Keterbatasan Lokal Suatu Operator Superposisi Pada Ruang Barisan Real. Lina Nurhayati, Universitas Sanggabuana

Keterbatasan Lokal Suatu Operator Superposisi Pada Ruang Barisan Real Lina Nurhayati, Universitas Sanggabuana [email protected]

Abstrak Misalkan P suatu operator superposisi terbatas dan T adalah fungsional aditif terbatas pada ruang barisan. Jika P atau T dikenakan pada suatu ruang barisan klasik, maka akan terbentuk suatu ruang barisan baru yang disebut ruang barisan Musielak-Orlicz (ℓ𝑀 ). Secara khusus tulisan ini membahas sifat keterbasan lokal suatu operator superposisi terbatas (fungsional aditif terbatas) di titik tertentu pada ruang barisan real, serta sifat keterbatasan operator atau fungsional pada interval terbatas. Kata Kunci : Operator superposisi terbatas, fungsional aditif, ruang barisan klasik, dan ruang barisan Musielak-Orlicz. Pendahuluan Banyak orang yang tertarik akan kajian mengenai ruang barisan, khususnya mengenai ruang barisan klasik dan fungsional, sehingga banyak diteliti orang. Diantaranya ruang barisan ℓ𝑝 merupakan ruangbarisan klasik yang lengkap, di bahas oleh E. Kreyzig [3]. Selanjutnya, E. Sumiaty [4] berhasil menunjukan bahwa ruang barisan fungsional dan ruang barisan operator pada suatu ruang Hilbart merupakan ruang yang lengkap dan kompak. Ttemuan lainnya tentang ruang barisan yang dikemukakan L.P.Yee, [8], S.D Uunoningsih dan pluciennik [9], S.D Unoningsih dan L.P Yee [10] Berdasarkan hasil kajian di atas, ternyata ruang barisan ang berbentuk sangan di pengaruhi oleh suatu fungsi yang membwa suatu barisan klasik ke ruang barisan lain ( real maupun kompleks), yang di antaranya adalah oprator superpoisi terbatas dan fungsi yang membawa barisan tersebut ke barisan real atau kompleks yang disebut barisan Musielak-Orlicz. Berkaitan dengan hal tersebut, untuk melakukan penelitian mengenai ruang barisan yang di bangun oleh fungsional adiitif terbatas T dari sutu ruang barisan klasik ke ruang barisan real atau kompleks (yang di sebut ruang barisn Musielak-Orlicz), terlebih ahulu harus meneliti oprator seperposisi dan fungsional aditif terbatas, yang di jadikan dasar dan sebagai pengantar untuk malakukan penelitian selanjutnya mengenai ruang barisan Musielak-Orlicz Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan menyelesaikan masalah bagaimana cara membentuk suatu ruang barisan Musielak_Orlicz dari suatu ruang dengan memperhatikan (1) Sifat-sifat yang berlaku pada operator superposisi terbatas dan terbatas lokal (2) Teorema keterbatasan operator superposisi dan Pluciennik (3) Sifat ketaksamaan young untuk ℓ𝑝 dan (4) Sifat dasar fungsional aditif terbatas. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah untuk memperdalam kajian mengenai ruang barisan klasik serta menambah oengetahuan mengenai operator serta fungsional. Pembahasan Definisi 1 himpunan 𝑋 ≠ Φ, dan suatu fungsi 𝑑 didefinisikan pada 𝑋 × 𝑋, sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 memenuhi : 1. 𝑑 bernilai real, dan 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0 2. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦 3. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦 = 𝑥) (simetri) 4. 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) (ketaksamaan segitiga). 𝑑 disebut metrik (fungsi jarak), dan himpunan 𝑋 yang dilengkapi dengan metrik 𝑑 dinotasikan dengan (𝑋, 𝑑) atau 𝑋 disebut Ruang metrik. 1

Definisi 2 Diberikan ruang barisan 𝑋. 1. Fungsi ‖⋅‖ pada 𝑋 disebut norma-F, jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 memenuhi: a. ‖𝑋‖ ≥ 0 dan ‖𝑋‖ = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝜃 b. 1. Jika 𝛼𝑛 → 0 (𝑛 → ∞), maka ‖𝛼𝑛 𝑋‖ → 0 (𝑛 → ∞) 2. jika ‖𝑋𝑛 ‖ → 0 (𝑛 → ∞), maka ‖𝛼𝑋𝑛 ‖ → 0 (𝑛 → ∞), untuk setiap 𝛼 ∈ 𝑅 2. Rumus barisan 𝑥 yang dilengkapi dengan norma-F disebut ruang bernorma-F 3. Ruang Frechet atau ruang F adalah ruang bernorma-F yang lengkap. Definisi 3 Diberikan ruang barisan 𝑋 1. Norma- B dari 𝑥 ∈ 𝑋, ditulis ‖𝑋‖ Adalah norma-F yang memenuhi sifat homogen ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼|‖𝑥‖ Untuk setiap 𝛼 ∈ 𝑅 Definisi 4 Diberikan ruang vektor 𝑋 1. sebuah norma pada ruang vektor 𝑋 adalah fungsi bernilai real pada X yang dinotasikan dengan ‖⋅‖ , sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝛼 ∈ 𝑅 memenuhi: (N1) ‖𝑋‖ ≥ 0 dan ‖𝑋‖ = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝜃 (N2) ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼|‖𝑥‖ (N3) ‖𝑥 + 𝑦‖ = ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ 2. sebuah matrik 𝑑 pada X yang dibentuk oleh norma pada 𝑋 didefinisikan oleh 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖ 3. ruang bernorma 𝑋 adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan matrik yang dibentuk oleh norma, dinotasikan oleh (𝑋, ‖⋅‖) 4. ruang bernorma adalah ruang benorma-B Akibat 1 Ruang Banach adalah ruang bernorma yang lengkap Definisi 5 Ruang barisan X disebut ruang FK, jika X merupakan ruang Frechet dari barisan real, sehingga untuk setiap 𝑘, 𝑃𝑘 kontinu dengan 𝑃𝑘 (𝑥) = 𝑥𝑘 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Definisi 6 Ruang baraisan 𝑋 disebut ruang BK, jika 𝑋 merupakan ruang Banach dari bilangan real, sehingga, untuk setiap 𝑘, 𝑃𝑘 kontinu dengan 𝑃𝑘 (𝑥) = 𝑥𝑘 untuk 𝑥 ∈ 𝑋 Diberikan . Berdasarkan definisi 5 dan 6 diperoleh hubungan yang disajikan dalam teorema berikut; Teorema 1 Jika 𝑋 ruang BK, Maka 𝑋 ruang 𝐹𝐾 Bukti 𝑋 ruang 𝐵𝐾 berarti 𝑋 ruang Banach Dari barisan real, sehingga untuk setiap 𝑘, 𝑃𝑘 kontinu dengan 𝑃𝑘 (𝑥) = 𝑥𝑘 untuk 𝑥 ∈ 𝑋. Berdasarkan definisi 3 (3), maka 𝑋 merupakan ruang bernorma-B yang lengkap, dan berdasarkan definisi 3 (1) maka ruang bernorma-B yang lengkap adalah ruang bernorma-F yang memenuhi sifat homogen ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼|‖𝑥‖, yang juga lengkap. Berdasarkan definisi 2 (3) maka 𝑋 merupakan ruang Frechet. Dengan mengambil 𝑘 di atas, untuk setiap 𝑘 𝑃𝑘 kontinu dengan 𝑃𝑘 9𝑥) = 𝑥𝑘 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Definisi 7 Sebuah ruang Frechet 𝑋 ddari barisan real disebut memiliki sifat AK, jika 𝑋 memuat semua barisan hingga dan ‖𝑥 𝑁 − 𝑥‖ → 0, (𝑁 → ∞) 2

Teorema 2 Jika ruang Frechet 𝑋 mempunyai sifat ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋, maka 𝑋 merupakan ruang FK Teorema 3 Jika ruang Frechet 𝑋 mempunyai sifat ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖ dan sifat AK, maka 𝑠𝑢𝑝𝑁‖𝑥 𝑁 ‖ = ‖𝑥‖ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Bukti 𝑋 mempunyai sifat AK berarti 𝑋 memuat semua barisan hingga dan ‖𝑥 𝑁 − 𝑥‖ → 0, (𝑁 → ∞). Karena ‖𝑥 𝑁 − 𝑥‖ → 0 berarti untuk setiap 𝜀 > 0 ada 𝑘𝜀 ∈ 𝑁, sehingga untuk 𝑁 ≥ 𝑘𝜀 berlaku ‖𝑥 𝑁 − 𝑥‖ < 𝜀. Khususnya, jika 𝜀 = 1, maka ada 𝑘1 ∈ 𝑁 sehingga untuk 𝑁 ≥ 𝑘1 berlaku ‖𝑥 𝑁 − 𝑥‖ < 1. Dari ketaksamaan segitiga, diperoleh ‖𝑥 𝑁 ‖ − ‖𝑥‖ < ‖𝑥 𝑁 − 𝑥‖ < 1, untuk setiap 𝑁 ≥ 𝑘1 sehingga ‖𝑥 𝑁 ‖ < ‖𝑥‖ + 1, berlaku untuk setiap 𝑁 ≥ 𝑘1 . Jika 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑥 𝑁 ‖ = 𝑆𝑢𝑝𝑁 {‖𝑥 1 ‖, ‖𝑥 2 ‖, … , ‖𝑥 𝑁−1 ‖, ‖𝑥‖ + 1}, maka ‖𝑥 𝑁 ‖ < 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑥 𝑁 ‖ * untuk setiap 𝑁 ∈ ℕ. Sehimgga berlaku juga ‖𝑥‖ < ‖𝑥‖ + 1 ≤ 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑥 𝑁 ‖, diperoleh ‖𝑥 𝑁 ‖ < 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑥 𝑁 ‖. karena ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖ maka ‖𝑥 𝑁 ‖ < 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑥‖ = ‖𝑥‖ diperoleh 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖ **. Dari * dan ** diperoleh 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑥 𝑁 ‖ = ‖𝑥‖ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Definisi 8 Sebuah ruang barisan 𝑋 yang bernorma-F disebut mempunyai GHP, 𝑛(𝑘) ∑∞ ∈ 𝑋. 𝑘=1 𝑧

jika untuk sembarang

Berkaitan dengan definisi 8, untuk suatu ruang bernorma yang lengkap ternyata mempunyai GHP yang disajikan pada teorema berikut: Teorema 4 Sebarang ruang bernorma lengkap mempunyai GHP Bukti Diberikan X sebarang ruang banach, akan ditunjukkan bahwa X mempunyai GHP jika dan hanya jika untuk setiap barisan blok {𝑧 𝑛 } dngan ‖𝑧 𝑛 ‖ → 0, (𝑛 → ∞), ada subbarisan {𝑛(𝑘)} dari 𝑍 + sehingga 𝑛(𝑘) ∑∞ ∈ 𝑋. Diambil sembarang barisan blok {𝑧 𝑛 } ⊂ 𝑋 dengan ‖𝑧 𝑛 ‖ → 0, (𝑛 → ∞) yang berarti 𝑘=1 𝑧 𝜀 untuk setiap 𝜀 > 0 ada 𝑛0 ∈ 𝑁 sehingga 𝑛 ≥ 𝑛0 maka {𝑧 𝑛 } <2. Didefinisikan sebuah barisan 𝑥𝑛 =

𝑖(𝑘) ∑𝑛𝑘=1 𝑧 𝑛(𝑘) ‖𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 ‖ = ‖∑𝑛𝑘=1 𝑧 𝑖(𝑘) − ∑𝑚 maka berlaku ‖ = ‖∑𝑛𝑘=1 𝑧 𝑖(𝑘) ‖ ≤ 𝑘=1 𝑧 𝜀 ∑𝑛𝑘=𝑚+1‖𝑧 𝑖(𝑘) ‖ < (𝑛 − 𝑚 − 1) sehingga {𝑥𝑛 } merupakan barisan Cauchy. Karena X Merupakan 2 𝑛(𝑘) ruang banach, maka {𝑥𝑛 } konvergen ke suatu 𝑥 ∈ 𝑋. Akibatnya ∑∞ = 𝑥 ∈ 𝑋. Oleh karena 𝑘=1 𝑧 𝑛} {𝑧 barisan blok yang diambil sebarang, maka untuk setiap barisan blok ⊂ 𝑋, dengan ‖𝑧 𝑛 ‖ → ∞ ∗ 𝑛(𝑘) 0, (𝑛 → ∞), ada subbarisan {𝑛(𝑘)} dari 𝑍 sehingga ∑𝑘=1 𝑧 = 𝑥 ∈ 𝑋 yang berarti ruang X mempunyai GHP.

Definisi 9 X sebuah ruang barisan bernorma-F disebut mempunyai SGHP, jika untuk sembarang barisan blok 𝑛(𝑘) {𝑧 𝑛 } dengan {‖𝑧 𝑛 ‖}𝑛 ≥ 1 terbatas, ada subbarisan {𝑛(𝑘)} dari 𝑍 ∗ sehingga berlaku ∑∞ ∈𝑋 𝑘=1 𝑧 Operator dan Fungsional Operator merupakan pemetaaan dari ruang bernorma X ke dalam ruang bernorma Y. Khususnya, untuk sebuah operator yang memetakan dari suatu ruang bernorma X ke Y yang didefinisikan oleh 𝑃(𝑥) = 𝑃𝑔 (𝑥) = {𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )}𝑘≥1 ∈ 𝑌 untuk setiap 𝑥 = {𝑥𝑘 } ∈ 𝑋 disebut sebagai operator superposisi. Berlainan dengan operator, fungsional merupakan pemetaan dari ruang bernorma X ke dalam skalar field real atau kompleks. Fungsional T didefinisikan pada sebuah ruang barisan X disebut aditif ortogonal, jika 𝑇(𝑥 + 𝑦) = 𝑇(𝑥) + 𝑇(𝑦) dimana 𝑥 = {𝑥𝑘 }, 𝑦 = {𝑦𝑘 }, dan 𝑥𝑘 𝑦𝑘 = 0, untuk setiap k. Keterbatsan Pada Operator Superposisi 3

Diberikan X dan Y ruang barisan bernorma. Sebuah operator superposisi 𝑃𝑔 : 𝑋 → 𝑌 yang didefinisikan oleh 𝑃(𝑥) = 𝑃𝑔 (𝑥) = {𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )}𝑘≥1 ∈ 𝑌 untuk setiap 𝑥 = {𝑥𝑘 } ∈ 𝑋. Asumsikan 𝑔(𝑘, 0) = 0 untuk setiap 𝑘 ∈ 𝑍 + , maka 𝑃(𝑥 𝜒𝐸 ) = 𝑃(𝑥)𝜒𝐸 , untuk setiap 𝐸 ∈ 𝑍 + , khususnya 𝑁 𝑘 𝑘 𝑃(𝑋 𝑁 ) = 𝑃[∑𝑁 𝑘=1 𝑥𝑘 𝑒 ] = ∑𝑘=1 𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )𝑒 . Definisi 10 Operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌 terbatas jika dan hanya jika 𝑠𝑢𝑝 1. ‖𝑥‖ ≤ 𝛼 ‖𝑃(𝑥)‖ < ∞, untuk setiap 𝛼 > 0. 2. untuk setiap 𝛼 > 0,ada 𝛽 > 0 sehingga, jika ‖𝑥‖ ≤ 𝛼 maka ‖𝑃(𝑥)‖ ≤ 𝛽 Definisi 11 Operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌 terbatas lokal pada 0 jika dan hanya jika ada 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 sehingga jika ‖𝑥‖ ≤ 𝛼 maka ‖𝑃(𝑥)‖ ≤ 𝛽. Definisi 12 Operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌 terbatas lokal pada 𝑥0 ∈ 𝑋 jika dan hanya jika ada 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 sehingga jika ‖𝑥 − 𝑥0 ‖ ≤ 𝛼 maka ‖𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑥0 )‖ ≤ 𝛽. Definisi 13 Operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌 terbatas lokal jika dan hanya jika 𝑃 terbatas lokal pada setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Teorema 5 Jika Operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌 terbatas maka : 𝑋 → 𝑌 terbatas lokal. Bukti: 𝑃 terbatas berarti untuk setiap 𝛼 > 0 ada 𝛽 > 0 sehingga, jika ‖𝑥‖ ≤ 𝛼 maka ‖𝑃(𝑥)‖ ≤ 𝛽. 𝛼 Diberikan sebarang 𝑥0 ∈ 𝑋. Karena 𝑃 terbatas maka untuk 𝛼1 > 0 dengan 𝛼1 = > 0 ada 𝛽 > 0 sehingga jika ‖𝑥0 ‖ ≤

𝛼 2

2

= 𝛼2 maka berlaku ‖𝑃(𝑥0 )‖ ≤ 𝛽. Jika

‖𝑥 − 𝑥0 ‖ ≤

𝛼 2

= 𝛼2 , dari

ketaksamaan segitiga ‖𝑥‖ − ‖𝑥0 ‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑥0 ‖ diperoleh ‖𝑥‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑥0 ‖ + ‖𝑥0 ‖ ≤

𝛼 2

𝛼 2

+ = 𝛼

maka ada 𝛽 > 0 tersebut di atas sehingga berlaku ‖𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑥0 )‖ ≤ ‖𝑃(𝑥)‖ + ‖𝑃(𝑥0 )‖ ≤ 𝛽 + 𝛽 = 𝛼 2𝛽. Akibatnya, ada 𝛼2 = 2 > 0 dan 2𝛽 > 0 sehingga jika ‖𝑥 − 𝑥0 ‖ ≤ 𝛼2 maka berlaku ‖𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑥0 )‖ ≤ 2𝛽, yang berarti 𝑃 terbatas lokal pada 𝑥0 . Karena 𝑥0 sebarang maka 𝑃 terbatas lokal pada setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Definisi 14 Untuk setiap k, 𝑔(𝑘,∙) terbatas jika dan hanya jika untuk setiap 𝛼 > 0, ada 𝛽 > 0 sehingga jika |𝑡| ≤ 𝛼, 𝑡 ∈ [−𝛼, 𝛼], maka berlaku |𝑔(𝑘, 𝑡)| ≤ 𝛽. Dapat dikatakan juga bahwa 𝑔(𝑘,⋅) jika dan hanya jika 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas.

4

Teorema 6 Untuk setiap 𝑘, 𝑔(𝑘,⋅) terbatas jika dan hanya jika 𝑔(𝑘,⋅) terbatas local. Bukti (⟹) ambil sembarang 𝑡0 ∈ 𝑅. Pilih 𝛼 > 0 dengan 𝛼 > 2|𝑡0 |. Karena 𝑔(𝑘,∙) terbatas maka ada 𝛽 > 0, sehingga jika |𝑡| ≤ 𝛼 diperoleh |𝑔(𝑘, 𝑡)| ≤ 𝛽. Akibatnya, |𝑔(𝑘, 𝑡0 )| ≤ 𝛽. Misalkan |𝑡 − 𝑡0 | ≤ 𝛼 𝛼 𝛼 , karena |𝑡| − |𝑡0 | ≤ |𝑡 − 𝑡0 | maka berlaku |𝑡| ≤ |𝑡 − 𝑡0 | + |𝑡0 | ≤ 2 + 2 = 𝛼 sehingga |𝑔(𝑘, 𝑡)| ≤ 𝛽 2 𝛼

diperoleh, |𝑔(𝑘, 𝑡) − 𝑔(𝑘, 𝑡0 )| ≤ |𝑔(𝑘, 𝑡)| + |𝑔(𝑘, 𝑡0 )| ≤ 𝛽 + 𝛽 = 2𝛽.akibatnya ada 𝛼1 = 2 > 0 dan 𝛽1 = 2𝛽 > 0 , sehingga jika |𝑡 − 𝑡0 | ≤ 𝛼1 maka berlaku |𝑔(𝑘, 𝑡) − 𝑔(𝑘, 𝑡0 )| ≤ 𝛽1 . Hal tersebut berarti bahwa 𝑔(𝑘,∙) terbatas local pada 𝑡0 ∈ 𝑅. Karena 𝑡0 sebarang, maka 𝑔(𝑘,∙) terbatas local untuk setiap 𝑡0 ∈ 𝑅. (⇐) diberikan [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝑅. Ambil sebarang 𝑡0 ∈ [𝑎, 𝑏], dimana 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada interval (𝑡0 − 𝛼(𝑡0 ), 𝑡0 + 𝛼(𝑡0 )) yang merupakan cover terbuka dari [𝑎, 𝑏] berdasarkan teorema “ sebarang interval tertutup dan terbatas 𝐾 = [𝑎, 𝑏] adalah kompak”. Kemudian menurut definisi [𝑎, 𝑏] mempunyai subcover berhingga. Akibatnya g tertutup dan terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Berikut ini akan disajikan suatu lemma yang akan membantu dalam pembuktian teorema plucieninik. Lemma 1 Jika 𝑃: 𝑋 → 𝑌 terbatas local, maka 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas, untuk setiap k. Bukti Untuk sembarang 𝑡0 ∈ 𝑅, ada 𝑒 𝑘 untuk suatu nilai 𝑘 , sehingga berlaku 𝑡0 𝑒 𝑘 ∈ 𝑋. Misalkan 𝑡0 𝑒 𝑘 = 𝑥0 ∈ 𝑋. Ditetapkan nilai 𝑘 , dan diberikan 𝛼 > 0 dan 𝑡0 ∈ 𝑅. Karena 𝑃 terbatas local maka ada 𝛼 > 0 𝛼 𝛼 sehingga, |𝑡 − 𝑡0 | ≤ 𝑘 = 𝛼1 > 0, ‖𝑒 𝐾 ‖ > 0. Karena |𝑡 − 𝑡0 | ≤ 𝑘 diperoleh ‖𝑡𝑒 𝑘 − 𝑡0 𝑒 𝑘 ‖ ≤ 𝛽, ‖𝑒 ‖

‖𝑒 ‖

maka berlaku ‖𝑃(𝑡𝑒 𝑘 ) − 𝑃(𝑡0 𝑒 𝑘 )‖ ≤ 𝛽 untuk suatu 𝛽 > 0 . karena 𝑃 operator superposisi berarti ‖𝑃(𝑡𝑒 𝑘 )‖ = ‖𝑔(𝑘, 𝑡)𝑒 𝑘 ‖ = |𝑔(𝑘, 𝑡)|‖𝑒 𝑘 ‖ sehingga |𝑔(𝑘, 𝑡)| =

‖𝑃(𝑡𝑒 𝑘 )‖ ‖𝑒 𝑘 ‖

, ‖𝑒 𝑘 ‖ > 0

*

. Perhatikan

ketaksamaan segitiga ‖𝑃(𝑡𝑒 𝑘 )‖ − ‖𝑃(𝑡0 𝑒 𝑘 )‖ ≤ ‖𝑃(𝑡𝑒 𝑘 ) − 𝑃(𝑡0 𝑒 𝑘 )‖ ekiuvalen dengan ‖𝑃(𝑡𝑒 𝑘 )‖ ≤ ‖𝑃(𝑡𝑒 𝑘 ) − 𝑃(𝑡0 𝑒 𝑘 )‖ + ‖𝑃(𝑡0 𝑒 𝑘 )‖ karena ‖𝑒 𝑘 ‖ > 0 untuk setiap 𝑘 maka dari persamaan * diperoleh |𝑔(𝑘, 𝑡0 )| ≤ 𝛽1 =

𝛽 ‖𝑒 𝑘 ‖

+ |𝑔(𝑘, 𝑡0 )| >0. Jika |𝑡 − 𝑡0 | ≤

𝛽 ‖𝑒 𝑘 ‖ 𝛼 ‖𝑒 𝑘 ‖

‖𝑃(𝑡𝑒 𝑘 )‖ ‖𝑒 𝑘 ‖

≤

𝛽 ‖𝑒 𝑘 ‖

+ |𝑔(𝑘, 𝑡0 )| berarti untuk setiap 𝛼1 = = 𝛼1 maka berlaku |𝑔(𝑘, 𝑡)| ≤

yang berarti 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada interval [𝑡0 −

𝛼 ‖𝑒 𝑘 ‖

, 𝑡0 +

𝛼

𝛽 ‖𝑒 𝑘 ‖

+ |𝑔(𝑘, 𝑡0 )| 𝛼

‖𝑒 𝑘 ‖

> 0 ada

+ |𝑔(𝑘, 𝑡0 )| = 𝛽1

] karena 𝑡0 ∈ 𝑅 sebarang, maka 𝑔(𝑘,∙)

‖𝑒 𝑘 ‖

terbatas pada setiap interval terbatas di R. Teorema 7 (T.Plucieninik) Diberikan ruang barisan bernorma X dan Y. jika X mempunyai GHP dan ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖ , untuk setiap N. Y memenuhi 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑦 𝑁 ‖ = ‖𝑦‖, dan 𝑃: 𝑋 → 𝑌 operator ssuperposisi yang didefinisikan oleh 𝑃(𝑥) = 𝑃𝑔 (𝑥) = {𝐺(𝑘, 𝑥𝑘 )}𝑘≥1 ∈ 𝑌 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap 𝑘), maka 𝑃 terbatas local pada 0. Bukti

5

Ambil sembarang 𝛼 > 0 maka ada 𝛽 > 0 yang didefinisikan 𝛽1 = sup {𝑔(𝑘, 𝑡): |𝑡| ≤ 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas maka 𝛽𝑘 < +∞, untuk setiap 𝑘. Untuk 𝑘

𝑘

‖𝑥𝑘 𝑒 ‖ = |𝑥𝑘 |‖𝑒 ‖ ≤ ‖𝑥𝑘

‖‖𝑒 𝑘

𝛼

𝛼

}, karena

‖𝑒 𝑘 ‖ 𝛼 ‖𝑥‖ ≤ 2

berlaku

𝑘

‖ ≤ 2‖𝑥‖ ≤ 𝛼, diperoleh |𝑥𝑘 | ≤ ‖𝑒 𝑘 ‖ dengan ‖𝑒 ‖ > 0. Akibatnya

𝑁 𝑁 𝑘 𝑘 𝑘 ** ‖𝑃(𝑥 𝑁 )‖ = ‖∑𝑁 Selanjutnya, 𝑘=1 𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )𝑒 ‖ ≤ ∑𝑘=1 |𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )|‖𝑒 ‖ ≤ ∑𝑘=1‖𝑒 ‖𝛽𝑘 = 𝑎𝑛 . andaikan P tidaka terbatas local pada 0, berarti untuk setiap 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0, ada 𝑥 ∈ 𝑋 sehingga berlaku ‖𝑥‖ ≤ 𝛼 tetapi ‖𝑃(𝑥)‖ > 𝛽. Ambil sembarang 𝛼 > 0 maka ada 𝛽 > 0 dan ada barisan blok 𝛼 {𝑥 𝑛 } ⊂ 𝑋, dengan ‖𝑥 𝑛 ‖ → 0 dan ‖𝑥 𝑛 ‖ ≤ tetapi ‖𝑃(𝑥 𝑛 )‖ > 𝑎𝑛 + 𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, dengan 2

𝑘 𝑛1 𝑎𝑛 = ∑𝑁 𝑘=1 𝛽𝑘 ‖𝑒 ‖. Ambil 𝑛1 = 1, maka berlaku ‖𝑃(𝑥 )‖ > 𝑎𝑛1 + 𝑛1 . kemudian ambil 𝑛2 > 𝑛1 , maka berlaku ‖𝑃(𝑥 𝑛1 )𝑛2 ‖ > 𝑎𝑛1 + 𝑛1 dimana 𝑃(𝑥 𝑛1 )𝑛2 menotasikan barisan hingga dari 𝑃(𝑥 𝑛1 ) . Ambil 𝑛3 > 𝑛2 maka berlaku ‖𝑃(𝑥 𝑛2 )𝑛3 ‖ > 𝑎𝑛2 + 𝑛2 sehingga secara umum berlaku ‖𝑃(𝑥 𝑛𝑖 )𝑛𝑖+1 ‖ > 𝑎𝑛𝑖 + 𝑛𝑖 . ***. Dari persamaan ** diperoleh ‖𝑃(𝑥 𝑛𝑖 )𝑛𝑖+1 ‖ > 𝑎𝑛𝑖 , (𝑖 = 1,2,3, … ) ****. Dari ketaksamaan *** dan **** diperoleh ‖𝑃(𝑥 𝑛𝑖 )𝑛𝑖+1,𝑛𝑖+1 ‖ = ‖𝑃(𝑥 𝑛𝑖 )𝑛𝑖+1 − 𝑃(𝑥 𝑛𝑖 )𝑛𝑖 ‖ ≥ ‖𝑃(𝑥 𝑛𝑖 )𝑛𝑖+1 ‖ − ‖𝑃(𝑥 𝑛𝑖 )𝑛𝑖 ‖ > 𝑎𝑛𝑖 + 𝑛𝑖 − 𝑎𝑛𝑖 = 𝑛𝑖 untuk setiap 𝑖. Didefinisikan sebuah barisan blok 𝑛𝑖 {𝑧 𝑖 } ⊂ 𝑋 sebagai berikut: 𝑍 𝑖 = {0, … ,0, 𝑥𝑛𝑖+1 , 0, … }, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, …. Karena ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖, maka

diperoleh ‖𝑧 𝑖 ‖ ≤ 2‖𝑥 𝑛𝑖 ‖ → 0, (𝑛 → ∞). Karena X mempunyai GHP, maka ada subbarisan {𝑖(𝑘)} 1

1

𝑖(𝑘) sehingga berlaku 𝑧 = ∑∞ ∈ 𝑋 akibatnya ‖𝑃(𝑧)‖ ≥ 2 ‖𝑃(𝑧 𝑖(𝑘) ‖ > 2 𝑛𝑖(𝑘) , untuk setiap 𝑘. Hal 𝑘=1 𝑧

tersebut kontradiksi dengan 𝑃(𝑧) ∈ 𝑌, ini berarti P terbatas local pada 0. Teorema 8 Diberikan ruang barisan bernorma 𝑋 dan 𝑌. Jika 𝑋 mempunyai GHP dan ‖𝑋 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑋‖ untuk setiap 𝑁. 𝑌 memenuhi 𝑠𝑢𝑝𝑁 ‖𝑌 𝑁 ‖ = ‖𝑌‖ dan 𝑃: 𝑋 → 𝑌, 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap k), maka 𝑃 terbatas lokal. Bukti: Ambil sembarang 𝑥 (0) ∈ 𝑋. Pilih 𝛼 > 0 dengan 𝛼 > 4‖𝑥 (0) ‖. Karena 𝑔(𝑘,∙) terbatas, maka ada 𝛽 > (0)

(0)

𝛼

0 yang didefinisikan oleh 𝛽𝑘 = sup {|𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 ) − 𝑔 (𝑘, 𝑥𝑘 ) | : |𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 | ≤ 𝑘 } dengan 𝛽𝑘 < +∞, ‖𝑒 ‖ sehingga berdasarkan pembuktian teorema T. Pluciennik jika ‖𝑥‖ ≤ berlaku ‖𝑃(𝑥 𝑁 )‖ ≤ ‖𝑥 (𝑛) − 𝑥 (0) ‖ ≤ berlaku

𝛼 , 4

𝑎𝑁 2

𝛼 2

dengan |𝑥𝑘 | ≤

Akibatnya, ‖𝑃(𝑥 (0),𝑁 )‖

dengan 𝑎𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝛽𝑘 ‖𝑒 𝑘 ‖. 𝛼

(0)

𝑎 ≤ 2𝑁. (𝑛)

dengan |𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 | ≤ 𝑘 diperoleh ‖𝑥 (𝑛) ‖ − ‖𝑥 (0) ‖ ≤ ‖𝑥 ‖𝑒 ‖ 𝛼 4 (0),𝑁

‖𝑥 (𝑛) ‖ ≤ ‖𝑥 (𝑛) − 𝑥 (0) ‖ + ‖𝑥 (0) ‖ ≤

‖𝑃(𝑥 𝑁 ) − 𝑃(𝑥 (0),𝑁 )‖ ≤ ‖𝑃(𝑥 𝑁 )‖ + ‖𝑃(𝑥

𝛼 𝛼 4 2 𝑎 ≤ 2𝑁

+ = ,

)‖

sehingga +

𝑎𝑁 2

‖𝑃(𝑥 𝑁 )‖ ≤

𝑎𝑁 . 2

𝛼 ‖𝑒 𝑘 ‖

maka

Misalkan

− 𝑥 (0) ‖ dan Akibatnya,

= 𝑎𝑁 . Selanjutnya, andaikan 𝑃 tidak

(0)

terbatas lokal pada 𝑥 , berarti untuk setiap 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0, ada 𝑥 ∈ 𝑋 sehingga berlaku ‖𝑥 − 𝑥0 ‖ ≤ 𝛼 tetapi ‖𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑥0 )‖ > 𝛽. Ambil sembarang 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 dan ada barisan blok 𝛼 {𝑥 (𝑛) } ⊂ 𝑋, dengan ‖𝑥 (𝑛) − 𝑥 (0) ‖ → 0 dan ‖𝑥 (𝑛) − 𝑥 (0) ‖ ≤ 4 tetapi ‖𝑃(𝑥 𝑁 ) − 𝑃(𝑥 (0),𝑁 )‖ > 𝑎𝑛 + 𝑛, untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁. Secara sama dengan pembuktian Teorema T. Pluciennik, maka didapat ‖𝑃(𝑥 𝑛𝑖 )𝑛𝑖+1,𝑛𝑖+1 − 𝑃(𝑥 (0) )𝑛𝑖+1,𝑛𝑖+1 ‖ > 𝑛 (∗) , untuk setiap 𝑖. Didefinisikansebuah barisan blok (𝑛 )

(𝑛 )

(0) (0) 𝑖 𝑖 − 𝑥𝑛𝑖+1 , … , 𝑥𝑛𝑖+1 − 𝑥𝑛𝑖+1 , 0, … } , 𝑖 = 1, 2, 3, . .. . Karena ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ {𝑧 𝑖 } ⊂ 𝑋 yaitu 𝑧 𝑖 = {0, … , 0, 𝑥𝑛𝑖+1

‖𝑥‖, maka diperoleh ‖𝑧𝑖 ‖ ≤ 2‖𝑥 (𝑛𝑖) − 𝑥 (0) ‖ → 0, (𝑖 → ∞). Karena X mempunyai GHP, maka ada 𝑖(𝑘) subbarisan {𝑖(𝑘)} sehingga berlaku 𝑧 = ∑∞ ∈ 𝑋 dan 𝑃(𝑧 + 𝑥 (0) ) − 𝑃(𝑥 (0) ) ∈ 𝑌 tetapi dari 𝑘=1 𝑧 1

(*) diperoleh ‖ 𝑃(𝑧 + 𝑥 (0) ) − 𝑃(𝑥 (0) )‖ > 2 𝑛𝑖(𝑘) untuk setiap 𝑘. Hal tersebut kontradiksi dengan 𝑃(𝑧) ∈ 𝑌 . Jadi haruslah 𝑃 terbatas lokal. 6

Teorema 9 Diberikan ruang barisan bernorma 𝑋 dan 𝑌 . Ruang barisan 𝑋 mempunyai GHP dan ‖𝑋 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑋‖ untuk setiap 𝑁. 𝑌 memenuhi 𝑠𝑢𝑝𝑁 ‖𝑌 𝑁 ‖ = ‖𝑌‖ dan operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌, dengan 𝑔(𝑘, 0) = 0 untuk setiap 𝑘. P terbatas lokal jika dan hanya jika 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap 𝑘). Bukti: (→) Karena P terbatas lokal pada 0, berarti ada 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 sehingga jika ‖𝑥‖ ≤ 𝛼 maka ‖𝑃(𝑥)‖ ≤ 𝛽. Karena 𝑔(𝑘, 0) = 0 untuk setiap 𝑘, diperoleh jika ‖𝑥‖ ≤ 𝛼 maka berlaku ‖𝑃(𝑥)‖ = 𝑘 ini berarti pula untuk |𝑥𝑘 | ≤ 𝛼. Diperoleh |𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )| ‖𝑒 𝑘 ‖ = ‖∑∞ 𝑘=1 𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 ) 𝑒 ‖ ≤ 𝛽 𝑘 ‖𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 ) 𝑒 𝑘 ‖ ≤ 2‖∑∞ 𝑘=1 𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 ) 𝑒 ‖ ≤ 2𝛽 untuk setiap 𝑘. Sehingga berlaku |𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )| ≤

𝛽1 , ‖𝑒 𝑘 ‖ > 0. Akibatnya ada 𝛼 > 0 dan 𝛽1 =

2𝛽 ‖𝑒 𝑘 ‖

2𝛽 ‖𝑒 𝑘 ‖

=

> 0, sehingga jika |𝑥𝑘 | ≤ 𝛼 maka |𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )| ≤

𝛽1 yang berarti 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas di 𝑅(untuk setiap 𝑘). (←) Jika 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas di 𝑅, maka berdasarkan Teorema 8 operator 𝑃 terbatas lokal untuk setiap 𝑘. Teorema 10 (T. Pluciennik) Diberikan ruang barisan bernorma 𝑋 dan 𝑌 . Ruang barisan 𝑋 mempunyai sifat ‖𝑋 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑋‖ untuk setiap 𝑁 dan SGHP. 𝑌 memenuhi 𝑠𝑢𝑝𝑁 ‖𝑌 𝑁 ‖ = ‖𝑌‖ dan operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌 dengan 𝑔(𝑘, 0) = 0 untuk setiap 𝑘. Fungsi 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap 𝑘) jika dan hanya jika 𝑃 terbatas. Bukti (→) Andaikan 𝑃 tidak terbatas maka ada 𝛼 > 0 sehingga untuk setiap 𝛽 > 0 ada 𝑥 ∈ 𝑋 dengan ‖𝑥‖ ≤ 𝛼 tetapi ‖𝑃(𝑥)‖ > 𝛽, maka ada barisan {𝑥 (𝑛) } ⊂ 𝑋 sehingga ‖𝑥 (𝑛) ‖ ≤ 𝛼, tetapi ‖𝑃(𝑥 (𝑛) )‖ > 𝑎𝑛 + 𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 dimana 𝑎𝑁 = ∑𝑁 𝑘=1 [𝑠𝑢𝑝 {|𝑔(𝑘, 𝑡)|: |𝑡| ≤

𝛼

}] ‖𝑒 𝑘 ‖. Ambil 𝑛1 = 1

‖𝑒 𝑘 ‖

maka berlaku ‖𝑃(𝑥 (𝑛1 ) )‖ > 𝑎𝑛1 + 𝑛1 , karena 𝑠𝑢𝑝𝑁 ‖𝑦 𝑁 ‖ = ‖𝑦‖ maka dapat diambil 𝑛2 > 𝑛1 sehingga ‖𝑃(𝑥

berlaku

𝑛2

‖𝑃(𝑥 (𝑛1 ) ) ‖ > 𝑎𝑛1 + 𝑛1

selanjutnya

ambil

𝑛3 > 𝑛2

(𝑛2 ) 𝑛3

) ‖ > 𝑎𝑛2 + 𝑛2 dan seterusnya, sehingga secara umum berlaku ‖𝑃(𝑥

maka

(𝑛𝑖 ) 𝑛𝑖+1

)

berlaku

‖ > 𝑎𝑛𝑖 +

𝑛𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, … (#) Secara sama dengan pembuktian Teorema 7 maka diperoleh

𝑛𝑖

‖𝑃(𝑥 (𝑛𝑖) ) ‖ ≤ 𝑎𝑛𝑖, , 𝑖 =

𝑛𝑖 +1,𝑛𝑖+1

1, 2, 3, … (##). Dari ketaksamaan (#) dan (##) diperoleh ‖𝑃(𝑥 (𝑛𝑖) ) 𝑃(𝑥

(𝑛𝑖 ) 𝑛𝑖

) ‖ ≥ ‖𝑃(𝑥 (𝑛𝑖) )

𝑛𝑖+1

‖ − ‖𝑃(𝑥

(𝑛𝑖 ) 𝑛𝑖

) ‖ > 𝑎𝑛𝑖 + 𝑛𝑖 − 𝑎𝑛𝑖 = 𝑛𝑖 (𝑛 )

‖ = ‖𝑃(𝑥 (𝑛𝑖) )

untuk

setiap

𝑛𝑖+1

− 𝑖.

(𝑛 )

𝑖 𝑖 Didefinisikan barisan blok di 𝑋 sebagai berikut : 𝑍 𝑖 = {0, … , 0, 𝑥𝑛𝑖+1 , … , 𝑥𝑛𝑖+1 , 0, … } , untuk 𝑖 =

1, 2, 3, . .. dengan 𝑠𝑢𝑝𝑖 ‖𝑧 𝑖 ‖ < +∞ dan ‖𝑧 𝑖 ‖ ≤ 2‖𝑥 𝑛𝑖 ‖ ≤ 2𝛼 . karena 𝑋 mempunyai SGHP, maka ada 1

1

𝑖(𝑘) subbarisan {𝑖(𝑘)} sehingga 𝑧 = ∑∞ ∈ 𝑋 dan ‖𝑃(𝑧)‖ ≥ 2 ‖𝑃(𝑧 𝑖(𝑘) )‖ ≥ 2 𝑛𝑖(𝑘) untuk setiap 𝑘. 𝑘=1 𝑧

Hal tersebut kontradiksi dengan 𝑃(𝑧) ∈ 𝑌. Jadi haruslah 𝑃 terbatas. (←) Karena 𝑃 terbatas dan berdasarkan Teorema 9 , maka 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap 𝑘). 7

Keabsahan masih berlaku jika menggantikan ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖ dengan ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ 𝜆‖𝑥‖ untuk setiap 𝑁 dan suatu 𝜆 > 0, serta 𝑠𝑢𝑝𝑁 ‖𝑌 𝑁 ‖ = ‖𝑌‖. Sebagai contoh jika 𝑥 = {𝑥𝑘 } ∈ 𝑏𝜈 dengan ‖𝑥‖ = |𝑥1 | + 1 𝑁 𝑁 ∑∞ 𝑘=1|𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 | < +∞ maka diperoleh 𝑠𝑢𝑝𝑁 ‖𝑥 ‖ ≥ ‖𝑥‖ ≥ 2 ‖𝑥 ‖.

Kesimpulan Pada suatu ruang barisan bernorma X dan Y didefinisikan suatu operator superposisi 𝑃𝑔 : 𝑋 → 𝑌 oleh 𝑃(𝑥) = 𝑃𝑔 (𝑥) = {𝑔(𝑘, 𝑥𝑘 )}𝑘≥1 ∈ 𝑅 untuk setiap 𝑥 = {𝑥𝑘 } ∈ 𝑋. Operator superposisi tersebut memiliki beberapa definisi keterbatasan, diantaranya operator superposisi terbatas, terbatas local pada 0, terbatas local pada 𝑥0 ∈ 𝑋, dan terbatas local. Berdasarkan beberapa lemma dan teorema yang sudah dibuktikan, keterbatasan pada operator superposisi tersebut memiliki suatu hubungan, diantaranya: (1) jika operator superposisi terbatas maka P terbatas local, (2) fungsi g terbatas , jika dan hanya jika g terbatas local, (3) jika P terbatas local, maka g terbatas pada setiap interval terbatas, (4) jika X mempunyai GHP dan ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖ untuk setiap N. Y memenuhi 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑦 𝑁 ‖ = ‖𝑦‖, g terbatas pada setiap interval terbatas, maka P terbatas local pada 0 dan terbatas local, (5) ruang barisan X mempunyai GHP dan ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖ untuk setiap N. Y memenuhi 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑦 𝑁 ‖ = ‖𝑦‖ dan operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌 dengan 𝑔(𝑘, 0) = 0 untuk setiap k. P terbatas local jika dan hanya jika 𝑔(𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap k), dan (6) ruang barisan X mempunyai GHP dan ‖𝑥 𝑁 ‖ ≤ ‖𝑥‖ untuk setiap N, dan SGHP. Y memenuhi 𝑆𝑢𝑝𝑁 ‖𝑦 𝑁 ‖ = ‖𝑦‖ dan operator superposisi 𝑃: 𝑋 → 𝑌 dengan 𝑔(𝑘, 0) = 0 untuk setiap k. fungsi (𝑘,∙) terbatas pada setiap interval terbatas untuk setiap k, jika dan hanya jika P terbatas. Referensi A.C. Zaanen.(1997). Introductory to operator theory in Riesz Spaces. New York: Springer Verlag. C.L. Devito.(1990). Functional Analysis and Linear Operation Theory. New York: Addison Wesley Publishing Company. E.Kreyzig.(1978). Introduction Functional Analysis Aplications. New York: John Wiley & Son. E. Sumiati. (2000). Ruang Barisan Fungsional dan Operator. Yogyakarta: Tesis, UGM. H.L.Royden.(1989) Real Analysis (Third Edition) New York: Macmillan Publishing Company. I.J. Maddox.(1970) Element of Functional Analysis. London: Cambridge University Press. J.B. Conway.(1990) A Course in Functional Analysis. New York : Spinger Verlag. L.P.Yee.(1993). Sequence Spaces and Gliding Hump Property. USA: in Manuscript NUS and New Mexico State Universsity USA. S.D. Unoningsih, R. Pluciennik, and L.P. Yee. (1995). Boundedness of Superposition Operator on Sequence Space. Journal of Prace Mathematics. XXXV (1), 209-2016.

8