SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016

SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS Dahliatul Hasanah FMIPA Universitas Negeri Malang [email protected] Abstrak Ruang metrik bernilai kompleks dapat dibangun dari ruang metrik (klasik) dengan mendefinisikan metrik bernilai kompleks dari metrik bernilai real. Dalam artikel ini, hubungan sifat kelengkapan antara ruang metrik dan ruang metrik bernilai kompleks yang dibangun dari ruang metrik bernilai real diperiksa lebih mendalam dengan memberikan beberapa contoh. Hubungan sifat kelengkapan antara ruang metrik bernilai kompleks dengan ruang bagiannya yang tertutup juga diteliti apakah mengikuti hubungan kelengkapan ruang metrik bernilai real dengan ruang bagian yang tertutup. Kata kunci: ruang metrik bernilai kompleks, ruang metrik lengkap, himpunan tutup

PENDAHULUAN Ruang metrik bernilai kompleks yang dikenalkan oleh Azzam, dkk (2011) melahirkan banyak penelitian untuk memeriksa sifat-sifat yang dimiliki oleh ruang metrik yang baru ini. Sebagian besar penelitian memeriksa sifat keberadaan titik tetap dan ketunggalannya pada ruang metrik bernilai kompleks, di antararanya adalah penelitian oleh Sitthikul dan Saejung (2012) dan oleh Ahmad, dkk (2013). Para peneliti memeriksa apakah Teorema Titik Tetap Banach yang banyak digunakan di bidang terapan dapat berlaku pada ruang metrik bernilai kompleks dengan beberapa kondisi yang disesuaikan. Penemuan ruang metrik yang baru ini memberikan ruang bagi peneliti lainnya untuk memeriksa sifat-sifat yang dimiliki oleh ruang metrik bernilai kompleks yang diturunkan dari sifat-sifat yang dimiliki oleh ruang metrik (klasik). Salah satu sifat yang penting untuk dipelajari adalah sifat kelengkapan (completeness). Sifat kelengkapan yang akan ditunjukkan dalam artikel ini adalah hubungan ruang metrik lengkap terhadap ruang metrik bernilai kompleks yang dibangunnya. Lebih jauh lagi, sifat kelengkapan antara ruang metrik bernilai kompleks dengan ruang bagiannya yang tertutup juga diperiksa apakah mengikuti hubungan ruang metrik (klasik) dengan ruang bagiannya yang tertutup. Sebelum mengenalkan ruang metrik bernilai kompleks, terlebih dahulu dikenalkan dengan urutan parsial pada himpunan bilangan kompleks. Urutan parsial ini yang digunakan untuk mendefinisikan metrik yang bernilai kompleks. M isal ℂ adalah himpunan bilangan kompleks dan 𝑧1 , 𝑧 2 ∈ ℂ, didefinisikan urutan parsial ≼ pada ℂ sebagai berikut: (i) Re(𝑧1 ) = Re(𝑧 2 ) dan Im(𝑧1 ) < Im(𝑧2 ), (ii)

Re(𝑧1 ) < Re(𝑧 2 ) dan Im(𝑧1 ) = Im(𝑧2 ),

(iii)

Re(𝑧1 ) < Re(𝑧 2 ) dan Im(𝑧1 ) < Im(𝑧2 ),

(iv)

Re(𝑧1 ) = Re(𝑧 2 ) dan Im(𝑧1 ) = Im(𝑧2 ).

Jika 𝑧1 ≠ 𝑧 2 dan salah satu dari (i), (ii), atau (iii) terp enuhi maka bisa dituliskan 𝑧1 ⋨ 𝑧 2. Secara khusus dapat dituliskan 𝑧1 ≺ 𝑧 2 jika kondisi (iii) yang terp enuhi. Urutan parsial pada bidang kompleks mempunyai sifat: (i)

0 ≼ 𝑧1 ⋨ 𝑧 2 maka |𝑧1 | < |𝑧 2 |; 1

(ii)

𝑧1 ≼ 𝑧 2 dan 𝑧 2 ≺ 𝑧 3 maka 𝑧1 ≺ 𝑧 3;

(iii)

Jika 𝑧 ∈ ℂ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ dan 𝑎 ≤ 𝑏, maka 𝑎𝑧 ≼ 𝑏𝑧.

Dengan didefinisikannya urutan parsial pada bilangan kompleks, metrik yang sebelumnya adalah bernilai real dapat diganti dengan metrik yang bernilai kompleks sehingga ruang metrik bernilai kompleks didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1.1 Misal X adalah himpunan tak kosong. Pemetaan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℂ disebut metrik bernilai kompleks pada X jika kondisi berikut terp enuhi: (M 1) 0 ≼ 𝑑(𝑥, 𝑦 ), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑(𝑥, 𝑦 ) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦; (M 2) 𝑑(𝑥, 𝑦 ) = 𝑑(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; (M 3) 𝑑(𝑥, 𝑦 ) ≼ 𝑑(𝑥, 𝑧 ) + 𝑑(𝑧, 𝑦 ), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋. Selanjutnya (𝑋, 𝑑) disebut ruang metrik bernilai kompleks. Berdasarkan definisi di atas dapat dilihat bahwa ruang metrik bernilai kompleks merupakan perumuman dari ruang metrik klasik. Perhatikan bahwa jika 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ memenuhi sifat (M 1), (M 2), dan (M3) maka d merupakan metrik (dalam ruang metrik klasik), yaitu memenuhi sifat-sifat berikut: (K1) 0 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦 ), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑(𝑥, 𝑦 ) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦; (K2) 𝑑(𝑥, 𝑦 ) = 𝑑(𝑦, 𝑥) , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; (K3) 𝑑(𝑥, 𝑦 ) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧 ) + 𝑑(𝑧, 𝑦 ), ∀𝑥, 𝑦,𝑧 ∈ 𝑋. Contoh 1.2 (Singh, dkk., 2015) M isal didefinisikan 𝑑: ℂ × ℂ → ℂ sebagai berikut: 𝑑(𝑧1 , 𝑧 2 ) = |𝑧1 − 𝑧 2 | + 𝑖|𝑧1 − 𝑧 2 |. M aka (ℂ, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks. Himpunan buka dan himpunan tutup pada ruang metrik bernilai kompleks didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1.3 (Nashine, dkk., 2014) Misal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks dan 𝐵 ⊆ 𝑋. (i) 𝑏 ∈ 𝐵 disebut sebagai titik interior dari 𝐵 jika terdapat 0 ≺ 𝑟 ∈ ℂ sehingga 𝑁(𝑏, 𝑟) ⊆ 𝐵 dengan 𝑁(𝑏, 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑏, 𝑦) ≺ 𝑟}. (ii) Titik 𝑥 ∈ 𝑋 disebut sebagai titik limit dari 𝐵 jika untuk setiap 0 ≺ 𝑟 ∈ ℂ, 𝑁(𝑥, 𝑟 ) ∩ (𝐵 − {𝑥}) ≠ ∅. (iii) Himpunan bagian 𝐴 ⊆ 𝑋 disebut himpunan buka jika setiap anggota dari 𝐴 adalah titik interior dari 𝐴, sedangkan himpunan 𝐵 ⊆ 𝑋 disebut himpunan tutup jika setiap titik limit dari 𝐵 termuat dalam 𝐵. Seperti halnya definisi barisan pada ruang metrik, barisan kovergen, barisan Cauchy, dan kelengkapan ruang metrik bernilai kompleks didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1.4 (Nashine, dkk., 2014) Misal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks, (𝑥 𝑛) adalah barisan dalam 𝑋 dan 𝑥 ∈ 𝑋. Didefinisikan (i) Barisan (𝑥𝑛) konvergen ke 𝑥 jika untuk setiap 𝑐 ∈ ℂ dengan 0 ≺ 𝑐 terdapat 𝑛0 ∈ ℕ sehingga untuk semua 𝑛 > 𝑛0, 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥) ≺ 𝑐. Kita tuliskan dengan lim 𝑥 𝑛 = 𝑥 atau 𝑥 𝑛 → 𝑥 ketika 𝑛 → ∞. (ii) Barisan (𝑥 𝑛) adalah barisan Cauchy jika untuk setiap 𝑐 ∈ ℂ dengan 0 ≺ 𝑐 terdapat 𝑛0 ∈ ℕ sehingga untuk semua 𝑛, 𝑚 > 𝑛0, 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥 𝑚) ≺ 𝑐. 2


(iii) Ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks yang lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam 𝑋 adalah barisan konvergen. PEMBAHAS AN M elihat contoh-contoh yang diberikan oleh Singh, dkk (2015) dalam artikelnya, penulis memeriksa hubungan antara ruang metrik dan ruang metrik bernilai kompleks. Pada bagian ini akan diberikan beberapa teorema yang penulis bangun mengenai ruang metrik bernilai kompleks yang dapat dibangun dari ruang metrik (klasik) beserta hubungannya dilihat dari sifat kelengkapan ruang metrik. Selain itu hubungan kelengkapan ruang metrik bernilai kompleks dengan ruang bagiannya juga diperiksa lebih mendalam. Teorema 1. (Hasanah, 2014) M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik, maka (𝑋, 𝑑𝑐 ) adalah ruang metrik bernilai kompleks dengan 𝑑𝑐 : 𝑋 × 𝑋 → ℂ diberikan oleh 𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦 ) = 𝑑(𝑥, 𝑦 ) + 𝑖𝑑(𝑥, 𝑦 ), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Teorema 2. M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik dan (𝑋, 𝑑𝑐 ) adalah ruang metrik bernilai kompleks yang didefinisikan pada Teorema 1. Ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah lengkap jika dan Bukti. hanya jika ruang metrik bernilai kompleks (𝑋, 𝑑𝑐 ) adalah lengkap. Untuk menunjukkan (𝑋, 𝑑𝑐 ) adalah ruang lengkap, kita ambil sebarang barisan Cauchy (𝑥𝑛) dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ) dan akan kita tunjukkan bahwa (𝑥𝑛) konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ). Sebelum itu, kita Ambil 𝜀 > 0. Kita pilihbarisan bilangan (𝑥𝑛kompleks ) adalah barisan 𝑐 = 𝜀 Cauchy + 𝑖𝜀. Karena adalah barisan Cauchy akan tunjukkan bahwa dalam(𝑥 (𝑋, 𝑛)𝑑). dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ) maka terdapat bilangan asli 𝑁 sehingga untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝑐 (𝑥𝑛, 𝑥𝑚) ≺ 𝑐. Berdasarkan definisi metrik bernilai kompleks pada Teorema 1 diperoleh 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝜀. Dengan demikian barisan (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑). Karena ruang metrik adalah ruang lengkap, maka barisan (𝑥 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑). M isal barisan (𝑥 𝑛) konvergen (𝑥𝑛𝑐)1 > ke 𝑥 0 ∈≺ 𝑋 𝑐. dalam (𝑋,𝑐𝑑). bahwa konvergen Ambil 𝑐 ∈ ℂ dengan M isal = 𝑐Akan dengan 0, 𝑐2 > 0.ke titik yang 1 + 𝑖𝑐ditunjukkan 2, 𝑐1 ,𝑐 2 ∈ ℝ Untukdalam 𝑐1 >(𝑋, 0, karena sama 𝑑𝑐 ). (𝑥 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑), maka ada bilangan asli 𝑁1 sehingga berlaku 𝑑( 𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐1 untuk 𝑛 ≥ 𝑁1 . Untuk 𝑐 2 > 0, karena (𝑥 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑), maka ada bilangan asli 𝑁2 sehingga berlaku 𝑑( 𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐 2 untuk 𝑛 ≥ 𝑁 2. Pilih 𝑁 = max{𝑁1 , 𝑁 2 } sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑( 𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐1 dan 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐 2 . Hal ini berarti 𝑑𝑐 (𝑥 𝑛, 𝑥) ≺ 𝑐. Dengan demikian barisan (𝑥 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ). Jadi ruang metrik bernilai kompleks (𝑋, 𝑑𝑐 ) adalah ruang lengkap. Sebaliknya, untuk menunjukkan ruang metrik (𝑋, 𝑑) lengkap, kita ambil barisan Cauchy (𝑦 𝑛) dalam (𝑋, 𝑑). Akan ditunjukkan bahwa barisan (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ). Ambil dengan 0≺ M isal 𝑐 = 𝑐1 + 𝑖𝑐 𝑐2 > 0. (𝑦𝑐. 2, 𝑐1 ,𝑐 dalam 2 ∈ ℝ dengan 1 > 0,ada Untuk 𝑐𝑐1∈ >ℂ 0, karena Cauchy (𝑋, 𝑑), 𝑐maka bilangan asli 𝑁1 𝑛) adalah barisan sehingga berlaku 𝑑( 𝑦𝑛, 𝑦 𝑚) < 𝑐1 untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁1. Untuk 𝑐 2 > 0, karena (𝑦 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑), maka ada bilangan asli 𝑁2 sehingga berlaku 𝑑( 𝑦𝑛, 𝑦 𝑚) < 𝑐 2 untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 2. Pilih 𝑁 = max{𝑁1 , 𝑁 2 } sehingga untuk setiap 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑(𝑦 𝑛, 𝑦 𝑚) < 𝑐1 dan 𝑑(𝑦𝑛, 𝑦𝑚) < 𝑐 2 . Hal ini berarti 𝑑𝑐 (𝑦 𝑛, 𝑦 𝑚) ≺ 𝑐. Dengan demikian barisan (𝑦 𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ). Karena ruang metrik bernilai kompleks (𝑋, 𝑑𝑐 ) adalah ruang lengkap, maka barisan 3

(𝑦 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ). M isal 𝑦 ∈ 𝑋 adalah limit barisan (𝑦 𝑛) dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ). Akan ditunjukkan bahwa 𝑦 adalah limit dari (𝑦 𝑛) dalam (𝑋, 𝑑). Ambil 𝜀 > 0. Pilih bilangan kompleks 𝑐 = 𝜀 + 𝑖𝜀. Karena (𝑦 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝑐 ) maka ada bilangan asli 𝑁 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝑐 (𝑦 𝑛, 𝑦 ) < 𝜀 + 𝑖𝜀. Hal ini mengakibatkan 𝑑(𝑦 𝑛, 𝑦) < 𝜀. Dengan kata lain barisan (𝑦 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑). Dengan Teorema membahas mengenai metrik bernilai kompleks lainnya yang demikian ruang berikutnya metrik (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrikruang lengkap. dibangun dari ruang metrik (klasik) dan hubungannya terhadap sifat kelengkapan ruang metrik. Teorema 3. M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik, maka (𝑋, 𝑑𝜃) adalah ruang metrik bernilai kompleks dengan 𝑑𝜃: 𝑋 × 𝑋 → ℂ diberikan oleh 𝜋 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦 ) = 𝑑(𝑥, 𝑦 )𝑒 𝑖𝜃, 0<𝜃< , ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝑋. 2 Bukti. Perhatikan bahwa 𝑑𝜃 (𝑥, 𝑦 ) dapat dinyatakan sebagai 𝑑(𝑥, 𝑦 ) cos 𝜃 + 𝑖𝑑(𝑥, 𝑦 ) sin 𝜃. Akan (𝑥, 𝑦 ) memenuhi sifat-sifat metrik bernilai kompleks. ditunjukkan bahwa 𝑑 𝜋𝜃 (i) Untuk 0 < 𝜃 < , cos 𝜃 > 0 dan sin 𝜃 > 0 sehingga 𝑑(𝑥, 𝑦 ) cos 𝜃 ≥ 0 dan 𝑑(𝑥, 𝑦 ) sin 𝜃 ≥ 2 0, akibatnya 0 ≼ 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦 ). (ii) 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦 ) = 0 jika dan hanya jika 𝑑(𝑥, 𝑦 ) cos 𝜃 = 0 dan 𝑑(𝑥, 𝑦 ) sin 𝜃 = 0. Karena cos 𝜃 ≠ 𝜋 0 dan sin 𝜃 ≠ 0 untuk 0 < 𝜃 < , maka 𝑑(𝑥, 𝑦 ) = 0. Berdasarkan sifat metrik, 𝑥 = 𝑦. 2

(iii) Perhatikan bahwa 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦 ) = 𝑑(𝑥, 𝑦 )𝑒 𝑖𝜃 = 𝑑(𝑦, 𝑥)𝑒 𝑖𝜃 = 𝑑𝜃(𝑦, 𝑥). (iv) Berdasarkan sifat ketaksamaan segitiga pada metrik, diperoleh 𝑅𝑒 (𝑑𝜃(𝑥, 𝑦 )) = 𝑑(𝑥, 𝑦 ) cos 𝜃 ≤ (𝑑(𝑥, 𝑧 ) + 𝑑(𝑧, 𝑦 )) cos 𝜃 = 𝑅𝑒 (𝑑𝜃(𝑥, 𝑧 ) + 𝑑𝜃 (𝑧, 𝑦 )). 𝐼𝑚 (𝑑𝜃(𝑥, 𝑦 )) = 𝑑(𝑥, 𝑦 ) sin 𝜃 ≤ (𝑑(𝑥, 𝑧 ) + 𝑑(𝑧, 𝑦 )) sin 𝜃 = 𝐼𝑚 (𝑑𝜃(𝑥, 𝑧 ) + 𝑑𝜃(𝑧, 𝑦 )). Dengan demikian didapatkan 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦 ) ≼ 𝑑𝜃 (𝑥, 𝑧 ) + 𝑑𝜃(𝑧, 𝑦 ). Berdasarkan sifat (i) – (iv), 𝑑𝜃 adalah metrik bernilai kompleks. Jadi (𝑋, 𝑑𝜃) adalah ruang metrik bernilai kompleks. Teorema 4. M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik dan (𝑋, 𝑑𝜃) adalah ruang metrik bernilai kompleks yang didefinisikan pada Teorema 3. Ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah lengkap jika dan Bukti. hanya jika ruang metrik bernilai kompleks (𝑋, 𝑑𝜃 ) adalah lengkap. M isal ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah lengkap. M isal (𝑥 𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Sebelum menujukkan bahwa (𝑥 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝜃), kita akan tunjukkan terlebih dahulu barisan (𝑥 𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑). Ambil 𝜀 > 0. Perhatikan bahwa 𝜃 adalah bilangan yang tetap (fixed), sehingga kita dapat mendefinisikan 𝛿 = min{cos 𝜃 , sin 𝜃} > 0. Kita pilih bilangan kompleks 𝑐 = 𝛿𝜀 + 𝑖𝛿𝜀. Karena (𝑥 𝑛) adalah barisan 𝑑𝜃(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) ≺ 𝑐. Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝜃) maka terdapat bilangan asli 𝑁 sehingga untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku Hal ini mengakibatkan 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) cos 𝜃 < 𝛿𝜀 dan 𝑑( 𝑥𝑛, 𝑥 𝑚) sin 𝜃 < 𝛿𝜀. Perhatikan bahwa 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) < 𝜀 karena

𝛿 cos 𝜃

≤ 1 dan

𝛿 sin𝜃

≤ 1. Dengan demikian (𝑥 𝑛) adalah barisan Cauchy

dalam (𝑋, 𝑑). Karena (𝑋, 𝑑) adala ruang metrik lengkap, maka (𝑥 𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑), sebut ke 𝑥 ∈ 𝑋. Kita akan tunjukkan bahwa (𝑥𝑛) konvergen ke 𝑥 dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Untuk asli𝑖𝑐𝑁 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁1 berlaku 𝑑(𝑐𝑥1𝑛> , 𝑥)0 < 𝑐1 .𝑐 2 > 0. Ambil 0𝑐1≺>𝑐 0, ∈ terdapat ℂ, denganbilabgan 𝑐 = 𝑐1 + dan 2,1 𝑐1 ,𝑐 2 ∈ ℝ. Hal ini mengakibatkan Untuk 𝑐 2 > 0, terdapat bilabgan asli 𝑁2 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 2 berlaku 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥) < 𝑐2. 𝜋 Perhatikan bahwa untuk 0 < 𝜃 < berlaku 0 < sin 𝜃 < 1 dan 0 < cos 𝜃 < 1, sehingga 2 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥) cos 𝜃 < 𝑑( 𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐1 dan 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) sin 𝜃 < 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥) < 𝑐 2. Kita pilih 𝑁 = 4


max{𝑁1 , 𝑁 2}, sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝜃(𝑥 𝑛, 𝑥) ≺ 𝑐. ( ) Dengan demikian 𝑥𝑛 adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝜃 ). Jadi (𝑋, 𝑑𝜃) adalah ruag bernilai kompleks yang lengkap. Sebaliknya, misal (𝑋, 𝑑𝜃) adalah lengkap. Kita akan tunjukkan bahwa (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik lengkap. M isal (𝑦 𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑). Kita akan tunjukkan terlebih dahulu bahwa (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Ambil 0 ≺ 𝑐 ∈ ℂ, dengan 𝑐 = 𝑐1 + 𝑖𝑐 2 , 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ. Hal ini mengakibatkan 𝑐1 > 0 dan 𝑐 2 > 0. Karena (𝑦 𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑) maka ada bilangan asli 𝑁1 sehingga 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥𝑚) < 𝑐1 untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁1 dan ada bilangan asli 𝑁 2 sehingga 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) < 𝑐2 untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 2. Didefinisikan 𝑁 = max{𝑁1 , 𝑁 2 } sehingga untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑(𝑥 , 𝑥 ) < 𝑐 dan 𝑑(𝑥 , 𝑥 ) < 𝑐 . 𝑛

𝑚

𝜋

1

𝑛

𝑚

2

Hal ini mengakibatkan untuk 0 < 𝜃 < berlaku 2 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) cos 𝜃 < 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) < 𝑐1 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) sin 𝜃 < 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) < 𝑐 2. Akibatknya untuk setiap 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝜃(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) = 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥 𝑚) cos 𝜃 + 𝑖𝑑(𝑥𝑛, 𝑥 𝑚) sin 𝜃 ≼ 𝑐1 + 𝑖𝑐 2 = 𝑐, yaitu (𝑦 𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Karena ruang metrik bernilai kompleks (𝑋, 𝑑𝜃) adalah (lengkap maka barisan (𝑦 ) konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝜃). (𝑦 𝑛) konvergen M isal barisan 𝑦 𝑛) konvergen ke 𝑦 ∈ 𝑛𝑋 dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Akan ditunjukkan (𝑋, 𝑑) dengan limit yang sama. Ambil 𝜀 > 0. Pilih bilangan kompleks 0 ≺ 𝑐 = 𝛿𝜀 + 𝑖𝛿𝜀 dengan 𝛿 = min{sin 𝜃 , cos 𝜃}, maka ada bilangan asli 𝑁 sehingga setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝜃(𝑦 𝑛, 𝑦 ) ≺ 𝑐. Perhatikan bahwa untuk 0 < 𝜋 𝜃 < berlaku 2 𝛿𝜀 𝑑(𝑦 𝑛, 𝑦 ) < ≤ 𝜀. cos 𝜃 Dengan demikian barisan (𝑦𝑛) konvergen ke 𝑦 ∈ 𝑋 dalam (𝑋, 𝑑). Jadi ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah ruang lengkap. Pada ruang metrik (klasik) terdapat hubungan antara ruang metrik lengkap dengan ruang bagiannya yang tertutup. Teorema berikut ini menyatakan hubungan yang sama berlaku pada ruang metrik bernilai kompleks yang lengkap dengan ruang bagiannya yang tertutup. Namun sebelum membuktikan teorema tersebut, akan ditunjukkan terlebih dahulu hubungan barisan konvergen dengan himpunan penutup (closure) suatu himpunan dalam ruang metrik bernilai kompleks. ̅ adalah penutup Teorema 5. Misal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks, 𝑀 ⊆ 𝑋 dan 𝑀 ̅ jika dan hanya jika terdapat barisan (𝑥 ) dalam 𝑀 sehingga 𝑥 → 𝑥 (closure) dari 𝑀. 𝑥 ∈ 𝑀 𝑛

𝑛

ketika 𝑛 → ∞. Bukti. ̅. Jika 𝑥 ∈ 𝑀, maka pilih barisan konstan (𝑥, 𝑥, 𝑥, … ) dalam 𝑀 yang konvergen ke M isal 𝑥 ∈ 𝑀 𝑥. Jika 𝑥 ∉ 𝑀 maka 𝑥 adalah titik limit dari 𝑀. Akibatnya jika kita pilih 𝑟1 = 1 + 𝑖 maka 1 terdapat bola buka 𝑁 (𝑟1 , 𝑥) yang memuat 𝑥1 ∈ 𝑀, 𝑥1 ≠ 𝑥 dan 𝑑(𝑥1 , 𝑥) ≺ 𝑟1. Untuk 𝑟 2 = + 2

maka terdapat bola buka 𝑁 (𝑟 2, 𝑥) yang memuat 𝑥 2 ∈ 𝑀, 𝑥 2 ≠ 𝑥 dan 𝑑(𝑥2 , 𝑥) ≺ 𝑟 2. Proses ini 1 1 dilanjutkan sampai terbentuk barisan (𝑥 𝑛) dalam 𝑀, yaitu untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, 0 ≺ 𝑟𝑛 = + 𝑖 𝑛

𝑛

terdapat 𝑥 𝑛 ∈ 𝑀, 𝑥 𝑛 ≠ 𝑥 sehingga 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥) ≺ 𝑟𝑛. Akan ditunjukkan bahwa barisan (𝑥 𝑛) konvergen ke 𝑥. Ambil 0 ≺ 𝑐 ∈ ℂ dengan 𝑐 = 𝑐1 + 𝑖𝑐 2, sehingga 𝑐1 > 0 dan 𝑐2 > 0. Untuk 5

𝑐1 > 0 terdapat bilangan asli 𝑁1 >

1 𝑐1

sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁1 berlaku

𝑅𝑒 (𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥)) < Untuk 𝑐 2 > 0, terdapat bilangan asli 𝑁2 >

1 𝑐2

1 1 ≤ < 𝑐1 . 𝑛 𝑁1

sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁2 berlaku

1 1 ≤ < 𝑐 2. 𝑛 𝑁2 Pilih 𝑁 = max{𝑁1 , 𝑁 2 } sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑅𝑒 (𝑑(𝑥𝑛, 𝑥)) < 𝑐1 dan 𝐼𝑚 (𝑑(𝑥𝑛, 𝑥)) < 𝑐2 . ( Dengan kata lain 𝑑 𝑥 𝑛, 𝑥) ≺ 𝑐. Jadi (𝑥 𝑛) konvergen ke 𝑥. 𝐼𝑚 (𝑑(𝑥𝑛, 𝑥)) <

̅. Jika Sebaliknya, misal terdapat barisan (𝑥 𝑛) dalam 𝑀 dan 𝑥 𝑛 → 𝑥. Jika 𝑥 ∈ 𝑀 maka 𝑥 ∈ 𝑀 𝑥 ∉ 𝑀 akan kita tunjukkan bahwa 𝑥 adalah titik limit 𝑀. Ambil 0 ≺ 𝑟 ∈ ℂ. Karena 𝑥 𝑛 → 𝑥 maka terdapat bilangan asli 𝑁 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑(𝑥 𝑛, 𝑥) ≺ 𝑟. Hal ini menyatakan bahwa bola buka 𝑁 (𝑟, 𝑥) memuat 𝑥 𝑛 ∈ 𝑀 dan 𝑥 𝑛 ≠ 𝑥. Jadi 𝑥 adalah titik limit dari 𝑀. ̅. Berdasarkan definisi penutup, 𝑥 ∈ 𝑀 Teorema 6. M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks yang lengkap dan 𝑀 ⊆ 𝑋 adalah ruang bagian bernilai kompleks. (𝑀, 𝑑) adalah ruang lengkap jika dan hanya jika 𝑀 adalah himpunan tutup. Bukti. M isal 𝑀 adalah ruang bagian bernilai kompleks yang lengkap. Untuk menunjukkan 𝑀 adalah himpunan tutup, kita ambil sebarang titik limit dari 𝑀 dan kita tunjukkan bahwa titik limit tersebut termuat dalam 𝑀. M isal 𝑥 ∈ 𝑋 adalah titik limit dari 𝑀. Berdasarkan Teorema 5 terdapat barisan (𝑥 𝑛) dalam 𝑀 yang konvergen ke 𝑥. Jelas bahwa (𝑥 𝑛) adalah barisan Cauchy dalam 𝑀. Karena 𝑀 adalah lengkap maka (𝑥𝑛) konvergen dalam 𝑀. Karena sifat ketunggalan limit barisan konvergen maka 𝑥 ∈ 𝑀. Dengan demikian 𝑀 adalah himpunan tutup. Sebaliknya, misal 𝑀 adalah himpunan tutup dan (𝑦 𝑛) adalah barisan Cauchy dalam 𝑀. Perhatikan bahwa (𝑦 𝑛) merupakan barisan Cauchy dalam 𝑋. Karena (𝑋, 𝑑) adalah ruang lengkap maka (𝑦𝑛) konvergen dalam 𝑋, sebut konvergen ke 𝑦 ∈ 𝑋. Hal ini mengakibatkan 𝑦 adalah titik limit dari 𝑀. Karena 𝑀 adalah himpunan tutup maka 𝑦 ∈ 𝑀. Jadi ( 𝑦𝑛) konvergen ke 𝑦 ∈ 𝑀 sehingga 𝑀 adalah ruang bagian bernilai kompleks yang lengkap. KES IMPULAN DAN S ARAN Ruang metrik bernilai kompleks merupakan perluasan dari ruang metrik (klasik) dengan mengganti definisi metrik yang digunakan menjadi metrik bernilai kompleks. Dengan menggunakan urutan parsial pada bilangan kompleks, metrik bernilai kompleks memiliki sifatsifat yang mirip dengan metrik bernilai real. Ruang metrik bernilai kompleks juga dapat dibangun dari ruang metrik bernilai real. Dalam makalah ini dikonstruksi dua ruang metrik bernilai kompleks, yaitu (𝑋, 𝑑𝑐 ) dan (𝑋, 𝑑𝜃), dari ruang metrik bernilai real. Sifat kelengkapan ruang metrik dapat menyebabkan kelengkapan ruang metrik bernilai kompleks yang dibangunnya dan berlaku pula sebaliknya. Lebih jauh lagi, dengan menggunakan definisi himpunan buka dan tutup yang sudah disesuaikan, ruang metrik bernilai kompleks mempunyai sifat yang sama dengan ruang metrik bernilai real dalam hubungannya dengan ruang bagian. Ruang bagian dari ruang metrik bernilai kompleks yang lengkap merupakan ruang lengkap jika dan hanya jika ruang bagian tersebut merupakan himpunan tutup dalam ruang metrik bernilai kompleks. Ruang metrik bernilai kompleks merupakan ruang metrik jenis baru sehingga masih banyak aspek yang perlu digali lebih dalam, yaitu apakah sifat-sifat yang berlaku pada ruang metrik bernilai real juga berlaku pada ruang metrik bernilai kompleks. Sebagai contoh, pada 6


ruang metrik bernilai real, himpunan buka atau himpunan tutup dapat diperiksa melalui pemetaan yang kontinu. Sifat ini adalah salah satu sifat yang perlu diperiksa keberlakuannya dalam ruang metrik bernilai kompleks. DAFTAR RUJUKAN Ahmad, J., Azzam, A., Saejung, S. 2014. Common Fixed Point Results for Contractive M appings in Complex Valued M etric Spaces. Fixed Point Theory and Applications. 2014:67 Azzam, A., Fisher, B., Khan, M. 2011. Common Fixed Point Theorems in Complex ValuedM etric Spaces. Number.Funct.Anal.Optim. 32(3):244-253 Hasanah, D. 2014. Ruang-Ruang M etrik Bernilai Kompleks. Prosiding Seminar Nasional Pembelajaran Bermakna melalui Exchange Esperiences TEQIP. 2014: 372-378. Nashine, H. K., Imdad, M., Hasan, M. 2014. Common Fixed Point Theorems Under Rational Contractions in Complex Valued M etric Spaces. Journal of Nonlinear Science and Applications. 7(2014): 42-50 Singh, N., Singh, D., Badal, A., Joshi, V. 2015. Fixed Point Theorems in Complex Valued M etric Spaces. Journal of the Egyptian Mathematical Society. http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.04.005 Sitthikul, K. dan Saejung, S. 2012. Some Fixed Point Theorems in Complex Valued M etric Spaces. Fixed Point Theory and Applications. 2012:189

7

Comment ed [MM1]: Artikel ini layak diterbitkan dalam prosiding, dengan catatan: 1.P erlu ditambahkan apakah teorema-teorema dalam pembahasan merupakan hasil sendiri dan tidak ada dalam buku atau artikel, atau penulis memberikan bukti lain atau melengkapi bukti. Kuatir di buku/artikel sudah ada.

SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS

Recommend Documents