(x, y)   N(x, y) dy   - xdy  -xy  c(x) y

Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x F   y  c' (x)  M(x, y)  x 2  y x 1 3 2 2 c' (x)  x  c(x)   x dx  x  c 3 Jadi,

1 3 F(x, y)  - xy  x  c 3

2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0

3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0 4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0 5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0

6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0

5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian sehingga PD : I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0 merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut.  Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :

1. Jika maka

M N  y x  f (x) N

f ( x ) dx  e

suatu fungsi dari x saja,

adalah faktor integrasi dari PD tsb.

M N  2. Jika y x  g ( y ) M

maka

e

 g ( y ) dy

suatu fungsi dari y saja adalah faktor integrasi dari PD tsb.

3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 , 1 maka , adalah faktor integrasi dari PD tsb. xM  yN 4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana f(x,y) ≠ g(x,y) , maka dari PD tersebut.

1 xM  yN

adalah faktor integrasi

Contoh: 1. (2y –x3) dx + x dy = 0 2. 3x2y2 dx + (4x3y – 12 ) dy = 0 3. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0 4. (x2 + 3y2 ) dy – 2xy dx = 0

5. (xy + y2) dx – x2 dy = 0 6. (x2y3 + 2y) dx + (2x - 2x3y2 ) dy = 0

Latihan : 1. (x2 – y) dx – xdy = 0 2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0 3. (1 + e2)dr + 2re2 d = 0 4. (4x3y3 + x-1)dx + (3x4y2 – y-1)dy = 0 5. {x (x2 + y2) – y}dx + {y (x2 + y2)- x}dy = 0 

6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA dy Bentuk umum :  y P(x) dx

 Q(x)

Persamaan ini mempunyai faktor integrasi : P ( x ) dx  e

Solusi umum dari PD ini adalah : P ( x ) dx P ( x ) dx   y e   Q( x ) e dx  c

Contoh : 1. dy  y  2  e 2x dx

P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e2x Faktor Integrasi : I= maka solusinya :

dx  e  ex

1 3x ye   (2  e )e dx   (2e  e )dx  2e  e  c 3 1 2x x y  2  e  ce Jadi , 3 x

2x

2. dy  2 y  x 2 e x dx

x

3. dy  y  2  4x dx

x

x

3x

x

7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI dy  yP ( x)  y n Q( x)  Bentuk umum : dx  Dengan transformasi : z  y n1 dan

1 dy 1 dz  y n dx 1 - n dx

akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu : dz dx

 (1  n) zP( x)  (1  n)Q( x)

yang mempunyai solusi umum : (1 n ) P ( x ) dx (1 n ) P ( x ) dx   z.e   (1  n)Q( x).e dx  c

Contoh : 1. dy  y  y 2 (1  e3 x ) dx dy y 2.   y 2 ( x 2  3 x) dx x 3. x dy  y dx  y 6 ( x  x 6 ) dx

dy 4. x  y  xy 2 ln x dx

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA DERAJAT TINGGI Bentuk umum : 2

n

dy  dy   dy  F ( x, y, ,   ,....,   )  0 dx  dx   dx 

atau F(x,y,p2,….,pn) = 0 dimana p = dy/dx Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya 1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai : (p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0 dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y

Langkah2 menentukan solusi umum (1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu : (p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0….(*) dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y (2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu derajat satu dari (*), yaitu : (p – F1)

(p – F2)

dy   F1 ( x, y)  0  f1 ( x, y, c)  0 dx dy   F2 ( x, y)  0  f 2 ( x, y, c)  0 dx

…………………………………………………………………..

(p – F1)

dy   Fn ( x, y)  0  f n ( x, y, c)  0 dx

(3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu tersebut, yaitu : f1(x,y,c) . f2(x,y,c) …… fn(x,y,c) . = 0

2. Jika PD tidak mengandung y, dan x dapat dipisahkan. Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p) Langkah2 menentukan solusi umum (1). Differensialkan x terhadap p, yaitu : dx  f ' ( p)  dx  f ' ( p) dp dp dy 1 p  (2).Karena maka dx  dy shg : dx p

1 dy  f ' (p) dp  dy  p f 1 (p) dp p y   p f ' (p) dp  c

(3).Solusi umum dari PD telah diperoleh x = f(p)

p adalah parameter

y =  pf ' ( p)dp  c

3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan. Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p) Langkah2 menentukan solusi umum : (1). Differensialkan y terhadap p, yaitu : dy  f ' ( p)  dy  f ' ( p) dp dp dy p  dy  p dx sehingga : (2). Karena maka dx 1 1 ' p dx  f (p) dp  dx  f (p) dp p 1 ' x   f (p) dp  c p

(3). Solusi umum dari PD telah diperoleh y = f(p) x=

1 '  p f ( p)dp  c

p adalah parameter

contoh : 1. x2p2 + xy p – 6y2 = 0 2. 7p3 + 3p2 = x 3. p3 + 5p2 + 7p = y 4. x4p4 - 5x2y2 + 4y4 = 0