Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS Sri Maryani Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto Email :
[email protected] Abstract
Inner product is an important concept to learn the properties of geometry in the plane or space. Its can be generalized to n-inner product spaces. This paper will reprove the properties of n-inner product spaces. Keywords. Gram matrix, n-inner product space.
A. Pendahuluan
dengan
Hasil kali dalam (inner product) merupakan
konsep
.
Hasil kali dalam
tersebut dapat kita perluas menjadi hasil
penting untuk mempelajari sifat geometri
kali dalam-n ≥ 2 . Untuk = 2 , kita sebut
pada suatu bidang atau ruang. Panjang
sebagai
suatu garis dan sudut yang dibentuk oleh
merupakan
dua buah garis merupakan salah satu dari
Selanjutnya akan diuraikan secara khusus
sifat geometri. Sifat geometri diatas
proses pembuktian sifat-sifat dari ruang
dikenal juga sebagai sifat metrik.
hasil kali dalam-n.
tersebut
satu
(sekawan) dari
yang
metriks
salah
adalah konjugate
dapat
Sifat
kompleks C . Pendefinisian hasil kali
bernilai kompleks.
Sebelum dibahas mengenai hasil
kali titik (dot product).
kali
Hasil kali dalam (inner product) dari
,…,
yang
Ruang Hasil Kali Dalam Kompleks
dalam merupakan generalisasi dari hasil
=( , )
fungsi
dalam-2
B. Hasil Dan Pembahasan
n
=( ,
kali
diekspresikan
sebagai hasil kali dalam pada lapangan
dua buah vektor
hasil
,…,
dalam-n,
terlebih
dahulu
akan
diperkenalkan ruang hasil kali dalam
) dan
kompleks.
n
di C secara umum
Definisi :
didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan
adalah ruang vektor
atas lapangan kompleks C. Suatu hasil
〈 , 〉=
kali dalam pada X dapat didefinisikan sebagai pemetaan 〈. , . 〉 ∶ 215
×
⟼
,
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
, , ∈
sehingga untuk setiap ∈
untuk setiap
ISSN 1979-8911
4. 〈 , 〉 ≥ ; 〈 , 〉 = hanya jika =
dan
memenuhi sifat-sifat
atas
1. Aditif 〈 + , 〉 = 〈 , 〉+〈 , 〉
dan
hasil
kali dalam-n,
kali 〈 , 〉 〈 〈 , 〉 〈 〉≔ ⋮ 〈 , 〉 〈
,
〉 , 〉 ⋮ , 〉
adalah ruang hasil
dalam
… 〈 … 〈 ⋱ … 〈
,
maka
〉 , 〉 ⋮ , 〉
2. 〈 ,
| ,…,
hasil
permutasi ( , … ,
[1](Gunawan,2002:55).
Ruang Hasil Kali Dalam-N Kompleks
〉
〉=
〉+ 〈 , | ,…,
〉
hasil kali dalam-n pada X. Pasangan
Xn+1
( , ⟨. , . |. , … , . ⟩) disebut ruang hasil kali
pada
dalam-n.
untuk setiap , , ,
〈 , | ,…,
,
,…,
∈
dan
Untuk 〉
=1
,
penulisan
dikenal sebagai 〈 , 〉
yang merupakan hasil kali dalam pada X.
, berlaku : | ,…,
hanya jika
〉 = 〈 , | ,…,
. Suatu fungsi bernilai
⟨. , . |. , … , . ⟩
0 ; 〈 ,
〉
Kelima sifat diatas dinamakan suatu
memenuhi lima sifat di bawah ini, yaitu
1. 〈 ,
) dari (1, … , )
bilangan bulat positif
dan X adalah ruang vektor kompleks
∈
untuk setiap
〉 = 〈 , | ,…,
, | ,…,
〈 , | ,…,
≥
〉 ,
,…,
5. 〈 + , | , … ,
Definisi:
kompleks
,
3. 〈 , | , … , 4. 〈
berdimensi
|
〉=
〈
sederhana
fungsi
(2.1)
baku pada X. Gunawan mendefinisikan lebih
∈ Ν.
untuk setiap
Misalkan ( , 〈. , . 〉)
disebut sebagai hasil kali dalam-n
Misalkan
dalam-2
dalam dapat kita perumum menjadi hasil
3. Simetri 〈 , 〉=〈 , 〉
dalam-n
kali
[6](Gunawan,2000:49), konsep hasil kali
2. Homogen 〈 , 〉= 〈 , 〉
kali
dan
Berdasarkan sifat hasil kali dalam di
di bawah ini :
〈 , | ,…,
jika
Akan ditunjukkan bahwa definisi hasil
〉≥
| ,…, ,
〉 = 0 jika ,…,
kali dalam-n berlaku pada persamaan (2.1)
dan
yaitu
bergantung
linier
216
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
〈 , 〉 〈 〈 , 〉 〈 〉≔ ⋮ 〈 , 〉 〈
〈 , | ,…,
memenuhi kelima sifat hasil kali dalam-n diatas. Bukti : 1. Ambil , ,…, ∈ X sebarang,
Selanjutnya
akan
〈 ,
| ,…,
〉 = 0 jika
jika
,
[⟹]
Misalkan 〈 ,
,…,
〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
,
bahwa
… 〈 … 〈 ⋱ … 〈
, , ⋮ ,
〉 〉
≥0
〉
hanya
kontrapositif, andaikan
,
,
〉
,…,
bebas
linier, maka
〉 = 0 ,
+ ⋯+
=0
= 0 untuk setiap
(2.2)
= 1, 2, … , . Hasil kali dalam
dengan persamaan (2.2) diperoleh
〈
dapat
,…,
+ Hanya terpenuhi oleh
Gram
bergantung linier. Dengan menggunakan
bergantung linier.
akan ditunjukkan bahwa
matriks
bahwa
dan
| ,…,
〉 , 〉 ⋮ , 〉
dikatakan
〈 , 〉 〈 , 〉 〉≔ ⋮ 〈 , 〉
ditunjukkan
,
positif pada
berdasarkan (2.1) dan sifat semidefinit
〈 , | ,…,
, 〉 … 〈 , 〉 … 〈 ⋮ ⋱ , 〉 … 〈
〈 , 〈 ,
〉 〉
+〈
,
+〈 , 〉 +⋯+ 〈 , 〉 = 0 + 〈 , 〉 + ⋯+〈 , 〉 = 0 ⋮ 〉 +⋯+ 〈 , 〉 = 0 (2.3)
Persamaan (2.3) diatas dapat ditulis sebagai berikut : 〈 ,
+
+⋯+
〉=0
〈 ,
+
+ ⋯+
〉=0
⋮ 〈
,
+
+⋯+ 217
〉=0
,
,…,
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
=0;
Dengan mengalikan setiap baris ke-i pada persamaan diatas dengan = 1, 2, … ,
diperoleh
〈
,
+
+ ⋯+
〉=0
〈
,
+
+⋯+
〉=0
+⋯+
〉=0
⋮ 〈
,
+
Kemudian jumlahkan setiap baris pada persamaan tersebut, sehingga diperoleh 〈
+
+ ⋯+
,
+
〉=0
+ ⋯+
‖
+
+ ⋯+
‖ =0
‖
+
+⋯+
‖=0
Berdasarkan sifat norm diperoleh + Karena
,
,…,
= 1, 2, … , 〈 , 〉 〈 〈 , 〉 〈 ⋮ 〈 , 〉 〈
=0
(2.3) memiliki solusi trivial, sedemikian
bebas linier
yang hanya terpenuhi oleh setiap
+⋯+
= 0 untuk
sehingga
maka persamaan , 〉 , 〉 ⋮ , 〉 ≠0
… 〈 … 〈 ⋱ … 〈
〈 , | ,…,
〉≠0
,
〉 , 〉 ⋮ , 〉
bahwa 〈 , ,
,…,
| ,…,
〉 = 0.
Karena
bergantung linier, maka ∑
=0 (2.4)
Atau
Jadi ,
,…,
terbukti
bahwa,
Atau ,
,…,
dengan
kata
bergantung
,
〉≠0 lain,
jika
Misalkan linier.
Akan
,…,
dalam dengan
persamaan
diperoleh
persamaan
merupakan
sistem Karena
vektor-vektor
(2.3)
(2.4) yang
persamaan
linier
= 0 , = 1, … ,
tidak semuanya nol, maka terdapat solusi
〉=0 ,
kali
homogen.
bergantung linier maka 〈 , | ,…,
[⟹]
Hasil
jika
bebas linier maka 〈 , | ,…,
= 0 , = 1, … , .
Tidak semua
tak
,…,
ditunjukkan 218
trivial
sedemikian
sehingga
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
〈 , 〉 〈 , 〉 〉≔ ⋮ 〈 , 〉
〈 , | ,…,
〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
2. Akan ditunjukkan sifat permutasi pada
Dengan
menukarkan
baris
〉 〉
, , ⋮ ,
=0
〉
definisi (2.1) pada hasil kali dalam-n,
ruang hasil kali dalam-n. Berdasarkan
〈 , | ,…,
… 〈 … 〈 ⋱ … 〈
yaitu
〈 , 〉 〈 , 〉 … 〈 〈 , 〉 〈 , 〉 … 〈 〉≔ ⋮ ⋮ ⋱ 〈 , 〉 〈 , 〉 … 〈
ke-i
,
〉 , 〉 ⋮ , 〉
Kita peroleh determinan Gram
dengan baris ke-i+1 , i = j.
〈 ,
| ,…,
〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉 〉=− 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
… 〈 , 〉 ⋮ ⋮ 〈 … , 〉 … 〈 , 〉 ⋱ ⋮ 〈 … , 〉
Kemudian dengan menukarkan kolom ke-j dengan kolom ke-j+1, i = j , kita peroleh
〈 ,
3. Ambil
| ,…,
, ,
,…,
〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉 〉= 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
〈 ,
〉 ⋮ ,
〈 〈 ,
〉 〉
⋮ 〈
,
〉
〈 , 〉 ⋯ 〈 ⋮ ⋱ 〈 , 〉 ⋯ 〈 〈 , 〉 ⋯ 〈 ⋮ ⋱ 〈 , 〉 ⋯ 〈
∈ X sebarang, berdasarkan (2.1) diperoleh
〈 , | ,…,
〈 , 〉 〈 , 〉 〉= ⋮ 〈 , 〉 219
〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
… 〈 … 〈 ⋱ … 〈
, , ⋮ ,
〉 〉 〉
〉
, ⋮ , , 〉 ⋮ , 〉
〉
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
ISSN 1979-8911
Dengan mentranspose setiap entri dari determinan matriks Grannya diatas, kemudian ambil sekawannya diperoleh
〈 , | ,…,
〈 , 〉 〈 , 〉 … 〈 , 〉 〈 , 〉 〈 , 〉 … 〈 , 〉 〉= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 〈 , 〉 〈 , 〉 … 〈 , 〉
〈 , | ,…,
〈 , 〉 〈 〉= 〈 , 〉 〈 ⋮ 〈 , 〉 〈
〈 , | ,…, , ,
4. Ambil
,…,
∈ X
, 〉 … 〈 , 〉 … 〈 ⋮ ⋱ 〉 , … 〈
〉 = 〈 , | ,…,
sebarang dan
, 〉 , 〉 ⋮ , 〉
〉
∈ C sebarang, berdasarkan (2.1)
diperoleh 〈
, | ,…,
〈 , | ,…,
〈 , | ,…,
〈 , 〉 〈 , 〈 , 〉 〈 , 〉= ⋮ ⋮ 〈 , 〉 〈 , 〈 , 〉 〈 , 〉 〉= ⋮ 〈 , 〉
〉=
〈 , | ,…, 5. Ambil , , ,
,…,
〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
〉 〉 〉
〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉 〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
… 〈 , … 〈 , ⋱ ⋮ … 〈 ,
〉 〉
〈 , 〈 , ⋮ 〈 ,
〉 〉
… … ⋱ …
… 〈 … 〈 ⋱ … 〈
〉 = 〈 , | ,…,
,
〉
〉
〉 , 〉 ⋮ , 〉
〉
∈ X sebarang , berdasarkan definisi (2.1) diperoleh
〈 + , | ,…,
〈 + , 〉 〈 + , 〉 … 〈 + , 〉 〈 , 〉 〈 , 〉 〈 , 〉 … 〉= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 〈 , 〉 〈 , 〉 … 〈 , 〉
220
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2
〈 , | ,…,
ISSN 1979-8911
〉 〈 , 〉 〈 〈 , 〉 〈 = ⋮ 〈 , 〉 〈 〈 , 〉 〈 〈 , 〉 〈 + ⋮ 〈 , 〉 〈
〈 + , | ,…,
, , ⋮ , , , ⋮ ,
〉 = 〈 , | ,…,
〉 〉
… … ⋱ 〉 … 〉 … 〉 … ⋱ 〉 …
〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉 〈 , 〉 〈 , 〉 ⋮ 〈 , 〉
〉+ 〈 , | ,…,
〉
Terbukti bahwa hasil kali dalam-n pada persamaan (2.1) memenuhi sifat hasil kali dalam-n.
C. Kesimpulan Dan Saran
bisa menulis artikel ini dengan sebaik-
baiknya.
Kesimpulan Artikel ini menghasilkan sifat-sifat
hasil kali dalam-n.
E. Daftar Pustaka H. Gunawan, On n-inner Products, nNorms and The Cauchy Schwarz Inequality, Sci. Math.Jpn., 55(2002).53-60. Anton-Rores, Elementary Linear Algebra, John Wiley and Sons, Inc. New York, 1973. B. Jacob, Linear Algebra, W.H. Freeman and Company, New York, 1990. N. Young, An Introducton to Hilbert Spaces, Cambridge Univ Press, New York, 1988. R. Horn and C. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge Univ. Press, New York, 1985. H. Gunawan, On The Triangle Inequality for The Standard n-Norm, prosiding Konperensi Nasional X Matematika ITB.
Saran Dari hasil kali dalam-n, dapat kita
induksi menjadi Norm-n yang secara geoletri
menyatakan
paralelpipedium ,
yang
volume
dibangun
oleh
,…,
D. Ucapan Terima Kasih Pada penulisan makalah ini penulis haturkan terima kasih yang sebesarbesarnya pada Bapak Prof. Dr. Hendra Gunawan
yang
telah
memberikan
bimbingan dan ilmunya sehingga penulis
221
