PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET
SAMSURIZAL
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Peran Transformasi Tustin pada Ruang Kontinu dan Ruang Diskret adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Agustus 2009 Samsurizal NIM G551070131
ABSTRACT SAMSURIZAL. The Role of Tustin Transformation in Continuous and DiscreteTime Systems. Under supervision of TONI BAKHTIAR and NUR ALIATININGTYAS. This thesis studies the role of the so-called Tustin transformation. The continuous-time system can be discretized into that discrete-time system, and viceversa. Tustin transformation is one of the methods that can be used to change continuous into a discrete-time system. It is well-known that the stability region of continuous-time system is located in the left-hand-side of the complex space, while that of the discrete-time system is laid in the unit circle. In this thesis, we demonstrate that Tustin transformation can be exploited in analyzing both of the stability regions. We also derive several corresponding properties of the continuous and discrete-time domain by exploiting Tustin transformation. Keywords: continuous-time systems, discrete-time systems, Tustin transformation, stability region.
RINGKASAN SAMSURIZAL. Peran Transformasi Tustin pada Ruang Kontinu dan Ruang Diskret. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan NUR ALIATININGTYAS. Sistem ruang waktu terdiri dari dua bagian, yaitu: sistem ruang kontinu dan sistem ruang diskret. Sistem ruang kontinu dinyatakan dalam persamaan diferensial, sedangkan sistem ruang diskret dinyatakan dalam persamaan beda. Secara umum, solusi dari persamaan diferensial dan persamaan beda lebih sulit ditemukan daripada solusi persamaan aljabar. Oleh karena itu, biasanya persamaan diferensial dan persamaan beda ditransformasikan menjadi fungsi rasional yang merupakan bentuk khusus dari fungsi aljabar. Transformasi Laplace adalah suatu metode yang bermanfaat untuk menemukan penyelesaian dari suatu persamaan diferensial secara lebih mudah, yaitu dengan cara mengubah bentuk suatu persamaan diferensial dalam peubah waktu kontinu menjadi suatu persamaan aljabar dalam peubah kompleks. Persamaan aljabar ini selanjutnya dinyatakan dalam ekspresi fungsi rasional. Sehingga ekspresi fungsi hasil transformasi Laplace disebut juga fungsi transfer atau fungsi alih. Fungsi alih sistem persamaan linear parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dan transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak) dengan menganggap semua nilai awal adalah nol. Dari fungsi alih tersebut didefinisikan zeros sebagai akar-akar dari persamaan transformasi Laplace keluaran dan poles sebagai akar-akar dari persamaan transformasi Laplace masukan. Poles dikatakan stabil, jika terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s dan selainnya poles dikatakan takstabil. Demikian juga dengan zeros, jika terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s, maka mempunyai fase minimum, selainnya zeros mempunyai fase tidak minimum. Metode lainnya yang bermanfaat untuk mengubah suatu persamaan adalah transformasi–Z. Transformasi–Z dapat mengubah suatu persamaan beda dalam peubah waktu diskret menjadi suatu persamaan aljabar dalam peubah kompleks. Ekspresi hasil fungsi transformasi–Z juga sering dinyatakan dalam bentuk fungsi rasional. Pada fungsi tersebut akar-akar dari pembilang dinamakan zeros dan akarakar dari penyebut disebut poles. Sistem diskret dikatakan stabil, jika poles terletak di dalam lingkaran satuan terbuka dengan pusat titik asal pada bidang z dan selainnya poles dikatakan takstabil. Suatu sistem kontinu dapat didiskretkan sehingga menjadi suatu sistem diskret, demikian juga sebaliknya. Transformasi Tustin adalah salah satu metode yang digunakan untuk mengubah sistem kontinu menjadi sistem diskret. Penelitian ini mengkaji peran transformasi Tustin dalam proses transformasi dari sistem kontinu ke sistem diskret. Dua topik yang menjadi pusat perhatian adalah masalah transformasi daerah kestabilan sistem dan transformasi beberapa sifat yang berlaku di ruang kontinu dan diskret. Hasil penelitian menunjukkan bahwa daerah kestabilan sistem ruang kontinu terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s, sedangkan daerah kestabilan sistem ruang diskret terletak di dalam lingkaran satuan terbuka pada bidang z. Dari penelitian ini pun diperoleh hasil bahwa transformasi Tustin dapat mentransformasikan daerah kestabilan sistem ruang kontinu yang terletak di
sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s kepada daerah kestabilan sistem ruang diskret yang terletak di dalam lingkaran satuan terbuka dengan pusat titik asal pada bidang z. Peran transformasi Tustin yang lain adalah diperoleh hasil padanan Teorema Redaman Integral Bode, Akibat Redaman Integral Bode, dan Teorema Integral Bode di ruang diskret. Sedangkan di ruang kontinu diperoleh padanan Teorema Poisson–Jensen. Kata-kata kunci: sistem waktu kontinu, sistem waktu diskret, transformasi Tustin, daerah kestabilan.
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1.
2.
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET
SAMSURIZAL
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Jaharuddin, M.Si.
Judul Tesis Nama NIM
: Peran Transformasi Tustin pada Ruang Kontinu dan Ruang Diskret : Samsurizal : G551070131
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ketua
Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Tanggal Ujian: 18 Agustus 2009
Tanggal Lulus: 24 Agustus 2009
Kupersembahkan untuk yang tercinta Rima Susiana dan yang tersayang Athiyyah Riri Syahfitri serta Adithiya Darma Dzakwan.
PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah Swt. yang telah memberikan nikmat, rahmat dan karunia sehingga tesis yang berjudul Peran Transformasi Tustin pada Ruang Kontinu dan Ruang Diskret dapat diselesaikan pada waktunya. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada yang terhormat: (1) Departemen Agama RI yang telah memberikan tugas belajar di Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian Bogor periode 2007-2009; (2) Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. selaku Dekan Sekolah Pascasarjana IPB; (3) Dr. Berlian Setiawaty, M.S. dan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. berturutturut selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA IPB dan Ketua Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB; (4) Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc., dan Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. selaku penguji dan komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan saran; (5) Dr. Jaharuddin, M.Si. selaku penguji di luar komisi pembimbing; (6) Dosen-dosen dan staf administrasi Departemen Matematika FMIPA IPB; (7) Kepala MAN 1 Bandar Lampung beserta pendidik dan tenaga kependidikan; (8) Rekan-rekan BUD Departemen Agama RI pada Sekolah Pascasarjana IPB periode 2007-2009; Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada yang mulia kedua ibunda, yang tercinta isteri dan anak-anak yang senantiasa memberikan dukungan serta do’a untuk keberhasilan penulis. Semoga tesis ini dapat bermanfaat. Amin.
Bogor, Agustus 2009 Samsurizal
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Medan Sumatera Utara pada tanggal 7 November 1968, merupakan anak pertama dari lima bersaudara pasangan ayahanda Raffiudin dan ibunda Natilah. Pendidikan yang pernah ditempuh penulis: SDN 40 Inpres Tanjungkarang, lulus tahun 1982; SMPN 5 Tanjungkarang, lulus tahun 1985; SMAN 2 Tanjungkarang, lulus tahun 1988. Pendidikan tingkat sarjana ditempuh di program studi Pendidikan Matematika jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Lampung, lulus tahun 1993. Dan sejak tahun 2007, penulis memperoleh kesempatan untuk melanjutkan studi Program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB melalui beasiswa Departemen Pendidikan Agama Republik Indonesia. Penulis pernah bekerja sebagai staf pendidik di SMTI Tanjungkarang mengajar bidang studi Aljabar dan Kalkulus (tahun 1990–1994), staf pengajar Matematika di Lembaga Pendidikan Primagama Cabang Bandar Lampung (tahun 1994–2002), staf pengajar Matematika di Lembaga Pendidikan Prima Quantum (tahun 2002–sekarang) dan staf pendidik di MAN 1 Bandar Lampung mengajar bidang studi Matematika (tahun 1997–sekarang). Penulis pernah mengikuti pelatihan, antara lain: Pelatihan Aktualisasi Guru Bidang Studi Matematika Provinsi Lampung (tahun 2002), pelatihan Komputer EMIS dalam rangka Mendukung Pengajaran Kreatif (tahun 2003), Pelatihan Sosialisai Kurikulum Berbasis Kompetensi Mata Pelajaran Eksakta (tahun 2004), pelatihan Guru Bina MAN Model Se-Indonesia (tahun 2004), dan Workshop Penyusunan Madrasah Development and Investment Plan (tahun 2006).
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................. I
xiv
PENDAHULUAN .................................................................................. 1.1 Latar Belakang ................................................................................. 1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................. 1.3 Metode Penelitian ............................................................................
1 1 1 2
II LANDASAN TEORI ............................................................................ 2.1 Peubah Kompleks dan Fungsi Kompleks ........................................ 2.2 Fungsi Analitik ................................................................................ 2.3 Transformasi Laplace ...................................................................... 2.4 Fungsi Alih, Zeros, dan Poles Sistem Kontinu ................................ 2.5 Kestabilan Sistem Kontinu .............................................................. 2.6 Transformasi–Z ........................................................................ ....... 2.7 Fungsi Alih, Zero dan Pole Sistem Diskret ..................................... 2.8 Kestabilan Sistem Diskret ............................................................... 2.3 Transformasi Möbius ......................................................................
3 3 3 4 5 6 7 8 8 9
III TRANSFORMASI ............................................................................... 3.1 Transformasi Bilinear ..................................................................... 3.2 Transformasi Tustin ........................................................................
10 10 13
IV DAERAH KESTABILAN SISTEM ................................................... 4.1 Fungsi Alih Sistem Kontinu ........................................................... 4.2 Kestabilan Sistem Kontinu ............................................................. 4.3 Fungsi Alih Sistem Diskret ............................................................ 4.4 Kestabilan Sistem Diskret .............................................................. 4.5 Transformasi Daerah Kestabilan Sistem ........................................
14 14 20 21 23 24
V
PADANAN TEOREMA ..................................................................... 5.1. Padanan Teorema di Ruang Diskret .............................................. 5.2. Padanan Teorema di Ruang Kontinu .............................................
26 26 34
VI SIMPULAN .........................................................................................
37
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................
38
LAMPIRAN ................................................................................................
39
DAFTAR GAMBAR Halaman 1
Daerah pada bidang z dengan |z| < 1 ...................................................
11
2
Pemetaan s = T ( z ) =
j+z .................................................................. j−z
11
3
Daerah pada bidang s dengan Im(s) > 0 .............................................
12
4
Pemetaan z = T ( s) =
j−s ................................................................. j+s
13
5
Daerah pada bidang z dengan |z| > 1 ...................................................
14
6
Pemetaan s = T ( z ) =
z −1 ................................................................... z +1
14
7
Daerah kestabilan sistem kontinu ......................................................
21
8
Daerah kestabilan sistem diskret .......................................................
23
9
Daerah pada bidang s dengan Re(s) < 0 .............................................
24
10
Transformasi daerah kestabilan ..........................................................
25
11
Grafik fungsi LHS1 (o) dan RHS1 (x) .................................................
29
12
Grafik fungsi LHS2 (o) dan RHS2 (x) .................................................
32
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1
Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana ...............................
40
2
Transformasi –Z beberapa fungsi sederhana ........................................
41
3
Notasi dan makna suatu domain ............................................................
42
4
Bukti Teorema 1 ....................................................................................
43
5
Bukti Teorema 2 ....................................................................................
45
6
Penurunan padanan Teorema Redaman Integral Bode di ruang diskret
48
7
Penurunan padanan Akibat Redaman Integral Bode di ruang diskret ..
51
8
Penurunan padanan Teorema Integral Bode di ruang diskret ................
54
9
Penurunan padanan Teorema Poisson-Jensen di ruang kontinu ............
57
10 Beberapa ilustrasi penggunaan padanan Teorema ..................................
61
11 Beberapa program perhitungan dan pembuatan grafik dengan software Mathematica ...........................................................................................
67
