Edisi Juni 2011 Volume V No. 1-2 ISSN DINAMIKA EPIDEMIK TUBERCULOSIS (TB) PADA MODEL SATU STRAIN

Edisi Juni 2011 Volume V No. 1 - 2

ISSN 1979-8911

DINAMIKA EPIDEMIK TUBERCULOSIS (TB) PADA MODEL SATU STRAIN Asep Solih Awalluddin Jurusan Matematika UIN Sunan Gunung Djati Bandung email : [email protected] ABSTRACT

This paper explains mathematical model for dynamic of tuberculosis epidemic using one strain model, with supported theorems and lemmas. One strain model is elaborated in a condition of disease-free equilibrium and unique endemic equilibrium. Keyword : Population dynamic, Tuberculosis, One strain model

berguna untuk pengendalian terhadap

A. Pendahuluan Penyakit penyakit

Tuberkulosis

adalah

beberapa

variabel

yang

berhubungan

menular

langsung

yang

oleh

kuman

TB

menjelaskan model satu strain disertai

(Mycobacterium Tuberculosis), sebagian

dengan penurunan secara matematis dari

besar kuman TB menyerang Paru, tetapi

model yang dibuat.

dapat juga mengenai organ tubuh lainnya.

2. Model Satu Strain

disebabkan

dengan

model

tersebut.

Individu-individu

Kuman ini berbentuk batang, mempunyai

Tulisan

exposed

ini

TB

sifat khusus yaitu tahan terhadap asam

mungkin mengalami periode laten dengan

pada pewarnaan, oleh karena itu disebut

masa

pula sebagai Basil Tahan Asam (BTA),

kenyataannya, banyak yang mati tanpa

kuman TB cepat mati dengan sinar

atau sebelum berkembang menjadi TBC

matahari langsung, tetapi dapat bertahan

aktif).

hidup beberapa jam ditempat yang gelap

membawa (mengidap) bakteri ini maka

dan lembab. Dalam jaringan tubuh kuman

semakin

ini dapat Dormant, tertidur lama selama

menjadi

beberapa tahun.

kekebalan kita menjadi gawat akibat

yang

berbeda-beda

Rupanya,

semakin

berkurang TBC

aktif

(pada

lama

kita

perkembangan kecuali

sistim

Kompleksitas penyebaran kuman

penyakit lain. Akibatnya, periode infeksi

dan terus berkembangnya penularan dari

sebagaimana periode secara kronologi

penderita

dan

merupakan faktor penting pada kemajuan

dikendalikan. Model matematika dibuat

penyakit. Seberapa penting faktor ini

untuk memberikan gambaran sekaligus

sebagai

perlu

diantisipasi

231

penaksir

atau

pengukur


ISSN 1979-8911

penyebaran pada tingkat populasi? Karena diperkirakan

10%

Peluang suskes kontak sehingga

individu-individu

susceptible menjadi terinfeksi sebanding

terinfeksi TBC berkembang menjadi aktif

dengan banyaknya kontak yang terjadi

selama masa hidupnya, maka aturan 10%

dan proporsi individu terinfeksi (active

menjadi sebuah ukuran yang berguna

TB). Hal ini lebih umum dan akurat

untuk pengukuran kesehatan publik kasar

penggunaanya daripada sekedar sebanding

dan menengah. Aturan ini berguna tetapi

dengan banyaknya individu terinfeksi.

pada waktu yang sama juga kurang benar.

Dengan kata lain, banyaknya individu

Hal ini diketahui bahwa kemajuan TBC

susceptible

yang

I . N

 cS

terinfeksi

tidak seragam tetapi pada kenyataannya faktor-faktor

Bentuk ini lebih banyak ditemukan pada

lainnya seperti status gizi dan/atau akses

kebanyakan model epidemik saat ini.

pada

berkaitan

erat

dengan

perawatan

lingkungan

dan

kondisi

Secara matematika diketahui dengan baik

(Bloom

1994).

bahwa jika populasi berukuran N tetap

medik

hidup

Penderita TBC laten dan aktif dapat

konstan

diobati dengan antibiotik, pengobatan ini

mendekati

mempunyai efek samping yang kadang-

asimtotik (konvergen) maka penggunaan

kadang sangat serius dan butuh waktu

tingkat infeksi yang proporsional terhadap

lama. Pembawa bakteri TBC (penderita

SI tidak merubah sifat-sifat kualitatif pada

laten)

model.

yang

tidak

mengembangkan

sepanjang sebuah

waktu

atau

konstanta

Bagaimanapun

juga,

jika secara

ketika

penyakit TBC dapat diobati dengan satu

memodelkan epidemik pada suatu negara

obat yaitu INH yang harus dilakukan

yang

selama 6-9 bulan. Pengobatan terhadap

populasi yang besar), penggunaan 

berkembang

(dengan

penderita aktif TBC memerlukan tiga obat

jumlah I N

terlihat lebih apriorit (Carlos, Feng 1996).

secara simultan selama sedikitnya 12

Oleh karena pada kenyataannya

bulan. Kurangnya pemenuhan terhadap

kebanyakan penderita TBC

obat ini merupakan masalah yang serius

melewati

masa latennya pada waktu yang sangat

yang tidak hanya menjadikannya kambuh

lama

tetapi justru dapat berkembang menjadi

dibandingkan

dengan

periode

infeksinya (masa terjangkitnya gejala-

antibiotic resistant TB (Carlos, Feng

gejala TBC dan mampu menularkan) dan

1996).

terdapat faktor pengobatan sehingga ada peluang untuk sembuh, pada bagian ini 232


ISSN 1979-8911

kami menggunakan asumsi slow route,

virgin, artinya sehat dan belum pernah

yaitu penderita TBC akan melewati masa

terserang

latennya sebelum ia menjadi aktif dan

dimasukkan satu individu penderita aktif

melibatkan

TBC untuk mengadakan kontak langsung

pengobatan

faktor

kemudian

dengan populasi ini. Gambar 1.1 adalah

permodelan ini yang juga menggunakan

model transmisi infeksi dan epidemi TBC

proporsi terinfeksi yang lebih umum.

model satu strain, dengan penjelasan

Asumsi lainnya dengan menggunakan

untuk

suatu populasi tertutup dan konstan yang

sebagai berikut :

I(t) T(t) Λ β d μ p k βs βt c re ri

s

I N

 s cS

penderita

TBC,

dalam

N(t) S(t) E(t)

pada

perkembangan

penyakit

masing-masing

notasi

adalah

= banyaknya total populasi pada waktu t, = banyaknya susceptibles pada waktu t, = banyaknya exposed TB (terinfeksi tetapi belum menular, TB pasif) pada waktu t, = banyaknya infected TB (terinfeksi dan menular, TB aktif) pada waktu t, = banyaknya treated TBC (individu terobati) pada waktu t, = tingkat rekruitmen (diantaranya: kelahiran, treated), = tingkat transmisi infeksi perkontak individu pertahun, = tingkat kematian akibat TB pertahun, = tingkat kematian secara alami (bukan karena TB) pertahun, = tingkat perkembangan cepat dari susceptible menjadi terinfeksi aktif, = tingkat perkembangan dari laten TB menjadi aktif TB, = peluang sukses transmisi infeksi pada susceptibles perkontak dengan satu individu terinfeksi menularkan per unit waktu, = peluang sukses transmisi infeksi pada treated perkontak dengan satu individu terinfeksi menularkan per unit waktu, = banyaknya rata-rata kontak per individu per unit waktu, = proporsi pengobatan pada exposed individuals per unit waktu, = tingkat pengobatan pada infectious individuals per unit waktu, = proporsi susceptible yang berhasil terinfeksi, I = banyaknya susceptible yang berhasil terinfeksi per unit waktu, N

233


ISSN 1979-8911

1 penderita aktif TB (Active Infected Hosts)

c μ

Λ

Susceptibles

βs

βt

μ

Exposed (Passive TB)

k

μ+d

Infected (Active TB)

re

ri

Treated

μ

Gambar 1.1. Transmisi Infeksi dan Epidemi TBC Model Satu Strain

Dari ilustrasi dan asumsi transmisi

sebagai model dasar dinamika epidemi TB

infeksi dan epidemi di atas dapat disusun

sebagai berikut:

suatu sistim persamaan diferensial biasa = ( ) + ( ) + ( ) + ( ),

dS I     s cS  S , dt N

234

(1.1) (1.2)


ISSN 1979-8911

dE I   s cS   t cT   (   k  re ) E , dt N

(1.3)

dI  kE  (   d  ri ) I , dt

(1.4)

dT I  re E  ri I   t cT  T , dt N

(1.5)

  sc R 0      d  ri

 k     k  re

  

Pada umumnya, sistim persamaan

(1.6)

pada sebuah populasi susceptibles, yang

diferensial di atas dikenal sebagai model

merupakan

SEIR, SEI atau lebih tepatnya SEIS, yang

banyaknya rata-rata susceptibles yang

mana individu-individu terinfeksi (laten

terinfeksi

atau menularkan) kembali lagi pada

menularkan penyakit (βsc) selama periode

susceptibles dengan pengobatan. Jika kita

penularan efektifnya (1/(μ + d + ri))

asumsikan

dengan proporsi populasi bertahan hidup

bahwa

peluang

terinfeksi

hasil

oleh

perkalian

satu

antara

orang

yang

pada periode laten (k/(μ + k + re)).

perkontak untuk klas treated sama dengan pada klas susceptibles, yaitu βs= βt, maka

Terdapat

sistim dinamik (1.1-1.5) adalah serupa

kesetimbangan

secara kualitatif dengan model SEIS.

kesetimbangan tanpa penyakit (disease-

dua

kemungkinan

(equilibria)

yaitu

free equilibrium, E0) jika R0 <1 dan

Persamaan (1.6) merupakan basic reproductive number yaitu banyaknya

kesetimbangan

kasus kedua

individu terinfeksi dan

equilibrium, E*) jika R0 >1. Carlos

menularkan oleh satu individu terinfeksi

Castillo-Chavez dan Zhilan Feng (1996)

dan menularkan (infectious individual)

telah

pada kasus pertama

sebagai berikut:

selama periode

menjelaskan

endemik

dalam

(endemic

teoremanya

penularan efektifnya ketika diperkenalkan

Misalkan tn → ∞ dan f (tn) konvergen

Lemma 1.

Misalkan

f

:

∞)

[0,

pada f ∞ atau f ∞ untuk n → ∞. Maka f ' (tn)

yang

didefinisikan sebagai

→ 0 untuk n→∞.

f   liminf f (t ), f   limsup f (t ) t 

t 

Teorema 1.

terbatas dan diferensiabel dua kali dengan

turunan

keduanya

terbatas. 235


a)

Jika R0 <1 maka kesetimbangan tanpa

penyakit

equilibrium,

Dengan menggunakan persamaan

(disease-free

0

E)

secara asimtot

b)

ISSN 1979-8911

adalah global

(2.4) lemma 1 diperoleh

stabil

0

(globally

d I  kE  (   d  ri ) I dt

asymptotically stable, g.a.s).

 (   d  ri ) I  kE

Jika R0 >1 maka kesetimbangan

 (  d  ri )I   kE

endemik tunggal (unique endemic equilibrium, secara

*

E)

asimtot

adalah lokal

 I 

stabil (locally

(2.7)

Dengan langkah serupa, pilih sebuah

asymptotically stable, l.a.s).

barisan sn → ∞ sedemikian hingga

Bukti:

E ( s n )  E  : lim sup E ( s n ),

a) Misalkan R0 <1, pilih sebuah barisan tn

sn  

→ ∞ sedemikian hingga I (t n )  I  ,

k E.   ri  d

dan

d I (t n )  0. dt

d E ( s n )  0. dt

dengan

menggunakan persamaan

(2.3) dan persamaan (2.7) diperoleh 0

d  E   s cI   (   k  re ) E  dt

  k   s c  E    (   k  re ) E     ri  d 

    k   (   k  re ) E    s c     ri  d        k  re k    s c   r  d i    k  re     s c  k       ri  d    k  re

    (  k  re ) E   

    k  re   (   k  re ) E   

 R0   k  re   (  k  re )E  Karena R0 < 1 maka R0 - 1 < 0

E∞ = E∞ = 0, dan E(t) → 0 untuk

akibatnya E∞ ≤ 0.

t→∞ .

Dan karena E : lim inf E(s n )  0

Jika E∞ = 0 maka pada persamaan

sn 

(2.7)

maka diperoleh

I∞

≤

0.

I  : lim inf I (t n )  0 tn 

236

Dan

karena maka


ISSN 1979-8911

diperoleh I∞ = I∞ = 0, dan I(t) → 0

Karena

untuk t→∞ . penjumlahan

persamaan-persamaan

kita hanya dapat menganggap solusi untuk

(2.2-2.5)

sistim

d N    N  dI . dt

maka

(2.1-2.5) N



N  N  

Dengan

N (u n )  N  : lim inf N (u n ),

globally

u n 

d N (u n )  0. dt

  .

 . 

E0

adalah

stable

(g.a.s)

demikian,

asymptotically

  E 0   ,0,0  .b) Misalkan R0 >1, dengan   asumsi bahwa βt = βs = β maka sistim

d N     N   dI   0 dt

persamaan

(2.2-2.3)

ekivalen

sistim:

 N     dI   

 . 

d N    N  dI dt dE I  c ( N  E  I )  (   k  re ) E , dt N dI  kE  (   d  ri ) I , dt

endemik

tunggal

E* 

  d  ri I* k

I* 

k ( R0  1) N*, R0

(unique endemic equilibrium) untuk sistim persamaan ini diberikan oleh E* = (N*, E*, I*)

dan     d  ri  k .

dengan

N* 

Jadi

dengan titik kestabilan diberikan dengan

Dan dengan lemma 1 diperoleh

Ekuilibrium

dengan

diperoleh

sedemikian hingga

 N 

persamaan

N (t )    ,

Pilih sebuah barisan un → ∞

dan

N ( t )  0 untuk N    ,

sehingga, tanpa mengurangi keumuman,

Selanjutnya,

memberikan

d dt

R0  dk ( R0  1)  R0

Perhatikan bahwa

237

dengan


ISSN 1979-8911

Untuk menyusun matriks Jacobian

N * E * I * 1  . N* R0

dari sistim persamaan ini diperlukan:  d     N  dI     ,  N  N  dt  N

 d     N  dI   0 ,  N  E  dt  E d    N     N  dI   d , I  dt  I 2   dE  I    c( E  I ) 2   cE I 2   c I 2 N  dt  N N N

I I   c   cE N N I I  E   c   c 1   N N N  c

I I2   c N2 N2 I   N

I I N E I   c     N NN N N I I N EI   c  c   N N N  I c I c I  c   ( R0  1)  a(R0  1) , N R0 N R0 N  c

  dE   I      c    k  re   (aR0    k  re ), E  dt   N    dE  E I I  E    c  c  2c  c1   2  I  dt  N N N  N I I  I  N E N EI   c       c   N N N N N N 

 1 I  c I c   c      c   aR 0 , N R0  R0 N  R0

  dI    dI    dI     0,    k ,    (  d  ri ) . N  dt  E  dt  I  dt  Sehingga matriks Jacobian untuk sistim persamaan di atas:

   0 d   c J  a( R0  1)  (aR0    k  re )  aR0  R0    0 k  (  d  ri ) 238


ISSN 1979-8911

dengan tr ( J )  (   ) ( aR 0    k  re )  (   d  ri )   0 , dan

 c  D ( J )  (   ) aR 0    k  re   d  ri   da ( R 0  1) k     aR 0  k  0 .  R0  Polinomial karakteristik J:

p( )  3  aR0  3  k  re  d  ri 2 

aR 0 ( 2   k  ri  d )   ( 2   k  re

 d  ri )  

 aR 0 (   k  ri  d )  kad ( R 0  1)

 3  A 2  B  C  0. Karena R0 >1 maka A,B,C > 0 dan AB > C. Determinan-determinan Hurwitz:

A C 0 A C 1  A ,  2  , 3  1 B 0 1 B 0 A C Sehingga a0 = 1 > 0, ∆1 = A > 0, ∆2

 cS

2

= AB - C > 0, ∆3 = ABC – C = (AB – C)

  sc strain R 0      d  ri

C > 0 yang memenuhi kestabilan RouthHurwitz,

artinya

E*

adalah

I . Rumusan R0 untuk model satu N

locally

 k     k  re

  

asymptotically stable (l.a.s). C. Referensi Brian M. Murphy, Benjamin H. Singer, Denise Kirschner (2002) On treatment of tuberculosis in heterogeneous pupulations, Journal of Theoretical Biology. www.elsevier.com/locate/jtbi. Science Direct YJTBI 3243:1-14. www.sciencedirect.com. Carlos Castillo-Chavez, Baojon Song (2002) An Overview of Dynamical Models of Tuberculosis: 10-17. Carlos Castillo-Chavez, Zhilan Feng (1997), To treat or not to treat: the case of tuberculosis, SpringerVerlag, J Mol Med 35:629-656. Dinas Kesehatan Jakarta, Indonesia: www.infeksi.com, www.dikes.org E. Jung, S. Lenhart, Z. Feng (2002) Optimal Control of Treatment in A Two-Strain Tuberculosis Model,

B. Simpulan Model satu strain adalah model dengan peluang

memberikan suskes

asumsi

kontak

bahwa sehingga

susceptible menjadi terinfeksi sebanding dengan banyaknya kontak yang terjadi dan proporsi individu terinfeksi (active TB). Hal ini lebih umum dan akurat penggunaanya

dari

pada

sekedar

sebanding dengan banyaknya individu terinfeksi. Dengan kata lain, banyaknya individu susceptible yang terinfeksi adalah

239


ISSN 1979-8911

Discrete and Continuous Dynamical System Series B Volume 2 No. 4: 473-482. http://AIMsciences.org. F.G.Gantmacher (1960), The Theory of Matrices, Volume I, Chelsea Publishing Company, NY: 125-126. F.G.Gantmacher (1964), The Theory of Matrices, Volume II, Chelsea Publishing Company, NY: 194-195, 220-221. Jan Medlock (2002) Mathematical Modeling of Epidemics: 1-23. O. Diekmann, J.A.P. Heesterbeek. Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases; Model Building, Analysis and Interpretation, John Wiley & Son, Ltd.: 3-62, 177-220.

Press

release

WHO: www.who.org, www.whosea.org, www.who.int Sally M. Blower, Julie L. Gerberding, (1998) Understanding, predicting and controlling the emergence of drug-resistant tuberculosis: a theoretical framework, SpringerVerlag, J Mol Med 76:624-636. Tuen Wai Ng, Gabriel Turinici, Antoine Danchin (2003) A double epidemic model for SARS propagation, BMC Infectious Diseases, BioMed Central: 1-16. http://www.biomedcentral.com/14172334/3/19.

Z. Feng, M. Iannelli, F.A. Milner (2002) A Two-Strain Tuberculosis Model with Age of Infection, SIAM J. Appl. Math. Vol. 62, No. 5: 16341656.

240

Edisi Juni 2011 Volume V No. 1-2 ISSN DINAMIKA EPIDEMIK TUBERCULOSIS (TB) PADA MODEL SATU STRAIN

Recommend Documents