ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK

SKRIPSI

SITI MAISYAROH

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

Skripsi

Sifat Jarak pada Ruang Metrik.

Siti Maisyaroh


SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Disetujui oleh :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Eridani, M.Si. NIP. 19690109 199303 1 001

Dr. Miswanto, M.Si. NIP. 19680204 199303 1 002

ii Skripsi


Siti Maisyaroh


LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul Penyusun NIM Tanggal Ujian

: Sifat Jarak pada Ruang Metrik : Siti Maisyaroh : 080810542 : 11 September 2012

Disetujui oleh : Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Eridani, M.Si. NIP. 19690109 199303 1 001


Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga


iii Skripsi


Siti Maisyaroh


PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

iv Skripsi


Siti Maisyaroh


KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahi Rabbil ’Aalamiin. Puji syukur kehadirat Allah SWT. yang telah melimpahkan rahmad dan hidayahnya yang tidak terkira, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi berjudul “Sifat Jarak pada Ruang Metrik”. Penyusun bukanlah orang yang cukup hebat untuk menyelesaikan skripsi ini seorang diri. Penyusun mendapatkan banyak bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penyusun ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Allah SWT. yang telah banyak memberikan ilmu bermanfaat dan meridhoi penyusun dalam penyelesaian skripsi ini. 2. Dr. Eridani, M.Si. dan Dr. Miswanto, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah memberikan pengetahuan, bimbingan, dan perhatian dengan baik dan penuh kesabaran, serta senantiasa memberikan nasehat dan arahan kepada penulis yang telah banyak melakukan kesalahan dalam penulisan skripsi ini. 3. Ibu yang paling hebat, tercinta, dan tersayang, yaitu Ibu Saila dan bapak tercinta Bapak Usman, yang telah memberikan kasih sayang, semangat yang begitu besar, dan doa yang terus-menerus. Terima kasih telah menjadi orang tua yang terbaik dalam hidupku. Ibu dan Bapak adalah inspirasi dalam setiap langkahku. 4. Adik terkasih, Siti Munawaroh yang selalu memberikan semangat kepada penyusun dalam menyelesaikan studi S1. 5. Dra. Utami DP. M, Si selaku dosen wali yang selalu memberikan dukungan.

v Skripsi


Siti Maisyaroh


6. Dosen-dosen yang telah menjadi orang tua dan kakak saya saat di kampus. Terima kasih Pak Ahmadin, Pak Imam, Bu Lilik, Bu Suziana, Mbak Cicik, Mbak Tasmi, dan Mas Yusuf. 7. Harun Emmanuel, yang telah banyak memberikan inspirasi dalam penyusunan skripi ini. 8. Teman-teman Matematika UNAIR angkatan 2008 secara keseluruhan, atas setiap kritik, saran, masukan, dan motivasi kepada penyusun. Penulis menyadari bahwa dalam skripsi ini masih mungkin terdapat kelemahan dan kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan ide, kritik, dan saran yang membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Amiin Yaa Rabbal’aalamiin. Surabaya, September 2012 Penyusun, Siti Maisyaroh

vi Skripsi


Siti Maisyaroh


Siti Maisyaroh, 2012, Sifat Jarak pada Ruang Metrik. Skripsi ini di bawah bimbingan Dr. Eridani, M.Si. dan Dr. Miswanto, M.Si., Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga.

ABSTRAK

Ruang metrik merupakan suatu himpunan tak kosong yang memiliki fungsi jarak dengan beberapa sifat khusus. Fungsi jarak pada ruang metrik ini dapat mendefinisikan diameter himpunan, jarak dari titik ke himpunan, serta jarak dari himpunan ke himpunan. Tujuan dari skripsi ini adalah mencari hubungan antara diameter himpunan, jarak titik ke himpunan, dan jarak himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik. Adapun metode yang digunakan dalam pembuktian permasalahan tersebut adalah metode analitik. Dengan metode tersebut diperoleh hasil sebagai berikut, untuk setiap adalah ruang metrik sedemikian hingga jika dan adalah subset dari dan yang mana , maka berlaku , dan . Selain itu untuk , dan , maka dan | | .

Kata kunci : ruang metrik, jarak, diameter, dan himpunan.

vii Skripsi


Siti Maisyaroh


Siti Maisyaroh, 2012, Distance Property of Metric Space. This under-graduate thesis was under supervision of Dr. Eridani, M.Si. and Dr. Miswanto, M.Si., Departement of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University.

ABSTRACT

Metric space is a non empty set which has a function of distance with some special properties. Function of distance in this metric space can define a set diameter, the distance from the point to the set, as well as the distance from the set to the set. The purpose of this thesis is to find the relationship between the diameter of the set, the distance from the point to the set and distance from the set to the set in any metric space. The method used in the proof of the case is the analytical method. Results obtained by such methods as follows, if is a metric spaces, and are subsets of , which , then , and , . Moreover, if , and , then | and | .

Keywords : metric space, distance, diameter, and the set.

viii Skripsi


Siti Maisyaroh


DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL …………………………………………………………… i LEMBAR PENGESAHAN ………………………………………………… iii PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI …………………………………… iv KATA PENGANTAR ……………………………………………………… v ABSTRAK …………………………………………………………………. vii DAFTAR ISI ………………………………………………………………. ix DAFTAR NOTASI …………………………………………………………... xi BAB I

PENDAHULUAN ………………………………………………. 1 1.1 Latar Belakang ……………………………………………… 1 1.2 Rumusan Masalah …………………………………………… 4 1.3 Tujuan ………………………………………………………. 5 1.4 Manfaat ……………………………………………………… 5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA …………………………………………. 6 2.1 Beberapa Pengertian Dasar pada Garis Real …………………. 6 2.1.1 Batas Atas dan Batas Bawah …………………………… 6 2.1.2 Supremum dan Infimum ……..………………………… 6 2.1.3 Aksioma Kelengkapan …………………………………. 7 2.1.4 Sifat Archimedes …………..…………………………… 8 2.2 Metrik …………....…………………………………………… 8 2.2.1 Ruang Metrik ...………………………………………… 8 2.2.2 Diameter Himpunan pada Ruang Metrik ….…………… 9

ix Skripsi


Siti Maisyaroh


2.2.3 Diameter Himpunan Kosong …………………………… 9 2.2.4 Diameter Singleton …………………………………….. 10 2.2.5 Jarak Titik terhadap Himpunan pada Ruang Metrik ….... 10 2.2.6 Jarak Himpunan terhadap Himpunan pada Ruang Metrik 10 2.2.7 Ketaksamaan Caushy-Schwarz ……………………...… 10 BAB III METODE PENULISAN ………………………………………… 11 BAB IV PEMBAHASAN ……………….…………………………………. 13 BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN …………………………………. 28

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………… 30

x Skripsi


Siti Maisyaroh


DAFTAR NOTASI

: jarak titik

terhadap himpunan

: jarak himpunan : jarak titik

terhadap himpunan

terhadap titik

: diameter himpunan : himpunan kosong : implikasi :

irisan

: bilangan real : bilangan asli

xi Skripsi


Siti Maisyaroh


BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Permasalahan merupakan salah satu himpunan tak kosong dengan fungsi jarak yang lazim disebut bidang Euclidean dengan elemennya merupakan pasangan terurut

. Berdasarkan Kreyszig (1989), untuk setiap

yang

selalu

bernilai

tak

negatif,

fungsi jarak

didefinisikan

sebagai

. Secara geometri dapat direpresentasikan

√

seperti pada Gambar 1.1 di bawah ini. y

𝐵 𝑥 𝑦

𝐴 𝑥 𝑦 x

Gambar 1.1 Dari penjelasan di atas dapat pula ditentukan diameter dari suatu lingkaran , yaitu dengan mengukur jarak maksimum dari titik yang terdapat pada keliling lingkaran.

terhadap titik

y

ℓ𝐴𝐵 𝐴 𝑥 𝑦

𝑎

x 𝐵 𝑥 𝑦

Gambar 1.2

1 Skripsi


Siti Maisyaroh


Pada Gambar 1.2 dibuat sebuah ruas garis yang melalui titik didefinisikan sebagai ℓ

2

dan titik

yang

, maka dengan mensubsitusikan

persamaan lingkaran ke persamaan garis ℓ , sehingga diperoleh |̅̅̅̅ |

(

)

akibatnya diperoleh

|̅̅̅̅|

√

Untuk mendapatkan jarak maksimum dari titik atau

terhadap titik

maka nilai

, sehingga didapat |̅̅̅̅|

Jarak antar titik pada

tidak hanya dapat digunakan untuk menentukan

berapa besar diameter pada lingkaran, tetapi juga dapat mengukur jarak antara suatu titik

Skripsi

terhadap garis ℓ yang dapat di lihat pada Gambar 1.3 di bawah ini.


Siti Maisyaroh


3

y 𝐵 𝐶 𝐴

ℓ

𝑦

𝑚𝑥

𝑐

x

Gambar 1.3 Jarak titik

terhadap garis ℓ adalah jarak terpendek dari titik

terhadap titik

yang terdapat pada garis ℓ. Dengan memproyeksikan titik A ke garis ℓ maka diperoleh sebuah titik (misal B) sedemikian hingga ruas garis ̅̅̅̅ ambil titik C pada garis ℓ dengan

ℓ, kemudian

maka berdasarkan teorema Phitagoras

dapat ditulis |̅̅̅̅ | Karena |̅̅̅̅| |̅̅̅̅ |

|̅̅̅̅ |

|̅̅̅̅ |

|̅̅̅̅ | positif, maka |̅̅̅̅| |̅̅̅̅|

Sehingga |̅̅̅̅| merupakan jarak titik

|̅̅̅̅ | |̅̅̅̅ | terhadap garis ℓ.

Selanjutnya dapat pula ditentukan jarak dari dua buah lingkaran dengan mencari jarak minimum antar titik pada kedua lingkaran tersebut. Misalkan terdapat dua buah lingkaran yaitu lingkaran

Skripsi


dan lingkaran

, maka dapat

Siti Maisyaroh


4

ditentukan jarak dari kedua lingkaran tersebut dengan membuat garis singgung ℓ yang menyinggung titik titik

dan membuat garis singgung ℓ yang menyinggung

seperti pada Gambar 1.4. y 𝐴 ℓ𝐶𝐷

𝐵 𝐶

ℓ

𝐷 x

ℓ

Gambar 1.4 Berdasarkan pembahasan sebelumnya, jarak titik ℓ dan garis ℓ

jarak lingkaran

terhadap lingkaran .

jarak

bernilai minimum

ℓ . Jadi, pada kondisi di atas |̅̅̅̅| adalah

jika garis ℓ

Di sisi lain

dan titik

juga merupakan salah satu ruang metrik dengan fungsi

yang telah dijelaskan secara singkat pada pembahasan di atas.

Berdasarkan ulasan tersebut, penyusun tertarik untuk mengkaji lebih lanjut tentang diameter himpunan, jarak dari titik ke himpunan, dan jarak dari himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik secara umum.

1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah bagaimana hubungan

Skripsi


Siti Maisyaroh


5

diameter himpunan, jarak dari titik ke himpunan, dan jarak dari himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik?

1.3 Tujuan Berdasarkan rumusan permasalahan di atas, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan ini adalah mendapatkan hubungan diameter himpunan, jarak dari titik ke himpunan, dan jarak dari himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik.

1.4 Manfaat Dalam tulisan ini diharapkan dapat menjadi bahan bacaan maupun acuan dalam memperoleh informasi tentang hubungan antara diameter himpunan, jarak dari titik ke himpunan, dan jarak dari himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik secara umum.

Skripsi


Siti Maisyaroh


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini disajikan mengenai dasar-dasar teori yang terkait untuk pembahsan permasalahan yang disajikan pada BAB I.

2.1 Beberapa Pengertian Dasar pada Garis Real Pada subbab ini disajikan tentang definisi batas atas, batas bawah, supremum, infimum, aksioma kelengkapan, dan sifat Archimedes. 2.1.1 Batas Atas dan Batas Bawah Definisi 2.1 Misalkan

adalah subset tak kosong dari

terbatas di atas jika ada sebuah bilangan untuk setiap

. Bilangan

. Himpunan

dikatakan

sedemikian hingga

yang memenuhi syarat tersebut di atas disebut

batas atas dari . Dengan cara yang sama, dapat pula didefinisikan batas bawah dari yaitu

yang memenuhi

, untuk setiap

, dan dalam hal ini

disebut batas bawah dari . (Bartle, 2000) 2.1.2 Supremum dan Infimum Definisi 2.2 Misalkan maka


dan

terbatas di atas,

dikatakan supremum (batas atas terkecil) dari

jika memenuhi

kondisi : i.

adalah batas atas dari , dan 6

Skripsi


Siti Maisyaroh


ii.

untuk setiap

mengakibatkan

7

bukan batas atas dari .

Contoh : 1. Jika

, maka

2. Jika

ℕ , maka

. .

Dengan cara yang sama dapat pula didefinisikan (batas bawah terbesar) dari i. ii.

sebagai infimum

jika memenuhi kondisi :

adalah batas bawah dari , dan untuk setiap

mengakibatkan

bukan batas bawah dari .

Contoh : 1. Jika

, maka

.

2. Jika

ℕ , maka

. (Bartle, 2000)

2.1.3 Aksioma Kelengkapan Aksioma 2.3 Misalkan di atas, maka

adalah himpunan tak kosong dan

. Jika

terbatas

memiliki batas atas terkecil. (Bartle, 2000)

Dengan cara yang sama, kita bisa mendapatkan hasil berikut ini : Teorema 2.4 Misalkan di bawah, maka

adalah himpunan tak kosong dan

. Jika

terbatas

memiliki batas bawah terbesar.

ℕ merupakan salah satu contoh himpunan yang tak terbatas di atas, sehingga ℕ tidak memiliki batas atas terkecil, seperti yang dijelaskan pada sifat Archimedes sebagai berikut.

Skripsi


Siti Maisyaroh


8

2.1.4 Sifat Archimedes Definisi 2.5 ℕ tidak terbatas di atas. (Bartle, 2000) Beberapa pengertian dasar pada garis real akan banyak digunakan pada pembahasan ruang metrik, mengingat salah satu komponen pada ruang metrik adalah fungsi jarak yang selalu bernilai tak negatif.

2.2 Metrik 2.2.1 Ruang Metrik Definisi 2.6 Misalkan

adalah sebuah himpunan tak kosong dan

sebuah fungsi real ,

adalah

yang didefinisikan pada hasil kali Cartesian

disebut metrik pada

i.

(

ii.

(

iii.

(

(

iv.

(

(

jika hanya jika untuk setiap

berlaku:

;

; (

Pasangan terurut (

biasa disebut ruang metrik. Secara singkat (

biasa dituliskan sebagai . Contoh : Fungsi

yang didefinisikan oleh

(

, untuk

adalah

contoh ruang metrik.

Skripsi


Siti Maisyaroh


9

Bukti: (i)

(

(ii)

(

(iii)

(

(iv)

(

; ; (

;

(

(

. (Searcoid, 2007)

Dari definisi ruang metrik di atas, maka dapat didefinisikan pula diameter pada himpunan, jarak dari titik ke himpunan, dan jarak dari himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik. 2.2.2 Diameter Himpunan pada Ruang Metrik Definisi 2.7 Misalkan (

adalah sebuah ruang metrik dan

dari , maka didefinisikan diameter dari

sebagai

adalah subset .

(

(Searcoid, 2007) 2.2.3 Diameter Himpunan Kosong Definisi 2.8 Misalkan

adalah himpunan kosong, maka

(

.

Diameter tidak hanya dimiliki oleh ruang metrik yang himpunannya memiliki lebih dari satu elemen, tetapi pada himpunan yang hanya memiliki elemen tunggal pun yang biasa disebut singleton juga memiliki diameter.

Skripsi


Siti Maisyaroh


10

2.2.4 Diameter Singleton Teorema 2.9 Misalkan

adalah subset singleton dari

yaitu

, maka

.

(

2.2.5 Jarak Titik terhadap Himpunan pada Ruang Metrik Definisi 2.10 Misalkan (

adalah ruang metrik,

, maka didefinisikan jarak dari

dan

merupakan subset dari

ke

sebagai

(

.

(

(Searcoid, 2007) 2.2.6 Jarak Himpunan terhadap Himpunan pada Ruang Metrik Definisi 2.11 Misalkan ( subset dari

adalah sebuah ruang metrik, lalu

, maka didefinisikan jarak dari

ke

sebagai

dan

adalah (

.

(

(Searcoid, 2007) 2.2.7 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Teorema (

2.12

Misalkan

dan

dan

∑|

adalah

terurut

yaitu

, maka berlaku

(

|

pasangan

√∑| | √∑| |

(Kreyszig, 1989)

Skripsi


Siti Maisyaroh


BAB III METODE PENULISAN

Penyelesaian masalah di atas menggunakan 2 tahapan, yaitu : Tahap I : 1. Mengkaji konsep jarak pada

.

2. Mengkaji tentang konsep ruang metrik. 3. Mengkaji konsep diameter pada ruang metrik. 4. Mengkaji konsep jarak dari titik ke himpunan pada ruang metrik. 5. Mengkaji konsep jarak dari himpunan ke himpunan pada ruang metrik. Tahap II : 1. Menyajikan ketaksamaan diameter pada subset himpunan pada sebarang ruang metrik. 2. Menyajikan diameter dari berbagai interval pada ruang metrik a.

[

b. c. d. e. f.

, yaitu :

]; ;

[

; ]; ; dan

g.

11 Skripsi


Siti Maisyaroh


12

3. Mencari hubungan antara diameter himpunan, jarak dari titik ke himpunan, dan jarak dari himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik secara umum. 4. Menuliskan hasil-hasil yang diperoleh.

Skripsi


Siti Maisyaroh


BAB IV PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan disajikan pembahasan tentang hubungan diameter himpunan, jarak dari titik terhadap himpunan, serta jarak dari himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik secara umum dan akan dimulai dengan hasil sebagai berikut. Teorema 4.1 Misalkan

adalah sebuah ruang metrik,

, maka berlaku

dengan

dan

adalah subset dari

.

Bukti : Misalkan

, maka

atas benar untuk

, karena

Untuk

. Dengan demikian pernyataan di

, akan diperoleh

.

Selanjutnya kita misalkan

dan

. Diketahui bahwa

, sedemikian hingga

adalah salah satu batas atas dari , sehingga

Diambil

Jelas bahwa

sebarang. Karena

, maka

adalah salah satu batas atas dari

. Dengan demikian

.

13 Skripsi


Siti Maisyaroh


14

Jadi,

Contoh 1 ini menjelaskan teorema 4.1 pada kondisi . Untuk

terdapat bola di

dan

yang didefinisikan sebagai

dan

sedemikian hingga

, sehingga dapat ditentukan

yaitu dengan mengukur jarak maksimum dua buah titik pada permukaan masingmasing bola tersebut. Hal ini dijelaskan pada Gambar 4.1 di bawah ini. Z

B

r

𝑟

𝑎

A

Y

X P

Gambar 4.1 Misalkan

memotong bola pada titik

maka dapat didefinisikan titik

dan

dan titik

,

sebagai

dan

Skripsi


Siti Maisyaroh


serta terdapat titik

yang melalui garis

mensubsitusikan persamaan garis

terhadap persamaan bola

15

, maka dengan diperoleh

Sedemikian hingga dapat pula ditentukan selisih kuadrat dari akar-akar persamaan diatas sebagai

sehingga (

)

Berdasarkan ketaksamaan Cauchy-Schwarz dan untuk titik

terdapat pada bola

, maka didapatkan (

)

sehingga

Skripsi


Siti Maisyaroh


16

atau

Dengan cara yang sama diperoleh

. Sehingga terbukti

bahwa

pada

Dari teorema 4.1 ini dapat dapat ditentukan diameter himpunan di berbagai interval yang akan disajikan pada akibat 4.2 sebagai berikut.

Akibat 4.2 Misalkan [

merupakan subset dari

]

[

dan didefinisikan

]

, maka dan

.

Bukti : Misalkan untuk

[

], maka untuk setiap

dapat ditulis

sedemikian hingga

Sehingga

Secara geometri untuk , sehingga

Skripsi

sedemikian hingga

adalah batas atas dari


. Karena

Siti Maisyaroh


, maka

Untuk

. Jadi,

dapat didefinisikan pula

setiap

17

[

] untuk

sedemikian hingga

Berdasarkan Teorema 4.1 diperoleh

Andaikan

Lalu pilih

, maka jelas bahwa

yang bersifat

akibatnya

Sehingga kontradiksi dengan pernyataan

Jadi,

. Dengan cara yang sama untuk

Skripsi

[


dan

] diperoleh

Siti Maisyaroh


18

Jadi terbukti bahwa

Selanjutnya untuk Jelas bahwa

atau untuk setiap

dapat dimisalkan

].

[

, dengan demikian

,

Andaikan

, maka

adalah batas atas dari

Pernyataan tersebut kontradiksi terhadap sifat Archimedes. Jadi

. .

Dengan menggunakan cara yang sama diperoleh

Berikutnya pada teorema 4.3 dan 4.4 akan disajikan hubungan antara jarak dari titik ke himpunan terhadap diameter himpunan pada beberapa kondisi yang mungkin terjadi pada sebarang ruang metrik.

Teorema 4.3 Misalkan tak kosong dari

adalah ruang metrik, dengan

serta

dan

adalah subset

, maka berlaku

.

Skripsi


Siti Maisyaroh


19

Bukti : Kondisi I, untuk

:

Jelas bahwa

. Karena

, sehingga

.

Sedemikian hingga

:

Kondisi II, untuk Karena

, sehingga diperoleh

Kemudian dapat ditulis

sehingga khususnya untuk

juga akan berlaku

Sedemikian hingga diperoleh

Kondisi III, untuk

:

Berdasarkan definisi jarak titik terhadap himpunan dapat ditulis

sedemikian hingga untuk setiap Khususnya ketaksamaan di atas juga berlaku untuk setiap

. Sehingga

diperoleh untuk setiap

Skripsi


Siti Maisyaroh


20

Karena

akibatnya

dan

Selanjutnya untuk setiap

Karena

berlaku

, sehingga ketaksamaan diatas juga berlaku untuk

.

berlaku

Sedemikian hingga untuk setiap

Sehingga diperoleh

Dari berbagai kondisi diatas terbukti bahwa

Pada contoh 2 ini menjelaskan teorema 4.3 pada kondisi untuk untuk

terdapat bola di

yaitu

yaitu

dan

serta sebuah titik di luar bola terhadap titik

yaitu dengan mencari jarak terpekdek dari titik

sebarang titik pada bola

Skripsi

, dapat ditentukan jarak bola terhadap

, sedemikian hingga dapat di buat garis


Siti Maisyaroh


yang melalui titik

dan pusat bola

21

seperti pada Gambar 4.2 di

Z

bawah ini.

P

𝑎

𝑏 𝑎 Y

X

Gambar 4.2 Dengan mensubsitusikan persamaan garis

terhadap bola

dapat ditulis

sehingga diperoleh √ Lalu {√(

)

(

)

(

)

} √ Dengan cara yang sama diperoleh

√

,

sehingga terbukti

Skripsi


Siti Maisyaroh


22

Teorema 4.4 Misalkan


, dan

,

maka (i)

; dan

(ii) . Bukti : Kondisi I, untuk

:

(i)

Karena

(ii)

berdasarkan definisi diameter pada ruang metrik serta bukti (i), maka

dan

, maka jelas bahwa

berlaku

Kondisi II, untuk

dan

:

(i)

Karena

, maka jelas bahwa

(ii)

berdasarkan definisi jarak titik ke himpunan diperoleh

sehingga

Skripsi


Siti Maisyaroh


23

berlaku

Lalu untuk setiap

sedemikian hingga

Kondisi III, (i)

dan

:

Karena

, serta berdasarkan definisi jarak dari titik ke

himpunan, maka untuk setianp

berlaku

sehingga

(ii)

Jelas bahwa

, sehingga untuk setiap

berlaku

sehingga

Kondisi IV, untuk (i)

:

Berdasarkan definisi jarak dari titik ke himpunan, dapat ditulis untuk setiap

berlaku

sehingga

(ii)

Skripsi

Dari penjelasan di atas, jelas bahwa


Siti Maisyaroh


24

berlaku

Lalu untuk setiap

sehingga diperoleh

Dari semua kondisi di atas terbukti (i)

; dan

(ii) . Pada teorema 4.5 akan disajikan hubungan jarak dari himpunan ke himpunan terhadap jarak dari titik ke himpunan serta contoh keterhubunganya pada garis di

sebagai berikut.

Teorema 4.5 Misalkan


serta

subset dari , maka berlaku

dan

adalah

.

Bukti : Kondisi I, untuk

:

Karena

, jelas bahwa

Kondisi II, untuk a. Untuk

: :

Jelas bahwa

Skripsi

. Lalu untuk setiap


dapat ditulis

Siti Maisyaroh


Karena

25

, sehingga

Sedemikan hingga diperoleh

Karena sifat komutatif pada operasi penjumlahan, maka hal yang sama juga akan berlaku untuk b. Untuk

dan Misalkan

. :

dan

dapat ditulis

Lalu berdasarkan definisi jarak dari titik ke himpunan ditulis sebagai

Sedemikan hingga diperoleh

Dari berbagai kondisi diatas terbukti bahwa

Contoh 3 berikut ini akan menjelaskan teorema 4.5 pada kondisi dan

yaitu untuk dua garis yang sejajar pada

yang didefinisikan sebagai

dan

Skripsi


Siti Maisyaroh


26

maka dapat ditentukan jarak kedua garis tersebut dengan mengukur jarak terpendek dari dua buah titik yang diambil dari masing-masing garis. Sedemikian hingga untuk

dengan

dan

dapat dipilih

(

)

(

)

sebagai

dan

Seperti pada Gambar 4.3 di bawah ini. Y A

P

B

X

Gambar 4.3 Sehingga diperoleh √(

)

|

|

√(

)

|

|

(

)

dan √(

√

Skripsi

)

√


Siti Maisyaroh


27

√ Dengan menggunakan luas segitiga, dapat ditentukan jarak titik

terhadap garis

sebagai

⁄ ||

|

⁄ |

√

⁄

√ Dengan cara yang sama diperoleh

√ Karena

dan

sejajar, maka dapat ditentukan jarak

mengukur jarak terpendek sebarang titik pada hingga dapat dipilih

yaitu

terhadap

terhadap garis

dengan

. Sedemikian

, sehingga diperoleh

√ Akibatnya,

√

√

√

Jadi, terbukti

Skripsi


Siti Maisyaroh


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa untuk ruang metrik, sedemikian hingga : 1. jika

dan

adalah subset dari

yang mana

, maka berlaku

, 2. jika

serta

dan


, maka berlaku 3. jika

,

, dan

, maka

(i) (ii)

yang mana

; dan |

| , dan

4. jika

serta

dan

adalah subset dari , maka berlaku .

5.2 Saran Pada skripsi ini disajikan beberapa teorema mengenai keterhubungan diameter himpunan, jarak dari titik ke himpunan, serta jarak dari himpunan ke himpunan pada sebarang ruang metrik, maka untuk penelitian selanjutnya penulis menyarankan untuk diadakan pembahasan tentang aplikasi dari sifat jarak pada

28 Skripsi


Siti Maisyaroh


29

ruang metrik pada bidang komputasi agar pembaca tidak hanya terhenti pada pembuktian teorema, namun dapat mengaplikasikannya dalam kasus yang nyata.

Skripsi


Siti Maisyaroh


DAFTAR PUSTAKA 1. Bartle, Robert G., and Sherbert, Donald R., 2000, Introduction to Real Analysis Third Edition, John Wiley and Sons, Inc, New York. 2. Kreyszig, Erwin., 1989, Introduction Functional Analysis with Applications, John Wiley and Sons, Inc, Canada. 3. Searcoid, Micheal O., 2007, Metric Spaces, Springer Science+Business Media, United States of America.

30 Skripsi


Siti Maisyaroh

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH

Recommend Documents