BARISAN & DERET GEOMETRI
TUJUAN PEMBELAJARAN • Siswa dapat geometri • Siswa dapat • Siswa dapat geometri • Siswa dapat geometri • Siswa dapat • Siswa dapat
menjelaskan pengertian barisan dan deret menjelaskan syarat suatu barisan geometri menentukan rumus suku ke-n suatu barisan
menentukan jumlah n suku suatu deret menjelaskan deret geometri tak hingga menghitung jumlah deret geometri tak hingga
BARISAN GEOMETRI • “ Seandainya kamu mempunyai satu lembar kertas ” • “ Kemudian, kamu melipat kertas tersebut, satu kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 2
• “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, dua kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 4
• “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, tiga kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 8
• “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, empat kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 16 • “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, n kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk???
BARISAN GEOMETRI Dari kegiatan melipat kertas yang telah dilakukan, diperoleh Suatu barisan bilangan, sebagai berikut : 1
2
4
8
16
32
dst . . . . . . . .
Barisan bilangan tersebut merupakan salah satu contoh dari BARISAN GEOMETRI Masih ingatkah kalian dengan pola bilangan ?? Bagaimanakah pola bilangan dari barisan bilangan tersebut ???
1
2
4
8
16
32
20
21
22
23
24
25
BARISAN GEOMETRI Coba perhatikan barisan bilangan berikut !!! 1 2 4 8 16 32 . . . . . . . 20
21
22
23
Suku ke-1 U1 = 1 = 20 Suku ke-2 U2 = 2 = 21
Suku ke-2 U2 = 2 = 21 Suku ke-3 U3 = 4 = 22
24
25 1 2 2 2 2 0 U 1 2 1
U
U3 4 2 2 1 2 U2 2 2
Kesimpulan apa yang kalian peroleh ???
BARISAN GEOMETRI SYARAT BARISAN GEOMETRI Suatu barisan bilangan dengan suku-suku U 1, U 2 , U 3, … , U n
disebut suatu barisan geometri apabila memenuhi syarat bahwa:
U2 U3 U 4 Un ... konstan U1 U 2 U 3 Un1 Nilai konstan disebut dengan pembanding atau rasio
BARISAN GEOMETRI PENGERTIAN BARISAN GEOMETRI Berdasarkan syarat/ciri barisan geometri, yang telah dikemukakan di awal, maka : Bagaimanakah pengertian dari barisan geometri ??? Dapatkah kalian menjelaskan pengertian dari barisan geometri dengan kata-kata kalian sendiri ????
BARISAN GEOMETRI adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap Coba bandingkan ciri barisan geometri dengan barisan aritmatika yang telah kalian pelajari !!
BARISAN GEOMETRI MACAM BARISAN GEOMETRI • Barisan
Geometri Naik (Divergen)
Ciri : Un-1 < Un
untuk semua nilai n anggota bilangan asli dan n ≥ 2 • Barisan
Geometri Turun (Konvergen)
Ciri : |Un| < |Un-1| untuk semua nilai n anggota bilangan asli
BARISAN GEOMETRI Perhatikan Barisan Geometri berikut !!! U1
U2
U3
U4
U5
U6
. . . .
1
2
4
8
16
32
. . . .
1(2)3
1(2)4
1(2)5
a(r)4
a(r)5
Diketahui : U1=a=1 dan r=2
1(2)0 1(2)1 1(2)2
a(r)0
a(r)1
a(r)2 a(r)3
Kesimpulan apa yang kalian peroleh ???
BARISAN GEOMETRI BENTUK UMUM BARISAN GEOMETRI Suatu barisan geometri dengan suku-suku
U1, U2, U3, U4, U5, … , Un Dapat dituliskan dalam bentuk umum:
a, ar, ar2, ar3, ar4, … , Un Keterangan :
a = suku pertama r = rasio
BARISAN GEOMETRI RUMUS SUKU ke-n BARISAN GEOMETRI Suatu barisan geometri dengan bentuk umum
a, ar, ar2, ar3, ar4, … , Un Suku ke-1 = a=aro
ar(1-1)
Suku ke-2 = ar
ar(2-1)
Suku ke-3 = ar2 Suku ke-4 = ar3 Suku ke-n = Un
ar(3-1) ar(4-1) ar(n-1)
Kesimpulan apa yang kalian peroleh ???
BARISAN GEOMETRI RUMUS SUKU ke-n BARISAN GEOMETRI Suatu barisan geometri dengan bentuk umum
a, ar, ar2, ar3, ar4, … , Un maka Rumus Suku ke-n Barisan Geometri adalah:
Un =
arn-1
dengan
Un r Un1
Keterangan: a = suku pertama r = rasio
n = banyak suku
BARISAN GEOMETRI CONTOH SOAL 1 Diketahui barisan geometri : 3, 9, 27, 81, ……. Tentukan : a) Suku pertama
b) Rasio c) Rumus suku ke-n d) Suku ke-10
BARISAN GEOMETRI SOLUSI CONTOH SOAL 1 Diketahui barisan geometri : 3, 9, 27, 81, ……. Jawab : a) Suku pertama = U1 = 3 U2 9 b) Rasio = U 3 3 1
c) Rumus suku ke-n = arn-1 = 3(3)n-1 =31+(n-1) = 3n d) Suku ke-10 = 310 = 59049
BARISAN GEOMETRI CONTOH SOAL 2 Pada barisan geometri diketahui suku ke-3 = -8 dan suku ke-5 = -32 Tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut!
PENYELESAIANNYA ???
BARISAN GEOMETRI SOLUSI CONTOH SOAL 2 Diketahui : U3 = -8
ar2 = -8
U5 = -32 ar4 = -32 4 a r 32 maka : 8 a r2 r2 = 4 Karena ar2 = -8
r = 2 a(2)2 = -8 a = -2
Sehingga: U7 = ar(7-1) = ar6 = (-2)(2)6 U7 = -128
BARISAN GEOMETRI 1. Diketahui barisan geometri : 24, 12, 6, 3 …. Tentukan rasio dan suku keenam barisan itu ! 2. Suku ke-2 barisan geometri adalah 9, suku ke-5 adalah 1/3, tentukan suku ke-8 barisan tersebut ! 3. Tiga buah bilangan (2k-1), (k+4), (3k+6) membentuk barisan geometri naik yang ketiga sukunya positif, tentukan rumus suku ke-n !
DERET GEOMETRI PENGERTIAN DERET GEOMETRI DERET GEOMETRI adalah penjumlahan dari masing-masing suku dari suatu barisan geometri Deret Geometri dituliskan : U1 + U 2 + U3 + … + U n atau
a + ar + ar2 + … + arn-1
DERET GEOMETRI RUMUS DERET GEOMETRI Jika U1, U2, U3, …. , Un merupakan barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. maka jumlah n suku barisan geometri dinyatakan dengan rumus:
a (rn 1 ) Sn r 1
Untuk r ≠ 1 dan r > 1
a (1- r n ) Sn 1 r
Untuk r ≠ 1 dan r < 1
DERET GEOMETRI PEMBUKTIAN RUMUS DERET GEOMETRI Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un = a + ar + ar2 + ar3 + …+ arn-1 ……………………… (1) Dari persamaan (1) semua suku dikalikan dengan r r.Sn = r (U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un) = r (a + ar + ar2 + ar3 + …+ arn-1) = ar + ar2 + ar3 + ar4 + …+ arn ………………… (2) LANJUT
DERET GEOMETRI PEMBUKTIAN RUMUS DERET GEOMETRI Dari (1) dan (2) diperoleh: Sn = a + ar + ar2 + ar3 + …+ arn-1
r.Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + …+ arn Sn – r.Sn = a + (-arn) (1-r) Sn = a - arn
a (1- r n ) Sn 1 r
-
DERET GEOMETRI CONTOH SOAL 3 Hitunglah jumlah 6 suku pertama deret geometri: 2 + 6 + 18 + ….
SOLUSI U1 = a = 2 U2 6 r 3 U1 2
a(rn 1) Sn r 1 2 (36 - 1 ) S6 3 1 2 (7 2 9 1 ) 2 S6 = 728
DERET GEOMETRI CONTOH SOAL 4 Hitunglah jumlah deret geometri: 3 + 6 + 12 + …. + 384
PENYELESAIANNYA ??? Ayo kita kerjakan bersama-sama !!!
DERET GEOMETRI DERET GEOMETRI KONVERGEN Deret geometri a + ar + ar2 + … + arn-1 disebut deret geometri turun tak terhingga (konvergen), jika |r| < 1 atau -1 < r < 1 Jumlah deret geometri tak terhingga dirumuskan :
a S 1 r Dengan : a = suku pertama
r = rasio
DERET GEOMETRI CONTOH SOAL 5 Tentukan nilai dari deret geometri : 24 + 12 + 6 + …
SOLUSI Dari DG: 24 + 12 + 6 + …. a = U1 = 24 U 2 12 1 r U1 24 2
a S 1 r 24 1 1 2
S 48
24 1 2
DERET GEOMETRI LATIHAN SOAL 1.Hitunglah jumlah deret geometri 2+4+8+….+128 2.Hitunglah jumlah tak terhingga deret geometri 81 + 27 + 9 + …. 3.Diketahui deret geometri 2 + 22 + 23 + …. + 2n =510. Tentukan nilai n !
4.Diketahui deret geometri dengan U2 = 6 dan U4=54. Hitung jumlah delapan suku pertamanya !
RANGKUMAN MATERI • Bentuk Umum Barisan Geometri adalah: a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1 dimana : a = suku pertama r = rasio = Un/Un-1 •
Rumus suku ke-n Barisan Geometri adalah : Un = arn-1
RANGKUMAN MATERI •
•
Rumus jumlah n suku Deret Geometri adalah : a (rn 1 ) Sn r 1
Untuk r ≠ 1 dan r > 1
a (1- r n ) Sn 1 r
Untuk r ≠ 1 dan r < 1
Rumus jumlah Deret Geometri Tak Hingga adalah : a S 1 r
MATERI BARISAN DAN DERET GEOMETRI TELAH SELESAI. KERJAKAN SOAL-SOAL LATIHAN SELAMAT MENGERJAKAN … !!!
SEKIAN DAN TERIMA KASIH
A. Tentukan suku ke 30 dari barisan 1. 1, 3, 6, 10,… 2. 1,3,9,27,….. 3. 1,2,4,8,…..
B. Diketahui barisan aritmatika 5,8,11,....,125,128,131 Tentukanlah nilai tengahnya.
Tentukan pula:
a) Suku pertama b) Rasio
C. Jumlah bilangan bulat antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah.
c) Rumus suku ke-n d) Suku ke-10
D. Jika k+1, k-1, k-5 adalah deret gemetri berapakah nilai k?
E.Jika suku pertama deret geometri adalah 3 m dengan m 0 sedangkan suku ke - 5 adalah m 2 , maka suku ke - 21 adalah.....
F.Antara dua suku pertama yang berurutan pada barisan 3,18,33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga Berbentuk barisan Aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk Adalah…..
G. Sebuah
bola tenis dijatuhkan kelantai dari tempat yang tingginya 1 meter.Setiap kali setelah Bola itu memantul,ia mencapai ketinggian yang sama dengan dua pertiga dari tinggi yang dicapai nya sebelum pantulan terakhir.Panjang lintasan Bola itu sampai ia berhenti adalah…..
