BANGUN GEOMETRI
A. Titik, Garis, dan Bidang Suatu titik menyatakan letak atau posisi dari sesuatu yang tidak mempunyai ukuran, maka titik tidak mempunyai ukuran. Dikatakan bahwa titik berdimensi nol (tak berdimensi). Dalam pembelajarannya, titik dapat digambar sebagai noktah, dan dapat dimodelkan dengan suatu benda yang berukuran bulat kecil. Titik diberi nama dengan satu huruf kapital, misalnya titik A, titik P, titik M.
.A
.M .P
Garis hanya mempunyai satu ukuran (dimensi), yaitu panjang. Garis tidak mempunyai tebal (tebalnya nol satuan). Garis berdimensi satu.Suatu garis digambar hanya sebagian (sepotong) saja tetapi maksudnya tak terbatas (Garis tidak mempunyai ujung). Garis diberi nama dengan satu huruf kecil atau dua huruf kapital. A m
B
Bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik disebut ruas garis. A
Q
B
P
__ Ruas garis AB ditulis dengan notasi AB __ Ruas garis PQ ditulis dengan notasi PQ Bagian dari garis yang berujung pada satu titik dan bagian lain tidak berujung disebut sinar. Menggambar suatu sinar dapat dimulai dari suatu titik dan menuju arah tak
terbatas yang ditandai dengan tanda anak panah. Titik tersebut dinamakan titik pangkal. Q
D
B
C
A P Suatu bidang (maksudnya bidang datar) dapat diperluas seluas-luasnya. Bidang digambarkan sebagai suatu kurva tertutup sederhana. Sebuah bidang dapat diberi nama dengan satu huruf Yunani seperti: , , , , …. dan seterusnya, atau dengan huruf-huruf kapital sesuai dengan nama-nama titik-titik sudut bidang itu, misalnya bidang ABCD, biang PQRST.
R D
C S
Q Bidang
A
BT P
Titik, garis, dan bidang merupakan objek geometri yang bersifat abstrak, namun dalam pembelajarannya dapat digunakan benda-benda konkret. Misalnya titik dapat dimodelkan dengan buah atau benda lain yang berbentuk bulat kecil sebesar kelereng atau lebih kecil lagi. Ruas garis dapat dimodelkan dengan sebatang lidi atau tongkat. Sebuah bidang dapat dimodelkan dengan sebuah triplek atau benda-benda lain yang tipis dan lebar. 1. Titik dan Garis Jika titik-titik terletak pada satu garis (lurus), dikatakan titik-titik tersebut koliner. Dan garis-garis yang melalui satu titik yang sama disebut konkuren. Kedudukan suatu titik terhadap suatu garis dapat terjadi kemungkinan berikut. (1) Titik terletak pada garis. Misalkan titik P terletak pada garis n. n
.P
(2) Titik berada di luar garis Misalkan titik E di luar garis p. p
.E
2. Dua Garis Kedudukan dua garis pada bidang dapat terjadi sebagai berikut. (1) Dua buah garis sejajar. Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu tidak mempunyai titik persekutuan, tetapi sebidang. Misalnya garis m n. m n
(2) Dua garis berpotongan Dua garis dikatakan berpotongan jika kedua garis itu mempunyai tepat satu titik Persekutuan. Dua garis yang berpotongan selalu sebidang.
a
b
Garis a dan b berpotongan di titik P. Titik P disebut titik potong.
P
(3) Dua garis berimpit Pada dua garis yang berimpit semua titik pada masing-masing garis itu merupakan titik persekutuan dari kedua garis tersebut.
B. Sudut Sudut dapat dibentuk dari dua sinar yang titik pangkalnya berimpit. Suatu sudut diberi nama dengan: (a) satu huruf kapital sesuai dengan nama titik sudutnya. (b) Tiga huruf kapital, nama titik sudutnya ditulis di tengah di antara dua huruf yang lain. C K N
A
B
L
Pada gambar di atas, huruf A dan K adalah nama titik sudut, maka tempat penulisannya harus di tengah. Misalnya : (a) BAC, CAB, atau A; dan (b) MKN, NKM, dan K. Satuan besar sudut dapat dinyatakan dalam derajat atau dalam radian. Satuan besar sudut dalam derajat dapat diukur dengan alat busur derajat. Jika pusat suatu lingkaran dibagi menjadi empat bagian sama besar maka setiap bagian sudut pusat tersebut besarnya 90 atau /2 radian. Sudut yang besarnya 90 disebut sudut siku-siku. Macam-macam sudut: (a) Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90 . (b) Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya antara 0 dan 90 derajat. (c) Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya antara 90 dan 180 derajat. (d) Sudut lurus, yaitu sudut yang kedua kakinya membentuk garis lurus, atau sudut yang besarnya 180 .
Sudut siku-siku B
Sudut lancip L
Sudut tumpul
K
Sudut lurus Dua sudut yang jumlah besarnya 90 disebut saling berpenyiku. A = 65 dan B = 35 dikatakan saling berpenyiku karena 65 + 35 = 90 .
Dua sudut yang jumlah besarnya 180 disebut saling berpelurus. P = 86 dan K = 94 saling berpelurus karena jumlahnya 86 + 94 = 180 . Sudut yang besarnya lebih dari 180 disebut sudut refleks.
Sudut Refleks
C. Segibanyak Kurva tertutup sederhana yang terbentuk dari tiga atau lebih ruas garis dan membatasi suatu daerah cembung (konveks) disebut segibanyak (poligon). Berikut adalah contoh poligon.
Segi-3
Segi-4
Segi-5
Segibanyak yang semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar disebut segibanyak beraturan. Segitiga beraturan disebut juga segitiga samasisi, segiempat beraturan disebut juga persegi (bujursangkar). Ada segienam beraturan, segitujuh beraturan, dan lain-lain. (1) Segitiga Ada tiga macam segitiga menurut sifat sisi-sisinya, yaitu segitiga samakaki, segitiga samasisi, dan segitiga sebarang.
Segitiga samakaki
segitiga samasisi
segitiga sebarang
Segitiga samakaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang. segitiga samasisi yaitu segitiga yang semua sisinya sama panjang. Segitiga samasisi juga merupakan segi-3 beraturan. Menurut sifat sudutnya ada tiga macam segitiga, yaitu segitiga siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul.
Segitiga siku-siku
Segitiga lancip
Segitiga tumpul
Ada segitiga siku-siku samakaki, dan ada segitiga siku-siku sembarang. Ada segitiga lancip samakaki, ada segitiga lancip samasisi, dan ada segitiga lancip sembarang. Pembaca dipersilakan membuat sendiri gambar segitiga-segitiga tersebut. (2) Segiempat Segiempat istimewa dapat dibedakan menjadi tiga macam, yaitu layang-layang, jajargenjang, dan trapesium.
Layang-layang
Trapesium
Jajargenjang
Layang-layang adalah segiempat yang mempunyai sepasang-sepasang sisi berdampingan yang sama panjang. Jajargenjang adalah segiempat yang sepasang-sepasang sisinya sejajar. Trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar. Catatan: Ada sekelompok matematisi yang mendefinisikan trapesium sebagai segiempat yang mempunyai sepasang sisi sejajar. Berdasarkan definisi
tersebut, berarti jajargenjang merupakan trapesium. a. Layang-layang Sifat layang-layang: (1) Mempunyai sepasang-sepasang sisi yang berdampingan sama panjang (2) Paling sedikit ada dua sudut yang sama besar (3) Diagonal-diagonalnya saling tegaklurus.
Layang-layang yang semua sisinya samapanjang disebut belahketupat. Layang-layang yang semua sisinya samapanjang dan sudut-sudutnya siku-siku disebut persegi (bujursangkar). b. Jajargenjang Sifat-sifat jajargenjang: (1) Sepasang-sepasang sisinya sejajar (2) Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang (3) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar (4) Dua sudut yang tidak berhadapan jumlahnya 180 . Perhatikan gambar berikut. D
A
C
B
DC AB dan AD BC DC = AB dan AD = BC DAB = BCD atau A = C ADC = ABC atau D = B A + D = 180 A + C = 180 B + C = 180 D + C = 180
Jajargenjang yang semua sisinya sisinya sama panjang disebut juga belah ketupat. Jajargenjang yang sudut-sudutnya siku-siku disebut juga persegipanjang. Jajargenjang yang semua sisinya sama panjang dan sudut-sutunya siku-siku disebut juga persegi (bujursangkar). c. Trapesium Sifat-sifat trapesium: (1) Mempunyai tepat sepasang sisi sejajar, yaitu sisi alas dan sisi atas. (2) Jumlah sudut alas dan sudut atas yang sepihak adalah 180 . D
A
C
B
Perhatikan trapesium ABCD di samping! DC AB D + A = 180 B + C = 180
Trapesium yang mempunyai sudut siku-siku disebut trapesium siku-siku. Trapesium yang sisi-sisi tegaknya sama panjang disebut trapesium samakaki. Pada trapesium samakaki, kedua sudut alasnya sama besar.
Trap. Siku-siku
Trap. Samakaki
Jajargenjang
d. Belahketupat Belahketupat adalah segiempat yang semua sisinya samapanjang. Belahketupat merupakan layang-layang yang bersifat khusus, maka semua sifat layang-layang juga berlaku pada belahketupat. Belahketupat merupakan jajargenjang, maka semua sifat jajargenjang juga berlaku pada belahketupat. Belahketupat merupakan trapesium yang bersifat khusus, karena pada belahketupat terdapat sepasang sisi yang sejajar meskipun secara khusus sepasang sisi yang lain juga sejajar, dan semua sisi sama panjang.
Sifat-sifat belahketupat: (1) Semua sisinya sama panjang (2) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar (3) Dua sudut yang tidak berhadapan jumlahnya 180 . (4) Sepasang-sepasang sisinya sejajar (5) Diagonal-diagonalnya saling tegakurus (6) Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang (7) Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal yang membagi sudut itu Belahketupat yang sudut-sudutnya siku-siku disebut juga persegi (bujursangkar). e. Persegipanjang Persegipanjang adalah segiempat yang semua sudutnya siku-siku. Persegipanjang dapat dipandang sebagai jajargenjang yang sudut-sudutnya siku-siku, dapat pula dipandang sebagai trapesium siku-siku samakaki.
Sifat-sifat persegipanjang: (1) Semua sudutnya siku-siku (2) Sepasang-sepasang sisinya sejajar dan sama panjang (3) Kedua diagonalnya sama panjang (4) Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang Persegipanjang yang panjang dan lebarnya sama disebut juga persegi (bujursangkar).
Semua sifat jajargenjang juga berlaku pada persegipanjang. Semua sifat trapesium juga berlaku pada persegipanjang, karena persegipanjang merupakan trapesium yang istimewa, yaitu trapesium siku-siku samakaki. f. Persegi Persegi atau bujursangkar adalah segiempat yang semua sisinya sama panjang dan sudut-sudutnya siku-siku. Bujursangkara dapat dipandang sebagai layang-layang, Jajargenjang, maupun trapesium. Persegi dapat dipandang sebagai trapesium siku-siku samakaki yang panjang sisi tegaknya sama dengan panjang alasnya. Sifat-sifat persegi (bujursangkar): (1) Semua sudutnya siku-siku (2) Semua sisinya sama panjang (3) Sepasang-sepasang sisinya sejajar (4) Kedua diagonalnya sama panjang (5) Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang (6) Kedua diagonalnya saling tegaklurus (7) Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal yang membagi sudut itu
D. Lingkaran Suatu segi-n dengan nilai n besar tak hingga dapat dipandang sebagai suatu lingkaran. Lingkaran dapat dipandang sebagai kumpulan semua titik yang berjarak sama terhapap suatu titik tertentu. Unsur-unsur pada lingkaran antara lain: - Jari-jari (radius) - Garis tengah (diameter) - Sudut pusat - Sudut keliling - Busur - Talibusur - Apotema - Juring - tembereng Jari-jari (radius = r) adalah ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada lingkaran dengan titik pusat lingkaran itu. Garistengah (diameter) adalah ruasgaris yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran itu. Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut talibusur. Jadi diameter adalah talibusur yang melalui titik pusat lingkaran. Apotema adalah ruasgaris yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan titik tengah suatu talibusur pada lingkaran itu.
Apotema dapat juga diartikan sebagai ruasgaris yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan dengan talibusur dan tegaklurus terhadap talibusur itu. Juring lingkaran adalah bagian dari daerah lingkaran itu yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang menghubungkan salah satu ujung kedua jari-jari itu. Tembereng adalah bagian dari daerah lingkaran yang dibatasi oleh suatu busur dan talibusurnya.
E. Simetri Dua macam simetri adalah simetri cermin dan simetri putar. Suatu bangun dikatakan mempunyai simetri cermin (simetris) jika dapat dilipat hingga bagian yang satu dapat dengan tepat menutup bagian yang lain.Garis lipatannya dinamakan sumbu simetri. Berikut adalah contoh bangun-bangun yang mempunyai simetri cermin (bangunbangun yang simetris).
Segitiga beraturan (segitiga samasisi) mempunyai tiga sumbu simetri, segiempat beraturan (persegi) mempunyai empat sumbu simetri, dan layang-layang mempunyai satu sumbu simetri. Suatu bangun dikatakan mempunyai simetri putar jika ada titik pusat pemutaran bangun tersebut dan dengan putaran kurang dari satu putaran penuh (360 ) posisi bangun tersebut dapat seperti semula . Segitiga samasisi dapat diputar 1/3 putaran, 2/3 putaran, dan satu putaran penuh agar posisinya seperti posisi semula. Karena adanya tiga cara pemutaran tersebut maka dikatakan bahwa segitiga samasisi mempunyai simetri putar tingkat tiga. Persegi mempunyai simetri putar tingkat empat, dan segienam beraturan mempunyai simetri putar tingkat enam. Lingkaran mempunyai simetri putar tingkat tak hingga. Bangun-bangun yang tidak dapat diputar kurang dari satu putaran penuh untuk posisi seperti semula dikatakan
tidak mempunyai simetri putar; dan dikatakan bahwa tingkat simetri putarnya adalah tingkat satu.
F. Pengubinan Suatu daerah bangun segibanyak yang dapat disusun dengan bangun-bangun lain yang kongruen dengan bangun itu sehingga tanpa saling menindih dapat menutup bidang (datar) dengan sempurna disebut ubin. Proses penyusunan ubin-ubin sehingga menutup bidang secara lengkap (komplet) disebut pengubinan. Ukuran sudut dalam segibanyak-segibanyak yang membentuk ubin haruslah merupakan pembagi dari 360 .
G. Bidang Koordinat Dalam bahasan ini akan dibicarakan dua sistem koordinat pada bidang, yaitu koordinat Kutub (koordinat Polar) dan koordinat Cartesius. (1) Koordinat Polar N(6, 45 ) 6
P(r,
)
r
45 Posisi suatu titik pada koordinat polar ditentukan oleh jarak titik itu terhadap pusat koordinat dan besar sudut yang dibentuk oleh garis hubung titik itu dengan pusat koordinat dan sumbu koordinat (Posisi sumbu koordinat adalah mendatar dari titik pusat koordinat ke arah kanan). (2) Koordinat Cartesius Sumbu koordinat Cartesius terbentuk dari sumbu absis (sumbu x) dan sumbu ordinat (sumbu y). Sumbu absis biasanya mendatar/horizontal, sedangkan sumbu ordinat biasanya vertikal. Letak (posisi) suatu titik pada bidang Cartesius ditentukan oleh absis dan ordinat dari titik itu. y
x
P(a,b) a = absis b = ordinat x = sumbu absis y = sumbu ordinat
Jarak antara titik A(x1,y1) dan titik B (x2,y2) pada bidang Cartesius dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut. d
( x1
x2 ) 2
( y1
y2 ) 2
Contoh: Tentukanlah jarak antara titik A(2,3) dan titik B(5,7) pada bidang Cartesius. Jawab: Titik A(2,3) berarti x1 = 2 dan y1 = 3 Titik A(5,7) berarti x2 = 5 dan y2 = 7 (5 2) 2
d
(7 3) 2
9 16 25 5
H. Bangun Ruang Pada dasarnya pembelajaran bangun ruang menggunakan strategi yang tidak jauh berbeda dengan pembelajaran bangun bidang. Penggunaan alat peraga atau modelmodel yang konkret sangat membantu kelancaran siswa ketika mempelajari bangun ruang. Ada satu hal yang perlu diperhatikan, yaitu bahwa siswa perlu dilatih untuk mampu memiliki daya tilik ruang yang baik. Menurut teori belajar piaget, anak sekolah tingkat dasar yang masih dalam tahap perkembangan operasi konkret memerlukan sarana benda konkret untuk memahami konsep geometri, apalagi untuk memahami bangun ruang. Menurut Van Hiele, anak akan melalui lima tahap perkembangan dalam belajar geometri, yaitu sebagai berikut. (a) tahap pengenalan dan penamaan gambar-gambar (b) tahap penggambaran sifat-sifat (c) tahap klasifikasi dan generalisasi bangun melalui sifatnya (d) tahap pengembangan bukti melalui aksioma dan definisi. (e) Tahap dimana individu mampu bekerja dalam berbagai sistem geometri (tahap rigor).
1. Pojok, Rusuk, dan Sisi Untuk mengenal istilah pojok (titik sudut), rusuk, dan sisi, dapat diperhatikan gambar berikut. H G Bangun di samping adalah balok ABCD.EFGH. Bangun tersebut memiliki delapan pojok atau E F delapan titik sudut, yaitu titik A, titik B, titik C, titik D, titik E, titik F, titik G, dan titik H. D C Bangun tersebut mempunyai 12 rusuk, yaitu AB, BC, DC, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG, A B dan DH. Bangun tersebut mempunyai enam sisi, yaitu sisi ABCD, sisi EFGH, sisi ABFE, sisi DCGH, sisi ADHE, dan sisi BCGF. 2. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Bidang Kedudukan titik terhadap bidang dapat seperti berikut. (a) Titik terletak pada bidang (b) Titik terletak di luar bidang Kedudukan garis terhadap bidang dapat seperti berikut. (a) Garis terletak pada bidang (b) Garis menembus bidang, yaitu garis dan bidang itu mempunyai satu titik persekutuan Kedudukan dua garis dalam ruang dapat sebagai berikut. (a) Dua garis saling sejajar (b) Dua garis saling berpotongan (c) Dua garis saling bersilangan: Dua garis yang tidak mempunyai titik persekutuan dan tidak sebidang dikatakan saling bersilangan.
m
Garis m dan n saling bersilangan. n
3. Kedudukan antara Dua Bidang Kedudukan dua bidang dalam ruang dapat sebagai berikut. (a) Dua bidang saling sejajar, yaitu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. (b) Dua bidang saling berpotongan, yaitu mempunyai satu garis perpotongan.
(c) Dua bidang yang berimpit, yaitu setiap titik pada masing-masing bidang itu merupakan titik persekutuan dari kedua bidang tersebut. 4. Sudut dalam Ruang Sudut antara garis dan bidang yaitu sudut yang dibentuk oleh garis itu dengan proyeksinya pada bidang dimaksud. Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis, satu garis terletak pada bidang yang satu, garis yang kedua terletak pada bidang yang kedua dan kedua garis itu masing-masing tegaklurus terhadap garis potong kedua bidang dimaksud. 5. Bidang Banyak Pada bidang kita kenal istilah poligon atau segi-n, pada ruang kita kenal istilah polihedron atau bidang-n, yaitu gabungan dari daerah-daerah segi-n yang setiap dua sisi dari setiap dua bidang selalu berimpit sehingga bidang-bidang itu menutup tanpa celah sebuah ruangan. Beberapa polihedron adalah sebagai berikut. (a) Kubus (b) Balok (kotak) (c) Prisma (d) Limas (e) Silinder (tabung) (f) Kerucut (g) Bola
Kubus
Balok
Limas
Silinder
Prisma
Kerucut
Bola
Rujukan Matematika, oleh Herman Hudoyo dan Akbar Sutawidjaja. Depdikbud Dirjen Dikti BP3GSD. 1996/1997. Hal 104-119. Tugas/Latihan 1. Jelaskanlah perbedaan garis, ruas garis, dan sinar dengan cara menggambar masing-masing bangun tersebut. 2. Gambarlah sebuah sudut kemudian berilah nama dengan dua cara. 3. Gambarlah sebuah lingkaran, gambar unsur-unsurnya kemudian sebutkan unsurunsur lingkaran sesuai dengan gamra yang telah Saudara buat itu. 4. Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat. (a) A(4,60º) (b) P(7,45º) (c) M(5,135º) (d) R(5, 270º) 5. Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat. (a) A(4,6) (b) P(-7,5) (c) M(6,-4) (d) R(-5, -8) 6. Pada pertanyaan no.5, tentukanlah jarak antara: (a) titik A dan P
(b) titik P dan M (c) titik P dan R (d) titik M dan R 7. Sebutkan sifat-sifat bangun geometri berikut. (a) trapesium (b) layang-layang (c) persegipanjang (d) jajargenjang 8. Gambarlah sebuah balok, kemudian sebutkan unsur-unsurnya. 9. Gambarlah sebuah silinder, kemudian sebutkan unsur-unsurnya. 10. Sebutkanlah unsur-unsur kerucut. 11. Jelaskanlah secara tertulis yang dilengkapi dengan gambarnya, arti dari dua garis yang bersilangan.
