Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

November 2015

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Baris, Kolom, & Null

November 2015

1 / 43

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.

2

Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.

3

Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.

4

Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah.

5

Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

2 / 43

Bahasan

1

Motivasi

2

De…nisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

3

Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

4

Rank dan Nulitas

5

Beberapa Teorema Penting

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

3 / 43

Bahasan

1

Motivasi

2


3


4

Rank dan Nulitas

5


MZI (FIF Tel-U)


November 2015

4 / 43

Ruang Vektor Euclid dan Matriks

Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

5 / 43


Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks. Salah satu tujuannya adalah untuk memberi suatu pemahaman lebih mendalam mengenai keterkaitan antara penyelesaian suatu SPL dengan sifat-sifat matriks koe…siennya.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

5 / 43


Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks. Salah satu tujuannya adalah untuk memberi suatu pemahaman lebih mendalam mengenai keterkaitan antara penyelesaian suatu SPL dengan sifat-sifat matriks koe…siennya. Tujuan lain adalah memberi suatu keterkaitan antara ruang vektor Euclid dan sebuah matriks.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

5 / 43

Bahasan

1

Motivasi

2


3


4

Rank dan Nulitas

5


MZI (FIF Tel-U)


November 2015

6 / 43

De…nisi Vektor-vektor Baris dan Kolom Suatu Matriks De…nisi (Vektor-vektor baris dan kolom) Misalkan A adalah suatu matriks m 2 a11 6 a21 6 A=6 . 4 ..

n, a12 a22 .. .

..

.

a1n a2n .. .

3

7 7 7, 5

am1

am2

amn

r1 =

a11

a12

a1n

,

r2 =

a21

a22 .. .

a2n

,

am1

am2

vektor-vektor

rm =

amn

.

dalam Rn yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor-vektor baris dari A. MZI (FIF Tel-U)


November 2015

7 / 43

Kemudian vektor-vektor 2 a11 6 a21 6 c1 = 6 . 4 ..

am1

3

2

7 6 7 6 7 , c2 = 6 5 4

a12 a22 .. . am2

3

2

7 6 7 6 7 , : : : , cn = 6 5 4

a1n a21 .. . amn

3 7 7 7 5

dalam Rm yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagai vektor-vektor kolom dari A.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

8 / 43

Contoh

2

Misalkan M = 4

1 2 1 0 2 2

3 3 4 1 0 5, vektor-vektor baris dari M adalah: 4 5

~r1 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

9 / 43

Contoh

2

3 1 2 3 4 1 0 5, vektor-vektor baris dari M adalah: Misalkan M = 4 1 0 2 2 2 43 5 1 6 2 7 7 ~r1 = 1 2 3 4 = 6 4 3 5 = (1; 2; 3; 4), 4 ~r2 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

9 / 43

Contoh

2

3 1 2 3 4 1 0 5, vektor-vektor baris dari M adalah: Misalkan M = 4 1 0 2 2 2 43 5 1 6 2 7 7 ~r1 = 1 2 3 4 = 6 4 3 5 = (1; 2; 3; 4), 42 3 1 6 0 7 7 1 0 1 0 =6 ~r2 = 4 1 5 = ( 1; 0; 1; 0), 0 ~r3 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

9 / 43

Contoh

2

3 1 2 3 4 1 0 5, vektor-vektor baris dari M adalah: Misalkan M = 4 1 0 2 2 2 43 5 1 6 2 7 7 ~r1 = 1 2 3 4 = 6 4 3 5 = (1; 2; 3; 4), 42 3 1 6 0 7 7 1 0 1 0 =6 ~r2 = 4 1 5 = ( 1; 0; 1; 0), 0 2 3 2 6 2 7 7 ~r3 = 2 2 4 5 = 6 4 4 5 = (2; 2; 4; 5). 5

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

9 / 43

Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah ~c1 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

10 / 43

Kemudian kolom dari M adalah 2 vektor-vektor 3 1 1 2 = (1; 1; 2), ~c1 = 4 1 5 = 1 2 ~c2 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

10 / 43

Kemudian kolom dari M adalah 2 vektor-vektor 3 1 1 2 = (1; 1; 2), ~c1 = 4 1 5 = 1 2 2 3 2 ~c2 = 4 0 5 = 2 0 2 = (2; 0; 2), 2 ~c3 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

10 / 43

Kemudian 2 vektor-vektor 3 1 ~c1 = 4 1 5 = 1 2 23 2 ~c2 = 4 0 5 = 2 0 2 2 3 3 ~c3 = 4 1 5 = 3 4

kolom dari M adalah 1

2

2

= (2; 0; 2),

1

4

= (1; 1; 2),

= (3; 1; 4),

~c4 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

10 / 43

Kemudian 2 vektor-vektor 3 1 ~c1 = 4 1 5 = 1 2 23 2 ~c2 = 4 0 5 = 2 0 2 2 3 3 ~c3 = 4 1 5 = 3 4 2 3 4 ~c4 = 4 0 5 = 4 0 5

MZI (FIF Tel-U)

kolom dari M adalah 1

2

2

= (2; 0; 2),

1

4

5

= (4; 0; 5).

= (1; 1; 2),

= (3; 1; 4),


November 2015

10 / 43

De…nisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null De…nisi Misalkan A adalah suatu matriks m 1

2

3

n, maka

Subruang dari Rn yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor baris A dikatakan sebagai ruang baris dari A, dinotasikan dengan row (A). Subruang dari Rm yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor kolom A dikatakan sebagai ruang kolom dari A, dinotasikan dengan col (A). Subruang dari dari Rn yang merupakan ruang penyelesaian dari SPL homogen Ax = 0 dikatakan sebagai ruang null dari A, dinotasikan dengan null (A). Ruang penyelesaian kadang-kadang juga disebut sebagai ruang solusi.

Catatan Ruang kolom dari A juga dikatakan sebagai peta (image) dari A. Kita memiliki Im (A) = Peta (A) = col (A) = fy 2 Rm j y = Ax untuk suatu x 2 Rn g . Ruang null dari A juga dikatakan sebagai inti atau kernel dari A. Kita memiliki ker (A) = inti (A) = null (A) = fx 2 Rn j Ax = 0g . MZI (FIF Tel-U)


November 2015

11 / 43

Teorema SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A. Misalkan Ax = b adalah suatu SPL dengan A berupa matriks m n. Teorema di atas menyatakan bahwa SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b=

1 c1

+

untuk suatu dengan ci (1

i

MZI (FIF Tel-U)

2 c2

+

1;

2; : : : ;

n cn ,

+ n

2 R,

n) adalah vektor-vektor kolom dari A.


November 2015

12 / 43

Bukti

2

6 6 Tulis A = 6 4

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2

Ax

MZI (FIF Tel-U)

..

.

a1n a2n .. . amn

3

7 7 7. Akibatnya kita memiliki 5

=


November 2015

13 / 43

Bukti

2

6 6 Tulis A = 6 4

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2

Ax

=

2 6 6 6 4

2

..

.

a1n a2n .. . amn

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2

a11 x1 6 a21 x1 6 = 6 .. 4 . am1 x1

3

7 7 7. Akibatnya kita memiliki 5 ..

a12 x2 a22 x2 .. . am2 x2

.

a1n a2n .. . amn

..

.

32 76 76 76 54

x1 xn .. .

3 7 7 7 5

xn 3

a1n xn a2n xn .. .

amn xn

7 7 7 5

=

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

13 / 43

Bukti

2

6 6 Tulis A = 6 4

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2

Ax

=

2 6 6 6 4

2

..

.

amn a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2

a11 x1 6 a21 x1 6 = 6 .. 4 . am1 x1 2 a11 6 a21 6 = x1 6 . 4 ..

am1

MZI (FIF Tel-U)

a1n a2n .. .

3

7 7 7. Akibatnya kita memiliki 5 ..

.

a12 x2 a22 x2 .. . am2 x2 3 2 7 6 7 6 7 + x2 6 5 4

a1n a2n .. . amn

..

.

a12 a22 .. . am2

32 76 76 76 54

x1 xn .. .

amn xn 3


7 7 7 5

xn 3

a1n xn a2n xn .. .

7 7 7+ 5

3

7 7 7 5

2

6 6 + xn 6 4

a1n a2n .. . amn

3 7 7 7 5

November 2015

13 / 43

= x1 c1 + x2 c2 +

+ x n cn

Jadi SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika terdapat x1 ; x2 ; : : : ; xn sehingga b = x 1 c1 + x 2 c2 +

MZI (FIF Tel-U)

+ xn cn .


November 2015

14 / 43

Latihan 0

Latihan Misalkan Ax = b adalah SPL 2 1 3 4 1 2 2 1

32 3 2 2 x1 3 5 4 x2 5 = 4 2 x3

3 1 9 5. 3

Periksa apakah b = (1; 9; 3) berada pada ruang kolom A. Jika ya nyatakan b sebagai kombinasi linier vektor-vektor kolom dari A.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

15 / 43

Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh x1 = 2, x2 =

1, x3 = 3.

Lebih jauh, perhatikan bahwa

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

16 / 43

Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh x1 = 2, x2 = Lebih jauh, perhatikan bahwa 2 3 2 x1 + 3x2 + 2x3 Ax = 4 x1 + 2x2 3x3 5 = x1 4 2x1 + x2 2x3

1, x3 = 3. 3 2 3 2 1 3 1 5 + x2 4 2 5 + x3 4 2 1

dengan mensubstitusikan x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3, kita memiliki 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 3 2 4 9 5 = 24 1 5 14 2 5 + 34 3 5 3 2 1 2

MZI (FIF Tel-U)


3 2 3 5, 2

November 2015

16 / 43

Bahasan

1

Motivasi

2


3


4

Rank dan Nulitas

5


MZI (FIF Tel-U)


November 2015

17 / 43


Basis untuk ruang baris dan ruang null dapat diperoleh dengan meninjau teorema berikut.

Teorema OBE tidak mengubah ruang baris dan ruang null dari suatu matriks.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

18 / 43

Basis untuk ruang kolom dapat diperoleh dengan meninjau dua teorema berikut.

Teorema Misalkan A dan B adalah dua matriks yang ekivalen baris (artinya A dapat diperoleh melalui OBE dari B, dan sebaliknya). 1

Suatu himpunan vektor kolom dari A bebas linier jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang berpadanan dari B bebas linier.

2

Suatu himpunan vektor kolom dari A membentuk basis untuk ruang kolom A jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang berpadanan dari B membentuk basis untuk ruang kolom B.

Teorema Jika A adalah suatu matriks yang berada dalam bentuk eselon baris, maka 1

vektor-vektor baris dengan 1 utama (vektor-vektor baris tak nol) membentuk basis untuk ruang baris A;

2

vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk basis untuk ruang kolom A.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

19 / 43

Contoh

2

1 6 0 Misalkan M = 6 4 0 0 Basis bagi row (M)

MZI (FIF Tel-U)

0 1 1 1 0 0 0 0 adalah

3 0 0 7 7. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. 1 5 0


November 2015

20 / 43

Contoh

2

3 1 0 1 0 6 0 1 1 0 7 7. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Misalkan M = 6 4 0 0 0 1 5 0 0 0 0 Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

20 / 43

Contoh

2

3 1 0 1 0 6 0 1 1 0 7 7. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Misalkan M = 6 4 0 0 0 1 5 0 0 0 0 Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 2 3 1 0 1 0 6 0 1 1 0 7 6 7. 4 0 0 0 1 5 0 0 0 0

Jadi basis bagi col (M) adalah

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

20 / 43

Contoh

2

3 1 0 1 0 6 0 1 1 0 7 7. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Misalkan M = 6 4 0 0 0 1 5 0 0 0 0 Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 2 3 1 0 1 0 6 0 1 1 0 7 6 7. 4 0 0 0 1 5 0 0 0 0

Jadi basis bagi col (M) adalah f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0)g.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

20 / 43

Contoh

2

Misalkan M = 4

MZI (FIF Tel-U)

0 1 1

0 1 1

3 0 1 5. 1


November 2015

21 / 43

Contoh

2

3 0 0 0 1 1 5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M Misalkan M = 4 1 1 1 1 menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris: M0 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

21 / 43

Contoh

2

3 0 0 0 1 1 5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M Misalkan M = 4 1 1 1 1 menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris: 2 3 1 1 1 0 0 5. M0 = 4 0 0 0 0

Akibatnya basis bagi row (M0 ) adalah

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

21 / 43

Contoh

2


Akibatnya basis bagi row (M0 ) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0 ).

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

21 / 43

Contoh

2


Akibatnya basis bagi row (M0 ) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0 ). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0 ) adalah

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

21 / 43

Contoh

2


Akibatnya basis bagi row (M0 ) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0 ). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0 ) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

21 / 43

Contoh

2


Akibatnya basis bagi row (M0 ) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0 ). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0 ) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

21 / 43

Latihan 1 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk dari matriks A berikut. 2 1 6 0 6 A =4 0 0

ruang baris, ruang kolom, dan ruang null 2 1 0 0

3 5 0 3 3 0 0 7 7. 0 1 0 5 0 0 0

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

22 / 43

Latihan 1 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk dari matriks A berikut. 2 1 6 0 6 A =4 0 0

ruang baris, ruang kolom, dan ruang null 2 1 0 0

3 5 0 3 3 0 0 7 7. 0 1 0 5 0 0 0

Solusi: Matriks A dalam bentuk eselon baris, maka berdasarkan teorema yang telah dijelaskan kita memiliki basis untuk row (A) adalah fr1 ; r2 ; r3 g, dengan r1 = (1; 2; 5; 0; 3) , r2 = (0; 1; 3; 0; 0) , r3 = (0; 0; 0; 1; 0) , basis untuk col (A) adalah fc1 ; c2 ; c4 g, dengan c1 = (1; 0; 0; 0) , c2 = ( 2; 1; 0; 0) , c4 = (0; 0; 1; 0) . MZI (FIF Tel-U)


November 2015

22 / 43

Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x1

MZI (FIF Tel-U)

2x2 + 5x3 + 0x4 + 3x5

=

0

x2 + 3x2 + 0x4 + 0x5

=

0

x4 + 0x5

=

0


November 2015

23 / 43


2x2 + 5x3 + 0x4 + 3x5

=

0

x2 + 3x2 + 0x4 + 0x5

=

0

x4 + 0x5

=

0

Misalkan x3 = s dan x5 = t, kita juga memiliki x4 = 0, x2 = x1

=

2x2

5x3

=

6s

5s

3x5 = 2 ( 3s) 3t =

11s

5s

3s, dan 3t

3t.

Jadi jika x 2 ker (A), maka x =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

23 / 43


2x2 + 5x3 + 0x4 + 3x5

=

0

x2 + 3x2 + 0x4 + 0x5

=

0

x4 + 0x5

=

0


=

2x2

5x3

=

6s

5s

3x5 = 2 ( 3s) 3t =

Jadi jika x 2 ker (A), maka x = ( 11s

11s

5s

3s, dan 3t

3t.

3t; 3s; s; 0; t) dengan s; t 2 R atau

x = s ( 11; 3; 1; 0; 0) + t ( 3; 0; 0; 0; 1) . Akibatnya basis bagi ker (A) adalah

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

23 / 43


2x2 + 5x3 + 0x4 + 3x5

=

0

x2 + 3x2 + 0x4 + 0x5

=

0

x4 + 0x5

=

0


=

2x2

5x3

=

6s

5s

3x5 = 2 ( 3s) 3t =

Jadi jika x 2 ker (A), maka x = ( 11s

11s

5s

3s, dan 3t

3t.

3t; 3s; s; 0; t) dengan s; t 2 R atau

x = s ( 11; 3; 1; 0; 0) + t ( 3; 0; 0; 0; 1) . Akibatnya basis bagi ker (A) adalah f( 11; 3; 1; 0; 0) ; ( 3; 0; 0; 01)g.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

23 / 43

Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang dari matriks A berikut. 2 1 3 4 2 5 6 2 6 9 1 8 6 A =4 2 6 9 1 9 1 3 4 2 5

kolom, dan ruang null 3 4 2 7 7. 7 5 4

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

24 / 43



Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk eselon baris, A0 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

24 / 43



Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A0 yang berada2dalam bentuk eselon baris, 3 1 3 4 2 5 4 6 0 7 0 1 3 2 6 0 7. A = 6 4 0 0 0 0 1 5 5 0 0 0 0 0 0 Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah fr1 ; r2 ; r3 g, dengan

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

24 / 43



Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A0 yang berada2dalam bentuk eselon baris, 3 1 3 4 2 5 4 6 0 7 0 1 3 2 6 0 7. A = 6 4 0 0 0 0 1 5 5 0 0 0 0 0 0 Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah fr1 ; r2 ; r3 g, dengan r1 = (1; 3; 4; 2; 5; 4) , r2 = (0; 0; 1; 3; 2; 6) , r3 = (0; 0; 0; 0; 1; 5) . MZI (FIF Tel-U)


November 2015

24 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c03 ; c05 g, dengan

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c03 ; c05 g, dengan c01 = (1; 0; 0; 0) , c03 = (4; 1; 0; 0; ) , c05 = (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1 ; c3 ; c5 g, dengan

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c03 ; c05 g, dengan c01 = (1; 0; 0; 0) , c03 = (4; 1; 0; 0; ) , c05 = (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1 ; c3 ; c5 g, dengan c1 = (1; 2; 2; 1) , c3 = (4; 9; 9; 4) , c5 = (4; 2; 7; 4) .

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c03 ; c05 g, dengan c01 = (1; 0; 0; 0) , c03 = (4; 1; 0; 0; ) , c05 = (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1 ; c3 ; c5 g, dengan c1 = (1; 2; 2; 1) , c3 = (4; 9; 9; 4) , c5 = (4; 2; 7; 4) . Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT , kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c03 ; c05 g, dengan c01 = (1; 0; 0; 0) , c03 = (4; 1; 0; 0; ) , c05 = (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1 ; c3 ; c5 g, dengan c1 = (1; 2; 2; 1) , c3 = (4; 9; 9; 4) , c5 = (4; 2; 7; 4) . Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT , kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah 3 2 1 2 2 1 6 0 1 1 0 7 7 6 6 0 0 1 0 7 7 6 6 0 0 0 0 7, 7 6 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U)


November 2015

25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c03 ; c05 g, dengan c01 = (1; 0; 0; 0) , c03 = (4; 1; 0; 0; ) , c05 = (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1 ; c3 ; c5 g, dengan c1 = (1; 2; 2; 1) , c3 = (4; 9; 9; 4) , c5 = (4; 2; 7; 4) . Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT , kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah 3 2 1 2 2 1 6 0 1 1 0 7 7 6 6 0 0 1 0 7 7 6 6 0 0 0 0 7, 7 6 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0

akibatnya f(1; 2; 2; 1) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 1; 0)g adalah basis bagi col (A). MZI (FIF Tel-U)


November 2015

25 / 43

Karena ker (A) = ker (A0 ), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A0 x = 0, yaitu x1

MZI (FIF Tel-U)

3x2

+4x3 +x3

2x4 +3x4

+5x5 2x5 +x5


+4x6 6x6 +5x6

=0 =0 =0

November 2015

26 / 43


3x2

+4x3 +x3

2x4 +3x4

+5x5 2x5 +x5

+4x6 6x6 +5x6

=0 =0 =0

Misalkan x2 = r, x4 = s, dan x6 = t, kita memiliki x5 =

5t

x3 =

3s + 2 ( 5t) + 6t =

x1 = 3r

4 ( 3s

MZI (FIF Tel-U)

4t) + 2s

3s

4t

5 ( 5t)

4 (t) = 3r + 14s + 37t.


November 2015

26 / 43


3x2

+4x3 +x3

2x4 +3x4

+5x5 2x5 +x5

+4x6 6x6 +5x6

=0 =0 =0

Misalkan x2 = r, x4 = s, dan x6 = t, kita memiliki x5 =

5t

x3 =

3s + 2 ( 5t) + 6t =

x1 = 3r

4 ( 3s

4t) + 2s

3s

4t

5 ( 5t)

4 (t) = 3r + 14s + 37t.

Jadi jika x 2 ker (A), x = (3r + 14s + 37t; r; 3s r; s; t 2 R. Akibatnya

4t; s; 5t; t) dengan

x = r (3; 1; 0; 0; 0; 0) + s (14; 0; 3; 1; 0; 0) + t (37; 0; 4; 0; 5; 1) . Akibatnya basis bagi ker (A) adalah f(3; 1; 0; 0; 0; 0) ; (14; 0; 3; 1; 0; 0) ; (37; 0; 4; 0; 5; 1)g. MZI (FIF Tel-U)


November 2015

26 / 43

Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang dari matriks M berikut. 2 1 1 M=4 1 1 1 0

baris, ruang kolom, dan ruang null 3 2 0 2 0 5. 1 1

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

27 / 43

Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang dari matriks M berikut. 2 1 1 M=4 1 1 1 0


Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris, M0 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

27 / 43

Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang dari matriks M berikut. 2 1 1 M=4 1 1 1 0 Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi berada dalam bentuk eselon baris, 2 1 0 M0 = 4 0 1 0 0


matriks M menjadi matriks M0 yang 1 1 0

3 1 1 5 0

Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M0 ) sama, yaitu adalah fr1 ; r2 g, dengan

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

27 / 43

Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang dari matriks M berikut. 2 1 1 M=4 1 1 1 0 Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi berada dalam bentuk eselon baris, 2 1 0 M0 = 4 0 1 0 0


matriks M menjadi matriks M0 yang 3 1 1 5 0

1 1 0

Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M0 ) sama, yaitu adalah fr1 ; r2 g, dengan r1 = MZI (FIF Tel-U)

1

0

1

1

, r2 =

0


1

1

1

. November 2015

27 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c02 g, dengan

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

28 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c02 g, dengan 2 3 2 3 1 0 c01 = 4 0 5 , c02 = 4 1 5 . 0 0

Dengan demikian basis untuk col (M) adalah fc1 ; c2 g, dengan

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

28 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M0 ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0 ) adalah fc01 ; c02 g, dengan 2 3 2 3 1 0 c01 = 4 0 5 , c02 = 4 1 5 . 0 0

Dengan demikian basis untuk col (M) adalah fc1 ; c2 g, dengan 2 3 2 3 1 1 c1 = 4 1 5 , c2 = 4 1 5 1 0

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

28 / 43

Karena ker (M) = ker (M0 ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M0 x = 0, yaitu

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

29 / 43

Karena ker (M) = ker (M0 ), untuk memperoleh meninjau solusi SPL M0 x = 0, yaitu 2 2 3 x1 1 0 1 1 6 x2 4 0 1 1 1 56 4 x3 0 0 0 0 x4 x1 +x2

MZI (FIF Tel-U)

+x3 +x3

basis bagi ker (M), kita dapat 3

2 3 0 7 7=4 0 5 5 0

+x4 x4


=0 =0

November 2015

29 / 43


+x3 +x3

Misalkan x3 = s dan x4 = t, maka x2 =

MZI (FIF Tel-U)


2 3 0 7 7=4 0 5 5 0

+x4 x4

=0 =0

s + t dan x1 =


s

t.

November 2015

29 / 43


+x3 +x3


2 3 0 7 7=4 0 5 5 0

+x4 x4

=0 =0

Misalkan x3 = s dan x4 = t, maka 2 x2 = s3+ t dan x1 = s t. s t 6 s+t 7 7 dengan r; s; t 2 R. Akibatnya Jadi jika x 2 ker (A), maka x = 6 4 5 s t 2 3 2 3 1 1 6 1 7 6 1 7 7 6 7 x = s6 4 1 5 + t 4 0 5. Sehingga bagi ker (A) adalah 0 1 MZI (FIF Tel-U)


November 2015

29 / 43


+x3 +x3


2 3 0 7 7=4 0 5 5 0

+x4 x4

=0 =0

Misalkan x3 = s dan x4 = t, maka 2 x2 = s3+ t dan x1 = s t. s t 6 s+t 7 7 dengan r; s; t 2 R. Akibatnya Jadi jika x 2 ker (A), maka x = 6 4 5 s t 2 3 2 3 1 1 6 1 7 6 1 7 7 6 7 x = s6 4 1 5 + t 4 0 5. Sehingga bagi ker (A) adalah 0 1 f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g. MZI (FIF Tel-U)


November 2015

29 / 43

Bahasan

1

Motivasi

2


3


4

Rank dan Nulitas

5


MZI (FIF Tel-U)


November 2015

30 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu:

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A),

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A),

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A), ruang null A, null (A), dan

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A), ruang null A, null (A), dan ruang null AT , null AT .

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

31 / 43

De…nisi Rank dan Nulitas

Teorema Misalkan A adalah suatu matriks dengan entri-entri berupa bilangan real, maka dim (row (A)) = dim (col (A)) .

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

32 / 43

Bukti

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

33 / 43

Bukti Misalkan A0 adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A))

MZI (FIF Tel-U)

=


November 2015

33 / 43

Bukti Misalkan A0 adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)

dim (row (A))

=

dim (col (A))

=

dim (row (A0 )) dan


November 2015

33 / 43


=

dim (row (A0 )) dan

dim (col (A))

=

dim (col (A0 )) .

Kita juga memiliki dim (col (A0 )) =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

33 / 43


=

dim (row (A0 )) dan

dim (col (A))

=

dim (col (A0 )) .

Kita juga memiliki dim (col (A0 )) = # 1 utama pada A0 . Akibatnya dim (row (A0 ))

MZI (FIF Tel-U)

=


November 2015

33 / 43


=

dim (row (A0 )) dan

dim (col (A))

=

dim (col (A0 )) .


= # baris tak nol pada A0 =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

33 / 43


=

dim (row (A0 )) dan

dim (col (A))

=

dim (col (A0 )) .



# 1 utama pada A0

=

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

33 / 43


=

dim (row (A0 )) dan

dim (col (A))

=

dim (col (A0 )) .



# 1 utama pada A0

=

dim (col (A0 )) .

Jadi

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

33 / 43


=

dim (row (A0 )) dan

dim (col (A))

=

dim (col (A0 )) .



# 1 utama pada A0

=

dim (col (A0 )) .

Jadi dim (row (A)) = dim (row (A0 )) = dim (col (A0 )) = dim (col (A)) .

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

33 / 43

De…nisi Rank dan Nulitas Dari teorema yang telah dijelaskan, kita dapat mende…nisikan rank dan nulitas dari suatu matriks sebagai berikut.

De…nisi Apabila A adalah suatu matriks dengan entri-entri real, maka dimensi bersama untuk ruang baris dan ruang kolom dari A disebut sebagai rank dari A dan dinotasikan dengan rank (A). Dengan perkataan lain rank (A) = dim (row (A)) = dim (col (A)) = dim (Im (A)) . Selanjutnya dimensi untuk ruang null dari A disebut sebagai nulitas dari A dan dinotasikan dengan nulitas (A). Dengan perkataan lain nulitas (A) = dim (null (A)) = dim (ker (A)) .

Catatan Untuk sembarang matriks A, secara intuitif kita dapat mengatakan bahwa rank (A) adalah “banyaknya baris (atau kolom) yang bebas linier pada A”. MZI (FIF Tel-U)


November 2015

34 / 43

Latihan 4 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks 2 1 2 6 3 7 A=6 4 2 5 4 9

A apabila 0 2 2 2

4 0 4 4

5 1 6 4

3 3 4 7 7. 1 5 7

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

35 / 43

Latihan 4 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks 2 1 2 6 3 7 A=6 4 2 5 4 9 Solusi: Kita dapat mereduksi A EB sebagai berikut 2 1 6 0 A0 = 6 4 0 0

A apabila 0 2 2 2

4 0 4 4

3 3 4 7 7. 1 5 7

menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk 2 1 0 0

0 2 0 0

4 12 0 0

Akibatnya diperoleh rank (A) = 2.

MZI (FIF Tel-U)

5 1 6 4


5 16 0 0

3 3 5 7 7 0 5 0

November 2015

35 / 43

Kemudian karena ker (A) = ker (A0 ) = x 2 R6 j A0 x = 0 kita memiliki SPL berikut

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

36 / 43

Kemudian karena ker (A) = ker (A0 ) = x 2 R6 j A0 x = 0 kita memiliki SPL berikut x1 +2x2 +4x4 +5x5 3x6 = 0 +x2 2x3 12x4 16x5 +5x6 = 0 misalkan x3 = q, x4 = r, x5 = s, x6 = t, diperoleh

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

36 / 43

Kemudian karena ker (A) = ker (A0 ) = x 2 R6 j A0 x = 0 kita memiliki SPL berikut x1 +2x2 +4x4 +5x5 3x6 = 0 +x2 2x3 12x4 16x5 +5x6 = 0 misalkan x3 = q, x4 = r, x5 = s, x6 = t, diperoleh x2 x1

= =

2q + 12r + 16s 4q + 28r + 37s

5t, 13t.

Jadi

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

36 / 43

Kemudian karena ker (A) = ker (A0 ) = x 2 R6 j A0 x = 0 kita memiliki SPL berikut x1 +2x2 +4x4 +5x5 3x6 = 0 +x2 2x3 12x4 16x5 +5x6 = 0 misalkan x3 = q, x4 = r, x5 = s, x6 = t, diperoleh x2 x1 Jadi

2 6 6 6 6 6 6 4

x1 x2 x3 x4 x5 x6

3

2

7 6 7 6 7 6 7 = q6 7 6 7 6 5 4

4 1 1 0 0 0

= = 3

2q + 12r + 16s 4q + 28r + 37s 2

7 6 7 6 7 6 7+r6 7 6 7 6 5 4

28 12 0 1 0 0

3

2

7 6 7 6 7 6 7 + s6 7 6 7 6 5 4

5t, 13t. 37 16 0 0 1 0

3

2

7 6 7 6 7 6 7 + t6 7 6 7 6 5 4

13 5 0 0 0 1

3

7 7 7 7, 7 7 5

Oleh karenanya basis bagi ker (A)adalah f(4; 1; 1; 0; 0; 0) ; (28; 12; 0; 1; 0; 0) ; (37; 16; 0; 0; 1; 0) ; ( 13; 5; 0; 0; 0; 1)g. Jadi nulitas (A) = 4. MZI (FIF Tel-U)


November 2015

36 / 43

Latihan 5 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks 2 1 M=4 1 1

M apabila 2 2 2

3 1 1 3 1 5. 2 1

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

37 / 43

Latihan 5 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks 2 1 M=4 1 1

M apabila 2 2 2

3 1 1 3 1 5. 2 1

Solusi: Kita dapat mereduksi M menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk EB sebagai berikut 2 3 1 0 2 0 M0 = 4 0 1 12 12 5 0 0 1 0 Akibatnya diperoleh rank (A) = 2.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

37 / 43

Kemudian karena ker (M) = ker (M0 ) = x 2 R4 j M0 x = 0 kita memiliki SPL berikut

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

38 / 43

Kemudian karena ker (M) = ker (M0 ) = x 2 R4 j M0 x = 0 kita memiliki SPL berikut 2 3 2 3 x 2 3 1 0 2 0 6 1 7 0 4 0 1 1 1 5 6 x2 7 = 4 0 5 . 2 2 4 x3 5 0 0 0 1 0 x4 x1

+x2

2x3 + 12 x3 +x3

+ 12 x4

=0 =0 =0

Jadi diperoleh 2 3 2 x3 =30, x1 2= 0, dan 3 jika x4 = t, maka x2 = 0 0 x1 6 x2 7 6 1 t 7 6 1 7 2 2 6 7 6 7 = t6 7 4 x3 5 = 4 4 0 5. 0 5 x4 t 1

1 2 t.

Akibatnya

Oleh karenanya basis bagi ker (M)adalah 0; 21 ; 0; 1 = f(0; 1; 0; 2)g = f(0; 1; 0; 2)g. Jadi nulitas (M) = 1. MZI (FIF Tel-U)


November 2015

38 / 43

Bahasan

1

Motivasi

2


3


4

Rank dan Nulitas

5


MZI (FIF Tel-U)


November 2015

39 / 43


Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan entri real, maka rank (A) = rank AT .

Bukti

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

40 / 43


Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan entri real, maka rank (A) = rank AT .

Bukti rank (A) = dim (row (A)) = dim col AT

= rank AT .

.

Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan real berukuran m rank (A) + nulitas (A) = n.

MZI (FIF Tel-U)


n, maka

November 2015

40 / 43

Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk EB.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

41 / 43

Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk EB. Berdasarkan teorema sebelumnya, rank (A) = rank (A0 ) dan nulitas (A) = nulitas (A0 ). Selanjutnya pandang SPL A0 x = 0. SPL ini memiliki m persamaan dan n variabel. Kita de…nisikan variabel utama sebagai variabel yang bersesuaian dengan sebuah 1 utama dan parameter sebagai variabel yang tidak terkait dengan 1 utama.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

41 / 43

Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk EB. Berdasarkan teorema sebelumnya, rank (A) = rank (A0 ) dan nulitas (A) = nulitas (A0 ). Selanjutnya pandang SPL A0 x = 0. SPL ini memiliki m persamaan dan n variabel. Kita de…nisikan variabel utama sebagai variabel yang bersesuaian dengan sebuah 1 utama dan parameter sebagai variabel yang tidak terkait dengan 1 utama. Kita memiliki (# variabel utama) + (# parameter)

=

(# seluruh variabel)

(# 1 utama) + (# parameter)

= n

rank (A) + (# parameter)

= n.

Mengingat nulitas (A)

=

nulitas (A0 ) = dim (ker (A0 ))

=

# parameter pada solusi SPL A0 x = 0,

kita mendapatkan rank (A) + nulitas (A) = n.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

41 / 43

Teorema Jika A adalah suatu matriks dengan entri-entri real berukuran m

n, maka

1

rank (A) sama dengan banyaknya variabel utama (variabel yang bersesuaian dengan 1 utama) dari solusi Ax = 0.

2

nulitas (A) sama dengan banyaknya parameter dari solusi Ax = 0.

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

42 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan AT Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m

MZI (FIF Tel-U)


n maka

November 2015

43 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan AT Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m 0

rank (A)

n maka

min fm; ng .

Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

43 / 43


rank (A)

n maka

min fm; ng .

Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

43 / 43


rank (A)

n maka

min fm; ng .

Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim row AT

MZI (FIF Tel-U)

=


November 2015

43 / 43


rank (A)

n maka

min fm; ng .

Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim row AT dim col A

MZI (FIF Tel-U)

T

=r =


November 2015

43 / 43


rank (A)

n maka

min fm; ng .


T

=r =r

dim (null (A)) =

MZI (FIF Tel-U)


November 2015

43 / 43


rank (A)

n maka

min fm; ng .


T

=r =r

dim (null (A)) = n dim null A

MZI (FIF Tel-U)

T

r

=


November 2015

43 / 43


rank (A)

n maka

min fm; ng .


T

=r =r

dim (null (A)) = n dim null A

MZI (FIF Tel-U)

T

=m

r r


November 2015

43 / 43

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Recommend Documents