Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam dan Norm
Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB
v 0.1 Maret 2015
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
1 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
2 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor. Misalkan kita mempunyai titik x = (x1 , x2 ) dan y = (y1 , y2 )
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
2 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor. Misalkan kita mempunyai titik x = (x1 , x2 ) dan y = (y1 , y2 )
B (y1 , y2 )
v
A ( x1 , x2 )
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
2 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
v
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
B ( y1 , y2 ) A ( x1 , x2 )
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
3 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
v
B ( y1 , y2 ) A ( x1 , x2 )
Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA · OB · cos ∠ (AOB )
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
3 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
v
B ( y1 , y2 ) A ( x1 , x2 )
Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA · OB · cos ∠ (AOB )
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 = x12 + x22 + y12 + y22 − 2 kx k · ky k cos α
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
3 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
v
B ( y1 , y2 ) A ( x1 , x2 )
Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA · OB · cos ∠ (AOB )
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 = x12 + x22 + y12 + y22 − 2 kx k · ky k cos α
2 kx k · ky k cos α = x1 y1 + x2 y2 = hx, y i
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
3 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V → C
(x, y ) 7→ hx, y i sehingga
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
4 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V → C
(x, y ) 7→ hx, y i sehingga 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx + z, y i = hx, y i + hz, y i.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
4 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V → C
(x, y ) 7→ hx, y i sehingga 1 2
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx + z, y i = hx, y i + hz, y i. Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ C berlaku hcx, y i = c hx, y i.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
4 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V → C
(x, y ) 7→ hx, y i sehingga 1 2 3
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx + z, y i = hx, y i + hz, y i. Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ C berlaku hcx, y i = c hx, y i. Untuk setiap x, y ∈ V berlaku hx, y i = hy , x i.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
4 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V → C
(x, y ) 7→ hx, y i sehingga 1 2 3 4
Untuk Untuk Untuk Untuk
setiap setiap setiap setiap
x, y , z ∈ V berlaku hx + z, y i = hx, y i + hz, y i. x, y ∈ V dan c ∈ C berlaku hcx, y i = c hx, y i. x, y ∈ V berlaku hx, y i = hy , x i. x ∈ V berlaku hx, x i > 0 untuk x 6= 0.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
4 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V → C
(x, y ) 7→ hx, y i sehingga 1 2 3 4
Untuk Untuk Untuk Untuk
setiap setiap setiap setiap
x, y , z ∈ V berlaku hx + z, y i = hx, y i + hz, y i. x, y ∈ V dan c ∈ C berlaku hcx, y i = c hx, y i. x, y ∈ V berlaku hx, y i = hy , x i. x ∈ V berlaku hx, x i > 0 untuk x 6= 0.
Perhatikan bahwa h0, y i = h0 + 0, y i = h0, y i + h0, y i = 2h0, y i. Jadi . . .
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
4 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V → C
(x, y ) 7→ hx, y i sehingga 1 2 3 4
Untuk Untuk Untuk Untuk
setiap setiap setiap setiap
x, y , z ∈ V berlaku hx + z, y i = hx, y i + hz, y i. x, y ∈ V dan c ∈ C berlaku hcx, y i = c hx, y i. x, y ∈ V berlaku hx, y i = hy , x i. x ∈ V berlaku hx, x i > 0 untuk x 6= 0.
Perhatikan bahwa h0, y i = h0 + 0, y i = h0, y i + h0, y i = 2h0, y i. Jadi . . . Untuk R, sifat (3) menjadi hx, y i = hy , x i. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
4 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Example 1
Misalkan x = (a1 , . . . , an ) dan y = (b1 , . . . , bn ) ∈ Fn , maka n
hx, y i =
∑ ai bi
i =1
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
5 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Example 1
Misalkan x = (a1 , . . . , an ) dan y = (b1 , . . . , bn ) ∈ Fn , maka n
hx, y i =
∑ ai bi
i =1 2
Misalkan V = C ([0, 1]) ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka
hf , g i =
Z 1
f (t ) g (t ) dt
0
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
5 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Example 1
Misalkan x = (a1 , . . . , an ) dan y = (b1 , . . . , bn ) ∈ Fn , maka n
hx, y i =
∑ ai bi
i =1 2
Misalkan V = C ([0, 1]) ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka
hf , g i =
Z 1
f (t ) g (t ) dt
0 3
Misalkan V = Mn×n (F) dan definisikan
hA, B i = trace (B ∗ A) dengan B ∗ transpose konjuget. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
5 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx, y + z i = hx, y i + hx, z i.
Proof.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
6 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx, y + z i = hx, y i + hx, z i.
2
Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ F berlaku hx, cy i = c hx, y i.
Proof.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
6 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx, y + z i = hx, y i + hx, z i.
2
Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ F berlaku hx, cy i = c hx, y i.
3
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, 0i = h0, x i = 0.
Proof.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
6 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx, y + z i = hx, y i + hx, z i.
2
Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ F berlaku hx, cy i = c hx, y i.
3
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, 0i = h0, x i = 0.
4
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, x i = 0 jika dan hanya jika x = 0.
Proof.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
6 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx, y + z i = hx, y i + hx, z i.
2
Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ F berlaku hx, cy i = c hx, y i.
3
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, 0i = h0, x i = 0.
4
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, x i = 0 jika dan hanya jika x = 0.
5
Jika hx, z i = 0 untuk setiap z ∈ V , maka x = 0.
Proof.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
6 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx, y + z i = hx, y i + hx, z i.
2
Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ F berlaku hx, cy i = c hx, y i.
3
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, 0i = h0, x i = 0.
4
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, x i = 0 jika dan hanya jika x = 0.
5
Jika hx, z i = 0 untuk setiap z ∈ V , maka x = 0.
Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5).
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
6 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx, y + z i = hx, y i + hx, z i.
2
Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ F berlaku hx, cy i = c hx, y i.
3
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, 0i = h0, x i = 0.
4
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, x i = 0 jika dan hanya jika x = 0.
5
Jika hx, z i = 0 untuk setiap z ∈ V , maka x = 0.
Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5). Karena hx, z i = 0 untuk setiap z ∈ V , maka khususnya jika berlaku bagi z = x, atau hx, x i = 0
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
6 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1
Untuk setiap x, y , z ∈ V berlaku hx, y + z i = hx, y i + hx, z i.
2
Untuk setiap x, y ∈ V dan c ∈ F berlaku hx, cy i = c hx, y i.
3
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, 0i = h0, x i = 0.
4
Untuk setiap x ∈ V berlaku hx, x i = 0 jika dan hanya jika x = 0.
5
Jika hx, z i = 0 untuk setiap z ∈ V , maka x = 0.
Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5). Karena hx, z i = 0 untuk setiap z ∈ V , maka khususnya jika berlaku bagi z = x, atau hx, x i = 0 Berdasarkan sifat (4), maka x = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
6 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Karena hx, x i ≥ 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition
Theorem
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
7 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Karena hx, x i ≥ 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈ V sebagai q kx k = hx, x i Theorem
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
7 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Karena hx, x i ≥ 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈ V sebagai q kx k = hx, x i Theorem Misalkan V ruang hkd
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
7 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Karena hx, x i ≥ 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈ V sebagai q kx k = hx, x i Theorem Misalkan V ruang hkd 1
Untuk setiap x ∈ V dan c ∈ F, maka berlaku kcx k = |c | · kx k.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
7 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Karena hx, x i ≥ 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈ V sebagai q kx k = hx, x i Theorem Misalkan V ruang hkd 1 2
Untuk setiap x ∈ V dan c ∈ F, maka berlaku kcx k = |c | · kx k. kx k = 0 jika hanya jika x = 0.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
7 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Karena hx, x i ≥ 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈ V sebagai q kx k = hx, x i Theorem Misalkan V ruang hkd 1 2 3
Untuk setiap x ∈ V dan c ∈ F, maka berlaku kcx k = |c | · kx k. kx k = 0 jika hanya jika x = 0. Pertaksamaan Cauchy-Schwarz
|hx, y i| ≤ kx k · ky k .
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
7 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Karena hx, x i ≥ 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈ V sebagai q kx k = hx, x i Theorem Misalkan V ruang hkd 1 2 3
Untuk setiap x ∈ V dan c ∈ F, maka berlaku kcx k = |c | · kx k. kx k = 0 jika hanya jika x = 0. Pertaksamaan Cauchy-Schwarz
|hx, y i| ≤ kx k · ky k . 4
Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x, y ∈ V berlaku
kx + y k ≤ kx k + ky k . Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
7 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz |hx, y i| ≤ kx k · ky k. Proof.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
8 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz |hx, y i| ≤ kx k · ky k. Proof. Misalkan x, y ∈ V dan α ∈ F definisika p (α) = kx − αy k2 ≥ 0, maka
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
8 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz |hx, y i| ≤ kx k · ky k. Proof. Misalkan x, y ∈ V dan α ∈ F definisika p (α) = kx − αy k2 ≥ 0, maka
kx − αy k2 = hx − αy , x − αy i = hx, x i − α¯ hx, y i − αhy , x i + |α|2 hy , y i ≥ 0 untuk setiap α.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
8 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz |hx, y i| ≤ kx k · ky k. Proof. Misalkan x, y ∈ V dan α ∈ F definisika p (α) = kx − αy k2 ≥ 0, maka
kx − αy k2 = hx − αy , x − αy i = hx, x i − α¯ hx, y i − αhy , x i + |α|2 hy , y i ≥ 0 untuk setiap α. Khususnya jika α =
h x ,y i , h x ,x i
maka 0 ≤ hx, x i −
|hx, y i|2 hy , y i
dan CS berlaku Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
8 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Bukti Pertaksamaan segitiga Proof.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
9 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Bukti Pertaksamaan segitiga Proof. Misalkan x, y ∈ V , maka
kx + y k2 = hx + y , x + y i = hx, x i + hy , x i + hx, y i + hy , y i
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
9 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Bukti Pertaksamaan segitiga Proof. Misalkan x, y ∈ V , maka
kx + y k2 = hx + y , x + y i = hx, x i + hy , x i + hx, y i + hy , y i Selanjutnya
kx + y k2 = kx k2 + 2 Rehx, y i + ky k2 ≤ kx k2 + 2 kx k · ky k + ky k2 = (kx k + ky k)2
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
9 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Bukti Pertaksamaan segitiga Proof. Misalkan x, y ∈ V , maka
kx + y k2 = hx + y , x + y i = hx, x i + hy , x i + hx, y i + hy , y i Selanjutnya
kx + y k2 = kx k2 + 2 Rehx, y i + ky k2 ≤ kx k2 + 2 kx k · ky k + ky k2 = (kx k + ky k)2 Jadi pertaksamaan segitiga berlaku.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
9 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Di Fn , untuk x = (a1 , . . . , an ) dan y = (b1 , . . . , bn )
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
10 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Di Fn , untuk x = (a1 , . . . , an ) dan y = (b1 , . . . , bn ) Pertaksamaan CS |hx, y i| ≤ kx k · ky k mempunyai bentuk " #1/2 " #1/2 n n n 2 2 ∑ ai b i ≤ ∑ |ai | ∑ |bi | i =1 i =1 i =1
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
10 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Di Fn , untuk x = (a1 , . . . , an ) dan y = (b1 , . . . , bn ) Pertaksamaan CS |hx, y i| ≤ kx k · ky k mempunyai bentuk " #1/2 " #1/2 n n n 2 2 ∑ ai b i ≤ ∑ |ai | ∑ |bi | i =1 i =1 i =1 Pertaksamaan segitiga kx + y k ≤ kx k + ky k mempunyai bentuk "
n
∑ |ai + bi |
i =1
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
#1/2 2
"
≤
n
∑ |ai |
i =1
Ruang Hasil Kali Dalam
#1/2 " 2
n
∑ | bi |
# 1/2 2
i =1
v 0.1 Maret 2015
10 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam.
Definition
Definition
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
11 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika hx, y i = 0.
Definition
Definition
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
11 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika hx, y i = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y ∈ S dengan x 6= y dua vektor tersebut saling orthogonal. Definition
Definition
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
11 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika hx, y i = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y ∈ S dengan x 6= y dua vektor tersebut saling orthogonal. Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam.
Definition
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
11 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika hx, y i = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y ∈ S dengan x 6= y dua vektor tersebut saling orthogonal. Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jika kx k = 1 Definition
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
11 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika hx, y i = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y ∈ S dengan x 6= y dua vektor tersebut saling orthogonal. Definition Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jika kx k = 1 Definition Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
11 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Himpunan S=
1 1 1 √ (1, 1, 0) , √ (1, −1, 1) , √ (−1, 1, 2) 2 3 6
merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
12 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Himpunan S=
1 1 1 √ (1, 1, 0) , √ (1, −1, 1) , √ (−1, 1, 2) 2 3 6
merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π ]. Perhatikan bahwa {sin nx : x ∈ [0, 2π ]} memenuhi Z 2π Z 2π 1 1 sin nx sin mxdx = cos (mx − nx ) − cos (mx + nx ) dx 2 2 0 0
=0 jika m 6= n
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
12 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Himpunan S=
1 1 1 √ (1, 1, 0) , √ (1, −1, 1) , √ (−1, 1, 2) 2 3 6
merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π ]. Perhatikan bahwa {sin nx : x ∈ [0, 2π ]} memenuhi Z 2π Z 2π 1 1 sin nx sin mxdx = cos (mx − nx ) − cos (mx + nx ) dx 2 2 0 0
=0 jika m 6= n dan
Z 2π 0
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
sin2 nxdx = π
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
12 / 12
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm
Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm Himpunan S=
1 1 1 √ (1, 1, 0) , √ (1, −1, 1) , √ (−1, 1, 2) 2 3 6
merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π ]. Perhatikan bahwa {sin nx : x ∈ [0, 2π ]} memenuhi Z 2π Z 2π 1 1 sin nx sin mxdx = cos (mx − nx ) − cos (mx + nx ) dx 2 2 0 0
=0 jika m 6= n dan
Z 2π 0
Himpunan S 0 =
n
Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB)
√1 π
sin2 nxdx = π
sin nx : n ∈ N
o
merupakan himpunan orthonormal.
Ruang Hasil Kali Dalam
v 0.1 Maret 2015
12 / 12
