INVERS MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INVERS MATRIKS

Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ [email protected]

Definisi : INVERS Jika A matriks bujursangkar, dan jika dapat dicari matriks B sehingga AB = BA = I, Maka A dikatakan invertible dan B dinamakan invers (inverse) dari A. [B=A-1]

AA  A A  I 1

1

Ketunggalan Invers D Jika B & C adalah invers matriks A, E maka B=C. F Bukti I Karena B dan C invers matriks A sehingga N AB = BA = I dan AC = CA = I I Ambil (BA)C maka (BA)C = IC = C……(1) S Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B………...(2) I Dari (1) dan (2) diperoleh B = C ■

Matriks Invertible

S I F A T

Jika A, B matriks-matriks invertible dan berordo sama, maka 1. AB invertible 2. (AB)-1 = B-1A-1 3. A-1 invertible dan (A-1)-1 = A

4. An invertible & (An)-1=(A-1)n, n= 0,1,2,.. 5. Setiap skalar k0, maka kA invertible &

(kA) 1  k 1A 1

Bukti 1 Karena A & B matriks invertible, berlaku AB=BA=I → B=A-1 dan BA=AB =I → A=B-1 AB = B-1 A-1 = BA = A-1 B-1 = I (AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B = B-1IB = I Dari (AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = I Maka AB invertible ■ Bukti 2 Karena AB invertible maka (AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = I Jadi (AB)-1 = B-1A-1 ■

Bukti 3 Karena A invertible, berlaku A A-1 = A-1 A=I Jadi A-1 invertible & A invers A-1 → (A-1)-1 =A ■

Bukti 4 1 1 1 A n (A1 ) n  (A  A  A )( A  A  A     ) n faktor

n faktor

 AA  (AA 1 )  A 1A 1  AA  (I) A 1A 1 1 1 1 1  A  (AIA )  A  A  (I) A  AIA  I A n (A1 ) n  (A1 ) n A n  I  A n invertible n 1 1 n sehingga (A )  (A )

Bukti 5 1 1 1 1 1 1 (kA)( k A )  k (A k )A  k ( k A )A 1 1  k k (AA )  1I  I 1 1 1 1 1 1 ( k A )(kA)  k (A k )A  k (kA )A 1 1  k k (A A)  1I  I 1 1 1 1 Dari (kA)( k A )  ( k A )(kA )  I 1 1 1 Jadi k A  (kA )

Sebuah matriks bujursangkar A T invertible  det(A)≠0 E O Bukti ) R A invertible maka E -1 AA =I -1 det(A)det(A )=det(I)=1. M Jadi det(A)0■ A

) Bukti det(A)0. Ditunjukkan AI (A matriks elementer → A invertible) Misal R matriks eselon baris terreduksi dari A, maka dapat dicari matriks-matriks elementer E1,…,Ek sehingga Ek…E1A = R A = E1-1 … Ek-1R det(A)=det(E1-1)…det(Ek1)det(R)

Karena det(A)0det(R)0, jadi R tidak mempunyai barisan bilangan nol, dan matriks tersebut dapat direduksi menjadi matriks identitas shg R=I. Jadi A invertible■

S Suatu matriks invertible dapat diuraikan atas I matriks-matriks elementer [dapat F dinyatakan sebagai hasil A ganda matriks-matriks elementer]

T

Bukti : Misalkan matriks A invertible maka dengan menggunakan sejumlah transformasi pada baris dan kolomnya, matriks A dapat dijadikan matriks identitas. Hasil dari transformasi-transformasi itu dapat dicapai dengan menggandakan A dari kiri [R] dan menggandakan A dari kanan [K]

R s  R 2 R 1 A K1K 2  K t  I R s  R 2 R 1 A K1K 2  K t (K1K 2  K t ) 1  (R s  R 2 R 1 ) 1 I (K1K 2  K t ) 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 R s  R 2 R 1 A K1K 2  K t K t  K 2 K1  R 1 R 2  R s I K t  K 2 K1

(R s  R 2 R 1 ) 1 -1 -1 -1 R1 R 2 R s

-1

-1

-1

R1 R 2  R s R s R 2R1 -1 -1 R1 R 2  I R 2R1    -1 -1 R1 R2 R2 R1 -1 R1 I R1 -1 R1 R1 I

1

-1

-1

A K1K 2  K t K t  K 2 K 1 -1 -1 A K1K 2  I  K 2 K1     -1 -1 A K1 K 2K 2 K1 -1 A K1 I K1 -1 A K1K1 A I A

       

-1

-1

1

1

-1

-1

R 1 R 2  R s I K t  K 2 K1 -1 -1 1 1 -1 -1 R 1 R 2  R s I K t  K 2 K1    -1 -1 1 1 -1 -1 R 1 R 2  R s I K t  K 2 K1 -1 -1 1 1 -1 -1 R 1 R 2  R s I K t  K 2 K1 -1 -1 1 1 -1 -1 R 1 R 2  R s I K t  K 2 K1 -1 -1 1 1 -1 -1 R 1 R 2  R s I K t  K 2 K1 -1 -1 1 1 -1 -1 R 1 R 2  R s I K t  K 2 K1

terbukti■

Jadi (1) matriks invertible [A invertible → AA-1 = A-1A = I → A-1 invertible] dpt diuraikan atas matriks-matriks elementer & (2) matriks elementer diperoleh dr operasi

baris elementer tunggal pd I. [definisi] berakibat (3) matriks invertible dpt direduksi menjadi matriks identitas I dgn melakukan operasi elementer pada baris-barisnya.

Untuk mereduksi A menjadi I mendapatkan

A-1

dapat

dan

dikerjakan

bersama. Sebab R1I adalah hasil jika operasi ke-1 dikerjakan pada baris-baris I.

Kemudian R2(R1I) adalah hasil jika operasi

ke-2

dikerjakan

Demikian seterusnya.

pada

R1I.

SIFAT Matriks Elementer

1. I ij   I ij  I ji 1

2. I i (k )  I i  1

1 k



3. I ij (k )  I ij  k  1

TEOREMA Setiap matriks elementer adalah invertible dan inversnya merupakan matriks elementer.

Bukti :

I ij (I ij )  I  (I ij )  I ij jenis 1 1

1

I (k )I (k )

1

i

i

 I  I i (k )  I i ( 1k ) jenis 2 1

I ij (k )I ij (k )  I  Iij (k )  I ij (k ) jenis 3 1

1

CONTOH – 1 Uraikan matriks berikut atas matriksmatriks elementer

 3 1  A    4 2

Dengan memakai a. Operasi baris b. Operasi baris dan satu kolom c. Operasi baris dan dua kolom d. Operasi baris dan tiga kolom e. Operasi kolom

a. Operasi baris 1 1   3 1 1 1 3   I 21 (4)   I1 ( 3 ) 2 0 4 2     4 2   3 1 1 0 1     3 3 1  I12 ( 3 )   I 2 I 2 ( 2 ) 1   0 1  0 1 3

1 0 3 1 3 1 1    I12 ( 3 ) I 2 ( 2 ) I 21 (4) I1 ( 3 )     4 2   0 1   dari kiri 3  4 3  4

1 1 0 3 1 1 1   I12 ( 3 ) I 2 ( 2 ) I 21 (4) I1 ( 3 )   2 0 1 1 1 3 1 1 1 1 1   I1 ( 3 ) I 21 (4) I 2 ( 2 ) I12 ( 3 ) 2

3 1    I1 (3) I 21 (4) I 2 ( 23 ) I12 ( 13 )  4 2

 3 1   3 0  1 0  1 0  1 13              2  4 2   0 1  4 1  0 3  0 1

b. Operasi baris dan satu kolom 1 1 1 3 1 1      1 3 3   I 21 (4)   I1 ( 3 ) 2  4 2   4 2  0 3  1 1  1 0 3 3 1  I 21 ( 3 )   I 2 I 2 ( 2 )  0 1   0 1

1 0 3 1 3 1    I 2 ( 2 ) I 21 (4) I1 ( 3 )   I 21 ( 13 )    4 2    0 1   dari kiri dari kanan 3  4 3  4





1 1 1 0 3 1 1 1   I 2 ( 2 ) I 21 (4) I1 ( 3 )   I 21 ( 3 ) 2 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1   I1 ( 3 ) I 21 (4) I 2 ( 2 ) I 21 ( 3 ) 2





3 1    I1 (3) I 21 (4) I 2 ( 23 ) I 21 ( 13 )  4 2 1 1 0 3 1 3 0 1 0 1       3          2   4 2   0 1  4 1  0 3  0 1 

c. Operasi baris dan dua kolom Uraikan matriks berikut atas matriksmatriks elementer

 3 1  A    4 2

1 1 1 3 1 1    1  3 3   I 21 (4)   I1 ( 3 ) 2 0 4 2 4 2        3 1 0 1 0     3 1     I 21 ( 3 ) I ( )  I 2 2 2   2  0 3   0 1

1 0 3 1 1    I 21 (4) I1 ( 3 )   I 21 ( 13 ) I 2 ( 32 )   4 2       0 1   dari kiri dari kanan 3  4 3  4





1 1 1 0 3 1 1 1   I 21 (4) I1 ( 3 )   I 21 ( 3 ) I 2 ( 2 ) 2 0 1 1 1 1 1 3 1 1 1   I1 ( 3 ) I 21 (4) I 2 ( 2 ) I 21 ( 3 ) 2







3 1    I1 (3) I 21 (4) I 2 ( 23 ) I 21 ( 13 )  4 2 1 1 0 3 1 3 0 1 0 1       3          2   4 2   0 1  4 1  0 3  0 1 

d. Operasi baris dan tiga kolom 1 0    3 1  1  1 13  1   I 21 ( 3 )   I1 ( 3 ) 2 4  4 2   4 2   3 1 0 1 0     3  I12 (4)   I 2 I 2 ( 2 ) 1  0 1  4

1 0 3 1 1    I1 ( 3 )   I 21 ( 13 ) I 2 ( 32 ) I12 (4)   4 2     0 1  dari kiri dari kanan 3  4 3  4





1 1 1 0 3 1 1 1   I1 ( 3 )   I 21 ( 3 ) I 2 ( 3 ) I12 (4) 2 0 1 1 1 1 1 3 1 1 1   I1 ( 3 ) I12 (4) I 2 ( 2 ) I 21 ( 3 ) 2









3 1    I1 (3) I12 (4) I 2 ( 23 ) I 21 ( 13 )  4 2 1 1 0 3 1 3 0 1 0 1       3          2   4 2   0 1  4 1  0 3  0 1 

e. Operasi kolom 3 1 1 1   I1 ( 3 ) 4  4 2   3 1  3 I 2 ( 2 ) 4  3

1 1 0  I 21 (1) 4 2  2   3 3  0 1 0 4  I12 ( 3 )   I 2 1  0 1

1 0  3 1 1      I1 ( 3 ) I 21 (1) I 2 ( 32 ) I12 ( 43 )    0 1   4 2   dari kanan 3  4 3  4





1 1 1 0 1 3 4     I1 ( 3 ) I 21 (1) I 2 ( 2 ) I12 ( 3 ) 2 0 1 1 1 1 1 1 3 4 1   I12 ( 3 ) I 2 ( 2 ) I 21 (1) I1 ( 3 ) 2











3 1    I12 ( 43 ) I 2 ( 23 ) I 21 (1) I1 (3)  4 2

 3 1   1 0  1 0  1 1 3 0        4    2   4 2   3 1  0 3  0 1 0 1 

Invers : TRANSFORMASI ELEMENTER

Invers matriks A [invertible], dapat diperoleh melalui urutan transformasi elementer yang mereduksi A menjadi matriks identitas I dan kemudian melakukan urutan transformasi yang sama pada I untuk mendapatkan A-1.

A I  operasi elementer baris  I A    1

AI dan IA-1

CONTOH-2

 1 2 3   A   2 5 3  1 0 8   Dengan transformasi elementer Cari invers dari

Jawab

1 2 31 0 0 A I  2 5 30 1 0 1 0 80 0 1

Tambahkan –2 kali baris ke-1 pada baris ke-2 dan –1 kali baris ke-1 pada baris ke-3

1 2 3 1 0 0 0 1 3 -2 1 0 0  2 5 -1 0 1

1 2 3 1 0 0 0 1 3 -2 1 0 0 0 1 - 5 2 1

Tambahkan 2 kali baris ke-2 pada baris ke-3

Kalikan baris ke-3 dengan -1

1 2 3 1 0 0 0 1 3 -2 1 0 0 0 1 5 - 2 -1

Tambahkan 3 kali kali baris ke-3 pada baris ke2 dan –3 kali baris ke-3 pada baris ke-1

1 2 0 - 14 6 3 0 1 0 13 - 5 - 3 0 0 1 5 - 2 -1

1 0 0 - 40 16 9 0 1 0 13 - 5 - 3 0 0 1 5 - 2 -1

Tambahkan -2 kali baris ke-2 pada baris ke-1

IA

1

- 40 16 9    1 A   13 - 5 - 3  5 - 2 - 1

Invers : ADJOIN MATRIKS

Jika Anxn sebarang matriks bujursangkar dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks C11 C12  C1n  C  C  C 22 2n   21        Cn1 Cn 2  Cnn 

dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A).

 a11 a12  a1n  a  a  a 21 22 2n   A        an1 an 2  ann  C11 C21  Cn1   A11 C  A C  C 12 22 n2  21   adj(A)             C1n C2 n  Cnn   An1

A12  A1n  A22  A2 n      An 2  Ann 

Pada ekspansi determinan yang berhubungan dengan adjoin, berlaku “jika unsur suatu baris/kolom dikalikan kofaktor unsur baris/kolom yang lain diperoleh nilai nol, sedangkan jika unsur suatu baris/kolom dikalikan kofaktor unsur baris/kolom yang sama diperoleh nilai det(A)(│A│)

 a11 a 21  A  adj(A)     an1

a12  a1n   A11 a22  a2 n   A21      an 2  ann   An1

A12  A1n  A22  A2 n      An 2  Ann 

 A11 A adj(A)  A   21     An1

A12  A1n   a11   A22  A2 n  a21      An 2  Ann  an1

a12  a1n   a22  a2 n      an 2  ann 

a11 A11  a12 A21    a1n An1  A  0    0  A a21 A12  a22 A22    a2 n An 2  0  A    0  A  an1 A1n  an 2 A2 n    ann Ann  0  0    A  A a21 A11  a22 A21    a2 n An1  0  0    0  0  an1 A11  an 2 A21    ann An1  0  0    0  0 an1 A12  an 2 A22    ann An 2  0  0    0  0 a11 A12  a12 A22    a1n An 2  0  0    0  0  a11 A1n  a12 A2 n    a1n Ann  0  0    0  0

SIFAT ADJOIN 1

A  adj(A)  adj(A)  A A  0      0

0 A  0

 A I  A

  

0  0   A 

SIFAT ADJOIN 2 adj(A)  A

n 1

dari A  adj(A)  A I A  adj(A)  A I A 0 A adj(A)   0 adj(A)  A

0 A  0 n 1

0 0  0

0 0 n A  A

Dari Sifat Adjoin 1 diperoleh A  adj(A)  A  I  A skalar adj(A) A I A adj(A) 1 1 A A  A I  A A -1

adj(A) adj(A) 1 1 I A A   A 0 A A

SIFAT ADJOIN 3

Untuk matriks A invertible berlaku

1 A  A 1

dari

AA  I -1

AA  I -1

1 A  A 1 A  A 1

1

SIFAT ADJOIN 4

Untuk matriks-matriks A dan B yang invertible berlaku

adj(AB)  adj(B)  adj(A) (AB)adj(AB )  adj(AB)(AB )  AB I  AB adj(AB)ABB 1A 1  AB B1A 1 adj(AB) A(BB 1 )A1   A B B1A 1 adj(AB)I  A adj(B)A 1 adj(AB)  adj(B) A A  adj(B)adj( A) 1

CONTOH-3

1 2 3   Cari invers dari   A   2 5 3  1 0 8   Dengan metode adjoin Jawab det(A) ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua dari A.

2 3 1 3 1 3 A  2 5 0  1 1 8 1 8 2 3

Matriks kofaktor A

adj(A)

 40  13  5    2    16 5  9  3 1  

 40  16  9    3    13 5  5  2 1  

 40  16  9    1 1 A  adj(A)    13 5 3  A  5  2 1     40 16 9    1 A   13  5  3   5   2  1  

Untuk ukuran matriks lebih besar dari 3x3, menghitung invers dengan : (1) Bantuan transformasi elementer lebih baik tetapi tidak berguna untuk menelaah sifat-sifat inversnya. (2) Bantuan determinan sering digunakan untuk mendapatkan sifat-sifat invers.

SIFAT Matriks bujursangkar A non-singular jika dan hanya jika A mempunyai invers Bukti () Misal A non-singular maka ada matriks P dan Q non-singular yang memenuhi PAQ=I P PAQQ  P IQ 1 -1 1 A  P Q  A  QP -1

-1

1

-1

() Bukti

A punya invers → A-1 ada A A-1=I mempunyai rank n. Andaikan A singular → det(A)=0 Padahal det(I)=det(A)det(A-1)=10 Kontradiksi. Jadi A non-singular