MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

MATRIKS

Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ [email protected]

DEFINISI MATRIKS Suatu daftar bilangan-bilangan real atau kompleks terdiri atas m baris dan n kolom, m dan n bilangan bulat positip disebut matriks ber-ordo mxn Setiap bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen dari matriks itu. Notasi untuk matriks digunakan huruf besar, sedangkan untuk entrinya digunakan huruf kecil.

Bila A adalah matriks yang ber-ordo mxn, maka A, bisa ditulis sebagai :

A mxn

 a11 a  21   aij       am1

a12 a22    am 2

a13 a23    am 3

     

     

     

a1n   a2 n       amn 

A mxn  aij ; i  1,2,3,... m ; j  1,2,3,... n

A1  a11 , a12 , a13 ,, a1n    A 2  a21 , a22 , a23 ,, a2 n     vektor - vektorbarismatriksA  A m  am1 , am 2 , am 3 ,, amn    a11   a12   a1n  a  a  a  21 22 2n (1) (2) (n)       A  , A  , ,A                 am1  am 2  amn       vektor vektorkolomm atriks

D

TRANSPOSE MATRIKS

E

Transpose matriks A berordo mxn adalah

F

matriks At berordo nxm yang disusun sbb :

I N

Baris 1 matriks A menjadi kolom 1 matriks At

I

Baris 2 matriks A menjadi kolom 2 matriks At

S

.....dan seterusnya…..

I

Baris m matriks A menjadi kolom m matriks At

SIFAT Transpose Matriks Misalkan k skalar, A dan B matriks, At & Bt transpose matriks A dan B, maka : 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (k A)t = k At

4. (AB)t = Bt At

Matriks yang semua unsurnya sama dengan 0 disebut matriks nol [O]. Jika dalam suatu matriks banyaknya kolom sama dengan banyaknya baris maka matriks itu disebut dengan matriks bujursangkar [Anxn]. Dalam matriks bujursangkar unsurunsur a11 , a22 ,  ann disebut unsur-unsur diagonal , sedangkan

a n

ii

 a11  a22    ann

i1

disebut trace dari matriks itu.

ALJABAR MATRIKS 1

2

3

4

• Kesamaan Matriks • Penjumlahan Matriks • Perkalian Matriks

• Perpangkatan Matriks

1. Kesamaan Matriks Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A=B), jika dan hanya jika 1. Ordo matriks A = ordo matriks B 2. Semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai sama aij = bij (untuk semua nilai i dan j)

2. Penjumlahan Matriks Penjumlahan matriks terdefinisi jika ordo masing-masing matriks sama dan dilakukan dengan cara menjumlahkan entri yang bersesuaian dalam matriksmatriks tersebut. A  (aij ); B  (bij )  A  B  (aij  bij ) i  1,2,m dan j  1,2,, n

3. Perkalian Matriks Jika A adalah matriks mxr dan B adalah matriks rxn, maka hasilkali AB adalah matriks mxn yang entri-entrinya ditentukan sbb : Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i matriks A dan kolom j B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.

Definisi perkalian matriks mengharuskan bahwa banyaknya kolom dari faktor pertama A harus sama seperti banyaknya baris dari faktor kedua B supaya membentuk hasilkali AB. Jika kondisi ini tidak dipenuhi, maka hasil tersebut tidak dapat didefinisikan.

A  (aij ); B  (b jk )  C  AB  (cik )  cik   aijb jk n

j 1

i  1,2,  m; j  1,2, , r ; k  1,2,, n cik elemen baris ke i dan kolom ke k dari C

Perkalian Bil. Real (Skalar) thd Matriks Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu bilangan real (skalar), maka hasil kali (product) kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masingmasing entri dari A oleh k.

A  (aij ); k skalar  kA  (kaij ) i  1,2, m dan j  1,2,, n

4. Perpangkatan Matriks Jika A adalah matriks bujursangkar (matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama), maka

1. A  A A A     n

n faktor

2. A  I n 1 n 1 1 1 3. A  (A )  A  A A   0

n faktor

SIFAT MATRIKS 1 Misalkan A, B, C, dan O adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan matriks : 1. Bersifat komutatif A+B=B+A 2. Bersifat asosiatif (A+B)+C=A+(B+C) 3. Tdp matriks identitas (O) A+O=O+A=A 4. Semua matriks A mempunyai –A A+(-A)=O

SIFAT MATRIKS 2 Misalkan k dan l skalar, A, B, dan C matriks-matriks, maka perkalian matriks memenuhi sifat berikut : 1. Tdk komutatif (kecuali matriks khusus) 2. Assosiatif (AB)C=A(BC) 3. Distributif A(B+C)=AB+AC & (A+B)C=AC+BC 4. k(AB) = (kA)B = A(kB) 5. (k A)(l B) = (k l)(AB) 6. Jika AB = O, belum tentu A=O atau B=O 7. Jika AB = AC, belum tentu B = C

SIFAT MATRIKS 3 Misalkan k & l skalar, A dan B matriks-matriks berordo mxn, maka perkalian skalar dengan matriks memenuhi : 1. (k + l)A = k A + l A 2. k(A+B) = k A + k B 3. k(l A) = (k l)A

4. 1A = A 5. (-1)A = -A

SIFAT MATRIKS 4 Jika k dan l bilangan bulat, A matriks bujursangkar, maka

1. A A  A k

2. A

l

k



l

A

k l

kl

JENIS MATRIKS 1. Matriks segitiga atas : matriks bujursangkar dengan aij = 0 untuk setiap i > j 2. Matriks segitiga bawah : matriks bujursangkar dengan aij = 0 untuk setiap i < j 3. Matriks diagonal : matriks yang sekaligus matriks segitiga bawah & matriks segitiga atas 4. Matriks skalar : matriks diagonal dengan semua elemen diagonalnya sama

JENIS MATRIKS (lanj) 5. Matriks identitas : matriks skalar dgn elemen diagonalnya sama dengan 1 6.

Matriks idempoten : matriks bujursangkar A dengan sifat A2 = A

7.

Matriks nilpoten : matriks bujursangkar A dengan sifat Ar = 0 untuk suatu bilangan bulat r≥0

JENIS MATRIKS (lanj) 8. Matriks simetri : matriks bujursangkar dengan sifat A = At 9.

Matriks skew simetri : bujursangkar dengan sifat A = -At

matriks

CONTOH 1 Hitunglah hasil tambah dan hasil kali matriks dengan bilangan dibawah ini. 1 2  1 0   3  4 1 2  a. 4 0 2 1  1 4 0 3  2  5 1 2 2  2 3  1 1 2  1 0 b. - 14 0 2 1 2  5 1 2

1 2  1 0   3  4 1 2   4  2 0 2  a. 4 0 2 1  1 4 0 3   5 4 2 4 2  5 1 2 2  2 3  1 4  7 4 1 

0 1 2  1 0    1  2 1     b. - 14 0 2 1    4 0  2  1  2  5 1 2  2 5  1  2

CONTOH 2 Bila

1 2   3  2     A  3 4 dan B   1  5 5 6  4 3  Hitunglah matriks D sehingga A+B –D = 0

Jawab

A B  D  0  D  A B

1 2  3  2  2 0        D  3 4   1  5   4  1 5 6  4 3   9 9 

CONTOH 3 Misal

 1 2 3  1 5  2   dan B    A    1 0 2   2 2 1  Tentukan A+B, 3B, -2B, A+2B, 2A+B, A-B, A-2B, B-A , At , Bt

Jawab  1 2 3    1 5  2   0 7 1        A  B     1 0 2   2 2  1   1 2 1   1 5  2    3 15  6      3B  3  2 2 1   6 6  3

  1 5  2   2  10 4       2B  2  2 2 1    4  4 2   1 2 3    2 10  4    2 12  1        A  2B    1 0 2   4 4  2   3 4 0 

 2 4 6   1 5  2   1 9 4         2 A  B     2 0 4   2 2 1   0 2 3   1 2 3   1 5  2   2  3 5        A  B    1 0 2   2 2 1    3  2 3

 1 2 3    2 10  4   3  8 7         A  2B    1 0 2   4 4  2    5  4 4 

 1 5  2   1 2 3    2 3  5        B  A    2 2 1   1 0 2   3 2  3  1  1   t A  2 0  3 2   

 1 2    t B  5 2   2  1  

CONTOH 4 Misal

 1  1  1 1   dan B    A   2 2   0  3 Tentukan At , Bt , (A+B)t dan At+Bt , A+At B+Bt

Jawab

1 A    1 1 ( A  B)   2 t

2  1 0  t  dan B    2  1  3  1   1 1   0 0         2   0  3   2  1

0 2   ( A  B)    0  1 t

 1 2   1 0   0 2         A  B     1 2   1  3  0  1 t

t

 1  1  1 2   2 1         A  A    2 2   1 2   1 4  t

 1 1   1 0    2 1         B  B    0  3  1  3  1  6  t

CONTOH 5 Hitunglah hasilkali matriks-matriks berikut 2   a. 4 5 6  3   17    1   2  8 10 12      b.  3 4 5 6   12 15 18    1   4  5  6     1  2 3 4    20   2     c.   1 5 6  3   29   