Menentukan Rumus Umum Suku ke-N dari Barisan Bilangan dalam BentukPenjumlahan Polinom Melalui Sistim Persamaan Linier
OLEH WARMAN, S.Pd.
DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN BLITAR SMP NEGERI 1 GANDUSARI Agustus 2009
ABSTRACT Finding the General Formula of Term to-N of Sequence in Polynomials Addition Through Linear Equation System
Finding the general formula of term to-N of Sequence in Polynomial is the main form which is an important solution in mathematics. The paper is presented to find the term to-N from sequence in polynomials addition through linear equation system. The problem of this paper that people have a hunch that the general formula of the term to N from sequence is unique. But actually the case is infinite, and every a sequence of cause has general form of term to-N. The paper is the writer’s discovery based on some references which is in line with the material to find the term to-N from sequence. ABSTRAK
Menentukan rumus umum Suku ke-N dari Barisan Bilangan dalam bentuk Penjumlahan Polinom Melalui Sistim Persamaan Linier. Menentukan rumus umum Suku ke-N dari Barisan Bilangan merupakan salah satu pokok bahasan penting dalam mata pelajaran matematika. Makalah ini yang akan dibahas adalah: Menentukan rumus umum Suku ke-N dari Barisan Bilangan dalam Bentuk Penjumlahan Polinom melalui Sistim Persamaan Linier. Inti permasalahan dalam makalah ini pada dasarnya adalah orang beranggapan menentukan rumus umum Suku ke-N dari barisan bilangan adalah tunggal, padahal rumus umum yang mungkin tak terhingga banyaknya, dan setiap barisan bilangan pasti memiliki bentuk umum suku ke-N. Makalah ini merupakan temuan penulis berdasarkan kajian pustaka dari beberapa literatur yang sesuai dengan materi menentukan suku ke-N dari barisan bilangan.
2
PENDAHULUAN Matematika merupakan salah satu bidang studi yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Matematika dapat diterapkan diberbagai bidang ilmu yang lain, seperti: ilmu ekonomi dikenal bunga tunggal yaitu bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal persatuan waktu (Moesono, 1994:107),bunga majemuk yaitu bunga yang ditambahkan pada pokoknya, kemudian bunga pada berikutnya dihitung menurut pokok baru (Sukahar, 1986:216), ilmu geografi dikenal perhitungan pertambahan penduduk dengan rumus: Pn = Po (1 + r)n (Salladin,1980:25), ilmu fisika dikenal perhitungan gerak lurus beraturan dengan rumus: X = Vt (Kadiawarman, 1992:43). Materi-materi yang telah disebutkan di atas sangat erat sekali hubungannya dengan metematika terutama dengan materi barisan bilangan. Materi tersebut dalam pembelajaran di sekolah banyak dijumpai hambatan-hambatan, yang antara lain siswa kesulitan menentukan suku ke-n, siswa beranggapan rumus umun suku ke – n tunggal (tidak ada jawaban lain yang mungkin), siswa beranggapan tidak semua barisan bilangan memiliki rumus umum suku ke–n, maka dengan alasan di atas penulis membuat makalah dengan judul “Menentukan Rumus Umum Suku ke-n melalui system Persamaan Linier”. PEMBAHASAN MATERI Definisi: Barisan tak hingga{Un} adalah sebuah fungsi yang domainnya sebuah bilangan bulat positif. Nilai-nilai fungsi itu, adalah: U1, U2, U3, U4,… dinamakan suku-suku barisan. Sebuah barisan tak hingga lebih sederhana disebut barisan (Larson, tanpa tahun:664). Contoh: Tentukan 4 suku pertama dari suatu barisan yang suku ke n nya adalah: Un = 2n + 1. Karena barisan merupakan fungsi dengan domain bilangan bulat positif, maka barisan yang suku ke n nya Un = 2n + 1 artinya sama dengan fungsi f(n) = 2n + 1, sehingga:
3
F(1) = 2(1) + 1 = 3 F(2) = 2(2) + 1 = 5 F(3) = 2(3) + 1 = 7 F(4) = 2(4) + 1 = 9 Jadi empat suku pertama barisan bilangan itu: (1, 3), (2, 5), (3, 7), dan (4, 9). Biasa ditulis 3, 5, 7, dan 9. Suku ke-n Suku ke-n dari suatu bilangan sebanyak k suku pertama diperoleh banyak kemungkinan rumus suku ke n. Misalnya menentukan suku ke n dari barisan bilangan: 2, 4, 8, …. Andaikan suku ke empat adalah 16, mungkin Un = 2n Andaikan suku ke empat adalah 14, mungkin Un = n2 – n + 2 Andaikan suku ke empat adalah 26, mungkin Un = 2n3 – 11n2 + 21 n – 10. Ternyata jika diketahui k suku pertama, maka diperoleh rumusan suku ken banyak kemungkinan yang memenuhi barisan itu, bahkan tak terhingga banyaknya, sehingga dalam soal untuk menentukan suku ke-n seharusnya menggunakan kata:”yang mungkin”. Jadi dari soal di atas perintah yang tepat adalah”tentukan suku ke-n yang mungkin dari barisan bilangan:2, 4, 8, …”. Suku ke-n yang mungkin dari suatu barisan bilangan, jika diketahui sebanyak k suku, dapat dinyatakan dalam bentuk: Un = ak-1nk-1 + ak-2nk-2 + … + a2n2 + a1n + a0 Misalkan barisan bilangan itu: U1, U2, U3, …,Up, …, Uq, …, Un, … sebanyak k suku, karena barisan itu merupakan fungsi, maka dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan bilangan (1,U1), (2, U2), (3,U3), …,(p,Up), …,(q, Uq), …(n, Un), ….Dari pasangan-pasangan bilangan yang diketahui diperoleh persamaan-persamaan linier sebanyak k persamaan. U1 = ak-11k-1 + ak-21k-2 + … + a212 + a11 + a0 U2 = ak-12k-1 + ak-22k-2 + … + a222 + a12 + a0 U3 = ak-13k-1 + ak-23k-2 + … + a232 + a13 + a0 .
4
. Up = ak-1pk-1 + ak-2pk-2 + … + a2p2 + a1p + a0 . Uq = ak-1qk-1 + ak-2qk-2 + … + a2q2 + a1q + a0 . Un = ak-1nk-1 + ak-2nk-2 + … + a2n2 + a1n + a0 Dari persamaan-persamaan tersebut di atas dapat ditentukan beberapa pernyataan. 1. Ambil sebarang koefisien dari ak-b pada persamaan Up dengan Uq, k > b, k dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka: pk-b ≠ qk-b Bukti: Andaikan pk-b = qk-b, maka diperoleh penyelesaian p = q atau k – b = 0 ⇔ k = b, Padahal p ≠ q dan k ≠ b, (kontradiksi), maka pk-b ≠ qk-b berarti tidak ada yang sama koefisien ak-b pada Up dan Uq untuk k>b. 2. Pada suku terakhir masing-masing persamaan, koefisien a0 = 1. 3. Ambil sebarang koefisien dari ak-c dan ak-d pada Up dan Uq di mana c≠d, k≥c dan k ≥ d, k, c, dan d bilangan-bilangan bulat positif, maka: p k −c p k − d ≠ qk −c qk −d
Bukti: k −c k −d Andaikan pk − c = pk − d , maka pk-c.qk-d = pk-d.qk-c, berarti selesaiannya k-c q q
= k-d ⇔ c = d atau p = q, padahal c ≠ d dan p ≠ q (kontradiksi). Jadi
pk −c pk −d ≠ . Karena qk −c qk −d
pk −c pk −d ≠ , maka dapat disimpulkan qk −c qk −d
bahwa System persamaan linier itu mempunyai selesaian tunggal.
5
Contoh: 1. Tentukan suku ke n yang mungkin dari barisan bilangan berikut ini: a. 3, 5, 7, …
b. 1, 3, 6, 10, ….
Jawab: a. Dari barisan bilangan pada soal a) di atas dapat ditulis dengan pasangan bilangan: (1,3), (2,5), (3, 7),….Karena diketahui tiga pasangan bilangan maka digunakan persamaan fungsi kuadrat, yaitu f(n) = a2n2 + a1n + a0. (1, 3) ⇒ f(1) = a2(1)2 + a1(1) + a2
+ a1
+ a0
(2, 5) ⇒ f(2) = a2(2)2 + a1(2) + 4a2
+ 2a1 + 3a1
a0
+ a0
(3, 7) ⇒ f(3) = a2(3)2 + a1(3) + 9a2
a0
a0
+ a0
= 3 =
3 ………………………………(1)
= 5 =
5 ………………………………(2)
= 7 =
7 ………………………………(3)
Dari uraian di atas diperoleh tiga persamaan linier, yaitu: a2
+ a1
+ a0
=
3 ………………………………(1)
4a2
+ 2a1
+ a0
=
5 ………………………………(2)
9a2
+ 3a1
+ a0
=
7 ………………………………(3)
Ketiga persamaan linier di atas dihitung masing-masing nilai a2, a1, a0. diperoleh jawaban: a2 = 0, a1 = 2, dan nilai a0 = 1, disubstitusikan pada bentuk umum fungsi kuadrat, yaitu:. f(n) = a2n2 + a1n + a0. f(n) = 0n2 + 2n + 1 f(n) = 2n + 1 Jadi suku ke n dari barisan bilangan itu adalah f(n) = 2n + 1 atau biasa ditulis Un = 2n + 1 Apakah ada kemungkinan jawaban lain yang tidak sama dengan Un = 2n + 1, Tetapi memenuhi ketiga suku pertama barisan bilangan itu? Lihat barisan di bawah ini:
6
Untuk Un = 2n + 1, maka suku ke 4 adalah U4 = 2(4) + 1 = 9. Kemudian suku ke 4 dipilih sebarang bilangan selain 9, misalnya dipilih 15, sehingga barisan itu menjadi: 3, 5, 7, 15, …atau ditulis: (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 15), ….kemudian tentukan fungsi polinom berderajat 3 yang memenuhi keempat pasangan bilangan itu. f(n) = a3n3
+ a2n2
(1,3) ⇒ f(1) = a3(1)3 a3 (2,5) ⇒ f(2) = a3(2)
3
(3,7) ⇒ f(3) = a3(3)
=
3
+ a2
=
3 ……………(1)
+ a1 2
+ 4a2 3
+ a2(3)
27a3
2
+ 9a2 3
(4,15) ⇒ f(4) = a3(4) + a2(4) 64a3
+ a0
+ a2(1)2 + a1(1) + a0 + a2(2)
8a3
+ a1n
+ 16a2
2
+ a0
+ a1(2) + a0
= 5
+ 2a1
+ a0
=
5 ……………(2)
+ a1(3) + a0
=
7
+ 3a1
=
7 ……………(3)
+ a0
+ a1(4) + a0 + 4a1
+ a0
= 15 =
15 ……………(4)
Dari 4 persamaan linier 4 peubah di atas, diperoleh nilai: a3 = 1, a2 = -6, a1 = 13, dan a0 = -5. Sehingga suku ke n dari barisan itu, f(n) = n3 – 6n2 + 13 n – 5, atau dapat ditulis: Un = n3 – 6n2 + 13 n – 5. Jawab contoh soal 1.b Menentukan suku ke ndari barisan bilangan: 1, 3, 6, 10, … . Barisan bilangan itu dapat ditulis: (1, 1), (2, 3), (3, 6), (4, 10), … (1,1) ⇒ f(1) = a3(1)3 a3 (2,3) ⇒ f(2) = a3(2)3 8a3 (3,6) ⇒ f(3) = a3(3)3 27a3
+ a2(1)2 + a1(1) + a0
=
1
+ a2
=
1 ……………(1)
+ a1
+ a0
+ a2(2)2 + a1(2) + a0
= 3
+ 4a2
+ a0
=
3 ……………(2)
+ a2(3)2 + a1(3) + a0
=
6
+ 9a2
=
6 ……………(3)
+ 2a1 + 3a1
+ a0
(4,10) ⇒ f(4) = a3(4)3 + a2(4)2 + a1(4) + a0 64a3
+ 16a2
+ 4a1
+ a0
= 10 =
10 ……………(4)
Dari 4 persamaan linier 4 peubah di atas, diperoleh nilai: a3 = 0, a2 = ½, a1 = ½, dan a0 = 0. Sehingga suku ke n dari barisan itu:
7
f(n) = 0n3 + ½ n2 + ½ + 0 f(n) = ½ n2 + ½ ⇔ f(n) = ½n(n + 1) ⇔ f(n) =
n(n + 1) n(n + 1) sehingga Un = . 2 2
Contoh: 2 Tentukan suku ke n yang mungkin dari barisan bilangan, jika U1 = 3, U3 = 21, U6 =78. Jawab: Barisan bilangan di atas dapat ditulis: 3, U2, 21, U4, U5, 78, U7,… sehingga diperoleh tiga pasangan bilangan: (1, 3), (3, 21), (6, 78). Karena diketahui tiga pasangan bilangan, maka dapat digunakan bentuk umum persamaan fungsi kuadrat, yaitu: f(n) = a2n2 + a1n + a0. (1, 3) ⇒ f(1) = a2(1)2 + a1(1) + a2 + a1
a0
+ a0 = 3 .………………………………(1)
(3, 21) ⇒ f(3) = a2(3)2 + a1(3) + a0 9a2
+ 3a1 + a0
(6, 78) ⇒ f(3) = a2(6)2 + a1(6) + a0 36a2
= 3
+ 6a1 + a0
= 21 = 21 ………………………………(2) = 78 = 78 ………………………………(3)
Ketiga persamaan linier di atas dihitung masing-masing nilai a2, a1, a0. diperoleh jawaban: a2 = 2, a1 = 1, dan nilai a0 = 0, disubstitusikan pada bentuk umum fungsi kuadrat, yaitu:. f(n) = a2n2 + a1n + a0. f(n) = 2n2 + 1n + 0 f(n) = 2n2 + n f(n) = n(2n + 1) Jadi suku ke n dari barisan bilangan itu adalah f(n) = n(2n + 1) atau biasa ditulis Un = n(2n + 1)
8
Kesimpulan: 1. Barisan bilangan U1, U2, U3, …, Un,… dapat ditulis dalam bentuk pasangan bilangan (1, U1), (2, U2), (3, U3), …,(n, Un), …. 2. Jika diketahui barisan bilangan Up1 = q1, Up2 = q2, Up3 = q3, … sebanyak k suku dengan q1, q2, q3, … bilangan-bilangan real dan p1, p2, p3, … bilangan-bilangan bulat positif dengan p1 ≠ p2 ≠ p3 ≠ … maka barisan itu dapat ditentukan suku ke n nya yang mungkin dalam bentuk: Un = ak-1nk-1 + ak-2nk-2 + … + a2n2 + a1n + a0 3. Suku ke n yang mungkin dari suatu barisan bilangan banyaknya tak hingga.
9
DAFTAR PUSTAKA Daiman, E, dan Dewi, Tri. 1995. Penuntun Belajar Matematika Untuk SMU Kelas II. Bandung: Ganeca Exact. Kadiawarman. 1992. Fisika Dasar I. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan MenengahBagian Proyek Penataran Guru SLTP Setara D-III, Universitas Terbuka. Kaufman, J.E. 1983. Intermediate Algebra for College Students. Boston: WesterIllinois University. Keedy, M.L, dan Bittinger, M.L. 1981. Algebra for college Students. Indianapolis: Puedie University. Larson, R.E, dan Hosteller, R.P Tanpa tahun. Algebra and Trigonometry. (2nd Ed). D.C Health and Company. Moesono, D., dkk. 1994. Matematika 1a Untuk SLTP Kelas I. Jakarta: Balai Pustaka. Nasution, A.H, dkk. 1993. Matematika I Untuk SMU Kelas I. Surabaya: PT. Karya Pembina Swajaya. Roseu, K.H. 1991. Discrete Mathematics and Its Aplications. (2nd Ed).New York: MC Grow-Hill, INC. Salladien. 1980. Konsep Dasar Demografi. Surabaya: PT. Bina Ilmu. Sembiring, Suah. 1986. Penuntun Pelajaran Matematika Untuk SMU Kelas II. Bandung: Ganeca Exact.
10
DATA PRIBADI NAMA
:
WARMAN SPd
NIP
:
196111251984031007
TTGL
:
CILACAP, 25 NOPEMBER 1961
ALAMAT
:
RT.02 RW.01 DESA SLUMBUNG KEC. GANDUSARI BLITAR
ALAMAT KERJA
:
SMP N 1 GANDUSARI JL. KELUD SEMEN GANDUSARI BLITAR
TILP. RUMAH
:
(0342) 695243
HP
:
085234973125
NO. E-MAIL
:
[email protected]
11
