Hasil Kali Dalam Berbobot pada Ruang L p (X)

Hasil Kali Dalam Berbobot pada Ruang 𝑳𝒑 (𝑿)

Muhammad Jakfar1 , Hendra Gunawan2 , Mochammad Idris3 1

Universitas Negeri Surabaya, [email protected] 2 Institut Teknologi Bandung, [email protected] 3 Universitas Lambung Mangkurat, [email protected]

Abstrak. Telah diketahui bahwa ruang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 ≠ 2 dengan norm baku ‖∙‖𝐿𝑝 bukan merupakan ruang hasil kali dalam. Di sini, akan ditunjukkan bahwa terdapat hasil kali dalam berbobot yang terdefinisi pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2. Akibatnya, dapat dikatakan bahwa ruang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2 dengan hasil kali dalam berbobot tersebut merupakan ruang hasil kali dalam. Kemudian diselidiki aspek topologi dari ruang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2 dengan hasil kali dalam berbobot, terutama mengenai kelengkapannya. Selanjutnya, diperoleh hasil berupa penjelasan bagaimana hasil kali dalam berbobot diasosiasikan terhadap suatu bobot. Kata Kunci: Bobot, hasil kali dalam, ruang 𝐿𝑝 (𝑋), ruang bernorma .

1

Pendahuluan

Pada tahun 1912, Hilbert memperkenalkan suatu ruang yang dinamakan ruang hasil kali dalam. Ruang tersebut telah menjadi ruang yang memiliki banyak aplikasi, khususnya dalam ranah analisis fungsional. Hal ini dikarenakan dalam ruang tersebut kita dapat berbicara beberapa konsep seperti panjang suatu vektor, sudut antara dua vektor, ortogonalitas dua vektor, dan lainnya. Setiap ruang hasil kali dalam pasti merupakan ruang bernorma [1]. Tetapi tidak semua ruang bernorma merupakan ruang hasil kali dalam, Contohnya adalah Ruang Lebesgue yang dinotasikan 𝐿𝑝 (𝑋) [1]. Ruang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 ≠ 2 dengan norm baku ‖ ∙‖𝑝 yang didefinisikan sebagai ‖𝑓‖ 𝑝 = (∫ |𝑓|𝑝 𝑑𝜇)

1 𝑝

X

bukan merupakan ruang hasil kali dalam, dikarenakan normnya tidak memenuhi aturan jajar genjang [1]. Sebagai ruang berdimensi tak hingga, 𝐿𝑝 (𝑋) dapat dilengkapi norm lain yang tidak ekuivalen dengan norm ‖∙‖𝑝 [1]. Muncul pertanyaan apakah dapat didefinisikan norm yang memenuhi aturan jajar genjang pada ruang 𝐿𝑝 (𝑋)? Tujuannya adalah jika dapat memenuhi aturan jajar genjang maka dapat didefinisikan hasil kali dalam pada ruang 𝐿𝑝 (𝑋), sehingga dapat pula didefinisikan ortogonalitas dan konsep-konsep lain pada ruang ini. Dalam makalah ini, kita akan mengkonstruksi dan memperkenalkan hasil kali dalam berbobot pada ruang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2. Kita juga akan mendiskusikan sifat-sifat norm tersebut dan hubungannya terhadap norm baku pada 𝐿𝑃 (𝑋).

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 25 April 2015, Universitas Negeri Surabaya

Sepanjang makalah ini, diasumsikan bahwa 𝐿𝑝 (𝑋) adalah ruang vektor real. Norm pada 𝐿𝑝 (𝑋) adalah pemetaan ‖∙‖ : 𝐿𝑝 (𝑋) → ℝ sehingga untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋) dan skalar 𝛼 ∈ ℝ berlaku (1) ‖𝑓‖ ≥ 0 dan ‖𝑓‖ = 0 jika dan hanya jika 𝑓 = 0 hampir dimana-mana, (2) ‖𝛼𝑓‖ = |𝛼|‖𝑓‖ , (3) ‖𝑓 + 𝑔‖ ≤ ‖𝑓‖ + ‖𝑔‖ . Hasil kali dalam pada 𝐿𝑝 (𝑋) adalah pemetaan 〈∙,∙〉: 𝐿𝑝 (𝑋) × 𝐿𝑝 (𝑋) → ℝ sehingga untuk setiap 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐿𝑝 (𝑋) dan skalar 𝛼 ∈ ℝ berlaku (1) 〈𝑓, 𝑓〉 ≥ 0 dan 〈𝑓, 𝑓〉 = 0 jika dan hanya jika 𝑓 = 0 hampir dimana-mana, (2) 〈𝑓, 𝑔〉 = 〈𝑔, 𝑓〉, (3) 〈𝛼𝑓, 𝑔〉 = 𝛼〈𝑓, 𝑔〉, (4) 〈𝑓 + ℎ, 𝑔〉 = 〈𝑓, 𝑔〉 + 〈ℎ, 𝑔〉.

2

Hasil Kali Dalam pada Ruang 𝑳𝒑 (𝑿)

Pada bagian ini, kita akan mengkontruksi hasil kali dalam pada ruang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2. Proses pengkontruksiannya, dimulai dari mengamati kasus 𝑋 yang berukuran hingga sehingga diperoleh hasil kali dalam yang terdefinisi pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2. Selanjutnya hasil dari kasus tersebut akan diperumum untuk 𝑋 yang berukuran sebarang mungkin berukuran tak hingga) sehingga diperoleh hasil kali dalam berbobot pada ruang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2. Diakhir bab ini akan dijelaskan juga kaitan hasil kali dalam berbobot terhadap suatu bobot. 2.1

Hasil Kali Dalam pada Ruang 𝑳𝒑 (𝑿) untuk 𝑿 berukuran Hingga

Pada subbagian ini, kita ingin mendefininisikan hasil kali dalam pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2 dalam kasus 𝑋 berukuran hingga. Pertama-tama selidiki hubungan inklusi 𝐿𝑝 (𝑋) ⊂ 𝐿2 (𝑋)(sebagai himpunan). p Misalkan f ∈ Lp (X) untuk 2 < p < ∞. Karena 2 > 1 maka dengan menggunakan Ketaksamaan Holder [1], diperoleh bahwa 𝑝−2 𝑝

‖𝑓‖ 22 = ∫ |𝑓|2 𝑑𝜇 ≤ (∫1 𝑑𝜇) 𝑋

2 𝑝

(∫ |𝑓|𝑝 𝑑𝜇) = 𝜇 (𝑋)

𝑥

𝑝−2 𝑝 ‖𝑓‖2 . 𝑝

𝑥

Begitu juga untuk𝑝 = ∞, misalkanf ∈ L∞ (X). Karena |𝑓| ≤ ‖𝑓‖ ∞ , maka berlaku ‖𝑓‖ 22 = ∫ |𝑓| 2 𝑑𝜇 ≤ ∫ ‖𝑓‖ 2∞ 𝑑𝜇 = (∫1 𝑑𝜇) ‖𝑓‖ 2∞ = 𝜇(𝑋)‖𝑓‖ 2∞ . 𝑋

𝑋

𝑥

Jadi, jika 𝑋 berukuran hingga, maka untuk setiap f ∈ Lp (X) dengan 𝑝 > 2 pasti f ∈ L2 (X). Kedua pernyataan inklusi di atas dapat diperumum dalam proposisi berikut: Proposisi 2.1.1. Jika 𝑋 berukuran hingga dan 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑞 ≤ ∞ maka 𝐿∞ (𝑋) ⊂ 𝐿𝑞 (𝑋) ⊂ 𝐿𝑝 (𝑋) dengan 𝑞−𝑝

‖𝑓‖ 𝑝 ≤ 𝜇(𝑋) 𝑝𝑞 ‖𝑓‖𝑞 , dan

∀𝑓 ∈ 𝐿𝑞 (𝑋),

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 25 April 2015, Universitas Negeri Surabaya 1

‖𝑓‖ 𝑞 ≤ 𝜇(𝑋)𝑞 ‖𝑓‖∞ , ∀𝑓 ∈ 𝐿∞ (𝑋). Bukti. Misalkan f ∈ Lq (X) untuk 1 ≤ p ≤ q < ∞. Karena

q p

> 1 maka dengan

menggunakan Ketaksamaan Hӧlder [1], diperoleh bahwa 𝑞−𝑝 𝑞

‖𝑓‖ 𝑝𝑝 = ∫ |𝑓| 𝑝 𝑑𝜇 ≤ (∫ 1 𝑑𝜇) 𝑋

Dengan

mengambil

𝑝 𝑞

(∫ |𝑓| 𝑞 𝑑𝜇) = 𝜇(𝑋)

𝑋

akar

𝑞−𝑝 𝑝𝑞

𝑞−𝑝 𝑞 ‖𝑓‖ 𝑝 . 𝑞

𝑋

𝑝

pangkat

dari

ketaksamaan

diatas

maka

𝑝

diperoleh‖𝑓‖ 𝑝 ≤ 𝜇 (𝑋) ‖𝑓‖ 𝑞. Akibatnya, ‖𝑓‖ 𝑝 < ∞ dan 𝑓 ∈ 𝐿 (𝑋). Begitu juga untuk𝑝 = ∞, misalkanf ∈ L∞ (X). Karena |𝑓| ≤ ‖𝑓‖ ∞ , maka berlaku ‖𝑓‖ 𝑞𝑞 = ∫ |𝑓|𝑞 𝑑𝜇 ≤ ∫ ‖𝑓‖ 𝑞∞ 𝑑𝜇 = (∫ 1 𝑑𝜇) ‖𝑓‖ 𝑞∞ = 𝜇(𝑋)‖𝑓‖ 𝑞∞ . 𝑋

Dengan

𝑋

mengambil

akar

𝑋

𝑞

pangkat

dari

ketaksamaan

diatas

maka

1 𝑞

diperoleh‖𝑓‖ 𝑞 ≤ 𝜇(𝑋) ‖𝑓‖ ∞ . Akibatnya, ‖𝑓‖ 𝑞 < ∞ dan 𝑓 ∈ 𝐿𝑞 (𝑋). ∎ Dari pernyataan hubungan inklusi di atas, diperoleh bahwa 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2 termuat dalam 𝐿𝑝 (𝑋). Akibatnya, kita juga dapat mendefinisikan norm ‖∙‖2 pada 𝐿𝑝 (𝑋), yang didefinisikan sebagai 1 2

‖𝑓‖ 2 = (∫ |𝑓| 2 𝑑𝜇) X

dengan 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋). Telah diketahui bahwa norm tersebut memenuhi aturan jajar genjang. Artinya, norm tersebut merupakan norm yang dibangun dari hasil kali dalam, yaitu 〈𝑓, 𝑔〉2 = ∫ 𝑓𝑔 𝑑𝜇. X

Oleh karena itu, sekarang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2 dapat dipandang sebagai ruang hasil kali dalam. Catatan 2.1.1. Proposisi sebelumnya telah dijelaskan bahwa dapat didefinisikan hasil kali dalam pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2, yaitu hasil kali dalam 〈∙,∙〉2 . Akan tetapi hasil kali dalam tersebut hanya terdefinisi jika 𝑋 memiliki ukuran hingga. Jika 𝑋 memiliki ukuran tak hingga, contohnya 𝑋 = ℝ, maka kita tidak dapat mendefinisikan hasil kali dalam tersebut di 𝐿𝑝 (ℝ). Hal ini dikarenakan hasil kali dalam tersebut tidak terdefinisi pada 𝐿𝑝 (ℝ). Sebagai 1 𝑝 contoh, misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 𝑥 −2 𝜒[1,∞) (𝑥). Jelas 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝 (ℝ) karena > 1 2

dan ∫ |𝑓|𝑝 𝑑𝜇 = ∫ |𝑔|𝑝 𝑑𝜇 = ∫ X

𝑝

𝑥 −2 𝑑𝜇(𝑥 ) < ∞,

[1,∞)

X

tapi hasil kali dalam fungsi 𝑓 dan 𝑔 bernilai tak hingga, karena ∫𝑓𝑔 𝑑𝜇 = ∫ X

𝑥 −1 𝑑𝜇 (𝑥 ) = ∞.

[1,∞)

Oleh karena itu, untuk mendefinisikan hasil kali dalam di sini, kita perlu mengkonstruksi hasil kali dalam baru yang akan dijelaskan pada subbagian selanjutnya


2.2

Hasil Kali Dalam Berbobot pada 𝑳𝒑 (𝑿) untuk 𝑿 Berukuran Sebarang

Pada subbagian ini, akan dikonstruksikan suatu hasil kali dalam dan norm baru pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2 yang memenuhi Aturan Jajar Genjang. Pada bab sebelumnya kita sudah memiliki hasil kali dalam yang terdefinisi pada 𝐿𝑝 (𝑋) jika 𝑋 memiliki ukuran berhingga. Karena 𝑋 akan diperluas menjadi ukuran sebarang, maka kita harus memberikan bobot pada hasil kali dalam tersebut. Secara geometri, fungsi dari pemberian bobot tersebut adalah membuat 𝑋 seakan-akan berukuran hingga. Dalam hal ini, untuk mendefinisikan hasil kali dalam pada 𝑝 𝐿𝑝 (𝑋), dipilih bobot 𝑤 ∈ 𝐿𝑠 (𝑋) dengan 𝑠 = 𝑝−2 untuk 2 < 𝑝 < ∞ sedemikian hingga 𝑤(𝑥 ) ≠ 0; 𝑥 ∈ 𝑋. Khususnya, jika 𝑝 = ∞, maka 𝑠 = 1 sehingga bobot yang digunakan terdapat di 𝐿1 (𝑋). Sekarang, definisikan pemetaan 〈∙,∙〉2,𝑤 yang memetakan 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋) ke 〈𝑓, 𝑔〉2,w = ∫|𝑤|𝑓𝑔 𝑑𝜇, x

dan pemetaan ‖ ∙‖2,𝑤 yang memetakan 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋) ke ‖𝑓‖ 2,𝑤 = (∫ |𝑤||𝑓|2 𝑑𝜇)

1 2

x

Untuk selanjutnya, didefinisikan sebagai

supaya

mempermudah

penulisan

𝑠

notasi

yang

𝑝 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 2 < 𝑝 < ∞ 𝑠 = {𝑝 − 2 1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑝 = ∞. 𝑝 cukup ditulis sebagai 𝑠 = 𝑝−2 dengan 𝑝 > 2.

Dapat diselidiki bahwa pemetaan tersebut terdefinisi pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2. Untuk 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋), menggunakan Ketaksamaan Hӧlder diperoleh bahwa 〈𝑓, 𝑔〉2,w = ∫ |𝑤| 𝑓𝑔 𝑑𝜇 ≤

𝑝 (∫ (|𝑤||𝑓|)𝑝−1

𝑋

𝑋

=

𝑝 𝑝 (∫ |𝑤|𝑝−1 |𝑓|𝑝−1 𝑋

=

𝑝 (∫ |𝑤|𝑝−2 𝑋

𝑝−1 𝑝

𝑑𝜇)

𝑝−2 𝑝

𝑑𝜇)

𝑝−1 𝑝

𝑑𝜇)

1 𝑝

(∫ |𝑔|𝑝 𝑑𝜇 ) 𝑋

1 𝑝

(∫ |𝑔|𝑝 𝑑𝜇 ) 𝑋

1 𝑝

1 𝑝

(∫ |𝑓|𝑝 𝑑𝜇 ) (∫ |𝑔|𝑝 𝑑𝜇) . 𝑋

𝑋

Begitu juga untuk 𝑝 = ∞, misalkan 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿∞ (𝑋). Karena |𝑓| ≤ ‖𝑓‖ ∞ dan |𝑔| ≤ ‖𝑔‖ ∞ , maka berlaku 〈𝑓, 𝑔〉2,w = ∫ |𝑤| 𝑓𝑔 𝑑𝜇 ≤ ∫ |𝑤|‖𝑓‖ ∞ ‖𝑔‖ ∞ 𝑑𝜇 = (∫𝑤 𝑑𝜇) ‖𝑓‖ ∞ ‖𝑔‖ ∞ . 𝑋

𝑋

𝑥

Akibatnya, dua pemetaan tersebut terdefinisi pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2. Dapat diselidiki juga bahwa dua pemetaan di atas berturut-turut merupakan hasil kali dalam dan norm yang dibangun dari hasil kali dalam tersebut pada 𝐿𝑝 (𝑋) dengan 𝑝 > 2. Pernyatan ini disajikan dalam proposisi berikut. Proposisi 2.2.1. Pemetaan 〈∙,∙〉2,𝑤 dan ‖∙‖ 2,𝑤 merupakan hasil kali dalam dan norm pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2.


Bukti. Mudah untuk memeriksa bahwa pemetaan 〈∙,∙〉2,𝑤 memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan (4) pada definisi hasil kali dalam. Sekarang, tinggal menunjukkan bahwa pemetaan ‖ ∙‖2,𝑤 merupakan norm pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2. Karena ‖𝑓‖ 2,𝑤 = √〈𝑓, 𝑓〉2,𝑤 ,

∀𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋)

dan telah diselidiki bahwa 〈∙,∙〉2,𝑤 merupakan hasil kali dalam, maka secara langsung pemetaan ‖ ∙‖2,𝑤 merupakan norm, yaitu norm yang dibangun dari hasil kali dalam tersebut. ∎ Selanjutnya, hasil kali dalam dan norm tersebut berturut-turut kita namakan hasil kali dalam berbobot dan norm berbobot. 2.3

Topologi Ruang 𝑳𝒑 (ℝ) terhadap Hasil Kali Dalam Berbobot

Pada subbagian ini, akan dikaji lebih khusus mengenai aspek topologi ruang 𝐿𝑝 (ℝ) untuk 𝑝 > 2 dengan hasil kali dalam berbobot 〈∙,∙〉2,𝑤 . Sekarang, dengan adanya hasil kali dalam berbobot pada 𝐿𝑝 (ℝ), kita telah memiliki dua norm disini, yang pertama adalah norm baku dari 𝐿𝑝 (ℝ), yaitu norm ‖ ∙‖𝑝 , dan yang kedua norm yang dibangun dari hasil kali dalam berbobot, yaitu norm ‖ ∙‖2,𝑤 . Sebelumnya kita telah mempunyai ketaksamaan ‖𝑓‖ 2,𝑤 ≤ 𝐶𝑤 ‖𝑓‖ 𝑝untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (ℝ). Kemudian, apakah kedua norm ‖∙‖2,𝑤 dan ‖∙‖ 𝑝 tersebut ekuivalen? Jawabannya tidak, sebagaimana dijelaskan oleh proposisi berikut. Proposisi 2.3.1. Misal 𝑝 > 2. Untuk setiap konstanta 𝐶 > 0 terdapat 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (ℝ) sedemikian hingga berlaku 𝐶 ‖𝑓‖ 𝑝 > ‖𝑓‖ 2,𝑤 . Bukti. Untuk setiap 2 < p < 1, definisikan fungsi 𝑓𝑛 = 𝜒 [𝑛,𝑛+1] . Dapat diselidiki bahwa untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ berlaku ‖𝑓𝑛 ‖ 22,𝑤

=

∫ℝ |𝑤| 𝜒[2𝑛,𝑛+1] 𝑑𝜇

= ∫[𝑛,𝑛+1] |𝑤| 𝑑𝜇 ≤ (∫[𝑛,𝑛+1] |𝑤|

(bergantung terhadap n), karena 𝑤 ∈ 𝐿𝑠 (ℝ) dengan 𝑠 = ‖𝑓𝑛 ‖ 𝑝𝑝

𝑝 ∫ℝ 𝜒[𝑛,𝑛+1] 𝑑𝜇

𝑝 𝑝−2

𝑝 𝑝−2

𝑑𝜇)

𝑝−2 𝑝

<∞

, dan

= = ∫[𝑛,𝑛+1] 1 𝑑𝜇 = 1 < ∞ (bebas terhadap n). Begitu juga untuk 𝑝 = ∞, diperoleh ‖𝑓𝑛 ‖ ∞ = 𝑒𝑠𝑠 sup{𝜒 [𝑛,𝑛+1] } = 1 < ∞ (bebas terhadap n). Akibatnya, jika 𝑛 → ∞, maka ‖𝑓‖ 2,𝑤 → 0 [2], sehingga ‖𝑓‖ 2,𝑤 →0 ‖𝑓‖ 𝑝 Jadi, untuk setiap konstanta 𝐶 > 0 dan 𝑝 > 2, terdapat 𝑁 ∈ ℕ sedemikian hingga untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ berlaku ‖𝑓‖ 2,𝑤 < 𝐶‖𝑓‖ 𝑝 dengan 𝑓𝑛 ∈ 𝐿𝑝 (ℝ). ∎ Catatan 3.2.1. Pernyataan Proposisi di atas setara dengan tidak terdapat 𝐶 > 0 sehingga 𝐶 ‖𝑓‖ 𝑝 ≤ ‖𝑓‖ 2,𝑤 untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (ℝ) dengan 𝑝 > 2. Proposisi di atas menunjukkan bahwa norm baku dengan norm berbobot ini tidak ekuivalen. Ini memungkinkan kita menemukan barisan fungsi di 𝐿𝑝 (ℝ) yang divergen terhadap norm ‖∙‖ 𝑝 , tapi konvergen terhadap norm‖∙‖ 2,𝑤 .


Catatan di atas menunjukkan bahwa untuk 𝑝 > 2 ruang (𝐿𝑝 (ℝ), ‖ ∙‖𝑝 ) memiliki struktur topologi yang berbeda dengan ruang (𝐿𝑝 (ℝ), ‖ ∙‖2,𝑤 ). Mengingan ruang (𝐿𝑝 (ℝ), ‖∙‖ 𝑝 ) lengkap (merupakan ruang Hilbert), muncul pertanyaan apakah ruang (𝐿𝑝 (ℝ), ‖ ∙‖2,𝑤 ) juga lengkap? Jawabannya tidak, dan dijelaskan dalam proposisi berikut. Proposisi 2.3.2. Misal 𝑝 > 2. Terdapat (𝐿𝑝 (ℝ), ‖∙‖ 2,𝑤 ) yang tidak konvergen.

barisan

Cauchy pada

ruang

Proposisi diatas menjelaskan bahwa ruang (Lp (ℝ), ‖∙‖ 2,w ) tidak lengkap. 2.4

Keterkaitan Hasil Kali Dalam Berbobot terhadap Suatu Bobot

Untuk mengetahui penjelasan bagaimana hasil kali dalam berbobot diasosiasikan terhadap suatu bobot, kita perlu definisi sebagai berikut yang selanjutnya akan menjadi kriteria atau syarat dari dua bobot yang akan diselidiki hubungan norm bobotnya satu sama lain. Definisi 2.4.1. Misal 𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋). Kita tuliskan 𝑤1 ~𝑤2 (𝑤1 sebanding 1 dengan 𝑤2 ) jika dan hanya jika terdapat 𝐶0 > 0 sedemikian hingga 𝐶 |𝑤2 (𝑥 )| ≤ 0 |𝑤1 (𝑥 )| ≤ 𝐶0 |𝑤2 (𝑥 )| hampir di setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Definisi di atas merupakan kriteria yang digunakan untuk mengetahui keterkaitan hasil kali dalam berbobot terhadap suatu bobot. Teorema berikut menjelaskan bagaimana hasil kali dalam berbobot diasosiasikan terhadap suatu bobotnya dan sekaligus menjadi salah satu hasil utama dalam penelitian ini. Teorema 2.4.1. Jika 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋) dan 𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝐿𝑠 (𝑋) dengan 𝑠 =

𝑝 𝑝−2

dan

𝑝 > 2 maka 𝑤1 ~𝑤2 jika dan hanya jika norm ‖ ∙‖2,𝑤1 ekuivalen dengan norm ‖∙‖ 2,𝑤2 .

1 Bukti. (⇒) Misal 𝑤1 ~𝑤2 maka terdapat 𝐶0 > 0 sehingga 𝐶 |𝑤2 (𝑥 )| ≤ 0 |𝑤1 (𝑥 )| ≤ 𝐶0 |𝑤2 (𝑥 )| hampir di setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Dengan mengintegralkan setiap ruas diperoleh 1 ∫ | 𝑤2 ||𝑓|2 𝑑𝜇 ≤ ∫ |𝑤1 ||𝑓| 2 𝑑𝜇 ≤ ∫ 𝐶0 |𝑤2 ||𝑓|2 𝑑𝜇 𝑋 𝐶0 𝑋 𝑋 1 2 2 ∫ |𝑤2 ||𝑓| 𝑑𝜇 ≤ ∫ | 𝑤1 ||𝑓| 𝑑𝜇 ≤ 𝐶0 ∫ |𝑤2 ||𝑓|2 𝑑𝜇 𝐶0 𝑋 𝑋 𝑋 1 ‖𝑓‖ 2,𝑤2 ≤ ‖𝑓‖ 2,𝑤1 ≤ 𝐶0 ‖𝑓‖ 2,𝑤2 𝐶0 (⟸) Misalkan untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋) terdapat 𝐶0 > 0 sedemikian hingga 1 berlaku ‖𝑓‖ 2,𝑤2 ≤ ‖𝑓‖ 2,𝑤1 ≤ 𝐶0 ‖𝑓‖ 2,𝑤2 . Untuk setiap 𝐸 ⊂ 𝑋 dengan 𝜇 (𝐸) < 𝐶0

∞, 𝜒𝐸 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋). Akibatnya 1 ‖𝜒 ‖ ≤ ‖𝜒𝐸 ‖ 2,𝑤1 ≤ 𝐶0 ‖ 𝜒𝐸 ‖2,𝑤2 𝐶0 𝐸 2,𝑤2

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 25 April 2015, Universitas Negeri Surabaya 1

1

1

2 2 2 1 (∫ |𝑤2 |𝑑𝜇 ) ≤ (∫ |𝑤1 |𝑑𝜇) ≤ 𝐶0 (∫ |𝑤2 |𝑑𝜇 ) 𝐶0 𝑋 𝑋 𝑋 1 2 ∫ |𝑤 |𝑑𝜇 ≤ ∫ |𝑤1 |𝑑𝜇 ≤ 𝐶0 ∫ |𝑤2 | 𝑑𝜇. 𝐶02 𝑋 2 𝑋 𝑋 Dengan menggunakan bukti kontradiksi, andai 𝑤1 tidak ekuivalen dengan 𝑤2 . Artinya, 𝜇{𝑥 ∶ |𝑤1 (𝑥 )| > 𝐾 |𝑤2 (𝑥 )| 𝑎𝑡𝑎𝑢 |𝑤2 (𝑥 )| > 𝐾 |𝑤1 (𝑥 )|} > 0. Definisikan himpunan 𝐸0 = {𝑥 ∶ |𝑤1 (𝑥 )| > 𝐾 |𝑤2 (𝑥 )| 𝑎𝑡𝑎𝑢 |𝑤2 (𝑥 )| > 𝐾 |𝑤1 (𝑥 )|}. Pilih 𝐸 ′ ⊂ 𝐸0 sehingga 0 < 𝜇(𝐸 ′ ) < 1. Akibatnya, untuk setiap K > 0 berlaku

∫ |𝑤1 |𝑑𝜇 > ∫ |𝑤2 | 𝑑𝜇 𝑎𝑡𝑎𝑢 ∫ |𝑤2 |𝑑𝜇 > ∫ | 𝑤1 |𝑑𝜇 𝐸′

𝐸′

𝐸′

𝐸′

Karena 𝐾 sebarang, maka kontradiksi dengan pernyataan sebelumnya. ∎

3

Kesimpulan

Dari hasil penelitian pada tesis ini, diperoleh kesimpulan bahwa ruang 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2 dapat diperkenalkan sebagai ruang hasil kali dalam. Hal ini diperoleh karena terdapat suatu hasil kali dalam yang terdefinisi pada 𝐿𝑝 (𝑋) untuk 𝑝 > 2, yaitu 〈𝑓, 𝑔〉2,w = ∫|𝑤|𝑓𝑔 𝑑𝜇, Bobot 𝑤 ∈ 𝐿𝑠 (𝑋) dengan 𝑠 =

𝑝 𝑝−2

x

untuk 2 < 𝑝 < ∞ sedemikian hingga 𝑤(𝑥 ) ≠

0; 𝑥 ∈ 𝑋. Khususnya, jika 𝑝 = ∞, maka 𝑠 = 1 sehingga bobot yang digunakan merupakan anggota 𝐿1 (𝑋). Selanjutnya dinamakan hasil kali dalam berbobot. Namun ruang 𝐿𝑝 (𝑋) yang dilengkapi hasil kali dalam tersebut bukan merupakan ruang Hilbert. Hasil utama dari penelitian ini adalah berupa penjelasan bagaimana hasil kali dalam berbobot diasosiasikan terhadap suatu bobot. Disini, diperoleh kriteria dari dua bobot untuk membandingkan antara dua ruang hasil kali dalam berbobot, yaitu normnya ekuivalen jika dan hanya jika 𝑤1 ~𝑤2 .

4

Daftar Pustaka

[1] Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley & Sons. [2] Stein, E.M., Shakarchi, R. 2005. Real Analisis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. New Jerse: Princeton Univ. Press.

Hasil Kali Dalam Berbobot pada Ruang L p (X)

Recommend Documents