ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS
Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd.
Oleh: Kelompok III 1. Andik Dwi S.
(06411.008)
2. Indah Kurniawati.
(06411.090)
3. Mahfuat M.
(06411.104)
4. Nur Qomarudin.
(06411.116)
5. Rochis Fajar S.
(06411.139)
6. Susi Susanti.
(06411.162)
7. Titis Demo D.
(06411.169)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010
Basis Ruang Baris Dan Basis Ruang Kolom Sebuah Matriks
A. Uraian dan contoh Definisi I: Tinjauan matriks m x n 𝑎11 𝑎12 . . 𝑎21 𝑎22 . . A= . . 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . .
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛
𝑎𝑚𝑛
Vektor-vektor r1 = (a11, a12, ....... a1n) r2 = (a21, a22, ....... a1n) . . . rm = (a m1 , a m2, ....... a mn)
yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A. Vektor-vektor 𝑎11 𝑎11 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎21 𝑎2𝑛 . . . c1 = . , c2 = . , ........ c3 = . . . . 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A dinamakan vektor-vektor dari kolom A. Ruang bagian dari R n yang dibangun oleh vektor-vektor baris dinamakan ruang baris dari A, dan ruang bagian dari R m yang dibangun oleh vektor-vektor kolom dinamakan ruang kolom dari A. Contoh 1: misalkan A =
4 3 0 2 −5 6
vektor-vektor baris dari A r 1 = (4, 3, 0) dan r 2 = (2, -5, 6). Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 =
4 2
, c2 =
3 −5
, c3 =
0 6
Teorema 1: Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul suatu matriks. Bukti: Misalkan vektor-vektor baris dari matriks A adalah r1 , r2 ,...... r m, dan misalkan matriks B di dapat dari A dengan melakukan operasi baris elementer. Kita akan memperlihatkan bahwa tiap-tiap vektor di dalam ruang baris dari B juga berada dalam ruang baris dari A dan
sebaliknya. Tiap-tiap vektor di dalam ruang baris dari A berada di dalam ruang baris dari B. Jika terjadi demikian, maka kita dapat menyimpulkan bahwa A dan B mempunyai ruang baris yang sama. Jika operasi baris tersebut adalah pertukaran baris, maka B dan A mempunyai vektorvektor yang sama. Akibatnya A dan B mempunyai ruang baris yang sama. Jika operasi baris tersebut adalah perkalian sebuah baris dengan sebuah skalar atau penambahan kelipatan suatu baris pada baris yang lainnya, maka vektor-vektor r1, r2,...... rm dari B adalah kombinasi linear dari r1, r2,...... r m. Jadi vektor-vektor tersebut terletak di dalam ruang baris dari A. dengan demikian maka setiap vektor dalam ruang baris dari B berada di dalam ruang baris dari A. B didapat dari A dengan melakukan operasi baris, maka dapat diperoleh dari B dengan melakukan operasi yang sebaliknya. Jadi tiap vektor dalam ruang baris dari A berada di dalam ruang baris dari B.
Teorema 2: Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam sebuah bentuk echelon baris dari sebuah matriks A membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A. Bukti: Menurut teorema 1, ruang baris sebuah matriks tidak berubah jika matriks tersebut direduksi menjadi matriks echelon baris. Vektor-vektor baris tak nol dari matriks echelon baris selalu bebas linear, maka vektor-vektor baris yang tak nol ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut.
Contoh 2: carilah sebuah basis untuk ruang yang dibangun oleh vektor-vektor: v1 = (1, -2, 0, 0, 3), v2 = (2, -5, -3, -2, 6) v3 = (0, 5, 15, 10, 0) dan v4 = (2, 6, 18, 8, 6) Jawab: Ruang yang dibangun oleh vektor-vektor v1, v2, v3 dan v4 adalah ruang baris dari matriks: 1 2 A= 0 2
−2 −5 5 6
0 0 −3 −2 15 10 18 8
3 6 0 6
Dengan melakukan operasi-operasi baris elementer, maka di dapat matriks-matriks berikut: 1 2 0 0
−2 0 −1 −3 5 15 10 18
0 −2 10 8
3 0 0 0
1 0 0 0
−2 0 10 18 −1 −3 5 15
0 8 −2 10
3 0 0 0
1 0 0 0
−2 3 1 0
0 9 3 0
0 4 2 0
3 3 0 0
1 0 0 0
−2 1 5 0
0 3 9 0
0 2 4 0
3 0 0 0
1 0 0 0
−2 0 1 3 0 −6 0 0
0 2 −6 0
3 0 0 0
Matriks terakhir berbentuk matriks echelon baris. Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam matriks ini adalah w1 = (1, -2, 0, 0, 3), w2 = (0, 1, 3, 2, 0) dan w3 = (0, 0, 1, 1, 0). Vektor-vektor w1, w2, dan w3 membentuk sebuah basis untuk ruang matrikas . Akibatnya vektor-vektor w1, w2 , w3 membentuk sebuah basis untuk ruang yang dibangun oleh vektorvektor v1 , v2, v3 dan v4.
Teorema 3 Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama. Bukti: 𝑎11 𝑎21 . A= . . 𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎22 . . . 𝑎𝑚2
. .
. .
.
.
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 . . . 𝑎𝑚𝑛
Vektor-vektor baris dari A adalah: r1 = (a11, a12, ....... a1n) r2 = (a21, a22, ....... a1n) . . . rm = (a m1 , a m2, ....... a mn) misalkan ruang baris dari A mempunyai dimensi k, dan S = (b1, b2, ...... bk) adalah sebuah basis untuk ruang baris matriks A, di mana bj = (bi1 , bi2, ......... bin). Karena S adalah sebuah basis untuk ruang baris, maka setiap vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari b1, b2 , ...... bk. maka r1 = (c11 b1+ c12 b2 ... + c1k bk) r2 = (c21 b1 + c22 b2 ... + c2k bk) . . . rm = (cm1 b1 + cm2 b2 ... + cmk bk)
sehingga di dapat a1j = c11 b1j+ c11 b2j +... + c1k bkj a2j = c21 b1j + c12 b2j +... + c1k bkj . . . amj = cm1 b1j + cm2 b2j +... + cmk bkj
atau 𝑎1𝑗 𝑎2𝑗 . . . 𝑎𝑚𝑗
= b1j
𝑐11 𝑐12 𝑐1𝑘 𝑐21 𝑐22 𝑐2𝑘 . . . + b + ......+ b = 2j kj . . . . . . 𝑐𝑚1 𝑐𝑚2 𝑐𝑚𝑘
Ruas kiri persamaan tadi adalah vektor kolom ke j dari matriks A, maka tiap vektor kolom dari A terletak di dalam ruang yang dibangun oleh k vektor pada ruas kanan. Jadi ruang kolom A mempunyai dimensi ≤ k. Karena k = dimensi (ruang baris dari A), maka dimensi (ruang kolom dari A) ≤ dimensi (ruang baris dari A). Karena matriks A sebarang, maka berlaku pula untuk At, yaitu dimensi (ruang kolom dari At) ≤ dimensi (ruang baris dari At). Dengan demikian didapat dimensi (ruang baris dari A) ≤ dimensi (ruang kolom dari A). Jadi dimensi (ruang baris dari A) = dimensi (ruang kolom dari A).
Definisi 2: Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank dari A.
Teorema 4: Jika A adalah sebuah matriks yang berordo m x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain. a. A invertible. b. A x = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial. c. A ekivalen baris dengan I n. d. A x = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berordo n x 1. e. Determinan (A) ≠ 0. f. A mempunyai rank n. g. Vektor-vektor baris dari A bebas linear. h. Vektor-vektor kolom dari A bebas linear.
Bukti: Disini hanya akan diperlihatkan bahwa f ⇒ g. f ⇒ g. Karena A mempunyai rank n maka ruang baris dari matriks A berdimensi n. Karena ke n vektor baris dari A membangun ruang baris dari A, maka vektor-vektor baris dari A bebas linear.
Teorema 5: Sebuah sistem persamaan linear Ax = b konsisten jika dan hanya jika b dalam ruang dari A. Bukti:
Ax = b
𝑎11 𝑎21 . . . 𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎22 . . . 𝑎𝑚2
. .
. .
.
.
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑥1 𝑏1 𝑥2 𝑏2 . . . = . . . 𝑥𝑛 𝑏𝑚
sehingga 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + … … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 𝑏2 . . . . = . . . . . . . . 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑚 atau 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑏2 . . . . x1 . + x2 + ......+ xn = . = . . . . . . 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 ternyata vektor b merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor kolom dari matriks A. Jadi sistem A x = b konsisten jika dan hanya jika b dalam ruang kolom matriks A.
Contoh Soal: 1.
Tuliskan
vektor
baris 4 2 3
dan
−1 0 5 1 0 1
5 −4 8
vektor
kolom
dari
matriks
6 7 −4
1 2 −1 2. A =
2 4 6 0 0 −8
Carilah: a. Sebuah basis untuk ruang baris dari A. b. Sebuah basis untuk ruang kolom dari A. c. Rank dari A. 3. Carilah sebuah basis untuk ruang bagian dari R 4 yang dibangun oleh vektor-vektor (1, -2, 5, -3), (2, 3, 1, -4) dan (3, 8, -3, -5) 4. apakah b terletak di dalam ruang kolom dari A? A=
1 3 4 −6
, b=
−2 10
Kesimpulan Hasil Presentasi 1 1 2 9 1. A =
2 4 −3 1 3 6 −5 0
Vektor-vektor baris dari A adalah (1,1,2,9), (2,4,-3,1) dan (3,6,-5,0). 1 1 2 9 Vektor-vektor kolom dari A adalah 2 , 4 , −3 , 1 . 3 6 5 0 2. Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks. 3. Vektor-vektor yang tidak nol didalam bentuk echelon baris dari sebuah matriks A membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A, dengan melakukan operasi baris elementer didapat matriks yang berbentuk echelon baris. 4. Jika A dalah sebarang matriks, maka ruang baris dari ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama. 5. Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank dari A.
