si
AS
Se
TRANSFORMASI 2 A.
ROTASI Rotasi adalah memindahkan posisi suatu titik (x, y) dengan cara dirotasikan pada titik tertentu sebesar sudut tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan sebagai titik pusat, sedangkan sudut tertentu dinotasikan sebagai α. Sudah menjadi kesepakatan untuk α > 0 maka arah putaran berlawanan arah jarum jam, sedangkan untuk α < 0 maka arah putaran searah jarum jam. Suatu titik A(x, y) yang dirotasikan terhadap titik pusat rotasi (a, b) dengan sudut putar α atau dinotasikan R[(a, b), α], menghasilkan bayangan (x’, y’) dengan alur R ( (a, b), α ) →( x ’, y ’) ( x , y ) cos α − sin α sin α cos α Di mana persamaan transformasinya adalah x ’− a cos α − sin α x − a = y ’− b sin α cos α y − b
CONTOH SOAL 1.
Bayangan titik (-4, 5) oleh rotasi terhadap titik pusat dengan sudut putar 30° adalah ….
1
GAN
14
BUN
KEL
A - K U RIKUL I IP UM GA
MATEMATIKA
XI
Pembahasan: Alur R(0 , 30°) ( −4 , 5) →( x ’, y ’) x ’ cos 30° − sin30° −4 = y ’ sin30° cos 30° 5 1 1 3 − x ’ 2 2 −4 = 1 5 y’ 1 3 2 2 5 −2 3 − x’ 2 = 5 y ’ −2 3 + 2 2.
Bayangan titik (-1, 7) oleh rotasi terhadap titik (1, 2) dengan putaran 45° searah jarum jam adalah .... Pembahasan: Karena disebutkan searah jarum jam maka α < 0 atau α = -45° Alur R ( (1, 2), −45° ) ( −1, 7) →( x ’, y ’) x ’ cos− 45 − sin− 45 −1 = y ’ sin− 45 cos− 45 7 1 1 2 2 x’ 2 2 −1 = y ’ − 1 2 1 2 7 2 2 7 1 2 − 2+ x’ 2 2 = y’ 1 2 + 7 2 2 2 x’ 3 2 = y ’ 4 2
(
Maka bayangannya adalah 3 2 , 4 2
2
)
3.
Bayangan titik (x, y) oleh rotasi dengan pusat (0, 0) dengan sudut putar 270° adalah (-2, 3). Maka koordinat dari (x, y) adalah .... Pembahasan: R ( (0 , 0 ), 270° ) (x,y) →( −2, 3) −2 cos 270° − sin270° x = 3 sin270° cos 270° y −2 0 1 x = 3 −1 0 y −2 y = 3 −x Maka, koordinat (x, y) = (-3, -2).
4.
Bayangan garis x – 2y = 5 bila dirotasi pada titik (0, 0) sebesar 90° searah jarum jam adalah …. Pembahasan: Karena diputar searah jarum jam, α = -90o R ( (0 , 0 ), −90° ) x − 2y = 5 → ? (x’,y’) (x,y) Persamaan transformasinya x ’ cos− 90° − sin− 90° x = y ’ sin− 90° cos− 90° y x ’ cos 90° sin 90° x = y ’ − sin 90° cos 90° y x’ 0 1 x = y ’ −1 0 y x’ = y y ’ = −x Maka y = x ’ dan x = −y ’ Jadi, persamaan bayangannya −y ’− 2x ’ = 5 2x ’+ y ’+ 5 = 0
3
5.
Bayangan garis m bila dirotasikan oleh R[(1, 1), 180°] adalah 4x – 5y = 3. Maka persamaan garis m adalah …. Pembahasan: R ( (11 , ),180° ) m → 4 x ’− 5y ’ = 3 (x,y) (x’,y’) Persamaan transformasinya x ’− 1 cos180° − sin180° x − 1 = y ’− 1 sin180° cos180° y − 1 x ’− 1 −1 0 x − 1 = y ’− 1 0 −1 y − 1 x ’− 1 −x + 1 = y ’− 1 −y + 1 Maka x ’− 1 = −x + 1 → x ’ = −x + 2 y’− 1 = −y + 1 → y ’ = −y + 2 Sehingga persamaan awal 4( − x + 2) − 5( − y + 2) = 3 −4 x + 8 + 5y − 10 = 3 -4x + 5y = 5 atau 4x – 5y = 0
a.
Rotasi Gabungan Suatu titik dapat dirotasikan lebih dari satu kali. Hanya saja untuk rotasi gabungan perlu diperhatikan kondisi titik pusatnya. Apabila semua rotasi memiliki titik pusat yang sama maka sudut bisa digabungkan, akan tetapi bila titik pusatnya berbeda maka bayangan titiknya harus ditelusuri satu persatu tanpa ada gabungan. R2 ((a,b), α ) R2 ((a,b), β ) (x,y) → →(x’,y’) Dapat ditulis R ( (a,b), α + β ) (x,y) →(x’,y’)
4
CONTOH SOAL 1.
Peta titik (4, 7) dengan rotasi berpusat di (1, 0) dengan sudut putar 15° dilanjutkan dengan rotasi yang berpusat di (1, 0) dengan sudut putar 30° adalah …. Pembahasan: R1 ( (1, 0 ),15° ) R2 ((1, 0 ), 30° ) ( 4 , 7) → →(x’,y’) Sama dengan R ( (1, 0 ), 45° ) ( 4 , 7) →(x’,y’) x ’− 1 cos 45° − sin 45° 4 − 1 = y ’− 0 sin 45° cos 45° 7 − 0 1 1 2 − 2 3 x ’− 1 2 2 = y ’ 1 2 1 2 7 2 2 x ’− 1 −2 2 = y ’ 5 2 Sehingga x ’− 1 = −2 2 → x ’ = 1− 2 2 y’ = 5 2 Maka titik bayangannya (1− 2 2 , 5 2 ) .
2.
Peta atau bayangan dari garis 6x + y =1 oleh rotasi yang berpusat di (1, 1) dengan sudut putar 20° dilanjutkan dengan rotasi yang berpusat di (1, 1) dengan sudut putar 70° adalah …. Pembahasan: Alur , ), 20° ) , ), 70° ) R1 ( (11 R2 ( (11 6 x + y = 1 → → ? R ( (11 , ), 90° ) (x’,y’) (x,y)
5
Persamaan transformasinya x ’− 1 cos 90° − sin 90° x − 1 = y ’− 1 sin 90° cos 90° y − 1 x ’− 1 0 −1 x − 1 = y ’− 1 1 0 y − 1 x ’− 1 1− y = y ’− 1 x − 1 Maka y = x ’ dan x = −y ’ Sehingga persamaan bayangannya 6 y ’+ 2 − x ’ = 1 → x ’− 6 y ’ = 1 3.
Peta atau bayangan titik (4, 2) oleh rotasi R1(0, 30°) dilanjutkan dengan rotasi R2((-1, 2), 90°) adalah …. Pembahasan: R2 ( ( −1, 2), 90° ) R2 ( 0 , 30° ) ( 4 , 2) →(x’,y’) →(x",y") Persamaan transformasi pertama x ’ cos 30° − sin30° 4 = y ’ sin30° cos 30° 2 1 1 3 − 4 x’ 2 2 = 1 2 y’ 1 3 2 2 x ’ 2 3 − 1 = y ’ 2 + 3 Persamaan transformasi kedua x "+ 1 cos 90° − sin 90° 2 3 − 1+ 1 = y "− 2 sin 90° cos 90° 2 + 3 − 2 x ’’+ 1 0 −1 2 3 = y ’’− 2 1 0 3 x ’’+ 1 − 3 = y ’’− 2 2 3 Maka, persamaan bayangannya ( −1− 3 , 2 + 2 3 ) .
6
b.
Transformasi Gabungan Persamaan transformasi gabungan yang melibatkan rotasi dapat dibentuk bila: 1.
Rotasi pusat (0, 0) digabung dengan transformasi matriks (2 × 2)
2.
Rotasi pusat (a, b) digabung dengan dilatasi pusat (a, b)
Selain dua kondisi diatas maka tidak dapat dibentuk persamaan transformasi gabungan.
CONTOH SOAL 1.
Bayangan dari titik (-1, 2) bila diputar sebesar 90° searah jarum jam dengan pusat rotasi 2 1 (0, 0) dilanjutkan dengan transformasi matriks adalah …. -1 2 Pembahasan: Alur R ( 0 , −90° ) M →(x’,y’) ( −1, 2) → 2 1 0 1 −1 2 −1 0 Persamaan transformasi gabungannya x ’ 2 1 0 1 −1 = y ’ −1 2 −1 0 2 x ’ −1 2 −1 = y ’ −2 −1 2 x’ 5 = y’ 0 Bayangannya (5, 0).
2.
Bayangan kurva y = 3x – x2 jika dirotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala 3 adalah …. Pembahasan: Alur R ( 0 , 90° ) D(0 , 3) y = 3x − x 2 → → y ’ = .... (x’,y’) (x,y)
7
Persamaan transformasi gabungan x ’ 3 0 0 −1 x = y ’ 0 3 1 0 y x ’ 0 −3 x = y ’ 3 0 y x ’ −3y = y ’ 3x Maka 1 1 x = y ’ dan y = − x ’ 3 3 Maka bayangannya 1 1 1 − x’ = 3 y’ − y’ 3 3 3 1 1 − x’ = y ’− y ’2 3 9 1 x ’ = y ’2 − 3y ’ 3 3.
2
−1 Ellips dengan persamaan 4x2 + 9y2 = 36 digeser kemudian diputar 90° dengan pusat 2 (-1, 2). Persamaan bayangan ellips itu adalah …. Pembahasan: Alur −1 2
( −1, 2 ), 90° 4 x + 9 y = 36 → .... R → .... 2
2
x,y
x ’− y ’
(x’’, y’’)
Persamaan transformasi pertama x ’ −1 x = + y’ 2 y x ’ x ’+ 1 = y ’ y ’− 2 Persamaan bayangan pertama 4( x ’+ 1)2 + 9( y ’− 2)2 = 36
8
Persamaan transformasi kedua x ’’+ 1 0 −1 x ’+ 1 = y ’’− 2 1 0 y ’− 2 x ’’+ 1 2 − y’ = y ’’− 2 x’+ 1 Maka 2 − y’ = x ’’+ 1 → y ’ = 1− x ’’ x’+ 1 = y ’’− 2 → x ’ = y ’’− 3 Persamaan bayangan kedua 4(y’’− 3 + 1)2 + 9(1− x ’’− 2)2 = 36 4(y’’− 2)2 + 9( −x ’’− 1)2 = 36 4(y’’− 2)2 + 9( x ’’+ 1)2 = 36
B.
REFLEKSI Refleksi atau pencerminan adalah transformasi titik (x, y) dengan mencerminkannya pada suatu reflektor (cermin) tertentu untuk mendapatkan kedudukan titik baru (x’, y’). Reflektor pada proses refleksi bisa bermacam-macam, dan semuanya bisa dinyatakan dalam bentuk matriks. Perhatikan tabel di bawah ini: No.
Cermin
Matriks Reflektor
Persamaan Transformasi
1
Sumbu -x
1 0 0 −1
x ’ 1 0 x y ’ = 0 −1 y
2
Sumbu -y
−1 0 0 1
x ’ −1 0 x y ’ = 0 1 y
3
Titik pusat
−1 0 0 −1
x ’ −1 0 x y ’ = 0 −1 y
4
Garis y = x
0 1 1 0
x ’ 0 1 x y ’ = 1 0 y
5
Garis y = –x
0 −1 −1 0
x ’ 0 −1 x y ’ = −1 0 y
9
No.
Cermin
Matriks Reflektor
Persamaan Transformasi
6
Garis y = x + k
0 1 1 0
x ’ 0 1 x y ’− k = 1 0 y − k
7
Garis y = –x + k
0 −1 −1 0
x ’ 0 −1 x y ’− k = −1 0 y − k
8
Garis y = (tanα)x + k
cos α sin α sin α − cos α
x ’ cos 2α sin2α x y ’− k = sin2α − cos 2α y − k
9
Garis x = h
x ’ −1 0 x 2h y ’ = 0 1 y + 0
10
Garis y = k
x ’ 1 0 x 0 y ’ = 0 −1 y + 2k
CONTOH SOAL 1.
Bayangan dari titik (3,1) bila direfleksikan terhadap sumbu x adalah …. Pembahasan: x ’ 1 0 3 3 y ’ = 0 −1 1 = −1 Maka bayangannya (3,-1)
2.
Bayangan dari garis 4x – y =10 bila direfleksikan dengan sumbu y adalah .… Pembahasan: x ’ −1 0 x y ’ = 0 1 y x ’ − x y ’ = y Maka x = –x’ dan y = y’ sehingga persamaan bayangannya adalah -4x’ – y’ =10 atau 4x’ + y’ + 10 = 0
10
3.
Bayangan dari garis ax + by = c dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah 4x – 7y = 10. Maka persamaan garis ax + by = c adalah .... Pembahasan: Diketahui persamaan bayangan 4x’ – 7y’ = 10 x ’ 0 1 x y ’ = 1 0 y x ’ y y ’ = x Sehingga x’ = y dan y’ = x Maka persamaan asalnya 4y – 7x =10 atau 7x – 4y + 10 = 0
4.
Bayangan kurva dengan pencerminan terhadap garis x + y = 0 adalah …. Pembahasan: Reflektor x + y = 0 sama dengan y = –x Maka persamaan matriksnya x ’ 0 −1 x y ’ = −1 0 y x ’ − y y ’ = − x Sehingga y = –x’ dan x = –y’ Maka persamaan bayangan dari y = x2 + x – 1 adalah −x ’ = ( −y ’)2 + ( −y ’) − 1 x ’ = y ’2 − y ’− 1
5.
Bayangan titik (3, 4) oleh pencerminan garis y = x + 5 adalah …. Pembahasan: Nilai k = 5, sehingga persamaan matriks transformasinya −x ’ = ( −y ’)2 + ( −y ’) − 1 x ’ = y ’2 − y ’− 1 Maka x’= –1 dan y’ = 8 Sehingga bayangannya adalah (-1, 8)
11
6.
Bayangan kurva y = x2 bila dicerminkan terhadap y = –x – 4 adalah …. Pembahasan: Nilai k = -4 x ’ 0 −1 x y ’+ 4 = −1 0 y + 4 x ’ y − − 4 y ’+ 4 = −x Maka x = –y’ –4 dan y = –x’ –4 Sehingga persamaan bayangan dari y = x2 adalah .... −x ’− 4 = ( −y ’− 4 )2 x ’ = −y ’2 − 8 y ’− 20
7.
Bayangan dari titik (1, 2) terhadap garis y = 3x + 1 adalah …. Pembahasan: Diketahui α = 60o karena tanα = 3 dan k = 1 x ’ cos 2α sin2α x y ’− k = sin2α − cos 2α y − k x ’ ° ° cos 120 sin 120 1 y ’− 1 = sin120° − cos120° 2 − 1 1 1 3 − x ’ 2 2 1 y ’− 1 = 1 1 1 3 2 2 1 1 − + 3 x ’ 2 2 = y ’ 1 3+3 2 2 1 3 1 1 3, 3 + Sehingga bayangannya adalah − + 2 2 2 2
8.
Bayangan titik (4, 2) bila dicerminkan terhadap garis x = 8 adalah …. Pembahasan: Diketahui h = 8 x ’ −1 0 x 2h y ’ = 0 1 y + 0
12
x ’ −1 0 4 16 y ’ = 0 1 2 + 0 x ’ −4 16 12 y ’ = 2 + 0 = 2 9.
Bayangan garis 3x + 5y =10 bila dicerminkan terhadap garis y = –5 adalah .... Pembahasan: Diketahui k = –5 x ’ 1 0 x 0 y ’ = 0 −1 y + 2k x ’ 1 0 x 0 y ’ = 0 −1 y + −10 x ’ x y ’ = −y − 10 maka x = x’ dan y = –y’–10 sehingga persamaan bayangan 3x + 5y =10 adalah 3x ’+ 5( −y ’− 10) = 10 3x ’− 5y ’ = 60
a.
Transformasi Gabungan Persamaan transformasi gabungan yang melibatkan refleksi dapat dibentuk pada kondisi: 1.
Gabungan refleksi dengan reflektor no.1 sampai dengan no.5.
2.
Refleksi dengan reflektor no.1 sampai dengan no.5 dengan transformasi matriks 2 × 2.
3.
Refleksi dengan reflektor no.1 sampai dengan no.5 dengan dilatasi dan atau rotasi dengan pusat (0, 0)
4.
Dua atau lebih pencerminan terhadap garis x = h dilanjutkan dengan garis x = k, di mana persamaan transformasi gabungannya adalah x ’ x 2(k − h) y ’ = y + 0
5.
Dua atau lebih pencerminan terhadap garis y = h dilanjutkan dengan garis y = k, dimana persamaan transformasi gabungannya adalah
13
x ’ x 0 y ’ = y + 2(k − h) Sedangkan yang lain-lain secara umum bisa dicari titik bayangannya secara berurutan.
CONTOH SOAL 1.
Bayangan kurva y = x2 – 3, jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah …. Pembahasan: Re fleksi sumbu x D(0 , 2) → → y’ = .... y = x 2 − 3 2 0 (x’,y’) 1 0 (x, y ) 0 −1 0 2 Persamaan transformasinya x’ 2 0 1 0 x = y ’ 0 2 0 −1 y x’ 2 0 x = y ’ 0 −2 y x ’ = 2x y’ = −2y 1 dan 1 x = x’ y = − y’ 2 2 Maka persamaan bayangan y = x2 – 3 adalah 2
1 1 − y’ = x’ − 3 2 2 1 y ’ = − x ’2 + 6 2 1 y ’ = 6 − x ’2 2 2.
Bayangan garis 3x + 4y = 6 oleh transformasi berturut-turut dengan pencerminan terhadap sumbu y, dilanjutkan dengan rotasi pusat O(0, 0) sejauh 90° adalah .... Pembahasan: Re fleksi sumbu y R(0 , 90°) → 3x + 4 y = 6 → ax ’+ by ’ = c −1 0 0 −1 (x, y ) (x’,y’) 0 1 1 0
14
Persamaan transformasi x’ 0 = y’ 1 x’ 0 = y ’ −1
−1 −1 0 x 0 0 1 y −1 x 0 y
x ’ −y = y ’ −x Maka y = −x ’ dan x = −y ’ Sehingga persamaan bayangan 3x + 4y = 6 adalah −3y’− 4 x’ = 6 4 x’+ 3 y’+ 6 = 0 3.
Titik (4, 8) dicerminkan terhadap garis x = 6 dilanjutkan dengan rotasi (O, 60°) menghasilkan …. Pembahasan: x=6 R(0 , 60°) ( 4 , 8 ) → ( x ’, y ’) →(x’’,y’’) Persamaan transformasi pertama x ’ −1 0 4 12 = + y’ 0 1 8 0 x’ 8 = y’ 8 Persamaan transformasi kedua 60° − sin 60° 8 xx "" cos = cos 60° − sin 60° 8 = 60° cos 60° 8 yy "" sin sin 60° cos 60° 8 1 1 1 − 1 3 − 2 3 8 xx ’’’’ 2 = 2 2 8 1 8 y ’’ = 1 1 8 y ’’ 1 3 2 3 2 2 2 − 4 3 xx ’’’’ 4 = 4 − 4 3 y ’’ = 4 3 + 4 y ’’ 4 3 + 4 Maka bayangannya ( −4 3 + 4 , 4 3 + 4 )
15
LATIHAN SOAL 1.
2.
3.
4.
Parabola y = x2 – 2x + 3 dirotasi pusat (-2, 1) sejauh 90°, persamaan bayangannya adalah .... A.
y = x2 – 8x + 19
B.
y = -x2 + 8x – 19
C.
x = y2 – 8y + 19
D.
x = -y2 – 8y + 19
E.
x = -y2 + 8y – 19
Persamaan bayang an dari lingkaran x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90° searah putaran jarum jam adalah .... A.
x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0
B.
x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0
C.
x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0
D.
x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0
E.
x2 + y2 + 6x – 4y + 3 = 0
Bayangan garis 7x + 4y = 9 oleh rotasi (0, 225°) adalah .... A.
3x + 11y = 9 2
B.
3x + 11y = −9 2
C.
11x + 3y = 9 2
D.
11x + 3y = −9 2
E.
11x − 3y = 9 2
Jika titik A (4, 3) dirotasikan dengan pusat P (a, b) sejauh 180° berlawanan dengan arah jarum jam dan menghasilkan bayangan titik A'(-2, 1), maka titik pusat rotasi tersebut adalah .... A.
(1, -2)
B.
(-1, 2)
C.
(-2, 1)
D.
(-2, -1)
E.
(1, 2)
16
5.
6.
7.
8.
10 Titik A (5, -3) ditranslasi , kemudian dilanjutkan oleh rotasi yang pusatnya O dengan −7 besar putaran 90° berlawanan arah jarum jam. Koordinat bayangan titik A adalah .... A.
(10, -15)
B.
(-10, -15)
C.
(10, 15)
D.
(-10, 15)
E.
(15, -10)
Titik V (2, 5) dicerminkan terhadap garis y = 2 memperoleh bayangan V'(x, y), maka nilai x + y = .... A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
E.
5
Bayangan garis 6x + 7y – 9 oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah .... A.
6x + 7y + 9 = 0
B.
6x – 7y – 9 = 0
C.
7x + 6y + 9 = 0
D.
7x + 6y – 9 = 0
E.
7x – 6y – 9 = 0
π terhadap O dalam arah berlawanan Matriks yang menyatakan perputaran sebesar 6 dengan jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x – y = 0 adalah .... A.
1 1 2 3
3 −1
B.
1 1 2 − 3
3 1
C.
1 − 3 2 1
1 − 3
17
9.
10.
D.
1 1 − 2 3
E.
1 − 3 − 2 1
− 3 1 1 − 3
Bayangan titik B (-3, 2) jika direfleksikan terhadap garis y = 2, kemudian direfleksikan kembali oleh sumbu X adalah .... A.
(-4, -5)
B.
(-2, -6)
C.
(15, 1)
D.
(7, 10)
E.
(-3, -2)
Peta kurva y = x2 – 3x + 2 oleh pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah .... A.
3y + x2 – 9x – 18 = 0
B.
3y + x2 – 9x + 19 = 0
C.
3y + x2 – 9x + 17 = 0
D.
3y + x2 – 3x + 18 = 0
E.
3y + x2 – 9x + 18 = 0
18
