RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :

RUANG VEKTOR UMUM

Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd

Disusun oleh : 1. 2. 3. 4. 5.

Agung Dwi Cahyono Ardie Kusuma Heri Cahyono Lingga Nico Pradana Yudha Sofyan Mahmudi

(08411.056) (08411.073) (08411.145) (08411.180) (08411.293)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010

0

Ruang Vektor Umum A. Difinisi Sebarang himpunan benda yang dimisalkan dengan V, yang dua operasinya kita definisikan yakni penambahan dan perkalian skalar (bilangan riil).  Operasi penjumlahan (addition) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiakan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u+v, yang disebut jumlah u dan v.  Operasi perkalian skalar (scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiakan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu objek ku, yang disebut kelipatan skalar (scalar multiple) dari u oleh k. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor (vector space) dan benda-benda pada V kita namakan vektor. Aksioma-aksioma tersebut adalah sebagai berikut : 1) Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u+v berada di V. 2) u  v  v  u 3) u  v  w  u  v   w 4) Ada sebuah benda 0 di V sehingga 0  u  u  0  u untuk semua u di V. 5) untuk setiap u di V, ada sebuah benda –u di V yang kita namakan negatif u sehingga

u   u    u   u  0 . 6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V. 7) k u  v   ku  kv 8) k  l u  ku  lu 9) k lu   klu 10) 1u  u Skalar dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, tergantung pada aplikasinya. Ruang vektor dimana skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks disebut ruang vektor kompleks (complex vector space), dan ruang vektor dimana skalarskalarnya merupakan bilangan real disebut ruang vektor real (ruang vektor real).

1

Definisi dari suatu ruang vektor tidak menyebutkan sifat dan vektor maupun operasinya. Objek apa saja dapat menjadi suatu vektor dan operasi penjumlahan dan perkalian skalar kemungkinan tidak memiliki hubungan atau kemiripan apapun dengan operasi-operasi vektor standar pada R n , asalkan kesepuluh aksioma ruang vektor terpenuhi. Contoh berikut akan memberikan gambaran mengenai kemungkinan keragaman vektor tersebut. Pada setiap contoh, akan diberikan suatu himpunan V tak kosong dan dua operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Kemudian akan dibuktikan bahwa kesepuluh aksioma ruang vektor terpenuhi, sehingga V dapat disebut sebagai suatu ruang vektor dengan melakukan operasi-operasi yang telah ditentukan. Contoh soal : Ruang vektor matriks 3x2 1. M = {semua matriks berordo 3x2}. Operasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks. Operasi perkaliannya adalah perkalian skalar dari F dengan anggota-anggota M. Apakah M merupakan ruang vektor ? Penyelesaian : Misalkan matrik A, matrik B, dan matrik C adalah elemen dari M.

 a11 a12  b11 b12   c11 c12      A  a 21 a 22  , B  b21 b22  , C  c 21 c 22  a31 a32  b31 b32  c31 c32  Aksioma 1:

 a11 a12  b11 b12   a11  b11 a12  b12  A  B  a 21 a 22   b21 b22   a 21  b21 a 22  b22  a31 a32  b31 b32   a31  b31 a32  b32  Maka aksioma 1 terbukti karena A+B adalah matrik berordo 3x2.

2

Aksioma 2:

 a11 a12  b11 b12  b11 b12   a11 a12  A  B  a 21 a 22   b21 b22   b21 b22   a 21 a 22   B  A a31 a32  b31 b32  b31 b32  a31 a32  Maka Aksioma 2 terpenuhi. Aksioma 3:

 a11 a12   b11 b12  c11 c12     a11 a12  b11 b12   c11 c12      A  B  C   a21 a22    b21 b22   c21 c22     a21 a22   b21 b22    c21 c22    A  B   C a31 a32   b31 b32  c31 c32    a31 a32  b31 b32   c31 c32  Maka aksioma 3 terpenuhi. Aksioma 4:

 a11 a12  0 0  a11 a12  A  0  a 21 a 22   0 0  a 21 a 22   A a31 a32  0 0 a31 a32  Maka aksioma 4 terpenuhi. Aksioma 5:

 a11 a12    a11  a12    a11  a12   a11 a12  A   A  a 21 a 22    a 21  a 22    a 21  a 22   a 21 a 22    A  A  0 a31 a32   a31  a32   a31  a32  a31 a32  Maka aksioma 5 terpenuhi: Aksioma 6:

 a11 a12   ka11 ka12  kA  k a 21 a 22   ka21 ka22  a31 a32  ka31 ka32  Maka aksioma 6 terpenuhi karena kA adalah matrik berordo 3x2 yang merupakan objek di M.

3

Aksioma 7 :

  a11 a12  b11 b12    a11 a12  b11 b12       k  A  B   k  a 21 a 22   b21 b22    k a 21 a 22   k b21 b22   kA  kB  a  a31 a32  b31 b32    31 a32  b31 b32   Maka aksioma 7 terpenuhi. Aksioma 8:

 a11 a12   a11 a12   a11 a12  k  l A  k  l a21 a22   k a21 a22   l a21 a22   kA  lA a31 a32  a31 a32  a31 a32  Maka aksioma 8 terpenuhi. Aksioma 9:

  a11 a12    a11 a12      k lA   k  l a 21 a 22    kla 21 a 22   kl A  a  a31 a32    31 a32   Maka aksioma 9 terpenuhi. Aksioma 10:

 a11 a12   a11 a12  1A  1a 21 a 22   a 21 a 22   A a31 a32  a31 a32  Maka aksioma 10 terpenuhi. Karena kesepuluh aksioma terpenuhi maka himpunan M merupakan suatu ruang vektor.

4

Ruang Vektor Nol Misalkan V terdiri dari suatu objek tunggal, yang dinotasikan dengan 0, dan didefinisikan 0+0=0 dan k0=0 untuk semua skalar k. Apakah V merupakan ruang vektor? Pemeriksaan untuk mengetahui apakah semua aksioma ruang vektor telah terpenuhi dapat dilakukan dengan mudah. Maka ruang vektor ini disebut sebagai ruang vektor nol (zero vector space). B. Beberapa Sifat Vektor Teorema 3. Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k sebuah skalar maka : a) 0u  0 b) k 0  0 c) 1u  u d) Jika ku=0, maka k=0 atau u=0 Bukti : a. Perhatikan bahwa : 0u+0u =(0+0)u =0u

[aksioma 8] [sifat bilangan 0]

Berdasarkan aksioma 5, vektor 0u memiliki bentuk negatif, -0u. Dengan menambahkan negatifnya pada kedua ruas diatas, maka akan menghasilkan : (0u+0u)+(-0u)=0u+(-0u) 0u+[0u+(-0u)]= 0u+(-0u)

[aksioma 3]

0u+0 = 0

[aksioma 5]

0u = 0

[aksioma 4]

Maka terbukti 0u  0 .

5

b. Akan dibuktikan k 0  0 . Untuk membuktikannya, maka kita gunakan persamaan 0+0=0. 0+0=0 k(0+0)=k0

[kedua ruas di kalikan k, dimana k adalah skalar]

k0+ k0 = k0

[Aksioma 7]

k0+ k0+(-k0)= k0+(-k0)

[kedua ruas ditambahkan (-k0)]

k0+0=0

[Aksioma 5]

k0=0

[Aksioma 4]

Terbukti bahwa k 0  0 . c. Untuk menunjukkan 1u  u , diperlihatkan bahwa u   1u  0 .

u   1u

 1u `  1u

[Aksioma 10]

 1   1u

[Aksioma 8]

 0u

[Sifat dari bilangan]

0

[Teorema 3a]

d. Akan dibuktikan jika ku=0, maka k=0 atau u=0. ku=ku ku+k0+0u+0=ku+k0+0u+0

[kedua ruas ditambah k0, 0u, 0]

(k+0)(u+0)= ku+k0+0u+0

[dibuat bentuk perkalian]

(k+0)(u+0)=0+0+0+0

[Diketahui, Teorema 3b, Teorema 3a]

(k+0)(u+0)=0

[Sifat dari bilangan]

k=0 atau u=0 maka terbukti bahwa jika ku=0, maka k=0 atau u=0.

6

DAFTAR PUSTAKA

Purwanto, dkk. 2005 .Aljabar Linier. Jakarta: PT. ERCONTARA RAJAWALI.

Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier Elementer. Jakarta : Erlangga.

7