KEGIATAN BELAJAR III SUDUT ANTARA DUA BIDANG (YANG BERPOTONGAN) A. Pengantar
G H
M L Q C
D T
P A
K E
N
B F Gambar 3.2
Telah dipahami bahwa sudut terbentuk oleh dua sinar garis. Bagaimana sudut dalam ruang dimensi tiga? Bagaimana menentukan sudut antara dua bidang? Pada Gambar 3(i), mana sudut antara bidang ABCD dan EFGH? Sudut HKA, sudut HKB, sudut MTP, atau lainnya yang umumnya tidak sama besar satu dengan lainnya? Pada KB 1 telah disepakati bahwa sudut antara dua unsur sudut terkecil antara dua sinar garis yang bersangkutan dengan dua unsur ruang (garis-garis, garis-bidang, bidang-bidang) yang tersebut. Jika kedua unsurnya adalah bidang, maka yang mewakili adalah garis yang terletak pada masing-masing bidang tersebut. Jadi sudut antara bidang H dan bidang V dapat digambarkan sebagai sudut antara sebuah garis pada H dan sebuah garis pada bidang V yang masing-masing mewakili kedua bidang tersebut sedemikian sehingga sudutnya adalah yang terkecil. Berikut akan disampaikan sudut antara dua bidang yang berpotongan.
C
B. Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan V
B Seberapa
jauh
terbukanya
pintu,
W
seberapa T P
kemiringan atap terhadap kedudukan langit-langit rumah, dan masih banyak lagi, terkait dengan
K
E
α P R
Q Q
D
ukuran besar sudut antara dua bidang. A Idealisasinya sebagai berikut:
F Gambar 3.2
AK:Sudut bahan e-learning KB 3
1
↔
Misalkan bidang V dan W berpotongan pada garis AB (bidang V = bidang ABCD, bidang ↔
W = bidang ABEF, sehingga (V, W) = AB ). Jika sebuah bidang K memotong tegaklurus garis potong antara bidang V dan W, maka bidang K dinamakan bidang tumpuan antara bidang V dan W. Karena bidang K ⊥ V dan K ⊥ W, maka bidang K ⊥ (V, W), sehingga diperoleh bahwa (V, W) ⊥ (K, V) dan (V, W) ⊥ (K, W). Sudut antara garis (K, V) dan (K, W) dinamakan sudut tumpuan antara bidang V dan W. Besar sudut antara bidang V dan W ditentukan oleh besar sudut tumpuan antara kedua kedua bidang. Pada Gambar 7, sudut yang dimaksud adalah sudut PTQ. Jadi untuk menentukan besar sudut antara dua bidang V dan W dapat dilakukan sebagai berikut: ↔
(1) Tentukan (V, W) (dalam Gambar 3.2: AB ) (2) Pilih sembarang titik T pada (V, W) ↔
(3) Pada bidang V tarik garis TQ ⊥ (V, W) ↔
(4) Pada bidang W tarik garis TP ⊥ (V, W) maka: besar ∠(V, W) = ∠PTQ Jika besar ∠(V, W) = 90o, dikatakan V ⊥ W Misalkan sebuah garis g ⊥ bidang H di P (Gambar 3.3), dan sebuah bidang V melalui g. Melalui titik
g
V P
h H
P pada bidang H dilukis garis H ⊥ (H, V). Maka sudut tumpuan antara bidang H dan V adalah sudut antara g dan h. Karena g ⊥ H maka g ⊥ h. Jadi besar sudut tumpuan tersebut 90o. Dapat
Gambar 3.3
dinyatakan pula bahwa V ⊥ H. . Jadi: Jika garis g ⊥ bidang H, maka setiap bidang V melalui g tegak lurus bidang H.
AK:Sudut bahan e-learning KB 3
2
H
Contoh Pada kubus ABCD.EFGH (Gambar 3.4):
G
S F
E
Jika sudut antara bidang AFH dan CFH = α, berapakah cos
T O
R
α?
P
D C
Q
↔
A
Jawab: (AFH, CFH) = FH . ↔
Gambar 3.4
↔
B
∆AFH sama sisi dan S titik tengah FH . Jadi AS ⊥ FH ………(1) ↔
↔
∆CFH sama sisi dan S titik tengah FH . Jadi CS ⊥ FH ………(2) Jadi sudut tumpuan antara bidang AFH dan CFH adalah ∠ASF, besarnya = α. Pada ∆ASF: cos α =
AS 2 + CS 2 − AS 2 ; 2. AS .CS misalkan AB = 2a, maka AC = 2a√2, AS = CS = a√6
cos α =
6 a 2 + 6 a 2 − 8a 2 2× a 6 × a 6 =
4a 2 12a 2
=
1 3
T
1 Jadi cos ∠(AFH, CFH) = 3 Contoh T.ABCD adalah sebuah limas segi-4 beraturan
D
(Gambar 10): AB = 6 cm, tinggi limas = 6 cm. Tentukan tan ∠(TBC, ABCD)
A ↔
↔
↔
C
α
P M Gambar 10
Q B
↔
(TBC, ABCD) = BC ; Q pada BC , QT pada bidang TBC tegak lurus BC ↔
↔
↔
Q pada BC , QP pada bidang ABCD tegak lurus BC Sudut tumpuan antara bidang TBC dan ABCD adalah ∠PQT, tan ∠TQP =
TM 6 = =2 MQ 3
Jadi tan ∠(TBC, ABCD) = 2. AK:Sudut bahan e-learning KB 3
3
Latihan 3 Untuk no. 1-3, gunakan gambar kubus 1.
EFGH Gambar 3.4. ABCD
Garis-garis berpotongan manakah yang dapat digunakan untuk menyatakan besar sudut antara bidang dan bidang berikut? a. BDG dan EFGH
b. AFH dan CFH
c. BDG dan ABCD
d. BEG dan EFGH
e. AFH dan BDE
f. BDE dan ABCD
2.
Berapakah besar kosinus sudut antara dua bidang pada soal No. 1?
3.
D.ABC adalah sebuah bidang empat beraturan. Berapakah kosinus sudut antara a. garis tinggi dan rusuk yang dipotongnya b. sebuah rusuk dengan bidang yang dipotongnya? c. dua sisi yang saling berpotongan
4. Bejana yang gambarnya tampak pada gambar di samping, permukaannya berbentuk persegi panjang (ukuran dalam cm). Berapakah besar kosinus sudut antara tepi bejana yang miring terhadap alas bejana?
AK:Sudut bahan e-learning KB 3
4
Bahan Diskusi Berikan penjelasan mengapa sudut tumpuan antara dua bidang merupakan sudut terkecil antara setiap garis pada salah satu bidang dengan sebarang garis pada bidang kedua.
AK:Sudut bahan e-learning KB 3
5
Daftar Pustaka
Clemens, S.R., O’Daffer, P.G., and Cooney, T.J. (1984). Geometry with Applications and Problem Solving. Menlo Park: Addison-Wesley Publishing Company Depdiknas (2003), Pendekatan Kontekstual. (Contextual Teaching and Learning (CTL)). Jakarta: Direktorat PLP. Krismanto, Al. (2004). Jarak dalam Ruang Dimensi Tiga. Paket Pembinaan Penataran. Yogyakarta: PPPG Matematika Krismanto, Al. (2008). Pembelajaran Sudut . Paket Pembinaan MGMP. Yogyakarta: PPPG Matematika The Department of Mathematics Education (2001). What_Is_Contextual_Learning. http://www.cordcommunications.com/Contextual_Learning/What_Is_Contextual_Learning .asp USA: University of Georgia. Diakses 10 September 2004 Travers, K.J., Dalton, L.C., anda Layton, K.P. (1987). Geometry. River Forest, Illinois: Laidlaw Brothers Publisher. Wilson, JW (2003). Contextual Teaching And Learning. Http://jwilson.coe.uga.edu/ CTL/CTL/intro/ctl_is.html#other The Department of Mathematics Education EMAT 4600/6600. Diakses 10 September 2004
AK:Sudut bahan e-learning KB 3
6
Daftar Lambang dan Makna/Membacanya. Lambang n∈N || || # ⊥ AB →
membaca/artinya n anggota himpunan bilangan asli (N = himpunan bilangan asli) Sejajar tidak sejajar sama dan sejajar Tegaklurus ruas garis AB sinar AB
AB ↔
AB AB
∠BAC m∠BAC ∆ABC ≠ ≅ ∼
garis AB (panjang tak berhingga) panjang AB ; AB = 2 cm maksudnya panjang ruas garis AB adalah 2 cm. sudut BAC besar sudut BAC segitiga ABC tidak sama dengan sama dan sebangun; kongruen Sebangun
AK:Sudut bahan e-learning KB 3
7
