HASIL KALI TRANSFORMASI

HASIL KALI TRANSFORMASI Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F :V→V G :V→V Maka komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai: (G o F) (P) = G[F(P)], ∀ P ∈ V Teorema : Jika F : V → V dan G : V → V masing-masing suatu transformasi maka hasil kali H = G o F : V → V adalah juga suatu transformasi. Bukti : Akan dibuktikan H = G o F suatu transformasi. Untuk ini harus dibuktikan dua hal yaitu H surjektif dan H injektif. 1) Akan dibuktikan H surjektif. Karena F transformasi maka daerah nilai F adalah seluruh bidang V, dan daerah asal G juga seluruh V sebab G suatu transformasi. Ambil y ∈ V, apakah ada x sehingga H(x) = y? Akan dibuktikan y = H(x). Karena G transformasi maka ∀ y ∈ V ∃ z ∈ V ∋ y = G(z). Karena F suatu transformasi maka pada z ∃ x ∈ V ∋ z = F(x). Maka y = G[F(x)] atau y = G o F (x). Jadi y = H(x). Jadi H surjektif. 2) Akan dibuktikan H injektif. Artinya, Jika P ≠ Q maka H(P) ≠ H(Q) ∀ P,Q ε V. Ambil P,Q ε V dan P ≠ Q. Karena F injektif maka F(P) ≠ F(Q). Jelas G(F(P)) ≠ G(F(Q)) karena G injektif. Diperoleh, Jika P ≠ Q maka G(F(P)) ≠ G(F(Q)) ∀ P,Q ε V. Jadi H injektif. Karena H surjektif dan H injektif maka H suatu transformasi. Jadi H = G o F suatu transformasi.

Catatan : Dengan jalan yang serupa dapat pula dibuktikan bahwa hasil kali F o G juga suatu transformasi.

Soal-soal 1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K. Lukislah : a). A = Mg[Mh(P)] b). B = Mh[Mg(P)] c). C = Mh[Mh(P)] d). D = Mg[Mh(K)] e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q f). Apakah Mg o Mh = Mh o Mg? Jawab:

A

a). P g Q h Mh(P) P

b).

g Mg(P) B

h P = Mh[Mh(P)] g

c).

h Mh(P)

d). P K=D g Q h R

e).

P g Q h Mh(Q) f). Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh Mg[Mh(P)] ≠ Mh[Mg(P)]. 2). Diketahui : T dan S isometri Selidiki : a). TS sebuah isometri b). TS = ST c). Jika g sebuah garis maka g’ = (TS)(g) juga sebuah garis. d). Jika g // h dan g’ = (TS)(g), h’ = (TS)(h) maka g’ // h’ Jawab : a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu transformasi Berdasarkan teorema “Jika F : V → V dan G : V → V masing-masing suatu transformasi, maka hasil kali H = G o F : V → V adalah juga suatu transformasi”, maka TS juga transformasi. Adb apakah TS isometri Ambil sebarang titik A, B ∈ V

S(A) = A’,

S(B) = B’

Karena S isometri sehingga AB = A’B’ T(A’) = A”, T(B’) = B” Karena T suatu isometri sehingga A’B’ = A”B” Dengan demikian AB = A’B’ = A”B” TS(A) = T[S(A)]

TS(A) = T[S(A)]

= T(A’)

= T(B’)

= A”

= B”

Karena AB = A”B” sehingga TS sebuah isometri. Jadi TS adalah suatu isometri. b). Adb TS = ST c). Apabila g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis” Maka g’ = TS(g) adalah sebuah garis Jadi pernyataan “jika g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis” benar. d). Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’ Karena TS

sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri

mengawetkan kesejajaran dua garis” Sehingga diperoleh g’// h’ dengan g’ = TS(g), h’ = TS(h), g // h Jadi pernyataan “Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’” benar. 3). Diketahui : garis-garis g dan h, A ∈ g, B ∈ h, C ∈ h Lukislah : a). Mg[Mh( ∆ ABC)] b). Mh[Mg( ∆ ABC)] c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D

Jawab: a).

A”

C” B”

A g C B

h C’ A’

Mh(A) = A’ Mh(B) = B’ (karena B ∈ h maka Mh(B) = B’) Mh(C) = C’ Mg(A’) = A” Mg(B’) = B” Mg(C’) = C” Jadi, Mg[Mh(∆ABC)] = ∆A”B”C” B’ b).

C’

A = A’ g C B

h

A”

B”

C”

Mg(A) = A’ = A (karena A ∈ g ) Mg(B) = B’ Mg(C) = C’ Mh(A’) = A” Mh(B’) = B” Mh(C’) = C” Jadi, Mh[Mg(∆ABC)] = ∆A”B”C” c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K Mg[Mh(K)] = K ⇔ (MgMh)(K) = K Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara garis g dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h. K

g

h d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D Karena D ∈ h maka D’ = Mh(D) = D Sehingga diperoleh Mg(R) = D Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg R g D h

4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k Lukislah : a). g’ = Mh[Mg(g)] b). g’ = Mg[Mh(g)] c). k’ = Mg[Mh(k)]

Jawab: a). g’ = Mh[Mg(g)] g' h

g

k

b). g’ = Mg[Mh(g)] Mh(g) h

g

k

g' c). k’ = Mg[Mh(k)] Mh(k) h

g k' k

5). Diketahui : dua garis g dan h yang berpotongan Lukislah : a). k sehingga Mg[Mh(k)] = g b). m sehingga Mh[Mg(m)] = g

c). n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h Jawab:

6). Diketahui : padanan S dan T sebagai berikut Daerah asal S adalah g, S(X) adalah titik tengah AX Daerah asal T adalah daerah di luar lingkaran l dan T(X) = BX ∩ l Ditanyakan : a). TS(P) b). Daerah asal dan daerah nilai TS c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q ∈ l d). Apakah ST ada? Jika ya, tentukan daerah asal dan daerah nilainya Jawab: a). Ambil P ∈ g sehingga S(P) pertengahan AP TS(P) = T[S(P)] TS(P) perpotongan lingkaran l dengan S(P) B A B

l

TS(P)

S(P)

P

g

b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daerah asal T adalah S, sementara daerah asal S adalah g. Jadi, daerah asal TS di g. Daerah nilai S adalah S(X) yaitu pertengahan AX . Daerah nilai T(X) adalah

BX ∩ l , dan untuk TS(X) maka BS(X) ∩ l = l Jadi, daerah nilai TS adalah pada lingkaran l. c). d). Ambil sebarang titik P Maka T(P) di l karena daerah hasil T di l. S[T(P)] tidak ada karena T(P) ∈ l , sementara daerah asal S di g.

Jadi, ST tidak ada. 7). Diketahui : garis g adalah sumbu X sebuah sumbu ortogonal dan h = {( x, y ) y = x}. Ditanyakan : a). Persamaan garis Mh[Mg(g)] b). P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3) c). Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1) d). R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y) e). Besarnya ∠ ROR” apabila O titik asal Jawab: a). Mh[Mg(g)] = Mh(g) = Mh ({( x,0), x ∈ R}) = {(0, y ), y ∈ R} Jadi, diperoleh Mh[Mg(g)] adalah sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal. Persamaan garis Mh[Mg(g)] adalah x = 0. b). Akan ditentukan P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3) Mh[Mg(P)] = Mh[Mg(0,3)] = Mh[(0,-3)] = (-3,0) Jadi P” = (-3,0). c). Akan ditentukan Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1) Mh(Q) = Mh(3,-1) = (-1,3) Jadi, Q” = Mg[Mh(Q)] = Mg(-1,3) = (-1,-3) d). Akan ditentukan R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y) R” = Mg[Mh(R)] = Mg[Mh(x, y)] = Mg(y, x) = (y,-x)

e). m( ∠ ROR”) = ...? R(x,y) O(0,0)

α)

R”(y,-x) Misalkan m( ∠ ROR”) = α 2

2

2

RR" = OR + OR" − 2 OR OR" cos α

(

)(

)

⇔ ( x − y ) + ( y + x ) = x 2 + y 2 + y 2 + (− x ) − 2 x 2 + y 2 y 2 + (− x ) cos α 2

2

2

(

2

)

⇔ x 2 − 2 xy + y 2 + y 2 + 2 xy + x 2 = x 2 + y 2 + y 2 + x 2 − 2 x 2 + y 2 cos α

(

)

⇔ −2 x + y cos α = 0 2

2

⇔ cos α = 0 ⇔ α = 90° atau α = 270° adi, m( ∠ ROR”) = 90°

8). Diketahui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P Buktikan : Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P Bukti : Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P ∈ g dan P ∈ h (1)

(⇒ ) Diketahui Mg[Mh(A)] = P ..........(i) Akan dibuktikan jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P Karena P ∈ g , menurut definisi pencerminan, Mg(P) = P ..........(ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh Mg[Mh(A)] = P = Mg(P) ⇔ Mh(A) = P ..........(iii) Karena P ∈ h, menurut definisi pencerminan, Mh(P) = P ..........(iv) Dari (iii) dan (iv) diperoleh Mh(A) = P = Mh(P) ⇔ A = P Jadi, jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P (terbukti)

(2)

(⇐) Diketahui A = P Akan dibuktikan jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P Karena A = P dan P ∈ h, menurut definisi pencerminan,

J

Mh(A) = Mh(P) = P Karena P ∈ g , menurut definisi pencerminan, Mg(P) = P = Mg[Mh(A)] sehingga Mg[Mh(A)] = P Jadi, jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P (terbukti) Dari (1) dan (2) diperoleh : Jika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P (terbukti) 9). Diketahui : andaikan g sumbu X dan h =

{(x, y ) y = x}

S adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut : Jika P ∈ g maka S(P) = P, jika P ∉ g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g Ditanyakan : a). Buktikan S suatu transformasi! b). Jika P = (x,y) sebuah titik sembarang, tentukan koordinat-koordinat titik S[Mg(P)]! c). Selidiki apakah S Mg = Mg S? d). Selidiki apakah S Mh = Mh S? Jawab: a). S : V → V Akan dibuktikan S bijektif (i). Akan dibuktikan S surjektif (1). Untuk P ∈ g Ambil sebarang P ∈ V Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P (2). Untuk P ∉ g Oleh karena V bidang euclide maka terdapat dengan tunggal P dengan P ∈ PT dimana T ∈ g dan PT ⊥ g Sehingga PX = XT Karena PX = XT maka X merupakan titik tengah PT Jadi, X adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g atau X = S(P), karena X = S(P) maka P prapeta dari X.

Dari (1) dan (2) diperoleh S surjektif. (ii). Akan dibuktikan S injektif Ambil sebarang P, Q ∈ V dengan P ≠ Q (1). Untuk P, Q ∈ g Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q Karena P ≠ Q maka S(P) ≠ S(Q) (2). Untuk P ∈ g dan Q ∉ g Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X ∉ g Karena P ∈ g dan X ∉ g maka P ≠ X atau S(P) ≠ S(Q) (3). Untuk P, Q ∉ g Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g dan S(Q) = X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g. Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X Karena Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g, misalkan ruas garis tersebut dinamakan PT dimana T ∈ g . Maka Y ∈ PT dan PY = YT Karena X = Y maka X ∈ PT dan PX = XT ..........(*) Karena S(Q) = X maka X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X ∈ UQ dan QX = XU ..........(**) Dari (*) dan (**) diperoleh PT dan UQ berimpit. Karena T ∈ g dan U ∈ g maka T = U dan P = Q, hal ini kontradiksi dengan P ≠ Q. b). P = (x, y) (i). Untuk P ∈ g Mg(P) = P maka S[Mg(P)] = P (ii). Untuk P ∉ g Mg(P) = (x,-y) S[Mg(P)] = ( x,−

1 y) 2

c). Ambil sebarang P = (x, y) (i). Untuk P ∈ g M g (P) = P maka S [M g (P)] = S(P) = P   S [M g (P)] = M g [S(P)] S(P) = P maka M g [S(P)] = M g (P) = P 

(ii). Untuk P ∉ g 1  y) 2   S [M g (P)] = M g [S(P)] 1 1 S(P) = ( x,− y ) maka M g [S(P)] = M g ( x,− y )  2 2  M g (P) = ( x,− y ) maka S [M g (P)] = S(P) = ( x,−

Jadi, S [M g (P)] = M g [S(P)] d). Ambil sebarang P = (x, y) (i). Untuk P ∈ g 1  M h (P) = (0, x) maka S [M h (P)] = (0, x) 2  M h [S(P)] ≠ S [M h (P)]  S(P) = ( x, 0) maka M h [S(P)] = (0, x)

(ii). Untuk P ∉ g 1  M h (P) = ( y, x) maka S [M h (P)] = ( y, x) 2  M [S(P)] ≠ S [M (P)]  h h 1 1 S(P) = ( x, y ) maka M h [S(P)] = ( y, x)  2 2  Jadi, M h [S(P)] ≠ S [M h (P)]

10). Diketahui : g =

{(x, y ) y = 0} dan h = {(x, y ) y = x}

S transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor 9) A = (2,-8) dan P = (x, y) Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut : a). Mh Mg S(A)

d). Mh S Mg(A)

b). Mg S Mh(A)

e). S2 Mh(A)

c). S Mh S(A)

f). S M2g(A)

Jawab: a). A = (2, -8) A’ = S(A)

Sesuai definisi S (jika P ∈ g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g) maka A’ adalah titik tengah garis yang melalui A dan ⊥ g. A’ = (

2 + 2 0 + (−8) , ) = (2,−4) 2 2

Jadi, S(A) = (2,-4) A” = MgS(A) = Mg(2,-4) Sesuai definisi pencerminan, maka garis g adalah garis sumbu titik (2, -4) dan A”. Misal: A” = (a, b), maka: (2,0) = (

2+a −4+b a b , ) ⇔ (2,0) = (1 + , − 2) ⇔ a = 2, b = 4 2 2 2 2

Jadi, A” = MgS(A) = Mg(2,4) A”’ = Mh(A”) = MhMgS(A) = Mh(2,4) Sesuai definisi pencerminan, maka garis h adalah garis sumbu titik (2,4) dan A”’. Misal A”’ = (a’, b’), maka: Untuk mencari titik tengah A” dan A”’ Misal titik tengah A” dan A”’ adalah W, maka W ∈ h Karena h adalah garis y = x, maka nilai absis sama dengan ordinat, gradien h = 1 Misal W = (m,m) Persamaan garis melalui A” dan W: y − 2 = − 1 ( x − 4) ⇔ y = − x + 6

(dengan gradien(m) = 1)

Subtitusikan W(m,m) pada y = − x + 6 maka m = − m + 6 ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3 Jadi, W(3,3).

11). Diketahui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus A, B, C adalah tiga buah titik, sehingga Mg(A) = B dan Mh(A) = C Ditanyakan : tentukan titik-titik a). M3g(A)

c). MhMgMhMhMg(A)

b). MhMgMh(A)

d). M2gM3h(A)

Jawab: Misalkan seperti gambar berikut:

g

A(-x,y)

B(x,y)

h

C(-x,-y)

D(x,-y)

a). M3g(A) = (MgMgMg)(A)

c). MhMgMhMhMg(A)

= (MgMg)[Mg(A)]

= (MhMgM2h)[Mg(A)]

= (MgMg)(B)

= (MhMgM2h)(B)

= Mg[Mg(A)]

= (MhMg)[M2h(B)]

= Mg(A)

= (MhMg)(B)

=B

= Mh[Mg(B)] = Mh(A) =C

b). (MhMgMh)(A)= (MhMg)[Mh(A)]

d). M2gM3h(A) = (M2gMh)[M2h (A)]

= (MhMg)(C)

= (M2gMh)(A)

= Mh[Mg(C)]

= M2g[Mh(A)]

= Mh(D)

= M2g(C)

=B

=C

12). Diketahui : dua garis, g // h, titik-titik P dan Q, P ∉ g dan P ∉ h Ditanyakan : a). Lukislah P” = MgMh(P) dan Q” = MgMh(Q)! b). Berbentuk apakah segiempat PP”QQ”? c). Buktikan pendapat anda!

Jawab: a).

g

h

MgMh(Q) = Q”

Q’ = Mh(Q) Q

MgMh(P) = P”

P

P’ = Mh(P)

b). Segiempat PP”Q”Q berbentuk jajargenjang c). g // h, P” = MgMh(P), dan Q” = MgMh(Q) Jadi, P" Q" = MgMh( PQ ) Karena pencerminan suatu isometri, maka P" Q" // PQ dan P" Q" = PQ , dengan demikian segiempat PP”Q”Q suatu jajargenjang (berdasarkan teorema “segiempat yang memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang adalah jajargenjang”).

13). Diketahui : g =

{(x, y ) y = 3},

h=

{(x, y ) y = −1},

dan k sebuah garis yang melalui

A = (1,4) dan B = (-1,-2) Tentukanlah : a). Persamaan k’ = MgMh(k) b). Luas segiempat AA”BB” apabila A” = MgMh(A) dan B” = MgMh(B) c). Koordinat P” = MgMh(P), P” = MgMh(P) apabila P = (x, y) d). Nilai α dalam persamaan garis h = {( x, y ) y = α} apabila g = {( x, y ) x = 2}, A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1) Jawab: a). k’ = MgMh(k) Karena A ∈ k dan B ∈ k , sehingga A”=MgMh(A) ∈ k dan B”=MgMh(B) ∈ k . A” = (1,12), B” = (-1,6). Misal A” = ( x1 , y1 ) dan B” = ( x 2 , y 2 ) .

Persamaan garis k’:

y − y1 x − x1 y − 12 x −1 = ⇔ = y 2 − y1 x 2 − x1 6 − 12 − 1 − 1 y − 12 x − 1 = −6 −2 ⇔ y − 12 = 3 ( x − 1) ⇔

⇔ y − 12 = 3 x − 3 ⇔ y = 3x + 9

Jadi, persamaan garis k ' : y = 3 x + 9 b). AA”B”B membentuk bangun jajargenjang dengan alas(a) = 2 dan tinggi(t) = 8. Luas = a x t = 2 x 8 = 16 Jadi, luas AA”B”B = 16 satuan luas. c). P ( x, y ) . Pencerminan titik P terhadap garis h → Mh(P) = P’ ( x' , y ' ) Karena garis h merupakan sumbu PP’, sehingga -1 merupakan titik tengah dari y dan y’: y − y' = −1 ⇔ y − y ' = −2 ⇔ y ' = − y − 2 dan x' = x 2

Jadi, koordinat titik P’(x, -y – 2) Pencerminan titik P’ terhadap garis g → Mg[Mh(P)] = P” ( x" , y" ) Karena garis g merupakan sumbu P’P”, sehingga 3 merupakan titik tengah dari y’ dan y”: y ' − y" = 3 ⇔ y ' − y" = 6 ⇔ y" = 6 − y ' ⇔ y" = 6 − (− y − 2) ⇔ y" = y + 8 2

Dan x" = x' = x Jadi, koordinat titik P”(x, y + 8) d). h = {( x, y ) y = α}, g = {( x, y ) x = 2}, A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1), berapa α? Pencerminan titik A terhadap garis g = {( x, y ) x = 2}: Mg(A) = A’ ( x' , y ' ) Karena garis g merupakan sumbu AA’ (dari definisi pencerminan), sehingga x = 2 merupakan titik tengah 5 dan x’ sedangkan y’ = 1 (tetap). 5 + x' = 2 ⇔ 5 + x' = 4 ⇔ x' = −1 2

Jadi, A’ = Mg(5,1) = (-1,1) Pencerminan titik A’ terhadap garis h = {( x, y ) y = α}: A” = Mh(A’) = Mh(-1,1) = (-3,1) Karena garis h merupakan sumbu A’A” (dari definisi pencerminan), sehingga x = α merupakan titik tengah -1 dan -3 sedangkan y” = y = 1. − 1 + (−3) = α ⇔ α = −2 2

Jadi, persamaan garis h = {( x, y ) y = 2} 14). Diketahui : dua garis, g ⊥ h, Q = g ∩ h, dan sebuah titik P ∉ g , dan P ∉ h Ditanyakan : e). Lukislah A = MgMh(P) f). Selidiki apakah Q titik tengah AP ? g). Lukislah B = MhMg(P) Jawab: a). A = MgMh(P) g Mh(P)

S

A

R Q

h

P b). Misalkan Mh(P) = P’ Maka PP' memotong h di titik R dan P' A memotong g di titik S Karena P’ adalah pencerminan dari P maka PR = RP’ dan PP' ⊥ h Karena A adalah pencerminan dari P’ maka P’S = SA dan P' A ⊥ g Karena PP' ⊥ h dan g ⊥ h maka PP' // g sehingga RP’ = QS Karena P' A ⊥g dan g ⊥ h maka P' A // h sehingga P’S = RQ Perhatikan ∆PRQ dan ∆QSA

PR = RP’ dan RP’ = QS maka PR = QS m(∠PRQ) = m(∠QSA) = 90° RQ = P’S dan P’S = SA maka RQ = SA Berdasarkan sistem aksioma kekongruenan Maka ∆PRQ ≅ ∆QSA dengan aturan S Sd S Sehingga PQ = QA Karena PQ = QA dan PQ ∈ PA dan QA ∈ PA maka Q tengah-tengah PA Jadi, titik Q pada pertengahan PA c). A = MgMh(P) g

B

h

P

Mg(P)

15). Diketahui : h adalah sumbu-X dan g sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal A = (4,-3) dan P = (x,y) Tentukanlah : a). Koordinat-koordinat MhMg(A) dan MgMh(A) b). Koordinat-koordinat MhMg(P) c). Apakah MhMg dan MgMh? Jawab: a). MhMg(A) = Mh[Mg(A)] = Mh[Mg(4,-3)] = Mh(-4,-3) = (-4,3) MgMh(A) = Mg[Mh(A)] = Mg[Mh(4,-3)] = Mh(4,3) = (-4,3)

b). MhMg(P) = Mh[Mg(x, y)] = Mh(-x, y) = (-x,-y) c). MgMh(P) = Mg[Mh(x, y)] = Mg(x,-y) = (-x, -y) Ternyata MhMg(P) = (-x,-y) = MgMh(P) Jadi, MhMg(P) = MgMh(P)