RUANG-RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS
Dahliatul Hasanah FM IPA Universitas Negeri M alang –
[email protected]
Abstrak: Ruang metrik bernilai kompleks merupakan pengembangan dari ruang metrik dengan memperumum definisi metrik yang digunakan. Ruang metrik bernilai kompleks ini pertama kali diperkenalkan oleh Azzam, dkk. (2011) yang membahas mengenai keberadaan titik tetap perserikatan (common fixed point) pada ruang ini. Pada makalah ini beberapa contoh ruang metrik bernilai kompleks diberikan dengan dilengkapi pembuktiannya. Selain itu hubungan antara ruang metrik bernilai kompleks dengan ruang metrik klasik akan dijelaskan melalui contoh -contoh yang sudah diberikan sebelumnya. Kata kunci: ruang metrik bernilai kompleks, ruang metrik. Abstract: A complex-valued metric space is a generalization of the clasiccal metric space by modifying the definition of its metric. This concept of complex-valued metric spaces was introduced by Azzam, et.al (2011) who investigated the existence of a common fixed point on the spaces. In this article, some complex-valued metric spaces are given with proofs. The relationship between classical metric spaces and complex-valued metric spaces is also investigated through the previous examples. Keywords: complex-valued metric spaces, metric spaces.
Dalam beberapa tahun terakhir terdapat gaga-
metrik bernilai kompleks ini pertama kali diperke-
san-gagasan baru mengenai ruang metrik yang
nalkan oleh Azzam, dkk (2011) yang meneliti ten-
merupakan pengembangan dari ruang metrik klasik.
tang titik tetap untuk pemetaan yang memenuhi
Pengembangan ini bertujuan di antaranya untuk
ketaksamaan rasionalitas pada ruang metrik bernilai
memperumum gagasan ruang metrik atau bahkan
kompleks.
untuk melemahkan syarat ruang metrik klasik. Be-
Pengenalan gagasan ruang metrik bernilai
berapa contoh di antaranya adalah ruang metrik
kompleks ini diikuti oleh banyak peneliti lain (di an-
pseudo, ruang metrik cone, quasi ruang metrik, ru-
taranya lihat Sitthikul dan Saejung (2012)) untuk
ang metrik probabilistik dan ruang metrik bernilai
menginvestigasi sifat-sifat lain dalam ruang terse-
kompleks.
but. Dalam sumber-sumber tersebut disebutkan
Ruang metrik bernilai kompleks merupakan
secara singkat beberapa contoh ruang metrik ber-
perumuman dari ruang metrik klasik dengan mem-
nilai kompleks. Contoh-contoh tersebut akan diba-
perumum definisi metrik yang digunakan. Ruang
has lebih mendalam dalam makalah ini. Selanjutnya
melalui contoh akan dijelaskan hubungan antara ru-
Selanjutnya (𝑋, 𝑑) disebut ruang metrik bernilai
ang metrik bernilai kompleks dan ruang metrik
kompleks.
klasik.
Berdasarkan definisi di atas dapat dilihat bahwa ruang metrik bernilai kompleks merupakan
KAJIAN PUSTAKA
perumuman dari ruang metrik klasik. Perhatikan
Sebelum mengenalkan metrik bernilai kom-
bahwa jika 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ memenuhi sifat (M1),
pleks perlu dikenalkan urutan parsial pada him-
(M2), dan (M3) maka d merupakan metrik (dalam
punan bilangan kompleks. Misal ℂ adalah himpunan
ruang metrik klasik), yaitu memenuhi sifat-sifat
bilangan kompleks dan 𝑧1 , 𝑧2 ∈ ℂ, didefinisikan
berikut:
urutan parsial ≼ pada ℂ sebagai berikut:
(K1) 0 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺
𝑧1 ≼ 𝑧2 jika dan hanya jika Re(𝑧1 ) ≤ Re(𝑧2 ) dan Im(𝑧1 ) ≤ Im(𝑧2 ). Hal ini mengakibatkan 𝑧1 ≼ 𝑧2 jika dan hanya jika
𝑥 = 𝑦; (K2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; (K3) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) , ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.
satu dari kondisi berikut terpenuhi: (i)
Re(𝑧1 ) = Re(𝑧2 ) dan Im(𝑧1 ) < Im(𝑧2 ),
(ii)
Re(𝑧1 ) < Re(𝑧2 ) dan Im(𝑧1 ) = Im(𝑧2 ),
Pada bagian ini akan diberikan beberapa con-
(iii)
Re(𝑧1 ) < Re(𝑧2 ) dan Im(𝑧1 ) < Im(𝑧2 ),
toh ruang metrik bernilai kompleks dengan pembuk-
(iv)
Re(𝑧1 ) = Re(𝑧2 ) dan Im(𝑧1 ) = Im(𝑧2 ).
tiannya. Selanjutnya melalui contoh akan dibahas
PEMBAHASAN
Jika 𝑧1 ≠ 𝑧2 dan salah satu dari (i), (ii), atau (iii) ter-
mengenai hubungan ruang metrik klasik dan ruang
penuhi maka bisa dituliskan 𝑧1 ⋨ 𝑧2 . Secara khusus
metrik bernilai kompleks.
dapat dituliskan 𝑧1 ≺ 𝑧2 jika kondisi (iii) yang terpenuhi Urutan parsial pada bidang kompleks mempu-
Contoh 2.1 Misal didefinisikan 𝑑: ℂ × ℂ → ℂ sebagai berikut: 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = |𝑧1 − 𝑧2 | + 𝑖|𝑧1 − 𝑧2 |.
nyai sifat: (i)
0 ≼ 𝑧1 ⋨ 𝑧2 maka |𝑧1 | < |𝑧2 |;
Maka (ℂ, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks.
(ii) 𝑧1 ≼ 𝑧2 dan 𝑧2 ≺ 𝑧3 maka 𝑧1 ≺ 𝑧3 ;
Bukti:
(iii) Jika 𝑧 ∈ ℂ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ dan 𝑎 ≤ 𝑏, maka 𝑎𝑧 ≼
Ambil 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ ℂ,
𝑏𝑧.
a. 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 0 jika dan hanya 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) =
Definisi 1.1 Misal X adalah himpunan tak kosong.
0 dan 𝐼𝑚 (𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) = 0, yaitu |𝑧1 − 𝑧2 | = 0.
Pemetaan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℂ disebut metrik bernilai
Hal ini mengakibatkan 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 0 jika dan
kompleks pada X jika kondisi berikut terpenuhi:
hanya jika 𝑧1 = 𝑧2.
(M1) 0 ≼ 𝑑(𝑥, 𝑦) , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺
Di lain pihak, 0 ≼ 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) karena 0 ≤ |𝑧1 −
𝑥 = 𝑦; (M2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; (M3) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≼ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) , ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.
𝑧2 |. b. Perhatikan bahwa 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = |𝑧1 − 𝑧2 | + 𝑖|𝑧1 − 𝑧2 | = |𝑧2 − 𝑧1 | + 𝑖|𝑧2 − 𝑧1 |
= 𝑑(𝑧2 , 𝑧1 ).
Di lain pihak, jika 𝑝 =
c. Berdasarkan definisi fungsi pada contoh,
𝑧3 | + |𝑧2 − 𝑧3 | = 𝐼𝑚 (𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )). Perhatikan bahwa dengan menggunakan sifat ketaksamaan segitiga pada modulus pada bilangan kompleks berlaku |𝑧1 − 𝑧2 | ≤ |𝑧1 − 𝑧3 | + |𝑧2 − 𝑧3 | yang mengakibatkan 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) ≤ 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )). Dengan
cara
yang
sama
didapatkan
𝐼𝑚 (𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) ≤ 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )). Dengan demikian berlaku
4
maka
1 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = √2(|𝑧1 − 𝑧2 | + 𝑖 |𝑧1 − 𝑧2 |). 2
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) = 𝐼𝑚 (𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) = |𝑧1 − 𝑧2 |. Sedangkan 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )) = |𝑧1 −
𝜋
Pemetaan ini merupakan metrik bernilai kompleks sesuai dengan contoh 2.1. Dengan demikian contoh pemetaan yang diberikan Sharma, yaitu dengan 𝑝 ∈ ℝ pada artikelnya belum tentu merupakan metrik bernilai kompleks bergantung pada 𝑝 yang dipilih. Contoh 2.3 (Ahmad, dkk. 2014) Misal 𝑋 = 𝑋1 ∪ 𝑋2 dengan 𝑋1 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝐼𝑚 (𝑧) = 0} dan
𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) ≼ 𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 ).
𝑋2 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑅𝑒(𝑧) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝐼𝑚(𝑧) ≥ 0}.
Berdasarkan (a),(b), dan (c), 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = |𝑧1 −
Didefinisikan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℂ sebagai berikut:
𝑧2 | + 𝑖|𝑧1 − 𝑧2 | adalah metrik bernilai kompleks
𝑑(𝑥, 𝑦)
dan (ℂ, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks.
2 𝑖 |𝑥1 − 𝑥 2| + |𝑥1 − 𝑥 2 |, 3 2 1 𝑖 |𝑦1 − 𝑦2 | + |𝑦1 − 𝑦2 |, 2 3
Contoh 2.2 Misal didefinisikan pemetaan 𝑑: ℂ × =
ℂ → ℂ sebagai berikut: 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑒 𝑖𝑝 |𝑧1 − 𝑧2 | dengan 𝑝 ∈ ℝ dan 𝑧1 , 𝑧2 ∈ ℂ. Sharma (2013) menyatakan bahwa pemetaan yang didefinisikan di atas adalah metrik bernilai kompleks yang artinya memenuhi sifat-sifat metrik bernilai kompleks.
Jika
diambil 𝑝 = 𝜋
maka
pemeetaan di atas menjadi 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑒 𝑖𝜋 |𝑧1 − 𝑧2 |. Karena 𝑒 𝑖𝜋 = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 = −1. Sehingga 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = −|𝑧1 − 𝑧2 |. Pehatikan bahwa dengan pemetaan tersebut berlaku sifat 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) ≼ 0. Hal ini bertentangan dengan sifat metrik bernilai kompleks. Dengan demikian 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑒 𝑖𝜋 |𝑧1 − 𝑧2 | bukan merupakan metrik bernilai kompleks.
𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑋1 ; 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑋2 ;
2 1 1 1 𝑦2 ) + 𝑖 ( 𝑥 1 + 𝑦2 ) , 𝑧1 ∈ 𝑋1 , 𝑧2 ∈ 𝑋2 ; 3 2 2 3 1 2 1 1 ( 𝑦1 + 𝑥 2 ) + 𝑖 ( 𝑦1 + 𝑥 2 ) , 𝑧1 ∈ 𝑋2 , 𝑧2 ∈ 𝑋1 ; 3 3 2 { 2 ( 𝑥1 +
di mana 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥 2 + 𝑖𝑦2 . Maka (ℂ, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks. Bukti: Untuk 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ 𝑋, (a) Berdasarkan definisi fungsi, 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) ≥ 0 dan 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) ≥ 0 sehingga 0 ≼ 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ). Untuk 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑋1 , 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 0 jika dan hanya jika |𝑥1 − 𝑥 2 | = 0, yaitu 𝑥1 = 𝑥 2. Karena 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑋1 , maka 𝑧1 = 𝑧2 . Untuk 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑋2, 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 0 jika dan hanya jika |𝑦1 − 𝑦2 | = 0, yaitu 𝑦1 = 𝑦2. Karena 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑋2 , maka 𝑧1 = 𝑧2 . Untuk kasus 𝑧1 ∈ 𝑋1 , 𝑧2 ∈ 𝑋2 atau
𝑧1 ∈ 𝑋2 , 𝑧2 ∈ 𝑋1 selalu tidak akan berlaku
𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 0 maupun 𝑧1 = 𝑧2 . Sehingga ter-
Jika 𝑦2 ≤ 𝑦3, maka
bukti bahwa 𝑑( 𝑧1 , 𝑧2 ) = 0 jika dan hanya jika
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )) = ( 𝑥1 + 𝑦3 ) +
𝑧1 = 𝑧2 .
1
(b) Untuk 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑋1 , 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑑(𝑧2 , 𝑧1 ) karena |𝑥1 − 𝑥2 | = |𝑥2 − 𝑥1 |. Dengan cara yang
2
2
2 3
2
𝑥 + 𝑦2 3 1
2
1
2
3
2
Jika 𝑦3 ≤ 𝑦2, maka
1
1
1
2
2
3
1
2
1
1
= (2 𝑦2 + 3 𝑥 1 ) + 𝑖 (3 𝑦2 + 2 𝑥 1 )
2
2
2
1
3
2
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )) = ( 𝑥1 + 𝑦3 ) + 1 2 2
= 𝑑(𝑧2 , 𝑧1 ).
1
− 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑦2 =
𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑋2 . Untuk 𝑧1 ∈ 𝑋1 , 𝑧2 ∈ 𝑋2 , 3
2
1
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )).
2
2
1
|𝑦2 − 𝑦3 | = ( 𝑥1 + 𝑦3 ) + 𝑦3 − 𝑦2 ≥
sama didapatkan ( 𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑑(𝑧2 , 𝑧1 ) untuk
𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = ( 𝑥 1 + 𝑦2 ) + 𝑖 ( 𝑥 1 + 𝑦2 )
1
1
3
2
1
1
1
3
2
2
2
|𝑦2 − 𝑦3 | = ( 𝑥1 + 𝑦3 ) + 𝑦2 − 𝑦3 = 1
𝑥 + 𝑦2 3 1 2
= 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )).
Dengan cara yang sama 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑑(𝑧2 , 𝑧1 )
Dengan demikian didapatkan
juga berlaku jika 𝑧1 ∈ 𝑋2 , 𝑧2 ∈ 𝑋1.
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) ≤ 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )).
(c) Untuk menunjukkan 𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) ≼ 𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 ), ada beberapa kasus yang harus diper-
Dengan cara yang sama didapatkan 𝐼𝑚 (𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) ≤ 𝐼𝑚(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )).
hatikan, akan tetapi tanpa mengurangi keumu-
Maka dapat disimpulkan bahwa
man akan ditunjukkan bukti untuk dua kasus
𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) ≼ 𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 ).
saja, yaitu untuk 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ 𝑋1 dan 𝑧1 ∈
Dari (a), (b), dan (c) didapatkan bahwa 𝑑 adalah
𝑋1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ 𝑋2 .
metrik bernilai kompleks. Selanjutnya (𝑋, 𝑑) adalah
Berdasarkan sifat ketaksamaan segitiga pada nilai mutlak,
untuk
𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ 𝑋1
ruang metrik bernilai kompleks.
atau
𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ 𝑋2 , berlaku
Pada contoh 2.1, metrik bernilai kompleks
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) ≤ 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 ))
𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) mempunyai bagaian riil dan bagian khayal
dan
yang merupakan metrik biasa pada himpunan
𝐼𝑚 (𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) ≤ 𝐼𝑚 (𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )).
bilangan kompleks ℂ, yaitu |𝑧1 − 𝑧2 |. Hal ini meru-
Untuk 𝑧1 ∈ 𝑋1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ 𝑋2 , perhatikan bahwa
pakan salah satu contoh hubungan metrik biasa
2
1
1
1
3
2
2
3
𝑑(𝑧1 , 𝑧2 ) = ( 𝑥1 + 𝑦2 ) + 𝑖 ( 𝑥1 + 𝑦2 )
(klasik) dengan metrik bernilai kompleks. Berikut
1
𝑖
diberikan teorema yang menyatakan hubungan an-
2
3
tara ruang metrik klasik dengan ruang metrik ber-
dan 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 ) = |𝑦2 − 𝑦3 | + |𝑦2 − 𝑦3 |, sedangkan
nilai kompleks. 2
1
1
1
3
2
2
3
𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) = ( 𝑥1 + 𝑦3 ) + 𝑖 ( 𝑥1 + 𝑦3 ). Akan ditunjukkan bahwa
Teorema 2.4. Misal X adalah himpunan tak kosong
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧2 )) ≤ 𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )).
dan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ adalah metrik klasik pada X.
2
1
3
2
𝑅𝑒(𝑑(𝑧1 , 𝑧3 ) + 𝑑(𝑧2 , 𝑧3 )) = ( 𝑥1 + 𝑦3 ) + 1 2
|𝑦2 − 𝑦3 |.
Didefinisikan 𝑑𝑐 :𝑋 × 𝑋 → ℂ dengan 𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑑(𝑥, 𝑦).
Maka 𝑑𝑐 adalah metrik bernilai kompleks. Selanjut-
𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦) ≼ 𝑑𝑐(𝑥, 𝑧) + 𝑑𝑐 (𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋
nya (𝑋, 𝑑𝑐 ) adalah ruang metrik bernilai kompleks.
Berdasarkan (a), (b), dan (c), 𝑑𝑐 adalah metrik ber-
Bukti:
nilai kompleks. Selanjutnya (𝑋, 𝑑𝑐 ) adalah ruang
(a) 𝑑 adalah metrik klasik sehingga berlaku 0 ≤
metrik bernilai kompleks.
𝑑(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Hal ini mengakibatkan 0 ≼ 𝑑(𝑥, 𝑦) , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Di lain pihak, 𝑑𝑐 (𝑥,𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0, sehingga 𝑥 = 𝑦.
PENUTUP
Ruang metrik bernilai kompleks merupakan perumuman dari ruang metrik klasik. Jika daerah
(b) Perhatikan bahwa 𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑑(𝑥, 𝑦)
hasil dari metrik bernilai kompleks dibatasi hanya
= 𝑑(𝑦, 𝑥) + 𝑖𝑑(𝑦, 𝑥)
bernilai riil, maka metrik bernilai kompleks menjadi
= 𝑑𝑐(𝑦, 𝑥) .
metrik klasik. Sebaliknya, ruang metrik bernilai
(c) Pada metrik klasik berlaku ketaksamaan se-
kompleks dapat dikonstruksi dari ruang metrik klasik, yaitu bagian nyata dan bagian khayal pada
gitiga, yaitu 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) .
metrik bernilai kompleks merupakan metrik klasik.
Akibatnya, 𝑅𝑒(𝑑𝑐 (𝑥,𝑧) + 𝑑𝑐 (𝑧, 𝑦)) = 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) ≥ 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑅𝑒(𝑑𝑐(𝑥, 𝑦)). Dengan cara yang sama didapatkan 𝐼𝑚(𝑑𝑐(𝑥, 𝑦)) ≤ 𝐼𝑚(𝑑𝑐(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦)). Sehingga DAFTAR RUJUKAN
Ahmad, J., Azzam, A., Saejung, S. 2014. Common fixed point results for contractive mappings in complex valued metric spaces. Fixed Point Theory and Applications. 2014:67. Azzam, A., Fisher, B., Khan, M. 2011. Common fixed point theorems in complex valued metric spaces. Numer.Funct.Anal.Optim. 32(3):244-253 Sharma, Y.R. 2013. Common fixed point theorem in complex valued metric spaces. International Journal of Innovative Research in Science, Engineering and Technology. Vol. 2. Issue 12. December 2013.
Sitthikul, K. dan Saejung, S. 2012. Some fixed point theorems in complex valued metric spaces. Fixed Point Theory and Applications. 2012:189
