SISTIM PERSAMAAN LINIER. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

SISTIM PERSAMAAN LINIER

Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ [email protected]

DEFINISI : Persamaan Linier

Persamaan Linier dalam n peubah x1 , x2 , xn dinyatakan dalam bentuk a1 x1  a2 x2    an xn  b

dimana

a1 , a2 , an , b  R

Pemecahan persamaan linier diatas adalah urutan dari n bil. s1 , s2 ,  , sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila

x1  s1 , x2  s2 ,, xn  sn Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya. (HP)

Definisi : Sistim Persamaan Linear Sistim Persamaan Linier adalah sebuah himpunan berhingga dari m persamaan linier (i) dengan n peubah (j) : a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x    a x  b  21 1 22 2 2n n 2 atau       am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm

dengan

n

a x j 1

ij

j

 bi

x1 , x2 , xn peubah, a1 , a2 , an , bi konstanta

Sistim Persamaan Linier dari m persamaan linier dengan n peubah, dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dengan  a11   a21 A   a  m1

AX  B a12  a1n   x1   b1       a22  a2 n   x2   b2  ; X  ; B               x  b  am 2  amn   n  m

Matriks lengkap atau augmented matriks dari Sistim Persamaan Linier

AX  B adalah  a11  a 21  AB    am1

a12  a1n b1   a22  a2 n b 2      am 2  amn b m 

Terlihat jika transformasi elementer dilakukan pada (AB) maka sistem persamaan linier yang timbul akan ekuivalen dengan sistem persamaan linier yang diberikan. Dalam sistem AX=B, jika matriks AB dibawa ke bentuk kanonik/matriks eselon baris tereduksi CK maka sistem persamaan CX=KAX=B. Ini berarti penyelesaian persamaan CX=K juga merupakan penyelesaian persamaan AX=B dan sebaliknya

CONTOH Selesaikan sistim persamaan linier berikut

x  2y  z  2 3x  y  2 z  1 4x  3y  z  3 2x  4 y  2z  4

Matriks lengkap dari sistim tersebut

1 2 1 2   3 1  2 1  AB    4  3  1 3   2 4 2 4 Akan dibawa ke bentuk kanonik

1  3  4  2

2 1 2  1  2 1  3  1 3  4 2 4

E2 ( 15 ), E32 (11), E12 (2)

1 0  0 1  0 0  0 0

 1 0  1 1 6 6  0 0

E21(-3), E31(-4), E41(-2)

1  0  0  0

2 1 2   5  5  5  11  5  5  0 0 0 

E3 ( 16 ), E23 (1), E13 (1)

1 0 0 1   0 1 0 0   0 0 1 1    0 0 0 0

Matriks kanonik/matriks eselon baris tereduksi

Dapat dilihat x 1 y0 z 1

Vektor penyelesaiannya 1    X  0  1

Sebuah sistim persamaan linier ada 3 kemungkinan pemecahannya : (1) Tepat satu pemecahan; (2) Takterhingga pemecahan; (3) Tidak punya pemecahan Sebuah sistim persamaan linier yang mempunyai pemecahan (=konsisten) sedang sistim persamaan linier yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan (=takkonsisten).

SIFAT-SIFAT Sistem AX=B terdiri atas m persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui mempunyai penyelesaian konsisten jika dan hanya jika r(A)=r(AB) Sistem AX=B inkonsisten jika dan hanya jika r(A)r(AB)

Jika sistem AX=B konsisten dengan r(A)
Jika (n-r) bilangan tak diketahui sudah dipilih (sebarang) maka r bilangan tak diketahui yang lain tertentu dengan tunggal.

CONTOH Selesaikan sistim persamaan linier berikut (3 persamaan linier dalam 4 bilangan tak diketahui)

x1  2 x2  3x3  4 x4  6 x1  3x2  x3  2 x4  4 2 x1  5 x2  2 x3  5 x4  10

Matriks lengkap dari sistim tersebut 1 2 - 3 - 4 6    AB  1 3 1 - 2 4  2 5 - 2 - 5 10 E32(-1), E12(-2)

1 0 - 11 - 8 10    2  2 0 1 4 0 0 0 1 0 

E21(-1) dan E31(-2)

1 2 - 3 - 4 6    0 1 4 2  2  0 1 4 3  2 E23(-2), E13(8)

1 0 - 11 0 10    0 1 4 0  2  0 0 0 1 0 

Matriks kanonik/matriks eselon baris tereduksi

r(A)=r(AB)=3 → sistem persamaan linier diatas mempunyai penyelesaian [(4-3=1) bilangan tak diketahui menjadi parameter]

Terlihat

x4  0 x2  4 x3  2  x2  2  4 x3

x1  11x3  10  x1  10  11x3 Misal x3 =  maka x2  2  4 dan x1  10  11 Jadi vektor penyelesaian adalah

10  11   2  4   ,   R X       0 

Sistem Persamaan Linear HOMOGEN a11 x1  a12 x2    a1n xn  0 a x  a x    a x  0  21 1 22 2 2n n atau       am1 x1  am 2 x2    amn xn  0

a x n

ij

j 1

Penulisan dalam bentuk matriks

 a11   a21    a  m1

a12  a1n  x1   0      a22  a2 n  x 2   0               am 2  amn  xn   0 

j

0

Matriks lengkap Sistem tersebut adalah  a11  a21  AO    am1

a12  a1n 0  a22  a2 n 0     am 2  amn 0

r(A)=r(AO), ini menunjukkan SPL Homogen pasti mempunyai penyelesaian nol/trivial

X  0 0  0

Jika r(A)=n → trivial Jika r(A)
CONTOH Selesaikan sistim persamaan linier homogen berikut (2 persamaan dalam 3 bilangan tak diketahui)

x1  2 x2  3x3  0 x1  x2  2 x3  0 (1) Penyelesaian trivial

X  x1

x2

x3   0 0 0

Matriks lengkap

1  2 3 0   1 1 2 0

r(A)=r(AO)=2<3 E21(-1)

1  2 3 0   0 3  1 0 

E2(1/3), E12(2)

1 0  0 1

7 3 1 3

0  0

Karena r(A)=r(AO)=2<3, maka sistem tersebut juga mempunyai penyelesaian non trivial.

Dari bentuk kanonik terlihat x1  73 x3  0  x1   73 x3 x2  13 x3  0  x2  13 x3

Misal x3 =  maka x   dan x    Jadi vektor penyelesaian adalah 2

1 3

X   37 

1

1 3



7 3

 ,   R

Sistem Persamaan Linear

NON HOMOGEN

a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x    a x  b  21 1 22 2 2n n 2 atau       am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm

a x n

ij

j 1

Penulisan dalam bentuk matriks

 a11   a21    a  m1

a12  a1n  x1   b1      a22  a2 n  x 2   b2               am 2  amn  xn   bm 

j

 bi

Matriks lengkap Sistem tersebut adalah

 a11  a 21  AB     am1

a12  a1n b1   a22  a2 n b2      am 2  amn bm 

Sistem persamaan linier non homogen mempunyai penyelesaian/konsisten jika r(A)=r(AB).

Jika sistem persamaan linier non homogen konsisten maka penyelesaian bisa tunggal bisa tak berhingga banyak. Khusus untuk m=n, penyelesaian 1. Tunggal jika det(A)0 2. Banyak jika det(A)=0

CONTOH

Selesaikan sistim persamaan linier non homogen berikut

x1  x2  2 x3  8  x1  2 x2  3x3  1 3x1  7 x2  4 x3  10

Matriks lengkap dari sistim tersebut

1 1 2 8   AB   1  2 3 1   3  7 4 10 E2(-1),E32(10), E12(-1)

1 0 7 17    0 1  5  9   0 0  52  104

E21(1) dan E31(-3)

1 1 2 8    0  1 5 9  0  10  2  14 E3 ( 521 ), E23 (5), E13 (7)

1 0 0 3   0 1 0 1   0 0 1 2

Matriks kanonik/matriks eselon baris tereduksi

r(A)=r(AB)=3 →konsisten. Jadi penyelesaiannya adalah

X  x1

x2

x3   3 1 2

SPL non homogen diatas mempunyai tepat satu penyelesaian tunggal.

CONTOH

Selesaikan sistim persamaan linier non homogen berikut

x  y  2 z  w  1  x  2 y  4z  w  1 3x  3w  3

Matriks lengkap dari sistim tersebut  1  1 2  1  1   AB   1 2  4 1 1   3 0 0  3  3 E32(-3), E12(1)

1 0 0  1  1   0 1  2 0 0  0 0 0 0 0 

E21(1) dan E31(-3)

1  1 2  1  1   0 1  2 0 0  0 3  6 0 0  Matriks kanonik r(A)=r(AB)=2 →konsisten.

SPL menjadi 2 persamaan 4 variabel, jadi 2 variabel menjadi parameter

y  2 z  0  y  2 z dan x  w  1  x  1  w Misal w =  dan z =  maka y  2 & x  1   Jadi vektor penyelesaian adalah

 1     2  ,  ,   R X        

Banyak tak hingga penyelesaian

CONTOH

Selesaikan sistim persamaan linier non homogen berikut

2 x  3 y  2 2x  y  1 3x  2 y  1

Matriks lengkap dari sistim tersebut

 2  3  2   AB  2 1 1  3 2 1  E2 ( 14 ), E32 ( 213 ), E12 ( 32 )

1 0 18    3 0 1 4   0 0 87 

E1 ( 12 ), E21 (2(\), E31 (3

1 23  1   0 4 3   0 132 4  Matriks kanonik r(A)=2(AB)=3 inkonsisten.

Penyelesaian SPL 1

2 3 4

• ATURAN CRAMER

• MENGHITUNG A-1 ; X=A-1B.

• ELIMINASI GAUSS DENGAN SUBTITUSI BALIK • ELIMINASI GAUSS-JORDAN

1. Aturan Cramer Jika AX = B sistem persamaan linier yang terdiri dari n persamaan linier dalam n peubah dan │A│≠0, maka det( An ) det( A1 ) det( A2 ) x1  , x2  ,  , xn  det( A) det( A) det( A)

Aj matriks yang diperoleh dengan menggantikan entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri dalam matriks kolom B.

CONTOH Diberikan sistim persamaan linier sbb x  y  2z  9 2 x  4 y  3z  1 3x  6 y  5 z  0 1 1 2 1 1 A  2 4 - 3 2 4  20  9  24  24  18  10  1 3 6 -5 3 6

9 1 2 9 1 A x  1 4 - 3 1 4  180  0  12  0  162  5  1 0 6 -5 0 6 1 9 2 1 9 A y  2 1 - 3 2 1  5  81  0  6  0  90  2 3 0 -5 3 0 1 1 91 1 A z  2 4 1 2 4  0  3  108  108  6  0  3 3 6 03 6

 x  1 Ay     Ax Az x  1; y   2; z   3;  y    2  A A A  z   3    

2. Menghitung A-1; X=A-1B.

Jika A matriks nxn yang invertible, maka untuk setiap matriks B yang berukuran nx1, sistem persamaan linier AX=B mempunyai tepat satu pemecahan, yakni X=A-1B

CONTOH Diberikan sistim persamaan linier sbb

x  y  2z  9 2 x  4 y  3z  1 3x  6 y  5 z  0

1 1 2  x  9       A  2 4 - 3; X   y  ; B  1 3 6 - 5  z  0

Dihitung A-1 1 1 2 1 0 0  2 4  3 0 1 0   3 6  5 0 0 1 E21 (2) dan E31 (3)

E2 ( 12 )

1 0 0 1 2 2 0 2  7  2 1 0    0 3  11  3 0 1

1 0 0 1 1 2 0 1  7  1 1 0  2 2   0 3  11  3 0 1

E32 (3) dan E12 (1)

E3 ( 2)

1 0 112 0 1  7 2  0 0  12

1 0 112 0 1  7 2  0 0 1

E23 ( 72 ) dan E13 ( 112 )

2  12  1 12 0 3

2  12  1 12 0  32

0 0 1

0 0   2

1 0 0 2  17 11  0 1 0  1 11  7   0 0 1 0 3  2

 2 - 17 11 A 1  - 1 11 - 7  0 3 - 2

 2 - 17 11 9 1        1 X  A B  - 1 11 - 7  1  2  0 3 - 2 0 3

 x  1   y   2      z  3

3. Eliminasi Gauss dgn Subtitusi Balik

Metode ini didasarkan pereduksian matrix

menjadi

pada

augmented matriks

berbentuk eselon baris.

CONTOH Diberikan sistim persamaan linier sbb

x  y  2z  9 2 x  4 y  3z  1 3x  6 y  5 z  0 augmented matrix dari sistim tersebut 1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0

1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0

E21(-2) dan E31(-3)

E2 ( 12 )

9  1 1 2 0 2  7  17    0 3  11  27 9  1 1 2 0 1  7 17  2 2   0 3  11  27

1 1 0 1  0 0

E32(-3)

E3 ( 2)

2 7 2 1 2

1 1 0 1  0 0

9 17  2  3  2  2 7 2

1

9 17  2  3 

Matriks eselon baris

Sistim persamaan linier menjadi x  y  2z  9 y z 7 2

z 3

diperoleh

z 3 y2 x 1

17 2

3. Eliminasi Gauss Jordan

Metode ini didasarkan

pereduksian matrix

menjadi

pada

augmented matriks

berbentuk eselon baris terreduksi

CONTOH

Diberikan sistim persamaan linier sbb x  y  2z  9 2 x  4 y  3z  1 3x  6 y  5 z  0

augmented matrix dari sistim tersebut 1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0

1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0

E21(-2) dan E31(-3)

E2 ( 12 )

9  1 1 2 0 2  7  17    0 3  11  27 9  1 1 2 0 1  7 17  2 2   0 3  11  27

1 1 0 1  0 0

E32(-3)

E3 ( 2)

E23 ( 72 )

2 7 2 1 2

1 1 0 1  0 0

9 17  2  3  2  2 7 2

1

9 17  2  3 

1 1 2 9  0 1 0 2    0 0 1 3

E12 (1)

1 0 2 7  0 1 0 2    0 0 1 3

E13 (2)

Matriks eselon baris tereduksi

1 0 0 1  0 1 0 2    0 0 1 3

 x  1      y    2  z   3    