BARISAN DAN DERET Materi ke 1
Pola Bilangan adalah ? Susunan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Contoh : 1. Pola Bilangan Ganjil 1, 3, 5, .... 2. Pola Bilangan Genap 2, 4, 6, .... • PERHATIKAN SUSUNAN BILANGAN DI BAWAH INI • Susunan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, , ... • Susunan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, ... • Susunan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, , ... • Susunan bilangan kelipatan tiga: 3, 6, 9, 12, ...
Berdasarkan contoh-contoh tersebut, dapat dilihat bahwa bilangan seperti inilah yang dinamakan barisan bilangan.
Definisi Definisi Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu Jika barisan bilangan tadi dijumlahkan maka terbentuklah deret bilangan.
Definisi Definisi Deret Bilangan Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan.
Sebagai contoh, jika 1, 2, 3, 4, ... merupakan barisan bilangan maka deret dari barisan bilangan tersebut adalah 1 + 2 + 3 + 4 + ....
BARISAN ARITMATIKA Definisi Barisan Aritmetika Suatu barisan dikatakan sebagai barisan aritmetika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut sebagai beda. Biasanya diberi simbol b . Definisi tersebut jika diubah ke bentuk notasi adalah sebagai berikut. Jika U1, U2, U3, ..., Un–1, Un adalah suatu barisan bilangan maka barisan tersebut dikatakan sebagai barisan aritmetika apabila memenuhi hubungan berikut U2 – U1 = U3 – U2 = ... Un – Un–1
Rumus umum suku ke-n pada barisan aritmatika U1 U2 U3
Urutan ke 1 beda b a ke 2 beda b a+ b Urutan ke 3 beda 2 b a+2bJadiUrutan jika urutannya n maka mempunyai beda (n-1)b
Un
Suatu barisan dengan suku pertama dan beda b maka rumus umum suku ke-n barisan aritmatika ditentukan oleh :
a+(n-1) b Un=a+(n-1) b
Keterangan : Un = Rumus Suku Ke-n a = suku pertama b = beda
b = U2 – U1 = U3 – U2 = .... = Un – Un-1
Contoh 1: Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka berapa jumlah permen yang diperoleh anak yang lain
DERET ARITMATIKA Telah diketahui bahwa penjumlahan dari barisan bilangan dikenal sebagai deret bilangan. Begitu pula jika menjumlahkan suatu barisan aritmetika maka akan mendapatkan suatu deret aritmetika.
Definisi Definisi Deret Aritmetika Misalkan U1, U2, ...,Un adalah barisan aritmetika maka penjumlahan U1 + U2 + ... + Un adalah deret aritmetika.
Sebagai contoh, jika barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, ... Kemudian menjumlahkan setiap suku dalam barisan aritmetika tersebut maka akan diperoleh deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + .... Secara umum, dari suatu barisan U1, U2, ..., Un dengan U1= a dan beda = b Maka dapat diperoleh bentuk umum deret aritmetika, yaitu U1 + U2 + ...+ Un = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1) b)
Rumus Umum Deret Aritmatika Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn , maka Sn dapat dicari dengan menggunakan rumus.
Misalkan Sn = U1 + U2 + ... + Un merupakan deret aritmetika dengan suku pertama a dan beda b maka : Sn = n/2 (a + Un ) atau Sn = n/2 ( 2 a +(n-1) b ) Keterangan : a = suku pertama b = beda Sn = jumlah suku ke – n
Jika U n suku ke - n. U t suku tengah dan Sn Jumlah n suku pertama deret Aritmetika maka :
1. U n a (n 1)b n n 2. Sn (a U n ) (2a (n 1)b) 2 2 a Un 3. U t 2 4. U n Sn Sn 1 5. b U n U n -1
CONTOH 2 Diketahui barisan Aritmetika 5,8,11,...,125,128,131. suku tengahnya adalah.... . A.
21
B.
22
C.
42
D.
43
E.
68
CONTOH 3 Jumlah semua bilangan - bilangan bulat diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 ialah ..... A.
8.200
B.
8.000
C.
7.800
D.
7.600
E.
7.400
JAWAB Bilangan - bilangan bulat diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 ialah 105,110,115,.....295 jadi a 105 b5
U n a (n - 1)b
U n 295
295 105 (n - 1)5 didapat n 39 n 39 Jadi Sn (a U n ) (105 295) 2 2 7.800
BARISAN GEOMETRI Adalah : Barisan bilangan yang mempunyai rasio (Pembanding) yang tetap antara dua suku yang berurutan dan dinotasikan dengan r
CONTOH
1. 1,3,9,27,….. 2. 1,2,4,8,….. 3. 1,5,25,125,…..DLL
RUMUS SUKU KE-N BARISAN GEOMETRI
U n ar
n 1
CONTOH Tentukan suku ke- 10 dari barisan geometri 1,3,9,27,….. Jawab : a=1 n 1 r=3 n n= 10 101 10
U ar
U 1(3)
U10 3 19.683 9
SISIPAN CONTOH : Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3,18,33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga Berbentuk barisan Aritmetika yang baru.Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk Adalah….. A. 78 D. 87 B. 81 E. 91 C. 84
PEMBAHASAN 3,
, ,18
U 6 a 5b 18
Yang disisipkan
a=3
3 5b 18 b 3 n S7 (2a (n - 1)b) 2 7 (2.3 6.3) 2 7 (24) 2 84
Model Bunga Majemuk Modal pokok P dibungakan secara majemuk, suku bunga perahun i, maka jumlah akumulatif modal F setelah n tahun adalah: setelah 1 tahun : F1 P P.i P(1 i ) setelah 2 tahun : F2 P(1 i ) P(1 i )i P(1 i ) 2 setelah 3 tahun : F3 P(1 i ) 2 P(1 i ) 2 i P(1 i )3 setelah n tahun : Fn (.........) (..........) P(1 i ) n • Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :
Fn P(1 i) n
S n ap n-1
Bunga dibayar 1x setahun 20
• Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka : i mn Fn P(1 ) m
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang. 21
• Dengan manipulasi matematis, bisa diketahui nilai sekarang (present value) :
1 P F n (1 i)
1 atau P F mn (1 i / m)
Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.
22
Tugas Individu: 1. Suku ke–4 dari suatu barisan aritmetika adalah 17 dan suku ke–12 dari barisan tersebut adalah 81. Tentukan suku ke–25 dari barisan tersebut ? 2. Dari suatu deret aritmetika, diketahui U5 = 5 dan U10 = 15. Tentukan nilai dari Suku ke 20 ! 3. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah
Ketentuan e-learning 1. 2. 3.
4.
Kerjakan tugas individu Jawaban dalam bentuk file dengan nama file : nama saudara_deret. Jawaban dikirim lewat email ke alamat :
[email protected] Jawaban diterima paling lambat hari Selasa tanggal 6 Oktober 2015
