ISSN: X 35 SEMI HASIL KALI DALAM ATAS DAN BAWAH

ISSN: 2088-687X

35

SEMI HASIL KALI DALAM ATAS DAN BAWAH Febi Sanjaya Program Studi Pendidikan Matematika FKIP USD Paingan, Maguwoharjo, Depok, Sleman, Yogyakarta, [email protected] ABSTRAK Konsep hasil kali dalam merupakan salah satu objek matematika yang dipelajari dan dikembangkan oleh para peneliti. Setiap hasil kali dalam dapat membangun norma, tetapi tidak berlaku sebaliknya. Oleh karena itu di dalam artikel ini dituliskan konsep mengenai semi hasil kali dalam atas dan bawah yang merupakan pendekatan hasil kali dalam yang dibangun dari norma. Penelitian ini menggunakan metode studi literatur yang bertujuan untuk mempelajari sifat-sifat semi hasil kali dalam atas dan bawah beserta hubungannya dengan semi hasil kali dalam yang lain. Kata Kunci:

semi hasil kali dalam atas, semi hasil kali dalam bawah, semi hasil kali dalam Lumer-Giles.

ABSTRACT The concept of inner product is a mathematic object which is learned and developed by the researchers. Every inner product built the norm, but not vice-versa. Therefore, in this article the researcher wrote the concept about superior and inferior semi-inner product which is an approach of inner product that was built by norm. This research used literature study method with the goal is for study some properties of superior and inferior semi-inner product and the relation of superior and inferior semi-inner product with other semi-inner product. Keywords :

superior semi-inner product, inferior semi-inner product, semi-inner product Lumer-Giles

satu

Pendahuluan Dalam

mempelajari

analisis

arah pengembangannya adalah

dengan membentuk generalisasinya.

fungsional, sesungguhnya tidak dapat

Giles

(1967)

membentuk

dilepaskan dari konsep ruang bernorma,

generalisasi dari hasil kali dalam dengan

yaitu ruang vektor yang dilengkapi

definisi sebagai berikut.

dengan

Definisi 1.1. Diberikan sebarang ruang

norma.

Lebih

khusus

lagi,

terdapat konsep ruang hasil kali dalam,

vektor X

atas

lapangan

.

Fungsi

yaitu ruang vektor yang dilengkapi

disebut semi hasil

dengan hasil kali dalam. Konsep hasil

kali dalam Lumer-Giles jika sifat-sifat di

kali dalam merupakan salah satu objek

bawah ini dipenuhi :

matematika

(i)

yang

dipelajari

dan

dikembangkan oleh para peneliti. Salah

AdMathEdu | Vol.5 No.1 | Juni 2015

untuk setiap

Semi Hasil … (Febi Sanjaya)

36

ISSN: 2088-687X

(ii)

untuk

setiap

dan (iii)

untuk setiap

dan

jika [x, x] = 0.

Inilah konsep yang membuat penulis

(iv)

tertarik untuk menelitinya.



(v) X dan λ

Tujuan dari penelitian ini adalah

untuk setiap x, y

untuk mempelajari sifat-sifat semi hasil

K.

Selain itu, Giles (1967) juga

kali dalam atas dan bawah beserta

menuliskan hubungan antara norma dan

hubungannya dengan semi hasil kali

semi hasil kali dalam Lumer-Giles dalam

dalam yang lain.

teorema di bawah ini.

Metode Penelitian

Teorema 1.2. Diberikan ruang vektor

Metode yang digunakan untuk

X atas lapangan K dan semi hasil kali

penelitian ini adalah studi literatur.

dalam Lumer-Giles

Dalam penelitian ini terlebih dahulu

Fungsi

dipelajari tentang fungsi konveks dan

dengan

norma. Dari kedua konsep tersebut, dapat

merupakan norma pada X. Selanjutnya, untuk sebarang ruang bernorma kali

, keluarga semi hasil

dalam

membangkitkan

Lumer-Giles norma

yang pada

dipelajari definisi dari semi hasil kali dalam atas dan bawah. Selanjutnya dipelajari

tentang hasil

kali

dalam.

Dengan menggunakan hasil kali dalam,

sebagaimana didefinisikan pada Teorema

norma, dan definisi semi hasil kali dalam

1.2 dinotasikan dengan S||.|| .

atas dan bawah dihasilkan sifat-sifat dari

Dragomir (2004) memiliki konsep

semi hasil kali dalam atas dan bawah.

yang berbeda dalam menggeneralisasikan

Kemudian dari hasil kali dalam dan

hasil kali dalam,

norma dapat dipelajari dual dari ruang

yaitu membangun

fungsi yang sifat-sifatnya lebih lemah

bernorma.

dari inner produk tetapi dibangkitkan

menggunakan

dari norma. Semi hasil kali dalam atas

dapat

dan bawah dari

mapping. Lebih lanjut, dipelajari bentuk

, yang berturut-

turut ditulis ( x, y)r

dan ( x, y)l , dengan

X

ruang

merupakan

didefinisikan sebagai


bernorma

Dari dual, dan dengan Teorema

dipelajari

Hahn-Banach

normalized

duality

lain definisi semi hasil kali dalam atas dan bawah dalam kaitannya dengan normalized duality mapping.

Pada

bagian akhir dipelajari semi hasil kali


ISSN: 2088-687X

37

dalam Lumer-Giles dan kaitannya dengan

lim

|| y  tx ||2  || y ||2 terjamin. 2t

Oleh

semi hasil kali dalam atas dan bawah,

t 0

yang menghasilkan bentuk lain definisi

karena itu, dapat diturunkan definisi

semi hasil kali dalam atas dan bawah

berikut.

dengan menggunakan semi hasil kali

Definisi 3.1. Diberikan ruang bernorma

dalam Lumer-Giles.

X. Didefinisikan fungsi dengan

Hasil dan Pembahasan

( x, y) r  lim

Untuk selanjutnya, lapangan yang

t 0

digunakan adalah

kecuali dinyatakan ( x, y)l  lim

lain. Untuk sebarang ruang bernorma X, diambil sebarang x, y

X. Didefinisikan

dengan

t 0

|| y  tx ||2  || y ||2 2t

untuk setiap fungsi

.

|| y  tx ||2  || y ||2 dan 2t

Selanjutnya, dan

berturut-turut

disebut semi hasil kali dalam bawah dan

Diperhatikan bahwa untuk sebarang a, b R dan 0 ≤ λ ≤ 1 berlaku:

semi hasil kali dalam atas terkait norma . . Sifat 3.2.

1 2

Jika

merupakan ruang

bernorma, maka untuk setiap dan p ≠ q berlaku :

dan (i)

1 2

(ii)

untuk

semua

(iii)

untuk

semua

(iv)

untuk

semua

untuk

semua

. (v) .

Dengan demikian f konveks. Akibatnya, (vi)

|| y  tx ||2  || y ||2 , lim t  0 2t lim

t 0

|| y  tx ||2  || y ||2 2t

eksistensi

lim

t 0

dan

(vii) (viii)

ada

sehingga

|| y  tx ||2  || y ||2 2t


dan

.

Selanjutnya, jika

merupakan

ruang hasil kali dalam, maka untuk setiap berlaku Semi Hasil … (Febi Sanjaya)

38

ISSN: 2088-687X (Alsina, dkk : 2010). Lebih lanjut, untuk p

Teorema 3.3.

{r,

}.

Diberikan

ruang

bernorma X. Untuk setiap

,

terdapat w1 , w2

Jika a < 0, diperoleh pula :

sehingga

dan Bukti : Diambil sebarang x, y Didefinisikan

X. .

Diperhatikan fungsional

linear

Jika a = 0, diperoleh

dengan untuk setiap

.

Akan ditunjukkan bahwa

Dari

ketiga

kasus

di

atas,

dapat

disimpulkan bahwa

untuk setiap

.

Misalkan

, sehingga

dan untuk setiap maka

terbatas dan dan

Karena

fungsi

merupakan

fungsi

,

.

konveks,

maka

ekuivalen

berdasarkan

...

untuk setiap u Karena

maka

ketaksamaan (1), diperoleh : =

Ψ dan

(1)

Diambil sebarang 0,

Teorema

sehingga

dengan

untuk semua .

Selanjutnya

Hahn-Banach, terdapat fungsional

berlaku yang

>

untuk

dengan

untuk setiap

a

Lebih lanjut, karena

untuk setiap

Jika

. Ini berakibat

maka yang

berdasarkan

berarti

Selanjutnya, dengan mengambil dan

diperoleh ( .



ISSN: 2088-687X

39

Dengan menggunakan teorema di atas, dapat diturunkan suatu teorema tentang ekuivalensi dari semi hasil kali dalam atas dan bawah dalam kaitannya dengan

normalized

duality

mapping

Akibatnya, Di lain pihak, 3.3, terdapat

Teorema 3.4.

Diberikan

X atas lapangan

setiap

Teorema

sehingga

Ini mengakibatkan

sebagai berikut.

bernorma

berdasarkan

.

ruang .

Untuk

(ii)

Diambil

sebarang

.

Berdasarkan (i), diperoleh

, berlaku :

(i)

,

dan (ii)

.

Karena

maka

Bukti : (i)

Diambil sebarang Diperhatikan

setiap

dan bahwa

Dengan kata lain

untuk

berlaku

Teorema

, sehingga

3.5.

Diberikan

bernorma X atas lapangan

ruang dan

merupakan section of normalized duality Karena

, diperoleh

mapping.

Untuk

semua

berlaku : Ekuivalen dengan, Bukti : Karena ... (2) Selanjutnya, karena untuk setiap

merupakan section of

normalized duality mapping, maka untuk maka

berlaku

setiap dan

berlaku

Dengan kata lain, Ekuivalen dengan ... (3) Dari (2) dan (3), untuk

diperoleh



40

ISSN: 2088-687X Dengan memperhatikan (5) dan (6), didapat

Untuk

berlaku

untuk setiap t > 0 dan x, y Jadi untuk setiap

dan

X.

Karena

diperoleh

Selanjutnya, untuk

dan sebarang

dangan

diperoleh

dan

Untuk

dan

berlaku

Akibatnya, diperoleh ketaksamaan : untuk setiap dan

, maka jika

diambil limit untuk ketaksamaan untuk semua t > 0 dan x, y Selanjutnya,

pada

dengan mengganti

X.

ketaksamaan dengan

bahwa

(7),

pada

dapat

disimpulkan

ada untuk setiap

(4) ,

dan

Lebih lanjut,

diperoleh : Selanjutnya, dengan menggunakan (8), diperoleh



ISSN: 2088-687X

41

dan karena Teorema 3.5, yaitu untuk setiap

.

maka

Selain teorema di atas, ternyata bentuk lain dari semi hasil kali dalam atas

dari

kesamaan

(1),

dengan

mengambil limit pada t untuk didapat

dan bawah dalam kaitannya dengan section of normalized duality mapping untuk setiap

dapat dinyatakan sebagai berikut. Teorema

3.6.

Diberikan


ruang

.

Dengan cara yang sama, diperoleh

dan section

of normalized duality mapping . Untuk semua

untuk setiap

berlaku :

Teorema

3.7.

Diberikan


ruang

. Semi hasil

kali dalam atas dan bawah dari x, y

dan

X

dapat dinyatakan sebagai berikut : dan Bukti : Untuk setiap

dan

dapat diturunkan kesamaan

Bukti : semi

Dambil sebarang

hasil

kali

dalam

dan Lumer-Giles

. Diperhatikan fungsi , setiap dan skalar

dengan

untuk

. Untuk sebarang berlaku

dan

sehingga Karena


Lebih lanjut, karena

≤ x dan


42

ISSN: 2088-687X

Selanjutnya akan diberikan bentuk Diperoleh pula

Dengan

demikian

lain dari semi hasil kali dalam atas dan bawah dalam kaitannya dengan semi

Ini berakibat

hasil kali dalam Lumer-Giles melalui teorema berikut.

sehingga

Teorema 3.9.

Dengan demikian diperoleh

Diberikan

ruang


dan [.,

.]

berdasarkan

3.3, terdapat

berlaku

dan

Berdasarkan Teorema 3.4 maka Selanjutnya,

. Untuk setiap

Teorema

sehingga

Bukti : Diambil sebarang Berdasarkan

Teorema

.

3.10,

dapat

dibangun irisan dari fungsi dualitas yang Diambil sebarang section of normalized

ternormalisas

duality mapping

untuk sebarang

dengan

didefinisikan

Untuk setiap .

.

Dengan

demikian,

Teorema

dengan Selanjutnya dari

3.5

diperoleh

[.,

Dari

kedua

hasil

tersebut maka dan Dengan kata lain,

Dengan cara yang sama diperoleh

Untuk selanjutnya,

Sebelum

dilanjutkan

pada

teorema selanjutnya, terlebih dahulu akan diberikan beberapa teorema yang akan Dari teorema tersebut dan dengan menggunakan sifat dasar dari supremum dan infimum, maka dapat disimpulkan akibat sebagai berikut. Akibat 3.8. Diberikan ruang bernorma X atas lapangan R dan setiap

berlaku


Untuk

dipakai

pada

pembuktian

teorema

selanjutnya. Teorema

3.10.

( Dragomir, 2004 )

Diberikan

ruang

bernorma

X atas

lapangan

. Untuk setiap section of

normalized duality mapping J terdapat semi hasil kali dalam Lumer-Giles [., .]


ISSN: 2088-687X

43

S| | .. | | Begitu juga sebaliknya, untuk

setiap semi hasil kali dalam Lumer-Giles [., .]

S|


terdapat section of

| . | |

normalized duality mapping J . Teorema 3.11. ( Dragomir, 2004 ) Diberikan lapangan

ruang ..

bernorma

Jika

atas

smooth

membangun

smooth X atas

Bukti :

yang

S||.||

.

lapangan

bernorma . Jika [., .]

, maka untuk setiap

maka

terdapat dengan tunggal semi hasil kali dalam Lumer-Giles

Teorema 3.13. Diberikan

berlaku

Diambil sebarang

Berdasarkan

Teorema

3.7

diperoleh

Selain beberapa teorema di atas,

Selanjutnya,

dari Teorema 3.11,

ternyata ekuivalensi dari semi hasil kali

terdapat dengan tunggal

dalam atas dan bawah dalam kaitannya

karena itu

Oleh

dengan semi hasil kali dalam LumerGiles dapat dinyatakan dalam bentuk lain


sebagai berikut. Teorema

3.12.

Diberikan


ruang

Kesimpulan

dan [., .]

. Untuk setiap

Semi hasil kali dalam atas dan bawah merupakan suatu fungsi tertentu

berlaku

yang dibangun oleh norma. Lebih lanjut, sifat-sifat dari fungsi tersebut lebih lemah dari

hasil

diantaranya

kali

dalam. Beberapa

adalah dan

Bukti : Diambil sebarang Berdasarkan

Teorema

3.10,

. dapat

dibangun section of normalized duality mapping

dengan

sebarang

untuk Selanjutnya

Teorema 3.6 diperoleh

dari

untuk dengan

setiap

merupakan ruang bernorma.

Semi hasil kali dalam atas dan bawah

ini

berkaitan

erat

dengan

normalized duality mapping dan semi hasil kali dalam Lumer-Giles.

Ini

ditunjukkan oleh beberapa ekuivalensi Dari kedua hasil tersebut maka


dari definisi semi hasil kali dalam atas


44 dan

ISSN: 2088-687X bawah.

Jika

J

merupakan

normalized duality mapping pada ruang

Pustaka

bernorma , maka untuk setiap

Alsina,

terdapat

, sehingga

dan

C.,

dkk.,

2010,

Derivatives and Characterizations of

Inner

Product

Spaces,

World

Scientific

Lebih lanjut, (y, x)r, (y, x)` dapat

Singapura

dinyatakan sebagai

Publishing Co. Pte. Ltd.

dan Jika bernorma dalam

dan

semi

Lumer-Giles

membangkitkan norma setiap

ruang hasil

kali yang

, maka untuk

berlaku

Norm

Dragomir,

S.S.,

:

2004,

Semi-Inner

Products and Applications, New York : Nova Science Publishers Inc. Giles, J.R., 1967, Classes of Semi-InnerProduct Spaces, Trans. Amer.

dan


Math. Soc., 129, 436-446.


ISSN: X 35 SEMI HASIL KALI DALAM ATAS DAN BAWAH

Recommend Documents