Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 2004/2005 KALKULUS/KALKULUS 1 Jum’at, 13 Agustus 2004 (Waktu : 2 jam) SETIAP SOAL BERNILAI 10
1. Tentukan Z (a) x3 + 3x dx Z p (b) 2x 4x2 + 5
dx
2. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata berlaku untuk fungsi f dengan f (x) = x + 5 pada selang [0; 2]. Jika ya, tentukan nilai c 2 (0; 2) yang memenuhi R2 f (x) dx 0 f (c) = 2 0 3. (Kalkulus) Tentukan solusi persamaan diferensial x
dy = 2x2 y + y dx
(Kalkulus 1) Tentukan 0 x3 1 Z d @ (a) t sin(t2 + 1) dtA dx 2
(b)
Z4
x jx
2j dx:
0
1
;
y(1) = e:
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x + 2 dan kurva y = x2 . 5. Tentukan integral tak tentu berikut Z 6x + 4 dx: (3 x)(x2 + 2) 6. Tentukan
dy dari dx y = (sin x)y ln x
;
0<x< :
7. Tentukan integral tak tentu berikut Z p p x ln( x) dx 8. Misalkan f 0 terde…nisi pada R: (a) Buktikan bahwa Z4
p f ( x) dx = 0
0
(b) Jika f (2) = 2 dan R4
Z2
2xf 0 (x) dx
0
R2
f (x) dx =
2, berdasarkan (a) hitung
0
p f 0 ( x) dx
0
9. Misalkan fungsi f kontinu pada R sehingga Zx
f (t) dt = cos x +
0
Tentukan
Z4
Zx 0
f (x) dx:
0
2
f (t) sin2 t dt
10. (Kalkulus) Virus in‡uenza menyebar pada komunitas yang terdiri N orang. Diketahui bahwa pada komunitas tersebut ada x = x(t) orang yang telah tertular in‡uenza pada saat t. Misalkan laju penyebaran virus in‡uenza proporsional dengan perkalian antara banyaknya orang yang tertular, x(t), dengan banyaknya orang yang tidak tertular in‡uenza, (N x(t)). (a) Rumuskan permasalahan di atas kedalam persamaan diferensial, (b) Tentukan solusi persamaan diferensial tersebut. (Kalkulus 1) Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R, seperti terlihat pada gambar di bawah ini, diputar mengelilingi (a) sumbu x, (b) sumbu y.
3
JAWABAN UJIAN KEDUA KALKULUS/KALKULUS 1 SEMESTER PENDEK 2004 JUMAT, 13 AGUSTUS 2004 (2 JAM) 1. (a)
Z
1 3x x3 + 3x dx = x4 + + C: 4 ln 3
(b) Dengan memisalkan 1 u = 4x2 + 5 =) du = 8x dx =) du = 2x dx; 4 maka Z
2x
p
4x2
Z 1 p 1 2 + 5dx = udu = u3=2 + C 4 4 3 1 3=2 = 4x2 + 5 + C: 6
2. Karena f merupakan fungsi polinom maka f kontinu di setiap bilangan real, sehingga f kontinu pada selang [0; 2] : Jadi Teorema Nilai Ratarata berlaku untuk fungsi tersebut pada selang [0; 2] :
f (c) =
R2
(x + 5) dx
0
2 0 1 = (2 + 10 2
1 1 2 = x + 5x 2 2
0) = 6:
Jadi c + 5 = 6 =) c = 1: 3. (Kalkulus) Persamaan diferensialnya x
dy = 2x2 y + y dx = 2x2 + 1 y
4
2 0
Dengan memisahkan peubah x dengan y-nya diperoleh 2x2 + 1 1 1 dy = dx = 2x + y x x Z Z 1 1 dy = 2x + dx y x ln jyj = x2 + ln jxj + C:
dx
Nilai konstanta C diperoleh dari nilai awal y (1) = e; berarti jika x = 1 maka y = e; sehingga ln jej = 12 + ln j1j + C 1 = 1 + 0 + C =) C = 0: Jadi solusi khusus persamaan diferensialnya adalah ln jyj = x2 + ln jxj : (Kalkulus 1) (a) 0
d @ dx
Zx3 2
1
t sin t2 + 1 dtA = x3 sin
2
x3
d x3 dx
+1
= x3 (sin x6 + 1 ) 3x2 = 3x5 sin x6 + 1 :
(b) Karena jx maka Z4
x jx
x 2; jika x 2 (x 2) ; jika x < 2
2j =
2j dx =
0
Z2
x (x
2) dx +
0
=
2
x + 2x dx +
0
=
x (x
2) dx
2
Z2
=
Z4
Z4
x2
2x dx
2
1 3 x + x2 3 8 +4 3
= 8 5
2
1 3 x x2 3 64 16 3
4
+ 0
0+
2
8 3
4
4. Gambar daerah yang dibatasi kurva y = x + 2 dan y = x2 adalah Luas daerahnya adalah L =
Z
= = =
2
x+2
x2 dx
1
1 2 x + 2x 2 8 2+4 3
1 3 x 3
2 1
1 2
2+
1 3
9 2
Catatan: Misalkan tidak diketahui gambarnya, maka ditentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva dengan cara sebagai berikut: x2 x2 x 2 (x 2) (x + 1) x 6
= = = =
x+2 0 0 2 atau x =
1
Kemudian untuk menentukan kurva yang di atas atau kurva yang di bawah, misalkan f (x) = x2 dan g (x) = x + 2 , kemudian periksa nilai f (x) g (x) pada selang yang ditentukan. Untuk kasus ini, f (x) g (x) = x2 (x + 2) dan pada selang [ 1; 2] f (x)
g (x) 2
1
Jadi kurva f di bawah kurva g pada selang [ 1; 2] : 5. (3
6x + 4 A Bx + C A (x2 + 2) + (Bx + C) (3 = + = x) (x2 + 2) 3 x x2 + 2 (3 x) (x2 + 2)
Jadi 6x + 4 = A x2 + 2 + (Bx + C) (3
x) :
x = 3 =) 22 = 11A =) A = 2 x = 0 =) 4 = 2A + 3C =) C = 0 x = 1 =) 10 = 3A + 2B + 2C =) B = 2 Ini berarti
Z
6x + 4 = x) (x2 + 2)
(3
Z
2 3
x
dx +
Z
2x dx: x2 + 2
Integral bagian pertama diselesaikan dengan memisalkan u=3 sehingga Z 3
2 x
dx =
2
Z
x =) du =
1 du = u
dx;
2 ln juj + C1 =
2 ln j3
Integral bagian kedua diselesaikan dengan memisalkan u = x2 + 2 =) du = 2x dx; sehingga Z
Z 2x 1 dx = du = ln juj + C2 2 x +2 u = ln x2 + 2 + C2 : 7
xj + C1 :
x)
Jadi Z
Z
6x + 4 = x) (x2 + 2) =
(3
2
Z
2x dx 3 x +2 2 ln j3 xj + ln x2 + 2 + C: dx +
x2
6. y = (sin x)y ln x ; 0 < x < Kedua ruas di-lnkan sehingga diperoleh h i ln y = ln (sin x)y ln x = y ln x ln (sin x)
Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x, maka 1 dy = y dx
1 y
(ln x) (ln (sin x))
dy 1 1 ln x + y ln (sin x) + y ln x (cos x) dx x sin x dy y ln (sin x) + = (ln x) (ln (sin x)) dx x y (ln x) (cos x) + sin x dy y ln (sin x) y (ln x) (cos x) = + dx x sin x y ln (sin x) y (ln x) (cos x) + x sin x 1 (ln x) (ln (sin x)) y
dy = dx
7. Z
p
x ln
p
x dx =
Z
1 = 2
p Z
x ln x p
1=2
dx =
Z
p
x ln (x) dx
Dengan memisalkan 1 dx x p 2 xdx =) v = x3=2 ; dv = 3 u = ln x =) du =
8
x
1 2
ln (x) dx
dan dengan pengintegralan parsial diperoleh Z Z 1 2 3=2 1 p 2 3=2 1 x ln (x) dx = x (ln x) x dx 2 3 3 x 2 Z 1 1 3=2 = x (ln x) x1=2 dx 3 3 1 2 1 3=2 x (ln x) x3=2 + C = 3 3 3 1 3=2 2 3=2 x (ln x) x + C: = 3 9 8. Misalkan f 0 terde…nisi pada R: (a) Misalkan z=
p
x =) dz = 12 x
1=2
p 1 dx = p dx =) 2 xdz = dx 2 x
=) 2z dz = dx :Batas pengintegralan diubah menjadi p x = 0 =) z = 0 = 0 p x = 4 =) z = 4 = 2; sehingga Z4
f0
p
0
x dx =
Z2
2zf 0 (z) dz =
0
Z2
2xf 0 (x) dx:
0
(b) Dengan pengintegralan parsial dan pemisalan u = x =) du = dx dv = f 0 (x) dx =) v = f (x) ; dan maka Z2
0
2xf (x) dx = 2
0
Z2
xf 0 (x) dx
0
0
= 2 @[x f (x)]20
Z2 0
f (x) dxA
= 2f2f (2) 0 ( 2)g = 2 (4 + 2) = 12: 9
1
9. d dx 1
Z
x
f (t) dt
=
0
f (x) = sin x f (x) = 2
f (x) = Jadi
Z x d cos x + f (t) sin2 (t) dt dx 0 sin x + f (x) sin2 (x) sin x sin x sin x = 2 cos2 x 1 sin x
Z=4 Z=4 sin x f (x) dx = dx: cos2 x 0
0
Dengan memisalkan u = cos x =) du =
sin x dx;
dan mengubah batas pengintegralan x = 0 =) u = cos 0 = 1 p x =
4
=) u = cos
4
=
2 2
diperoleh Z=4
p
sin x dx = cos2 x
0
Z2=2
1 du = u2
1 u
1
=
2 p 2
( 1) = 1
p
2=2
1
2 p =1 2
p
2:
10. (Kalkulus) Pada suatu komunitas terdapat N orang. Misalkan x (t) adalah banyaknya orang yang tertular in‡uenza pada saat t: Karena laju penyebaran virus in‡uenza proporsional dengan perkalian antara banyaknya orang yang tertular dengan banyaknya orang yang tidak tertular, mak (a) dx (t) = kx (t) (N dt 10
x (t)) ;
atau jika x = x (t) ; maka persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dx = kx (N x) : dt (b) Untuk menentukan solusinya, peubah-peubahnya harus dipisahkan sehingga diperoleh dx = k dt x (N x) Z Z 1 dx = k dt x (N x) Untuk menyelesaikan integral bagian pertama, maka 1 A B A (N x) + Bx = + = (samakan penyebut). x (N x) x N x x (N x) Jadi 1 = A (N
x) + Bx:
1 N 1 x = N =) 1 = 0 + BN =) B = ; N x=0
sehingga Z
=)
1 = AN + 0 =) A =
Z 1=N 1=N dx + dx x N x 1 1 = ln jxj + ( 1) ln jN xj + C1 : N N
1 dx = x (N x)
Z
Karena x > 0 dan N x > 0; maka ln jxj = ln (x) dan ln jN ln (N x), sehingga Z 1 1 1 dx = ln(x) ln(N x) + C1 ; x (N x) N N sedangkan
Z
k dt = kt + C2 :
11
xj =
Ini berarti 1 1 ln(x) ln(N x) N N 1 [ln x ln (N x)] N 1 x ln N N x x ln N x x N x
= kt + C3 = kt + C3 = kt + C3 = N kt + N C3 = eN kt+N C3 = eN kt eN C3 = CeN kt
(Kalkulus 1) Titik potong kedua kurva dapat ditentukan dari jx + 2j
4=
x2
4x
6:
Karena x + 2; jika x (x + 2) ; jika x <
jx + 2j =
2 2
maka terdapat dua kasus dalam mencari titik potong: Kasus 1: untuk x <
2
(x + 2) 4 = x2 4x 6 =) x 2 4 = x2 4x 6 x2 + 3x = 0 =) x (x + 3) = 0 =) x = 0 atau x = 3 Karena x <
2; maka titik potong kedua kurva adalah di x =
Kasus 2: untuk x
3:
2
x+2 4 = x2 4x 6 =) x2 + 5x + 4 = 0 (x + 4) (x + 1) = 0 =) x = 4 atau x = 1: Karena x
2; maka titik potongnya adalah x =
1:
Dari persamaan fungsi nilai mutlaknya, diketahui bahwa titik "puncak" nilai mutlak adalah titik ( 2; 4) : Fungsi kuadrat y = =
x2
4x
6=
(x + 2)2 + 2 =
x2 + 4x + 6 (x + 2)2
2:
Jadi "puncak" fungsi kuadratnya adalah titik ( 2; 2) : 12
(a) Volume benda putar yang diperoleh jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x adalah Z 1h i 2 V = (jx + 2j 4)2 x2 4x 6 dx (metode cincin) 3 Z 2n o 2 2 2 = ( (x + 2) 4) x 4x 6 dx 3 Z 1n o 2 + ((x + 2) 4)2 x2 4x 6 dx 2
atau jika diselesaikan dengan metode kulit tabung, maka terlebih dahulu harus ditentukan persamaan kurva kuadrat dalam y sebagai berikut y = (x + 2)2 = Bila x
2; maka x + 2 p y x+2=
sedangkan jika x < x+2=
(x + 2)2 y 2
2
0; sehingga 2 =) x =
2+
p
y
2; maka x + 2 < 0; sehingga p p y 2 =) x = 2 y 13
2;
2:
Persamaan nilai mutlaknya juga harus dituliskan sebagai x = y + 2; untuk x 2 (karena y = x + 2 4) x = y 6; untuk x < 2 (karena y = x 2 4) Jadi volume benda putarnya adalah Z 3 V = 2 ( y) [(y + 2) ( y 6)]dy 4 Z 2 h p y 2 +2 ( y) 2+
p
2
3
Catatan:
y
2
i
dy
Pada metode cincin, dikalikan dengan "jari-jari luar"2 "jari-jari dalam"2 Penggunaan metode kulit tabung pada kasus ini, i. y harus dikalikan ( 1) karena y berada di kuadran ke-3 sehingga y < 0; padahal jari-jari harus bernilai positif ii. panjang/tinggi tabung tetap diambil yang positif, yaitu "kanan kiri". (b) Volume benda putar yang gelilingi sumbu-y (dengan adalah Z 1 V = 2 ( x) 3 Z 2 = 2 ( x) 3 Z 1 +2 ( x)
terjadi jika daerah R diputar menmenggunakan metode kulit tabung)
x2
4x
6
(jx + 2j
4) dx
x2
4x
6
( x
2
4) dx
(x + 2
4) dx
x2
4x
6
2
Jika diselesaikan dengan menggunakan metode cincin, maka rumus integralnya adalah Z 3 V = ( y 6)2 (y + 2)2 dy 4 Z 2 2 2 p p y 2 2+ y 2 dy + 2 3
14