Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG
Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik
URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor titik ).
dan
dinyatakan oleh
(baca:
Untuk lebih jelas, berikut didefinisikan perkalian titik pada bidang: Secara geometri: didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor dan cosinus sudut antara keduanya.
dan
.... 2.1 Secara analitik: Misalkan dan dengan sistem koordinat x dan y, maka
adalah dua vektor pada bidang didefinisikan: ... 2.2
Sedangkan vektor pada bidang dengan sistem koordinat x, y, dan z, dimana dan , maka didefinisikan: ... 2.3
“Hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar”
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 24 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Coba Anda perhatikan gambar berikut!
Apa yang Anda lihat pada gambar tersebut? Pada gambar tampak seorang anak sedang mendorong meja. Jika meja yang didorongnya bergerak, maka anak tersebut telah melakukan usaha. Namun, bagaimana dengan gambar di samping? Tampak pada gambar tersebut, seseorang sedang mendorong tembok. Apakah temboknya bergeser? Jika kita manusia biasa bukan superman, pastinya tembok tersebut tidak akan bergeser. Karena temboknya tidak bergeser, maka kita tidak melakukan usaha. Jadi, usaha adalah energi yang disalurkan gaya ke sebuah benda sehingga benda tersebut bergerak. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini!
s B
A
Apa yang dapat Anda lihat dari gambar tersebut? Gambar tersebut menunjukkan sebuah objek yang diberi gaya . Objek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke titik B . Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai berikut.
,
: sudut antara gaya
dan
Dengan menggunakan definsi perkalian titik 2.1, maka diperoleh
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 25 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Jadi, usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya perpindahan .
dengan
Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi 2.1, didapatkan: z
y
x
Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi di atas dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini. Tabel 1. Hasil perkalian titik dari vektor-vektor satuan. . 1
0
0
0
1
0
0
0
1
Sifat-sifat Perkalian Titik Vektor Berikut adalah sifat-sifat perkalian titik vektor.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 26 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Sifat-sifat perkalian titik: Misalkan
,
, dan
adalah tiga buah vektor dan
adalah bilangan real,
maka berlaku:
hukum komutatif
hukum distributif
Jika
, dimana
dan
adalah vektor-vektor tak nol, maka
(ketaksamaan Schwarz)
Bukti: Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh
Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh Karena ,
adalah bilangan real, maka , dan
Sehingga
Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 27 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Berdasarkan definisi 2.2, maka Pembuktian iv, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda.
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Buktikan bahwa i i = j j = k k = 1, i j = 0, j k =0, k i = 0. (Gunakan definisi perkalian titik) Penyelesaian Perhatikan gambar berikut
Dari gambar terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah . . Sedangkan vektor yang berbeda membentuk sudut Berdasarkan definisi vektor, maka
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 28 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Contoh 2 Jika A = A1i + A2j + A3k dan B =
, maka tunjukkan bahwa
Penyelesaian
Karena
dan semua hasil kali titik lainnya nol, maka
Contoh 3 Jika , tentukan a. b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B Penyelesaian a. b. Berdasarkan definisi A B = |A||B| cos , dengan dibentuk oleh A dan B. Maka
adalah sudut yang
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika a. b. c.
dan
, carilah:
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 29 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
d. e. Penyelesaian a. b. c. d.
maka e.
Latihan 2 Diketahui A dan B
dan
, carilah sudut yang dibentuk oleh
Penyelesaian Berdasarkan definisi A B = |A||B| cos dibentuk oleh A dan B. Maka
, dengan
adalah sudut yang
Latihan 3 Tentukan usaha yang dilakukan oleh seorang anak dengan untuk memindahkan benda dari titik P(-1, 2, 3) ke Q(5, 6, 7) Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 30 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
F s Q
P
r dari gambar diperoleh bentuk umum usaha maka,
Latihan 4 Untuk harga a manakah lurus?
dan
saling tegak
Penyelesaian Dua vektor saling tegak lurus jika ... . ... = 0 Sehinggga ... - ... - 4 = 0 (a + ...) (... - ...) = 0 a = ... dan a = ... Latihan 5 Carilah proyeksi vektor
pada vektor
Penyelesaian
Proyeksi A pada B = GH = EF =
, b adalah vektor satuan. Maka
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 31 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Hitunglah (a) , (b) (c)
,
Penyelesaian
Latihan 2 Carilah sudut antara (a) dan
dan
, (b)
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 32 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Latihan 3 Carilah sudut lancip yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik-titik (1, -3, 2) dan (3, -5, 1) dengan sumbu koordinat Penyelesaian
Latihan 4 Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor dan . Tentukan sudut-sudut dari segitiga ini. Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 33 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Latihan 5 Carilah proyeksi vektor dan (-2, -4, 3)
pada garis yang melalui titik-titik (2, 3,-1)
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 34 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) 0, (b) -6, (c) 1 Latihan 2 : (a) , (b) Latihan 3 : Latihan 4 : Latihan 5 : 1
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 35 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Materi pokok pertemuan ke 4: 2. Perkalian silang 3. Perkalian rangkap tiga
URAIAN MATERI Perkalian Silang Perkalian silang dua vektor ).
dan
dituliskan dengan
(dibaca
silang
Coba lihat gambar di samping ini! Coba tebak gambar apakah itu? Ya, kincir air. Tahukah Anda, kecepatan linear dari kincir air tersebut sama dengan kecepatan sudut kali jari-jari kincir tersebut.
Gambar . Kecepatan Kincir Air
Perhatikan gambar berikut!
r
s
Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan dengan jari-jari r. Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu adalah dengan sudut yang dibentuk adalah (dalam radian). Hubungan dan diberikan oleh . Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar kecepatan linier diberikan oleh
Besaran
disebut sebagai kecepatan sudut yang arahnya diberikan
oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 36 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari jari-jari lingkaran. Berikut ini didefinisikan perkalian silang. Secara geometri Perkalian silang dari dua vektor dan adalah sebuah vektor (baca silang ), yang besarnya adalah hasil kali antara besarnya dan sinus sudut antara keduanya. s
Dimana
dan
... 2.6
adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari
Secara analisis Misalkan dari dua vektor dan
dan didefinisikan dengan
, maka perkalian silang
... 2.7
Dengan menggunakan definisi 2.6, maka diperoleh: z
y
x
Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 37 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Tabel 2. Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan 0 0 0 Sifat-sifat Perkalian Silang Vektor Berikut sifat-sifat perkalian silang: Sifat-sifat perkalian silang Misalkan , , dan
adalah vektor-vektor dan
adalah bilangan real,
maka berlaku: a.
tidak berlaku hukum komutatif
b.
hukum distributif
c.
, m skalar
d. e.
Hasil dari
sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi
dan f.
Bukti: Pertama,
Jika
kita
dan
dan
bukan vektor nol, maka
misalkan . Maka
,
,
dan
ii. Dengan menggunakan definisi 2.7, diperoleh
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 38 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
iv. Berdasarkan definisi perkalian silang 2.7, maka
Pembuktian i, iii, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda. Perkalian Rangkap Tiga Perkalian titik dan perkalian silang pada tiga buah vektor dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk-bentuk berikut, yaitu , dan . Berikut sifat-sifat perkalian tripel pada vektor.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 39 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Sifat-sifat perkalian rangkap tiga Misalkan , , dan
adalah vektor-vektor, maka berlaku:
a. b. Hasil dari
merupakan volume
sebuah paralelepipidum dengan , , dan
sebagai rusuk-rusuknya
atau negatif dari volume tersebut. Positif atau negatif dari volume tersebut sesuai dengan apakah , , dan
membentuk sistem
tangan kanan atau tidak. Jika
,
, dan
, maka
c.
tidak berlaku hukum asosiatif
d.
sering disebut hasil kali tripel skalar dan dapat
Hasil kali dinyatakan dengan Hasil kali
atau
.
disebut hasil kali tripel vektor
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, buktikan bahwa
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 40 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Contoh 2 Jika dibentuk oleh
dan a .
. Tentukan
(a)
(b) Sudut yang
Penyelesaian a
(b)
s s s s s Jadi sudut antara
dan
adalah
.
Contoh 3 Hitunglah luas jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah
dan
Penyelesaian Luas jajaran genjang s
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 41 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
=
Jadi luas jajar genjang adalah 35. Contoh 4 Jika
a
.
Buktikanlah bahwa Penyelesaian
Contoh 5 Jika
a
.
Tentukan
Penyelesaian
= 28 Contoh 6 Tentukanlah volume paralelepipidum dengan rusuk-rusuknya adalah vektorvektor : a . Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 42 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang Penyelesaian volume paralelepipidum= (tinggi )(luas jajaran genjang )
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika
dan
. Carilah
Penyelesaian
=
Latihan 2 Jika
,
, dan
. Carilah
Penyelesaian
=
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 43 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Latihan 3 Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya (3,-1,2), (1,-1,-3), dan (4,-3,1) Penyelesaian B
C
A
Gambar 12
AB x AC
Luas segitiga ABC = ½ (Luas jajaran genjang)
Latihan 4 Carilah
volume paralelepipedum yang , , dan
sis-sisinya .
dinyatakan
oleh
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 44 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Hitunglah masing-masing (a)
Penyelesaian
Latihan 2 Jika
,
, dan
Carilah
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 45 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Latihan 3 Carilah luas jajar genjang yang memiliki diagonal-diagonal dan Penyelesaian
Latihan 4 Sederhanakanlah (A + B) (B + C) x (C + A) Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 46 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Latihan 5 Buktikan bahwa (A x B) (C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D) Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 47 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 2
Perkalian Titik dan Silang
Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) Latihan 2 : Latihan 3 : Latihan 4 : 2A B x C
, (b)
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 48 STKIP PGRI SUMBAR