BAB X RUANG HASIL KALI DALAM

Buku Panduan Belajar Aljabar Linear

STMIK TRIGUNA DHARMA

BAB X RUANG HASIL KALI DALAM 10.1 Hasil Kali Dalam Definisi. Hasil kali dalam adalah fungsi yang mengaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V (misalkan pasangan u dan v, dinotasikan dengan u , v ) dengan bilangan riil dan memenuhi 4 aksioma , yaitu: 1. Simetris

: u , v = v ,u

2. Aditivitas

: u+ v , w = u , w + v , w

3. Homogenitas

: ku , v = k u , v

4. Positivitas

: u , u ³ 0 dan ( u , u = 0 « u = 0)

, k skalar

Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam seperti di atas disebut ruang hasil kali dalam yang biasa disebut RHD.

Contoh 10.1 Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik-titik standar di R3 Euclides merupakan hasil kali dalam! Penyelesaian: Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam, yaitu: Misalkan a = (a1 , a2 ,a3 ), b = (b1 , b2 ,b3 ), c = (c1 , c 2 ,c 3 ) maka a, b, c Î ¡ 3 1. Simetris a , b = (a . b)

= (a1b1 + a 2b 2 + a3b3 ) = (b1a1 + b2a 2 + b3a3 ) = b,a

........................(terpenuhi)

2. Aditivitas

Langkah Pasti Menuju Sukses

86



a + b, c = (a + b). c = ((a1 + b1 , a 2 + b 2 , a3 + b3 ). (c1 , c 2 ,c 3 )) = ((a1c1 + b1c1 )+ (a 2c 2 + b 2c 2 )+ (a3c 3 + b3c 3 )) = (a1c1 + a 2c 2 + a3c 3 )+ (b1c1 + b 2c 2 + b3c 3 ) = (a . c)+ (b. c) = a , c + b,c

.............................(terpenuhi)

3. Homogenitas k a , b = (k a . b) = (k a1b1 + k a 2b 2 + k a3b3 ) = k (a1b1 + a 2b 2 + a3b3 ) = k (a . b) = k a ,b

.....................(terpenuhi)

4. Positivitas a , a = (a . a )= (a12 + a 2 2 + a32 )³ 0 Dan a , a = (a12 + a 2 2 + a32 )= 0 « a = (0, 0, 0) = 0

...................(terpenuhi) .....................(terpenuhi)

RHD yang memiliki hasil kali dalam berupa perkalian titik standar seperti di atas biasa disebut RHD Euclides.

Contoh 10.2 Diketahui u, v = ad + cf dengan u = (a, b, c) dan v = (d, e, f). Apakah u, v tersebut merupakan hasil kali dalam? Penyelesaian: Akan ditunjukkan apakah u, v tersebut memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam 1. Simetris u, v = ad + cf = da + fc = v, u


K K K (terpenuhi)

87



2. Aditivitas Misalkan w = (g, h, i) u + v, w = (a + d,b + e,c + f),(g,h,i) = (a + d)g + (c + f)i = (ag + ci) + (dg + fi) = u , w + v, w

K K K (terpenuhi)

3. Homogenitas ku, v = (kad + ckf ) = k (ad + cf ) = k u, v

K K K (terpenuhi)

4. Positivitas u , u = (u . u)= (a 2 + c 2 )³ 0

K K K (terpenuhi)

Dan

u , u = (a 2 + c 2 )= 0 tidak selalu « u = (0, 0, 0) = 0 karena untuk nilai

u = (0, b, 0) dengan b ¹ 0 maka nilai u , u = 0 K K K (tidak terpenuhi) Aksioma positivitas tidak terpenuhi maka u, v = ad + cf dengan u = (a, b, c) dan v = (d, e, f) bukan merupakan hasil kali dalam. 10.2 Panjang Vektor, Jarak Antar Vektor, dan Besar Sudut dalam RHD Ketika kita membahas tentang panjang vektor, maka kita harus menghilangkan rumusan yang selama ini kita gunakan mengenai panjang vektor dalam ruang–n Euclides berdasarkan operasi hasil kali titik . Kita akan menghitung panjang suatu berdasarkan hasil kali dalam yang telah diberikan, dan sudah dibuktikan bersama – sama bahwa hasil kali titik dalan ruang – n Euclides juga merupakan hasil kali dalam jadi konsep yang digunakan ini akan lebih luas daripada konsep sebelumnya. Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam, u, v Î V maka a. Panjang u = u , u

1

2

b. Jarak u dan v, d(u, v) = u - v , u - v

1

2

c. Misalkan f sudut antara u dan v dalam RHD, maka besar cosf adalah: u,v cosf = u v 2

2

Jika u dan v saling tegak lurus maka u + v = u + v Langkah Pasti Menuju Sukses

2

88



Contoh 10.3 Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam u, v = (u1v1 + 2u2 v 2 + u3v 3 ) dengan u = (u1 , u2 ,u3 ), v = (v1 , v 2 ,v 3 ). Jika vektor-vektor u , v Î V dengan a = (1,2,3) dan b = (1,2,2), tentukan a. Besar cos a jika sudut yang dibentuk antara a dan b adalah a ! b. Jarak antara a dan b! Penyelesaian: a ,b cosf = a b

a , b = 1.1 + 2.(2.2) + 2.3 = 15 a = 12 + 2.22 + 32 = 18 b = 12 + 2.22 + 22 = 13 Jadi cosf =

a ,b = a b

15 = 18 13

15 234

10.3 Basis Orthonormal Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v1,v2 , K ,vn adalah vektor-vektor dalam V. Beberapa definisi penting a. H = {v1,v2 , K ,vn } disebut himpunan orthogonal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu vi ,v j = 0 untuk i ¹ j dan i, j = 1,2, …,n. b. G = {v1,v2 , K ,vn } disebut himpunan orthonormal bila - G himpunan orthogonal - Norm dari vi = 1, i = 1, 2, …, n atau vi ,vi = 1 Metode Gramm-Schmidt Metode Gramm-Schmidt digunakan untuk merubah suatu himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan yang orthonormal. Jadi, dalam hal ini disyaratkan himpunan yang ditransformasikan ke himpunan orthonormal adalah himpunan yang bebas linier. Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V maka metode Gramm-Schmidt akan menghasilkan basis orthonormal untuk V. Langkah Pasti Menuju Sukses

89



Sebelum membahas tentang metode ini, akan dibahas tentang proyeksi orthogonal vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor. Diketahui H = {v1,v2 , K ,vn } adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dim ³ n dan S = {w 1, w 2 , K , w n } merupakan himpunan yang orthonormal. Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh w 1, w 2 , K , w n maka untuk setiap vektor z1 dalam W, dapat dituliskan z1 = k1w 1 + k2 w 2 + K + kn w n dengan k1 , k2 , K , kn skalar. Jika u adalah sembarang vektor dalam V, maka tentunya u dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan z1 dan z2, jadi dapat dituliskan u = z1 + z2. Karena z1 dalam W, maka sebenarnya z1 merupakan proyeksi orthogonal u terhadap W, sedangkan z2 merupakan komponen vektor u yang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z1, maka harus ditentukan nilai k1, k2, …, kn sedemikian hingga nilai k1 merupakan panjang proyeksi u terhadap w1, k2 merupakan panjang proyeksi u terhadap w2 dan seterusnya sehingga kn merupakan panjang proyeksi u terhadap wn. Proyeksi orthogonal u terhadap wi adalah proy W i (u) = < u, wi >, dikarenakan w1, w2,…, wn merupakan vektor – vektor yang orthonormal . Jadi dapat dituliskan bahwa proyeksi orthogonal u terhadap W adalah : ProyW (u) = z1 = < u, w1> w1 + < u, w2> w2 + ... + < u, wn> wn dengan {w1, w2,…, wn} merupakan himpunan orthonormal. Komponen u yang tegak lurus terhadap W adalah: z2 = u – (< u, w1> w1 + < u, w2> w2 + ... + < u, wn> wn) Misal diketahui K = {v1,v2 , K ,vn } adalah himpunan yang bebas linier, maka K dapat dirubah menjadi himpunan S = {w1, w2,…, wn} yang orthonormal dengan metode Gramm-Schmidt yaitu: 1. w 1 =

v1 v1

ini proses normalisasi yang paling sederhana karena hanya

melibatkan satu vektor saja. Pembagian dengan

v1

bertujuan agar w i

memiliki panjang = 1, pada akhir langkah ini didapatkan w 1 orthonormal. 2. w 2 =

v2 - v2 , w 1 w 1 v2 - v2 , w 1 w 1

Pada akhir langkah ini didapatkan dua vektor w 1 dan w 2 yang orthonormal. 3. w 3 =

v3 - v3 , w 1 w 1 - v3 , w 2 w 2 v3 - v3 , w 1 w 1 - v3 , w 2 w 2

M


90

Buku Panduan Belajar Aljabar Linear n. w n =


vn - vn , w 1 w 1 - vn , w 2 w 2 - L vn , w n-1 w n-1 vn - vn , w 1 w 1 - vn , w 2 w 2 - L vn , w n-1 w n-1

Secara umum w i = oleh w1, w2,…, wi-1.

vi - proW (vi ) vi - proW (vi )

dengan W merupakan ruang yang dibangun

Pada metode ini, pemilihan v1,v2 , K ,vn tidak harus mengikuti urutan vektor yang diberikan tetapi bebas sesuai keinginan kita karena satu hal yang perlu diingat bahwa basis suatu ruang vektor tidak tunggal. Jadi dengan mengubah urutan dari v1,v2 , K ,vn sangat memungkinkan didapatkan jawaban yang berbeda-beda. Pemilihan urutan dari v1,v2 , K ,vn yang disarankan adalah yang mengandung hasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu < vi, vj > = 0, dalam kasus ini bisa diambil v1 = vi dan v2 = vj dan seterusnya.

Contoh 10.4 Diketahui H = { a , b , c } dengan a = ( 1,1,1 ), b = ( 1,2,1 ) , c = (−1,1,0 ) a. Apakah H basis R3 ? b. Jika ya, transformasikan H menjadi basis orthonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides ! Penyelesaian: a. Karena dim(R3) = 3 dan jumlah vektor dalam H = 3, maka untuk menentukan apakah H merupakan basis R3 atau bukan, adalah dengan cara menghitung determinan matriks koefisien dari SPL Ax = b dengan b adalah sembarang vektor é1 1 - 1ù ê ú 3 1ú. Jika det = 0 maka berarti H bukan merupakan dalam R , yaitu = det ê1 2 ê ú ê1 1 0 ú ë û 3 basis R , sebaliknya jika det ¹ 0 maka berarti vektor-vektor di H bebas linier dan membangun R3, jadi H merupakan basis R3. Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga, diperoleh: 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 2 1= = 3- 2 = 1 2 1 1 1 1 1 0 Karena det = 1, ini berarti H merupakan basis dari R3. b. Hasil kali dalam antara a, b, dan c a ,b = 4 , a ,c = 0, b ,c = 1 Langkah Pasti Menuju Sukses

91



Untuk memilih basis yang perhitungannya lebih sederhana dapat diambil v1 = a , v 2 = c , v 3 = b a. w 1 = b. w 2 =

a (1,1,1) = a 3 c - c, w 1 w 1 c - c, w 1 w 1

=

c (- 1,1, 0) = c 2

{Karena a, c = 0 maka c, w 1 =

c. w 3 =

b - b, w 1 w 1 - b , w 2 w 2 b - b, w 1 w 1 - b , w 2 w 2

c, a a, c = = 0} a a

1 1 b, a a b, c c 3 2 = 1 1 bb, a a b, c c 3 2 b-

é1 ù éù é- 1ù 1 ê ú 4 êú 1 ê ú 1 1 bb, a a b, c c = ê2ú- êú 1 - ê 1 ú= ê ú 3 êú 2 ê ú 3 2 ê1 ú êú ê 0ú 1 ëû ëû ë û

b-

é 1 ù ê 6ú é 1ù ê ú 1ê ú ê 1 ú= ê 1 ú ê 6ú 6ê ú ê ú ê ú ê- 1 ú ë- 2û ëê 3 úû

1 1 6 1 b, a a b, c c = = 3 2 6 6

é 1 êê Jadi w 3 = 6 êê ë-

1ù ú 1 ús ú 2ú û

Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan orthonormal Diketahui V RHD dan H = {v1,v2 , K ,vn } Î V merupakan himpunan orthogonal dengan vi ≠ 0 maka bisa didapatkan himpunan orthonormal yang didefinisikan v sebagai S = { s1, s2,…, sn } dengan si = i , i = 1,2,...,n . Kalau dilihat secara vi seksama, sebenarnya rumusan ini merupakan rumusan dari metode Gramm– Schmidt yang telah mengalami reduksi yaitu untuk nilai proy W(vi) = 0 akibat dari v1 , v2,…, vn yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang orthonormal biasa disebut dengan menormalisasikan vektor. Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis orthonormal dari V. Langkah Pasti Menuju Sukses

92



Contoh 10.5 Diketahui a = ( 2,–1,1 ) , b = ( 2,5,1 ) , c = ( –1,0,2 ) dan a , b ,c Î ¡ 3 . Jika R3 merupakan RHD Euclides, Transformasikan a , b , c ke basis orthonormal ! Penyelesaian

a,b = 0, a, c = 0, b, c = 0 a = 22 + (- 1) + 12 = 6 b = 22 + 52 + 12 = 30 c = (- 1)2 + 02 + 22 = 5 Misalkan H = {a, b, c} maka H merupakan himpunan orthogonal. Dim(R3) = 3 jadi dapat ditentukan basis orthonormal untuk R3. a 1 b 1 c 1 = (2, - 1,1), s2 = = (2,5,1), s3 = = (- 1, 0, 2) Misalkan s1 = a b c 6 30 5 ìï 1 ü 1 1 ï Basis orthonormal untuk R3 adalah ïí (2, - 1,1), (2,5,1), (- 1, 0, 2)ïý ïîï 6 ïþ 30 5 ï

10.4 Perubahan Basis Seperti diketahui bahwa suatu ruang vektor bisa memiliki beberapa basis. Dari sifat inilah tentunya jika terdapat sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di A dan B. Kajian yang dilakukan sekarang ini adalah melihat hubungan antar kombinasi linier tersebut . Secara sistematis , langkah-langkahnya dapat dilihat seperti berikut ini; Jika V ruang vektor, S = { s1, s2,…, sn } merupakan basis V maka untuk sembarang x Î V , dapat dituliskan : x = k1s1 + k2 s2 + K + kn sn dengan k1, k2, …, kn skalar. k1, k2, …, kn juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S.

ék1 ù ê ú êk ú [x ]s = êê 2 úú disebut matriks x relatif terhadap basis S. êM ú êk ú êë 1\n úû Jika S merupakan basis orthonormal, maka Langkah Pasti Menuju Sukses

93

Buku Panduan Belajar Aljabar Linear é x, s1 ê ê x, s [x ]s = êê 2 ê M ê ê x, sn ë


ù ú ú ú ú ú ú ú û

Jika A = {x1, x2} dan B = {y1, y2} berturut-turut merupakan basis dari V, maka untuk sembarang z Î V bisa didapatkan [z ]A dan [z ]B . Bagaimana hubungan [z ]A dan

[z ]B ?

éa ù MIsalkan [x1 ]B = ê ú dan [x 2 ]B = êëb ú û éa ù Dari [x1 ]B = ê ú didapatkan x1 = êëb ú û

éc ù êú êëd ú û a y1 + by2 ..................(1)

éc ù Dari [x 2 ]B = ê ú didapatkan x 2 = cy1 + d y2 .................(2) êëd ú û

ék1 ù Untuk [z ]A = ê ú didapatkan z = k1x1 + k2 x 2 ...............(3) êk2 ú ë û Dengan melakukan substitusi dari persamaan 1 dan 2 ke persamaan 3 didapatkan: z = k1 (a y1 + by2 ) + k2 (cy1 + d y2 ) = (k1a + k2 c) y1 + (k1b + k2 d ) y2

ék1a + k2 c ù éa c ùék1 ù ú= ê úê ú= P [z ] Ini berarti [z ]B = ê A êk1b + k2 d ú êb d úêk2 ú ûë û ë û ë P disebut matriks transisi dari basis A ke basis B. Secara umum, jika A = { x1, x2,…, xn } dan B = { y1, y2,…, yn } berturut-turut merupakan basis dari ruang vektor V, maka matiks transisi basis A ke basis B adalah: P = éëê[x1 ]B [x 2 ]B L [xn ]B ù ú û Jika P dapat dibalik, maka P-1 merupakan matriks transisi dari basis B ke basis A.


94



Contoh 10.6 Diketahui A = { v , w } dan B = { x, y } berturut-turut merupaka basis R2, dengan v = (2,2), w = (3,1), x = (1,3) dan y = (-1, -1) Tentukan: a. Matriks transisi dari basis A ke basis B! éæ- 1öù ú b. Hitung êçç ÷ ÷ ÷ú êçè 3 ø÷ ë ûA éæ- 1öù ú c. Hitung êçç ÷ ÷ ÷ú dengan menggunakan hasil pada (b)! êçè 3 ø÷ ë ûB

d. Matriks transisi dari basis B ke basis A! Penyelesaian

éa ù é2ù a. Misalkan [v ]B = ê ú maka ê ú= êëb ú êë3 ú û û éc ù é 3ù é1 [w ]B = êê úú maka êê úú= êê ëd û ë- 1û ë3

é1 - 1ùéa ù éa ù é 0ù ê úê ú, didapatkan ê ú= ê ú dan untuk êë3 - 1úê êëb ú ûëb ú û û êë- 2ú û éc ù é- 2ù - 1ùéc ù úê ú, maka didapatkan ê ú= ê ú êëd ú - 1úê ûëd ú û û êë- 5ú û

é 0 - 2ù ú Jadi matriks transisi dari basis A ke basis B adalah: P = ê êë- 2 - 5ú û éæ- 1öù ék1 ù é ù é 1ù k ú = ê ú maka, didapatkan ê 1 ú= ê ú b. Misalkan êçç ÷ ÷ ÷ êçè 3 ø÷ú êk ú êk2 ú ê- 1ú ë û ë û ë ûA ë 2 û éæ- 1öù é 0 - 2ù ú dan êçç ÷ c. Dari (a) dan (b) didapatkan P = ê ÷ú = êçè 3 ø÷ êë- 2 - 5ú ÷ú û ë ûA éæ- 1öù é 0 - 2ùé 1ù é2ù úê ú= ê ú P êçç ÷ ÷ú = ê êçè 3 ø÷ ÷ú êë- 2 - 5úê ûë- 1ú û êë3 ú û ë ûA

é ê êë-

1ù ú sehingga 1ú û

d. Matriks transisi dari basis B ke basis A adalah P-1 dengan P merupakan matriks transisi terhadap basis A ke basis B. 1 é- 5 2ù ú merupakan matriks transisi dari basis B ke basis A. Jadi P- 1 = - ê 4 êë 2 0 ú û


95



Latihan 1. Diketahui a , b = a1b1 + a12b22 dengan a = (a1,a2 ) dan b = (b1,b2 ) . Tunjukkan sifat Hasil kali dalam yang tidak dipenuhi! 2. Diketahui

a , b = a1b1 - a2b2 + a3b3 dengan a = (a1,a2 , a3 ) dan b = (b1,b2 , b3 ) .

Periksa apakah a , b merupakan hasil kali dalam atau tidak! Jika tidak tentukan aksioma mana yang tidak dipenuhi! 3. R3 merupakan RHD dengan hasil kali dalam u , v = u1v 1 + 2u2 v 2 + u3 v 3 dengan u = (u1,u2 , u3 ) dan v = (v1,v 2 , v 3 ) . W adalah subruang R3 yang memiliki basis B = { (-2, 2, 2), (1, 3, -3) }

a. b.

Transformasikan B menjadi basis orthonormal! Misalkan x = (2, 2, -4) di R3, nyatakan x = y + z dengan y Î W dan z orthogonal terhadap W.

4. R3 merupakan RHD dengan hasil kali dalam

u , v = u1v 1 + 2u2 v 2 + 2u3 v 3

dengan u = (u1,u2 , u3 ) dan v = (v1,v 2 , v 3 ) . W adalah subruang R3 yang memiliki basis C = { b1 = (-1, 0, -1), b2 = (2, 1, 2) } a. b. c.

Hitung sin b jika b adalah sudut antara b1 dan b2! Tentukan jarak antara b1 dan b2! Misalkan x = (1, 2, -1) di R3, nyatakan y dan z adalah komponen dari x, dengan y Î W dan z orthogonal terhadap W. Tentukan y dan z!

é 1 2ù ú merupakan matriks transisi dari basis A terhadap basis B, 5. Diketahui P = ê êë- 1 1ú û dengan A = { a1, a2 } dan B = { b1, b2 } merupakan basis R2. Jika x = 2a1 – a2, tentukan [x]B! ìï é1ù é0ù éù ìï é- 1ù é0ù é 1 üïï ïï ê ú ê ú êú ïï ê ú ê ú ê ï 6. Diketahui A = ïí ê2ú, ê1ú, êú 1 ïý dan B = ïí ê 0ú, ê1ú, êïï ê ú ê ú êúïï ïï ê ú ê ú ê 1 ïîï êë1úû êë1úû êú ï ïîï êë 1úû êë0úû êë ëûþï tentukan a. x b. Matriks transisi dari basis A ke basis B c. [x]B


1ùüïï úï 1úïý , úï 1úûïïþï

é2ù êú basis R . Jika [x ]A = ê2ú, êú ê1ú ëû 3

96

BAB X RUANG HASIL KALI DALAM

Recommend Documents