BARISAN, (1 p< ) Aniswita 1

βeta

Vol. 6 No. 1 (Mei) 2013, Hal. 46-57 ©βeta2013

p-ISSN: 2085-5893 e-ISSN: 2541-0458

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCKKURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLID  n KE RUANG BARISAN  p , (1  p<  ) Aniswita1 Abstract: In this paper we discuss Henstock Equi  -integrable and Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) properties for Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces  n into the Sequences space  p , (1  p  ) Keywords: Henstock Equi  -integrable, Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) and Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces  n into the Sequences space  , (1  p  ) p

A. PENDAHULUAN Pada tahun 1960, Henstock dan Kurzweil secara terpisah mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta  menjadi fungsi positif  dan ternyata integral yang di susun ekuivalen. Oleh karena itu integral tersebut dikenal dengan integral Henstock-Kurzweil atau integral Riemann yang diperluas (Gordon, 1994). Integral ini mendapat perhatian yang sangat besar dari para peneliti, berbagai penelitian dilakukan untuk menggali sifat-sifat dan aplikasinya. Diantara sifat tersebut adalah sifat Locally Small Riemann Sums (LSRS) Pengertian LSRS untuk fungsi bernilai Real pada himpunan bilangan Real yang terintegral Henstock diberikan dan dibukukan oleh Lee (1989). Indrati (2002) mengitlakkanya untuk fungsi bernilai real pada ruang 1

STAIN Bukit Tinggi, Indonesia, [email protected]

Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...

Euclide berdimensi n, kemudian Suherman (2003) mengembangkannya untuk fungsi bernilai vektor pada ruang Euclide berdimensi n, sedangkan untuk fungsi bernilai barisan  p , (1  p<  ) dikembangkan oleh Aniswita (2006). Berdasarkan uraian diatas akan diselidiki teorema kekonvergenan fungsi terintegral Henstock serentak dengan fungsi yang bersifat Locally Small Riemann Sums (LSRS) dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p , (1  p<  ). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan  . Untuk bilangan asli n,  n menyatakan himpunan semua pasangan bilangan real, yaitu

atas n





 n =    ...   . (n factor) = x  x1 ,..., x n  : xi   dan 1  i  n . Untuk titik x   n , persekitaran (neighborhood) titik x dengan jari- jari r> 0, dinotasikan dengan B ( x, r ) dan didefinisikan



B ( x, r ) = y : y   n dan x  y



Untuk (1  p<  ),  p merupakan koleksi semua barisan x = 

sehingga

x k 1

p k



r .

xk   W

  atau ditulis,

   p =  x  x k  W ,  x k k 1 

p

   . (Kreyszig, E, 1978). 

Perlu diperhatikan bahwa fungsi f : E   n   p merupakan barisan fungsi

fk 

dengan f k : E   n  , untuk setiap k (k  1,2,3,...)

 



sehingga f x = f k (x )   p untuk setiap x  E. n Selanjutnya jika f , g fungsi dari E   ke  p didefinisikan nilai

fungsi k f dan f + g sebagai berikut (i) (k f ) ( x ) = k f ( x ), untuk setiap x  E dan k suatu skalar. (ii) ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ), untuk setiap x  E.

Untuk setiap f   f k  dan g  g k , untuk setiap k  N didefinisikan

βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 47










(i) f  g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k x  g k x , untuk setiap

x  E dan setiap k  N.

(ii) f < g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k x  g k x , untuk setiap

x  E dan setiap k  N. (iii) f  g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k ( x)  g k ( x) , untuk setiap x  E dan setiap k  N. Berikut ini diberikan definisi kekonvergenan barisan fungsi. Diberikan fungsi f n , f : E   n   p untuk setiap n  N. i) Barisan fungsi dengan



f  dikatakan konvergen ke fungsi n

f pada E, ditulis

lim f n = f atau lim f n ( x) = f ( x ), jika untuk setiap x  E

n 

n 



barisan f n (x) konvergen ke f ( x ), yaitu untuk setiap bilangan

>0

dan x  E terdapat bilangan asli m = m(  , x ) sehingga jika n  m berakibat f n ( x)  f ( x)

 

p

.

ii) Barisan fungsi f n dikatakan konvergen seragam ke fungsi f pada E jika untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli m = m(  ) sehingga jika n  m berakibat f n ( x)  f ( x)

p

  , untuk setiap x  E.

Selanjutnya karena sel E tertutup dan terbatas maka sel E merupakan himpunan kompak sehingga untuk setiap barisan fungsi yang konvergen pada sel E merupakan barisan fungsi yang konvergen seragam pada sel yang sama. Berikut diberikan definisi, sifat dasar dan sifat lanjut dari integral Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p , (1  p<  ). Definisi 1.1 Diberikan fungsi volume  pada  n dan E   n sel. Fungsi

f : E   n   p dikatakan terintegral Henstock pada E, ditulis dengan





f  R * E ,  p , jika terdapat a  ak   p dengan sifat untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron  -fine

D  D, x   Di , x i  : i  1,2,..., r

berlaku 48| βetaVol. 6 No.1 (Mei) 2013

pada E


D 

f ( x)  ( D)  a

p



r

 f (x i 1

i

)  ( Di )  a



.

p

p Selanjutnya nilai a  a k   yang dimaksud di atas disebut

nilai integral- 

Henstock fungsi

f

pada E

di tulis dengan

a  ( R*)  f d . E

Definisi 1.2 Diberikan fungsi volume  pada  n , E   n sel, dan fungsi f k :  n   untuk setiap k, (k=1,2, ...). Barisan fungsi {fk} dikatakan terintegral-  Henstock serentak (Henstock Equi  -integrable) pada E dengan Fk sebagai primitifnya jika untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron  -

D  D, x  pada E berlaku D f x  D   F E    ,untuk setiap k.

fine

k

k

Teorema 1.3 (Kriteria Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada  n dan

E   n sel. Fungsi f  R * E ,  p ,  jika dan hanya jika untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap dua partisi

D1  D1 , x  dan D2  D2 , x  pada E

D  f ( x)  ( D 1

1

)

D2  f ( x)  ( D

2

berlaku 

) p

.

Teorema 1.4 (Lemma Henstock) Diberikan fungsi volume  pada  n





dan sel E   n . Jika f  R * E ,  p , dengan F sebagai primitifnya, yaitu untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif sehingga untuk setiap partisi Perron  -fine

D f ( x)  ( D)  F ( E )   ,  dari D berlaku D p

1

1

 pada E

D  D, x  pada E

berlaku

maka untuk setiap jumlah bagian

f ( x)  ( D)  F ( E )

p

 2 .

Teorema 1.5 (Peluasan Harnack) Diberikan fungsi volume  pada  n , sel E   n , dan fungsi f : E   n   p . Himpunan X merupakan βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 49


himpunan tertutup di dalam E dan {Ei} merupakan barisan himpunan tertutup sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan 

E

i





 E \ X . Jika f  R * X ,  p ,  dan f  R * Ei ,  p , , untuk

i 1



 ( R )  f d i 1



  maka

*

setiap i dengan

Ei



f  R * E ,  , dan p

p 

( R* )  f d  ( R* )  f  x d   ( R* )  f d E

i 1

X

.

Ei

Akibat 1.6 (Sifat Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada  n , sel

E   n , dan fungsi f : E   n   p . Barisan {Ei} merupakan barisan himpunan sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan 

E

i

 E 0 , dengan E 0 menyatakan himpunan titik-dalam (interior

i 1





point) sel E.. Jika f  R * Ei ,  p , , untuk setiap i dengan 

  maka

 ( R )  f d *

i 1

Ei





f  R * E ,  p , dan

p

( R * )  f d  E



 (R )  *

i 1

f d

Ei

B. TEMUAN DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa teorema kekonvergenan diantaranya yaitu kekonvergenan terintegral serentak dan teorema kekonvergenan fungsi yang memiliki sifat Unifomly Locally Small Riemann Sums (ULSRS). Definisi 2.1 Diberikan fungsi volume



pada  , sel n

E   n , dan fungsi

  dikatakan

f k : E   n   p untuk setiap k, (k=1,2,…). Barisan fungsi f

setiap bilangan partisi Perron



k

 -integrable) pada sel E jika untuk   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap

terintegral-  serentak (Henstock Equi –fine

D  D, x  pada E berlaku

50| βetaVol. 6 No.1 (Mei) 2013


D f x  D   R  f x d



*

k

k

E

p

,

untuk setiap k.

Definisi 2.2 Diberikan fungsi volume



pada  , sel n

E   n dan fungsi

f k : E   n   p untuk setiap k, (k=1, 2, 3, ....). Barisan fungsi terukur

f  bersifat LSRS seragam atau Unifomly Locally Small k

Riemann Sums (ULSRS) pada sel E terdapat fungsi positif



partisi Perron

-fine

berlaku



  n jika untuk setiap bilangan   0

pada E sehingga untuk setiap y  E dan untuk setiap

D  D, x 



pada sel C  B y,  ( y )

D f x D k

 dan

y C

 p

,

untuk setiap k. Lemma 2.3 Jika Barisan fungsi terukur

f  bersifat LSRS seragam pada sel k

E   dan f k  f h.d. pada sel E maka fungsi f bersifat LSRS. n

Bukti: Tanpa mengurangi arti dapat dianggap bahwa

f k  f pada sel E , karena

jika f fungsi terintegral Henstock pada sel E dan g = f h.d. pada sel E maka g terintegral Henstock, lebih lanjut g merupakan fungsi bersifat LSRS pada sel E. Jadi f

k

 f berarti untuk setiap bilangan   0 dan untuk setiap

x  E terdapat bilangan positif k 0, x dengan sifat untuk setiap k  k 0, x berlaku

 

fk x f x

p



 2  E  . k

Barisan fungsi terukur terdapat fungsi positif



f  bersifat LSRS seragam pada sel E   k

pada E sehingga untuk setiap y  E berlaku

βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 51

n


D f x D k

 p

.

untuk setiap partisi Perron



-fine

D  D, x  pada sel C  By,  ( y ) 

dan y  C untuk setiap k. Lebih lanjut untuk setiap partisi Perron

D  D, x  pada



-fine

sel E, cacah titik terkait adalah hingga. Dengan demikian

menurut lemma Henstock, untuk setiap partisi Perron



 D f x D  D f x  D   D f x  D 



-fine

D  D, x  pada

sel C  B y,  ( y ) dan y  C berlaku p

k

Dengan



 3 .



D f x  k

p

.

k  maks k 0, x : x  D

Teorema 2.4 Jika Barisan fungsi terukur

k 

f

maka

  f

lim R *

k

f  adalah barisan fungsi terintegral k

E   dan f k  f h.d. pada sel E untuk n

Henstock serentak pada sel

k 

p

terintegral

Henstock

  f d .

pada

sel

E

dan

d  R *

E

E

Bukti: Tanpa mengurangi arti dianggap f bilangan

 0

sifat untuk setiap

 

fk x f x

dan untuk setiap

k

 f pada sel E. Berarti untuk setiap

x  E terdapat bilangan positif k x dengan

k  k x berlaku p





 E  .

Barisan fungsi terukur serentak pada sel

f  adalah barisan fungsi terintegral Henstock k

E   sehingga terdapat fungsi positif  pada sel E n

dengan sifat untuk setiap partisi Perron




-fine

D  D, x  pada E

berlaku


D f

k

  f

( x)  ( D)  R *

k

d





E

2 k 1

p

, untuk setiap k



Cacah titik terkait untuk setiap partisi Perron



D  D, x 

-fine



pada E

K  maks k x : x  D .

adalah hingga maka dapat diambil

Dengan demikian untuk k , m  N diperoleh

R  f

  f

d  R *

*

k

E



m

E

D f

k

p

  f

( x)  ( D)  R *

k

d

E

p

D f x  D 

D f

k

( x)  ( D) 

D f

m

( x)  ( D)  R *

m

  f

m

 2

  Jadi ke

a.

k





D

 E 

f

n

+

d

E



p

p

x   f x  m

 D    3

p



 D  +

2

k

.

f  merupakan barisan Cauchy, akibatnya f  konvergen, katakan k

k

Berarti terdapat bilangan positif

k 0 dengan sifat untuk setiap k  k 0

berlaku

R  f *

k

d  a

E

 p

.

Untuk setiap partisi Perron

  D  D, x  pada E berlaku K  maks k 0 , k x : x  D



maka

-fine

D  D, x 

untuk

setiap

pada E

partisi Perron

diambil



-fine

βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 53


D f ( x)  ( D)  a  D f ( x)  ( D)  D f x  D  p

k

D f

k

  f

( x)  ( D)  R *

k

+

R  f

d

E

p

*

p

k

a

E

+

p

 3 . Dengan kata lain terbukti

  f

lim R * k 

k

  f d .

f

terintegral Henstock pada sel E dan

d  R *

E

E

f  bersifat LSRS seragam pada sel

Teorema 2.5 Jika Barisan fungsi terukur

k

  terintegral Henstock serentak pada sel E.

E   maka f n

k

Bukti: Diketahui Barisan fungsi terukur berarti untuk setiap bilangan

 0

f  bersifat LSRS seragam pada sel E , k

terdapat fungsi positif

sifat untuk setiap y  E dan untuk setiap partisi Perron





*

pada E dengan

 

 * -fine D  D, x

*

pada sel C  B y,  ( y ) dan y  C berlaku

D*  f x D k

untuk setiap k. Barisan fungsi terukur

 p

,

f  konvergen h.d. pada sel E sehingga menurut k

Teorema Egoroff terdapat himpunan terbuka O dengan

f  konvergen seragam pada k

 O  

 2k

dengan sifat

E \ O . Jadi terdapat bilangan positif K 0

dengan sifat untuk setiap k  K 0 berlaku

 

fk x f x

Untuk setiap k,

 p 7 D  , untuk setiap x  E \ O . f k  R * E ,  p ,   sehingga terdapat fungsi positif  k 

sel E dengan sifat untuk setiap dua partisi


 k -fine D 1 , D 2

k

k

pada E berlaku

pada




 D1  f ( x)  ( D)   D2  f x  D   k  k  k  k Diambil fungi positif





 p

 7.

pada sel E dengan

      min  x ,  x ,..., x , d x,  O , untuk setiap x  O .  min  * x ,  1 x ,..., K 0 x , untuk setiap x  E \ O

 x 

*

1

K0

Maka untuk setiap dua partisi 1. Jika

k  K0



-fine

D1 , D 2

pada E

diperoleh

 D1  f ( x)  ( D)   D 2  f     k     2. Jika

k

x  D 

 p

 7

.

k  K0

 D1  f ( x)  ( D)   D 2  f     k     

 D1  f ( x)  ( D)   D1  f     k      D1  f    

 D2  f  

K0

K0

( x)  ( D)   D 2  f  

K0

k

x  D 

 p

x D 

 7

+ p

K0

x  D  p



+

( x)  ( D)   D2  f k x  D     p

  D1   



f

k

x D  f x D

xE \ O

 D1 f   xO

k



K0

p

x D

 D 2   

p



xE \ O

f

k

+

 D1 f   xO

K0

 7



x D

 p

x  D   f x  D 



K0

p

βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 55


 D1 f   xO

k

x D p

 D1 f   xO

+



 7



 7



Jadi terbukti jika barisan fungsi terukur

 7

K0

x D p



 7



 7



 7



 7

 .

f  bersifat LSRS seragam pada sel E

maka

k

f  terintegral Henstock serentak pada sel E. Teorema 2.6 Jika Barisan fungsi terukur f  bersifat LSRS seragam pada sel k

k

E   dan f k  f h.d. pada sel E untuk k   maka fungsi n

terintegral Henstock pada sel E dan

  f

lim R * k 

E

k

  f d .

f

d  R *

E

Bukti: Lemma 2.3 mengakibatkan fungsi f bersifat LSRS pada sel E dan sesuai dengan Teorema 2.5 diperoleh fungsi f terintegral Henstock pada sel E dan dengan

  f

lim R k 

C.

menggunakan

*

k

  f d ..

d  R

E

Teorema

2.4

dan

Teorema

2.5

diperoleh

*

E

SIMPULAN Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi

yang terintegral Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p , (1

 p<  ). Permasalahan-permasalahan lain yang perlu dikembangkan antara lain kajian mengenai teorema kekonvergenan Globally Small Riemann Sums fungsi yang terintegral Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang Barisan  p ,(1  p<  ) serta aplikasinya pada disiplin ilmu lain.

DAFTAR PUSTAKA Gordon, R. A, 1994, The Integral of Lebesque, Denjoy, Perron and Henstock, American Mathematical Society, USA Indrati, Ch. R, 2002, Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang Euclide Berdimensi- n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia Kreyszig, E, 1978, Introduction Functional Analysis with Application, John Wiley and Sons 56| βetaVol. 6 No.1 (Mei) 2013


Lee, P. Y, 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Word Scientific, Singapore. Pfeffer, W. F, 1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA Royden, H. L, 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company, New York, USA

βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 57

BARISAN, (1 p< ) Aniswita 1

Recommend Documents